Книги, научные публикации
Pages: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | ... | 6 | Московский международный институт эконометрики, информатики, финансов и права Корнилов И.А. ...
-- [ Страница 3 ] --3=1.966.35/100= 0.124. Это означает, что нетто-премии соответственно равны: 101.195 = 11.95, 201.137 = 22.74, 301.124 = 33.72. Суммарная (за три договора) нетто-премия равна: 11.95 + 22.74 + 33.72 = 68.41. При этом сумма трех рисковых надбавок (8.41) от суммы трех рисковых премий (60) составит 14.2%. В комбинированном договоре: рисковая премия 57.818, а относительная рисковая надбавка = 1.964.04/100 = 0.079 (7.9%). Тогда абсолютная надбавка составит: 0.07957.8 = 4.566. А неттопремия в этом договоре: 57.818 + 4.566 = 62.384 (вместо 68.41), т.е. клиент сТэкономил 6.03 (или 6.03/68.05 = 0.09, т.е. 9%). Напомним, что экономия за счет только рисковой премии составила менее 4%. Надбавка позволила сТэкономить больше! Пример показывает, что более точный учет риска страховщика (опирающийся на СКО, а, следовательно, на рисковую надбавку) может повлиять на снижение страхового тарифа сильнее, чем правильно найденная рисковая премия. (К. Бурроу /3/ указал на возможность компенсации последствий неверно найденного МО за счет увеличения рисковой надбавки путем увеличения коэффициента при СКО, но без разъяснения причин и механизма.) Взнос в комбинированном договоре снижается не только за счет рисковой премии и рисковой надбавки, но и при учете возможности возврата части взноса, если премия внесена единовременно, а затем, до истечения срока действия договора, застрахованное имущество продано, и потому больше не нуждается в защите. При отдельных договорах возможна и другая ситуация. Например, страховой случай произошел в первом договоре в середине срока действия договора (года, все 3 договора заключены одновременно, сроком на 1 год). Тогда по первому договору должна быть выплачена компенсация, а по двум другим необходимо вернуть клиенту часть взносов за то время, в течение которого он не пользуется страховой защитой (т.е. за оставшиеся полгода). Тогда страхователь должен получить половину нетто-премий из второго и третьего договоров. Вероятность этого: 0.010.980.97, а соответствующие части (рисковых премий: 200.5 и 300.5), а неттопремий: 22.740.5 и 33.720.5. Итак: 28.230.009506=0.268. Если пренебречь изменением цены денег за срок действия договора и считать распределение страхового случая во времени равномерным в течение срока действия договора, то именно таким будет ожидаемый возврат при наступлении страхового случая в первом договоре. Аналогично рассчитываются: (0.020.990.97) (11.95+33.72) 0.5=0.01920622.83=0.438, а также: (0.030.990.98) (11.95+22.74) 0.5=0.02910617.35=0.505. Общая ожидаемая сумма возврата составит: 0.268+0.438+0.505=1.211. Очевидно, на эту сумму надо дополнительно снизить цену в комбинированном договоре (т.к. в нем возврат части взноса невозможен, в нем будет только выплачено возмещение!). Итак: 62.384-1.211=61.173, что составит: 61.173/68.41=89.4% от суммы трех отдельных нетто-премий. Надо отметить, что 10.6% экономии сложились за счет: рисковой премии 3.5%, рисковой надбавки 5.3% и учета возможного возврата части взноса 1.8%. 8.2. Обсуждение процесса формирования рисковой надбавки в договоре комбинированного страхования В рассмотренном примере комбинированного страхования можно (гипотетически, для наглядности) увеличить вероятности страховых случаев в 10 раз. Для этого уже была вычислена рисковая премия. Пример 3. Рассмотрим процесс формирования рисковой надбавки. S = 1000, P(A) = 0.1, P(B) = 0.2, P(C) = 0.3;
Решение. P = 0.10.80.7+0.20.90.7 + 0.30.90.8 = 0.056 +0.126 + 0.216 = 0.398;
П = SP = 10000.398 = 398;
Ясно, что одновременно может реализоваться не более одного случайного события, поэтому можно найти апостериорные вероятности: 0.056/0.398 = 0.14;
0.126/0.398 = 0.32;
0.216/0.398 = 0.54;
Эти вероятности могут быть использованы в качестве весовых коэффициентов при построении рисковой надбавки. Пусть n = 100. np(A) = 1000.1 = 10;
npq(A) = 1000.10.9 = 9;
СКО = 3;
np(B) = 1000.2 = 20;
npq(B) = 1000.20.8 = 16;
СКО = 4;
np(C) = 1000.3 = 30;
npq(C) = 1000.30.7 = 21;
СКО = 4.6;
Если страховать каждый риск отдельно, то рисковые ставки (для всего портфеля) составили бы: 10 + t3;
20 + t4;
30 + t4.6;
а всего по трем рискам: 60 + t11.6;
Но в комбинированном договоре : рисковая ставка для одного договора 0.398;
А для всего портфеля из 100 договоров сумма рисковых ставок 39.8. Надбавку будем конструировать сначала на основе СКО. Тогда с учетом весов получим: 30.14 +40.32 + 4.60.54 = 4.18. (Это значительно меньше, чем 11.6.) Поэтому нетто-ставка (для всего портфеля) равна: 39.8 + t4.18. Отметим, что и относительная надбавка значительно снизилась. С 11.6/60 = 0.193 до 4.18/39.8 = 0.105. Почти вдвое. Если опираться не на СКО, а на дисперсию (что представляется более правомерным в данном примере с несовместными (и независимыми) событиями), то результаты несколько изменятся. Общая (для портфеля) дисперсия равна: 90.14 + 160.32 + 210.54 = 1.26 +5.12 + 11.34 = 17.72. Соответственно, СКО = 4.20. Поэтому нетто-взнос: 39.8 + t4.20. Относительная надбавка несколько возрастет: 4.20/39.8 = 0.106. Таким образом, видно, что в комбинированных договорах удешевление страхования достигается не только за счет рисковой премии, но и за счет рисковой надбавки. Т.е. существенно снижаются обе составляющие нетто-премии, что влечет за собой и снижение брутто-премии. Причем величина изменения надбавки зависит от правила формирования надбавки. В предыдущем параграфе показано, что еще одним фактором снижения цены в комбинированном договоре является учет возможности возврата части единовременного взноса при досрочном расторжении договора. 8.3. Специфика страхования больших рисков Специфика данной задачи (с точки зрения страховщика, а, следовательно, и актуария) - в необходимости обеспечить более высокую надежность при малом объеме субпортфеля (а возможно, для отдельного риска). Проиллюстрируем ситуацию на примере. Пример 4. Пусть в договоре на 1 год страховая сумма в 1 млн. у.е. выплачивается полностью, если произойдет страховой случай, о котором страховщику известно, что он может произойти 1 раз в 100 лет. На основании этого страховщик считает, что вероятность страхового случая в течение одного года можно принять равной 0.01. Решение. Мы в этом примере будем оперировать только с рисковой премией. Т.е. надбавку и нагрузку не рассматриваем. Премия вносится единовременно и должна составить 10000 у.е. Но риск слишком велик, поэтому страховщик (в целях увеличения первых взносов и сокращения последних) предлагает следующую схему. В первый год клиент вносит не 1%, а 10% от страховой суммы (т.е. 100000 у.е.). Если страхового случая не было, то во второй год компания из внесенных ранее 10% возвращает клиенту 7%, а себе оставляет 3%. Кроме того, за договор на второй год клиент платит взнос опять 10%. И процесс повторяется. Т.е. клиент реально платит взнос 3%. Эти правила действуют первые 10 лет. На втором этапе (в течение следующих 15 лет) клиент платит не по 3%, а по 2% в год. На третьем этапе (еще 15 лет) клиент платит по 1% в год. Далее выплаты взносов прекращаются, но договор действует (неограниченно долго, до наступления страхового случая). Страховщик считает, что накопленной суммы взносов (вместе с процентами) достаточно для выплаты страховой суммы при реализации страхового случая. Предполагается, что на период действия договора банковский процент составит 6% в год. Надо оценить, соблюдены ли интересы сторон в этом контракте. Очевидно, необходимы предположения о распределении риска во времени. Сначала предположим, что риск распределен равномерно. (Условность этой гипотезы очевидна. Здесь через 100 лет страховой случай произойдет с вероятностью 1, что противоречит здравому смыслу. Случай может и не произойти за любой конечный промежуток времени.) Чтобы избежать этого противоречия, мы далее будем исходить из экспоненциального распределения. Параметр этого распределения найдем из условия, что в первый год вероятность страхового случая равна 0.01. А затем сравним полученные результаты. Итак, возмещение выплачивается в конце года, в котором произошел страховой случай, после начисления процентов. В начале первого года страховщик получил 100000. За год они превратились в 106000. Если случай произошел (с вероятностью 0.01), то страховщик платит возмещение в 1 млн. А если не произошел (с вероятностью 0.99), то компания возвращает клиенту 70000, а себе оставляет 30000. Кроме того, у нее остаются и проценты, т.е. еще 6000. Таким образом, в начале второго года при благоприятном развитии процесса компания может (с вероятностью 0.99) иметь 36000 у.е. Дальше можно рассуждать так. Компания получила в начале второго года еще 100000, т.е. у нее стало 136000, которые за год превратятся в 1361.06=144.16 тыс. Если случая не будет, то компания возвратит 70 тыс. И у нее останется 74.16 тыс. И т.д. Однако, эти рассуждения неверны. Необходимо найти среднее (ожидаемое) значение: 360000.99 - 10000000.01 = 25640. Именно к этой сумме и надо прибавлять очередной взнос, тогда у страховщика в начале второго года станет 125640. В конце второго года они превратятся в 133178. И после возврата 70000 останется 63178. Поэтому за второй год компания либо заработает 63178 с вероятностью 0.99, если случаев не будет за первые два года, либо заплатит 1000000 с вероятностью 0.01, если случай произойдет во второй год. Поэтому, в среднем, результаты за второй год равны: 631780.99 - 1000000.01 = 52547. Аналогично, в третий год: (100000 + 52547) 1.06 - 70000 = 91700. 917000.99-10000 = 80783 В 4-й соответственно: 121630 и 110414. В 5-й: 153039 и 141508. В 6-й: 185999 и 174139. В 7-й: осталось 208381. Далее: 8-й: 244315, 9-й: 282027, 10-й: 321597. Видно, что после окончания первого этапа страховщик может выплатить около трети страховой суммы. На втором этапе (в течение 15 лет) возвращаются не 70 тыс., а 80 тыс. Поэтому после 11-го года у страховщика, в среднем, останется (в тыс.): ((100 + 321.6) 1.06 - 80) 0.99 Ц10 = 353.2 и т.д. 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 386. 421. 458. 496. 536 578 623 669 718 769 823 880 в 24-й год: 939, и в 25-й год: 1001, что позволяет покрыть весь риск. Т.е. третий этап вообще не нужен. Здесь страховщик хочет взять лишнее. В данном примере необходимо отметить, что ежегодно на страховщика работали все 100000, а не 30000 или 20000. Именно за счет этого клиент внес номинально 3010+2015=600 (тыс.) и получил за это страховую защиту не только на период уплаты взносов (25 лет), но и на неограниченный срок после окончания этого периода (до возникновения страхового случая). Пример 5. Проанализировать экспоненциальное распределение. Решение. Если вероятность страхового случая в течение 1 года равна 0.01, то в предположении об экспоненциальном распределении получим уравнение: (1 - exp(-at)) = 0.01 при t=1. Т.е. exp(-a) = 0.99. Тогда: a = ln0.99 = 0.010050336. Это позволяет вычислить вероятность наступления страхового случая (и противоположного события) для t=2,3,4,Е(Исходим из правила, что страхователь платит постоянные взносы в течение 10 лет, инфляцией пренебрегаем.) 2 T Exp(-at).9801 1-exp.0199 3.9703.0297 4.9606.0394 5.9510.0490 6.9417.0583 7.9321.0679 8.9227.0773 9.9135.0865 10.9044. Таким образом, первый взнос платится всегда, второй - с вероятностью 0.99, третий - с вероятностью 0.9801, и т.д. Рассчитываем суммарный взнос за первые 10 лет с учетом дисконтирующего множителя: v = 1/(1+i) = 1/1.06 = 0.9434. Далее, для t=2,3, Е, 9 получим: Vt: 0.89, 0.84, 0.79, 0.75, 0.70, 0.66, 0.63, 0.59. П(1 + 0.99v +0.9801v2 + 0.9703v3 + Е + 0.9135v9) = П(1 +.93 +.87 +.82 +.76 +.71 +.66 +.61 +.58 +.54) = П7.48 Соответственно, математическое ожидание выплат возмещения (за те же 10 лет) с учетом их современной цены: S(0.01 + 0.0199v + 0.0297v2 + Е + 0.0956v9) = S(0.01 + 0.01990.9434 + Е + 0.09560.59) = S(.01 +.019 +.026 +.033 +.039 +.044 +.048 +.051 +.054 +.056) = S0.38 Теперь приравниваем: П7.48 = S0.38, т.е. П = S0.051, т.е. 51тыс. Номинально за 10 лет внесено 510 тыс. Оказывается, при том же условии (страховой случай возможен 1 раз в 100 лет) рисковая премия равна не 1% от страховой суммы, а чуть больше 5% от нее. Причины этого кажущегося парадокса: другой закон распределения и временной интервал, отличный от 100 лет! Мы изменили схему, оставив только первый (10 летний) период. Замечание. Попробуем рассуждать иначе. Пусть за 100 лет страховой случай произойдет с вероятностью 0.999 (практическая достоверность) или не произойдет с вероятностью 0.001 (практическая невозможность). Тогда при t = 100 (лет) имеем: (1 - exp(-at)) = 0.999, т.е. exp(-at) = 0.001, тогда a = 0.0691. Получается совсем другая интенсивность и, соответственно, другие вероятности. Следовательно, другое соотношение между рисковой премией и страховой суммой. (Расчеты предлагается выполнить самостоятельно, в качестве упражнения) Наконец, если в качестве отправной точки (практической достоверности) взять не 0.999, а 0.99 (т.е. снизить требования к достоверности наших результатов), то получим: a = 0.046, а если, наоборот, повысить требования и задать в качестве практической достоверности 0.9999, то a = 0.093. Таким образом, видно, что формулировка событие происходит 1 раз в 100 лет совершенно не информативна, т.к. допускает различные толкования. Требуется более четкое предположение о законе распределения. 8.4. Страхование риска невозвращения кредита Коммерческий банк принял вклад размером А на 1 год под i1 % годовых. Т.е. через год он обязан вернуть клиенту сумму: A(1 + i1). Одновременно он такую же сумму А выдал в качестве кредита (на тот же срок) под i2 % годовых. Поскольку в обоих договорах срок - 1 год, то проценты - простые. Найти прибыль банка (до выплаты налогов на прибыль), если все стороны выполнят свои обязательства (издержками пренебречь). A(1 + i2) - A(1 + i1) = A(i2 - i1) В действительности банк должен считаться с возможностью возникновения ситуации, когда он не получит выданного кредита (с процентами), например, из-за разорения своего клиента. Поэтому банк хочет застраховать риск невозвращения кредита своим клиентом и обращается к страховщику за соответствующей страховой защитой. Проанализируем позиции сторон. Банк стремится зафиксировать размер своих убытков на уровне страхового взноса. Естественно, для него ситуация приемлема, если этот страховой взнос меньше ожидаемой прибыли A(i2 - i1). Имея общие представления о процессе страхования, банкир проводит свою оценку надежности своего клиента, чтобы оценить вероятность невозвращения кредита. Но он не имеет представления об общей ситуации с невозвращением кредита и о вызванных этим потерях страховщика. Страховщик, наоборот, менее информирован о надежности конкретного получателя кредита, но имеет сведения о частости невозвращения кредита и о размере этого невозвращенного кредита. Здесь надо отметить один нюанс. У страховщика есть оценка вероятности невозвращения кредита (случайное событие) и оценка распределения своего ущерба, если произошел страховой случай (т.е. условное распределение случайной величины). А банкира не интересует процесс невозвращения кредита вообще. Его интересует ситуация именно в его конкретном случае для выданной суммы А, которую он рассчитывает получить (с процентами на нее): A(1 + i2). Поэтому страховщик решает предварительную (вспомогательную) задачу: определяет апостериорную (Байесовскую) вероятность невозвращения кредита конкретного размера. Естественно, оценки вероятности, определенные страховщиком и банкиром, могут не совпасть. Если банкир получил большее значение вероятности, он согласится на условия страховщика (но должен задуматься о причинах расхождения). А если он получил меньшее значение (и расхождение - существенное), то он имеет несколько вариантов. Можно: а) поискать другого страховщика (у которого более благоприятная статистика и потому - ниже тарифы);
б) рискнуть и оставить часть риска на своей ответственности (и тем самым уменьшить плату за страхование);
в) поверить страховщику и либо отказать просителю кредита, либо изменить условия его предоставления, и т.д. Ясно, что в этой задаче нас интересует только ситуация, когда банкир и страховщик пришли к согласию и заключили договор. Т.е. банкир отдал часть своей ожидаемой прибыли страховщику в обмен на страховую защиту. Для этого они согласовали вероятность страхового случая с этим кредитом. Далее расчеты идут по общей схеме. Рассчитывается математическое ожидание потерь банка: A(1 + i2)Pг, затем дисперсия: A2(1 + i2)2Pг(1 - Pг ) и среднее квадратическое отклонение: A(1 + i2) Рг (1 Рг ). МО потерь характеризует рисковую премию при полной защите, а СКО служит для оценки рисковой надбавки, обеспечивающей определенную надежность (вероятность неразорения: 1-). Если у страховщика n аналогичных договоров, то относительная рисковая надбавка равна:
= t 1Р 1 Р n Как ранее показано, первый сомножитель характеризует надежность, второй - степень риска в одном договоре, третий - объем портфеля. Нетто-премия получается из рисковой премии умножением на (1 + ), а брутто-премия получается из нетто-премии делением на (1 - f), где f - доля нагрузки на ведение дел в тарифе. Замечание. Здесь использовано упрощающее предположение о наличии у страховщика портфеля из n аналогичных рисков. Ясно, что даже при наличии качественной однородности обеспечить количественную однородность (равенство размеров выданных кредитов и вероятностей невозвращения у различных клиентов разных банков) - очень трудно. Наконец, сроки договоров о выдаче кредитов не совпадают между собой и с календарным годом (или даже с месяцем). Следовательно, в определенный момент (или промежуток) времени можно говорить лишь о некоторой интенсивности потока страховых случаев во всем страховом портфеле и вызванными этим потоком выплатами возмещений. Поэтому страховщик вынужден работать не с отдельными рисками, а со всем портфелем. Он анализирует весь объем ответственности (сумму страховых сумм) и всю собранную неттопремию. И решает, какую надежность (для всего портфеля) обеспечивает вся собранная рисковая надбавка. А затем распределяет суммарную надбавку между субпортфелями и далее между отдельными своими клиентами. На практике страховщик может опираться на усредненные значения страховых сумм и вероятностей невозвращения кредита (т.е. возникновения страховых случаев), но заложить в расчеты более высокую надежность (1 - ). Кроме того, страховщик не обязан принимать на себя весь риск. Можно потребовать, чтобы банкир оставил часть риска (20% - 40%) на своей ответственности (пропорциональный договор). Это повышает осмотрительность банкира при выдаче кредита. При всей условности изложенного подхода, он, в первом приближении, неплохо иллюстрирует характер взаимоотношений сторон (банкира и получателя кредита, банкира и страховщика). Проиллюстрируем сформулированные рекомендации на числовом примере. Чтобы абстрагироваться от инфляционных процессов и проблем, вызванных изменением курса валют, будем составлять (и анализировать) все договоры в твердой валюте. Этот большой пример 6 разобьем на составляющие. Пример 6-1. Банк получил от вкладчиков 10 млн. у.е. сроком на 1 год под 6% годовых. И одновременно выдал ту же сумму в кредит на один год под 36% годовых. Если процессы - детерминированные, то все обязательства безусловно выполняются, поэтому через год банк получит за выданный кредит: 101.36 = 13.6 млн., а выплатит вкладчику: 101.06 = 10.6 млн. Следовательно, его прибыль (не учитывая издержки и налоги) составит: 3 млн. Замечание. В данной ситуации не вполне оправдано столь существенное различие ставок: 6% и 36%. Можно предположить, что банк пытается таким образом обеспечить самострахование от риска невозвращения выданного кредита. Т.е. появляется элемент риска, процесс перестает быть детерминированным и превращается в стохастический. Пример 6-2. Есть риск невозвращения кредита. Банк оценивает вероятность этого случайного события в 0.05. Следовательно, банк либо получает прибыль в 3 млн. с вероятностью q = 0.95, либо терпит убыток в 10.6 млн. с вероятностью р = 0.05. Тогда математическое ожидание его прибыли составит: 3.00.95 + (-10.6) 0.05 = 2.85 - 0.53 = 2.32, т.е. ожидаемая прибыль уменьшилась на 19%. И появился риск понести существенные убытки. Банкир решил зафиксировать свои убытки с помощью страхования риска невозвращения кредита (сроком на 1 год). Страховщик оценивает вероятность подобного страхового случая в 0.05 (как и банкир - страхователь). По этим рискам у страховщика рисковая надбавка составляет 40% от рисковой премии, а доля нагрузки в тарифе равна 20%. Согласно договору, при наступлении страхового случая (если банк не получит от своего клиента через год 13.6 млн.), страховщик компенсирует этот ущерб полностью (по окончании срока действия договора). Замечание. Строго говоря, современная цена суммы 13.6, выплаченной через год, равна 13.6/1.06= 12.83. Поэтому единовременная премия должна вычисляться, исходя из этого значения величины ущерба. Но в имущественном страховании страховщику предоставлено право (но не вменено в обязанность!) не дисконтировать размер страхового возмещения, т.е. он может определять взнос, опираясь на 13.6 (вместо 12.83). Как это отразится на его конкурентоспособности - другой вопрос! Страховщик принял риск размером 13.6, поэтому его рисковая премия составит: 13.60.05 = 0.68 млн. Нетто-премия равна: 0.681.4 = 0.95, и брутто-премия: 0.95/(1 - 0.2) = 1.19 млн. Это и есть зафиксированный убыток банкира. Поэтому теперь он имеет гарантированную прибыль в размере: 3.0 - 1.19 = 1.81 млн. Банкир поделился прибылью со страховщиком в обмен на получение гарантированной прибыли (которая стала существенно меньше не только детерминированной, но и ложидаемой). Конечно, мы не учитываем ситуацию, когда в течение 1 года разорятся оба партнера банка: взявший кредит и страховщик. Отметим, что можно было оперировать понятием ставки, т.е. вероятность 0.05 в договоре с полной защитой играет роль рисковой ставки. Тогда нетто-ставка равна: 0.051.4 = 0.07, следовательно, брутто-ставка: 0.07/0.8 = 0.0875. единовременный страховой взнос равен: 13.60.0875 = 1.19 млн. Теперь рассмотрим некоторые модификации данного договора. Пример 6-3. Договор пропорциональной ответственности. Страховщик возмещает только 80% ущерба (20% остаются на ответственности самого страхователя, т.е. банкира). Тогда страховой взнос составит: 1.190.8 = 0.952 млн. А его ожидаемая прибыль: 13.60.95 - 10.6 - 0.952 - 13.60.050.2 = 12.92 - 11.552 - 0.136 = 1.23 Ожидаемая прибыль банкира уменьшилась в 1.5 раза по сравнению с договором о полной страховой защите (и вдвое по сравнению с ситуацией при отсутствии договора - п.2). Кроме того, появилась возможность понести серьезные потери при страховом случае: 10.6 + 13.60.8 - 0.952 = - 0.677 млн. Поэтому банкир хотел бы уменьшить свою долю ответственности (с 20% до 10%). Пример 6-4. Страховщик согласился на такое изменение условий договора. Тогда страховой взнос составит: 1.190.9 = 1.071 млн. Компенсация при страховом случае: 13.60.9 = 12.24 млн. Прибыль банка (при наступлении страхового случая) составит: 12.24 - 10.6 - 1.071 = 0.569. (Банкир не имеет убытка даже при страховом случае!) Ожидаемая прибыль банкира: 13.60.95 - 10.6 - 1.071 - 13.60.050.1 = 1.181 млн. Видно, что повышение надежности обеспечивается за счет уменьшения ожидаемой прибыли. Соответственно, стремление к увеличению прибыли снижает надежность, т.е. появляется опасность понести убытки. Здесь иллюстрируется действие фактора готовность к риску.
Пример 6-4-а. Что получит страховщик? Нагрузка идет на ведение дела, поэтому учитываем только нетто-премию: 1.0710.8 = 0.857 млн. Его ожидаемые убытки равны рисковой премии: 13.60.050.9 = 0.608. Разность: 0.857 - 0.608 = 0.249 (40% от 0.608) - это рисковая надбавка. Она и составляет ожидаемую прибыль страховщика. Его потери при страховом случае: (- 12.24 + 0.863 = - 11.377 млн.) с вероятностью 0.05. А если случая не будет, страховщик заработает нетто-премию 0.863 с вероятностью 0.95. Понятно, что страховщик тоже просчитал эти варианты и может потребовать не уменьшения, а увеличения доли ответственности страхователя (банкира) до 30%. В качестве самостоятельного упражнения предлагается проанализировать этот договор и его последствия для сторон. Пример 6-5. Ранее указано на возможность несовпадения оценок вероятности страхового случая. Пусть страховщик оценил эту вероятность не в 0.05, а в 0.1. Если договор заключен на этих условиях, то брутто-ставка в договоре о полной защите равна: 0.11.4/0.8 = 0.175. Для суммы 13.6 взнос составит: 13.60.175 = 2.38 млн. Ожидаемая прибыль банкира: 13.6 - 10.6 - 2.38 = 0.62 млн. Уменьшилась в 4 раза по сравнению с отсутствием договора (п.2). Пример 6-5-а. Если договор предусматривает пропорциональную ответственность страховщика на уровне 80%, то взнос: 1.360.80.11.4/0.8=1.904, ожидаемая прибыль: 13.60.9 - 10.6 - 1.904 - 13.60.20.1 = - 0.53 млн. (убыток!). Но убыток может быть значительно выше: 13.60.8 - 10.6 - 1.904 = - 1.62 млн. (с вероятностью 0.1). Видно, что при этой оценке вероятности страхового случая банкир должен стремиться к полной страховой защите. Можно определить предел собственной ответственности, при котором банкир еще не будет в убытке при наступлении страхового случая. (Напоминаем, что мы игнорируем его издержки и налоги.) Во всех предыдущих примерах анализировался договор с единовременной премией. Рассмотрим модификацию договора с рассрочкой взносов по кварталам. Очевидно, надо учесть изменение цены денег и риск недополучения страховщиком всех взносов из-за наступления страхового случая, например, во втором квартале. Пример 6-6. При равномерном распределении вероятности страхового случая для каждого квартала вероятности равны: р/4 = 0.05/4 = 0.0125. Это позволяет найти вероятности отсутствия страховых случаев по кварталам: 0.9875;
0.975;
0.9625. При простой процентной ставке 6% годовых коэффициенты дисконтирования для второго, третьего и четвертого взносов равны: 1/1.015;
1/1.03;
1/1.045 соответственно. Надо определить номинальный ежеквартальный взнос п, современная цена которого равна цене единовременной брутто-премии П (1.19 млн.) п + п0.9875/1.015 + п0.975/1.03 + п0.9625/1.045 = п3.8406 п3.8406 = 1.19;
п = 1.19/3.8406 = 0.310 млн. Отметим, что общий номинальный взнос равен: 40.31 = 1.24, что несколько превышает единовременную премию 1.19. Более того, современная цена этих 4-х взносов: п(1 + 1/1.015 + 1/1.03 + 1/1.045) = п3.913 = 0.313.913 = 1.213 Это несколько больше единовременной премии (из-за риска недополучения всех взносов), но несколько меньше суммы номинальных взносов (из-за изменения цены денег). Пример 6-7. Рассмотрим ситуацию, когда кредит возвращается не одним платежом ровно через год, а в виде нескольких платежей. Здесь возникает вопрос о процентах: когда и в каком размере они выплачиваются. Пусть кредит 10 млн. предоставлен на 1 год, но возвращается частями: через 5 месяцев 50% взятой суммы, еще через 4 месяца - 30% взятой суммы, через 3 месяца - последние 20% взятой суммы и все проценты за взятый кредит. Решение. Согласно теории процентной ставки /30/ первые 5 месяцев проценты наращивались на всю взятую сумму кредита. Наращенная сумма составила: 10(1 + 0.365/12) = 101.15 = 11.5. Из нее возвращено 5, остаток 6.5. За следующие 4 месяца эта сумма возросла до: 6.5(1 + 0.364/12) = 6.51.12 = 7.26. Из этой суммы возвращено 3, остаток 4.26 за последние 3 месяца увеличился до: 4.26(1 + 0.363/12) = 4.261.09 = 4.64, которые и должны быть возвращены кредитору (банку). Номинально банкир получит: 5 + 3 + 4.64 = 12.64. Ясно, что ранее возвращенные суммы могут быть использованы для предоставления нового кредита (и получения дополнительной прибыли). Однако, все происходящее за пределами анализируемого договора нас не интересует. Чтобы учитывать недополученную прибыль, ее надо внести в договор. Необходимо застраховать данный договор и проанализировать последствия для сторон. Разобьем период действия договора о кредите (и соответственно, о страховании) на три этапа. Если страховой случай произойдет в течение первого этапа, то банкир ничего не получит от своего клиента. Поэтому при полной страховой защите страховщик должен компенсировать все потери банкира. Каков размер этих потерь? Здесь требуется четкость в страховом договоре. Когда страховщик выплачивает компенсацию? Если фирма, взявшая кредит, потерпела крах и немедленно проинформировала об этом банк, который пришел к выводу о невозможности возврата кредита, и потому немедленно проинформировал о страховом случае страховщика, и в договоре предусмотрена немедленная выплата компенсации, то размер компенсации определяется по формуле: 10*(1 + 0.36t/365), где t - число дней с начала действия договора (в пределах первого этапа). Получив эту сумму, банк может пустить ее в оборот. Другая ситуация, если невозвращение первой части взятого кредита не считается неисправимым бедствием, а приводит к консолидации платежей и некоторым штрафным санкциям по отношению к должнику. Он лишь обязан полностью выполнить свои обязательства перед кредитором в конце года, консолидируя платежи (с учетом штрафа). И только, если в этот момент он не в состоянии возвратить сумму кредита плюс проценты плюс штраф, признается, что произошел страховой случай. У банка появляется возможность предъявить обоснованный иск о выплате страхового возмещения. Тогда считается, что исходная сумма 10 млн. предоставлена в кредит на 1 год под 36%, т.е. возмещается 13.6 млн. и из этого определяется страховой взнос. Отметим, что 13.6 12.64. Потому, что учитывается возможность инвестирования возвращенных средств на тех же условиях. (Страхование риска недополученной прибыли!) Пример 6-7-а. Для первого этапа вероятность страхового случая равна: 0.055/12 = 0.021. Потери равны 13.6. Если страховой случай произойдет во время второго этапа длиной в 4 месяца, (вероятность этого: 0.054/12 = 0.017), то банкир успеет получить первую выплату от своего клиента, т.е. его потери уменьшатся, так как полученную сумму он сможет инвестировать на тех же условиях. Итак, потери банкира: 13.6 - 5(1 + 0.367/12) = 13.6 - 51.21 = 13.6 - 6.05 = 7.55. Наконец, если страховой случай произойдет в течение третьего этапа (с вероятностью: 0.053/12 = 0.013), то потери банкира равны: 7.55 - 3 (1 + 0.363/12) = 7.55 - 31.09 = 7.55 - 3.27 = 4.28 Т.е. ту сумму, которую он должен был получить при возврате последней части кредита и всех процентов. Теперь остается найти математическое ожидание потерь банкира: 13.60.021 + 7.550.017 + 4.280.013 = 0.470. Это и есть рисковая премия. Далее находим нетто-премию: 0.471.4 = 0.658, и брутто-премию: 0.658/0.8 = 0.823. Видно, что этот договор о полной защите отличается от ранее рассмотренного договора. Разумеется, и здесь может быть условие о пропорциональной ответственности. Пример 6-8. Представляется интересным рассмотреть ситуацию, когда стороны договорились считать, что возвращенная сумма не может быть сразу выгодно инвестирована. Поэтому она приносит не 36%, а только 6%. И из этого рассчитывается размер компенсации и цена страховой защиты. Решение. При страховом случае на первом этапе ничего не меняется, т.е. размер компенсации 13.6. Но полученные 5 млн. за оставшиеся 7 месяцев превратятся в: 5(1 + 0.067/12) = 51.035 = 5.175, Поэтому потери банкира составят: 13.6 - 5.175 = 8.425 (вместо 7.55), что должно отразиться и на размере компенсации и на цене договора. Соответственно, если страховой случай произойдет в течение третьего этапа, то потери равны: 8.425 - 3(1 + 0.063/12) = 8.425 - 31.015 = 8.425 - 3.045 = 5.38 = 4.28 ! Здесь сразу видна порочность этого подхода, опирающегося на двойной стандарт, ущерб 13.6 получен на основе 36%, а далее учитывались 6%. Поэтому такой договор на практике вряд ли встретится. Пример 6-9. Что произойдет, если накопившиеся проценты будут возвращаться вместе с очередной частью основной суммы кредита? На первом этапе за 5 месяцев наращенная сумма кредита составит: 10(1 + 0.365/12) = 11.5, (включая проценты в размере 1.5). Возвращаются: 5 + 1.5 = 6.5. Остаток: 5. На втором этапе за 4 месяца этот остаток 5 превратится в: 5(1 + 0.364/12) = 5.6 (проценты 0.6). Возвращаются: 3 + 0.6 = 3.6. Остаток: 5.6 - 3.6 = 2.0. На третьем этапе: 2.0(1 + 0.363/12) = 2.18 возвращаются полностью. Теперь оцениваем риск страховщика. Если случай произойдет на первом этапе (с вероятностью 0.
021), то в конце года надо компенсировать банкиру потери в размере 13.6. При страховом случае на втором этапе ущерб уменьшается на величину возвращенной суммы (6.5) и проценты на нее до конца года. Поэтому с вероятностью 0.017 ущерб составит: 13.6 - 6.5(1 + 0.367/12) = 13.6 - 7.865 = 5.735. На третьем этапе (с вероятностью 0.013) этот ущерб еще уменьшится: 5.735 - 3.6(1 + 0.363/12) = 5.735 - 3.924 = 1.811. Суммируя, получим: 13.60.021 + 5.7350.017 + 1.8110.013 = = 0.2856 + 0.0975 + 0.0235 = 0.4066. (Выше отмечено, что в целях повышения своей конкурентоспособности страховщик имеет право, но не обязан, учесть современную цену, а не номинальную.) Современная цена этой суммы: 0.4066/1.06 = 0.384. Это - рисковая премия. Нетто-премия равна: 0.3841.4 = 0.537. Брутто-премия: 0.537/0.8 = 0.671. Таким образом, условия страхового договора зависят от условий договора о кредите. Исходя из этого, определяется риск страховщика, а, следовательно, и цена страховой защиты. В страховом договоре ответственность страховщика может быть уменьшена не только в виде пропорциональной ответственности, но и по правилу первого риска. Т.е. страховщик возмещает ущерб страхователя полностью, если этот ущерб не превышает страховой суммы. Иначе выплачивается только страховая сумма. Это другая форма участия страхователя в возмещении ущерба в обмен на снижение страховых взносов. Пример 6-10. Банкир и страховщик договорились о страховой сумме 7.0 млн. Рассмотрим ситуацию, когда страхового случая не было на первом этапе, но он произошел на втором. Следовательно, банкир успел получить первую часть возвращенного кредита. Сравним два ранее рассмотренных договора. Если банкир получил только часть основной суммы (5 млн.) без процентов, то его потери составили: 13.6 - 51.21 = 13.6 - 6.05 = 7.55 > 7.0, поэтому страховщик возместит только 7.0, следовательно, банкир недополучит 0.55 млн. А если после первого этапа банкир получил не только часть основной суммы, но и проценты, т.е. 5 + 1.5 = 6.5, то его потери составят: 13.6 - 6.51.21 = 13.6 - 7.865 = 5.735 < 7.0, поэтому будут возмещены полностью. (Понятно, что при страховом случае на первом этапе в обоих договорах будет возмещена лишь страховая сумма 7.0, а если страховой случай произойдет на третьем этапе, то ущерб компенсируется в полном объеме.) Разумеется, различие риска страховщика в этих двух договорах отразится и на тарифах. В первом договоре ожидаемый ущерб страховщика (а не банкира, так как защита - не полная!) составит: 7.00.021 + 7.00.017 + 4.28 0.013 = 0.147 + 0.119 + 0.056 = 0.322. Это и есть рисковая премия, на основе которой определяется нетто-премия и брутто-премия. Во втором договоре ожидаемый ущерб страховщика равен: 7.00.021 + 5.7350.017 + 1.8110.013 = 0.147 + 0.097 + 0.024 = 0.268. На основе этой рисковой премии находится тариф. Перечисленные примеры иллюстрируют лишь некоторые принципиальные моменты подобных договоров. На практике страховщик, заинтересованный в заключении договора, показывает потенциальному клиенту несколько альтернативных схем, с расчетами не только тарифов, но и возможных выплат в различных ситуациях, чтобы клиент, соизмерив свои стремления и возможности, выбрал наиболее приемлемый для себя вариант страховой защиты. 8.5. Предоставление скидки страхователю за многолетнее сотрудничество С целью создания устойчивой клиентуры этот прием часто практикуется на цивилизованном страховом рынке. Возможно, внешне это и выглядит, как демпинг, но в действительности таковым не является. Проанализируем этот процесс. Предположим, что речь идет о страховании дома. Договор заключается на 1 год, и по окончании этого срока стороны могут продлить его действие. Страховой взнос - единовременный (при заключении или возобновлении договора). Если экономическая ситуация стабильна, то инфляцией можно пренебречь. Для простоты иллюстрации считаем цену дома и характер страхуемого риска постоянными. Тогда рисковая премия каждый год - одинакова. Если объем портфеля также не претерпел существенных изменений, и не изменилось требование к надежности, обеспечиваемой собранной суммарной рисковой надбавкой, то и эта надбавка тоже постоянна. Соответственно, одинаковой должна быть и брутто-премия. Однако, страховщик предоставляет клиенту (у которого в первый год не было страхового случая!) скидку. Т.е. старый клиент за одинаковый договор платит меньше, чем новый. Причиной этого является, отчасти, большая предсказуемость старого клиента. Именно так это и объясняется страховым агентом своему клиенту. Но главная причина не в этом. Пример 7. Пусть в первый год клиент заплатил: рисковую премию + рисковую надбавку (40% от рисковой премии) + нагрузку на ведение дела (10% от тарифа). Т.е. он заплатил: 1.40/0.90 = 1.556 рисковой премии. Во второй год (т.к. у него не было страхового случая) ему при возобновлении договора предоставлена скидка. Дело в том, что в 1-й год рисковая премия пошла на то, чтобы уравновесить риски сторон, нагрузка использована на ведение дела, а рисковая надбавка (если суммарный ущерб был не больше среднего) отправлена в резерв. Это позволяет страховщику без ущерба для надежности (и для своей прибыли) взять с этого клиента не всю надбавку, а лишь часть ее, например, 90%. Тогда взнос составит: (1.0 + 0.40.9)/0.9 = 1.511 рисковой премии. Т.е. для него скидка составила: 1 - 1.511/1.556 = 0.029 или 2.9%. На третий год (при благополучном втором!) страховщик предоставляет еще большую скидку (он берет только 80% от надбавки). Тогда взнос составит: (1 + 0.40.8)/0.9 = 1.467 от рисковой премии. Т.е. меньше первоначального на: 1 - 1.467/1.556 = 0.057 или на 5.7%. И т.д. Здесь надо учесть, что на второй год страховщик добавил к оставшейся в его распоряжении рисковой надбавки в 40% еще 36%, а в 3-й год - еще 32%! Т.е. по справедливости он должен был во 2-й год (и далее!) вообще не брать рисковой надбавки с этого клиента. Тогда взнос того составил бы 1.111 рисковой премии (меньше на 40%!) Это слишком заметно. Страхователь может и задуматься. Понятно, что долголетнее сотрудничество выгодно, прежде всего, страховщику. Он не только получает надежного клиента, который его не подводит, но еще и за его счет повышает свою надежность. Но это выгодно и страхователю. Если он обратится к другому страховщику, то будет вынужден платить полный взнос. Поэтому, даже если страхователь - достаточно грамотный, он не сможет убедить страховщика предоставить ему большую скидку. Придется довольствоваться предложенной! А страховщик объясняет дело исключительно своей любезностью и расположением к этому конкретному клиенту. По аналогии, например, с договором о комбинированном страховании. Замечание. При обсуждении предоставленной скидки мы, в первом приближении, проигнорировали действие процентной ставки. Неистраченная рисковая надбавка не просто сохранилась, а еще и принесла определенный доход. Поэтому эффект усилился, следовательно, скидка должна быть еще больше.
8.6.
Особенности страхования космических рисков Книга Д.А. Медведчикова /17/ является продолжением предыдущих работ автора в этом направлении и содержит большой объем реальных данных, а также интерпретацию изложенных фактов. Поэтому книга интересна не только страховщикам-практикам, но и полезна в учебном процессе. В связи с этим целесообразно остановить внимание на примере расчета тарифа при страховании риска утери космического аппарата (17, с. 127). Пример 8. Число договоров: n = 15, (n1 = 3, n2 = 7, n3 = 5). Страховые суммы равны: S1 = 80, S2 = 60, S3 = 90 (млн. долл.). Общая страховая сумма: ni. Si = 3. 80 + 7. 60 + 5. 90 = 1110. Утерян один аппарат за 60 и один за 90, т.е. сумма выплаченных компенсаций: 60 + 90 = 150. Исходя из этого, автор книги, опираясь на убыточность страховой суммы, определяет страховую ставку: 150/1110 = 13.5135%. Далее автор, с учетом нагрузки в 15% и доходов страховщика в 2.5% определяет страховой взнос (точнее, тарифную ставку): 13.5135. 100/(100 - 15 + 2.5) = 15.444%. Однако, представляется, что формула - неточна! Должно быть: 13.5135. 100/(100 - 15 - 2.5) = 16.38%. Обсуждение. (Возможно, автор имел в виду нагрузку не 15%, а 10%). Однако, это можно считать лопечаткой. Более серьезным представляется принципиальный недостаток - отсутствие даже упоминания о рисковой надбавке, что приводит к излишне оптимистичным для страховщика результатам. Кроме того, сомнение вызывает сам подход, тем более, что несколько ранее (на стр. 122) автор приводит правильную формулу для оценки надежности аппарата. Отдавая должное квалификации автора книги и его компетентности в содержательной стороне вопроса, следует отметить, что с вероятностно-статистических позиций приведенная методика расчета тарифа содержит существенные неточности. Убыточность страховой суммы может дать хорошее представление о вероятности ущерба только при однородном портфеле большого объема. А в данном примере это условие не выполняется. Поэтому методика расчета должна быть иной. Для большей наглядности сначала мы проигнорируем различие страховых сумм и будем считать, что надежность аппаратов одинакова, т.е. характеризуется одной и той же (неизвестной) вероятностью. Тогда оценкой этой вероятности УpФ будет частость Уm/nФ. Если n и p малы, то возможна ситуация, когда m = 0, (т.е. m/n = 0). Создается иллюзия нулевой вероятности страхового случая (и соответственно, нулевой рисковой ставки!). Понятно, что в реальности так быть не может! В теории вероятностей и математической статистики есть задача построения доверительного интервала для генеральной доли /23, 27/. В частности, при m = 0, очевидно, что левая граница доверительного интервала есть 0, а правая граница (в соответствии с принципом практической невозможности событий, вероятность которых близка к 0, т.е. меньше, чем 1 - ), определяется из условия: P{ 0 < p < 1 - (1 - )1/n} = В данном примере n = 15, = 0.999 (из содержательных соображений для космического аппарата брать меньшую доверительную вероятность попадания в интервал нецелесообразно;
однако, далее это обстоятельство будет проанализировано). Тогда 1 - = 0.001, т.е. 0.0011/15 = 0.631;
1 - 0.631 = 0.369 = 37%. Итак, вероятность возникновения страхового случая может достигнуть 37%, и практически не может превзойти это значение. Нетрудно посчитать, что при нетто-ставке в 37% брутто-ставка составит: 37.100/(100-15-2.5) = 44.48%. Вряд ли страхователь согласится платить столь высокую цену! Придется прибегнуть к перестрахованию (о чем шла речь в книге, но без объяснения причин, тем более без иллюстрации на числовом примере). Но эти результаты получены в предположении об отсутствии страховых случаев в прошлом (m = 0). Посмотрим, как изменятся результаты, если страховые случаи раньше произошли (m = 2). Тогда доверительный интервал для вероятности определяется из формулы Бернулли. Алгоритм изложен, например, в кн. /23/. Пусть k число успехов при n испытаниях. Тогда функция распределения: F(m;
p) = P{k m} = C k = m k n p k (1 - p)n - k убывает с ростом p, так как ее производная отрицательна: dF/dp = C k = m k n kp k - (1 - p) m n n-k C k = m k n (n - k)p k (1 - p) n - k - = nC p (1 p)n m 1 < 0 Обозначим: m(p) наименьшее целое число, для которого: 1 - F(m(p);
p) 1 Ц. Тогда (m(p)-1) - наибольшее целое число, для которого: F(m(p) - 1;
p) <. Пусть: = 1 -. Представим в виде: = 1 + 2. Тогда с вероятностью имеем условие:
m m11 ( p) k m 2 ( p) Каждое неравенство решается на основе уравнения: y = m(p). Его решение относительно р обозначим: m -1(y). Тогда: p1 = m 1 ( k ) p m11 1 ( k ) = p2 Это двойное неравенство, задающее доверительный интервал для р, выполняется с надежностью не ниже (коэффициент доверия). При малом n решение этого двойного неравенства может быть найдено с помощью таблиц биномиального распределения /2/ (табл. 5.2). Например, k = 2, n - k = 13. = 0.95, = 0.975, = 0.995, 0.024 < p < 0.363 0.017 < p < 0.405 0.007 < p < 0.486. Видно, что правая граница стремительно смещается вправо при повышении требований к надежности. На практике это означает увеличение ставки при малой выборке, т.е. отсутствии (или недостаточности) информации о процессе. Некоторое неудобство использования указанных таблиц вызвано фиксированными значениями. Однако, это легко преодолевается с помощью, например, системы MathCAD, которая позволяет генерировать широкий спектр законов распределения. Для сопоставимости построим доверительные интервалы с m = 0. = 0.95, = 0.975, = 0.995, 0 < p < 0.181 0 < p < 0.218 0 < p < 0.298. Видно, что в зависимости от требуемой надежности нетто - ставка составляет от 18% до 30% даже при отсутствии страховых случаев в прошлом. При наличии 2-х случаев в тех же 15 испытаниях нетто - ставка существенно повышается и составляет уже от 36% до 49%. Замечание. Если правая граница доверительного интервала для генеральной доли характеризует нетто-ставку, гарантирующую определенную надежность, а точечная оценка Уm/nФ - рисковую ставку, обеспечивающую эквивалентность обязательств сторон, то их разность указывает рисковую надбавку. Очевидно, что в данном примере из-за малого объема выборки эта надбавка слишком велика. Поэтому крайне ограничена возможность использовать надбавку для повышения устойчивости страхования. Но приведенные расчеты позволяют оценить потребность в средствах! Обобщение. Рассмотрев ситуацию с однородными (в смысле одинаковых страховых сумм и вероятностей возникновения страхового случая) рисками, можно обобщить эту задачу в следующих направлениях:
- одинаковые вероятности, но разные суммы;
- разные вероятности, но одинаковые суммы;
- разные вероятности и разные суммы. Все эти задачи подробно проанализированы в кн. /10/. Вместе с тем следует отметить, что малые значения ni в данном примере затрудняют использование приема объединения разных субпортфелей в один портфель. Предложение. В данных обстоятельствах при определении тарифа представляется более целесообразным использовать идею подобного риска /6/. Одна составляющая соответствует ситуации с отсутствием страховых случаев в прошлом (например, при переходе на новую технику), а вторая - учитывает информацию о подобном риске (страховые случаи с предыдущими моделями). Разумеется, весовые коэффициенты придется пересчитывать после каждого запуска. Выводы. Полученные численные результаты объясняют некоторые моменты, отмеченные в книге /17/. В частности, наличие временного интервала, когда выплаты существенно превышали сборы, и страховщики терпели убытки. Это - следствие ориентации на убыточность страховой суммы при невозможности (или трудоемкости) количественно оценить характеристики объективного риска. Кроме того, высокие ставки вызывают сомнения в целесообразности страхования риска. А снижение тарифа достигается за счет рисковой надбавки, что отражается на устойчивости. Быстрое изменение конструкций также уменьшает объем выборки. Компенсировать это увеличением относительной надбавки нельзя. Поэтому приходится прибегать к перестрахованию (со всеми изложенными в книге последствиями).
9. 9.1.
Анализ поведения страховщика на страховом рынке Анализ однородного страхового портфеля с применением нормальной аппроксимации В одном из ранее рассмотренных примеров (о рисковой надбавке) страховщик не смог решить свои проблемы за счет средств, собранных в виде премий. Пример 1. Напомним: n=1000, p=0.1;
исследовать процесс. Решение. Показано: M(m)=np=100, D(m)=npq=90, m=9.49, тогда при =0.1 : P(m
но с дисперсиями это не так. Есть ковариация. Для анализа дисперсии (и процесса, в целом)надо выбрать аппроксимацию. Поскольку p=0.1 >>0, то применить закон Пуассона нельзя, но допустима нормальная аппроксимация. Однако, надо быть готовым к появлению неточностей, вызванных этим. Например, потерей хвостов нормального распределения, невозможностью принять отрицательные значения, погрешностями при замене дискретного распределения непрерывным, различием результатов при использовании локальной теоремы Лапласа и интегральной теоремы Лапласа и т.д. (Кстати, если ущерб фиксирован, т.е. общий ущерб в портфеле - кратен числу страховых случаев, то локальная теорема - предпочтительнее!). Наконец, есть и вычислительные погрешности. Это обстоятельство иллюстрирует сложность актуарных задач. В учебном курсе демонстрируется лишь принципиальный подход. На цивилизованном страховом рынке, в условиях жесткой конкуренции выигрывает тот, кто считает точнее! Итак, надо найти M(X), M(Y), M(Z) (и возможно, M(W) ). Для нормального закона распределения X N(, ) плотность:
f ( x) = 1 e ( x ) 2 ;
выполняется условие: + f(x)dx = 1 ;
+ M(x) = x f(x)dx = ;
тогда понятно, что при сужении интервала интегрирования до (0, n) интеграл от положительной функции уменьшится, поэтому математическое ожидание всего риска X будет несколько меньше, чем =np. Для дальнейшего нам понадобится x f(x)dx, при разных a, b.
a b Обозначим этот интеграл через J(a,b).Итак, установлено, что M(X) = J(0,n) np (но < np);
np + t npq M(Y) = J(0,np+np ) + (np+np ) np + np f(x)dx ;
= =J(0,110) + f(x)dx np + t npq M(Z) = J(np+np, np+t) - (np+np ) np + np f(x)dx = = J(110,117) - f(x)dx ;
x np.
t2 M(W) = J(np+t, n) =J(117, 1000). Для вычисления интеграла типа J сделаем замену переменных, традиционную при работе с нормальным распределением: t = b Тогда: x=np+t, dx=dt, t1=(a-np)/, t2=(b-np)/;
следовательно:
x a 1 t e t ( x ) dx = ( + t ) t t 1 e t2 dt = t2 t t 1 e dt + t + te t 1 t2 2 dt = [(t 2 ) (t 1 )] + te d 2 = 2 2 t 2 t t 2 21 = + e e 2 2 Итак, необходимо только вычислить t1, t2 и использовать свойства экспоненты и функции Лапласа.
1) M(X)=J(0, n)=J(0, 1000);
на практике: n>>np (1000>>100), и при большом портфеле n: np>> = npq (100>>9.49), поэтому t1 = (0-np)/ = -np/ = -100/9.49 =-10.53 < -5;
t2 = (n-np)/ = 900/9.49 = 95 >>5, т.е. Ф(t1) -1, Ф(t2) +1;
т.е. M(X) np = 100.
np + t npq 2) M(Y)= J(0, np+np ) + (np+np ) np + np f(x)dx = =J(0, 110) + f(x)dx = ?
t1=-np/=-10.53;
t2=np /=1.053;
Ф(t1)=-1;
Ф(t2)=0.708;
J=50(1+0.708) + 9.49/2.51 (e-55.1 - e-0.555) = =85.4 - 3.780.575 = 85.4 - 2.17 = 83.23;
f(x)dx = 1100.5(Ф(t) - Ф(np /)) = =55(Ф(1.79) - Ф(1.053)) = =55(0.9265 - 0.7077) = 12.034. Итак, риск страховщика после перестрахования составил: M (Y) = 83.23 + 12.034 = 95.26 < 100. 3) M(Z) = J(np+np, np+t) - 12.03 = J(110, 117) - 12.03. Здесь: t1 = 1.053;
t2 = t = 1.79;
J = 50(Ф(1.79) - Ф(1.053)) + 3.78(e-0.555 - e-1.602) = 50(0.9265 0.7077) + 3.78(0.575-0.201) = 10.94 + 1.77 = 12.71. Следовательно: M(Z) = 12.71 - 12.03 = 0.68. На практике необходимо указать, кто возмещает 110 - й случай. Поэтому: M(Z) = J(110.01 ;
117) - 12.03. Риск перестраховщика достаточно мал, что объясняется сравнительно большим n. Интересно, что суммарный риск страховщика и перестраховщика равен 95.26 + 0.68 = 95.94 < 100. Это из-за отказа от 100% -й надежности. Разность 4.06 должна составить необеспеченный риск. 4) M(W) = J(np+t, n) = J(116, 1000) = =50(1 - Ф(1.79)) + 3.78(e-1.602 - e-100) = 50(1-0.9265) + 3.780.201 = =3.68 + 0.76 = 4.44, т.е. M(W) = 4.44. Подведем итоги: 95.26 + 0.68 + 4.44 = 100.38 > 100. Несовпадение объясняется приведенными в начале раздела факторами. Отметим, что страховщик может рассчитывать на увеличение своей ожидаемой прибыли до 110-95.26 = 14.74 возмещений (7370). А за перестрахование придется заплатить всего 0.681.15 = 0.782 е.с.с. (391 у.е.), что вполне приемлемо! Разница зачисляется в резерв, что позволит в будущем обойтись без перестрахования (или повысить надежность, или снизить надбавку, повысив тем самым свою конкурентоспособность). Пример 4. Возможен (но на практике не используемый) УэкзотическийФ перестраховочный договор, где при m > np = 110 весь ущерб оплачивает перестраховщик, а страховщик, соответственно, от выплаты возмещения освобождается. Это приведет к тому, что средний риск страховщика уменьшится на 12.03 (т.е. составит всего 95.9412.03=83.81), а средний риск перестраховщика на столько же увеличится (и будет равен 12.71). Естественно, такая ситуация невыгодна обеим сторонам, т.к. существенно увеличивается риск перестраховщика и плата за него. Виден парадокс: при ответственности перестраховщика за 6 случаев (от 111 до 117), его ожидаемый риск составит 12.7! Кроме того, при приближении числа случаев к 110 (например, 109) у страховщика появляется заинтересованность в том, чтобы произошли еще 2 случая, т.к. если n > 110 (например, 111), то весь ущерб оплачивает перестраховщик! Это объясняет, почему такие договора не практикуются. Понятно, что можно установить нижнюю границу ответственности перестраховщика и не 110, тогда будет другая плата за договор. Перебрав все возможные варианты, стороны выбирают наиболее приемлемый. Отметим, что в принципе возможно выполнение расчетов и на локальной теореме Лапласа. Без использования ПЭВМ этот путь более трудоемкий, но при наличии соответствующих программ - возможен. Но результаты будут несколько иными. Пример 5. Составим вспомогательную таблицу, где указаны :
m 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 t=(m-np)/ 0 0.11 0.21 0.32 0.42 0.53 0.63 0.74 0.84 0.95 1.05 1.16 1.26 1.37 1.48 1.58 1.69 f(t) 0.3989 0.3965 0.3902 0.3790 0.3653 0.3467 0.3251 0.3034 0.2803 0.2541 0.2299 0.2036 0.1804 0.1561 0.1334 0.1145 0.0957 p(m)=f(t)/ 0.042 0.042 0.041 0.040 0.038 0.037 0.034 0.032 0.029 0.027 0.024 0.021 0.019 0.016 0.014 0.012 0. Для дальнейших расчетов понадобится еще одна таблица, где по строкам указана нижняя граница ответственности перестраховщика, а по столбцам - число фактически предъявленных требований (и соответствующие вероятности). Здесь внутри таблицы указано число страховых случаев, оплачиваемых перестраховщиком.
P(k=mФ) 0.042 0.042 mн \ mФ 100 101 100 1 2 101 1 102... 113 114 115 116 0.041 102 3 2 1 0.040... 103 4 3 2... 0.016 113 14 13 12 1 0.014 114 15 14 13 2 1 0.012 115 16 15 14 3 2 1 0.010 116 17 16 15 4 3 2 Для подсчета среднего риска перестраховщика при каждом уровне удержания (строке) найдем сумму произведений чисел в этой строке (объем передаваемого риска) на соответствующую вероятность, (например, нижняя граница равна 100): 0.0421 + 0.0422 + 0.0413 + Е + 0.01415 + 0.01216 + 0.01017 = 3.405. Это и будет ожидаемый риск перестраховщика, если его нижняя граница ответственности равна 100, а верхняя 116 (17 единиц). Получим соответственно: 3.405 2.927 2.491 2.097 Е 0.120 0.068 0.032 0.010 (Отметим, что в каждой строке эта сумма уменьшается на сумму вероятностей от этого столбца до последнего, например, первая сумма равна: 0.042 + 0.042 + 0.041 +Е+ 0.014 + 0.012 + 0.010 = 0.478;
следующая сумма на 0.042 меньше, т.е. 0.436 и т.д. Эти суммы : 0.478 0.436 0.394 0.353 Е 0.052 0.036 0.022 0.010 могут быть использованы для упрощения расчетов.) В частности, если ответственность перестраховщика от 111 до 116, то его средний риск равен 0.283, что несколько отличается от найденного ранее 0.24, что объясняется различием подходов в интегральной теореме Лапласа (для непрерывной случайной величины) и в локальной теореме (для дискретной величины). Замечание. Если нормальным законом аппроксимируется непрерывная случайная величина, например, общий объем убытка в портфеле, то интегральная теорема имеет традиционный вид, при этом интегрирование ведется по отрезку (a,b). Здесь не возникает никаких нюансов. Но иногда эту задачу модифицируют. Если ущерб фиксирован и одинаков, то можно оперировать числом страховых случаев. Задача становится дискретной. Общий объем выплат и величина запаса - кратны страховой сумме. Здесь возникает нюанс. Прежде всего, необходимость округления только в большую сторону. Кроме того, результаты можно получить не только по интегральной, но и по локальной теореме. P(m1 m m2) по локальной теореме определяется, как сумма (m2 - m1 + 1) слагаемых. А по интегральной теореме традиционная формула приводит к интегрированию по отрезку длиной (m2 - m1), т.е. на 1 короче. Естественно, результаты различаются. Этот эффект в теории вероятностей известен. И для его устранения отрезок интегрирования расширяют: (m1 - 0.5;
m2 + 0.5). Тогда расхождения существенно уменьшаются и сводятся к замене суммы интегралом. В качестве упражнения рекомендуется исследовать данный пример с указанным уточнением. Например, отрезок (110, 116) надо заменить отрезком (109.5;
116.5). Формулы и техника вычислений сохраняются. Но результаты несколько изменятся. 9.2. Пример комплексного решения основных актуарных задач (надбавка, начальный резерв, перестрахование, вероятность разорения) с использованием пуассоновской аппроксимации Пример 6. Пусть портфель состоит из 1000 договоров с одинаковыми вероятностями страхового случая 0.01 и страховыми суммами в 1 единицу страховой суммы. Решение. Нормальный закон неприменим, но возможна аппроксимация законом Пуассона, для которой получим: =np=10 e- = 0.0000454. Далее программа в цикле для k=0,1,2,... рассчитывает величины: k Pk. Pk, (Pk), (Pk) > 0.999. (Практическая Работа заканчивается при достоверность.) n = 1000, p = 0.01, = n*p = 10, e- = 4.54* 10 (-5) K 0 1... 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 Pk 4.5410-5 4.5410-4... 0.113 0.125 0.125 0.114 0.095 0.073 0.052 0.035 0.022 0.013 0.007 0.004 0.002 0. Pk 4.5410-5 5.010-4... 0.333 0.458 0.583 0.697 0.792 0.864 0.917 0.951 0.973 0.986 0.993 0.997 0.998 0. kPk 0 4.5410-4... 0.900 1.126 1.251 1.251 1.137 0.948 0.729 0.521 0.347 0.217 0.128 0.071 0.037 0. Из распечатки видно, что средний размер выплат равен 10 и что с вероятностью 0.58 фактический размер выплат не должен превзойти это значение. Пусть надбавка составляет 10%. тогда будет собрано в виде премий не 10 е.с.с., а 10+1=11 е.с.с. Это позволит поднять надежность до 70%. Однако вероятность разорения остается слишком большой (30%) что неприемлемо, а возможность повысить надбавку исчерпана из-за конкуренции. Поэтому компания вынуждена использовать собственные средства. Например, если начальный резерв составит 4 е.с.с., то он повысит надежность до 95%. Этого явно недостаточно. Но с другой стороны, начальный резерв уже составил 4/10 = 40% от собранных премий. Повышать его дальше нецелесообразно. Отметим, что за счет резерва в 7 е.с.с. можно повысить надежность до 99%. (Ранее отмечалось, что добиться 100% надежности практически невозможно. Для этого в данном примере нужен запас в 989 единиц, тогда можно обойтись без надбавки, но когда свои средства в 90 раз превышают собранные взносы, страхование теряет смысл бизнеса и превращается в благотворительность.) Итак, дальнейшее (после 95%) повышение надежности возможно только путем перестрахования. Рассмотрим различные варианты эксцедентного перестрахования. Пример 6-1. Перестраховщик берет на себя ответственность за те страховые случаи, обязательства по которым не в состоянии выполнить его клиент (основной страховщик), т.е. за случаи от 16 и далее. Здесь, в принципе, возможны варианты:
- повысить надежность до 0.99 - случаи 16, 17, 18;
- повысить надежность до 0.999 - случаи 16 - 21;
- повысить надежность до 1. - случаи 16,17,18,..., 1000. (ранее отмечалась принципиальная невозможность обеспечить 100% надежность, т.е. оплату возмещений всех N случаев). Сколько должен заплатить страховщик перестраховщику за перераспределение риска в каждом варианте? Для этого надо определить математическое ожидание ответственности перестраховщика. В первом варианте перестраховщику, возможно, придется выплатить :
- 1 е.с.с., если будет ровно 16 случаев (вероятность 0.0217) - 2 е.с.с. 17 0.0128) - 3 е.с.с. 18 0.0071) Имеем дело с тремя несовместными событиями, из которых может одновременно реализоваться не более одного. Поэтому МО выплаты равно: 10.0217 + 20.0128 + 30.0071 = 0.0686 Это и есть рисковая премия за перестрахование. На практике цена перестрахования также включает рисковую надбавку, но есть и скидка, точнее, комиссионные, которые платит перестраховщик своему клиенту (основному страховщику - цеденту) за то, что тот пришел именно к нему (не надо искать своего клиента). Обычный страховщик сам ищет своего страхователя. Будем считать, что относительная рисковая надбавка у перестраховщика (для рассматриваемого риска) составляет 15%. Он обязан обеспечить более высокую надежность, чем цедент (основной страховщик). Комиссионные составят 2% (от рисковой премии). Замечание. В реальности комиссионные предоставляются в процентах от тарифа (т.е. брутто-взнос уменьшается на процент этих комиссионных). Например, если доля нагрузки в тарифе страховщика составляет 8%, а комиссионные рассчитываются на этапе нетто-премии, то нетто-ставка перестрахования составит: 1 + 0.15 - 0.02 = 1.13 от рисковой ставки, а брутто-ставка равна: 1.13/(1 - 0.08) = 1.228 рисковой ставки. Если же эти 2% вычитаются на этапе брутто-ставки, то бруттоставка составит: 1.15/0.92 - 0.02 = 1.230 от рисковой ставки (несколько выше, как и следовало ожидать!). Есть еще один нюанс. Цедент оплачивает перестраховщику его брутто-премию. Возникает вопрос: из каких своих средств? (из своей нетто-премии или брутто-премии?). может ли он использовать для оплаты перестрахования собранную с портфеля нагрузку? (или часть ее?) Истрачена ли вся собранная им нагрузка? Расходы на ведение дела имели место. Но часть риска лушла! Поэтому резонно считать, что соответствующую часть прибыли (заложенную в нагрузку) цедент не заработал, т.е. эта часть нагрузки может быть использована для оплаты перестрахования. А как разделить между цедентом и перестраховщиком расходы на превентивные мероприятия? И соответствующую часть нагрузки? Есть и другие вопросы. Все это на практике решается не столько на математических принципах, сколько на конъюнктурных (рыночных, особенно, в современных российских условиях), с учетом ситуации на основном страховом рынке и на перестраховочном. Поэтому в рамках данного учебного курса эти вопросы не рассматриваются. Мы ограничиваемся расчетом нетто-премий и считаем, что цедент оплачивает нетто-премию перестраховщика из своей нетто-премии. В данном примере нетто-премия цедента составляет 1.10 его рисковой премии, а нетто-премия перестраховщика (после вычета комиссионных) равна 1.13 рисковой премии, которая одинакова (у цедента и перестраховщика). В /8, 11/, чтобы не загромождать пример, в начале предполагалось, что эти две составляющие (надбавка перестраховщика и его комиссионные цеденту) компенсируют друг друга. (Далее это упрощение подверглось критике). Итак, перестрахование одной единицы риска стоит дороже страхования этой же единицы риска в основном договоре. Понятно, что в этих условиях передать на перестрахование конкретный риск для цедента нецелесообразно. Поэтому он передает на перестрахование превышение потерь, т.е. ситуацию, когда в портфеле возникло больше страховых случаев, чем ожидалось. Согласно договору, перестраховщик оплачивает возмещение только по нескольким следующим страховым случаям. Вероятность большого отклонения числа произошедших страховых случаев от ожидаемого - достаточно мала, поэтому плата за перестрахование становится умеренной и приемлемой. Возвращаясь к примеру, получим: если рисковая премия в договоре о перестраховании случаев № 16 - 18 составила 0.0686 е.с.с., то нетто-премия равна: 0.06861.13 = 0.0775 е.с.с. Во втором варианте сумма несколько увеличится за счет случаев 19-21. К выплатам могут добавиться:
- 4 е.с.с., если будет ровно 19 случаев (вероятность этого 0.0037) - 5 е.с.с. 20 0.0019) - 6 е.с.с. 21 0.0009) получим: 0.0686 + 40.0037 + 50.0019 + 60.0009 = 0.0983 Аналогично, нетто-премия: 0.0983*1.13 = 0.1111. В третьем варианте расчеты по данной схеме достаточно громоздки, однако можно рассуждать иначе. Известно, что (kPk)==10. Поэтому искомая величина может быть представлена в виде: (k-15)Pk = (kPk) - 15(Pk) k=16,17,..., 1000 = (10-9.13) - 15 (1-0.95126) = 0.83 - 0.73 = 0.10 В данном примере цена перестрахования достаточно мала, поэтому возникает возможность переложить на перестраховщика весь риск сверх среднего (10 случаев) и расплатиться с ним за счет рисковой надбавки (то есть без привлечения своих средств). Если это пройдет, то своих денег вкладывать не придется (резерв не нужен). Более того, возможно, даже удастся получить прибыль или снизить рисковую надбавку, и тем самым, свой тариф (повысить конкурентоспособность). Теперь страховщик рассуждает иначе. Он собирает (исходя из принципа эквивалентности риска) суммарную премию в =10 е.с.с. А весь последующий риск хочет переложить на перестраховщика, который будет оплачивать случаи с 11 по 1000 и в среднем заплатит:
- 1 е.с.с. (11 случаев) (вероятность 0.1137) - 2 е.с.с. 12 0.0948 - 3 е.с.с. 13 0.0729 и т.д. Аналогично вышеизложенному получим: (10-4.58) - 10(1-0.583) = 5.42 - 4.17 = 1.25 Именно эту сумму 1.25 е.с.с. надо заплатить за перестрахование (в качестве рисковой премии). А нетто-премия составит: 1.251.13 = 1.4125 е.с.с. Конечно, хотелось бы ее полностью переложить на страхователя, назначив надбавку на безопасность в размере 14.5%, но из соображений конкурентоспособности придется часть этой суммы платить самому. А тогда, в среднем, страховщику не хватит собранных премий (11) на выполнение своих обязательств (10) и оплату услуг перестраховщика (1.41). Дефицит составит 0.4125 е.с.с. Он будет медленно, но верно разоряться. Поэтому страховщик вынужден пойти по пути удешевления перестрахования, то есть передать перестраховщику меньшую часть риска (за меньшую плату), а образовавшийся зазор закрыть своими средствами. Подразумевается, что если собранных средств достаточно для выполнения своих обязательств и оплаты перестрахования, то свои средства расходуются и пополняются так, что их величина, в среднем, не убывает. Итак, в данном примере, поскольку страховщика не устраивают ни вариант передачи на перестрахование всех случаев после 10 (из-за дороговизны), ни вариант передачи всех случаев после 15 (из-за необходимости иметь большой резерв), то остается перебрать промежуточные варианты и выбрать наиболее приемлемый. Пример 6-2. Напомним, что если страховщик оставляет себе риск до случая (m>) включительно, а все случаи (k > m) передает перестраховщику, то средний риск перестраховщика определяется по формуле:
m + (k m )Pk = (k Pk) m (Pk) = (k Pk ) m 1 (Pk ) n n n m 0 m 0 m +1 m + Чтобы не загромождать текст расчетами, приведем лишь сводные результаты: 11 12 13 14 страховщик оплачивает Плата 0.946 0.609 0.358 0.203 Случаи из своих средств Резерв 1 2 3 4 или передает перестраховщику Нетто-премии получены на основе рисковых премий: 0.837, 0.537, 0.317, 0.180 умножением на 1.13. Видно, что плата за перестрахование (при увеличении уровня собственного удержания) последовательно снижается (причем по нелинейному закону) на: 0.946 - 0.609 = 0.335;
0.609 - 0.358 = 0.251;
0.358 - 0.203 = 0.155. Для выбора оптимального варианта надо знать, под какой процент можно разместить свои свободные средства. Если 1 е.с.с., размещенная под процент, приносит доход больший, чем лэкономит на перестраховании, то надо сокращать свои средства. А иначе, наоборот, увеличивать свои средства, уменьшая оплату перестрахования. Это означает, что если цедент может разместить свои временно свободные средства под 34%, то ему целесообразно остановиться на варианте, где он удерживает за собой случаи до 11-го включительно, а весь последующий риск (начиная с 12-го) передает на перестрахование. Т.к. одна высвобожденная из резерва е.с.с. позволит компенсировать плату за перестрахование. Если процентная ставка (при размещении своих средств) составит от 25% до 33%, то целесообразно увеличить уровень собственного удержания до 12 случаев. Следующее изменение политики при 16% < i < 25%, и т.д. Замечание. В таблице указана величина начального резерва, однако, в него включен остаток от надбавки после оплаты услуг перестраховщика. Поэтому собственные средства страховщика, вложенные в резерв, несколько меньше, они соответственно равны: 0.946, 1.609, 2.358, 3.203. Следовательно, при оценке эффективности своих возможных инвестиций страховщик в знаменатель помещает не всю величину резерва, а только свой вклад в резерв, например, (0.946 - 0.609) / (1.609 - 0.946) = 0.335/0.663 = 0.51 = 51%. То есть границы процентных ставок, определяющие различные стратегии поведения, несколько изменятся. Замечание. Разумеется, в практических задачах не обязано быть целым числом. Более того, относительная рисковая надбавка не обязана быть достаточно круглой, как и объем портфеля. Тогда возникают некоторые нюансы. Их следует учесть, потому что иначе неточности могут привести не только к техническим ошибкам, но и к неверным, в принципе, выводам. Покажем некоторые моменты. Прежде всего, собранные нетто-взносы, как правило, не кратны страховой сумме, выплачиваемой при наступлении страхового случая. Но здесь округление промежуточных результатов до целого иногда необходимо (надо обеспечить выплату возмещения для 13 случаев, а не для 12.7), а иногда недопустимо (нельзя проигнорировать возникшую возможность увеличить резерв на 0.3 е.с.с.). В примере расчеты выполнены с точностью до 0.001, этого достаточно для подобного учебного примера, но на практике может потребоваться более высокая точность. В /8, 11/ рассмотрен комплексный пример, где приведены некоторые отклонения от рациональных условий договора, близких к реальным. В частности, показано, что если перестраховщик назначит слишком маленькую надбавку (причины снижения надбавки для повышения конкурентоспособности и последствия аналогичны ситуации у основного страховщика), то возможна ситуация, когда перестрахование станет дешевле страхования, тогда цедент может собрать взносы, передать риск перестраховщику, а прибыль оставить себе. Ясно, что это - нереально. Поэтому в учебном курсе проиллюстрировано соотношение между надбавками у цедента и у перестраховщика. Показано, что надбавка перестраховщика всегда выше, но соизмерима с надбавкой цедента. Иначе нет риска, который можно перестраховать на этих условиях. Пример 7. Пусть =6.4, надбавка 10%, тогда всего собрано взносов 6.41.1 = 7.04. Это позволяет выплатить возмещение до седьмого случая включительно. Если страховщик оставляет себе риск до шестого случая включительно, а все следующие (начиная с седьмого) передает на перестрахование, то для оплаты услуг перестраховщика он располагает суммой 7.04 - 6 = 1.04, которой более, чем достаточно. Здесь важно отметить, что страховщик может оставить себе риск меньше, чем собранная рисковая премия, (6 < 6.4), однако, в этом примере (где страховые суммы у всех страхователей одинаковы) оставляемый риск СравенТ числу страховых случаев, поэтому должен быть целым числом. Оставленный риск может быть равным даже 5, выгодно ли это страховщику - другой вопрос! Итак, =6.4 означает только, что в среднем за много лет ежегодная выплата возмещений составит 6.4 е.с.с., но величина резерва и плата за перестрахование зависят от лишь косвенно, через величины оставляемого и передаваемого риска. Учитывая все изложенное, ясно, что нецелесообразно округлять собранную сумму взносов 7.04 до 7. Даже при том, что малая разность 0.04 не должна привести к принципиальным расхождениям. Пример 8. Возможна и другая ситуация =12.4, тогда 1.1=13.64, и если страховщик оставляет себе риск до 12-го случая включительно, то у него остаются средства в размере 13.64 - 12 = 1.64, а не 1.0. Это расхождение может привести к принципиальным расхождениям. Например, суммы 1 недостаточно для оплаты договора о перестраховании, следовательно, страховщик обязан создать начальный резерв из своих средств, то есть отвлечь в резерв определенную сумму, которую он мог бы выгодно инвестировать. А остатка 1.64 ему вполне достаточно для покупки перестраховочного договора (возможно, даже при более высокой надежности) поэтому он не станет создавать резерв и нести убытки из-за этого. Если актуарий Уне заметитФ этого различия, он нанесет убыток компании (и своей репутации). Очевидно, противоположная ошибка (рекомендация отказа от создания начального резерва при наличии объективной необходимости в нем) может привести страховую компанию к катастрофе. Замечание. В данном примере до сих пор неявно предполагалось, что страховщик оставляет себе риск до среднего, а передает на перестрахование риск выше среднего. Более того, расчеты показали, что страховщику может недоставать рисковой надбавки для оплаты договора о перестраховании. Тогда он вынужден сдвигать вправо границу передаваемого риска (левую границу зоны ответственности перестраховщика). А зазор между риском, покрываемым за счет собранных премий, и риском перестраховщика необходимо закрыть за счет своего резерва, то есть вложить свои средства. Но ведь никто не запрещает страховщику передать на перестрахование и часть риска до среднего. Идея такого подхода в том, что высвобождаемых средств страховщика может быть больше, чем увеличение платы за перестрахование. Тогда будет возможным оплата перестраховочного договора за счет собранных взносов. Следовательно, отпадет необходимость в создании своего резерва. Требуется только соответствующее актуарное обоснование такого решения. Пример 9. Вероятность неразорения 0.9. Цена перестрахования при передачи страховых случаев от 10-го до 14-го включительно составит:
(k 9)Pk = k Pk 9 Pk = (1.251 + 1.251 + 1.137 + 0.948 + 0.729) 10 10 9 (0.125 + 0.114 + 0.095 + 0.073 + 0.052) = 5.036 9 0.459 < 1. А у страховщика остается 11-9=2 е.с.с. Он может оплатить договор и у него еще останется сумма: 2-0.905=1.095. Если он передает и 9-й страховой случай, то после соответствующих расчетов видно, что у страховщика останется 1.418 е.с.с. - больше, чем в предыдущем случае. Получается, что чем больше риска страховщик передает на перестрахование, тем в большем выигрыше он остается. Конечно, перестрахование стабилизирует ситуацию, значительно снижает риск разорения, способствует снижению своих резервов. Но с точки зрения здравого смысла возникает некоторое противоречие. Не должно быть так, что чем меньше риск, тем больше прибыль. Следовательно, в наших рассуждениях допущена ошибка. Очевидно, назначенная нами произвольно рисковая надбавка внесла свой вклад в получение этих парадоксальных результатов. Мы предположили, что у перестраховщика комиссионные компенсируют его надбавку. На практике, наверное, не вполне, то есть перестрахование стоит несколько дороже. В дальнейшем будет показано, что рисковая надбавка в перестраховании при одинаковой рисковой премии несколько выше, чем в обычном страховании. Например, в страховании надбавка 10%, в перестраховании 15%, а комиссионные 2%, то есть у перестраховщика остается еще 3%. Это связано с тем, что на перестрахование передаются в основном, большие риски. Наконец, в практическом страховании есть целый ряд факторов, влияющих на выбор стратегии поведения на страховом рынке. Мы в нашем примере этого учесть просто не в состоянии.
Прежде всего, это относится к соотношению (на практике) между стремлением к получению максимальной прибыли и готовностью к риску. Наличие конкуренции приводит к тому, что зазор между ценой страхования и ценой перестрахования постоянно сужается. Следовательно, передавая риск, страховщик одновременно передает перестраховщику и соответствующую прибыль (а не только часть собранных взносов). Если страховщик не будет рисковать, он ничего не заработает. Тем не менее, данный пример достаточно поучителен. Нельзя отказываться от варианта решения задачи только потому, что он на первый взгляд представляется бесперспективным. Необходим тщательный просчет всех допустимых в принципе вариантов, так как различие между оптимальным вариантом и Упросто хорошимФ может быть достаточно велика. 9.3. Обсуждение проблемы выбора аппроксимации биномиального распределения нормальным законом и распределением Пуассона Из теории вероятностей известно, что при большом числе испытаний биномиальное распределение можно аппроксимировать:
- либо нормальным законом, если вероятность не очень мала (p>0.1);
- либо законом Пуассона для редких событий (p < 0.01). Естественно, одновременно использовать обе аппроксимации нельзя, кроме того, не вполне ясно, как быть, если 0.01< p < 0.1. Феллер /27./ утверждает, что при достаточно большой интенсивности потока Пуассона ( > 20) это распределение можно успешно аппроксимировать нормальным законом. Проверим, как работает подобный прием для меньших значений интенсивности. Пример 10. В предыдущем разделе приведен комплексный пример, где n = 1000, p = 0.01, тогда = 10, и рассчитаны: P(k) и P(0 P(k<15)=Ф(1.74)=0.918; P(k<18)=Ф(2.69)=0.993; P(k<21)=Ф(3.64)=0.9997. Сравнение результатов показывает хорошее совпадение только вблизи практической достоверности, а по мере удаления надежности от этого значения погрешность растет. На практике задача решается в обратном направлении, т.е. задается надежность и по ней определяется, сколько страховых случаев надо обеспечить. На основании этого рассчитывается надбавка и резерв, а также обосновывается выбор перестраховочной программы. Поэтому необходимо соблюдать осторожность при подобной процедуре. Проиллюстрируем это. При рассмотрении поведения страховщика на рынке применялась нормальная аппроксимация биномиального распределения, так как вероятность наступления страхового случая р = 0.1 >> 0. Однако, часто значение р значительно ближе к 0, например, 0.01, тогда нормальная аппроксимация некорректна. Необходима аппроксимация Пуассоновским законом. Соответственно, изменится методика исследования. Рассмотрим пример. Пример 11. Пусть n = 400, p = 0.01, S = C = 2000. При наступлении страхового случая выплачивается страховая сумма полностью. Проанализировать ситуацию. Решение. Тогда np = 4, pS = 20. Итак, рисковая премия (РП) равна 20, а параметр потока Пуассона 4. Собранная со всего портфеля рисковая премия: nРП = 40020 = 8000 обеспечивает выплату возмещений, если число страховых случаев не превышает 4-х (m 4, т.е. m = 0,1,2,3,4). Рассчитаем вероятность выполнения страховщиком своих обязательств в этой ситуации. Эти вероятности либо рассчитываются непосредственно, либо берутся из таблицы распределения Пуассона. Pr(m) = 0.0183, 0.0733, 0.1465, 0.1954, 0.1954; а их сумма 0.6289 (около 63%). Очевидно, это не может устроить ни самого страховщика, ни Страхнадзор. Страховщик может повысить свою надежность с помощью следующих четырех основных рычагов: рисковой надбавки (РН), резерва (Р), перестрахования (П) и прибыли от инвестирования временно свободных средств (И). Последнее позволяет ему опираться на более высокую процентную ставку и за счет этого либо снизить тариф, либо сначала увеличить резерв, с помощью него повысить свою надежность, и уже в результате этого снизить свой тариф. Однако, в данном примере мы не будем рассматривать такую возможность, т.е. ограничиваемся только первыми тремя рычагами. Итак, предположим, что страховщик назначил относительную надбавку 25%. Тогда его нетто-премия (НП) составит: 201.25 = 25. А со всего портфеля он соберет: 40025 = 10000, что позволит ему выплатить 5 возмещений (Pr(m=5)= 0.1563). Следовательно, надежность страховщика повысилась на эту величину и достигла значения: 0.7852 (около 78.5%). Полученный результат еще нельзя считать удовлетворительным, поэтому страховщик хочет еще повысить свою надежность. И, прежде всего, анализирует возможность сделать это за счет рисковой надбавки. Если он сможет назначить (и получить со своих страхователей!) относительную надбавку в 50%, то соберет со всего портфеля 12000, что обеспечит ему надежность: 0.7852 + 0.1042 = 0.8894 (около 89%). Но надо считаться с реальностью. С одной стороны, страхователи не согласятся столько платить, поэтому они уйдут к другому страховщику, у которого более низкие тарифы. (Например, это может быть более крупная компания; вопрос влияния объема портфеля на размер относительной рисковой надбавки подробно рассмотрен в соответствующем разделе.) А с другой стороны, Страхнадзор не удовлетворен столь низкой надежностью, он требует ее повысить, как минимум, до 94%. Следовательно, надо накапливать сумму Пуассоновских вероятностей до тех пор, пока это (заданное Страхнадзором) значение не будет впервые превышено. Очередное значение: 0.0595 позволяет повысить надежность до 0.8894 + 0.0595 = 0.9489. Это означает, что страховщик должен обеспечить выплату семи возмещений. Поэтому ему необходим резерв для оплаты двух возмещений, т.е. 4000 у.е. Если же Страхнадзор потребовал обеспечить надежность 0.99, то процесс накопления вероятностей продолжается. Следующие значения вероятностей: 0.0298, 0.0132 вместе позволяют повысить надежность еще на 0.0430, т.е. достичь надежности 0.9919. Только теперь требуемый Страхнадзором уровень впервые превзойден, поэтому страховщик должен опираться именно на данную ситуацию. Итак, страховщик должен обеспечить выполнение своих обязательств, если m = 0,1,2, Е, 7,8,9. Из этого он может за счет взносов (НП) выплатить лишь 5 первых возмещений. Предположим, что он может иметь резерв 4000, которого достаточно для выплаты еще двух возмещений (m = 6,7). Здесь следует выразить сомнение, что страховщик (такая сравнительно небольшая компания) может позволить себе иметь резерв, почти равный собираемой суммарной НП. Однако, временно абстрагируемся от этого сомнения. Тогда оставшиеся страховые случаи (m = 8, 9) необходимо передать на перестрахование. Пример 12. Следовательно, надо найти цену этого перестраховочного договора. Различное число страховых случаев - это несовместные события, поэтому: 2000(10.0298 + 20.0132) = 112.4. Это - рисковая премия за данный перестраховочный договор. Тогда нетто - премия в этом договоре, учитывающая рисковую надбавку перестраховщика (она всегда выше, чем у цедента!), например, 40%, составит: 112.41.4 = 157.36, а соответствующая брутто-премия (при нагрузке у перестраховщика: 10% от его тарифа) составит: 187.36/0.9 = 174.8. Это и есть цена данного перестраховочного договора. Если предположить, что страховщик может позволить себе отвлечь в резерв еще 2000 у.е. (для оплаты 8-го страхового случая), то на перестрахование передаются лишь случай № 9. Тогда рисковая премия в таком договоре составит: 200010.0132 = 26.4 Соответственно, неттопремия: 26.41.4 = 37, а брутто-премия: 37/0.9 = 41.07. Следовательно, страховщику надо решить, что для него предпочтительнее: отвлечь дополнительно в резерв 2000, или безвозвратно потерять: 174.8 - 41.1 = 133.7. (около 7% от 2000). Очевидно, его решение будет зависеть от процента, под который можно инвестировать эти 2000 у.е. Пример 13. Теперь рассмотрим более крупную компанию (n = 2500), работающую с теми же рисками (p = 0.01, S = C = 2000). Решение. Тогда np = 25 > 20, что позволяет (см. Феллер /27/) использовать нормальную аппроксимацию Пуассоновского распределения: Pr(X < k |) = Ф((k + 0.5 - )/ ) = Ф((k - 24.5)/5) Для сравнения используем те же значения вероятностей Ф(t): 0.78, 0.89, 0.94, 0.99. Получим соответствующие значения t: 1.23, 1.55, 1.88, 2.58. Найдем k (с округлением в большую сторону): 31, 33, 34, 38. Собранной суммарной нетто-премии: 252500 = 63500 достаточно для выплаты возмещений по первым 31 случаю (и еще останется 500). Поэтому, если ориентироваться только на резерв, то потребуется соответственно: 3500, 5500, 13500. Наверное, компания может позволить иметь резерв 5500 (8% от собираемой нетто-премии - хорошее соотношение). Возможно, она даже в состоянии обойтись своими средствами, не прибегая к перестрахованию (ведь 13500 составляют всего 21% от собираемой нетто-премии, что вполне приемлемо). Однако, эти собственные средства компания могла иметь после некоторого периода успешной работы на страховом рынке (например, за счет неиспользованной собранной ранее суммарной рисковой надбавки). Пример 14. Предположим (для иллюстрации), что страховщик не может себе позволить иметь больший (чем 5500) резерв. Поэтому он вынужден обратиться к перестраховщику. Исследовать ситуацию. Решение. На перестрахование передаются случаи: 35, 36, 37, 38. Согласно вышеприведенной формуле можно найти вероятности: Pr(m < 35) = Ф((35 + 0.5 - 25)/5) = Ф(2.1) = 0.9643 (около 96.5%). Pr(m < 36) = Ф(2.3) = 0.9786; Pr(m < 37) = Ф(2.5) = 0.9876; Pr(m < 38) = Ф(2.7) = 0.9931; Pr(m < 39) = Ф(2.9) = 0.9963. Теперь можно найти вероятности: Pr(m = 35) = 0.9786 - 0.9643 = 0.0143; Pr(m = 36) = 0.9876 - 0.9786 = 0.0090; Pr(m = 37) = 0.9931 - 0.9876 = 0.0055; Pr(m = 38) = 0.9963 - 0.9931 = 0.0032. А далее (аналогично предыдущему примеру) можно найти математическое ожидание выплат перестраховщика, (в зависимости от объема переданной ответственности), и определить, тем самым, рисковую премию, а затем нетто-премию и брутто-премию. Сравнив различные варианты, выбираем наиболее приемлемый. Замечание. Сравнение этих трех примеров показывает принципиальную возможность использования различных методик при исследовании страхового портфеля. Данное соображение и лежит в основе двух основных подходов: индивидуальных и коллективных моделей, которым посвящены соответствующие разделы. 9.4. Закон Пуассона и экспоненциальное распределение. Их использование в страховании. Для страхования свойственно, что имеется большое число однородных договоров, в каждом из которых вероятность наступления страхового случая мала и одинакова. Поэтому вероятность сложного события, состоящего в том, что число страховых случаев примет фиксированное значение, может быть рассчитана не по точной формуле Бернулли, а по приближенной - формуле Пуассона. Закон Пуассона для распределения количества страховых случаев широко используется в страховании, например, в имущественном. Pr(m=k) = e- k/ k! Если число случаев подчинено закону Пуассона с параметром, то время между двумя последовательными событиями подчиняется экспоненциальному закону с тем же параметром. При этом вероятность того, что время между двумя последовательными событиями не превзойдет x, определяется по формуле: F(t F (x) f(x) 1/ x 1/ x (Рис. 9.1.) (Рис. 9.2.) Поскольку площадь под кривой плотности равна 1, то с ростом левая граница фигуры поднимается, но кривая убывает более круто. При x кривая асимптотически приближается к горизонтальной оси. (Рис. 9.3.). P(m= k) 2(1, 2) 1 k Рис. 9.3. Верно и обратное утверждение, если время между двумя последовательными событиями подчиняется экспоненциальному закону, то число событий за единицу времени подчиняется распределению Пуассона с тем же параметром. С увеличением распределение Пуассона приближается к нормальному, что позволяет упрощать расчеты. Феллер утверждает /27/, что при > 20 справедлива приближенная формула: Pr(x< k/) = Ф((k+0.5-)/ ) Здесь учитывается, что M(k) = D(k) =. Это приближение может быть использовано для оценки вероятности разорения, а следовательно и для определения рисковой надбавки., полностью определяющего оба Оценка параметра интересующих нас распределения, может быть получена с помощью метода максимального правдоподобия. Закон распределения суммы n независимых случайных величин, имеющих экспоненциальное распределение (с одним и тем же значением параметра), называется законом распределения Эрланга (n-1) порядка. В частном случае при n=1 (n-1=0) получаем распределение Эрланга 0 порядка или экспоненциальное распределение. Для к-го порядка плотность: Pk(t)=e-t (t)k/ k! Видно, что при увеличении интенсивности форма кривой плотности распределения Пуассона приближается к нормальной плотности. При одинаковой длине отрезков нормальная аппроксимация точнее на отрезке, более удаленном от вершины распределения (моды). В. Феллер /27/ утверждает, что ошибка нормального приближения мала, если npq велико (это означает, что np велико). С другой стороны, при больших n и малых p, вероятность биномиального распределения b(k, n, p) хорошо аппроксимируется пуассоновскими вероятностями p(k, =np). При малых можно пользоваться только пуассоновскими приближениями, но с ростом появляется возможность как пуассоновского, так и нормального приближения. Поэтому возникает возможность нормальной аппроксимации пуассоновского распределения. В частности, используя формулу Стирлинга, можно показать, что для фиксированных, при : (k,) [()()] /2 ; + < k< + Из центральной предельной теоремы следует, что если случайные величины Xk подчиняются распределению Пуассона P(k,), то Sn=X1+...+Xn имеет распределение Пуассона P(k, n). Поэтому при n: (Pk + Е) = Ф(b) при k<+b0.5. Это утверждение справедливо при любом характере стремления к. Пусть Sm = X1+...+Xm, m имеет распределение Пуассона. Его математическое ожидание M(m)=t. Если все слагаемые подчинены одному и тому же распределению (f(i)), то Sm имеет обобщенное распределение Пуассона: {h i }t = e t (t ) /k! {fi } k k = [ ] k с производящей функцией: h t (S) = e Например, если число ударов молнии в любом интервале времени длительности t является пуассоновской случайной величиной с математическим ожиданием t, и (f(n)) - распределение вероятностей ущерба, причиненного одним ударом молнии, то при условии стохастической независимости суммарный ущерб за время t имеет обобщенное распределение Пуассона. Очевидно, что вместо удара молнии можно рассматривать страховой случай. Предположим, что страховщик заключил договор о перестраховании, по которому он отвечает за первый страховой случай, а перестраховщик за второй. Известно, что время ожидания очередного страхового случая распределено по экспоненциальному закону с параметром. Перестраховщика интересует момент наступления его ответственности. Найти закон распределения времени до наступления второго случая. Пусть Y1 - время ожидания первого случая, а Y2 - величина времени от первого до второго случая. Тогда время до второго случая Y=Y1+Y2. По условию Y1 и Y2 подчиняются экспоненциальному закону с плотностью: t<0 0, P(t) = t e, t > t + tf(S) Из независимости Y1,Y2 плотность распределения Y=Y1+Y имеет вид: PY1+ Y2 (t) = P Y (x) PY2 (t x) dx = e t PY2 (t x) dx если t x>t, то t-x <0, следовательно, P (t-x)=0. Тогда PY1+ Y2 (t) = e t x e (t x) dx = e t dx = (e t ) (t) = PY1 (t) (t) Использована процедура свертки функций. При оценке варианта перестрахования обе стороны интересует не столько вероятность попадания на заданный интервал, сколько вызванное этим значение затрат (математическое ожидание выплачиваемых страховых сумм), на основании которого определяется цена перестрахования. Точное значение этой величины равно: tп e k /k!k А на основании нормальной аппроксимации получим: x f(x)dx ( + tо t) f(t) dt = f(t)dt = t f(t) dt = P + M(t) t t/2. где f(t) = 1/( 2 ) e Итак: te t t/ dt = e t t/2 dt 2 /2 = e u du = e u d( u) = d(e u ) = tо tп tп = e u tо =e t2 tо tп Математическое ожидание: P + e л л e п п. Это и будет платой за перестрахование, если передается риск выплаты страхового покрытия для пострадавших клиентов с до включительно. Рассмотрим комплексный пример. Зададим =16 и =18. Сравним значение, вычисленное непосредственно (0.692), со значением, рассчитанным с помощью аппроксимации (0.501). Значение параметра =10 еще мало и не позволяет получить хорошую аппроксимацию. Сопоставление передаваемого риска и платы за перестрахование позволяет получить представление о целесообразности передачи перестраховщику риска в любом диапазоне (,). ( (t t )/ (t t )/ ) 9.5. Использование процедуры свертки в оценке общего ущерба Рассмотрим применение свертки в актуарных расчетах. Эта необходимость возникает в малых по объему и неоднородных по составу портфелях, когда нормальная аппроксимация еще неприменима. Пример 15. Портфель из четырех одинаковых договоров, согласно которым возможна (условно) компенсация полного ущерба в 2 е.с.с. с вероятностью 0.1 или частичного ущерба в 1 е.с.с. с вероятностью 0.1. Найти рисковую премию и нетто - премию в этом портфеле. Решение. С рисковой премией трудностей не возникает. Ожидаемый ущерб равен: 20.1 + 10.1 + 00.8 = 0.3. Следовательно, страховщик соберет суммарную рисковую премию 1.2, что позволит ему за счет взносов клиентов выплатить возмещение только для одного страхового случая с частичным ущербом. Для оценки устойчивости этого страховщика следует оценить распределение суммарного ущерба по всем четырем договорам. Есть 4 независимые одинаково распределенные случайные величины. При анализе будем последовательно переходить от одной величины к двум, затем от двух к трем, и т.д. Итак, для двух величин возможны 9 различных вариантов: X2 = 0 X2 = 1 X2 = 2 X1 = 0 0.64 0.08 0.08 X1 = 1 0.08 0.01 0.01 X1 = 2 0.08 0.01 0. Преобразуем эту таблицу в таблицу распределения новой случайной величины: X1 + X2. X1+X2 P 0 0.64 1 0.16 2 0.17 3 0.02 4 0. Теперь построим новую таблицу, добавив величину X3. P3/P(1+2) 0.8 0.1 0.1 0.64 0.512 0.064 0.064 0.16 0.128 0.016 0.016 0.17 0.136 0.017 0.017 0.02 0.016 0.002 0.002 0.01 0.008 0.001 0. Поэтому для распределения X1 + X2 + X3 имеем таблицу: (k) P(k) 0 0.512 1 0.192 2 0.216 3 0.049 4 0.027 5 0.003 6 0. Аналогично построим матрицу для присоединения X4. 0.4096 0.1536 0.1728 0.0512 0.0192 0.0216 0.0152 0.0192 0.0216 0.0392 0.0049 0.0049 0.0216 0.0027 0.0027 0.0024 0.0003 0.0003 0.0008 0.0001 0. Тогда распределение X1 + X2 + X3 + X4 имеет вид: 0 1 2 3 4 5.4096.2048.2432.0800.0481.0100 6.0038 7.0004 8. Накопленная вероятность соответственно равна: .4096.6144.8576.9376.9857.9957.9995.9999 1. Отсюда видно, что при собранной суммарной рисковой премии 1.2 вероятность неразорения составит всего 0.6144 (менее 62%), что недопустимо мало. Следовательно, необходимо включить в премию еще и рисковую надбавку. Если страховщик соберет суммарные взносы в размере 3 е.с.с., то он обеспечит вероятность неразорения около 94%, что вполне приемлемо. Отметим, что если страховщик будет ориентироваться на вероятность и захочет обеспечить вероятность неразорения не ниже 90%, то ему потребуется собрать те же 3 е.с.с. Этот результат означает, что премия должна составлять не 0.3 е.с.с., а 3/4 = 0.75 е.с.с., что недопустимо много. Клиент не согласится столько платить. (Нет смысла страховаться!) Если клиент согласен платить не 0.3, а 0.5, то собранные премии позволяют обеспечить надежность более 85%, что уже близко к норме. Здесь рисковая надбавка составляет 2/3 от рисковой премии. Многовато! Это - следствие малого портфеля и довольно высокой вероятности. Отметим, что этот же результат может быть получен с помощью другого аппарата, основанного на производящих функциях. f(z) = Zn P(n) Совпадение производящих функций двух случайных величин означает совпадение распределений этих величин. Это следует из разложения в ряд Тейлора: f(z) = Zn f(n) (0) / n!, P(n) = коэффициент при Zn. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины n с производящей функцией f(z) выражаются через производные этой 2 производящей функции в точке 1. : f (1) = M(n), f (1) = M n M [n ]; D[n ] = f (1) + f (1) [f (1)]. [] Производящая функция суммы двух независимых случайных величин равна произведению их производящих функций (см., например, Феллер). Итак: f(z) = 0.8z0 + 0.1z1 + 0.1z2. Тогда для суммы 4-х СВ: f1(z) f2(z) f3(z) f4(z) = (f(z))4 = 0.14 (8 + z + z2)4 = Е = = 10(-4) (4096 + 2048z + 2432z2 + 800z3 + 481z4 + 100z5 + 38z6 + 4z7 + z8). Отбирая коэффициенты при степенях z, получаем искомые вероятности (те же самые, которые получили ранее!). 9.6. Объединение дискретных рисков Проблема объединения рисков в страховом бизнесе занимает одну из ключевых позиций, и поэтому актуарии уделяют ей особое внимание. Идея базируется на естественном предположении, что если для однородного портфеля вероятность одновременной реализации большого числа страховых случаев пренебрежимо мала, то еще менее вероятно совпадение пиков выплат для различных портфелей (в условиях независимости). Поэтому создается возможность оперативного маневрирования резервами страховой компании. Это позволяет снизить свой начальный капитал без ущерба для надежности. Именно данное обстоятельство стимулирует компании расширять круг своих интересов и при этом пытаться вторгнуться в чужую сферу влияния в условиях жесточайшей конкуренции между страховщиками. Вопрос в том, успеет ли компания собрать значительную сумму страховых взносов прежде, чем на нее обрушится лавина требований о выплате возмещений. И, чтобы выдержать эту экстремальную нагрузку, необходимы резервы, которые были созданы раньше (в других группах договоров). Поэтому, планируя политику компании на страховом рынке, актуарий обязан не только рассчитать общий объем ожидаемых требований, но и оценить интенсивность потока требований на каждом отрезке времени. В идеале он стремится так спланировать процесс, чтобы развести пики выплат по разным рискам (частям портфеля). Разумеется, здесь можно проиллюстрировать лишь самые простые задачи этого комплекса, которые, однако, могут дать предварительное представление о проблеме. Рассмотрим случай слияния двух (или большего числа) компаний. Здесь возникает проблема объединения однородных рисков в один портфель. Преимущества более крупного портфеля достаточно подробно изложены выше. Поэтому в данном разделе рассмотрим технические вопросы этого объединения. В первую очередь нас будет интересовать, какие именно риски можно объединить на самых простых условиях. Пример 16. Первая компания имеет портфель (n1=400; p1=0.01; 1=4), а вторая: (n2=600; p2=0.01; 2=6) и (n3=200; p3=0.02; 3=4). Можно ли объединить первую группу договоров со второй или третьей? На что ориентироваться: равенство вероятностей или интенсивностей? (Свойства пуассоновских потоков УнеизвестноФ) 9.7. Однородные риски Пример 17. Очевидно, объединять ларифметически можно только однородные группы с одинаковыми вероятностями, то есть первую и вторую (p1= p2). Тогда в новой группе: n= n1 + n2 = 1000; = 1 +2 = 10. Рассмотрим первый субпортфель: n = 400 k... 4 5 6 7 8 9 10 11 p = 0.01 Pk... 0.195 0.156 0.104 0.059 0.030 0.013 0.005 0. Pk... 0.629 0.785 0.889 0.949 0.979 0.992 0.997 0. =4 kPk... 0.781 0.781 0.625 0.417 0.238 0.119 0.053 0. Аналогично можно получить значения вероятностей и для второго субпортфеля: n = 600 k... 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 p = 0.01 Pk Pk...... 0.161 0.606 0.138 0.744 0.103 0.847 0.069 0.916 0.041 0.957 0.023 0.980 0.011 0.991 0.005 0.996 0.002 0.9986 0.001 0. =6 kPk... 0.964 0.964 0.826 0.619 0.413 0.248 0.135 0.068 0.031 0. Страховщик вправе рассчитывать на повышение устойчивости компании при этом объединении. Предполагается, что можно снизить суммарный начальный резерв без ущерба для надежности (вероятности неразорения). Анализируя каждый из этих вариантов аналогично ранее рассмотренному примеру, получим для (600; 0.01; 6). Суммарные рисковые премии равны 6 и обеспечивают только 60% вероятность неразорения. Рисковая надбавка в 10% (0.6) не позволяет обеспечить выплату возмещения для 7-го случая. Если требуется обеспечить надежность 0.9 (что в реальности недостаточно), то необходим начальный резерв для выплаты возмещения в 7-м, 8-м, 9-м страховых случаях, т.е. 3 - 0.6 = 2.4 е.с.с. Аналогично, при надежности 0.95 требуется обеспечить выплату 7-10 случаев, т.е. нужен начальный резерв 3.4 е.с.с., а для надежности 0.99 (используемой на практике) обеспечение 7-12 случаев резерв 5.4 е.с.с. Для обеспечения сверхнадежности 0.999 потребуется резерв 8.4 е.с.с., чтобы оплатить требования 7-15. Для второй группы (400; 0.01; 4) получим аналогичные результаты. Собранная сумма рисковых премий обеспечит надежность менее 63% и оплаты первых 4-х случаев. Надбавка равна 0.4 и не обеспечивает 5-й случай. Для надежности 0.9 необходим резерв в 2.6 е.с.с. и соответственно: 0.95 3.6 0.99 4.6 0.999 6.6 Сравним сумму результатов по этим двум группам с результатами по лобъединенной группе. Надежность 0.9 0.95 0.99 0.999 сумма резервов 2.4+2.6=5 3.4+3.6=7 5.4+4.6=10 8.4+6.6=15 общий резерв 3 4 7 10 Таким образом, с точки зрения соотношения между надежностью и величиной резерва преимущества объединенного портфеля очевидны. Однако мы еще не анализировали перестрахование. Необходимо для каждого малого портфеля определить оптимальную политику перестрахования и сравнить сумму цен этих двух перестраховочных договоров с ценой договора о перестраховании для объединенного портфеля. Проведя выкладки аналогично группе (1000; 0.01; 10), получим. Для группы (600; 0.01; 6) (напомним, что передаваемый риск начинается со следующей единицы после последней удерживаемой): Надежность Удерживаются передаются 0.9 1Ц6 7-9 0.95 1Ц7 8 - 10 резерв 0 0.77 цена договора 0.62 0.42 и т.д. Например, при надежности 0.9 надо обеспечить оплату случаев: 7-9. Если передаются перестраховщика: 9 на перестрахование случаи (7-9), то риск Pk (k 6) = Pk k 6 Pk = 7 = (0.96 + 0.83 + 0.62) 6 (0.138 + 0.103 + 0.069) = 2.41 6 0.31 = 0. Рисковая премия за перестрахование 0.55, тогда нетто-премия 0.62. Оказывается, рисковой надбавки достаточно для оплаты договора о перестраховании. Идеальная ситуация для страховщика, но надежность слишком мала. Для надежности 0.95 передаются 7-10 случаи и сумма соответственно равна: 0.55 + (0.41 - 60.0413) = 0.71. Этой рисковой премии соответствует нетто-премия 0.80. Невозможно оплатить услуги перестраховщика за счет текущих взносов своих клиентов. А выплата разницы (0.80 - 0.6 = 0.20) из средств самого страховщика приводит к разорению компании, что не входит в ее планы. И надежность недостаточна. Поэтому страховщик передает перестраховщику только риски по случаям 8-10. Тогда: Pk (k 7) = (0.83 + 0.62 + 0.41) 7 (0.103 + 0.069 + 0.041) = = 1.86 7 0.213 = 1.86 1.49 = 0. Соответственно, для надежности 0.95 рисковая премия 0.37 означает нетто-премию 0.42 е.с.с. Следовательно, надбавки 0.6 достаточно для оплаты перестрахования, и для покрытия риска по 7-му случаю создается начальный резерв из своих средств: 7+0.42-6.6=0.82. Аналогичные расчеты для передачи на перестрахование случаев 9-10. Предположим, что с учетом процентной ставки наиболее рациональным является именно рассмотренный вариант, где создается резерв в 0.82, удерживаются риски 1-7 случаев и передаются риски 8-10 случаев. Видно, что перестрахование стабилизирует ситуацию. Далее можно рассмотреть вариант с надежностью 0.99 и для него выбрать оптимальное поведение. В реальности все эти методы запрограммированы, что позволяет указать итоговое решение, минуя промежуточные результаты. Теперь проанализируем перестрахование второго малого портфеля ( = 4). При надежности 0.9 оставляем риск 1-4, передаем 5-7, надбавка 0.4, риск перестраховщика: Pk (k 4) = k Pk 4 Pk = 5 5 = 0.78 + 0.63 + 0.42 4 (0.156 + 0.104 + 0.060) = 1.83 1.28 = 0. НП = 0.62. То есть надбавка не обеспечивает оплаты перестрахования и поэтому этот вариант не удовлетворительный. И надежность мала (этот вариант на практике бракуется сразу из-за надежности). Для иллюстрации продолжим рассмотрение вариантов с надежностью (0.9). Передаем только 6-7 случаи. Тогда риск перестраховщика: Pk (k 5) = k Pk 5 Pk = 6 6 = (0.63 + 0.42) 5 (0.104 + 0.060) = 1.05 0.82 = 0. НП = 0.26. Следовательно, надбавка позволяет оплатить перестрахование, но необходимо из своих средств создать резерв: 1- (0.4 - 0.26) = 0.86. Аналогично анализируется надежность 0.95. На основании предыдущего варианта ясно, что передавать 5-й случай нецелесообразно. Поэтому анализируем ситуацию передачи 6-8 случаев. Pk (k 5) = (0.63 + 0.42 + 0.24) 5 (0.104 + 0.059 + 0.029) = = 1.29 5 0.192 = 1.29 0.96 = 0. НП= 0.37. Тогда необходим начальный резерв: 1 - (0.4 - 0.37) = 0.97. Поскольку собранные рисковые премии составляют 4, а неттопремии равны 4.4, то дальнейшее увеличение резерва нецелесообразно. (Это можно и проверить.) Поэтому остановимся на данном варианте. В реальных расчетах на ПЭВМ введение подобных ограничений позволяет существенно уменьшить перебор вариантов. Итак, для потока ( = 4) результаты можно свести в таблицу: Надежность 0.9 0.95 Оставленные 1-5 1-5 переданные резерв риск перестраховщика 6-7 0.86 0.26 6-8 0.97 0. Объединив результаты по двум малым потокам, получим: Надежность Оставленные переданные резерв риск перестраховщика 0.9 5+6=11 12-16 0.86+0=0.86 0.62+0.26=0.88 0.95 5+7=12 13-18 0.77+0.97=1.74 0.42+0.37=0.79 В то же время для объединенного портфеля ( = 10) получим : Например, (k 11) Pk = (1.137 + 0.948 + 0.729) 11 (0.095 + 0.073 + 0.052) = = 2.814 11 0.220 = 2.814 2.42 = 0.394 0.39; (k 11) Pk = 0.394 + (0.521 11 0.035) = 0.915 0.385 = 0.53. Если РП=0.39, то НП=0.44, и для РП=0.53 НП=0.60 Итак: Надежность Оставленные переданные резерв риск перестраховщика 0.9 1-11 12-14 0.44 0.44 0.95 1-11 12-15 0.60 0.60 Собранной НП (11) достаточно для оплаты всех удерживаемых случаев (до 11-го включительно). Поэтому перестрахование оплачивается из резерва (величины совпали). Разумеется, такое совпадение - частный случай, но интересный! И в этом случае преимущества большого портфеля очевидны (и по цене перестрахования, и по величине резерва), причем по мере повышения надежности эти преимущества становятся все рельефнее. В качестве самоконтроля рекомендуется проверить это для вероятности неразорения 0.99. 9.8. Неоднородные риски При объединении групп с различными рисками (p1=0.01; p2=0.02) ситуация несколько усложняется, здесь возникает аналог схемы взаимного оказания услуг по перестрахованию. Идея в том, что в обеих группах пики выплат возмещений, как правило, приходятся на разные моменты времени. Это несовпадение и позволяет перекачивать средства из одного портфеля в другой, т.е. иметь меньший суммарный начальный резерв. Если дело происходит в рамках одной страховой компании, то не важно, где какой резерв создается, поскольку резервы - общие. И не важно, кто, кому, на какую сумму оказывает услуги, и каков риск каждой подгруппы. То есть ответственность первого портфеля по отношению ко второму может не совпадать с противоположной ответственностью. Совсем иначе обстоит дело в том случае, если две различные компании оказывают друг другу услуги по взаимному перестрахованию. Здесь есть только один очевидный (но практически не встречающийся) вариант с равной ответственностью. Если оба портфеля абсолютно одинаковы. n1=n2; p1=p2, тогда и 1=2. Во всех остальных случаях (n1n2 или p1p2 даже при 1=2) необходимо рассчитывать условия договора, обеспечивающие соответствие между передаваемыми друг другу рисками размерами оплаты этой передаваемой ответственности. И решение этой задачи не сводится к арифметической разности цен перестрахования. (Но в первом приближении, для оценки разбалансированности взаимных обязательств этот подход вполне приемлем.) Пример 18. Проиллюстрируем объединение двух пуассоновских потоков с различными значениями вероятностей p1 и p2. Есть два потока (500; 0.02; 10) и (400; 0.01; 4). Отметим, что распечатки этих двух потоков в отдельности ранее уже проанализированы: второй поток - явно, а первый имеет те же значения вероятностей, как и поток (1000, 0.01, 10), потому что в пуассоновских потоках все определяется значением параметра, а у этих двух потоков =10. Решение. Для первого известны вероятности P1(m1=k1), k1=0,1,2,..., 21; для второго, соответственно, P2(m2=k2), k2=0,1,2,..., 11. Последующие вероятности можно считать нулевыми. Составляем матрицу P1P2 размера 2111. А затем с помощью этой матрицы находим вероятности сложных событий. P(m1+m2 = k) = P((m1=k1)(m2=k2)), k1+k2=k. Например, если k=12, то следует учесть, что не имеет смысла рассматривать k2>11 (вероятность такого события практически равна 0). Тогда получим: P(m1+m2=12) = = P((m1=12)(m2=0)) + P((m1=11)(m2=1)) +... +P((m1=1)(m2=11)) = = 0.0950.018 + 0.1140.073 +... + 0.0190.030 + 0 + 0 = = 0.002+0.008+0.018+0.025+0.023+0.015+0.007+0.002+0.001 = 0.101 Итак, P(m1+m2=12)=0.101. Аналогично определяются все остальные вероятности. (Если теперь УвспомнитьФ, что для пуассоновских потоков можно просто складывать интенсивности, то получим: P(m=12/=14)= 0.098, расхождение объясняется округлениями на промежуточных этапах.) Целью данного примера была иллюстрация принципа объединения. Замечание. В непрерывном случае сумма превращается в интеграл, а вся операция получила название свертки функций /27/, которая широко используется в актуарных расчетах /6, 22, 24, 25, 26/. (Принцип свертки см. в Приложении.) Теперь можно определить более интересную для страховщика вероятность того, что число случаев в двух потоках вместе не превысит заданного числа, P(m1+m2 i=0,1,...,k. Это и есть вероятность неразорения. Пример 19. Для решения этой задачи сначала строится распределение в каждом субпортфеле отдельно. Далее можно составить таблицу, аналогичную таблице для одного потока, где будут указаны: k, P(m=k), P(m i = k Это позволит решить аналогичную задачу, то есть при различной надежности (вероятности неразорения) найти величину начального резерва и плату за перестрахование. Отметим, что числа внутри таблицы характеризуют плотность двумерного распределения. В частности, выделена диагональ: m1+m2=12. Просуммируем значения: 0.002+0.008+0.018+0.025+0.023+0.015+0.007+0.002+0.001=0.101 Аналогично определяются значения для других диагоналей, соответствующих общему числу страховых случаев: 11, 10, и т.д. Суммируем эти числа и получаем вероятность того, что число страховых случаев в объединенном портфеле не превысит 12. k1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 k2 P1/P2 0 0.002.008.019.038.063.090.113.125.125.114.095.073.052.035.022.013.007.004.002.001 0.018 1.073 2.146 3.195 4.195 5.156 6.104 7.059 8.030 9. 0.001 0.002 0.007 0.015 0.023 0.025 0.018 0.008 0. Замечание. Рассмотренные примеры показывают, что задача определения тарифов не является единственной для актуария. Это даже не основная его задача. Она занимает весьма небольшую часть его рабочего времени. И решается единовременно при установлении тарифов на следующий финансовый год. Здесь учитываются и собственные данные, и рекомендации Страхнадзора или актуарного центра. Сравниваются свои тарифы со средними на рынке и оцениваются позиции своей компании. Выводы по этому разделу актуарных исследований являются одним из факторов для выработки рекомендаций по политике компании на рынке. Но для решения этой (глобальной для компании) задачи более важной является оценка вероятности разорения компании и тесно связанная с этим оценка динамики активов. Данную задачу необходимо решать периодически, причем тем чаще, чем менее устойчиво положение компании. Актуарий обязан немедленно информировать правление компании о приближении величины активов к критическому рубежу, а также о выявленной устойчивой тенденции к снижению активов. При этом он обязан дать объяснение причин такого снижения и свои рекомендации по стабилизации. Активы могут снижаться вследствие определенных действий компании на страховом рынке (предпринятой попытке завоевания новой ниши и связанного с этим снижения цен на свои услуги, открытия филиалов на новой для себя территории, взятия на себя обязательств другой компании из-за объединения или по договору о перестраховании и т.д.). В таких случаях подобная тенденция предусмотрена при составлении соответствующего плана и тогда актуарию надо только следить за отклонениями фактического положения дел от прогнозируемого. Ситуация резко осложняется при возникновении непредусмотренной тенденции. Здесь особенно актуальны оперативная диагностика причин и выработка предложений по стабилизации. На практике это может быть вызвано, например, неоправданным принятием на страхование некоторых рисков. Естественно, очень важной является задача исследования зависимости вероятности разорения за определенный период от начальной величины резерва. Временной интервал в страховании может быть достаточно велик (несколько лет), но он всегда конечен, поскольку на бесконечном временном интервале любая компания разоряется с вероятностью 1. Решение этой задачи позволяет планировать поведение компании на страховом рынке. 9.9. Особый случай До сих пор мы рассматривали ситуацию, когда один договор мог породить не более одного страхового случая. При обоснованном требовании страховщик выплачивал возмещение, т.е. выполнял свои обязательства, и на этом действие договора прекращалось, хотя стороны могли составить новый договор. Однако возможна ситуация, когда, согласно договору, например, в автотранспортном страховании, страховщик несет ответственность в течение определенного времени, даже, если возникнет несколько страховых случаев, т.е. когда один договор может породить несколько исков. Если ущерб в i-м случае равен Yi, то общий ущерб составит: X = Yi, i = 1, Е, k. Предполагается, что Yi - независимы, хотя, в действительности, это условие не всегда выполняется; например, автомобиль после ремонта имеет больше шансов попасть в аварию, чем новый. Следует также учитывать, что на частоту наступления страховых случаев могут влиять одни факторы (например, возраст водителя), а на величину предъявляемого иска - другие (марка автомобиля). Поэтому предварительно весь портфель разбивается на несколько однородных субпортфелей. Вначале предположим, что портфель однороден, и проанализируем X. k k M[X] = M Yi = P[k = n ] M Yi k = n = 1 n =1 1 = P[k = n ] n M[Y ] = M[k ] M[Y ]; n = MX [] 2 2 k k = M Yi = P[k = n ] M Yi = n =1 1 1 k = P[k = n ] M Yi2 + 2 (Yi Yj ) = n =1 i j 1 n (n 1) = P[k = n ] n M Y 2 + 2 M(Y) M(Y) = 2 n = () = M (k ) M Y 2 + M[k(k 1)] [M (Y )] ; () D[X] = M X2 [M(X)] = 2 2 2 = M (k ) D(Y ) + D(k ) [M (Y )]. [] = M (k ) M (Y ) + M[k(k 1)] [M (Y )] [M (k ) M (Y )] = = M (k ) M (Y ) + [M (k ) M (k )] [M (Y )] [M (k )] [M (Y )] = = M (k ) [D(Y ) + (M (Y )) ]+ [M (k ) (M (k )) ] [M (Y )] M (k ) [M (Y )] 2 2 2 2 2 2 2 2 = Получены выражения для M(X), D(X). Это позволяет оценить степень риска. (Именно на этой формуле основан переход от характеристик ущерба страховщика при наступлении страхового случая в характеристикам полного ущерба.) 9.10. Использование отрицательного биномиального распределения при моделировании потока требований об оплате Это распределение числа страховых случаев используется аналогично распределению Пуассона, однако, имеет особенности. Например, при страховании автомобиля от аварии интенсивность зависит от числа дней с плохой погодой. Т.е. не является константой, а представляет из себя случайную величину с некоторой плотностью распределения f. Поэтому возникает необходимость предварительного усреднения параметра, используя это распределение. Пi =M(Пi()) = п (x) f i (x)dx = (1 i!) x i e ( x) f (x)dx Если N договоров разбиты на k однородных групп (по возрасту водителя, особенностями его здоровья и характера, сложности маршрутов его поездок и т.д.) с Ni договоров в каждой группе, то в каждой группе можно использовать пуассоновскую модель со своим постоянным значением параметра i. Доля этой группы в общем портфеле Ni/N = Ai. Рассмотрим наудачу выбранный договор (не зная, к какой группе он принадлежит). Случайное событие Bi состоит в принадлежности выбранного довора к i-й группе. Для этого договора распределение числа исков за рассматриваемый период равно: n ( ) = M n e( )/n!, Пn = P (k = n | B i ) P (B i ) = A i (1/n!) e ( ) i i где среднее берется по распределению Ai. (При увеличении числа договоров используется непрерывная аппроксимация). Итак, параметр подчиняется Гамма - распределению: Г(, ) f (x) = x 1 e x д(( Это - удобная модель, если колеблется около 0 с возможными, но маловероятными большими отклонениями. Тогда: i + 1 ( +1)x x i x x 1 Пi = e x e dx = x e dx i! д(( i! д(( 0 t = (+1) x, x=t/(+1), dx=dt/(+1); i + 1 t Пi = t e dt = д(i + ) ( + 1) i + i!д(( ( + 1) i + i!д(( Учитывая, что Г(х) =(х-1)Г(х-1), получим окончательно: Пi = (1/i!) (+1)Е( +i-1) p qi, где p = /(+1), q = 1/(+1). Если вероятности обладают указанным свойством, распределение называется отрицательным биномиальным параметрами: p и. Соответствующая производящая функция: то с П(z) = M(zk) = zi Пi = (-zq)i / (i!) (-)Е (--i+1) p = = (1-zq) p = (p/(1-zq)). M(k) = П (1) = q/p, D(k) = П (1) + П (1) - ( П (1) )2 = q / p2 ; т.е. D(k) = M(k)/p >M(k). Пример 20. Портфель составляет 50000 договоров автотранспортного страхования. Согласно собранной статистике о числе аварий за год: m0 = 40544, m1 = 8082, m2 = 1205, m3 = 145, m4 = 20, m5 = 3, m6 = 1. Требуется смоделировать число аварий. /24, 25/. Решение. Найдем среднее значение и дисперсию числа аварий на один договор. M=0.22056, D=0.2441182 (т.е. на 10% больше). Для распределения Пуассона эти величины должны совпадать (при столь большом N), поэтому различие в 10% вызывает сомнение в возможности использовать пуассоновскую модель. Однако достоинства последней заставляют Упопытать счастьяФ. Составим таблицу: i 0 1 2 3 4 5 6 mi 40544 8082 1205 145 20 3 1 mi(т.п.) 40103 8845 975 72 4 0 0 i= 0 (- ) Видно, что пуассоновская модель неадекватна, причем отклонения подталкивают страховщика к неоправданному оптимизму, а это вызовет жестокое разочарование на практике. Следовательно, наши надежды на пуассоновскую модель не оправдались, поэтому мы вынуждены усложнить модель и использовать отрицательное биномиальное распределение. Из свойств этого распределения известно: M=aq/p, D=q/p2. Получили систему уравнений для p и, решая которую: p=M/D=0.93, и =M2 / (D - M) = 2.06, определили значения параметров для модели. Используя последние, найдем теоретические частоты, соответственно: 40547 8080 1195 156 19 2 0. Расхождение с эмпирическими частотами минимально, модель адекватна. 10. Концепции и проблемы определения рисковой надбавки 10.1. Традиционные подходы Ранее установлено, что использовать рисковую премию без надбавки нельзя, так как при достаточно длительном периоде деятельности страховая компания будет неизбежно разорена даже при очень больших (но конечных) начальных резервах. Смысл надбавки обеспечить безубыточность, а не компенсировать себестоимость страхования (расходы на ведение дел не рассматриваются). Исторически первым методом включения надбавки в тариф стал неявный способ, при котором рисковая премия просто умножалась на некоторый поправочный коэффициент, больший единицы. То есть надбавка была пропорциональна самой рисковой премии: P=(1+d)M(Z). Неопределенность возникает из-за того, что будущее возмещение может отличаться от своего математического ожидания. Кроме того, математическое ожидание будущих ущербов не обязано совпадать со средним значением ущерба в прошлом. Недостаток этого метода - отсутствие учета изменения разброса ущерба. Чтобы исправить это, можно вместо указанного поправочного коэффициента включить в тариф добавление, пропорциональное: либо среднему квадратическому отклонению: P = M(Z)+bS(Z), либо дисперсии P=M(Z)+cVAR(Z). Различие этих двух подходов в том, что для полностью зависимых рисков Z1 и Z2, (коэффициент корреляции равен единице) S-надбавка обладает свойством аддитивности (а VAR-надбавка - нет), и, наоборот, для независимых рисков Z1, Z2 имеет место противоположная ситуация. В настоящее время исследователи после долгих споров пришли к компромиссу, что следует включать обе составляющие, причем сделать это можно двояко: либо построить линейную комбинацию: M(Z) + c1S(Z) + c2VAR(Z), либо ввести надбавку ковариационного типа, то есть рассматривать существующий портфель риска Z и новый риск Z1; тогда премия за новый риск Z1 будет равна: M(Z1) + dCOV(Z1; Z-Z1). Сложность второго подхода в том, что необходимо установить характер зависимости между существующим портфелем и новым риском; а с другой стороны, премия за Z1 зависит от того, был ли этот риск Z1 застрахован раньше, чем другие риски, зависящие от Z (например, Z2, Z3,...), стали частью этого портфеля или нет. Цена страхового договора зависит от очередности. (Опять возникает вопрос точного представления того, какой именно информацией обладает актуарий). Подход, основанный на ковариации, имеет практическое применение при страховании (и перестраховании) крупных промышленных рисков. В этих договорах подобный контроль (проверка, не содержатся ли в ранее сформированном портфеле элементы нового риска) имеет решающее значение. И размер премии существенно повышается с ростом страховых сумм. Иногда строят конструкцию надбавки, опираясь на так называемую производящую функцию, для которой очень удобно использовать логарифм: f(t) = lnM(etz), f (0) =M(Z), f (0) =VAR(Z), f (0) =m3(Z), но не f v (0) = m4(Z). Иногда возможен вариант, основанный на принципе максимального возможного возмещения риска: P= pM(Z) + (1-p) MAX(Z), 10.2. Элементы теории полезности Рассмотрение основных понятий начнем с некоторых сравнительно простых примеров. Интуитивно ясно, что для малой компании потеря одного миллиона у.е. (условно) будет иметь катастрофические последствия, а для большой - означает лишь незначительный убыток. Это означает, что функции полезности у разных компаний - различны. Причем играет роль не только абсолютная величина потерь, но и относительная. Кроме того, обе компании будут считать, что для каждой из них потерять два миллиона - тяжелее, чем потерять один. Поэтому функция полезности должна обладать следующими двумя свойствами: она должна быть строго возрастающей, то есть U ( X ) > 0; и скорость возрастания должна убывать, то есть U ( X ) < 0. (Рис. 10.1). U (x) x Рис. 10.1. Очевидно, что обладающая этими свойствами функция инвариантна относительно линейного преобразования, то есть U(X) и V(X) = aU(X)+b эквивалентны, так как одинаково ранжируют суммы. Теперь рассмотрим пример из страхования, используя введенные обозначения. Семья (муж, жена, двое детей) из среднего класса заняла в банке 100000 у.е. и купила дом. Свой долг они будут погашать в течение 30 лет (практически до выхода на пенсию). Потеря дома для этой семьи означает финансовую катастрофу. Поэтому они заключают договор о страховании дома. (Эта ситуация достаточно хорошо иллюстрирует мотивы страхования, в принципе). Понятно, что страховая компания устанавливает такое соотношение между взносами и возмещением, что сама она, в среднем, всегда остается в выигрыше. Но в отдельных случаях, конечно, не исключено, что компания может проиграть. Клиенты понимают, что они заплатят больше, чем в среднем они получат, однако они сознательно идут на это во избежание катастрофических потерь. С другой стороны банк, выдавая кредит, интересуется платежеспособностью клиента и, соблюдая свои интересы, требует, чтобы дом был застрахован (как строение; домашнее имущество его не интересует, кредит выдан на покупку дома). Это обеспечивает ему возвращение долга, даже при катастрофе (без страховки семья становится неплатежеспособной). Возникает вопрос об оценке полезности страхования. Какую малую сумму (разность между суммой взносов и ожидаемой суммой потерь) согласна потерять эта семья во избежание катастрофических потерь?! Это - достаточно сложная реальная задача, решение которой зависит от многих факторов. Пример 1. Принцип решения таких задач проиллюстрируем на более простой. Пусть мотоцикл стоит 1000 у.е. и владелец оценивает вероятность его полной потери в 0.1. Какова максимальная сумма, которую он согласен заплатить за страховую защиту от указанной случайной полной потери? Решение. При всем субъективизме оценок важно отметить, что заплаченная сумма должна несколько превышать ожидаемый средний убыток, равный 10000.1=100. Пусть, например, владелец согласен заплатить 120 у.е. Тогда можно построить функцию надежности. Сначала определяются крайние значения (ведь функция инвариантна относительно линейного преобразования). Итак, пусть X стоимость имущества через некоторый промежуток времени. Тогда U(0)=0, U(1000)=1. При отказе от страхования - значение соответствующей функции полезности: 0.91 + 0.10 = 0.9. А при заключении договора: U(1000-120)=U(880). Приравняв эти две величины, получим: U(880)=0.9. Графически можно убедиться, что точка (880; 0.9) лежит над отрезком, соединяющим точки (0; 0) и (1000; 1). Продолжим рассмотрение примера с мотоциклом. Пусть вероятность его списания равна 0.2, а владелец готов заплатить за страховку 230. Тогда, выполнив аналогичные расчеты, получим: U(770)=0.8. Отметим, что если клиент согласен заплатить не 230, а 250, то U(750)=0.8. Это означает, что при возрастании потерь с 750 до 880 (на 130) функция полезности возросла с 0.8 до 0.9 то есть на 0.1 - на столько же как и при возрастании потерь с 880 до 1000 то есть на 120. Это противоречит свойствам функции полезности. Следовательно, неразумно клиенту соглашаться на тариф 250 вместо 230. Понятно, что рассмотренный пример носит несколько искусственный характер. На практике функцию полезности обычно определяют с помощью экспертных оценок. После определения функции полезности можно сравнить два экономических исхода X и Y с элементами случайности. Вместо сравнения их по критерию ожидаемых убытков можно сравнить их на основе ожидаемой полезности. Например, при начальном капитале A выбирается: MAX ( M(U(A+X)), M(U(A+Y)) ). Это и указывает рациональный выбор соответственно X или Y. В качестве примера рассмотрим экспоненциальную функцию: U(x) = -e-bx. Тогда: -bx U ( x) = ( e b x ) x = (-1) e (-b) = b e bx > 0. -bx -bx = -b2e-bx < 0. U ( x) = ( U ( x)) x = (be b x ) x = be (-b) = -bbe Проанализируем зависимость решения от начального капитала A. M(U(A+X)) = M(-e-b (X+A) ) = M(-e(-bX-bA) ) = M(-e-bXe-bA) = = e-bAM(-e -bX) Аналогично: M(U(A+Y)) = e-bA M(-e-bY). Книги, научные публикации