Книги, научные публикации
Pages: | 1 | 2 | 3 | 4 | ... | 6 | Московский международный институт эконометрики, информатики, финансов и права Корнилов И.А. ...
-- [ Страница 2 ] --Традиционные задачи оценки риска страховщика 3.1. Степень риска В данном разделе рассматриваются некоторые специфические вопросы имущественного страхования, но некоторые из них могут быть применены и в личном страховании. Известно, что страхование базируется на идее распределения риска редких, но больших по величине убытков среди многочисленных страхователей. В настоящее время в России страховой бизнес делает лишь первые шаги, поэтому возможна принципиально иная ситуация. Пример 1. Предположим, что к страховщику обратился новый потенциальный страхователь и предложил новый для страховщика риск. Страховая сумма S равна 20000 у.е. Страховщик оценил вероятность р страхового случая в 0,001. По условию договора, если случай произойдет, то придется выплатить сумму полностью. Заинтересован ли страховщик в принятии этого риска? Как он поступит? Решение. Очевидно, рисковая премия равна 20. Но для принятия решения этой информации явно недостаточно. Страховщика интересует не только средняя выплата (МО), но и отклонение от среднего (СКО). Для биномиального закона число страховых случаев характеризуется следующими параметрами: МО=М(m)=np=0,001;
D(m)=npq=0,000999;
СКО= 0,000999 =0,0316. Соответственно, для размера выплат необходимо умножить МО и СКО на страховую сумму: М(Хi)=S* М(m)=20;
S(X) = S*СКО(m)=732. Тогда известный из статистики коэффициент вариации равен СКО/МО=31,6. В актуарной литературе /3/ этот показатель получил название степень риска и используется для приближенной оценки целесообразности принятия риска. В данном примере ситуация крайне неблагоприятная для страховщика, что приводит к рекомендации отказа от принятия этого риска (страхование - не азартная игра!). Из этого примера видно, почему страховщик относится к одному страхователю иначе, чем к группе. Однако понятно, что для изменения этого отношения группа должна быть достаточно многочисленной. Пример 2. Пусть к этому страховщику обратились 10 клиентов с аналогичными рисками. Проанализировать ситуацию. Решение. М(Х) = S*np = 20000*10*0,001 = 200;
D(X) = S2*npq = 200002*10*0,001*0,999 = 3996000;
СКО 1999,0;
К = СКО/МО = 9,995 10. Ситуация лучше, чем в прежнем примере, но еще остается неблагоприятной. Очевидно, с ростом n ситуация улучшается. Пример 3. Каким должно быть n, чтобы риск можно было принять? Решение. Для этого необходимо задать К, например 1, тогда можно приравнять МО и СКО и получить: Snp=S npq или n=q/p=999. При 1000 страхователей можно принимать такой риск. На практике такое число клиентов сразу не придут, во всяком случае, в маленькую компанию, поэтому начинающий страховщик рискует больше того, который успел набрать солидный портфель. Пример 4. Предположим, что страховщик решил улучшить свои шансы за счет клиентов, и они с этим согласились. Он назначил взнос 40 вместо 20. Эта разность (рисковая надбавка) призвана компенсировать возможное превышение реальных выплат над средними (ожидаемыми). Проанализировать ситуацию. Решение. Тогда 1000 страхователей внесли по 40 у.е. Общий взнос составил 40000. Ожидаемые выплаты 20000. Остаток 20000 поступают в распоряжение страховщика и иногда являются источником его дохода, что не вполне верно. Выше отмечалось, что эти суммы должны направляться в резерв, либо распределяться среди страхователей (у которых не было страховых случаев). Необходимо отметить, что ситуация возникла из-за того, что произошло ровно один случай. Для страховщика ситуация будет благоприятной при m=0,1;
- нейтральной при m=2;
- убыточной при m>2. Поэтому он должен предусмотреть такую возможность. Вероятности рассчитываются по точной формуле Бернулли или по приближенным (Пуассона или Лапласа). Расчет ведется до достижения практической достоверности, за которую принимается близкая к 1 величина: например, 0,9999. В данном примере: Р(m=0)=0,37;
P(m=1)=0,37;
P(m=2)=0,18;
P(m=3)=0,06, P(m=4)=0,015. Это означает, что страховщик может быть уверен, что с вероятностью 0,92 число случаев не превысит 2;
с вероятностью 0,98 не превысит 3;
с вероятностью 0,995 не превысит 4. Поэтому ему необходим капитал (начальный резерв) в 40000 у.е. своих денег (или взятых в кредит в банке), чтобы практически в любой ситуации иметь возможность выполнить свои обязательства (2 случая он оплатит из собранных взносов, а еще 2 - из резерва). Здесь не рассматривается ни перестрахование, ни предпринимательский риск страховщика. Пример 5. Рассмотрим компанию, где число страхователей увеличилось до 10000. Проанализировать ситуацию. Решение. Тогда МО=200000, СКО=63214, К=0,316 - очень благоприятная ситуация для страховщика. Используя распределение Пуассона, получим: =np=10;
P(X тогда t=2,325; m=t +-0.5=2,3253,161+10Ц0,5=16,85<17. Следовательно, необходимо собрать премию для выплаты не 10, а 17 возмещений, поэтому с каждого страхователя надо взять 34 у.е., из которых 20 это рисковая премия, а 14 - надбавка. Страхователи могут не согласиться с такой надбавкой (70%), тогда потребуется создать резерв. Очевидно, чем большими резервами располагает компания, тем она устойчивее, и поэтому тем больший риск она может принять. Становится более понятным и поведение потенциального страхователя. Грамотный клиент не станет обращаться в компанию, где он будет единственным страхователем с таким риском. И не только изза сомнений в умении страховщика работать с данным риском. Но и поскольку ему придется больше платить за страховку. Поэтому он будет искать компанию, где уже есть многочисленная группа страхователей подобного риска. (Аналогичный вывод был сделан и во 2-й главе, опираясь на несколько иные соображения.) Пример 6. Проанализировать возможность использования нормальной аппроксимации и получаемые при этом результаты. Решение. Используя нормальную аппроксимацию, можно показать, что если надбавка равна СКО, т.е. t=1, то Ф(1)=0,6827; (1-Ф(1))/2=0,1586=0,161/6. Аналогично, для 2СКО получим 1/44, а для 3СКО будет 1/742. Эти дроби показывают, как часто будет использован капитал компании для выплаты возмещений. В действительности, при благоприятной для страховщика ситуации (в начале собранные взносы больше выплат), потребность в резерве будет еще меньше. Понятно, что возможность увеличивать надбавку ограничена. Никто не согласится платить взнос, где надбавка втрое превышает рисковую премию. В то же время страховщик обязан обеспечить высокую надежность выполнения своих обязательств. Поэтому необходим начальный резерв. Он создается частично из невостребованных средств (если в предыдущий год сумма взносов существенно превысила сумму возмещений), частично из средств страховщика, заработанных им ранее (что имеет место на начальном этапе функционирования страховой компании). Поэтому возникает вопрос о величине этого резерва. Очевидно, с ростом числа однородных договоров страховое общество все меньше подвержено случаю. СКО продолжает расти, но отношение СКО/МО падает. Ясно, что самая неприятная ситуация для страховщика возникает, если значительное число страховых случаев возникает сразу же после заключения договоров, когда собрана лишь незначительная часть страховых взносов. Выплаты существенно больше взносов, поэтому активы малы, следовательно, и наращение на них тоже мало. В реальном страховании может возникнуть и обратная ситуация, когда взносы существенно превышают выплаты на протяжении длительного периода. Это означает, что взносы определены неверно (с существенным превышением). Поэтому разница должна быть распределена между страхователями (хотя бы между теми, у кого не было случая), а не обращаться в доход компании. Пример 7. На величину начального резерва влияет как объем портфеля, так и его характер. Крупная компания принимает риск: 20 страхователей с суммами по 10000 у.е. в каждом договоре и с вероятностью р=0,02 предъявляет требования об оплате. Исследовать ситуацию. Решение. Рисковая премия равна: Sp=100000,02=200. Суммарный взнос: 20020= 4000, а общее СКО=S Npq =10000 20 0,02 0,98 =6261. Тогда СКО/МО=6261/4000=1,565, то есть принятие этого риска (нового для себя) чревато для компании определенными неприятностями. Вычислим вероятности Р(m=k); k=0, 1, 2,Е получим: 0,668; 0,272; 0,053; 0,006; 0,001; Е Сумма этих пяти значений составляет 0,999, что можно принять за практическую достоверность и считать невозможным появление более четырех случаев в этой группе. Поэтому страховщик должен иметь средства для выплаты возмещений по четырем страховым случаям: 410000=40000, что в 10 раз больше собранных взносов. Однако, если иметь капитал 40000 для оплаты первых четырех случаев, то можно принять этот риск, так как с вероятностью > 2/3 случаев не будет вовсе, и тогда компания заработает 4000. (Это создаст предпосылки снижения риска в следующем году.) Замечание. Существует принципиальное различие роли среднего квадратического отклонения (СКО) в имущественном страховании и в страховании жизни. В имущественном эта роль очень велика, так как риск оценивается отношением СКО/МО. В страховании жизни актуарий опирается на устойчивые закономерности, выраженные кривой дожития, (т.е. более устойчивое распределение), поэтому роль СКО незначительна /3/. В имущественном страховании функция распределения риска намного динамичнее, чем в страховании жизни, поэтому здесь будущий риск оценивается с некоторой достоверностью на основе прошлых данных и тогда вопрос определения величины отклонения от среднего приобретает особое значение. Пример 8. Пусть р=0,002 для N договоров с суммами S, тогда общая рисковая премия NpS (и средняя величина оплаты убытков нескольких предыдущих лет), а Np - число убытков. Соответственно: СКО=S Npq = S Np, Если р точно неизвестно, его надо оценить. Например, истинное значение Np=400 находится в пределах (324 - промышленные постройки (отдельно их внутреннее оборудование); - торговые постройки (Е); - жилые дома (Е); - специальные риски (Е). По этим 8 категориям зафиксировано относительное число убытков (на 10000 страховых случаев) в разрезе величины доли (а) в %. % 0-10 10-20 20-30 30-40 40-50 50-60 60-70 70-80 80-90 90-100 1 8293 576 326 215 139 97 69 49 42 194 2 7172 915 425 310 221 180 147 123 98 409 3 9370 337 144 85 42 16 4 2 0 0 4 6734 965 580 429 324 260 214 183 167 154 5 8627 502 201 130 93 73 60 53 48 213 6 8360 658 284 178 114 85 64 57 68 132 7 5413 791 539 431 360 309 273 237 209 1438 8 4264 806 668 553 507 707 530 553 599 Решение. Рассчитаем по этим данным значения дроби (по столбцам) и получим: 0,37; 0,40; 0,11; 0,45; 0,38; 0,35; 0,68; 0,66; это позволяет для каждого страхователя (и для их совокупности) найти СКО. Например, для второй категории при р=0,001 получим: СКО=1 10000 0,001 (0,4 - 0,001) 2. Пример 11. Страхование от несчастных случаев. Пусть известен риск отдельного страхового случая: вероятность смерти 0,00024, вероятность инвалидности 0,00032. Исследовать ситуацию. Решение. В случае смерти - полный убыток, то есть дробь равна 1. При инвалидности - частичный убыток, необходимо знать дробь. Предположим, что на основе реальных данных определена дробь = 0,30. Тогда можно определить СКО. Для смерти: qp = Для инвалидности: 24 99976 =0,0155. 100000 p ( a 2 / a p) = 32 29968 =0,0098; тогда: Кс=0,0155/0,00024 = 65; Ки=0,0098/0,00032 = 31. Это используется при перестраховании. Отметим, что для страхования на случай смерти требуется объем портфеля в 4 раза больший, чем при страховании на случай инвалидности. (Даже при том, что в 1-м субпортфеле размер выплаты фиксирован, а во 2-м - случаен, а это, как будет показано далее, должно уменьшить разброс выплаты в 1-м субпортфеле!) 3.3. Связанные и независимые страхования Иногда возникает ситуация, когда убыток по одному виду страхования влечет за собой появление (или увеличение) другого убытка. Естественно, для определения цены страхования в этом случае необходимо учесть эту связь, и особенно, характер изменения СКО. Пусть для одной группы страхований (договоров): убытки (Vi), вероятность (pi). Тогда сумма рисковых премий: P=(Sipi). Ситуация имеет место в течение ряда лет: k=1, 2,Е,N. Тогда для произвольного года вся оплата убытков: АкS1+BkS2+CkS3 + Е, где А, В, С,Е - доли (от 0 до 1). Отклонение этой величины от среднего значения Р составит: ((AkS1+BkS2+Е)-P)2/N Тогда при большом N получим систему: Np1S1=S1(Ak) Np2S2=S2(Bk) ЕЕЕЕ.. Сложив эти уравнения, получим: NP=(AkS1+BkS2+Е) Из системы видно, что: N=(A)/p1=(B)/p2 кроме того: N= ( ( A) / p1 ) ( ( B) / p 2 ) = и т.д. Можно показать, что дисперсия равна: S12((Ak)2/N-p1)+Е+2S1S2((AkBk)/N-p1p2)+Е Тогда СКО есть корень из этого выражения. Слагаемые первой группы характеризуют отклонение каждого отдельного страхования (в соответствии с предположением об их независимости). А слагаемые второй группы учитывают связь очередной пары страхований, (т.е. договоров), где р1р2 - вероятность одновременного убытка, (AkBk)/N- средняя сумма произведения частей убытка. Величина каждого слагаемого второй группы определяет силу связи этих двух страхований. Если все эти слагаемые равны нулю, имеет место независимость, тога: Квадрат среднего отклонения совокупности страхований, независимых друг от друга, равен сумме квадратов средних отклонений отдельных страхований /3/. Это вытекает из теоретико-вероятностного факта, что дисперсия суммы независимых величин равна сумме дисперсий этих величин. Пример 12 (несвязанных страхований). Есть 100000 договоров с суммами 2000 у.е. и вероятностями 0,0015. Найти степень риска в портфеле. Решение. Суммарная рисковая премия: 10000020000,0015=300000; СКО=2000 100000 0,0015 (1 - 0,0015) =21300; К=СКО/МО=0,07. Очень благоприятная ситуация для страховщика. Может ли это общество принять 20 договоров с вероятностями 0,02 и суммами 10000? Пример 13. Пусть по имеющемуся портфелю (п. 12) общество имеет четырехкратный капитал (4*21300=85200). Новое страхование имеет суммарный риск: 2010000=20000; суммарная рисковая премия: 20100000,02=4000; СКO=10000 20 0,02 0,98 =6261,2. Исходя из практической достоверности, в новой группе произойдет не более 5 случаев, то есть достаточно резерва в (5*10000=50000). После принятия этой группы общество получит взносы: 300000+4000=304000; СКО= 21300 2 + 62612 =22200. Тогда степень риска практически сохранится: 22200/304000=0,073. Ухудшение очень незначительное, по сравнению с 0,07. Но поскольку улучшения нет, общество, в принципе, не заинтересовано в принятии этого нового риска. То есть решение (принимать/не принимать) здесь определяется не формальными результатами, а дополнительными соображениями (заинтересованность в продолжении работы с этими новыми клиентами). Пример 14. Что произойдет, если число новых страхователей с такими характеристиками увеличится до 100? Рисковая премия составит: 20000; СКО=14000; а вместе для двух групп: суммарная рисковая премия: 320000; СКО = 21300 2 + 14000 2 =25500; К=25500/320000=0,08; хуже, чем 0,07 и 0,073. Вывод: общество занимается малыми рисками и ему не нужны большие. Какие условия должны выполняться, чтобы общество могло принять эти новые риски (появилась бы заинтересованность)? Пример 15. Вновь организованное общество имеет 200 договоров по 15000 с вероятностями 0,02. Проанализировать ситуацию. Решение. (Объем ответственности=общая страховая сумма 20015000=3 млн., вероятность = норма чистой рисковой оплаты 2%). Тогда общая рисковая премия: 60000; СКО=15000 200 0,02 0,98 =2970030000; К=29700/60000=0,4950,5. Очень опасная ситуация. Необходимо снижать К. Для этого компания принимает эти новые 20 рисков с р=0,02, S=10000, тогда по группе новых рисков: МО=4000, СКО=6261. После объединения получим: МО=60000+4000, СКО = 29700 2 + 62612 30350. Поэтому К=30350/64000=0,475<0,495. Ситуация улучшилась, но незначительно, следует продолжить поиски путей снижения К. Перейдем к следующему примеру. Пример 16. Есть другое общество. 500 договоров с суммами 10000. Общая сумма 5 млн. Пусть р=1/75=0,01(3). Исследовать ситуацию. Решение. Суммарная рисковая премия 66667, СКО=10000 500 1/75 74/45 =25650; К=25650/66667=0,385. Принимаем эти 20 новых договоров (для которых премия 4000, СКО=6261). В объединенном портфеле (складывая математические ожидания, а также дисперсии) получим: МО=66667+4000=70667; СКО= 25650 2 + 62612 =26400; К=26400/70667=0,374<0,385. Наблюдается улучшение (относительное: 0.011/0.374 = 3%). Пример 17. Ранее рассматривались случаи, когда новые страховые суммы были меньше или равны старым. Рассмотрим противоположную ситуацию (новые суммы больше старых). Старый портфель: 1000 договоров с суммами 5000 с р=0,015, тогда общая страховая сумма 5 млн., суммарная страховая (рисковая) премия: МО1= 75000, СКО1=19200, К1=0,256. Ситуация достаточно благоприятна. Исследовать целесообразность принятия 20 новых договоров. Решение. Принимаем 20 новых страхователей (МО2=4000, СКО2=6261). Тогда характеристики нового портфеля: МО=МО1+МО2=75000+4000=79000, СКО= 19200 2 + 62612 =20200; К=20200/79000=0,225; Ситуация улучшилась. Но в начале ожидать этого было трудно. Прежние риски меньше новых. Пример 18. Проанализировать целесообразность объединения субпортфелей. Характеристики 3-х частей (и всего) портфеля приведены в таблице. N Страховая сумма каждого (тыс.) 15 10 5 всех (млн.) 3 5 5 13 Рисковая премия % 0,2 0,1 (3) 0,15 Общая (тыс.) 60 66, (6) 75 201,7 СКО (тыс.) 29,7 25,7 19,2 К 200 500 1000 0,495 0,385 0, Решение. Общее СКО = 29,7 2 + 25,7 2 + 19,2 2 = 43,7; К=43,7/201,2=0,216. Ситуация существенно улучшилась. Если это объединенное общество дополнительно примет те 20 рисков, то МО=205,7; СКО=44,14; К=0,214. Ситуация еще улучшилась. Принять эти новые риски выгодно! 3.4. Максимальная величина принимаемого риска В страховании (и в актуарных расчетах, соответственно) важную роль играет задача определения максимума, который может принять страховщик без перестрахования. СКО не является единственным фактором для определения этой величины, но играет важную роль. При решении (принимать/не принимать новый риск) страховщик руководствуется принципом уменьшения степени риска (СКО/МО). То есть: не принимать риски, которые ухудшают ситуацию. Пример 19. Портфель характеризуется сбором 400000 чистой рисковой премии (МО), со средним отклонением (СКО) 100000, тогда степень риска 0,25. Какие риски являются приемлемыми (в принципе) для этого страховщика? Решение. Определим максимум, опираясь на принцип равенства степени риска до и после принятия нового риска. Новый риск имеет чистую рисковую оплату (вероятность выплаты возмещения) р. Тогда: В общем случае: K=CKO/MO= CKO + X p q /(MO+Xp) X=2K2MO/(1-p(1+K2)) X2K2MO Если К=0,25; МО=400000; 2К2=1/8; Х=50000. 2 2 K=0,25 100000 + X p q /(400000+Xp) Х=50000/(1Цр1,0625). 2 При малых р знаменатель близок к 1, поэтому Х50000. Больше этого значения принимать новый риск нецелесообразно. Результат можно уточнить с помощью р. Например, если р=0.01, то Х=50530. Итак, максимум зависит от сбора и степени риска. Конечно, это лишь приблизительная граница. Ясно, что чем меньше свой капитал, тем меньше Х. Рассмотрим некоторые примеры. Показано, что роль р ограничена, поэтому в первом приближении можно считать все pi одинаковыми (и равными, например, 0,001). Составляющие портфеля имеют следующие характеристики, заданные таблицей (где CKO=S Npq ). Пример 20. N 100 400 1500 2500 2000 1500 2000 S 100000 50000 20000 10000 5000 2000 1000 SpN 10000 20000 30000 25000 10000 3000 2000 СКО 31600 31600 24500 15800 7000 2400 1400 К 3,16 1,58 0,81 0,63 0,70 0,81 0,70 K 0, 0, 0, Решение. Общее МО=100000, а общее СКО=54000, отсюда: К=0,54. Общество не достаточно велико, чтобы позволить себе максимум в 100000. Поэтому исключаем из портфеля самый большой риск (первую строку). Тогда для оставшихся получим: МО=90000, СКО=43800, К=0,48. Ситуация представляется еще недостаточно благоприятной, поэтому исключаем и следующий по величине риск (вторую строку) и получим: К=0,43. Для оставшихся строк ситуация стала приемлемой (с точки зрения страховщика), а к двум первым необходимо применить перестрахование. Для этого определяем максимум: Х=20,43270000=2588626000. Это и есть верхняя граница возможностей общества (если оно хорошо финансировано и имеет надежду расширить свои операции так, чтобы при этом снизить К). Отметим, что найденный максимум 26000 больше последней удерживаемой суммы 20000, но меньше первой передаваемой на перестрахование 50000. Всегда ли передача на перестрахование самых больших рисков может привести к снижению степени риска? Пример 21. Рассмотрим аналогичный портфель. N 100 200 500 1000 5000 S 20000 15000 10000 5000 1000 SpN 2000 3000 5000 5000 5000 СКО 6300 6700 7000 5000 2200 К 3,1 2,2 1,4 1,0 0,4 К 0, 0, Решение. Для всего портфеля: МО=20000, СКО=12800, К=0,64; исключение самого большого риска (первой строки) мало помогает, К=0,63, практически не изменился. Здесь даже перестрахование не позволяет улучшить ситуацию. (Причина неудачи - отсутствие в портфеле субпортфеля, страховые суммы в котором существенно больше всех остальных. С вероятностно-статистических позиций: нет резко выделяющихся наблюдений, удаление которых позволяет повысить однородность выборки и, тем самым, улучшить ситуацию.) Пример 22. Предположим, что в каждом субпортфеле (п. 21) число договоров стало в 10 раз меньше, а вероятности в 10 раз возросли. Решение. Тогда, поскольку мы в первом приближении в расчетах пренебрегали точным значением q, считая его равным 1, то все столбцы, кроме первого, сохранятся, то есть и выводы будут идентичными. У нас как бы есть две компании. В каждой из них ситуация далека от идеала. Пример 23. Соединим оба общества (п. 21 и п. 22) в одно. Решение. Получим: МО=40000; СКО=18100; К=0,45; т.е. достигнуто существенное улучшение. Два малых общества, каждому из которых весьма трудно выжить в отдельности, объединившись, составили вполне устойчивое общество. Оценка максимума показывает: Х=20,45240000=16000, то есть общество может передать на перестрахование риск, превышающий эту сумму, (т.е. S=20000) но если есть достаточный страховой резерв, то лучше удержать за собой риск и попытаться расширить свои операции. Отметим, что здесь целесообразно позаботиться о субпортфеле с самыми большими страховыми суммами. 3.5. Размер капитала Общество взаимного страхования может начать функционировать без начального капитала, и, тем не менее, выжить и укрепиться, но при этом первые страхователи сильно рисковали. Они могли не получить компенсации из-за отсутствия средств для выплаты. Обычное акционерное страховое общество берет банковский кредит. Иногда максимум возмещения определяется ожидаемым размером собранных взносов. Например, если от заявления до ликвидации убытков проходит 14 суток (14/365=1/26 года), то из годовой премии можно выделить лишь соответствующую часть, то есть около 4% годовой ликвидации. Пример 24. Есть 20 страхователей со страховыми суммами по 1000 и с р=0,1, Исследовать этот субпортфель. Решение. Общий сбор (суммарная рисковая премия) имеет характеристики: МО=20100000,1=20000; CKO=10000 20 0,1 0,9 =13416. К=0.67. Можно рассчитать вероятности Рr(m=k), k=0, 1,Е,20. Используя формулу Бернулли, получим соответственно: 0,122; 0,270; 0,285; 0,190; 0,090; 0,032; 0,009; 0,002; Е Сума этих вероятностей превышает 0.999. То есть можно с практической достоверностью утверждать, что Pr(m8)=0. Это означает, что будет не более 7 страховых случаев, поэтому обществу нужен начальный капитал для оплаты этих 7 случаев, то есть 70000. Пример 25. Есть 30 страхователей с суммами 10000 и р=0,05. Исследовать этот субпортфель. Решение. Как и в примере 24, рисковая премия 500, а суммарный взнос: МО=30500=15000, CKO=10000 30 0,05 0,95 =11940. К=0.80. Соответственно, Pr(m=k): 0,215; 0,339; 0,259; 0,127; 0,045; 0,012; 0,003; Е Их сумма превышает 0.999, то есть будет не более 6 убытков, поэтому нужен резерв 60000. Пример 26. Объединим эти две группы (п.24 и п.25) и исследуем ситуацию. Решение. Суммарный сбор равен: 20000+15000=35000, (1 е.с.с. = 1000). Т.к. для независимых случайных величин складываются дисперсии, то: СКО = 13,5 2 + 12 2 18, тогда СКО/МО 0,5. Можно установить максимум = 10000, т.е. (10 е.с.с.), это большее значение из двух: 1000 и 10000. Но можно рассчитать по приведенной формуле, тогда: Х=2К2Р=235=17,5>10. Т.е., в принципе, страховщик может принять риск 17500 без передачи его на перестрахование. Однако выходить за пределы установленного максимума (10 е.с.с.) нецелесообразно, т.к. надо стремиться уменьшить К. Замечание. При выполнении домашнего задания у студентов часто возникают вопросы: с какого значения вероятности начинается практическая достоверность? и как правильно выбрать формулу для расчета Pn(m), если расчеты можно, в принципе, вести и по формуле Бернулли, и по формуле Пуассона (или по локальной теореме Лапласа). В реальных задачах уровень, принимаемый за практическую достоверность, - весьма условен, и зависит от требований Страхнадзора, ситуации на рынке, готовности руководства СК к риску и т.д. В учебных задачах можно задать значение: от 0.995 до 0.9999. Формула Бернулли является точной, поэтому ее можно использовать, в принципе, всегда. Другой вопрос, что из-за факториалов она становится неудобной. Но если m близко к 0 или к n (на практике, разумеется, чаще встречается первая ситуация), то факториалы сокращаются, вычисление высоких степеней технически решается логарифмированием. Поэтому эти вопросы имеют, скорее, исследовательский интерес, достигаемый сравнением результатов. Задачи данного раздела в первом приближении иллюстрируют подходы к актуарной оценке страховщиком своих возможных действий на страховом рынке. 4. Актуарные проблемы при распределенном риске 4.1. Риск страховщика Рассмотрим последствия заключения договора о страховании для сторон. Клиент обратился в страховую компанию, заключил договор, (например, о страховании автомобиля от угона на полную стоимость), заплатил первый взнос. Началась ответственность страховщика. Страхователь, таким образом, зафиксировал свои убытки на уровне страхового взноса. Если случая не будет, он потеряет эту сумму (взнос), а если случай произойдет, ему выплатят возмещение, тогда его потери также равны взносу. Т.е. его проблема полностью решена. И для принятия решения о целесообразности (или нецелесообразности) страхования ему было достаточно оценить математическое ожидание своего возможного ущерба. А у страховщика после вступления договора в силу проблемы только начинаются. Для иллюстрации рассмотрим пример. В 1993 г. одна из молодых российских страховых компаний заключила договор о морском страховании одного крупного отслужившего свой срок корабля, который был продан на металлолом в Индию и должен был дойти до этой страны своим ходом. Чтобы получить этот контракт, компания выиграла конкурс, в т.ч. и у знаменитого Ллойда, назначив очень низкий тариф (условно, вдвое ниже, чем Ллойд). Среди мотивов принятия такого решения выделялся, естественно, конъюнктурный. Компания хотела заявить о себе на данном рынке, а новичку всегда труднее. Он вынужден рисковать больше, т.к. при прочих равных к нему меньше доверия. Последнее соображение лишь косвенно иллюстрирует актуарную сторону. Но имелось и некоторое актуарное объяснение подобного решения (при наличии указанного мотива). Страховщик понимал, что назначенная им премия не покрывает ожидаемого (среднего) ущерба, который может возникнуть в данном договоре. Но он также учитывает, что в его портфеле (на тот момент времени) этот риск - единственный! Опираться на средний риск имеет смысл только при наличии многочисленной однородной группы подобных рисков. В портфеле, состоящем из одного полиса, страховой случай либо не происходит (и тогда страховщик зарабатывает взнос), либо происходит (тогда страховщик теряет сумму, на два-три порядка превосходящую взнос). Здесь размер взноса уже не играет особой роли. Он может быть вдвое меньше правильного или вдвое большеЕ Таким образом, работа с одним отдельным риском, не имеющим аналогов в портфеле данного страховщика, несет для него большую опасность, о чем подробно рассказано в разделе Степень риска. В настоящее время важно подчеркнуть, что, в отличие от страхователя (интересующегося лишь своим договором, и, следовательно, только математическим ожиданием своего возможного ущерба), страховщика интересует и возможный разброс величины ущерба в договоре относительно (ожидаемого) среднего значения. При этом страховщика интересует не только (а возможно, и не столько) отдельный договор, сколько весь его портфель. Т.е. страхователь рассматривает принцип эквивалентности обязательств сторон только для своего полиса, а страховщик - применительно ко всему портфелю. Таким образом, страховой бизнес построен не на принципе самофинансирования каждого отдельного договора, а требует самофинансирования всего страхового портфеля. Разумеется, задача актуария существенно усложняется. Что же выигрывает страховщик от указанной модификации принципа эквивалентности обязательств сторон? Если объем портфеля велик (число однородных договоров достаточно велико), то на страховщика начинает работать закон больших чисел. Согласно этому закону, увеличение числа одинаково распределенных независимых случайных величин приводит к тому, что сумма реализаций всех этих величин ведет себя все более устойчиво, т.е. все меньше отклоняется от своего ожидаемого (среднего) значения. Строго говоря, из теории вероятности известно, что и ожидание и дисперсия суммы одинаково математическое распределенных независимых случайных величин растут пропорционально росту числа этих величин - n. Но интерес представляет не только величина абсолютного отклонения возможного (фактического) значения от ожидаемого, но и относительное отклонение. В статистике это - коэффициент вариации: K = СКО/МО, который убывает с ростом n. Для страховщика это означает повышение устойчивости страхования. За счет уменьшения относительного отклонения он несколько меньше зарабатывает при благоприятном развитии процесса, но значительно меньше рискует (разориться) при неблагоприятном повороте событий. Большое превышение фактического ущерба над ожидаемым становится маловероятным. Это и является вероятностно-статистическим обоснованием стремления страховщика к увеличению своего портфеля. 4.2. Участие страхователя в возмещении ущерба Кроме классической схемы, когда страховщик принимает на себя весь риск, и при возникновении страхового случая выплачивает возмещение в полном объеме, возможны по согласованию сторон и такие договора, в которых страхователь участвует в возмещении части ущерба в обмен на снижение страховых взносов. Одной из таких схем является пропорциональное возмещение ущерба. Если объект реальной стоимости C застрахован на сумму S y C 1 S 1,3 3 2 S C x Рис 4.1 L y C 4 5 C C-L x Линия 1 соответствует полному возмещению, линия 2 - пропорциональному, линия 3 - схеме первого риска. Предполагается равенство страховых сумм в договорах: 2 и 3. Видно, что в договоре по схеме первого риска страхователь оптимистически надеется на то, что возникновение больших ущербов маловероятно. Ответственность страховщика определяется площадью фигуры под линией. (Строго говоря, необходимо учесть и распределение ущерба, которое можно проигнорировать лишь при равномерном распределении, но в первом приближении это утверждение - справедливо.) Соответственно различаются и страховые взносы. Еще одним способом участия страхователя в возмещении ущерба является франшиза: условная или безусловная. Проиллюстрируем это графически. Видно, что при одинаковой величине франшизы L ответственность страховщика (определяемая площадью под линией) больше для условной франшизы (линия 4), чем для безусловной (линия 5). Этим определяется и различие страховых взносов. При сравнении франшизы со схемой первого риска видно, что в договоре с франшизой стороны игнорируют малые убытки. Это связано с необходимостью затрат на урегулирование убытков: уведомление, проведение экспертизы по определению реального ущерба и т.д. 4.3. Франшиза Ответственность страховщика ограничена не только (сверху) страховой суммой. Возможно и ограничение снизу, если по договору страхователь принимает участие в возмещении ущерба. В договоре страхователя и страховщика может присутствовать условие ограничения ответственности страховщика при соответствующем уменьшении взносов страхователя. Это - франшиза, которая может быть условной или безусловной. Если безусловная франшиза составляет 1000 у.е., то из каждого требования о выплате вычитается эта сумма. То есть можно игнорировать и не регистрировать убытки, меньшие, чем эта франшиза. А если размер ущерба X>1000, то страховщик возмещает только часть его: X-1000=Y. Естественно, это обстоятельство отражается на цене договора. Если договор предусматривает условную франшизу, то страховщик полностью освобождается от возмещения убытков, меньших указанной суммы, но возмещает весь ущерб, превысивший ее. Т.е. Y=0, если X<1000, и Y=X, если X>1000. Так как при условной франшизе ответственность страховщика выше, чем при безусловной, то увеличивается и цена страховки. В обоих случаях необходимо распределение ущерба. Таким образом, существует аналогия между безусловной франшизой в договоре о страховании и уровнем собственного удержания в договоре о перестраховании. Условная франшиза является комбинацией обычного страхового договора и безусловной франшизы. Рассмотрим безусловную франшизу. Особенно часто она применяется в автомобильном страховании. Пусть ущерб X, требование об оплате X-L, (на практике иногда франшиза может покрывать, например, расходы по определению величины ущерба). Итак, выплаты страховщика: Y=0, при X и Y=X-L при X>L. Взносы соответственно уменьшаются. На сколько? Как указывалось ранее, идея расчетов аналогична эксцедентному перестрахованию. Страховщик знает только о больших ущербах: X>L. Страхователь соглашается на неполную компенсацию потерь в обмен на снижение страхового взноса. Убытки f(x), безусловная франшиза L. Тогда среднее значение выплат по договорам: L M ( Y ) = y f ( y + L) dy. 0 L Поскольку выплаты равны 0, если X < L, и (X-L), если X > L, то M ( Y ) = f ( x L) f ( x) dx = y f ( y + L) dy, где y=x-L. Обычно фиксируют франшизу на несколько лет, но возможен и учет инфляции. Например, в течение первого года убытки имеют плотность f(x). Во второй год - инфляция с показателем УkФ привела к увеличению выплат в УkФ раз. Договор предусматривает фиксированную безусловную франшизу L. Найти среднее значение страховых выплат во второй год. Ранее рассматривалось Y=kX, при kX и Y=M, при kX>M. M /k M (Y ) = kxf ( x)dx + MP ( x > M r M /k k ) = kxf ( x ) dx Mk kxf ( x ) dx + M Mk f ( x)dx = = kM ( X ) k ( x M / k ) f ( x)dx Показано, что M (Y ) = k M ( X ) y f (x + M / k ) dy. Аналогично: M(Y) = (kx-L) f(x) dx = k (x-L*) f(x) dx = = k yf(y+L*) dy, где y=x-L*, L* = L/k. Рассмотрим пример франшизы. Предположим, что в договоре о страховании автомобиля от возможных повреждений предусматривается франшиза. Как это отразится на размере премии? В принципе, размер ущерба, конечно, представляет собой непрерывную случайную величину. Но мы в примере (для простоты) используем дискретную случайную величину. Пример 1. Ущерб Вероятность X P 50 0.3 100 0.3 150 0.2 250 0.1 1000 0. Решение. (Временно абстрагируемся от вероятности наступления страхового случая. Можно добавить P(X=0) или считать это распределение условным и задать вероятность p.) M(X) = XP = 500.3 +...+ 10000.1 = 200; M(X2) = 502 0.3 +...+ 10002 0.1 = 114500; D(X) = 114500 - 2002 = 74500; Sx = D = 273; Sx/M(X) = 1.37. Франшиза 200. Цена страхования составит: 1) безусловная: 500.1 + 8000.1 = 5+80 =85 (= 43%) 2) условная: 2500.1 + 10000.1 = 125 (= 63%) Видно, что франшиза существенно снижает цену страхования. Другой договор предусматривает страхование автомобиля от угона. Очевидно, что событие либо произошло, либо не произошло. Промежуточных вариантов нет, поэтому включение франшизы в договор невозможно. Пример 2. Но хорошо ли выбрана франшиза? Проанализируем зависимость цены договора от размера франшизы. Решение. Пусть L1=151, тогда при безусловной франшизе рисковая премия составит: 990.1+8490.1=94.8 (47%). А при условной: те же 125 (63%) ! Назначим: L2=249 и получим: 10.1+7510.1=75.2 (37.6%) для безусловной франшизы, и те же 125 - для условной. Итак, размер условной франшизы меняется от 151 до 249 (в 1.65 раза), а ожидаемый риск страховщика - одинаковый! Соответственно, одинакова и рисковая премия. (Для безусловной франшизы этого эффекта нет!) Поэтому при дискретном распределении величины ущерба для условной франшизы различимы только сами дискретные значения ущерба (например, 150 или 250), их и следует выбирать в качестве L. А при непрерывном распределении величины ущерба этот эффект исчезает. Замечание. Пример с франшизой иллюстрирует различие понятий: лущерб страхователя X и лущерб страховщика Y. И соответственно, вероятность наступления страхового случая P(A) и вероятность предъявления обоснованного иска о возмещении ущерба (вероятности ущерба для страховщика): P(A|X>L) = P(A)*P(X>L|A) < P(A). 4.4. Характеристики объема страховой ответственности Ранее выяснено отличие ущерба страховщика и ущерба страхователя в договоре с франшизой. В пропорциональном страховании (и в страховании по принципу первого риска) вероятности Устрахового случаяФ и УущербаФ совпадают, но различны величины ущерба сторон. Поэтому в практике страхования при расчете тарифов используется система поправочных коэффициентов (на вероятность), учитывающих особенности договора (Шахов, Гвозденко и др.). Это приводит к тому, что страховщик в своих расчетах опирается не на распределения случайных величин, характеризующих вероятности возникновения страховых случаев и их тяжесть, т.е. распределение величины ущерба, а использует специальный показатель: Уубыточность страховой суммыФ, т.е. отношение общего объема выплат по данному однородному субпортфелю к общему объему страховой ответственности (общей страховой сумме). Разумеется, можно использовать и отношение средних величин. Данный вопрос рассмотрен в соответствующем разделе. Однако, автор настоящей монографии считает, что, несмотря на усложнение расчетов, необходимо опираться на распределение лобъективного риска (у страхователя) и лишь на его основе строить распределение величины ущерба страховщика. Очевидно, что этот подход позволяет получить лишь приближенные оценки интересующих нас характеристик. Однако, для практических целей этого бывает достаточно, т.к. неточность в определении средней может быть учтена с помощью дисперсии и это уточнение может быть отражено в методике формирования рисковой надбавки, а следовательно, и тарифа в целом. (Этот вопрос тоже рассмотрен в соответствующем разделе.) Ранее (в предыдущих главах) рассмотрена простейшая ситуация с фиксированной страховой суммой, выплачиваемой при наступлении страхового случая. И показаны некоторые возможные модификации договора. В имущественном страховании часто возникает проблема определения реальной цены застрахованного объекта, величины реального ущерба, объема предъявляемого требования, размера возмещения. Все это отражено в условиях страхового договора (полиса) и влияет на размер страхового взноса. Изложенное иллюстрирует существенное различие между реальной величиной ущерба, нанесенного страхователю, и величиной иска к страховщику, определяемой с учетом специфики договора. В общем случае можно записать: A - страховой случай, P(A) = p - вероятность страхового случая, X - величина фактического ущерба страхователя в результате наступившего страхового случая 0 y C 1,4 2 5 L Рис 4.2 C x 3 S По горизонтали откладывается реальный ущерб X, по вертикали предъявляемый (согласно договору) иск Y. Считаем, что иск обоснован, т.е. выплата равна иску. Для равномерной плотности: f(x) = 1/C, 0 L (d=0,2) C L 1 1C M(Y5|A)= 0dx+ (X-dC)dx= c cL L ZdZ= (C L)2 C = (1 d)2 = 0.32C 2C C (1 d 2 ) = 1 D(Y5|A) = 0 dx + (x - dC)2dx - cL C C C2 C 1 CL = Z 2 dZ - (1 d 2 ) = (1 d ) 3 - (1 d 2 ) = 2 2 3 c = C2[(1 - d)3 /3 - (1 - d)4 /4] = 0,068C2. Результаты удобно свести в таблицу: Y1 Y2 Y3 5000 4000 4800 М(Y|A) 8.33 5.33 6.83 D(Y|A) 2 (дисперсия D - в млн. у.е. ). Y4 4800 10.02 Y5 3200 6. Это позволяет рассчитать M(Yi) и D(Yi). M(Yi) = pM(Yi|A); D(Yi) = pD(Yi|A) + pqM2(Yi|A). Данные формулы доказываются в теории вероятностей для независимых случайных величин: вероятности страхового случая и величины ущерба при его возникновении. Отметим, что в расчете дисперсии иногда по наивности ошибочно используется формула: D(X) = pD(X/A) вместо правильной формулы: D(X) = pD(X|A) + pq(M(X|A))2. Игнорирование второго слагаемого - недопустимо. Численно это приведет к неоправданному существенному снижению дисперсии, а следовательно, среднего квадратического отклонения, которое, в свою очередь, негативно отразится на оценке степени риска. Что немедленно скажется и на рисковой надбавке, и на надежности. Пример 4. Результаты можно свести в таблицу (p = 0.01, C = 10000 у.е.): Y1 Y2 50 40 МО 331000 211000 D 580 460 СКО 11.6 11.5 К 2 (дисперсия D - в у.е. ). Y3 48 298000 540 11.25 Y4 48 329000 575 12.0 Y5 32 169000 410 12. Интересно отметить ожидаемый размер иска в четвертом - меньше, чем в первом. МО сместилось влево. А правые границы - одинаковы, что и привело к сохранению дисперсии в 4-м договоре. Содержательная сторона этого эффекта подробно рассматривается в разделе Франшиза. Можно только кратко указать, что причина эффекта - в отсутствии информации о малых ущербах. Страховщик видит только большие убытки, а математический аппарат соответственно реагирует на неполноту данных. Если сравнить третий и четвертый договора, можно отметить равенство МО (рисковых премий) и различие СКО (рисковых надбавок, а следовательно, и нетто-премий). Дело в том, что в 3-м договоре отсекаются большие значения ущерба, а в 4-м : малые! Нетрудно заметить пропорциональность 1-го и 2-го результатов. Причем коэффициент пропорциональности (0.8) определяется долей страховщика в возмещении ущерба. Остальное - участие страхователя в возмещении ущерба. Т.е. во 2-м, 3-м и 4-м договорах страхователи передают не весь риск, а лишь часть его. Они участвуют в возмещении ущерба в обмен на снижение своих взносов. Наконец, в 5-м договоре ответственность - минимальна. Видно совпадение коэффициентов вариации в договорах 1 и 2, уменьшение его в договоре 3, где отсекаются большие убытки, и возрастание в договорах 4 и 5, где отсекаются малые убытки. А на первый взгляд, именно безусловная франшиза казалась страховщику наиболее привлекательной (с минимальной дисперсией). Для страховщика подобная ошибка, допущенная в реальном бизнесе, чревата существенным снижением реальной надежности страхования, по сравнению с ожидаемой. Снизится вероятность выживания, т.е. уменьшится возможность выполнить свои обязательства перед клиентами при превышении реального общего ущерба над ожидаемым значением. Например, страховщик будет лоптимистично считать, что обеспечил надежность 95%, а на самом деле его надежность не превышает 70%. Из данного примера (где рассматривается один договор и получен очень большой коэффициент вариации ущерба страховщика) видно, насколько опасно для страховщика принятие одного отдельного риска. Особенно, если этот риск характеризуется очень малой вероятности наступления страхового случая, большой страховой суммой, и большой дисперсией величины ущерба при наступлении страхового случая. Понятно, что ориентироваться на средний ущерб довольно опасно. Фактическое значение величины ущерба при наступлении страхового случая может значительно превысить это среднее. Поэтому для страховщика интерес представляет несколько иной вопрос: какова вероятность, что выплата возмещения не превысит заданное значение. На это влияет как распределение величины ущерба страхователя (свойства объективного риска), так и условия договора, т.к. не всегда ущерб возмещается полностью. 4.5. Расчет рисковой надбавки и нетто-премии Разумеется, в одном единственном договоре трудно ставить вопрос о повышении надежности с помощью рисковой надбавки. Т.к. даже если взять эту надбавку в размере одного СКО, то надбавка превысит рисковую премию в 12 раз, что совершенно недопустимо на практике. Страхователь не согласится платить так много, а страховщику этого явно недостаточно. Но если в портфеле, например, 400 однородных договоров, то МО и дисперсия возрастут в 400 раз, а СКО (для всего портфеля) только в 20 раз, поэтому относительная надбавка уменьшится в 20 раз и составит около 60% от рисковой премии, что иногда вполне допустимо, хотя и не может считаться идеальной ситуацией. Пример 5. Для расчета брутто-премии (страхового взноса) надо разделить нетто-премию на (1-f) = 1 - 0.1 = 0.9, т.е. увеличить на 11%. Результаты сведем в таблицу (единица измерения: Cp = 100 принята за е.с.с.). Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 РП 0.5 0.4 0.48 0.48 0.32 НП 0.79 0.63 0.75 0.77 0.54 БП 0.87 0.69 0.83 0.85 0.60 Необходимо отметить, что в этом примере премия выражена не через страховую сумму, а через цену имущества с учетом страховой суммы и других условий договора. Поэтому соответствующие коэффициенты при С нельзя считать ставками. Тем не менее, показана причина различий ставок в зависимости от условий договора. 4.6. Размер возмещения Пример 6. Теперь рассмотрим, какую компенсацию получит каждый страхователь, если у него произойдет страховой случай, а убытки составят, например, 15%, 50%, 85% от реальной цены С. Результаты удобно представить в виде таблицы: X Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 0.15C 0.15C 0.12C 0.15C 0. 0. 0.5C 0.5C 0.4C 0.5C 0.5C 0.3C 0.85C 0.85C 0.68C 0.8C 0.85C 0.65C В принципе, страховщик должен объяснить своему клиенту все последствия заключаемого договора (размер взноса и возможных выплат), чтобы клиент осознанно выбрал интересующий его вариант. Интересы страхователя прояснились. Проанализируем позицию страховщика. Рассмотрим 5 вышеизложенных договоров и предположим для каждого из них, что страховщик имеет только один такой договор. При этом его интересует вероятность того, что выплата возмещения не превысит, например, 70% от реальной цены застрахованного объекта (P(Y<0.7C)=?). Здесь ему необходимо знание закона распределения Y, но исследовать можно только лобъективный риск страхователя, т.е. Х. Предположим, для иллюстрации, что Х распределен равномерно, т.е. его плотность равна 1/C. Тогда для страхователя: P(X<0.7C) = 0.7. Очевидно, в первом договоре о полной ответственности (Y=X) тождественность этих величин означает: P(Y<0.7C) = 0.7. Итак: Р1=0.7. Во втором - ответственность пропорциональна (a = 0.8), поэтому, чтобы страховщик выплатил 0.7С, ущерб страхователя должен составить: 0.7С/0.8 = 0.875C. Следовательно, P(Y<0.7C)=P(X<0.875C)=0.875. Итак: Р2=0.875. В третьем - ответственность (по правилу первого риска) ограничена сверху; причем граница ответственности (0.8С) выше интересующего страховщика значения (0.7С), поэтому: P(Y<0.7C)=0.7. Т.е. Р3=0.7 (как и в 1-м договоре). Очевидно, ситуация изменится, если искать вероятность: P(Y<0.9C)! В четвертом - ответственность ограничена (снизу) условной франшизой, поэтому: P(Y=0)=0.2; P(0.2C P(0.7C P CX Рис 4. Очевидно, что попытка ориентироваться на СКО для оценки вероятности в одном (таком) договоре - ошибочна! Но, если распределение величины ущерба (страхователя, т.е. Х) - нормальное, (точнее, может быть успешно аппроксимирована этим законом), то МО и СКО (для Х!) позволяют однозначно определить искомую вероятность. Данный пример в первом приближении показывает, что страховщик рискует не столько из-за того, что принял на страхование определенный риск, а из-за того, что фактический ущерб по принятому риску может отличаться от ожидаемого (среднего) в большую сторону. Противоположное отклонение может привести к возрастанию доходов и в отличие от риска рассматривается как шанс. 5. 5.1. Вероятностно-статистическое исследование страхового портфеля Использование функции распределения ущерба при оценке вероятности разорения страховщика Техническое разорение в страховании подразумевает невозможность выполнения страховщиком своих обязательств перед страхователями. Т.е. суммарный объем предъявленных ему исков о выплате возмещений больше, чем собранная им сумма нетто-премий + сумма имеющихся у него собственных средств (начальный резерв) + объем перестраховочной защиты (распространяющийся на предъявленные иски) - плата за перестрахование. Поскольку величины, входящие в правую часть, - фиксированы, то вероятность технического разорения определяется значением функции распределения F(x)=Pr(X - либо с равномерным шагом по аргументу Х; - либо с равномерным шагом по функции F(X). При этом (если распределение не является равномерным, т.е. f(x)=1/(b-a) ), то одинаковый шаг по одной оси приводит к неодинаковому шагу по другой. Поэтому в зависимости от задачи используется тот или иной вид таблицы. Во втором подходе часто используют шаг в 1%, поэтому говорят, что такие таблицы задают процентные точки. Они позволяют указать значение Х=x, для которого F(x) принимает заданное значение. В страховании это задача о том, что величина ущерба не превысит определенного значения. Необходимо отметить универсальность подхода, основанного на процентных точках, в отличие, например, от интегральной теоремы Лапласа (справедливой для нормального закона и близких к нему). С другой стороны, этот подход обеспечивает значительно более точный результат, чем, например, неравенство Чебышева, что объясняется наличием информации (т.е. F(X)). Замечание. При произвольном законе распределения величины ущерба страхователя: F(X) можно графически проиллюстрировать распределение F(Yi) в рассмотренных договорах. Очевидно, что в договоре о полной ответственности: X = Y, поэтому: F(Y1) = F(X). Т.е. кривые совпадут. При пропорциональной ответственности: Y2 = a*X, если обозначить S=aC, то кривая распределения будет определена не на (0, C), а на (0, S), т.е. УсожметсяФ по горизонтали с коэффициентом пропорциональности УaФ. В договоре об ответственности по правилу первого риска (Y3 = X, если 0 F(x), F(y i) F(y2) F(y5 ) F(y3) F(y1) F(y4) P F(y3) L S Рис 5. C-L C L S C-L Рис 5. C Разумеется, можно построить кривые F(Yi) непосредственно, т.е. по точкам, численно. В дальнейшем актуария будет интересовать распределение ущерба в конкретном договоре. В общем случае линии на графике становятся кривыми, соответствующими функции распределения ущерба в данном договоре. 5.3. Коэффициент вариации. Степень риска. В качестве первичной оценки целесообразности принятия нового риска в страховании принято использовать степень риска /3/. Статистический смысл этого показателя - коэффициент вариации. Он рассчитывается, как отношение среднего квадратического отклонения величины суммарного ущерба в портфеле к математическому ожиданию этого ущерба. Если портфель однороден, то из свойства одинаково распределенных случайных величин следует, что при увеличении объема портфеля в n раз коэффициент вариации уменьшается в n раз. Поэтому достаточно рассмотреть ситуацию для одного договора. Пусть p - вероятность наступления страхового случая, и тогда величина ущерба Х распределена по известному закону. Это позволяет рассчитать лусловные математическое ожидание M(X|A) и дисперсию D(X|A). Затем на их основе рассчитываются УполныеФ соответствующие характеристики M(X) и D(X): M(X) = M(X | A) p D( X ) = D( X | A ) p + pq ( M ( X | A )) Это позволяет оценить степень риска: K = CKO/ MO= D(X | A) /(p M(X | A)2 ) + q / p = K2 (X | A) / p + q / p Видно, что в частности, когда величина ущерба при наступлении страхового случая фиксирована, т.е. D(X/A) = 0, то под знаком радикала остается только второе слагаемое и возникает известная формула: K = q / p ; она показывает опасность принятия отдельных рисков с очень малой вероятностью p, особенно, если при этом велика страховая сумма. Если же ущерб распределен, то появляется и второй фактор увеличения опасности для страховщика - большая дисперсия D(X|A) величины ущерба при наступлении страхового случая. Точнее, отношение этой дисперсии к квадрату математического ожидания, т.е. квадрат лусловного коэффициента вариации. Причем эти факторы взаимодействуют (усиливают друг друга). Особую опасность представляют малочисленные очень редкие риски с большим разбросом ущерба. Именно поэтому в имущественном страховании относительная рисковая надбавка в несколько раз превышает аналогичную в договорах о страховании жизни. Замечание. В отечественной страховой литературе иногда приводится коэффициент Коньшина (по имени ученого, предложившего его), но без указания статистического смысла этого коэффициента. Здесь показано, что речь идет о коэффициенте вариации, названного у Бурроу степенью риска. 5.4. Влияние степени риска на рисковую надбавку Если величина выплаты страховщика - фиксирована (X|A = const), то D(X|A) = 0, следовательно, лусловный коэффициент вариации равен 0, тогда степень риска: K = q/p. Рассмотрим для этой ситуации процесс формирования рисковой надбавки (абсолютной и относительной). Итак, вероятность страхового случая УpФ, размер страховой суммы УSФ (выплачивается полностью при наступлении страхового случая), число договоров в портфеле УnФ, договор может породить не более одного страхового случая (после которого действие договора прекращается, но может быть заключен новый договор). Страховая премия вносится единовременно. Тогда m - случайное число страховых случаев в этом портфеле. M(m) = np, D(m) = npq. Согласно интегральной теореме Лапласа для биномиального распределения: P(np - d < m < np + d) = Ф(t), d = t npq ; P(m > np + d) = (1 - Ф(t))/2. Это и есть вероятность разорения. (Ясно, что эта теорема применима лишь для некоторых распределений, которые можно успешно аппроксимировать нормальным, а для остальных необходимо использовать более общую, а потому и более грубую формулу - неравенство Чебышева.) Теперь рассмотрим суммарную собранную рисковую премию: npS, и суммарную рисковую надбавку: рисковую надбавку: t npq S. И найдем относительную рисковую надбавку: = t npq S / npS = t q / p 1/ n. Первый множитель характеризует требование к надежности, второй - степень риска в одном отдельном договоре из этого портфеля, третий - объем портфеля. (Отметим, что произведение второго на третий - степень риска для всего портфеля.) Видно, что при прочих равных относительная рисковая надбавка (ее доля в тарифе) увеличивается, если: - повышается требование к надежности или степень риска в одном договоре (снижается вероятность страхового случая), - уменьшается объем портфеля. Собранная страховщиком (единовременная) брутто-премия состоит из трех частей: - суммарной нагрузки на ведение дела (и прибыль акционеров), суммарной рисковой премии (обеспечивающей эквивалентность обязательств сторон и выплату страхового возмещения для среднего числа страховых случаев), суммарной рисковой надбавки (для обеспечения возможности выполнения страховщиком своих обязательств, если количество страховых случаев несколько превысит среднее). В предположении о среднем числе страховых случаев можно считать, что суммарная рисковая надбавка составит ложидаемую прибыль страховщика. Однако, необходимо сразу оговорить, что эта сумма принадлежит совокупности страхователей (из этого портфеля), а не страховщику. Поэтому она не может быть направлена на дивиденды акционеров или премирование работников. Эта сумма должна быть использована в интересах страхователей (этого портфеля). Например, она направляется в резерв. Дальнейшее использование которого: - либо инвестирование (тогда доходы от него используются в интересах клиентов, например, путем снижения взносов); - либо сдвигом влево (уменьшением) левой границы зоны ответственности резерва (это означает сокращение зоны ответственности рисковой надбавки - ее уменьшение), т.е. снижение тарифа; - либо сдвигом вправо правой границы зоны ответственности резерва, следовательно, сокращение зоны ответственности перестрахования, и соответственно, платы за него, что также способствует удешевлению страхования, в целом. Возможно и непосредственное поощрение тех страхователей, у которых не было страховых случаев. Эти средства также могут пойти и на увеличение резерва (в ожидании роста числа страховых случаев и объема возмещений в будущем). Однако эта пассивная стратегия поведения на страховом рынке используется достаточно редко. На рис. 5.3. (копия рис. 1.11.) приведены зоны ответственности различных факторов в обеспечении надежности. По вертикали отложена вероятность ущерба определенной величины. вероятность рисковая надбавка капитал перестрахование риск предпринимателя рисковая премия Рис. 5.3. Порядок расположения зон ответственности на этом рисунке косвенно иллюстрирует последовательность задач, которые приходится решать актуарию страховой компании. И в историческом аспекте (как появлялись эти задачи), и взаимосвязь этих задач в реальном страховом бизнесе. Хотя, конечно, перечень задач весьма условен и существенно сокращен. Тем не менее, видно, что в условиях рынка (где требуется рациональный компромисс между надежностью и конкурентоспособностью) выбор оптимальной тарифной политики, правил формирования резерва, а также сравнительно недорогой и эффективной перестраховочной программы представляет собой нетривиальную задачу. 6. Особенности имущественного страхования 6.1. Основные положения Исторически сложилось так, что наиболее развитым и технически оснащенным разделом актуарных расчетов стали расчеты в страховании жизни. После появления актуарных методов в страховании собственности и ответственности принято разделять актуарную математику в имущественном и личном страховании. Но это разделение условно, например, в страховании здоровья. С точки зрения владельцев страховых компаний (а также акционеров и чиновников, курирующих страховой бизнес) страхование жизни выделено в отдельную отрасль (а иногда и отделено от других видов страхования!), прежде всего, из-за очень больших денежных сумм, которые здесь обращаются. Суммарные взносы и суммарные возмещения, приходящиеся на страхование жизни, составляют в развитых странах от 30% до 50% всех страховых взносов (и соответственно, возмещений). Это определяется особой ролью страхования жизни при социальной защите семьи пострадавшего. С актуарных позиций особенностью этой отрасли страхования является опора на достаточно устойчивую функцию дожития. (Чего, например, нет в имущественном страховании.) Кроме того, в страховании жизни отсутствует понятие реального ущерба, присущего имущественному страхованию. Человек вправе сам назначать произвольную страховую сумму. И если страховой случай произойдет, страховщик обязан будет выплатить обусловленную сумму (если не докажет злого умысла). Страховщик может отказаться принять этот риск, или повысить (в разумных пределах) размер взноса, но он не в праве снижать эту сумму (например, мотивируя это свое решение тем, что жизнь нищего ничего не стоит). Сможет ли и захочет ли клиент платить высокий взнос, - другой вопрос! В имущественном страховании актуарная ситуация существенно отличается. Прежде всего, высокой динамикой процесса. За последние годы в России появились принципиально новые объекты имущественного страхования, которых раньше просто не было. Коттеджи, дорогие импортные автомобили, дорогая бытовая техника, электроника и т.д. Следовательно, необходимо уметь оценивать новый риск, используя информацию о подобном риске /6/. Кроме того, имущество подвержено физическому и моральному износу, что отражается на его реальной цене и потому требует особых методов оценки риска (этот элемент отсутствует при страховании жизни). Например, человек купил в середине 1995 г. персональный компьютер У486Ф с самым лучшим по тому времени оснащением за 2500 у.е. Через два года, после окончания гарантии, он решил застраховать компьютер. Но страховщик оценил (в середине 1997 г.) реальную цену этого предмета не в 2500, а в 750. И предложил именно эту сумму включить в договор. Его мотивировка. Современная цена такого же нового компьютера с таким же оснащением 1000. Тогда, с учетом физического износа компьютера, человек сможет купить подержанный компьютер за 750. Следовательно, не имеет смысла устанавливать компенсацию ущерба выше этой величины. Иначе у клиента появляется мотив уничтожить старый компьютер, чтобы за полученную страховку купить новый, более совершенный. Если клиент не сразу поймет ситуацию и будет продолжать настаивать на завышенной страховой сумме, страховщик обязан предупредить клиента, что согласно общим правилам страхования, выплата не может превышать реальную цену, поэтому клиент ничего не выиграет, а только проиграет, будет платить много, а получит маленькую компенсацию. Более того, страховщик обязан разъяснить клиенту, почему договор составляется лишь на короткий срок и требует частого переоформления. Дело в том, что со временем надежность изделия падает, поэтому ставка повышается, несмотря на снижение страховой суммы из-за физического и морального износа. Такая же ситуация возникает с автомобилями. (Причем, как со страхованием самого автомобиля, так и при страховании ответственности владельца.) И это является не последним фактором стремления жителей развитых стран к частой смене своих автомобилей. Поскольку величина ущерба - случайна и может быть достаточно малой (соизмеримой с затратами, вызванными предъявлением иска и оценкой величины ущерба), возникает сомнение в целесообразности требовать возмещение малых ущербов. Так появилась франшиза (участие страхователя в возмещении ущерба в обмен на снижение взноса) - элемент договора, невозможный в страховании жизни. Необходимо также учитывать, что один договор в имущественном страховании может породить несколько требований об оплате (например, страхование автомобиля от аварии в течение одного года). Подобная ситуация невозможна в страховании жизни. Таким образом, имущественное страхование имеет четко выраженную специфику. Здесь возникает нетривиальная задача оценки реальной цены объекта страхования (причем иногда требуется динамика этой оценки) и определение величины реального ущерба. Тогда требуется составить обоснованную методику расчетов, которая связывает цену, ущерб, страховую сумму, размер возмещения. А на основе этого рассчитываются тарифы, размер резервов, условия перестрахования, оценивается устойчивость страховщика и т.д. При определении тарифов в имущественном страховании перед актуарием возникает задача прогнозирования двух специфических процессов: C(t) - зависимости от времени реальной цены застрахованного объекта (с учетом его морального и физического износа), а также P(t) - вероятности наступления страхового случая. Изобразим графически эти процессы. С(t) P(t) T T t k t Рис. 6.1. Математическое ожидание предстоящих выплат - это T C (t ) P(t )dt C(t) X(t) Р(t) T Рис 6.2 t Поэтому, ошибка в выборе хотя бы одной кривой приводит к неверным результатам. Это немедленно отражается либо на конкурентоспособности, либо на устойчивости. Разумеется, ситуация усложняется, если взнос - не единовременный, а рассроченный, так как возникает возможность недополучения всех взносов, при сохранении обязательства выплаты возмещения в полном объеме. Для актуария это означает необходимость расчета интеграла не только по всему сроку действия договора, но и интегралов с произвольной верхней границей от 0 до Тк. Положение усугубляется тем, что в имущественном страховании актуарий часто имеет дело с новым риском, по которому у него нет информации за предыдущий период. Тогда он вынужден работать с подобными рисками. Это обстоятельство также вносит элемент случайности, т.е. увеличивает возможность отклонения реальной ситуации от ожидаемой. Конечно, учет прогнозируемой процентной ставки i(t) и соответственно, современной цены обязательств сторон также усложняет задачу. Приходится ограничивать период действия договора (например, 1 год). Очевидно, результаты решения этой частной задачи отражаются на целом ряде других актуарных задач: определении максимальной величины принимаемого риска и величины резерва (капитала), выбора перестраховочной программы и т.д. Понятно, что динамика процесса имущественного страхования приводит к частому пересмотру методик расчетов (значительно более частому, чем в страховании жизни). Эта специфика имущественного страхования в определенной мере присуща и страхованию ответственности (когда речь идет о компенсации причиненного материального ущерба). В определенной мере, с такими же проблемами встречается актуарий и при страховании здоровья (инвалидность, утрата профессиональной квалификации и т.д.). Следует иметь в виду и то, что имущественное страхование может применяться к отдельным очень большим рискам (крупный завод), что совершенно особого подхода (многократного потребует перестрахования). Поэтому работа актуария в имущественном и в личном страховании существенно различается. Все вышеизложенное является достаточным аргументом для того, чтобы уделить серьезное внимание актуарному обоснованию имущественного страхования. 6.2. Специфика актуарных задач в имущественном страховании Ранее рассмотрены основные проблемы: тарифы, капитал, вероятность разорения, перестрахование, свойственные всем видам страхования. Например, показано, что, имея больший капитал для покрытия риска, крупная компания может позволить себе удержать больший риск, и за счет этого, в среднем, получить большую прибыль. Но, кроме величины капитала, выбираемая стратегия зависит и от готовности руководства компании к риску. При определении тарифа необходимо учитывать предполагаемый объем прибыли и вероятность ее получения. Наконец, структура портфеля (сбалансированная или наоборот) также влияет на принимаемое решение. Очевидно, что удержание увеличивается с ростом капитала, готовности к риску, прибыльностью и сбалансированностью портфеля. В кн. Штрауба /32/ приведена формула: удержание = (капитал готовность к риску прибыльность) / / несбалансированность Итак, зная любые 4 показателя, можно найти 5-й. Однако, в действительности, при вычислениях требуется учесть и другие факторы (например, платежеспособность). Определяя несбалансированность, то есть максимально допустимую рисковую нагрузку, которую страховщик в состоянии выдержать, следует учесть результаты принятия различных решений в прошлом. Как ранее показано, рисковая премия вычисляется из предположения, что каждый риск в долговременной перспективе должен финансировать свои собственные страховые возмещения, в сочетании с требованием ко всему портфелю (совокупный страховой взнос должен покрывать совокупные выплаты). Если портфель идеально однородный, то эти два принципа тождественно совпадают. Но в реальности каждый портфель содержит и неоднородные риски (иногда даже в одном виде страхования, например, автотранспортного). Тогда возникают вопросы о надежности данных по разным рискам, о влиянии категории риска на премию, об измеримости степени неоднородности портфеля. Здесь используются Удоверительные оценкиФ. Иногда общий резерв разбивают по направлениям страхования. Уровень удержания всегда зависит от вида страхования. Аналогично, различаются и критерии принятия или непринятия риска. Различный колебаний страховых возмещений отражается на характер несбалансированности. Ранее отмечалось, что процесс страхования может быть смоделирован в виде резервуара с постоянным притоком и случайным стоком. Отношение суммарного объема возмещений Z к сумме собранных взносов P - это убыточность за период. Достаточно часто процесс может быть представлен в виде модели Эрланга, с параметрами 1/m и. Pr(x < X < x+dx) = exp(-x/m)dx/m Pr(t < T < t+dt) = exp(-t)dt С помощью свертки выводится формула Пуассона. Модель резервуара в страховании имеет много общего с задачей управления запасами на складе. Интересную параллель можно провести между перестрахованием и системой водохранилищ (где приток случаен, а сток регулируется). С некоторыми ограничениями можно сравнить страхование с системой массового обслуживания (но, в отличие от взносов, которые можно запасать, время отсутствия клиента не запасается, а теряется). Теория надежности, успешно применяемая в технике, имеет много общего со страхованием, если интенсивность скачка нагрузки заменить величиной возмещения. Это позволяет успешно переносить идеи и методы из одной сферы применения в другую. 6.3. Некоторые актуарные вопросы автотранспортного страхования Рассмотрим автотранспортное страхование и на его примере проиллюстрируем некоторые задачи /18/. Согласно принципу пропорциональной оплаты: возмещение = ущерб страховая сумма / цена автомобиля Естественно: возмещение < страховая сумма. Пример 1. Цена автомобиля 5000 у.е., страховой ущерб 3000 у.е. Тогда в зависимости от страховой суммы возмещение составит страховая сумма 2500 5000 6000 возмещение 1500 3000 3000 Если с целью уменьшения размера взноса страхователь предоставил неверную информацию (намеренно или ненамеренно), и это выяснилось до наступления риска, то страховщик вправе изменить договор (а при несогласии страхователя - отменить договор). (Характер риска изменился, распределение ущерба - другое.) При выяснении истины после случая страховщик платит возмещение по правилу: возмещение = ущерб оплаченный взнос / УправильныйФ взнос Клиент сам себя наказал. Обратной силы правило не имеет. Если клиент платил взнос больший, чем требовалось, возмещение не увеличится. Кроме сформулированного принципа пропорциональной оплаты возмещения, в автотранспортном страховании активно используется принцип участия в оплате возмещения. Все компании, где был застрахован этот риск, участвуют в оплате. Пример 2. Два человека имеют по автомобилю ценой 8000 у.е. и застраховали свои автомобили на 1 год. Первый в компании A на сумму 4000, а второй - в компании B на сумму 3000 и в компании C на сумму 2000. У обоих случилась авария (не по их вине) с одинаковым ущербом: a) 1000, b) 4000, c) 5000, d) 6000. Какую компенсацию каждый из них получит? Решение. Первому его страховщик (A) обязан оплатить 4000/8000 = 50% его ущерба в каждом варианте (но не более 4000, что выполняется). У второго суммарная страховка предусматривает страховую сумму 62.5% цены, поэтому в каждом варианте B выплачивает 37,5% ущерба, а C - 25% ущерба, но каждый платит не более страховой суммы, указанной в договоре. Интересно рассмотреть третьего страхователя с суммами: 5000 (в компании В) и 7000 (в компании С). Его суммарный взнос будет в 1,5 раза превышать требуемый, но возмещение он получит только в размере фактического ущерба (в пропорции: 5(B)/7(C) соответственно). Для российского страхового рынка, где большинство компаний слишком слабы, чтобы полагаться только на свои возможности, перестрахование имеет особое значение. В частности, для компании очень важно правильно определить свою границу покрытия (уровень собственного удержания). Риски, превышающие этот уровень, подлежат перестрахованию. Причем часто приходится покупать перестраховочную защиту у крупных иностранных компаний (в России разместить такой риск невозможно). Капитал безвозвратно уходит за рубеж. Пример 3. Граница покрытия 2000, страховая сумма 15000, тогда перестраховочная сумма 13000. Следовательно, если собранный страховой взнос составляет (например) 30, то из них перестраховщику идет: 30 (13000 / 15000) = 26 И это при условии, что цена единицы риска у перестраховщика такая же, как у страховщика. На самом деле, из-за неполноты информации у перестраховщика распределение риска несколько иное, да и требования к надежности - выше, поэтому цена перестрахования на практике несколько выше цены страхования. Поэтому цедент вынужден либо отказываться от заключения договора со своим клиентом, либо идти на повышение своего риска. Специфика условий играет в имущественном страховании существенную роль. (Временно абстрагируемся от автотранспортного страхования.) Интуитивно ясно, что на вероятность разрушения дома оказывают воздействие ряд факторов, характеризующих данный район (с точки зрения возможности землетрясения, наводнения, пожара и т.д.). Кроме того, важны и конструктивные особенности дома, способные противостоять этим факторам разрушения. Вопрос в количественной оценке влияния каждого фактора и их совместного воздействия на объект. С принципиальных позиций данная актуарная задача может быть сведена к многомерной дисперсионной модели. В результате решения выделяются факторы (и их комбинации), оказывающие существенное влияние на вероятность страхового случая. На практике строится многомерная таблица, в каждой клетке которой указан поправочный коэффициент к определенному тарифу. Этот поправочный коэффициент в первом приближении может быть определен на основе отношения числа разрушенных (или пострадавших) домов, обладающих данным свойством, к общему числу разрушенных домов. Если выборка недостаточно велика, в многомерной таблице будет очень много пустых ячеек, а в остальных - мало объектов, что уменьшает достоверность выводов. Тогда можно попытаться определить поправочные коэффициенты для каждого фактора в отдельности, а затем перемножить их. Но надо иметь в виду, что совместное воздействие двух и более факторов может быть направлено, как в одну сторону, так и в противоположные. Насколько мультипликативный поправочный коэффициент будет адекватен реальной ситуации? Аналогичный подход может быть применен в автотранспортном страховании при учете, например, качества дорог, интенсивности дорожного движения и других факторов, влияющих на количество происшествий; а также характеристики автотранспортных средств (марка, возраст и т.д.). Важен и водитель (возраст, стаж, число происшествий в прошлом и т.д.) (см. /18/). Для автотранспортного страхования актуальность приобретает следующее условие: не может быть страхования нарушений правил дорожного движения. С другой стороны, нельзя рассматривать страховку как альтернативу дисциплины за рулем. Страховая сумма при страховании автомобиля может быть определена либо только владельцем (объявленная стоимость автомобиля), либо совместно страховщиком и страхователем (договорная стоимость). Договор, как правило, заключается на 1 год. Возможно, заключение договора на меньший срок, но тогда взнос не обязан быть пропорциональным длительности этого срока. В разные времена года вероятность происшествия неодинакова. Поэтому в данном виде страхования необходима статистика по месяцам, а не только по годам. Выше приведена идея формирования поправочных коэффициентов в мультипликативной форме. На практике чаще используется аддитивная формула. Это не принципиально, так как первая преобразуется во вторую логарифмированием. Но вторая проще для восприятия. Вводится система баллов (возраст водителя, характеристика местности, стаж водителя, марка и год выпуска автомобиля, могут учитываться и дополнительные данные, например, образ жизни водителя и т.д.). Эти баллы удобнее строить по принципу УштрафаФ, чем больше баллов, тем выше взнос. Трудность в правильном подборе весовых коэффициентов для адекватного отражения действительности. Разумеется, система должна предусматривать стимулирование УхорошихФ клиентов, у которых фактическое положение дел лучше ожидаемого. И наоборот, клиент, совершивший аварию, в следующем году будет платить больший взнос. Этот пример рассмотрен ранее /18/. В кн. /18/ приведены некоторые задачи автотранспортного страхования. В частности, исследована зависимость суммы возмещений от следующих факторов: сумма страховых взносов, сумма перестраховочных взносов, количество страховых взносов, число страховых выплат, сумма резервов от урегулируемых возмещений. Данные представлены за ряд лет. Поэтому была введена дополнительная переменная - время, что позволило устранить автокорреляцию. Использована гребневая регрессия. Это позволило устранить мультиколлинеарность /1, 16/. Здесь же /18/ рассмотрена задача классификации районов для определения соответствующего весового коэффициента в системе баллов. Невозможность из-за мультиколлинеарности выполнить классификацию в пространстве исходных признаков потребовало перехода в пространство наиболее весомых главных компонент и классификации в нем. Дисперсионный анализ позволил проверить наличие влияния на страховой риск: района, вида автомобиля и взаимодействия этих факторов. Задачи такого типа подробно изучаются в курсах: УМатематическая статистикаФ и УМногомерные статистические методыФ. 6.4. Динамика реальной цены застрахованного имущества Ранее решались задачи в предположении о неизменной (во времени) цене застрахованного имущества. Однако, моральный и физический износ требуют учета фактора времени в актуарных расчетах. Особенно, при определении реальной цены имущества на момент возникновения страхового случая, реальной величины ущерба, понесенного страхователем, и оценке вероятности возникновения страхового случая в различные моменты (или интервалы) времени. Рассмотрим ситуацию на рынке компьютеров. В некоторый момент появляется новая модель (или модификация). Сначала только в одной-двух торгующих фирмах. Цена существенно выше, чем себестоимость плюс накладные расходы (доставка, хранение и т.д.). Здесь покупатель платит еще и за престиж обладания самой современной моделью. Затем число фирм, торгующих этой моделью, увеличивается, а первый (ажиотажный) спрос на изделие уже удовлетворен. Меняется соотношение между спросом и предложением, поэтому цена снижается. Тем более, что в специализированных компьютерных журналах появляются сообщения о том, что уже разработана следующая, более совершенная модель, которая скоро поступит в продажу. (Рис. 6.3.) C(t) Tk Tk+ Tk+ Tk+ t Рис 6. Далее на рынок, действительно, выбрасывается новая модель, поэтому цена на исследуемую модель быстро снижается. Проявляется эффект морального износа, снижения престижности предыдущей модели. Наконец, цена достигает некоторой нижней границы, соизмеримой с расходами продавца, т.е. цены распродажи, если она ниже себестоимости. Ниже цена, как правило, не падает, т.к. тогда дешевле товар просто выбросить, чем торговать им. На этом графике по горизонтали - время t, по вертикали цены изделий C(t). Новые модели появляются на рынке в моменты времени Ti. Это отражается на ценах предыдущих моделей. Причем наиболее сильно на той, которая была ранее наиболее совершенной, а потому и самой престижной. Технический прогресс приводит к тому, что цена нового изделия несколько повышается по сравнению с предыдущей моделью, но при этом цена растет значительно медленнее, чем, например, быстродействие и объем памяти (основные характеристики производительности ПЭВМ). Тип кривых, в принципе, идентичен, что позволяет использовать идею подобного риска. Т.е. прогнозировать поведение цены вновь появившейся на рынке модели, исходя из поведения более ранних моделей. После построения кривой, отражающей изменение реальной цены модели, можно оценить математическое ожидание (и дисперсию) возможного ущерба страховщика при страховании данного риска (имущества). Здесь используется информация о распределении величины ущерба для предыдущих моделей. При этом вероятность возникновения страхового случая и размер ущерба привязываются в возрасту изделия (сроку эксплуатации). (Рис. 6.4 аналогичен рис. 6.2). C(t) X(t) Р(t) T Рис 6.4 t Сначала ущерб мал из-за высокой надежности нового изделия. Возможен также учет наличия гарантии продавца и/или производителя. Затем ожидаемый ущерб растет из-за снижения надежности (при достаточно высокой реальной цене) в результате эксплуатации. Наконец, существенное снижение реальной цены влияет сильнее, чем продолжающее снижение надежности, поэтому ущерб может снижаться. Здесь страховщик исходит из того, что при страховом случае возмещаться будет не номинальная цена, а реальная, с учетом морального и физического износа: X(t)=P(t)*C(t). Теперь, имея распределение величины ущерба на отрезке времени действия полиса, можно приступить к расчету рисковой премии, надбавки, необходимого резерва, оценки потребности в перестраховании и т.д. 6.5. Применение процедуры свертки при расчете рисковой премии с учетом динамики процессов на рынке страхования имущества Пусть договор предусматривает полное возмещение ущерба при наступлении страхового случая (S = C). Договор заключен на период времени T (на практике - 1 год). Известен характер динамики номинальной цены застрахованного объекта C(t) и плотность распределения вероятности наступления страхового случая P(t) на отрезке времени (0, Т). Тогда математическое ожидание возможного номинального ущерба: P ( t ) C ( t )dt. Если для упрощения считать, что на этом интервале времени процентная ставка постоянна: i(t) = i, то для подсчета математического ожидания современной цены ущерба удобно использовать аппарат непрерывных процентов. (1 + i) = e ; = ln(1+i). T Тогда современная цена ожидаемого ущерба: P ( t ) C ( t ) v dt, t где: v = 1/(1+i) = e t,т.е. P( t ) C( t ) e dt =современная цена. T В то же время для внесенной единовременной рисковой премии нет необходимости прибегать к подобной процедуре. Ее современная цена - фиксирована и известна. Поэтому: T П= P (t ) C (t ) e dt. Понятно, что это значение несколько меньше, чем полученное по классической формуле: П = pS, или в развернутом виде: P(0 T P (t ) C (t ) e T dt = C(0)P(0) (1-at)(1-bt+ ct2) e-t dt. Традиционная замена u=t позволяет преобразовать интеграл к виду: T / C(0)P(0) (1-au/)(1-b u/+ c u2/2) e-u du/ T Под знаком интеграла многочлен третьей степени, это приводит к сумме трех интегралов вида: A uk e-u du, k=0,1,2,3. Интегрирование по частям позволяет получить рекуррентную формулу. Однако, аналитическое решение выглядит достаточно громоздким и не упрощает процесс исследования зависимости результатов решения от параметров. Поэтому более предпочтительным является численное решение в силу своей универсальности. Тем не менее, приведем формулу: J(k)= uk e-uf du = (-1/f)( uk e-uf Цk*J(k-1)) 0 T Отсюда последовательно получаем: J(0), J(1), J(2), и т.д. Следовательно, страховщик, используя формулу: pS, несколько завышает плату за страхование. Отметим, что указанное различие возрастает с ростом инфляции. Страховщик, игнорируя эту деталь, получает некоторый дополнительный резерв для повышения своей устойчивости. В частности, при этом уменьшаются негативные последствия ошибок при определении рисковой премии. Однако, страховщик не должен считать полученные при использовании этой методики дополнительные средства своей прибылью, которую можно использовать для выплаты дивидендов. Это, как и неиспользованная часть суммарной собранной рисковой надбавки, является собственностью всей совокупности страхователей (из этого портфеля) и должно быть использовано в их интересах. 6.6. Оценка риска на основе данных страховщика Для оценки размера требуемого резерва вычисляются показатели риска. Пусть взносы страхователя Е, а выплаты страховщика S. Очевидно, что в общем случае, в произвольный момент времени, эти величины не равны. Разность можно интерпретировать, как условную прибыль одной из сторон. С учетом вероятности р эта разность составит: В=р(SЦE), а для р(S E). В актуарной литературе /12/ эта группы договоров: B = величина получила название математического или среднего линейного риска. Предполагается, что вероятная прибыль страховщика и страхователя одинаковы и равны половине этой величины. Но чаще используется величина среднего квадратического риска: (E) = р(S E) 2. В имущественном страховании договор заключается чаще на срок до одного года. Тем не менее, для иллюстрации принципа мы исходим из того, что срок действия договора составляет несколько периодов (например, месяцев), на каждом из которых действует постоянный дисконтирующий множитель V. Тогда единовременная премия t страхователя: E = V p t, где рt - вероятность выплаты возмещения именно в t-й период. Следовательно, прибыль для этого периода: (Vt - E), тогда для вычисления среднего квадратического риска используется формула: ((E))2 = (Vt E)2 pt = V2tpt 2E Vtpt + E2 pt. Если обозначить первое слагаемое через E и учесть, что во втором слагаемом V t p t = E, то второе слагаемое превратится в 2Е2. Следовательно, все выражение примет вид: ((E))2 = E E 2 (2 p t ), тогда: (E) = E E 2 (2 p t ). Видно, что уменьшается с ростом Е. Далее предполагается, что резерв должен составить удвоенное или утроенное значение среднего квадратического риска (т.е. 2(Е) или 3(Е)). При большом числе договоров нормальная аппроксимация вполне корректна, поэтому значению d=2 соответствует вероятность (надежность) 0,954, а значению d=3 - вероятность 0,997. Пусть свободный резерв Fr не служит для уплаты страховых сумм, а Gr - современное значение ожидаемой от страхования прибыли, Br - средний квадратический риск. Тогда: Br = 2-Gr - резервы риска. Если Fr>Br, то есть скрытый резерв риска. Эта разность указывает Рассмотрим: FrЦBr=Fr+Gr-2. абсолютную устойчивость страхования, поэтому положительная разность свидетельствует об абсолютной финансовой устойчивости данного вида страхования. Теперь можно выбрать из условия: Fr+Gr=0, (т.е. =(Fr+Gr)/), которое характеризует относительную устойчивость страхования. Основные трудности при использовании данного подхода заключаются в необходимости знания оценки будущих финансовых результатов. А они, в свою очередь, зависят от размеров взносов, которые устанавливаются в настоящий момент. Замечание. Преложенный подход, в определенном смысле, аналогичен вышеизложенной концепции степени риска. Вместе с тем видны некоторые различия, что свидетельствует о неоднозначности решения данной проблемы. 6.7. Практика оценки финансовой устойчивости страхования Для контроля ситуации фактические выплаты сопоставляются с тарифной ставкой. Если годовые выплаты Z, среднегодовые страховые суммы S, а тарифная ставка П, то Z / S 100 - размер фактических выплат на 100 у.е. страховой суммы, а Z / S П 100 2 - процент лубыточности страхования. Сравнение показателей в динамике позволяет оценить тенденции финансовой устойчивости данного вида страхования /19, 21/. Из формулы видно, что точность оценки зависит от правильности определения средней тарифной ставки, а также от числа страхователей, которое все время меняется, но в принципе имеет тенденции к возрастанию. Играет роль и структура совокупности страхователей. Все это приводит к большим сложностям. Получить аналитические результаты невозможно. Необходимо использовать вычислительную технику даже решения этой, с первого взгляда, достаточно простой задачи. Положение усугубляется необходимостью разбиения всей группы страхователей на однородные подгруппы, в частности, и по давности страхования. Но даже это не гарантирует полной адекватности результатов. Замечание. В данном разделе излагается лишь один из возможных подходов при оценке лубыточности страхования. Он - не единственный и не самый точный. В частности, реальные страховщики на практике сталкиваются с ситуацией, когда объем портфеля растет. Тогда этот подход не вполне верен. Фактическая убыточность может быть несколько выше, чем рассчитанная по этой методике. 6.8. Оценка хозяйственно-финансовых рисков В имущественном страховании используются следующие показатели: Nmax - страховое поле (число хозяйств); - общая численность застрахованных N объектов; r - число страховых случаев; r - число пострадавших объектов; S - страховая сумма всех застрахованных Sп объектов; V - страховая сумма пострадавших объектов; W - сумма поступивших страховых платежей; - cумма выплат страхового возмещения. Среди показателей выделяют средние: S = S/N - средняя годовая сумма застрахованных объектов; - средняя страховая сумма пострадавших объектов; - средний размер выплаченного страхового возмещения; - средний размер страхового платежа. S п = S п /r | W = W/r V = V/N Сопоставления S п и S позволяет сравнить стоимости пострадавших и застрахованных объектов. При существенном различии необходим анализ страховых рисков. Далее сравниваются W и S п, что позволяет оценить полноту уничтожения объектов. Сравнение тенденции развития страхования. W иV позволяет оценить Указанные сопоставления позволяют рассмотреть важные лотносительные показатели, которые характеризуют состояние на определенный момент. На основании представляемых отчетных данных вычисляются: доля пострадавших объектов, показатель выплат страхового возмещения, уровень взносов по отношению к страховой сумме, показатель убыточности и некоторые другие. В то же время ряд показателей может быть получен только в результате специально проведенного статистического исследования. Перечислим некоторые показатели (П): П. охвата объектов добровольным N/Nmax r /N страхованием; - П. частоты страховых случаев; r/ r - П. опустошительности страховых случаев; r/N - П. доли пострадавших объектов; W/Sп - П. полноты уничтожения; W/V - П. выплаты страхового возмещения; V/S - уровень взносов по отношению к страховой W/S сумме; - П. убыточности страховой суммы (р). Особую роль играет р, где сопоставляется сумма выплаченных возмещений с общей страховой суммой застрахованных объектов (объемом ответственности). Этот основой обобщающий показатель является результатом взаимодействия 5 из 7 основных объемных показателей. V не влияет на р, но сам зависит от него, так как р напрямую влияет на ставку. W = W(r, Sп, W/ Sп ) = r Sп W/ Sп = r W S = S(N, S ) = N S p = W/S = r W/N S = (r/N) (W/ S ), где второй множитель можно трактовать, как коэффициент тяжести страховых событий. Можно представить р в виде: p = (r/N) W/ S. Если доля r/N в отчетном году (по сравнению с базисным) сократилась на 10%, среднее возмещение возросло на 5%, и средняя страховая сумма застрахованных объектов увеличилась на 15%, то индекс убыточности равен: (1Ц0,1)(1+0,05)/(1+0,15)=0,91,05/1,15=0,82=82 %. Индекс снизился на 18 %. Эти соотношения используются при анализе р. 6.9. Показатели тарифной ставки Полученный ранее показатель убыточности р используется для определения тарифной ставки, точнее: брутто-ставки, которая является суммой нетто-ставки и нагрузки. Нетто-ставка отражает величину ожидаемого показателя убыточности и предназначена для покрытия убытков страхователя. Нагрузка необходима для предупредительных мероприятий, административно-хозяйственных расходов, образования запасного фонда. На практике часто нетто-ставка составляет 90 % (91 %) от брутто-ставки. Замечание. По свидетельству российских страховщиков - практиков, в настоящее время доля нетто-ставки в брутто-ставке составляет: 60% - 70% в страховании имущества и 80% - 90% в страховании жизни. Расчет показателя убыточности (за конкретный отрезок времени в определенном регионе, для конкретного риска) позволяет выявить закономерности и спрогнозировать развитие процесса. Если предположить, что W / S равно 1 условной единице (единице страховой суммы), то р характеризует вероятность полной утраты (возмещения) страховой суммы. Соответственно, q=1Цp - означает вероятность отсутствия необходимости в возмещении. Возникает биномиальное распределение, где математическое ожидание МО=Np, а среднее квадратическое отклонение CKO= Npq. Если стоимость каждого объекта S, то при полной их утрате страховщик с вероятностью р должен выплатить сумму из доверительного интервала: NpS t Np(1 p). А вариация показателя убыточности при этом находится в пределах: p t p(1 p)/N. Для оценки финансовой устойчивости можно использовать показатель (коэффициент вариации): СКО/МО, который равен: Npq / Np = (1 - p) / Np. Чтобы учесть вероятность, рассматривают: Ф = t (1 p)/Np, рост которого означает снижение финансовой устойчивости. Если р - постоянно, N - увеличивается, то Ф - снижается, т.е. устойчивость растет. Если N - постоянно, а р - увеличивается, то возникает тот же эффект. Но интерпретация различна. В первом случае устойчивость повышается за счет объема портфеля, а во втором - за счет повышения ставки платежей (и снижения конкурентоспособности). При различных направлениях изменения р и N величина Ф является равнодействующей. Из общих принципов проведения актуарных расчетов известно, что объединение неоднородных рисков в одну группу приводит к возрастанию вариации, а, следовательно, к росту нетто-ставки, т.е. - к снижению устойчивости. И, наоборот, при разбиении на однородные группы, внутри которой риск варьирует в сравнительно небольших пределах, устойчивость повышается. Если условия стабильны, то ставки - постоянны. Пусть u - брутто-ставка для N объектов стоимостью s каждый. Тогда общий размер взносов: Nsu. Следовательно, с учетом показателя убыточности p выплаты возмещение, надбавка находится в интервале: Ns(u p) st Np(1 p). Пример 4. U=0,005, p=0,004, N=10000, s=500. Решение. Здесь: 500 10000 (0,005 0,004) 10000 0,004 0,996 = 5000 3156 (от 1844 до 8156). При t = 1, т.е. = 0,683. При увеличении диапазон величины надбавки колеблется в более широких пределах. Заметим, что левая граница должна быть неотрицательной, а это налагает ограничение на надежность. На покрытие расходов, предусмотренных в нагрузке, может не остаться средств. Поэтому на практике СКО обычно прибавляется к МО (ставке). Следует иметь в виду, что различие брутто-ставки от нетто-ставки зависит не только от самой нетто-ставки, но и от показателя убыточности. Необходимо отметить еще один нюанс. В модели, основанной на биномиальном законе, предполагается независимость страховых случаев для каждого договора. На практике это предположение иногда нарушается. Иногда W S, тогда: W /S 1, следовательно, показатель убыточность не является синонимом вероятности, а зависит как от вероятности, так и от условий договора страховщика и клиента, т.е. характеризует взаимоотношения сторон в договоре. (Кроме того, учитывается, как специфика отдельного договора, так и ситуация во всем портфеле.) Поэтому на практике часто используют следующий подход. По данным за ряд лет находят для каждого года значение показателя убыточности, а затем усредняют эти значения. Но ориентироваться только на это полученное среднее значение нельзя. Необходимо учесть и колебания относительно этого среднего. В качестве окончательного значения принимают: МО + СКО. Итак: p = p t /n, = (p t p )/(n 1), u = p + t. Можно охарактеризовать устойчивость, сравнивая фактические выплаты возмещений с установленной ставкой. При этом используется показатель W/V. Числитель и знаменатель не зависят от N и S, поэтому дробь отражает взаимосвязь нескольких факторов. И эту взаимосвязь можно исследовать с помощью регрессионного анализа. Например, при страховании домашнего имущества применяется регрессионная модель: W = a + bV. Вместе с тем, ясно, что можно исследовать влияние различных факторов на сам риск, т.е. вероятность возникновения страхового случая и распределение величины ущерба при его наступлении, но пытаться исследовать зависимость тарифа от этих факторов - нельзя! 6.10. Некоторые примеры имущественного страхования Страховая статистика показывает, что в условиях стабильности страховые случаи независимы и не имеют тенденции к росту от времени. При страховании урожая (возмещается недобор до установленного среднего уровня урожайности в пределах нормы обеспечения) установлено, что средняя равна 18 ц/га, фактический сбор составил 13 ц/га, норма обеспечения (по договору) 50%. Тогда возмещается 50% от разности (18 - 13 = 5), т.е. 2,5 ц/га. Отсюда определяется размер возмещения /21/. Недобор - отклонение факта от средней, которая, в свою очередь, вычисляется по фактическим данным за ряд лет. А факт - это отношение сбора к площади. Необходимо учитывать и фактор времени, т.е. тенденции. Отметим, что необходимо учитывать только отрицательные отклонения, приводящие к выплате возмещения: (у ф у) при у ф < у. Тогда в среднем за n лет (в т.ч. и для тех лет, когда не было возмещений у ф у ) отклонение равно: Доля ущерба: (у ф у )/ у ф. Здесь следует отметить, что числитель рассчитывается только при недоборе до среднего, а знаменатель - по всем слагаемым, т.е. (у ф у)/n (при у ф < у ). знаменатель равен nу. Поэтому доля ущерба: 1/n (уф у)/у. Итак, учитываются относительные линейные отклонения в худшую сторону. Согласно установившейся практике /21/ страховые платежи по каждому хозяйству устанавливаются в зависимости от уровня тарифных ставок, средней стоимости урожая, площади посевов и пересевов. Пример 5. Исследуется урожайность за предыдущие 15 лет, но для оценки недобора используется последние 5 лет. Исходные данные и результаты расчетов могут быть сведены в таблицу /19, 21/: Таблица Определение недобора при выравнивании урожайности по скользящей средней со сдвигом на 5 периодов Период 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Итог Урожайность 8,2 7,9 11,1 3,5 10,9 10,7 10,9 8,2 11,4 9,5 13,7 15,8 5,5 16,0 18,0 119,7 Средняя за 5 лет Отклонение от средней Ущерб при норме обеспечения 50 % 8,32 8,82 9,42 8,84 10,42 10,14 10,74 11,72 11,18 12,10 101, +2,38 +2,08 -1,22 +2,56 -0,92 +3,56 +5,06 -6,22 +4,82 +5,90 (34,72) -0,61 -0, -3, -4, 6-15 Комментарии: (8,2 + 7,9 + 11,1 + 3,5 + 10,9)/5 = 41,6/5 = 8,32 10,7 - 8,32 = +2,38 (7,9 + 11,1 + 3,5 + 10,9 +10,7)/5 = 44,1/5 = 8,82 10,9 - 8,82 = +2,08 и т.д. 1,22 0,5 = -0,61 2,38 + 2,08 + 2,56 + 3,56 + 5,06 + 4,82 + 5,90 = 26,36 -1,22 - 0,92 - 6,22 = -8,36 26,36 + 8,36 = 34, Средний уровень ущерба: 4,18/119,70 100 % = 3,5 %. Это - основа ставки. Теперь необходимо учесть вариацию. В существующей практике ставки исчисляются не для отдельного хозяйства, а для всех хозяйств области, а возмещение потерь выплачивается каждому хозяйству отдельно. Поэтому вариация недоборов рассчитывается для каждого хозяйства в отдельности и именно эта величина добавляется к недобору, характерному для области в целом. Таким образом, учитывается и внутри- и межгрупповая дисперсия. Здесь необходимы пояснения содержательной стороны и статистических вопросов. Урожайность имеет тенденцию к росту, выраженную в виде прямой или параболы. Отклонение вызваны природными явлениями. Выравнивание по прямой (в данном случае) дает более адекватный результат, чем по скользящей средней. Но оценки неурожаев зависят от того, что принято за базовый период. Необходимо учесть пики вариации неурожайности, для предупреждения ошибок. (Таким образом, от актуария требуется знание содержательной стороны процесса, риск в котором подлежит страхованию!) Интересный эффект возникает при страховании урожаев нескольких с/х культур. Одни и те же природные условия влияют на различные культуры по-разному, поэтому вариация для отдельных культур возрастает, а в целом для хозяйства отклонения взаимно гасятся, и ущерб, а, следовательно, и возмещение, уменьшается. Таким образом, если страховой договор заключается на хозяйство в целом, а не на отдельный риск, то ставки будут ниже (см. Комбинированное страхование). При исследовании рисков, связанных с дорожно-транспортными происшествиями, выяснено, что динамический ряд показателя убыточности хорошо аппроксимируется прямой: р = а + bt. Это позволяет оценить последующие платежи. Пусть S - размер страховой суммы, р - показатель убыточности. Тогда на первом году ожидаемые выплаты: Sp, на втором году: S(p + b), на третьем: S(p + 2b) и т.д. Следовательно, за все t лет: St(p + (t - 1)b/2. Пример 6. S = 100000, р = 0,11, b = 0,002. Тогда на пятом году ожидаемые платежи составят: 100000 5 (0,11 + (5 - 1) 0,002/2) = 57000. Отсюда определяется минимальный размер взносов. Вероятные суммы выплат по годам: а1, а2,Еаi = а t. Из равенства взносов и возмещений следует, что a t = S(p + (t 1)b/2) или: a = S(p + (t 1)b). Пример 7. t = 5, p = 0,11, b = 0,002, S = 100000. Тогда средний ежегодный взнос не менее, чем: а = 100000(0,1 + (5 1)0,002/2)= 11400. 1 Следует отметить, что по мере накопления информации возможно возникновение эффекта изменения параметров: a и b. Тогда требуется провести дополнительное исследование для их уточнения. 7. 7.1. Модели риска Постановка задачи Страховщика интересует общий размер страховых выплат по всему своему страховому портфелю. Рассмотрим ситуацию, где все договора заключены на один год. Тогда возможны следующие варианты: для всех договоров одинаковы и страховые суммы (b) и вероятности требований о выплате (p); страховые суммы (bi) различны, а вероятности (p) одинаковы; страховые суммы (b) одинаковы, а вероятности (pi) различны; различаются и суммы (bi) и вероятности (pi). Во всех случаях страховые суммы фиксированы, и можно предъявить только одно требование о выплате. Это имеет место, например, при страховании жизни. Понятно, что возможна принципиально другая ситуация: когда размер выплаты - случайная величина, распределенная по некоторому закону (например, в автотранспортном страховании), но по-прежнему, предъявляется только одно требование. Тогда можно перечислить следующие 4 возможных варианта (в определенном смысле аналогичные ранее изложенным): для всех договоров требование предъявляется с вероятностью (p), а величина выплаты распределена по закону с плотностью f(x); вероятность (p) постоянна, а плотности (fi (x)) различны; вероятности (pi) различаются, а плотность f(x) постоянна; различаются и вероятности (pi) и плотности (fi (x)). Очевидно, что каждая из 8-ми перечисленных ситуаций порождает определенную индивидуальную модель риска. Особенностью всех этих моделей является условие возможности предъявить только одно требование о выплате по каждому договору. Кроме перечисленных индивидуальных моделей существуют и коллективные модели риска, в которых условие единственности требования о выплате отсутствует. Примером таких моделей являются: - число требований о выплате по всему портфелю имеет распределение Пуассона с параметром. Размер выплаты имеет экспоненциальное распределение с параметром. Размеры выплат независимы друг от друга и от числа предъявляемых требований; общий размер выплат имеет сложное распределение Пуассона. Обобщение предыдущей модели. Весь портфель распадается на несколько субпортфелей, в каждом из которых число требований подчиняется распределению Пуассона с параметром i, а размер выплаты имеет экспоненциальное распределение с параметром i; исследуется общий размер выплат по всему портфелю. Отметим различие. В индивидуальных моделях исследуется договор, то есть требование по нему и общий размер требований по отдельным договорам. В коллективных моделях предполагается, что число требований (по портфелю или его части) подчиняется некоторому распределению, и исследуется общий размер требований для портфеля. 7.2. Индивидуальные модели Для дальнейшего потребуется ввести понятие индикатора, то есть случайной величины I, принимающей два значения: 1 - с вероятностью p, если требование о выплате поступило, 0 - с вероятностью q = 1 - p, в противном случае. Распределение размера ущерба представляет смысл только при предъявлении требования об оплате, то есть приходится работать с условным распределением. Поэтому напомним некоторые сведения из теории вероятностей /5/. Из определения условного распределения следует, что: M(Y) = Mx(M(Y|X)) и D(Y|X) = M(Y2|X) - (M(Y|X))2 [Здесь символ Mx(M(Z|X)) означает поиск математического ожидания (по Х) новой СВ, равной МО случайной величины Z, если X принял конкретное значение.] Тогда можно вывести следующую формулу для дисперсии D(Y) D(Y) = M(Y2) - (M(Y))2 = Mx(M(Y2|X)) - (M(Y))2 = = Mx( D(Y|X) + (M(Y|X))2 ) - (M(Y))2 = = Mx(D(Y|X)) + Mx((M(Y|X))2) - (Mx(M(Y|X))) 2 = = Mx(D(Y|X)) + Dx(M(Y|X)) Это позволяет упростить формализацию и решение некоторых задач. Пример 1. Есть срочный договор с вероятностью предъявления требования 0,1. При наличии требования размер его имеет равномерное распределение на (0, 1000). Найти математическое ожидание и дисперсию выплаты. Решение. Очевидно, плотность равна 0,001 (при X/B U(0, 1000)). Тогда p = 0,1; q = 0,9; M(X|B) = 500, D(X|B) = (1000 - 0) 2 /12 = 106 /12; M(B ) = 3 2 0,001 x dx = 0,001 x /3 1000 = 1/3 10 3 10 9 = (10 6 )/ D(X|B) = M((X|B) ) - (M(X|B)) = (106)/3 - 5002 = (106)/12 M(I) = 1 p + 0 q = p = 0,1; D(I) = p q = 0,9 0,1 = 0,09; Тогда выплата Y равна I (X|B), то есть страховщик либо не платит ничего, либо платит случайную сумму B. Поэтому: M(Y) = M(I (X|B)) = M (M(I ((X|B)|I))) = = Pr(I = 0) M(I (X|B)|I = 0) + Pr(I =1) M(I (X|B)|I =1) = = q M(I (X|B)|I = 0) + p M(I (X|B)|I=1) = q 0 + p M(X|B) = =p M(X|B) = 0,9 0 + 0,1 M(X|B) = 0,1 500 = 50 M(Y2) = M((I (X|B))2) = M(I (X|B)2) = M (M(I (X|B)2|I)) = = Pr(I = 0) M(I (X|B)2|I = 0) + Pr(I = 1) M(I (X|B)2|I =1) = = q M(I (X|B)2/I = 0) + p M(I (X|B)2|I = 1) = q 0 + p M((X|B)2)= = 0,9 0 + 0,1 M((X|B)2) = 0,1 106 /3 = 105 /3 D(Y) = 105 /3 - 502 = 30833, Sy = 176 Эту задачу можно решить, используя свойства условного распределения : M(Y) = M (M(Y|I)) = M (M(X|B) I) = M(X|B) M(I) = 500 0,1 = 50 D(Y) = M (D(Y|I)) + D (M(Y|I)) = M (D(X|B) I) + D (M(X|B) I) = =D(X|B) M(I) + (M(X|B))2 D(I) = 106 /12 0,1 + 5002 0,1 0,9= = 30833 7.3. Среднее и дисперсия в индивидуальных моделях риска Пусть Yi - размер выплаты, Mi - среднее, i - дисперсия размера выплат, если требование предъявлено; pi - вероятность предъявления требования, а Ii - соответствующий индикатор. Тогда: M(Ii) = 0 (1-pi) + 1 pi = pi M(Ii2) = 02 (1-pi) + 12 pi = pi D(Ii) = M(Ii2) - (M(Ii))2 = pi - (pi)2 = pi (1-pi) Тогда для i-го договора получим: M(Yi) = M(M(Yi |Ii)) = M(Mi Ii) = M(Mi) M(Ii) = Mi pi D(Yi) = M(V(Di |Ii)) + D(M(Yi |Ii)) = M(i2 Ii) + D(Mi Ii) = = i2 pi + Mi2 pi (1-pi) Теперь, если выплата Yi = Ii Xi, то сумма выплат: Z = (Xi Ii), тогда M(Z) = M(((X|Bi ) Ii) = M((X|Bi ) Ii) = (pi M(X|Bi)) = (pi Mi) D(Z) = D(((X|Bi ) Ii)) = (D((X|Bi ) Ii)) = (pi 2i + Mi2 pi (1-pi)) Отметим, что все значения - безусловные, поэтому легко вычисляются. Если в модели выплаты - фиксированы, то их дисперсии равны 0! D(Z) = (Mi2 pi (1-pi)) А если вероятности pi - одинаковы, то значение p можно вынести за знак суммы: M(Z) = p (Mi), D(Z) = p i2 + p (1 - р) (Mi)2 Пример 2. Портфель содержит 300 независимых договоров страхования на 1 год. Все страховые суммы одинаковы - 1000 у.е. Вероятности требования по 100 договорам равны 0,1; а по другим 200 договорам - 0.2. Решение. Чтобы охарактеризовать общий ущерб, сначала найдем его среднее и дисперсию. Страховые суммы одинаковы, поэтому Mi = 1000, VARi =Di= 0. Тогда: M(Z) = 1000 (pi) = 1000 (100 0,1+200 0,2) = 50000 D(Z) = 10002 (100 0,1 0,9 + 200 0,2 0,8) = 41 106 = 6403; /M(Z) = 13%. При определении надбавки можно потребовать, чтобы (рисковая премия плюс надбавка) обеспечивали с вероятностью 0.95 ожидаемый общий размер страховых выплат (вместо использования среднего значения этой величины). Если предположить, что общий размер страховых выплат подчиняется нормальному закону, то P=0,95 соответствует t=1,645, поэтому правая граница интервала: 50000+1,645 6403 = 60533. Теперь можно определить, сколько должен платить каждый страхователь. Представляется справедливым, чтобы доля каждого страхователя в совокупном страховом взносе была пропорциональна ожидаемой выплате (Mi). Тогда чистый взнос (нетто-премия) равен: (1 + ) Mi, где Mi - абсолютная надбавка, - относительная. Общий размер взносов (60533) равен: (1 + ) Mi = (1 + ) Mi = (1 + ) M(Z) 60533 = (1 + ) 50000; = 0,21 (= 21%). Вопрос о соотношении надбавки и надежности рассмотрен ранее. Пример 3. Портфель содержит 8000 договоров страхования на 1 год. Из них 5000 договоров на страховую сумму 10000, и 3000 договоров на сумму 20000. Вероятности предъявления требования одинаковы и равны 0,02. Исследовать ситуацию. Решение. Рассмотрим только рисковую премию. M= nipiSi, D= nipiqiSi2 Пусть единица измерения страховой суммы принята 10000. Тогда (в единицах страховой суммы): M(Z) = 5000 1 0,02 + 3000 2 0,02 = 220 D(Z) = 5000 12 0,02 0,98 + 3000 22 0,02 0,98 = 333,2 Компании интересно знать вероятность, что размер выплат превзойдет 240 е.с.с. Анализируется только рисковая премия. Pr(Z >240) = Pr(t > (240-220)/ 333,2 ) = Pr(t >1,096) = = 0,5 (1 - Ф(1,1)) = 0,5 (1 - 0,72) = 0,14 Ясно, что вероятность разорения 0.14 - слишком велика! Пример 4. Для уменьшения этой вероятности можно заключить договор о перестраховании. Цена за перестрахование - 0,022 за 1 единицу покрываемой суммы (пропорциональна ожидаемому размеру выплат). Предположим, что компания установила уровень собственного удержания 16000. Найти вероятность того, что (общий размер выплат + перестраховочный взнос) превзойдет 240 е.с.с. Отметим, что во втором субпортфеле по договору о перестраховании страховщик будет покрывать не 2 е.с.с., как ранее, а только 1,6 е.с.с. Решение. M(Z) = 5000 1 0,02 + 3000 1,6 0,02 = 196 (на 24 меньше) D(Z) = (5000 12 + 3000 1,62) 0,02 0,98 = 248,5 (на 85 меньше) Учитываем цену перестрахования (в е.с.с.): Общий размер сумм: 5000 1 + 3000 2 = 11000 Из них компания удерживает: 5000 1 + 3000 1,6 = 9800 То есть передается: 11000 - 9800 = 1200 Перестраховочный взнос: 1200 0,022 = 26,4 е.с.с. (26,4 10000 = 264000 у.е.) Общие издержки страховщика: Z + 26,4. Его интересует: Pr(Zn + 26,4 > 240) = Pr(Zn > 213,6) = Pr((Zn M(Zn))/ D(Zn > > (213,6 M(Zn))/ D(Zn) = Pr(t > (213,6 196)/ 248,5 ) = = Pr(t > 1,116) = 0,5 (1 Ф(1,12)) = 0,5 (1 0,74) = 0, Итак, компания добилась снижения вероятности разорения с 0,14 до 0,13 путем увеличения средних издержек с 220 до 222,4 е.с.с. (то есть соответствующего уменьшения своей прибыли на 24000 у.е.). Варьируя уровень собственного удержания, можно из нескольких приемлемых вариантов выбрать оптимальный. (Отметим, что цена перестрахования на 10% больше цены страхования). В качестве упражнения рекомендуется пример: n1=3000, n2=2000, p=0.03, S1=40000, S2=70000, 1 е.с.с.=10000, ставка перестрахования 0.033, страховщика интересует превышение фактического ущерба над ожидаемым в пределах 12%. 7.4. Коллективные модели риска В рассмотренных выше индивидуальных моделях главным ограничением была недопустимость предъявления более одного требования об оплате по каждому договору. Это вполне естественно в страховании жизни, но не выполняется при работе с договорами общего страхования. В коллективных моделях с общим размером выплат работают совершенно иначе. Требования по страховому портфелю в целом рассматриваются, как случайный процесс. Пусть Xi - размер i-й выплаты. Тогда: Z = X1+...+Xn - общая сумма выплат за рассматриваемый период. Предполагается, что Xi независимы в совокупности и одинаково распределены. Это позволяет определить для Z его среднее, дисперсию и производящую функцию. Можно показать, что если N и Z независимы, (или N представляет марковский процесс), т.е. N не зависит от будущих X-ов, то: M(Z) = M(N) M(X) и D(Z) = M(N) D(X) + (M(X))2 D(N) Сравнение с соответствующими формулами для индивидуальных моделей показывает различие подходов. В индивидуальных моделях сначала вычисляется среднее значение выплат по каждому договору, а затем эти средние суммируются по числу договоров. В коллективных моделируется число требований, поэтому суммирование по договорам заменяется умножением двух математических ожиданий. Распределение Z строится с использованием аппарата свертки. Результаты достаточно наглядны лишь для самых простых случаев. Например, пусть число требований подчиняется распределению Пуассона с параметром, тогда сумма выплат Z имеет сложное распределение Пуассона. Так как M(N) = D(N) =, то M(S) = M(X), D(S) = D(X) + (M(X))2 = M(X2) (*) Сложное распределение Пуассона задается двумя параметрами: и P. Это распределение предоставляет актуарию некоторые преимущества в силу своих особых свойств. Наиболее существенным является то, что сумма нескольких случайных величин, имеющих это распределение, также подчиняется сложному распределению Пуассона. При этом его параметры легко выражаются через параметры составляющих распределений: = i; P = (Wi Pi), где Wi = i/. Пример 5. Страховой портфель содержит 10000 договоров страхования на 1 год. Из них 5000 застраховано на 10000, а другие 5000 на 20000. Вероятность предъявления требования равна 0,04 у всех клиентов. Определить распределение общего размера выплат по всему портфелю. Решение. 5-1. Сначала решим задачу с помощью индивидуальной модели Каждый субпортфель подчиняется биномиальному риска. распределению: B(5000; 0,04). Число выплат в каждом субпортфеле (N1 и N2) - случайно, поэтому общий размер требований о выплате определяется: Z = N1 10000 + N2 20000 = 10000 (N1 + 2 N2) Z - случайная величина, распределенная по сложному биномиальному закону, для которого не выполняется такое лудобное свойство, как для сложного пуассоновского, поэтому решаем численно. M(Z) = 5000 0,04 10000 + 5000 0,04 20000 = 6 106 D(Z) = 5000 0,04 0,96 100002 + 5000 0,04 0,96 200002 = =9,6 1010 Предельным для данного распределения является нормальное, поэтому: Z~N(M,D) = N(6 106; 9,6 1010) Для нормального закона можно определить вероятность того, что Z не превысит заданного значения. 5-2. Теперь решим эту же задачу с помощью коллективной модели. Согласно этому подходу, не определяем число требований в каждом субпортфеле, а работаем с субпортфелем в целом. Исходя из сложного распределения Пуассона, находим интенсивности. При равных n и p равны и. 1 = 2 = 5000 0,04 = 200. (Отметим наличие принципиальной возможности аппроксимировать истинное биномиальное распределение приближенным - пуассоновским из-за больших n и малых p ). Распределение размеров страховых выплат в каждом субпортфеле: P1(x) = 0, если x < 10000, (иначе P1 = 1) при х 10000 P2(x) = 0, если x < 20000, (иначе P2 = 1) при х 20000. Здесь Pi(x) - параметры сложного распределения Пуассона. Тогда для двух субпортфелей вместе размер выплат имеет то же распределение с параметрами: = 1 + 2 = 400, (веса Wi = 200/400 = 0,5), x < 10000 0, если P ( x ) = 0.5, если 10000 < x < 20000. 1, если x > 20000 Заметим, что в действительности страховые суммы равны либо 10000, либо 20000; а в модели размер выплат рассматривается, как случайная величина, принимающая все промежуточные значения с равной вероятностью. Определим среднее и дисперсию: M(X) = 0,5 10000 + 0,5 20000 = 15000 M(X2) = 0,5 10 8 + 0,5 4 10 8 = 2,5 10 8 Следовательно: M(Z) = M(X) = 400 15000 = 6 106 D(Z) = M(X2) = 400 2,5 10 8 = 10 1010 Сравнивая два решения, отметим, что средние совпали ( = n p), а дисперсия во втором случае несколько больше (на 4%); так как для биномиального закона: D = n p q < n p = (дисперсии в законе Пуассона). Теперь можно сложное распределение Пуассона аппроксимировать нормальным (X N(М; D)) и получить конечные результаты, практически совпадающие с предыдущими. Замечание. Условие: n = 10000, n1 = 5000, n2 = 5000, S1 = 10000, S2 = 20000, p = 0.04. Разумеется, пример не очень нагляден. Плохо, что n1 = n2. Еще хуже, что численно: n = S1. Поэтому лучше рассмотреть пример: n = 10000, n1 = 4000, n2 = 6000, S1 = 100, S2 = 200, p = 0.04. Тогда: а) в индивидуальной модели: S = n1S1 + n2S2 = 1600000; M(S) = pS = 64000; D(S) = pq (n1S12 + n2S22) = 0.040.96(40001002 + 60002002) = Е = 10752000; Т.е. можно приближенно считать, что величина S подчиняется нормальному закону с параметрами: M(S) и D(S). б) в коллективной модели: 1 = n1p = 40000.04 = 160; 2 = n2p = 60000.04 = 240; P1(x) = 0, если х<100, и P1 = 1, если х>100. P2(x) = 0, если х<200, и P2 = 1, если х>200. = 1 + 2 = 160 + 240 = 400; W1 = 1/ = 160/400 = 0.4; W2 = 0.6 P(x) = 0, если x<100, P(x) = W1 = 0.4, если 100 P(x) = 1, если x>200. Тогда: M(X) = 0.4100 + 0.6200 = 160; M(X2) = 0.41002 + 0.62002 = 28000; Следовательно (см. *): M(S) = M(X) = 400160 = 64000; D(S) = M(X2) = 40028000 = 11200000; Это позволяет считать, что имеет место нормальное распределение с вычисленными значениями параметров. Как и в ранее рассмотренном примере, коллективная модель характеризуется несколько большей дисперсией, по сравнению с индивидуальной моделью (при одинаковых математических ожиданиях). 8. 8.1. Некоторые специальные задачи страхования имущества Расчет нетто-премии в договоре о комбинированном страховании Пример 1. Напомним условие примера и результаты, полученные при расчете рисковой премии: S = 1000, p1 = 0.01, p2 = 0.02, p3 = 0.03. Решение. П1 = 10, П2 = 20, П3 = 30. Для комбинированного договора: р = 0.057818, П = 57.818 (меньше на 4%). Теперь надо найти СКО, и на их основе - рисковые надбавки. 1 0.0099 0.0995 9.95 2 0.0196 0.1400 7.0 3 0.0291 0.1706 6. pq: pq: K= q/p Для всех трех отдельных договоров сумма дисперсий равна: 0.0099 + 0.0196 + 0.0291 = 0.0586. Тогда СКО = 0.05860.5 = 0.242, т.е. K = 0.242/0.06 = 4.03. А если проанализировать комбинированный договор: pq = 0.054475; (pq)0.5 = 0.2334 (<0.242); K = 0.2334/0.0578 = 4.04 (> 4.03). Этот эффект (увеличение K при уменьшении р) обсужден ранее. Пример 2. Теперь предположим, что в портфеле не один договор, а 10000. Требуемая надежность (которая должна быть обеспечена за счет рисковой надбавки) - 0.975, (т.е. t = 1.96). Здесь необходимо учитывать, что страховщика интересует вероятность выхода за лодностороннюю правую границу. Если в таблице указаны двусторонние границы, то вместо вероятности 0.975 надо использовать вероятность 0.95. Это означает, что относительная рисковая надбавка: = t 1Р 1 Р n и для отдельных договоров равна: 1=1.969.95/100= 0.195; 2=1.967/100 = 0.137; Книги, научные публикации