Книги, научные публикации Pages: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | ... | 6 | -- [ Страница 1 ] --

Московский международный институт эконометрики, информатики, финансов и права Корнилов И.А.

Элементы страховой математики Москва 2003 УДК 519. 22: 368 ББК 22. 172: 65. 9 (2) 261. 7 К 674 Корнилов И.А. Элементы страховой математики. /Московский международный институт эконометрики, информатики, финансов и права. 2003. - 337 с.

В настоящей книге рассмотрены основные задачи актуария страховой компании. Сформулированы принципиальные подходы к решению этих задач. Приведены некоторые реальные задачи и показаны методы их решения на числовых примерах. Продемонстрировано соответствие результатов актуарных расчетов и правил поведения на страховом рынке. Книга может быть использована студентами, слушателями специального факультета и аспирантами, изучающими страховое дело.

Рецензенты: к.э.н. Г.М. Гамбаров, к.ф.-м.н. В.В. Новиков.

й Корнилов Игорь Алексеевич, 2003 й Московский международный институт эконометрики, информатики, финансов и права, 2003 2 Оглавление Введение........................................................................................................... 7 1. Профессия - Актуарий......................................................................... 12 1.1. Основные положения.......................................................................... 12 1.2. Решающее правило Байеса................................................................. 13 1.3. Изменение цены денег........................................................................ 17 1.4. Изменение величины ущерба............................................................ 19 1.5. Эквивалентность обязательств сторон............................................. 20 1.6. Некоторые сведения из страховой практики................................... 22 1.7. Примеры задач актуария в страховой компании............................. 23 1.8. Замечания о работе актуария страховой компании......................... 26 1.9. Анализ риска страховщика и путей его снижения.......................... 28 1.10. Аналитические и численные методы решения актуарных задач ЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕ...30 Примеры элементарных актуарных задач.......................................... 33 2.1. Расчет размера прибыли и возмещения............................................ 33 2.2. Единовременная рисковая премия.................................................... 35 2.3. Пример распределенного риска......................................................... 36 2.4. Пример комбинированного страхования.......................................... 38 2.5. Страхование ответственности владельца автомобиля.................... 39 2.6. Рисковая надбавка............................................................................... 41 2.7. Нетто - премия..................................................................................... 44 2.8. Переход от единовременной рисковой премии к периодической. 45 2.9. Использование коэффициента рассрочки в страховой практике... 49 2.10. Замечание о равенстве рисков страховщика и страхователя..... 52 2.11. Некоторые особенности расчета размера выплат при наступлении страхового случая............................................................... 55 2.12. Понятие о начальном капитале (резерве) и перестраховании.... 56 2.13. Оценка объема риска, передаваемого на перестрахование........ 57 Традиционные задачи оценки риска страховщика............................ 60 3.1. Степень риска...................................................................................... 60 3.2. Частичные убытки.............................................................................. 65 3.3. Связанные и независимые страхования............................................ 67 3.4. Максимальная величина принимаемого риска................................ 70 3.5. Размер капитала................................................................................... 73 Актуарные проблемы при распределенном риске............................. 75 4.1. Риск страховщика............................................................................... 75 4.2. Участие страхователя в возмещении ущерба.................................. 76 4.3. Франшиза............................................................................................. 78 2.

4.4. Характеристики объема страховой ответственности...................... 80 4.5. Расчет рисковой надбавки и нетто-премии...................................... 86 4.6. Размер возмещения............................................................................. 87 5. Вероятностно-статистическое исследование страхового портфеля 89 5.1. Использование функции распределения ущерба при оценке вероятности разорения страховщика...................................................... 89 5.2. Процентные точки............................................................................... 90 5.3. Коэффициент вариации. Степень риска........................................... 92 5.4. Влияние степени риска на рисковую надбавку............................... 93 Особенности имущественного страхования...................................... 96 6.1. Основные положения.......................................................................... 96 6.2. Специфика актуарных задач в имущественном страховании........ 99 6.3. Некоторые актуарные вопросы автотранспортного страхования 101 6.4. Динамика реальной цены застрахованного имущества................ 104 6.5. Применение процедуры свертки при расчете рисковой премии с учетом динамики процессов на рынке страхования имущества........ 106 6.6. Оценка риска на основе данных страховщика............................... 108 6.7. Практика оценки финансовой устойчивости страхования........... 109 6.8. Оценка хозяйственно-финансовых рисков..................................... 110 6.9. Показатели тарифной ставки........................................................... 112 6.10. Некоторые примеры имущественного страхования................. 114 Модели риска....................................................................................... 117 7.1. Постановка задачи............................................................................ 117 7.2. Индивидуальные модели.................................................................. 118 7.3. Среднее и дисперсия в индивидуальных моделях риска.............. 119 7.4. Коллективные модели риска............................................................ 122 Некоторые специальные задачи страхования имущества.............. 125 8.1. Расчет нетто-премии в договоре о комбинированном страховании.............................................................................................. 125 8.2. Обсуждение процесса формирования рисковой надбавки в договоре комбинированного страхования............................................ 127 8.3. Специфика страхования больших рисков...................................... 128 8.4. Страхование риска невозвращения кредита.................................. 131 8.5. Предоставление скидки страхователю за многолетнее сотрудничество........................................................................................ 141 8.6. Особенности страхования космических рисков............................ 143 Анализ поведения страховщика на страховом рынке..................... 147 9.1. Анализ однородного страхового портфеля с применением нормальной аппроксимации................................................................... 147 6.

9.2. Пример комплексного решения основных актуарных задач (надбавка, начальный резерв, перестрахование, вероятность разорения) с использованием пуассоновской аппроксимации.......... 153 9.3. Обсуждение проблемы выбора аппроксимации биномиального распределения нормальным законом и распределением Пуассона... 161 9.4. Закон Пуассона и экспоненциальное распределение. Их использование в страховании................................................................ 165 9.5. Использование процедуры свертки в оценке общего ущерба..... 169 9.6. Объединение дискретных рисков.................................................... 171 9.7. Однородные риски............................................................................ 172 9.8. Неоднородные риски........................................................................ 176 9.9. Особый случай.................................................................................. 180 9.10. Использование отрицательного биномиального распределения при моделировании потока требований об оплате.............................. 181 10. Концепции и проблемы определения рисковой надбавки.............. 184 10.1. Традиционные подходы............................................................... 184 10.2. Элементы теории полезности...................................................... 185 10.3. Сравнение различных договоров с помощью функции полезности................................................................................................ 189 10.4. Понятие о доверительных оценках в страховании.................... 190 10.5. Некоторые проблемы определения рисковой надбавки........... 192 11. Перестрахование................................................................................. 198 11.1. Основные принципы перестрахования. Основные договора... 198 11.2. Особенности перестрахования имущества. Пример различных вариантов договоров о перестраховании.............................................. 201 11.3. Анализ целесообразности заключения договора о перестраховании...................................................................................... 204 12. Концептуальные проблемы перестрахования (и некоторые смежные вопросы)....................................................................................................... 213 12.1. Проблема определения размера удержания............................... 213 12.2. Проблема резервов........................................................................ 214 12.3. Исследование позиции цедента при перестраховании............. 215 12.4. Сравнение и графическая иллюстрация..................................... 219 12.5. Сравнение квотного и эксцендентного перестраховочных договоров................................................................................................. 222 12.6. Учет инфляции.............................................................................. 223 12.7. Влияние информации на цену договора..................................... 224 12.8. Позиции цедента и перестраховщика......................................... 226 12.9. Некоторые практические рекомендации.................................... 227 12.10. Перестрахование и взнос страхователя...................................... 229 12.11. Объединение распределенных рисков........................................ 230 12.12. Перестрахование суммарного распределенного риска............. 231 13. Некоторые концептуальные проблемы оценки устойчивости....... 235 13.1. Задача о разорении........................................................................ 235 13.2. Вероятность разорения................................................................. 238 13.3. Нормальная аппроксимация при расчете вероятности разорения.................................................................................................. 238 13.4. Влияние капитала на вероятность разорения............................ 240 13.5. Суммарный ущерб в портфеле из двух договоров.................... 246 13.6. Сложные пуассоновские процессы............................................. 247 13.7. Неравенство Лундберга................................................................ 248 13.8. Дисперсия, как мера стабильности............................................. 249 13.9. Взаимные услуги по перестрахованию....................................... 250 13.10. Роль дисперсии в формировании рисковой надбавки.............. 251 13.11. Распределение надбавки между субпортфелями....................... 253 13.12. Влияние перестрахования на вероятность разорения............... 254 14. Статистические модели в страховании............................................. 257 14.1. Модель оперативного управления запасами денежных средств страховщика............................................................................................. 257 14.2. Статистическая модель страхового пула, основанная на идеях теории игр................................................................................................ 261 14.3. Исследование риска в страховании методом ковариационного анализа с факторизацией качественных переменных......................... 268 Заключение.................................................................................................. 282 15. Рекомендуемая литература................................................................ 285 Приложение1. Сведения из теории вероятностей и математической статистики.................................................................................................... 287 Приложение 2. Практикум по курсу Основы актуарных расчетов.... Введение В 1995/96 учебном году на факультете Статистика создана специализация: Актуарий для банков, страховых компаний и фирм. К июлю 2001 г. на кафедре математической статистики и эконометрики состоялось 5 выпусков (более 150 человек) по этой специализации. Среди предметов, изучаемых студентами в рамках этой специализации, одну из ведущих позиций занимает курс Основы актуарных расчетов. Цель данного предмета - дать студентам представление о принципах страховой математики и помочь им выработать навыки выполнения актуарных расчетов. В настоящее время в развитых странах литература, посвященная актуарным вопросам, насчитывает несколько тысяч наименований. На русском языке есть всего несколько книг, в которых рассмотрены общие принципы актуарных расчетов, и еще несколько книг по актуарным расчетам в страховании жизни (и пенсий). Поэтому автор надеется, что данное пособие поможет хотя бы отчасти уменьшить дефицит литературы. И будет способствовать проявлению интереса студентов (и аспирантов) к данному направлению. Составленные автором за 1996-2001 г.г. учебно-методические материалы должны дать слушателям представление об основных направлениях работы актуария и познакомить будущих специалистов с основными задачами и методами их решения. Вместе с тем возникла необходимость объединения в одной книге материала по данному учебному курсу. Тем более, что за время преподавания данной дисциплины накоплен значительный опыт, позволивший скорректировать содержание и методику преподавания предмета УОсновы актуарных расчетовФ. Предлагаемая книга является объединением и обобщением пяти ранее составленных автором книг по данному предмету и предназначена, прежде всего, для консолидации учебного курса. Кроме того, в книгу включены новые разделы. В одном учебном курсе невозможно осветить все направления работы актуария. Поэтому конкретизируем круг рассмотренных задач. Основное внимание уделено расчету чисто рисковой премии, обеспечивающей эквивалентность обязательств сторон: страховщика и страхователя. Кроме этого, рассмотрена надбавка на безопасность, призванная компенсировать отклонения от среднего ущерба и, тем самым, обеспечить безубыточность страхования. Проиллюстрирована возможность повышения вероятности выживания страховщика с помощью резерва и перестрахования. В учебном курсе не рассматривается такой важный вопрос, как формирование нагрузки (на ведение дела, прибыль, превентивные мероприятия и т.д.), поскольку здесь большую роль играет специфика компании. Практически не затронуты проблемы обработки реальных страховых договоров и происшедших в них страховых случаев, а также данных официальной отчетности страховых организаций. Это объясняется отсутствием доступа к реальным данным. Кроме того, по мнению автора, перечисленные вопросы должны составить предмет самостоятельного учебного (специального) курса. В соответствии с концепцией данного курса предлагается следующая последовательность материала. Сначала формулируется принцип эквивалентности обязательств сторон, рассматриваются некоторые нюансы, указывается правило формирования единовременной рисковой премии, анализируется влияние нюансов в трактовке принципа эквивалентности на премию. Далее приведены элементарные задачи, доступные на интуитивном уровне, и помогающие понять основные проблемы. Затем приводятся примеры вычисления единовременной рисковой премии для некоторых договоров (например, для комбинированного страхования). Изучив единовременную рисковую премию, можно переходить к рассмотрению периодической (рассроченной) рисковой премии и сформулировать основные принципы такого перехода. Далее исследуется риск страхователя. Рассматривается как фиксированный ущерб, так и распределенный по некоторому закону. Определяются характеристики риска. Это позволяет перейти к исследованию риска страховщика, учитывающего объем страховой ответственности, обусловленный договором, и на основе характеристик риска страховщика - найти рисковую премию. Далее рассматривается страховой портфель, вводится понятие суммарного ущерба и определяются правила его оценки. Это позволяет сформулировать роль рисковой надбавки. Определить относительную и абсолютную надбавку. Указать правила для их вычисления и взаимосвязь между надбавкой, объемом портфеля и его надежностью. Вводится понятие степени риска и указываются направления его использования. Исследуется надбавка в комбинированном договоре и процесс распределения суммарной рисковой надбавки между несколькими субпортфелями с различными рисками. Поскольку надбавка не всегда может обеспечить требуемую надежность, страховщик использует резервы и перестрахование. (В частности, проиллюстрированы различия подходов при фиксированном ущербе и распределенном. В первом можно опираться на число страховых случаев и надо округлять это значение до ближайшего большего целого числа. Во втором - используется общий ущерб, результат не округляется.) Далее рассмотрены основные принципы выполнения актуарных расчетов при перестраховании и подходы к определению страховых резервов. Наконец, показаны возможности учета некоторых частных вопросов: франшизы, инфляции и т.д. Кроме того, можно инвестировать временно свободные средства, и с помощью полученной прибыли повышать надежность и конкурентоспособность страховой компании. Разумеется, последние из перечисленных вопросов - очень сложны, поэтому решения, принимаемые в страховой практике, часто сильно зависят от специфики страховщика. Из-за этого (а также из-за ограничений по времени и необходимости специального программного обеспечения) целый ряд вопросов и методов лишь обозначается в рамках данного курса, чтобы будущие специалисты, по крайней мере, ориентировались в этих проблемах. По нашему мнению, объединение учебного материала в одной книге позволяет получить хорошее представление о принципах выполнения актуарных расчетов. Пятилетняя практика преподавания обеспечила соответствие уровня изложения материала и степени подготовки студентов, от которых требуется знание высшей математики в пределах традиционного вузовского курса. В процессе работы с немногочисленными источниками (как по именно актуарным проблемам, так и по содержательным вопросам страхования) автор столкнулся с неоднозначностью в использовании терминов, что можно объяснить сравнительной новизной актуарной темы в России. В отечественной литературе к настоящему времени возникла некоторая неоднозначность в терминологии. Даже в сравнительно простых вопросах - определении ставок и премий. Например, в кн. К. Бурроу Основы страховой статистики используются термины: рисковая премия, которая обеспечивает эквивалентность обязательств сторон, нетто-премия, включающая в себя рисковую надбавку для обеспечения безубыточности страхования, брутто-премия (или страховой взнос), содержащая, кроме неттопремии, еще и нагрузку (на ведение дела и прибыль). Именно этот набор терминов и используется в данной книге (и учебном курсе). Однако, существуют и другие точки зрения. В кн. В.В. Шахова Страхование (основной учебник по данному направлению) используются те же термины (РП, НП, БП) (стр.112-113). В то же время при анализе имущественного страхования упоминается лишь нетто-ставка и брутто-ставка. Причем первая трактуется как лосновная часть тарифной ставки. Рисковая - вообще не упоминается! (стр. 131), для личного страхования эти вопросы не рассматриваются. В кн. А.А. Гвозденко Основы страхования приводится структура страхового тарифа (при страховании туристской деятельности), где брутто-ставка = нетто-ставка + дельта-надбавка (стр. 169). А на стр. 179 говорится, что брутто-ставка включает нетто-ставку и нагрузку. Этот же подход отражен в формуле 6.14 на стр. 184. Рисковая ставка - не упоминается. В Словаре страховых терминов также фигурируют лишь неттоставка и брутто-ставка. В кн. Г.И. Фалина /26/, посвященной страхованию жизни и пенсионных схем, нетто-премия обеспечивает эквивалентность обязательств сторон, а вместе с надбавкой образует брутто-премию. Той же точки зрения, основанной на специфике этого вида страхования, придерживается и Х. Гербер /5/. В документах Росстрахнадзора (например, в Методике по личному страхованию) фигурирует брутто-ставка и ее часть - нетто-ставка, что соответствует Г.И. Фалину и Х. Герберу. В документах, посвященных страхованию Уnon-lifeФ, в нетто-ставке выделяется Уосновная часть нетто-ставкиФ (которая в данной книге (и у К. Бурроу) обозначалась, как рисковая ставка) и рисковая надбавка. Подобная ситуация - следствие незавершенности процесса формирования отечественной страховой (и, соответственно, актуарной) терминологии. Поэтому автор счел целесообразным уточнить некоторые использованные в работе термины. УСтавкаФ относится к одной единице страховой суммы. В отличие от этого, УпремияФ соответствует всей страховой сумме (и равна ставке, умноженной на сумму). УВзносФ (или Устраховой платежФ) тождественен страховой премии (брутто-премии). Рисковая премия (в некоторых источниках: чисто рисковая премия) обеспечивает эквивалентность обязательств сторон. УНадбавка рисковаяФ (надбавка на безопасность) создается для выплат возмещения, превышающего среднее. УНагрузкаФ предназначена для покрытия расходов на ведение дела, проведение мероприятий, снижающих риск, создание запасов, получение прибыли. В связи с этим структура страхового взноса (брутто-премии): Брутто-премия = нетто-премия + нагрузка. Нетто-премия = рисковая премия + рисковая надбавка. В основном, расчеты приведены для премии, а не для ставки. С точки зрения автора, этот подход более принципиален и универсален. Рекомендации по проведению практических занятий и организации самостоятельной подготовки На первых двух-трех практических занятиях целесообразно напомнить некоторые сведения из теории вероятностей и математической статистики: найти математические ожидания и дисперсии закона Пуассона и экспоненциального распределения, найти оценки параметров этих законов с помощью метода максимального правдоподобия, выполнить процедуру свертки для этих распределений, построить производящую функцию (см. Приложение). На следующих занятиях начинается разбор собственно актуарных примеров. Преподаватель формулирует содержательную задачу, формализует ее, обсуждает с группой путь ее решения и вызывает к доске студента для реализации намеченного решения, результаты должны получить содержательную интерпретацию. В качестве задания для самостоятельной подготовки предлагается каждому студенту составить и решить свою аналогичную задачу. Целесообразно при этом подсказать, в каких пределах должны находиться значения исходных данных (чтобы избежать, или, по крайней мере, уменьшить возможность получения абсурдных результатов). При контроле заданий следует оценивать не только формально выполненные вычисления, но и оригинальность сформулированной задачи, а также интерпретацию результатов. При обнаружении парадоксальных результатов в студенческих работах следует выяснить причину и довести эту информацию до сведения группы. Материал данной книги можно, в принципе, изложить за один семестр (еженедельно по одной лекции и одному практическому заданию), если сначала лектор вводит слушателей в проблему и указывает задачи, которые слушатели должны самостоятельно разобрать. При этом надо предупредить о наиболее важных и тонких моментах. Между лекцией и практическим занятием слушатели прорабатывают заданные примеры. На практическом занятии слушатели у доски решают предложенный преподавателем аналогичный пример (большинство таких примеров приведено в приложении). После чего каждый из них дома составляет и решает свой аналогичный пример. Разумеется, разбору в аудитории подлежат только наиболее сложные и трудоемкие задачи. В течение семестра целесообразно провести одну-две аудиторные контрольные работы по лекционному (теоретическому) материалу. Для этого можно использовать приведенные в приложении тесты и контрольные вопросы. На последнем занятии возможна итоговая контрольная работа по усложненным задачам, в которых комбинируются две простые, ранее разобранные задачи, например, страхование дома от двух-трех причин при распределенном риске, страхование автомобиля одновременно от угона и от аварии с франшизой (при распределенном риске) и т.д. Такие же задачи можно вынести на экзамен, который лучше проводить письменно. Автор с благодарностью примет всю информацию по этим вопросам. Пользуясь возможностью, автор выражает благодарность рецензентам: к.э.н. Г.М. Гамбарову и к.ф.-м.н. В.В. Новикову, а также зав. каф. Математической статистики и эконометрики д.э.н., проф. В.С. Мхитаряну, д.т.н., проф. А.М. Дуброву и к.э.н., доц. М.А. Скорик за участие в обсуждении книги и ряд ценных замечаний и рекомендаций. 1. Профессия - Актуарий 1.1. Основные положения Для заключения страхового контракта необходимы три условия:

- потенциальный клиент должен осознавать, что наступление страхового случая нанесет ему и его семье серьезный материальный урон;

- он должен быть уверен, что при наличии договора страховая компания выполнит свои обязательства перед ним, и тем самым материальные потери будут компенсированы (полностью или в значительной мере);

- клиент должен иметь материальные возможности для оплаты страховой защиты. Третье условие предполагает соответствие между объемом и качеством страховой защиты и платой за нее. При этом подразумевается, что процесс не детерминированный, а стохастический, и что существующий риск можно оценить количественно. То есть для определенного промежутка времени, для которого составляется договор, известна вероятность того, что страховой случай произойдет, и величина ущерба, возникшего в результате этого случая, которая подлежит возмещению. При более общем подходе следует говорить об известном законе распределения величины ущерба. А при переходе от индивидуального риска отдельного страхователя к коллективному риску совокупности страхователей (который интересует страховщика) необходима информация о законе распределения суммарного ущерба. Он определяется на основании распределения величины ущерба в одном страховом случае и распределения количества случаев в единицу времени. Естественно, нет смысла страховать невозможные или достоверные события, поэтому страхование возникает только для стохастических процессов, а не для детерминированных, с заранее известным результатом. Вероятностные характеристики исследуемого процесса определяются, как правило, на основании предыдущего опыта, то есть статистически, опираясь на результаты обработки более ранних фактических данных об исследуемом процессе. Поскольку эти характеристики могут зависеть от времени, возникает задача прогнозирования хода процесса. От точности решения этой задачи во многом зависит результат исследования в целом. То есть достоверность оценок таких величин, как тарифы, страховые резервы, вероятность разорения компании, плата за перестрахование и т.д. Все вышеперечисленное позволяет сформулировать требования к актуарию. Актуарий должен на основании реальных данных об исследуемом процессе определить основные закономерности и тенденции развития этого процесса, и по результатам прогноза спланировать некоторую финансовую операцию, которая обеспечивает оптимальные (в определенном смысле) результаты, (например, максимальный доход при заданном уровне надежности). Либо он, в качестве эксперта, оценивает эффективность подобной операции. Поэтому актуарий должен быть специалистом в области математики, экономики и в правовой сфере. Актуарные расчеты опираются на моделирование потока поступлений и платежей с учетом многих факторов (инфляции, процентной ставки, динамики цен различных ценных бумаг и т.д.). Это позволяет рассчитать тарифы и премии, оценить риск финансовой деятельности. Актуарий обязательно принимает участие в разработке инвестиционных программ компании, оценке ее платежеспособности и величины ее страховых резервов, составлении отчетности. Поэтому он, как правило, входит в состав правления страховой компании, специализирующейся на страховании жизни. Иногда независимый актуарий привлекается для проведения Уактуарного оцениванияФ, в частности, он в качестве эксперта участвует в судебных делах для оценки финансовой ситуации. При этом обязательно указывается исходная информация, методика расчетов, результаты и их интерпретация. Актуарий отличается от аудитора, основной функцией которого является проверка правильности различного рода счетов, актов и других административных документов. Отличается и от экономиста аналитика, который оценивает ситуацию только на качественном уровне (как правило, без использования точных методов). 1.2. Решающее правило Байеса Прежде, чем анализировать актуарные задачи, проиллюстрируем данный подход на примере решения проблем, весьма далеких от страхования, но более наглядных. 1. Поставщик и потребитель. Из всей большой партии товара N проверяется малая выборка n. Определяется число бракованных (не первосортных) изделий m. По величине доли m/n делается вывод о пригодности (или непригодности) всей большой партии N. Необходимо заранее договориться о граничном значении этой доли, обозначенной p. Правило приемки: если m/n > p, партия отвергается;

иначе принимается. Неравенство может быть нестрогим, в случае точного равенства возможен контроль второй выборки, и т.д. Очевидно, что имеет место как риск поставщика, так и риск потребителя. Если M - число бракованных изделий во всей партии N, то риск поставщика заключается в том, что m/n N > M, то есть выборка хуже всей партии, а риск потребителя - в противоположном событии. Изобразим ситуацию графически. На горизонтальной оси m/n откладываем значение p, а по вертикали откладываем значения вероятностей Р1 и Р2, (см. Рис. 1.1).

РиР 1 Р1 (m/n>p) проверяется лучшая Риск поставщика Р2 (m/n

m/n - доля брака в выборке, p* - граница приема партии.

Очевидно, что если установить p=0, то m/n > p всегда, поэтому P1=1, а P2=0. По мере увеличения p увеличивается P2 и уменьшается P1. Когда p достигнет своего максимального значения, P1=0, P2=1. Если распределение непрерывно (вероятность попасть в точку равна 0), то P1+P2=1, иначе меньше 1. Поставщик, чтобы минимизировать свой риск, стремится сдвинуть точку p вправо. При этом возрастает риск потребителя. Поэтому потребитель стремится минимизировать свой риск, а для этого ему надо сдвинуть точку p влево. Очевидно, что достигнуть компромисса они могут только на принципе минимизации суммарного риска. Графически это означает, что площадь фигуры совместного риска не может быть меньше площади фигуры, ограниченной нижними ветвями и горизонтальной осью. А это достигается, если оба риска равны. Таким образом, в данном случае суммарный риск поставщика и потребителя минимален, если их риски равны. Такой результат получился потому, что плата каждой стороны за свою ошибку одинакова. То есть в этом случае результат определяется по правилу равенства вероятностей: P1=P2. Однако это не всегда так. 2. Риски не равноценны. В предыдущем примере предполагается, что плата за ошибку одинакова, поэтому можно минимизировать не суммарную плату, а сумму вероятностей. Весовые коэффициенты при этих вероятностях одинаковы. Но если эти коэффициенты различны (например, в задаче ПВО), то картина модифицируется. Простое правило гласит, что должны совпадать вероятности пропуска реальной цели и обнаружения ложной цели (помехи), а взвешенное правило требует сначала умножить вероятность обнаружения помехи на цену ложной тревоги, а вероятность пропуска реальной цели на цену ее пропуска, и только затем сравнивать эти два произведения. (Рис. 1.2).

вер. цена ложной тревоги вер-ть помехи вер. цена пропуска цели вероятность реа льной цели Рис. 1.2. На горизонтальной оси - уровень сигнала, при котором надо объявлять тревогу. Таким образом, простое правило опирается на равенство вероятностей ошибиться, а более общее и точное взвешенное правило требует равенства плат за ошибку. 3. Страховщик и страхователь. По договору страхователь платит взносы, как правило, в течение всего срока действия договора. Если страховой случай не наступил, то он заплатил только за свое спокойствие, так как его взносы ему не возвращаются (за очень редким исключением), а остаются страховщику. В этом состоит риск страхователя. Риск страховщика в том, что если страховой случай произошел после уплаты клиентом первого взноса, то страховщик обязан заплатить оговоренную контрактом сумму, значительно превышающую размер страхового взноса (премии). Поэтому для определения соответствия между размером (и условиями) страхового возмещения и величиной страховой премии необходимо приравнять риски страховщика и страхователя с учетом вероятности наступления страхового случая и величины убытков от него. (Рис. 1.3).

S - страховая сумма Sp = П1 П - страховая премия p Рис. 1.3. Убытки могут быть фиксированы (страхование на случай смерти) или случайны (переменны), например, в случае пожара или других стихийных бедствий, аварии, нанесения ущерба другому лицу (наезд на пешехода) и т.д. Тогда возникает дополнительная задача: оценки вероятности того, что нанесенный ущерб составит определенную сумму (или будет в определенных пределах). Таким образом, есть сложное событие. Если А - случайное событие - наступление страхового случая, а Bi - случайные события, что величина ущерба составила Si, то актуария интересует условная вероятность события Bi/A, то есть условное распределение случайной величины ущерба при наступлении страхового случая. Кроме того, его интересует и фактор времени: когда произойдет событие А. Потому что от этого зависит размер полученных им от страхователя взносов к этому моменту. Следовательно, имеет место не случайное событие А, а некоторая случайная величина A(t). И связанное с ней распределение, которое, например, указывает вероятность, что до момента t событие А не произойдет. (Рис. 1.4).

вероятность получения всех взносов T t Рис. 1.4. На рисунке изображено равномерное непрерывное поступление взносов, при дискретном поступлении линия - ступенчатая. Наконец, актуария интересует и размер процентной ставки, которая показывает интенсивность наращения накапливаемой в результате взносов суммы. В идеале должно быть так, что к моменту наступления страхового случая накопленная с учетом процентов сумма должна обеспечить выплату страхового возмещения в размере среднего ущерба (математического ожидания ущерба). Понятно, что если рассматривать индивидуальный риск, который интересует страхователя, то такое требование означает необходимость компенсировать весь ущерб. Это приведет к слишком высоким тарифам, что сделает страхование недоступным или неприемлемым. Поэтому страховщик действует несколько иначе. Он оперирует не с индивидуальным, а с коллективным риском. То есть страховщик стремится установить такое соотношение между страховым взносом и страховым возмещением, при котором практически в любой момент времени суммы взносов, собранных к этому моменту со всех клиентов (данной однородной группы договоров), было бы достаточно для выплаты всех возмещений в этой группе (по случаям, происшедшим к этому моменту времени). (Рис. 1.5). взносы выплаты возмещений T t Рис. 1.5. Таким образом, принцип эквивалентности обязательств страховщика и страхователя математически выражается в равенстве математических ожиданий двух величин: суммы всех страховых взносов и суммы всех страховых возмещений. Именно из этого условия определяется размер рисковой премии. С учетом рисковой надбавки получается нетто - премия. А затем на основании этой величины вычисляется брутто - премия. Далее решаются задачи определения величины собственного капитала и страховых резервов для снижения вероятности разорения компании, выбора наиболее рациональных условий перестрахования, наконец, составляется инвестиционный портфель. 1.3. Изменение цены денег Прежде, чем проиллюстрировать использование решающего правила Байеса для определения рисковой премии, необходимо внести некоторые уточнения. В договоре поставщика и потребителя деньги и товар переходят из рук в руки, в принципе, одновременно и единовременно. А при заключении договора между страховщиком и страхователем момент выплаты страховой суммы заранее неизвестен (за период действия договора страхового случая может и не наступить, тогда не будет и выплаты возмещения). Процесс выплат страховых взносов (премий), как правило, растянут на весь период действия договора. Поэтому, если договор заключен на сравнительно длительный срок, то необходимо учесть изменение цены денег во времени. (Рис. 1.6).

на копленна я сумма с % сумма в момент времени t ее современна я цена номина льные взносы t Рис. 1.6.

Следовательно, принцип эквивалентности обязательств двух сторон принимает вид: современные цены рисков страховщика и страхователя равны. Отсюда вытекает общее правило для определения соответствия между страховой суммой и взносами. Сначала определяется математическое ожидание современной цены выплачиваемой страховой суммы. На основе этого вычисляется современная цена страховой защиты. (Осуществляется переход от современной единовременной рисковой премии к нетто - премии и далее к современной единовременной брутто - премии). И наконец, используя аппарат ренты /30/, находится размер взносов. В принципе, можно сначала определить периодическую неттопремию (рассроченную) по единовременной, а уже затем по ней искать периодическую брутто - премию. Отметим, что брутто - премия включает в себя нетто - премию, нагрузку на ведение дела, на прибыль (если страховое общество является акционерным, а не обществом взаимного страхования). В последнем варианте прибыль, полученная за счет взносов страхователей, распределяется между ними. Разумеется, на размер взносов влияет фактор надежности. Как правило, для оценки этого используется показатель вероятности разорения страховой компании (методика расчета этой вероятности неоднозначна и будет рассмотрена далее). Снижение этой вероятности достигается путем создания страховых резервов самой компании и заключением договоров о перестраховании. Однако эта вероятность никогда не достигает нуля! На следующем графике (1.7) показаны основные вероятностные закономерности: Х вероятность того, что до момента t страховой случай не наступил;

Х вероятность противоположного события (страховой случай наступил);

Х плотность вероятности наступления страхового случая (и вероятность наступления случая в промежутке (t, t+dt)).

q(t) - вероятность отсутствия случа я на (0,Т ) плотность вероятности p(t) - вероятность на ступления стра хового случа я на (0,Т ) t Рис. 1.7. Видно, что страховой случай не обязательно наступает за период действия договора (0,T). Вероятность этого события Р<1, тогда на этом интервале площадь под кривой плотности меньше единицы. Если рассматривать противоположное событие (наступление случая), то его вероятность определяется высотой этой кривой в точке Т. А эта высота численно равна площади под кривой плотности. 1.4. Изменение величины ущерба На следующем рисунке изображена плотность вероятности распределения величины ущерба при наступлении страхового случая. Отмечена область наиболее часто встречающегося ущерба и указана граница слишком большого ущерба (предельное возмещение). (Рис. 1.8).

гра ница обла сти слишком большого ущерба плотность на иболее вероятный ущерб предельное возмещение Рис. 1.8. В данном примере предполагается, что величина ущерба S не зависит от момента t, когда произошел страховой случай. Но возможно наличие зависимости S(t). Если зависимость величины ущерба от времени отсутствует, то сравнительно просто определяется средний возможный ущерб M(S) при условии, что нет слишком больших ущербов. Тогда можно вернуться к предыдущему рисунку и считать, что в каждом произошедшем страховом случае выплачивается возмещение M(S). Теперь необходимо увязать процесс накопления взносов страхователя с произведением M(S) на вероятность наступления страхового случая. Это проиллюстрировано на следующем рисунке 1.9.

плотность ма т.ожид.(ущерба ) плотность вероятности на ступления случа я t Рис. 1.9. Накопление номинальных взносов происходит по прямой, однако, с учетом процентов накопленная сумма возрастает по некоторой ломаной, которая в пределе стремится к экспоненте. Итак, в среднем (для большого числа клиентов) должно выполняться условие равенства современных цен математических ожиданий двух величин: накопленной суммы взносов и величины возмещения. 1.5. Эквивалентность обязательств сторон Из выведенного в конце предыдущего параграфа условия следует, что надо приравнять две суммы по моменту t: в левой части суммируются произведения вероятности наступления страхового случая в промежутке (t, t+dt) на сумму накопленных к этому моменту взносов, а в правой части - произведения средней выплаты M(S) на те же вероятности. Тогда справа M(S) умножается на вероятность того, что страховой случай произойдет на (0,T), то есть правая часть определена полностью. В левой части неизвестен размер премии R. Его можно определить по известной плотности распределения вероятности и множителю (1+i)t. Ситуацию можно проиллюстрировать на следующем рисунке 1.10.

взносы возмещение плотность t Рис. 1.10. Отмечены плотность вероятности, накопленная сумма и произведение плотности на размер выплаты. Видно, что коэффициент пропорциональности уменьшается с ростом t, то есть речь идет о современной цене. Также видно, что сначала выплата превышает накопленную сумму (риск страховщика), а затем накопленная сумма превышает выплату (риск страхователя). Однако площади под этими двумя кривыми равны - принцип равенства рисков (эквивалентности обязательств). Отметим, что учитывается процентная ставка i, и сравниваются приведенные площади. Именно из этого условия и определяется размер рисковой премии. Замечание. Для иллюстрации принципа эквивалентности обязательств сторон рассмотрим договор, заключенный на n лет. Стороны договорились проводить расчеты при процентной ставке i. Страховые премии вносятся в начале года, а выплата возмещения осуществляется в конце года, в течение которого произошел страховой случай. При этом страховая сумма выплачивается полностью. На основании имеющейся информации страховщик оценил вероятности случайных событий At, состоящих в том, что страховой случай произойдет именно в t-й год с момента заключения договора. (Для простоты считаем, что договор заключен 01.01, тогда момент выплаты 31.12 совпадает с моментом подведения итогов работы компании за год.). Поскольку временные интервалы (календарные годы) не пересекаются, то рассматриваемые события - несовместны. Кроме того, по договору возмещению подлежит лишь один страховой случай. (При страховании жизни или пенсии это очевидно, а в имущественном страховании после выплаты возмещения действие договора прекращается, но может быть составлен новый договор.) Наконец, необходимо учесть, что страхового случая может и не наступить за эти n лет, поэтому полная группа событий должна содержать и соответствующее событие A0. Таким образом, если n=1, то страховщик обязательно получит взнос R (с вероятностью 1), поэтому M(A)=R, а для выплаты возмещения: M(S)=Sp1v + 0q1v = Sp1v. Отсюда M(A)=M(S), т.е. R1=Sp1v. На практике страховщик часто назначает R=Sp1>R1. Если n=2, то страхователь первую премию вносит обязательно, а вторую только, если за первый год не произошло случая. Т.е. он внес либо одну премию с вероятностью p1, либо две премии с вероятностью: (1-p1)=q1. Поэтому: M(A) = Rp1 + R(1+v)(1 - p1) = R(1+v) - Rvp1 Первое слагаемое указывает на дисконтирование вносимых премий, а второе - на риск недополучения некоторых премий. Аналогично: M(S)=Svp1+Svvp2 + 0vv (1-p1-p2)=Sv(p1+p2v) Тогда: R2=Sv(p1+p2v)/(1+v - vp1). Если n>2, то страхователь вносит суммарную дисконтированную премию: M(A) = Rp1 + R(1+v)p2 +...+R (1+v+...+vn-2)pn-1 = = R(1+...+vn-1)(1-p1-...-pn-1) = R K Последнее слагаемое несколько отличается от приведенной в /30/.

M ( S ) = S v p1 + S v 2 p2 +...+ S v n pn = S L Приравняв M(A)=M(S), получим R=S (L/K), где L/K - УставкаФ. Очевидно, R зависит от n, т.е. R(n), поэтому представляет интерес характер этой зависимости. Аналитически эту зависимость в общем виде показать сложно, но численные расчеты показывают, что начиная с некоторого n : R(n+1) < R(n). Этот факт и лежит в основе УскидкиФ, предоставляемой клиенту при увеличении срока страхования (процентная ставка начинает влиять сильнее, чем сумма вероятностей наступления страхового случая).

1.6.

Некоторые сведения из страховой практики Отметим, что в личном страховании (жизни и пенсии) вероятности существенно зависят от t, в имущественном эта зависимость уменьшается (но и здесь вероятность совершить аварию на старом автомобиле больше, чем на новом), и это позволяет теоретически считать вероятности одинаковыми в целях упрощения расчетов. Однако, в этих видах страхования часто практикуется заключение договоров только на один год, что снижает актуальность этих упрощений. Но в качестве упражнения это - полезно. На практике актуарные расчеты проводятся по несколько иной схеме. Сначала на основе математического ожидания предстоящей выплаты возмещения определяют единовременную цену страховки (которую надо заплатить при заключении контракта). А затем уже на основании этого единовременного взноса с помощью аппарата ренты находят размер периодических взносов. Согласно общим правилам страхования, эти периодические взносы должны вноситься в начале каждого периода, поэтому, чем раньше внесены деньги, тем дольше они работают, то есть приносят больший доход, следовательно, номинально внесенная сумма при этом уменьшается. Различие тем больше, чем выше процентная ставка. Замечание. В простейшей модели страхования предполагается, что если страховой случай произошел, то величина ущерба фиксирована, и, следовательно, выплачивается одинаковое возмещение. Но это - идеальная ситуация, а в действительности положение иное. Даже в качественно однородном портфеле страховые случаи могут привести к различным величинам ущерба (например, при страховании от пожара или при автомобильной аварии не по вине застрахованного). Поэтому возникает задача оценки распределения величины ущерба, и соответственно, величины возмещения. Перед актуарием возникает задача поиска компромисса между двумя противоположными стремлениями. С одной стороны, разбиение всего портфеля на мелкие группы повышает однородность каждой из них, и тем самым несколько снижает элемент случайности в каждой группе. С другой стороны, в более крупной группе отклонения чаще компенсируют друг друга (а не складываются), что повышает надежность. Кроме того, каждого клиента интересует только его собственный договор со страховой компанией. А компанию интересует весь портфель договоров. Поэтому возникает задача определения суммарного ущерба по всему портфелю и, следовательно, суммарного возмещения. Здесь в актуарных расчетах используется аппарат свертки функций, который позволяет получить аналитическое решение (функцию распределения величины суммарного ущерба). Следует учитывать также и возможность численного моделирования на ПЭВМ. Наконец, особое внимание приходится уделять проблеме больших рисков, не рассмотренных в приведенном примере. К таким случаям относятся, например, пожар в музее или во дворце. Оценка возможного ущерба в этом случае должна проводиться особенно тщательно и комплексно, и с самого начала предполагать распределение риска путем перестрахования. Отметим, что с математических позиций эти случаи представляют собой резко выделяющиеся наблюдения и во избежание их сильного искажающего влияния должны быть удалены из выборки и анализироваться отдельно. Таким образом, перед актуарием возникает двухэтапная задача. Сначала целесообразно разбить весь качественно неоднородный портфель на несколько однородных субпортфелей, в каждом из которых вариация ущерба не очень велика и величина ущерба подчиняется одному и тому же закону распределения. А затем целесообразно попытаться объединить результаты, полученные по каждому из субпортфелей. Эта задача также нетривиальна, поскольку требует оценки не только среднего совместного ущерба, но и величины отклонения от этого среднего и вероятности такого отклонения, то есть речь идет об исследовании совместного распределения. 1.7. Примеры задач актуария в страховой компании Исторически первой задачей, которую пришлось решать актуарию, была задача определения величины страховой премии, обеспечивающей эквивалентность рисков страховщика и страхователя, то есть равенство современных величин их возможных потерь. При иллюстрации мы вначале, для простоты, будем считать пример без учета процесса наращения /24, 30/, то есть, что сумма собранных премий должна быть равна сумме выплаченных страховых возмещений. Предположим, что актуарий проанализировал страховые договора определенного типа и выяснил влияние различных факторов на возможность возникновения страхового случая и величину убытков. Тогда он может разбить все неоднородное множество договоров на несколько однородных подмножеств (групп). Это позволяет внутри каждой группы рассматривать не ущерб по каждому договору, а суммарный ущерб, что для страховщика значительно важнее. Пусть на основании предыдущего опыта выяснено, что за единицу времени (год) в группе из n договоров произошло m случаев. Тогда частость m/n позволяет оценить вероятность p наступления страхового случая. Если из года в год эти эмпирические значения m/n практически равны, то есть их колебания случайны и не содержат тренда, то нет необходимости в прогнозировании поведения этой величины. Достаточно знать ее среднее значение. При большом общем числе наблюдений (договоров) можно с высокой надежностью утверждать, что истинное значение параметра p будет находиться в очень узком доверительном интервале. Тогда можно для дальнейших расчетов взять не точечную оценку p, а правую границу доверительного интервала. (Это уменьшит вероятность разорения страховой компании, но несколько снизит ее конкурентоспособность.) Теперь можно приступить к планированию политики компании относительно этого вида риска на следующий год. Собранные премии должны обеспечить выполнение страховщиком своих обязательств. Однако он сможет это сделать только, если фактическое число страховых случаев будет равно своему математическому ожиданию (принцип эквивалентности риска) или меньше его. В последнем случае страховщик даже получит доход. Однако его больше интересует противоположная ситуация: превышение фактического числа случаев над ожидаемым, которая может привести к разорению страховой компании. Во избежание этого страховщик использует такие средства, как рисковую надбавку, распределение риска путем перестрахования, а также привлекает собственный капитал для создания начального резерва. Отдельная и очень важная задача - оценка страховых резервов. Страховой резерв - это выраженный в денежной форме размер будущих обязательств. На эту величину пассивов страховщик должен иметь активы. Собственные средства в страховании называются Умаржа платежеспособностиФ. Они оцениваются по принципу компромисса между надежностью и прибылью. Этот вопрос будет рассмотрен далее. Решение этого комплекса задач начинается с построения доверительного интервала для числа страховых случаев. При этом страховщика интересует самая неблагоприятная ситуация: выход за правую границу, и соответственно, вероятность этого. Разность между правой границей и средним значением и представляет ту часть риска страховщика, как предпринимателя, которую он хочет (и должен!) устранить (предотвратить). Очевидно, что прямое повышение надежности функционирования компании вызовет расширение доверительного интервала, то есть увеличение разности между правой границей и средним значением. И если это среднее значение не изменится, то отношение этой разности к среднему значению (относительная погрешность) возрастет. И тогда страховщик сталкивается с проблемой допустимой величины рисковой надбавки. Эта надбавка призвана отдалить правую границу и тем самым уменьшить вероятность выхода за нее. Поэтому любой разумный клиент согласен платить эту надбавку, если она мала по сравнению с величиной премии, рассчитанной из принципа эквивалентности. На практике в страховании жизни относительная рисковая надбавка составляет до 10%, в имущественном страховании 35% - 40%. (Причина различия указана далее.) Поэтому возможность снизить вероятность разорения компании простым увеличением этой надбавки (за счет клиента!) ограничена из-за конкуренции. Следовательно, необходимо учитывать возможность возникновения на страховом рынке ситуации, при которой придется снижать эту надбавку. Возникает задача поиска разумного компромисса между повышением надежности и повышением конкурентоспособности. Очевидно, играет роль и объем портфеля. Чем он больше, тем компания устойчивее. Она может поддерживать высокую конкурентоспособность, уменьшая надбавку (то есть, снижая тариф) практически без ущерба для надежности. Когда же возможности повышения надежности путем введения рисковой надбавки исчерпаны, компания привлекает свои средства. Если величина начального капитала рассчитана правильно, то он расходуется и пополняется таким образом, что (в среднем) не возрастает и не убывает. Отметим, что излишний начальный капитал это средства, извлеченные из оборота. Они не приносят доход (или приносят значительно меньший доход, чем возможно), поэтому слишком большой резерв нецелесообразен. К тому же для предпринимателя важно соотношение между своими средствами и привлеченными (собранными премиями). Но и снижение капитала недопустимо, так как может помешать компании выполнить свои обязательства, и тем самым, подорвать доверие к страховой компании, да и к страховому бизнесу в целом. Поэтому государственные органы, курирующие страховой бизнес, особенно жестко контролируют именно эту сторону деятельности страховых компаний. Повысить надежность можно и путем перестрахования, однако за услуги перестраховочной компании надо платить, в то время как свой капитал остается в своем распоряжении. Поэтому актуарий обязан тщательно просчитать все возможные варианты перестрахования и сконструировать оптимальную комбинацию надбавки, капитала и перестрахования, обеспечивающую решение многоцелевой задачи: высокую надежность и конкурентоспособность и еще прибыль. (До сих пор мы не упоминали нагрузку, включающую расходы на ведение дела и превентивные мероприятия, а также прибыль акционеров.) 1.8.

Замечания о работе актуария страховой компании Общая схема функционирования страхового общества может быть представлена следующим образом. Имеется однородное множество договоров, число которых достаточно велико, а вероятность наступления страхового случая в каждом отдельном договоре очень мала и приблизительно одинакова для каждого конкретного клиента. Страховая сумма, выплачиваемая клиенту при наступлении страхового случая, в простейшем случае также одинакова. Актуарий должен решить для данной страховой компании следующие задачи: определить величину рисковой премии, обеспечивающей эквивалентность обязательств и риска у страховщика и страхователя;

- определить величину рисковой надбавки;

- определить величину страхового запаса (капитала), обеспечивающего выживание (неразорение) компании с определенной надежностью;

проанализировать возможность повышения устойчивости компании с помощью перестрахования и рассчитать плату за перестрахование при различных условиях договора о перестраховании;

- оценить положение компании на страховом рынке и, в зависимости от ситуации, сформулировать подтвержденные расчетами рекомендации по укреплению позиций компании. Важно отметить, что конкретного клиента интересует только его собственный договор, то есть индивидуальный риск. Для отдельного клиента страховой случай может либо наступить с вероятностью p, либо не наступить с вероятностью q=1-p. Следовательно, страхователь рискует премией П с вероятностью 1-p, а страховщик рискует разницей между страховой суммой и полученной премией (S-П) с вероятностью p. Поэтому принцип эквивалентности риска сторон (при отсутствии индексации) приводит к уравнению: (S-П)p=П(1-p), отсюда: П=Sp.

вероятность рисковая надбавка капитал перестрахование риск предпринимателя рисковая премия Рис. 1.11. На данном рисунке - плотность распределения риска в одном договоре. Это иллюстрирует задачи страховщика в отношении одного клиента. Если договоров несколько, то компанию интересует не отдельный договор и наступление случая в нем, а общее число случаев для всего портфеля и сумма всех выплат, то есть коллективный риск по всему портфелю. N страхователей внесут в виде премий по П, в среднем следует ожидать Np страховых случаев, в каждом из которых придется выплатить возмещение S. Т.е. NП=NpS или П=Sp. Результат тот же. Рисковая премия не зависит от числа договоров в портфеле. Но рассчитанная на основе рисковой премии нетто-премия - зависит от N (и как будет показано далее, от надежности). Соответственно, это отразится и на брутто-премии (где добавится влияние еще и третьих факторов). Для отдельного клиента имеет место биномиальный закон распределения, поэтому для однородного портфеля общее число случаев за срок действия договора подчиняется закону Пуассона (формула Пуассона аппроксимирует формулу Бернулли). Отметим, что при определенных условиях оба распределения можно аппроксимировать нормальным законом. Данное обстоятельство объясняет причину широкого применения указанных распределений (а также тесно связанных с ними других законов) в актуарных расчетах. Например, если число случаев за единицу времени подчиняется распределению Пуассона, то длительность временного интервала между двумя очередными случаями подчиняется экспоненциальному распределению. (Основные вероятностно-статистические принципы приведены в Приложении.) Проиллюстрируем графически, за счет каких составляющих обеспечивается покрытие риска страховщика. (Рис. 1.13).

СРП СPH P П Рис 1. Здесь изображена плотность распределения ущерба во всем портфеле. Распределение приближается к нормальному. На горизонтальной оси (размер суммарного возмещения) намечены области ответственности отдельных составляющих. В начале, для упрощения, будем считать, что размер выплат фиксирован. Тогда общий убыток страховщика пропорционален числу страховых случаев. Если объем однородного портфеля велик, а вероятность страхового случая в одном договоре мала, то применима пуассоновская аппроксимация. Наибольшее значение плотности в точке =Np (интенсивность потока заявок или математическое ожидание количества заявок - исков о возмещении понесенного ущерба). Как было показано ранее, если страховая сумма, выплачиваемая при наступлении страхового случая во всех договорах постоянна и равна S, а единовременная страховая премия, вносимая клиентом для обеспечения эквивалентности риска, равна П, то из равенства собранной суммы взносов: ПN и общей суммы выплат: S=SNp следует: П=pS. Однако нетрудно заметить, что собранная сумма взносов (рисковых премий) обеспечивает выплату компенсаций только при благоприятной для страховщика ситуации, когда фактическое число случаев не превосходит его математического ожидания: m

2. 2.1.

Примеры элементарных актуарных задач Расчет размера прибыли и возмещения Рассмотрим некоторые задачи, которые приходится решать страховщику. Отметим, что роль актуария состоит здесь не в выполнении самих расчетов, а в составлении соответствующего алгоритма. Естественно, при этом учитываются не только условия договора, но и УвнешниеФ условия, например, налоговые. Пример 1. Доход страховщика за 1 год составил 20 млн. у.е. Расход 15 млн. Налоговых льгот нет, а местные налоги составляют 17%. Найти его чистую прибыль. Решение. Разность 5 млн. облагается налогом 13% + 17% = 30%, что составит 1.5 млн. Тогда остаток (чистая прибыль) составит 3.5 млн. Замечание. Ставка налога указана условно. Остаток - та сумма, которой может располагать страховщик. Но из этой суммы часть идет на формирование резервов. Поэтому не вся сумма может быть распределена между акционерами в виде дивидендов. Пример 2. Гражданин приобрел иномарку за 20 тыс. у.е. и через некоторое время застраховал ее от аварии. При этом физический износ на день заключения договора был оценен (согласован) в 15%. По договору автомобиль был застрахован на 50% от действительной стоимости. Через некоторое время произошла авария, после которой автомобиль не подлежал восстановлению. Но владелец затратил 1 тыс. у.е. на восстановление тех деталей, которые можно было реализовать в качестве запчастей. Номинальная цена этих деталей 5 тыс., а реальная (с учетом износа и обесценивания) 2 тыс. Найти возмещение, выплаченное страховщиком. Решение. Реальная цена не 20, а только 17 тыс., причем в случае полного уничтожения было бы выплачено только 8.5 тыс. (предел ответственности страховщика). Ущерб составил: 17 + 1 - 2 = 16 (тыс. у.е.). Поэтому возмещение составит 8 тыс. Отметим, что страхователю выгоднее было бы не тратить 1 тыс. на восстановление, а попытаться получить со страховщика 8.5 тыс. Но согласно общим правилам, не подлежит возмещению то, что можно, в принципе, восстановить. Страховщик больше не заплатит. Со своей стороны, страховщик, получив от страхователя в качестве взноса оплату 50% риска, попытается уменьшить выплачиваемое возмещение. И станет аргументировать свою точку зрения: страховая сумма равна 8.5 тыс., добавляем расходы на восстановление 1 тыс. и вычитаем цену восстановленных деталей 2 тыс. (конечно, лучше вычесть все 5 тыс., но это слишком очевидно), получим 7.5 тыс., которые должны быть возмещены на 50%, т.е. в размере 3.75 тыс. Здесь условие У50%Ф учтено дважды, т.е. клиент, заплатив за половину риска, получит только 25% компенсации. Замечание. На цивилизованном страховом рынке действуют четкие законы (и они дополнительно конкретизируются общими правилами страхования, которым заключаемый договор не может противоречить!). Поэтому возможность обмана страховщиком своего клиента практически исключена, следовательно, он и не будет пытаться это сделать. Согласно общим правилам страхования страховая сумма S не может превышать реальную цену застрахованного объекта С. Кроме того, величина ущерба X также не может превышать С. Наконец, возмещение V не превышает min(X,S). Согласно принципу пропорционального возмещения: V = (X/C) S = (S/C) X. Пример 3. Коттедж ценой 250 тыс. у.е. застрахован на 1 год на условиях сострахования у четырех страховщиков, каждый из которых принял на себя риск 50 тыс. Взносы оплачены единовременно. Через полгода дом был полностью уничтожен. Но к этому времени один из четырех страховщиков разорился. Какую компенсацию получит страхователь? Решение. Отметим двойную недальновидность страхователя. Он оставил 50 тыс. на своем риске. И не предусмотрел возможности разорения страховщика (за которого его коллеги не отвечают). Поэтому он получит не 200, а только 150 тыс. Он должен был застраховаться у одного страховщика на полную стоимость коттеджа, оговорив при этом перестрахование этого риска. (Последнее условие, как и случай разорения страховщика - специфика современной российской действительности!) Замечание. Разумеется, один страховщик тоже может разориться (даже при наличии перестраховочного договора). Поэтому страхователю лучше обратиться в страховой пул, устойчивость которого выше, чем у отдельных страховщиков. Пример 4. Пусть действительная цена автомобиля - 5000 у.е., а величина ущерба - 3000. Найти возмещение. Решение. Возмещение V зависит не только от цены C, но и от страховой суммы S. В частном случае, если эти два значения совпадают, S = C = 5000, то возмещение V равно величине ущерба X=3000. Если S<5000, например 2500, то возмещение соответственно уменьшается: V = S/C*X = (2500/5000) 3000 = 1500 у.е. Но если S > 5000, например, 7000, то возмещение не увеличивается и равно: V = X = 3000 у.е. (Страхование не является средством обогащения!) 2.2.

Единовременная рисковая премия Задача определения единовременной рисковой премии в случае фиксированного ущерба (для биномиального закона распределения). Пример 5. Два автомобилиста застраховали от угона свои автомобили. У первого - отечественный автомобиль с современной рыночной ценой 2000 у.е., а у второго - иномарка ценой 10000 у.е. Страховая компания оценила вероятности угона: первого автомобиля в 0.01, а второго - 0.04. При страховом случае выплачивается страховая сумма, равная рыночной цене. Найти единовременные рисковые премии. Решение основано на принципе эквивалентности риска сторон. Математическое ожидание ущерба страховой компании по такому договору равно произведению страховой суммы на вероятность ее выплаты (в этом примере для простоты считаем, что при реализации страхового случая сумма выплачивается обязательно, тогда вероятности этих двух событий равны). Итак: S1 p1 = 2000 0.01 = 20, S2 p2 = 10000 0.04 = 400. Страхователи должны компенсировать эти риски компании своими взносами, поэтому их единовременные рисковые премии соответственно равны: 20 и 400 у.е. Видно, что на размер взноса влияют оба фактора: страховая сумма и вероятность случая. Причем вероятность не только указывает, как часто (в среднем) будут происходить такие события, но и выполняет функцию страхового взноса за одну единицу страховой суммы (УставкиФ). Замечание. В данном случае предполагается, что рисковая премия однозначно определяет взнос, т.к. надбавка пропорциональна рисковой премии, а доля нагрузки в тарифе фиксирована. В дальнейшем, при изучении проблемы формирования рисковой надбавки, будет показано, что эти надбавки в общем случае не пропорциональны размерам рисковых премий. Риски могут быть качественно однородными, но существенно различными по величине. Тогда компания будет стремиться обезопасить себя, прежде всего, от больших рисков. Поэтому надбавка рассчитывается по формуле: AM(x) + BD(x) + Cx Числовые коэффициенты рассчитываются на основании статистических данных из предыдущего опыта. На практике для больших рисков надбавка выше (относительно, а не только абсолютно). Это дает повод для популистского лозунга, что богатый платит за бедных. В действительности речь идет только о расширении доверительного интервала (повышении надежности) для больших рисков.

2.3.

Пример распределенного риска Ранее рассмотрен альтернативный вариант, когда страховой случай либо наступает с вероятностью p, и тогда выплачивается вся страховая сумма, либо случай не наступил, тогда выплаты нет. Т.е. величина ущерба фиксирована. Представляет интерес ситуация, где при наступлении страхового случая величина ущерба является случайной величиной с некоторым законом распределения. Рассмотрим дискретную величину. Пример 6. Вероятность страхового случая p=0.1. Условное распределение: X 100 200 300 400 P 0.4 0.3 0.2 0.1 Определить размер единовременной рисковой премии. Решение. Сначала найдем условное математическое ожидание ущерба X (взвешенную среднюю): M(X|A)=1000.4+2000.3+3000.2+4000.1=200;

Теперь: M(X) = M(X|A)p + 0q = 2000.1 + 00.9 = 20. Это и будет искомой рисковой премией. Пример 7. Рассмотрим непрерывно распределенный размер ущерба. Пусть случай наступает с вероятностью 0.05, и тогда ущерб распределен равномерно на отрезке (0, 600). Найти рисковую премию. Решение. Здесь условное математическое ожидание равно 300, тогда рисковая премия равна 15. Разумеется, и для таких договоров представляет интерес задачи определения возможного отклонения фактического значения от ожидаемого, особенно, для всего портфеля. Именно на основании этого определяется надбавка, капитал, перестраховочная программа. Пример 8. Объект застрахован от пожара на сумму 6 млн. у.е. Вероятность пожара 0.0001, а величина ущерба распределена равномерно от 0 до 6 млн. Найти среднее значение и дисперсию иска. Решение. Из свойств равномерного распределения следует, что условные значения этих величин (при условии, что случился пожар) равны: M(X|A) = S/2 = 3106, D(X|A) = S2 / 12 = 31012. Тогда, учитывая вероятность, получим безусловные значения: M(X) = 300, D(X) = D(X|A)p+M(X|A)2pq= =3108+(3106)20.00010.9999 = (3 + 9) 108 = 12108. Тогда СКО = 3.46104 ;

коэффициент вариации: 34600/300 = 115. Здесь проиллюстрирована опасность для страховщика принятия одного риска. Пример 9. Ущерб при пожаре (если он произошел) распределен по экспоненциальному закону со средним значением 2000. Предел ответственности страховой компании 5000. Найти среднее значение действительно предъявленного иска. Решение. Уточним, если X < L, то компания платит X;

иначе платит L, т.е. Y = min(X,L). Поэтому строим распределение величины действительно предъявляемого иска: P(Y x) = 1, если x L ;

или P(Yx) = P(X x), если x< L. Можно рассмотреть: P(Y > x) = 0, если x L;

или P(Yx) = P(Y > x), если x > L. Теперь находим математическое ожидание, рассматривая (вместо интеграла от 0 до бесконечности) интеграл от 0 до L, (после L подынтегральная функция равна 0). Получим: ) F(x) = 1 - exp(-x);

f(x) = F ' (x) = exp(-x);

= 1/ x. ) По условию: x = 2000, ( = 1/2000 = 0.0005);

L = 5000;

Y = X, если x < L = 5000;

и Y = L, если x > L.

M(Y) = yf(y)dy = xf(x)dx + Lf(x)dx = L L = xexp(-x)dx + Lexp(-x)dx = L L = (-x)exp(-x)d(-x) +L exp(-x)d(x) = L = (-x)d(exp(-x)) - L d(exp(-x)) = L L L L1 1 = (-x)*exp(-x) = exp(-x)d(-x) L - Lexp(-x) L = (-L)exp(-L) + 0 - L d(exp(-x)) - (0 - Lexp(-L)) = L L 1 = -Lexp(-L) - exp(-x) + Lexp(-L) = exp(-x) = = (1 - exp(-L));

M(Y) = 2000(1 - exp(-5/2)) = 1836 < 2000 = x ;

lim M(Y) = ) = x = 2000.

Результат можно получить несколько короче:

M (Y ) = P(Y > x ) dx = P( X > x )dx = 0 0 L L exp( x / 2000)dx = = 2000 exp( x / 2000) 5000 = 2000 (1 exp( 5 / 2)) = 1836.

Отметим, что найденное среднее значение меньше параметра, и это будет иметь место при любом L, причем с увеличением L разность будет стремиться к 0. Это определяется свойствами экспоненциального распределения. Замечание. Строго говоря, надо различать предъявляемый и лоплаченный иски. Они не обязаны совпадать. (Предъявленный иск равен размеру реального ущерба, а оплаченный определяется условиями договора.) Разумеется, второй не больше первого. И в примере исследуется именно лоплаченный иск. Но данный пример несколько идеализирован и предполагает равенство этих двух величин. 2.4. Пример комбинированного страхования Определенный эффект создает такой прием, как комбинированное страхование, которое позволяет несколько снизить тарифы из-за практической невозможности одновременного возникновения нескольких страховых случаев. Рассмотрим пример комбинированного страхования. Пример 10. Первый страхователь застраховал на один год свое домашнее имущество на сумму в 1000 условных единиц:

- от пожара в компании X (событие А с вероятностью 0.02);

- от порчи в результате аварии системы горячего водоснабжения в компании Y (событие В с вероятностью 0.01);

- от кражи в компании Z (событие С с вероятностью 0.03). По договору, если случай произошел, то компания выплачивает страховую сумму полностью, независимо от величины фактического ущерба. Процентная ставка не учитывается, рассчитывается только единовременная рисковая премия. Решение. Единовременные рисковые премии равны: Sp (в первом договоре 20, во втором 10, в третьем 30). Итого: клиент заплатил 60 у.е. взносов. Пример 10.1. Второй страхователь застраховал такое же имущество на ту же сумму от тех же трех рисков (на тех же условиях) в одной компании одновременно в одном договоре. Найти единовременную рисковую премию. Решение. Очевидно, что одновременно может произойти не более одного из этих трех событий. (Реализация одного из них автоматически делает невозможным два других.) Поэтому надо рассматривать не событие: (АВС), а событие (( A B C ) ( A B C ) ( A B C)), вероятность которого равна не 0.06, а числу: 0.020.990.97 + 0.980.010.97 + 0.980.990.03 = = 0.019206 + 0.009506 + 0.029106 = 0.057818 Единовременная рисковая премия равна 57.8 у.е. и уменьшилась почти на 4%. Соответственно уменьшились и периодические ставки (рисковая, нетто- и брутто-). Естественно, агент страховой компании представляет это снижение тарифа, как премию, выплачиваемую компанией клиенту за разностороннее сотрудничество, то есть как скидку. В действительности компания ничего не теряет, она просто возвращает клиенту его же деньги. Она не может поступить иначе. Вопервых, из-за конкуренции, а во-вторых, такой неправильный расчет рисковой премии (и всех последующих!) вызовет недовольство Cтрахнадзора, который воспримет это как некомпетентность и попытку обокрасть клиента (и тем самым подорвать его доверие к делу вообще). На практике недостаточно страховому квалифицированный клиент может этой детали не заметить, чем страховщик и пользуется, особенно, в России. 10.2. Размер скидки может меняться. Например, все вероятности увеличились в 10 раз и составили соответственно: 0.2, 0.1, 0.3. Решение. Для первого клиента сумма рисковых премий равна 600 у.е. А для второго равна: 0.20.90.7 + 0.80.10.7 + 0.80.90.3 = 0.126 +0.056 + 0.216 = 0.398 Тогда рисковая премия равна 398 у.е., то есть снизилась более, чем в 1.5 раза, а скидка составила 34%. Итак, точный учет вероятности сложного события, вероятности совместного появления отдельных страховых случаев позволяет компании снизить свои тарифы и тем самым повысить конкурентоспособность при той же надежности. 2.5. Страхование ответственности владельца автомобиля Теперь рассмотрим пример страхования ответственности автомобилиста. Водитель может (в принципе) относиться к одному из нескольких классов надежности (с точки зрения безаварийной езды). Это события Ai с вероятностями P(Ai). Для каждого класса известна вероятность совершить аварию (событие B) за единицу времени (обычно срок договора 1 год), то есть известны условные вероятности P(B/Ai) совершить аварию, если водитель принадлежит к определенному классу надежности. В зависимости от принадлежности к классу устанавливается тариф при страховании ответственности. Есть два водителя, априорно отнесенные к одному и тому же классу. Поэтому тарифы у них одинаковы. За год один из них совершил аварию, а другой не совершил. Как это отразится на их новой классификации (и как следствие на новых тарифах) на следующий год? Эта задача решается с помощью формулы Байеса. Рассчитываются апостериорные вероятности принадлежности к различным классам для обоих водителей. Затем для каждого полученные вероятности сравниваются с заданными ранее (априорными). Если различие существенное, водителя переводят в другой класс, что отражается на размере платы за страховку. При несущественном различии он остается в прежнем классе. На практике для поощрения необходимо несколько лет безаварийной езды в каждом классе, чтобы перейти в более высокий. Но достаточно одной аварии для перевода в более низкий. Дело в том, что P(Ai/B) существенно отличается от P(Ai), но P(Ai | В ) несущественно отличается от P(Ai). Должно пройти k лет (событие В повторится подряд k раз), чтобы (P(Ai | В )) стало существенно отличаться от (P(Ai)). Пример 11. Известно, что 20% водителей - новички, для которых вероятность попасть в аварию в течение года равна 0.2. Для 30% водителей со средним стажем безаварийной езды эта вероятность - 0.15. Опытные водители (их 40%) попадают в аварию с вероятностью 0.1. А 10% ласов - с вероятностью 0.05. Проанализировать ситуацию. Решение. Составим вспомогательную таблицу. i 1 2 3 P( Ai ) P(B | A i ) 0.2 0.3 0.4 0.1 1. 0.20 0.15 0.10 0. P (A i )P (B | A i ) P(Ai |B) P( B |Ai ) P(Ai)P( В |Ai ) P(Ai | В ) 0.04 0.31 0.80 0.16 0.18 0.045 0.35 0.85 0.255 0.29 0.04 0.31 0.90 0.36 0.41 0.005 0.04 0.95 0.095 0.11 0.130 0. Видно, что происшедшая авария сильно уменьшила вероятности отнесения водителя к благополучным классам и увеличила вероятности его зачисления в неблагополучные. А если аварии не было, то вероятности практически сохранились. Причина этого эффекта в сравнительно малых значениях вероятностей совершить аварию во всех классах.

2.6.

Рисковая надбавка Рассмотрим задачу определения рисковой надбавки. Пусть компания имеет однородный портфель n договоров с одинаковыми страховыми суммами S и вероятностями наступления страховых случаев p. Компанию интересует не только среднее число случаев np, но и величина возможного превышения этого значения d и вероятность такого отклонения. Поскольку в основе процесса лежит биномиальный закон, интересующая нас оценка может быть получена с помощью интегральной теоремы Лапласа:

Pr m np < t npq = Pr m/ n p < t pq/ n = (t) { }{ } (В более общем случае, когда эта теорема неприменима, используется неравенство Чебышева /27/). Пример 12. Пусть число договоров n=1000, p=0.1 - вероятность наступления страхового случая. Тогда np=100 среднее ожидаемое число случаев. Компанию интересует вероятность того, что фактическое число случаев не превысит некоторого заданного значения max(m). Если срок действия договоров один год, то какова должна быть эта граница, чтобы она превышалась не чаще, чем 1 раз в 25 лет? Какова при этом рисковая надбавка? Предположим, что в этой подотрасли страхования надбавка, в среднем, составляет 10% от рисковой премии. Оценить конкурентоспособность компании. Решение. npq = 90, npq = 9.48. Вероятность нарушения правой границы: (1-Ф(t))/2=0.04, тогда Ф(t)=0.92 и по таблице находим t=1.75 d = 1.645 01 0.9 1000 = 15.6. =d/np=16.62/100=0.1662=16.62% При относительной надбавке 16.62% можно обеспечить с надежностью 0.96 (нарушение не чаще одного раза в 25 лет), что число страховых случаев не превысит 100+16.62=116.62 117. С позиции конкурентоспособности надбавка 17% велика, а вероятность разорения (раз в 25 лет) слишком велика (по западноевропейским стандартам). Попытаемся изменить условия. Пример 13. Пусть в условиях примера 12 мы хотим обеспечить вероятность разорения не выше 0.01 (не чаще 1 раза в 100 лет). Решение: Здесь Ф(t)=0.98 и t=2.325. Следовательно, d=2.3259.48=22.1 то есть надбавка увеличилась почти в 1.33 раза и достигла 22.1% - слишком много (для нашего примера). m 100 + 22,1. Округляем до ближайшего целого числа 123. Тогда = 23 %. Пример 14. Найдем надежность, которую может обеспечить надбавка в 10%. Решение: d=10010%=10;

t=10/9.48=1.053;

Ф(t)=0.71;

Pr=(1-0.71)/2=0.145. Итак, вероятность разорения достигла 0.145 (один раз в семь лет!), что совершенно неприемлемо. В данном случае (п. 12 - 14) неприятности страховщика вызваны противоречием между относительно высокой вероятностью наступления страхового случая 0.1 и сравнительно небольшим объемом страхового портфеля n=1000. Пример 15.Проанализируем ситуацию у другого страховщика, который имеет дело с такими же рисками p=0.1, но объем портфеля у него в 10 раз больше n=10000. Решение: Итак n=10000, p=0.1, np=1000, npq=900, npq =30. Если Pr=0.04, то Ф(t)=0.92;

t=1.75;

d=1.7530=52.5, m 1000 + 52,5 т.е. m 1053, то есть относительная надбавка составляет 53/1000=0.053 против 0.17 в п.12. - уменьшилась втрое! Это означает, что на каждую тысячу договоров (при одинаковой надежности) у второго страховщика отклонения будут втрое меньше. Следовательно, он может соответственно снизить надбавку, и тогда его тарифы будут ниже, чем у конкурента. Тогда конкурент с малым портфелем тоже должен снизить свои тарифы, а это резко снизит его надежность, и, скорее всего, он разорится (в этом примере мы не рассматриваем другие пути повышения надежности). Этот пример показывает, почему крупные компании выживают, а мелкие разоряются. Пример 16. Пусть крупная компания (n=10000) стремится обеспечить вероятность разорения не выше 0.01 (1 раз в 100 лет). Тогда Ф(t)=0.98;

t=2.325;

d=2.32530=69.7570 относительная надбавка: 70/1000=7% вполне приемлема. Это означает, что такая компания может обойтись практически без страховых резервов, в то время как ее слабый конкурент обязан создать солидный резерв из своих средств. Еще одно преимущество. Пример 17. Пусть n=10000, np=1000, d=10%np=100, тогда t=100/30=3.33, что соответствует Ф(t)= 0.999 и вероятности разорения 0.0005. Пример 18. По результатам примеров 15-17 очевидно, что для большой компании целесообразно остановиться на варианте: вероятность разорения 0.01 и надбавка 7%. При этом она решает задачу обеспечения достаточной надежности за счет клиента, но ее услуги еще и дешевле средних на страховом рынке. Это идеальный вариант для компании. Малая компания (примеры 12-14) не имеет ни одного приемлемого варианта, ей для повышения надежности необходимо увеличить начальный капитал и прибегнуть к перестрахованию. Но у малой компании и своих средств мало. Сравнить устойчивость компаний можно и по отклонению (точнее, превышению) фактического числа страховых случаев m от ожидаемого np на каждые 100 договоров (при одинаковой надежности). Например, вероятность разорения 0.01. Тогда для малой компании получили надбавку 23%, поэтому на каждые 100 договоров у этой компании с вероятностью 0.99 число страховых случаев не превысит : np (1 + 1) = 1000.1 (1+0.23) = 12.3, а для большой компании правая граница доверительного интервала при надбавке в 7% будет равна: 101.07=10.7, то есть в среднем на полтора случая меньше. Таким образом, если на страховом рынке в данной подотрасли средняя надбавка составляет 10%, то малая компания не в состоянии выдержать конкуренции, а большая, имея солидный запас прочности (7%), держится на плаву, не прилагая для этого никаких усилий (только потому, что она - большая!). Она даже может снизить свой тариф (по сравнению со средним), например, продавать свои полисы (условно) по 107 единиц, по сравнению с ценой 110 (в среднем) и с ценой 123 у малой компанией. И тем самым вытеснить конкурентов с рынка. Ничем при этом не рискуя. Таким образом, проиллюстрировано преимущество крупных компаний.

СКО n2pq n1pq n2p 0 Рис 2.1 n1p МО Вывод. Если актуарные расчеты показали, что компания не в состоянии обеспечить достаточно высокую надежность за счет рисковой надбавки, то она обязана повысить надежность путем создания достаточных начальных резервов и (или) перераспределить риск путем перестрахования. А потенциальному страхователю следует обратиться в крупную компанию, имеющую большой однородный портфель аналогичных договоров. Здесь ему предложат более выгодные условия (тариф ниже при более высокой надежности). Отметим: рисковая премия + рисковая надбавка = нетто-премия. Если нагрузка на ведение дела составляет фиксированный процент f от тарифа, можно найти брутто-премию, разделив нетто-премию на (1-f). 2.7. Нетто - премия Итак, показано, что нетто - премия, обеспечивающая безубыточность страхования, должна быть выше рисковой премии, рассчитанной на основе принципа эквивалентности обязательств сторон. Разность между ними называется рисковой надбавкой, а отношение этой разности к рисковой премии - относительной рисковой надбавкой. Рассмотрим процедуру формирования нетто-премии в договорах с распределенным ущербом. Пример 19. Индивидуальный иск принимает 3 значения: 0, 1, 4 е.с.с. с вероятностями: 0.9965, 0.0030, 0.0005 соответственно. Найти нетто - премию. Решение. Среднее значение и дисперсия индивидуального иска равны: M(X) = 00.9965 + 10.0030 + 40.0005 = 0.0050 D(X) = 12 0.0030 + 42 0.0005 + 0 - 0.0052 0.011 S(X) 0.105 Тогда при условии обеспечения 95% надежности (вероятности выживания) с использованием нормальной аппроксимации получим: t(0.95) = 1.645, и используя рисковую премию: П0 = M(X) = 0.005, и учитывая число договоров N = 10000, найдем нетто-премию: П = П0 + tS(X)/( N ) = 0.005 + 1.6450.105/100 = 0.0067. Тогда относительная надбавка равна: (0.0067 - 0.005) / 0.005 = 34%. Итак: рисковая премия = 0.0050, рисковая надбавка = 0.0017, нетто-премия = 0.0067, брутто-премия (при f = 12%) составит: 0.0067/0.88 = 0.76.

2.8.

Переход от единовременной рисковой премии к периодической Проиллюстрируем на числовом примере основные положения принципа эквивалентности взаимных обязательств страховщика и страхователя. Сравним единовременную премию с рассроченной. Ограничимся рассмотрением рисковых премий. Пример 20. Пусть заключается договор на один год о страховании от пожара. Пусть вероятность пожара в течение года оценена как 0.04, а страховая сумма составляет 25 000 условных единиц. Решение. Для единовременной рисковой премии учтем, что в среднем страховщик должен выплатить эту сумму с p=0.04 или 0 с вероятностью q=0.96. Следовательно, средняя выплата составит 1000 у.е. Это и есть современная цена риска страховщика. Поэтому единовременная рисковая премия (обеспечивающая эквивалентность рисков сторон) равна П=Sp=1000. Если клиент согласен внести эту сумму немедленно, то актуарные расчеты закончены, можно заключать договор. Но часто клиент предпочитает оплачивать страховку поэтапно (в рассрочку, периодически), например, в начале каждого квартала. Тогда необходимо найти квартальную нетто-премию УпФ. В простейшем варианте фиксируется номинальный размер этой премии и рассматривается поток из четырех платежей, (в начале каждого квартала), эквивалентный (при известной процентной ставке i) найденной ранее единовременной премии. Считаем, что выплачиваемая страховая сумма не меняется во времени из-за изменения цены денег (но возможен и договор с учетом указанного фактора). При изучении курса Основы финансовой математики /30/ в разделе Рента данная задача подробно анализируется для детерминированного процесса. В банковском деле предполагаются детерминированными потоки поступлений и выплат (по срокам и величине) поскольку отклонения караются штрафами. В страховом бизнесе ситуация несколько иная. Если страховщик не получил единовременного взноса, то у него нет полной уверенности в том, что он получит всю оговоренную сумму взносов. Если страховой случай наступил ранее очередного взноса, то клиент освобождается от всех дальнейших взносов, а компания должна выполнить свои обязательства в полном объеме. Возникает элемент случайности, что приводит к модификации используемого аппарата ренты. Поэтому во избежание разорения страховщик должен учесть возможность такого варианта. Пример 21. В рассматриваемом примере стороны договорились исходить из условия, что i=20% в год с ежеквартальным начислением процентов. Это означает 5% квартальную ставку. Если предположить независимость вероятности возникновения пожара от времени года, то вероятность пожара в течении года в 0.04 означает для каждого квартала вероятность 0.01 (пренебрегая различием числа дней в кварталах). Решение. Из условия следует, что только первый взнос компания получит с вероятностью 1 (без первого взноса нет ответственности). До второго взноса пройдет один квартал, за который случай произойдет с вероятностью 0.01 и не произойдет (тогда компания получит и второй взнос) с вероятностью 0.99. Рассуждая аналогично, обнаружим, что вероятность получения компанией каждого следующего взноса уменьшается на 0.01. Кроме того, современная цена каждого следующего взноса уменьшается в (1+i)=1/v раз. Это позволяет составить уравнение: 1000 = п + п0.99/1.05 + п0.98/1.052 + п0.97/1.053 = п3.67 Отсюда: п = 272.5, а не 250. Номинальный суммарный взнос 1090. Отметим, что без учета вероятностей поступления каждого очередного взноса уравнение имело бы вид: 1000 = п (1 + v + v2 + v 3 ) = п (1 - v 4 )/(1 - v) = п3.723 тогда п = 268.6, несколько меньше, а номинально собранные взносы 1074.4. Относительная погрешность: (1090 -1074.4)/1074.4 = 0.0145 или 1.5%. Компания идет к разорению. Отметим, что и современная цена номинально внесенных 1090 у.е. составляет не 1000, а 272.5 (1-v4)/(1-v) = 272.53.723 = 1014.6, т.е. может показаться, что компания пытается взять с клиента лишние 1.5%, но это не так. Имеет место самострахование компании от риска недополучения взносов, обеспечивающих эквивалентность обязательств. Таким образом, если современная цена обязательств учитывает только изменение цены денег, то актуарная цена учитывает еще и вероятность недополучения части взносов. В рассмотренном примере мы сначала нашли единовременную премию, а затем, на ее основе определили рассроченную премию. Но в принципе можно обойтись без единовременной премии. Универсальный алгоритм, применяемый во всех следующих вариантах, мог быть использован и в уже рассмотренном. Он состоит в составлении уравнения: МО взносов = МО возмещений. Взносы дисконтируются всегда, и всегда учитывается возможность недополучения последних взносов. При определении размера возмещения возможны различные варианты, предусмотренные в договоре. Продолжим анализ равномерного распределения вероятности возникновения страхового случая (для простоты изложения) и рассмотрим некоторые модификации договора и актуарное обоснование этих изменений. Пример 22. В договоре предусмотрено, что если страховой случай произошел, и к этому моменту клиент внес не все периодические премии, то страховщик удерживает из выплачиваемой суммы все невнесенные премии. Это означает, что страховщик гарантирует себе получение всех премий. Естественно, такое условие должно отразиться на величине периодических страховых взносов, точнее, привести к их снижению. Решение. Итак, страховая сумма S=25000, P(год)=0.04, P(кварт)=0.01, Q(год)=1-P(год)=0.96. Страховой случай может не произойти вообще или произойти в любом из 4-х кварталов с равной вероятностью. Составим вспомогательную таблицу, на основе которой будем составлять уравнения, отражающие эквивалентность обязательств сторон в различных модификациях договора. В имущественном страховании возмещение не всегда дисконтируется, поэтому в данном примере мы не учитываем последний столбец, он будет использован в следующем примере. Составляем балансовое уравнение (сумма всех дисконтированных взносов равна сумме всех номинальных возмещений):

Квар- Вероят Получено взносов тал ности Выплачено возмещений Недополученные взносы удерживаются номинал S-3п S-2п S-п S 0 дисконтир S-3п (S-2п)v (S-п)v2 Sv3 1 2 3 4 0.01 0.01 0.01 0.01 0. Недополученные взносы не удерживаются ном дисконтир номинал дисконт п П S S S Sv 2п п+пv 2 S Sv2 3п п+пv+пv 2 3 Sv3 4п п(1+v+v +v ) S 2 3 0 4п п(1+v+v +v ) Итак, премии дисконтируются (как всегда!), выплаты не дисконтируются, невнесенные премии удерживаются при выплате возмещения. Тогда:

(п-(S-3п))0.01+((п+пv)-(S-2п))0.01+((п+пv+пv2)-(S-п))0.01+ +(п(1+v+v2+v3)-S) 0.01 + (п(1+v+v2+v3)-0) 0.96 = 0;

0.01 ((4п-S) + (3п+пv-S) + (2п+пv+пv2-S) + (п(1+v+v2+v3)-S))+ + 0.96п (1+v+v2+v3) = 0;

0.01 (10п+3пv+2пv2+пv3-4S) + 0.96п (1+v+v2+v3) = 0;

п((0.1+0.96) +v(0.03+0.96) + v2(0.02+0.96) +v3(0.01+0.96))= =0.04S;

п(1.06 + 0.99/1.05 + 0.98/1.052 +0.97/1.053) = 0.0425000 = 1000 п3.73 = 1000 п = 1000/3.73 = 268.1, что несколько отличается от ранее полученного значения 268.6. При всей незначительности этого различия следует признать, что это следствие применения другой методики расчета премии. Пример 23. Разумеется, может возникнуть вопрос о правомерности различного подхода к взносам (которые дисконтируются) и возмещениям (которые в большинстве случаев на практике не дисконтируются). В принципе, не запрещается учитывать в договорах и изменение цены возмещения. Например, в страховании жизни возмещение всегда дисконтируется. Рассмотрим это на примере. Решение. Для этого используем последний столбец составленной выше таблицы. Соответственно изменится балансовое уравнение:

((п-(S-3п)) + ((п+пv)-(S-2п)v) + (п(1+v+v2)-(S-п)v2) + + (п(1+v+v2+v3)-Sv3)) 0.01 + (п(1+...+v3)-0) 0.96 = 0;

0.01((4п-S)+(п+3пv-Sv)+(п+пv+2пv2-Sv2)+(п+пv+пv2+пv3-Sv3)) +п(1+...+v3) 0.96 = 0;

0.01(7п+5пv+3пv2+пv3 -S(1+...+v3)) + 0.96п(1+...+v3) = 0;

п((0.96+0.07) +v(0.05+0.96) + v2(0.03+0.96) + v3(0.01+0.96)) 0.01S(1+...+v3) = 0;

п(1.03 +1.01/1.05 + 0.99/1.052 + 0.97/1.053) = = 0.01S(1 + 1/1.05 + 1/1.052 + 1/1.053);

п(1.03 + 0.96 + 0.90 + 0.84) = 0.01S (1 + 0.95 + 0.91 +0.86);

п = 0.01S (3.72/3.73) 0.01S = 0.0125000 = 250.

Неточность объясняется накоплением вычислительных погрешностей. Результат вполне предсказуем, если цена денег не меняется, а страховщик обязятельно получает все взносы. Пример 24. Естественно, результат зависит от закона распределения вероятности возникновения страхового случая во времени. Если в этом примере время до наступления случая распределено по экспоненциальному закону, то вероятность наступления случая в каждом квартале не одинакова (они только в сумме дают 0.04). И это отразится на размере премии. Решение. Pr(не будет случая за время t) = e- t t = 1 (год), тогда e- =0.96, поэтому = -ln 0.96 = 0.04082, /4 = 0.010205. Это позволяет найти вероятности отсутствия случаев по кварталам: 0.9898 < 0.99, 0.9798 < 0.98, 0.9698 < 0.97, 0.9599 0.96. Полученные вероятности играют роль весовых коэффициентов для квартальных взносов. Так как они уменьшились, то для сохранения эквивалентности обязательств размер квартальных премий (по сравнению с разобранным ранее примером) должен возрасти. Отметим, что проанализирован договор с фиксированной выплатой. Но, если ущерб распределен по известному закону, то в расчетах вместо страховой суммы S (константы) используется условное математическое ожидание ущерба страховщика (т.е. его выплаты) при наступлении страхового случая: M(Y|A). Этот же пример показывает, почему используется именно современная цена, а не цена в какой-то другой момент времени, например, через год или месяц. Потребовалось бы дополнительно оценить вероятность того, данная процедура корректна, то есть к рассматриваемому моменту времени поток взносов не прервется (компания получит все взносы). Это не слишком усложнит расчеты при анализе индивидуального риска, но создаст серьезные трудности при исследовании коллективного риска (в задачах оценки вероятности разорения компании и расчета страховых резервов). 2.9. Использование коэффициента рассрочки в страховой практике Предположим, что в договоре на 1 год единовременная рисковая премия равна 100. Пусть относительная рисковая надбавка равна 35%. Тогда нетто-премия составит 135. Если нагрузка на ведение дела составляет 10% от тарифа, то брутто-премия равна 150. (В этом примере не будем интересоваться вопросом: какой процентной ставке и каким условиям ее начисления соответствует ситуация.) Если клиент предпочитает платить страховые взносы в рассрочку (например, в начале каждого квартала), то за счет изменения цены денег и с учетом риска недополучения всех взносов квартальный взнос в этом договоре составит 40. Это означает, что номинально клиент заплатит за страховую защиту 4*40 = 160, а не 150, причем современная цена этого номинального суммарного взноса составит 152 вместо 150 (из-за риска недополучения всех взносов). Если страхователь собирается платить взносы ежемесячно, то взнос за один месяц равен 14, т.е. за год он заплатит 168 (а не 150 или даже 160). Причем современная цена этой номинально внесенной суммы равна 153 (а не 150 или 152). Поскольку риск недополучения всех взносов увеличился. Т.е. здесь изложен естественный порядок выполнения актуарных расчетов. Разумеется, можно построить расчеты и в обратном порядке: сначала рассчитать взнос за 1 месяц, затем - за 1 квартал, и, наконец, за 1 год. Однако при проведении расчетов этот порядок практикуется редко. Но в процессе продажи страхового продукта (когда агент лагитирует потенциального клиента заключить договор) переговоры никогда не начинаются с годового взноса. Психологически (и тактически) это очень неудобная (для агента) позиция. Если клиент услышит, что при уплате взносов в рассрочку его номинальные взносы возрастут, он может решить, что страховщик собирается наказать клиента за то, что тот не хочет отдать страховщику всех денег сразу. И очень трудно будет объяснить ему изменение цены денег, не говоря уже о риске недополучения всех взносов. Значительно удобнее (тактически) начать разговор с ежемесячного взноса. Тогда дело можно представить в виде скидки, которую компания предоставляет солидному клиенту. Страховщик стимулирует благоприятные (для себя) действия клиента. Если агент показывает будущему клиенту номинальные взносы за год при различной периодичности взносов, клиент, как правило, попадается на крючок. Интересный эффект возникает при разговоре с грамотным клиентом. Он имеет представление об изменении цены денег и о банковской процентной ставке. Поэтому может сравнить два варианта: если заплатить сразу годовой взнос, и если положить деньги в банк под процент и из этого вклада оплачивать страховые взносы. Здесь он с приятным для себя лоткрытием убеждается, что скидка, представляемая ему страховщиком, несколько больше банковского процента. Т.е. исключается (по мнению клиента) ситуация, когда страховщик берет деньги клиента и прокручивает их (например, через банк). Естественно, повышается доверие к этому агенту и страховой компании, которую тот представляет. Разумеется, фактор риска недополучения всех премий - слишком тонкий момент для рядового обывателя. Этот нюанс остается за занавесом. Более того, даже большинство рядовых страховых агентов об этом и не подозревает. Замечание. Если рассмотреть процесс расчета взносов в обратной последовательности (месяц - квартал - год), то может возникнуть впечатление, что страховщик предоставляет скидку солидному клиенту, который платит взносы сразу за весь срок действия договора. В действительности ситуация несколько иная. Формально выполненные расчеты приведут к тем же результатам. Ежемесячный взнос составит 14, причем современная цена трех таких взносов (т.е. за квартал) равна 41 (вместо квартального взноса 40). Причина этого эффекта становится ясной, если рассмотреть пример, когда страхователь заплатил квартальный взнос, а затем произошел страховой случай, причем до начала третьего месяца (например, в течение второго месяца от начала действия договора). Страховщик выплатил возмещение (т.е. выполнил свои обязательства) и действие договора прекращено. Ясно, что в данной ситуации страхователю достаточно было бы уплатить только два ежемесячных взноса. Взнос за третий месяц для него пропал. Страховщик его не возвращает и не засчитывает в счет взносов за новый договор. Клиент переплатил. Видно, что в договоре такого типа возникает риск страхователя заплатить больше, чем нужно для страховой защиты. С целью компенсации этого риска необходимо учесть вероятность возникновения подобной ситуации. Это и приводит к тому, что квартальный взнос, уплачиваемый единовременно, несколько меньше современной цены трех ежемесячных взносов по этому договору. Следовательно, дело не в скидке, а в более точном расчете эквивалентности обязательств сторон. Замечание. Иногда (даже на цивилизованном страховом рынке) агент показывает клиенту не правильный тариф, а несколько завышенный (например, на 3%). Цель - создать видимость торговли. Агент внезапно проникается расположением (симпатией) к будущему страхователю и только поэтому снижет (специально для него) утвержденный тариф. Можно даже 1% снять своей властью, а еще 2% от имени своего начальника, которого надо будет еще убедить в целесообразности этого послабления. Вариантов поведения агента может быть очень много, обсуждение их не входит в предмет нашего курса. Важно отметить, однако, что как бы ни складывался разговор, результат его предрешен заранее, причем на основе строгих количественных расчетов. Агенту оставлен очень узкий коридор, за пределы которого он выходить не в праве. Надо пройти между Сциллой надежности и Харибдой конкурентоспособности. Правила игры на рынке - очень жесткие! Замечание. На современном отечественном страховом рынке редко практикуется уплата страховых взносов чаще, чем раз в полгода, при условии, что большинство договоров заключается на 1 год. Страховщики настаивают на этом, исходя из необходимости контроля над процессом поступления взносов. Каждый взнос (ежемесячный, ежеквартальный, полугодовой или годовой), независимо от размера, требует одинаковых усилий, а следовательно, и затрат. Поэтому лучащение уплаты взносов приводит к росту расходов на ведение дела. Т.е. увеличивается доля нагрузки в тарифе, что приводит к удорожанию страховых услуг (и без того достаточно дорогих!). Таким образом, в определенном смысле страховщик прав, когда говорит о предоставлении скидки клиенту при уплате единовременного взноса. (Точнее, страховщик не берет с клиента денег за дополнительную работу, которую он не выполняет!). Ясно, что речь в этом случае может идти именно (и только!) о скидке с нагрузки, а не с нетто-премии. Выше отмечено, что анализ процесса формирования нагрузки не входит в задачу данной книги. Но надо отметить, что данный эффект проявляется и на цивилизованном страховом рынке. Рядовой страхователь, конечно, этот нюанс не улавливает, и замечает лишь сам факт снижения общей платы за страховку в течение срока действия договора. 2.10. Замечание о равенстве рисков страховщика и страхователя В примере с рассрочкой взносов проиллюстрировано изменение цены денег и показано различие рисковых премий, если выплаты дисконтируются и если не дисконтируются. Видно, что эквивалентность обязательств сторон может трактоваться неоднозначно. Проанализируем ситуацию с несколько иных позиций. Пример 25. Рассмотрим договор о страховании на 1 год от угона автомобиля ценой 25000 у.е. Предполагается, что вероятность угона автомобиля такого класса в течение года равна 0.02, и при угоне страховая сумма, равная цене автомобиля, возмещается полностью. Страховая премия вносится единовременно. Найти рисковую премию. Решение. 1) В договоре игнорируется процентная ставка. Тогда рисковая премия равна: П = pS = 0.0225000 = 500. Вероятность играет роль рисковой ставки. В среднем собранные премии равны выплаченным возмещениям, т.е. за счет рисковой премии страховщик никакой прибыли не получит. 2) В действительности ситуация иная. Пусть банковская процентная ставка составляет 12% в год и проценты начисляются в конце каждого месяца. При этом проценты - простые, т.е. 1% в месяц. Возмещение не индексируется. Вероятность угона распределена равномерно. Тогда внесенные в начале года 500 у.е. превратятся через 1 месяц в 505 у.е., еще через месяц - в 510 у.е. и т.д. В конце года - 555 у.е. Эти деньги находятся у страховщика. Следовательно, если случай произойдет в течение первого месяца, то потери страховщика составят: 25000 - 500 = 24500 у.е. Соответственно, для второго месяца потери составят: 25000 - 505 = 24495 и т.д. до последнего (двенадцатого) месяца, где потери равны: 24445. Поскольку распределение равномерно, то средние (ожидаемые) потери страховщика составят при наступлении страхового случая составят: 0.5(24500 + 24445) = 24472.5 у.е. И произойдет это с вероятностью 0.02. То есть, умножив условное математическое ожидание на вероятность, получим МО потерь страховщика: 489.45 у.е., что не равно 500 - определенной ранее рисковой премии. Более того, с учетом банковского процента потери страхователя в среднем составят: 0.98(500 + 555)/2 = 516.95 у.е. Разница 27.5 составит для страховщика прибыль за счет неверно назначенной рисковой премии (более 5.6 % ). Причины этого эффекта две: не учитывается банковский процент для внесенных страхователем рисковых премий и не учитывается, что при выплате возмещения часть этого возмещения составляют средства самого страхователя, которому они выплачиваются. Очевидно, что если вместо простых процентов использовать сложные или непрерывные, то эффект усилится. Разумеется, играет роль и отсутствие индексации для возмещения. Понятно, что в условиях дикого рынка этот эффект не столь заметен, особенно, отечественному неискушенному страхователю. Однако, при переходе к цивилизованному рынку такие ошибки недопустимы. Завышенный тариф снизит конкурентоспособность, а недобросовестность и некомпетентность подорвут доверие к страховому бизнесу в целом. 3) Какой же должна быть рисковая премия, чтобы риски сторон были равны? Составим уравнение:

(p/12) (S - п(1 + i(j-1))) = п(1 - p) (1 + i(j-1))/12;

j=1 j= 0.02(1225000 - п (1 + 0.01(j-1)) = п0.98 (1 + 0.01(j-1));

j=1 j=1 j= (1 + 0.01(j-1)) = 1.00 + 1.01 + Е + 1.11 = 12.66;

(n + in(n+1)/2);

0.02(300000 - п12.66) = п0.9812.66;

6000 = п12.66 ;

п = 473.93.

Очевидно, страховщик на практике трактует принцип равенства риска несколько иначе: все собранные рисковые премии (в среднем) равны всем выплаченным возмещениям. Т.е здесь не предполагается рисковать деньгами страховщика. Он всегда перекладывает свои расходы на клиента. Если бы он рассчитывал рисковую премию так, как показано, то для обеспечения безубыточности страхования была бы соответственно повышена рисковая надбавка. Как было показано ранее, рисковая премия определяется из равенства современной цены всех собранных премий и всех ожидаемых выплат. Т.е. здесь не предполагается, что страховщик рискует СВОИМИ деньгами. Тогда П=Sp. Ранее показано, что можно рассматривать равенство рисков сторон иначе: страхователь рискует суммой П с вероятностью (1-p), а страховщик - суммой (S-П) с вероятностью p, то возникает уравнение: П(1-p)=(S-П)p. Отсюда: П=Sp, - тот же результат. Замечание. Недобросовестный страховщик может попытаться обмануть своего клиента с помощью следующих рассуждений. Страховщик рискует страховой суммой S c вероятностью p, а страхователь рискует своей единовременной рисковой премией П с вероятностью 1-p, поэтому: П(1-p)=Sp, т.е. П=Sp/(1-p) > Sp ! Здесь он не учел, что уже получил взнос П, поэтому он рискует только суммой S-П. Замечание. При обсуждении влияния рисковой надбавки на вероятность разорения употреблялся термин разорение наступает не чаще одного раза в 100 лет. И это понятие привязывалось к вероятности выхода за правую границу доверительного интервала. В действительности, выход за правую границу с вероятностью 0.01 свидетельствует лишь о том, что из 100 страховщиков с такими характеристиками портфеля В ТЕЧЕНИЕ ОДНОГО ГОДА, скорее всего, 1 - разорится, а 99 - выживут. Т.е. решается совсем другая задача. Если же исследовать вероятность разорения КОНКРЕТНОГО страховщика за n лет, то ситуация - иная. Пусть вероятность разорения страховщика в течение 1 года (т.е. выхода за правую границу) равна P (например, 0.01). Тогда вероятность его выживания в течение года есть Q = 1 - P (т.е. 0.99). А за n лет он должен выжить n раз. Вероятность этого Qn = Q(n). В частном случае P = 1/n имеем: (1 - 1/n)n = 1/e = 0.36. Совершенно неудовлетворительный результат. В более общем случае: (1ЦP)n= (1 - P)(-1/P)(-nP) = = e(-nP), т.е. итог определяется значением nP, что позволяет оценить ситуацию в первом приближении. Теперь можно решить и обратную задачу. Задать вероятность выживания за n лет и по ней определить вероятность выживания за 1 год, а затем по этой вероятности нарушения правой границы найти все требуемые характеристики. Например, становится понятным, почему в разделе Степень риска расчеты проводятся для вероятности разорения в течение года 0.0001, а не 0.01. Этот же пример показывает, почему на бесконечном временном интервале вероятность разорения равна 1. Следовательно, необходимо четко указывать, какая вероятность разорения исследуется: за 1 год или за n лет.

2.11.

Некоторые особенности расчета размера выплат при наступлении страхового случая Пример 26. Клиент застраховал автомобиль от аварии (и/или от угона) на 1 год и заплатил единовременную премию 600 у.е. Через 7 месяцев клиент продал автомобиль. Действие договора прекращается. Какую сумму (часть единовременного взноса) страховщик вернет клиенту, если нагрузка составляет 20% от тарифа? Решение. Расходы на ведение дела (нагрузка) составили 0.2600 = 120 у.е. Нетто-премия 480. Из этой суммы страховщик заработал 4807/12 = 280. Следовательно, он должен вернуть не заработанные: 480-280=200. Отметим, что 200/600 = 1/3, и, что 1/3 не равна 5/12. Нагрузка не возвращается. Возникает вопрос об определении выкупной суммы в случае периодических взносов (в рассрочку). Если в данном примере взносы ежемесячные и после первого месяца клиент продал автомобиль и прекратил выплату страховых взносов, то страховщик понес материальные потери. Нагрузка содержит составляющие, зависящие от размера неттопремии (прибыль, налоги и т.д.) и не зависящие от этого (аренда помещения, з/п персонала, затраты на оформление договора и т.д.). Если плату за аренду и з/п можно привязать к фактической длительности действия договора, то единовременные затраты на оформление договора не зависят от фактической длительности его действия. На счастье страховщика, эти затраты малы, по сравнению с остальными, и легко компенсируются всей совокупностью договоров в портфеле. Однако, иногда практикуется увеличение первого взноса и уменьшение последнего. Пример 27. Цена имущества: 20000 у.е., страховая сумма: 15000, реальный ущерб 10000. Определить страховое возмещение в договорах: пропорционального возмещения и первого риска. Решение. Для пропорционального: 1000015000/20000 = 7500 у.е. Для правила первого риска, т.к. ущерб меньше страховой суммы, то возмещается полностью, т.е. 10000 у.е. Обсуждение рисковой премии в различных договорах Пример 28. Каковы рисковые премии в примере 27, если вероятность страхового случая 0.01, а ущерб распределен равномерно? Решение. 1) M(X/A) = xdx = 1/20000 c 2 0 M(X) = P(A)M(X/A) = 0.0110000 = 100 C x 2 2000 = 10000 Это и есть рисковая премия при полном возмещении ущерба. А при пропорциональной ответственности (C=20000, S=15000) премия корректируется: П = M(Y) = M(X)S/C = 10015000/20000 = 75. 2) Ущерб, нанесенный страхователю, имеет те же характеристики, но по договору (предусматривающему ответственность по правилу первого риска) страховщик либо оплачивает полный ущерб в пределах страховой суммы, либо платит страховую сумму, если ущерб превышает ее. Поэтому:

C 1 1 M(Y) = P(A)( xdx + Sdx) = c 0 Sc S = 0.01(1/ C x2 S + 15000/20000*x ) = 0.01(5625 + 3750) = 93.75;

20 S П = M(Y) = 93.75 Видно, что во втором договоре возрастание ответственности сопровождается увеличением взноса, который (тем не менее) не достигает платы за полную страховую защиту (100). Далее соответствие взноса объему ответственности в разных договорах будет рассмотрен более подробно. 2.12. Понятие о начальном капитале (резерве) и перестраховании При рассмотрении рисковой надбавки мы столкнулись с невозможностью обеспечить требуемую надежность только за счет взносов страхователей. Поэтому, для повышения вероятности выживания необходимо создать резерв или заключить договор о перестраховании. Рассмотрим первую возможность. При большом однородном портфеле допустима нормальная аппроксимация. Пример 29. N = 3000, p = 0,003, S = 250000, R = 5%. Найти U. Решение. Как обычно, найдем среднюю и дисперсию: M = Np = 9, D = Npq 9. Тогда СКО 3. Если суммарный иск X, то: R = (1 - Ф((U - M)/ D )/2;

Ф((U-9)/3) = Ф(t)=0.9. t=(U-M)/СКО, т.е. t=(U-9)/3 = 1,645, т.е. U = 9 + 31,645 = 13,9 е.с.с. (или около 3,5 млн.). В этом случае X превысит U не чаще, чем, в среднем, 1 раз в 20 лет. Здесь предполагается, что надбавки нет, взносы платятся в рассрочку, поэтому собранные средства очень малы, и весь ущерб компенсируется из резерва. Если бы рисковые премии вносились единовременно, то суммарный взнос составил бы М=9, поэтому достаточно было бы резерва: t D = 1,6453=4.935 е.с.с. Итак, необходимо конкретизировать условия решаемой задачи! Если решать эту проблему с помощью только рисковой надбавки, то нетто-премия составит 13,9/9 = 1,54 рисковой премии, т.е. относительная надбавка составит 54%. Изучение проблем перестрахования начнем с простейших примеров расчета размера возмещения, опираясь на сведения, известные из теоретического курса по страхованию. Основной страховщик - цедент - становится перестрахователем, обращаясь за перестраховочной защитой к коллеге - перестраховщику. Пример 30. В договоре квотного перестрахования доля перестраховщика составляет 20% по каждому риску этого вида, но не более 25 тыс. по каждому случаю. Страховщик (цедент, перестрахователь) принял от страхователя 3 риска: 100, 125 и 150 тыс. По всем трем договорам произошли страховые случаи, повлекшие полное уничтожение объекта. Сколько заплатит перестраховщик цеденту? Решение. Размер переданного риска составит соответственно: 20, 25, 25 тыс. (В третьем случае 20% составят 30 тыс., но есть ограничение: до 25!). Поэтому доля перестраховщика в возмещении: 70 тыс. у.е. Пример 31. Договор о перестраховании 3-х наибольших убытков за год, но не более 100 млн. за все три вместе. Фактические убытки за год составили (в млн.): 10, 17, 21, 35, 18, 42, 22, 20, 15. Сколько заплатит перестраховщик? Решение. 42+35+22=99<100, поэтому 99. Если бы произошел еще один случай с убытком 25 млн., то 42+35+25=102>100, поэтому только 100. 2.13. Оценка объема риска, передаваемого на перестрахование Предположим, что в большом однородном портфеле, где допустима нормальная аппроксимация суммарного ущерба, страховщик удерживает выплату возмещения ущерба до a включительно, а риск возмещения ущерба от a до b передает на перестрахование. (Далее расположена зона необеспеченного риска, попадание в которую может привести к техническому разорению страховщика.) Надо оценить объем ответственности перестраховщика, на основе чего определится математическое ожидание его риска. Таким образом, из принципа эквивалентности обязательств сторон, будет найдена рисковая премия в перестраховочном договоре. При необходимости можно оценить и отклонение риска перестраховщика от среднего значения, что позволит указать его рисковую надбавку, а, следовательно, уточнить нетто премию. Сначала считаем, что относительная рисковая надбавка в перестраховочном договоре - фиксирована. В первом приближении оцениваем математическое ожидание риска перестраховщика по формуле: (x-a)f(x)dx Ситуация проиллюстрирована на следующем графике. Разумеется, на практике интеграл считается численно. Нас в этом учебном примере интересует принцип решения задачи. Криволинейная трапеция, образованная плотностью f(x), заменяется прямоугольной трапецией (на основе хорды g(x), проходящей выше дуги, с учетом поведения плотности на правом участке). Поэтому площадь (значение искомого интеграла) несколько возрастает. Разумеется, при численном интегрировании для повышения точности одна большая прямоугольная трапеция заменяется несколькими маленькими, т.е. эффект сохраняется, но проявляется слабее.

y(a) g(x) y(b) a Рис 2.2.

b Итак, y(a) = f( a ), y(b) = f( b g(x) = y(a) + [y(b) - y(a)] y(b) y(a) x a y(a) b y(b) a = + x b a b a ba b ) ;

хорда g(x) имеет вид:

b y(a) b y(b) a y(b) y(a) (x-a)g(x)dx = xdx + xxdx ba ba a a a b y(a) b y(b) a b y(b) y(a) -a dx Цa xdx = b a b a a a y(b) y(a) 2 y(a) b y(b) a (b + ab+ a2 ) (a + b) + = 3 b -a [ y(a) b y(b) a] -a y (b) y (a) (b + a ) = (b a)2 (b a)2 = [ f ((a ) /) + f ((b ) /)] = [ y(a) + y(b)] 3 Подставим значения a и b, а также значения параметров нормального закона, например, npS и npqS2 в формулу плотности f(x) и получим f( a ), f( b ). Отметим, что, если значение S, одинаковое для всех договоров, принять за лединицу страховой суммы, то можно не учитывать множитель S. Т.е. все расчеты будут вестись в ле.с.с.. Определив математическое ожидание риска перестраховщика, примем его в качестве рисковой премии в перестраховочном договоре. Если известны: относительная рисковая надбавка перестраховщика для подобного риска, его нагрузка и комиссионные, уступаемые цеденту, то можно последовательно найти нетто-премию и брутто-премию. Пример 33. По данным примера 29 требуется повысить надежность (вероятность выживания) до 0.99 с помощью перестрахования. Оценить рисковую премию в перестраховочном договоре. Решение. Определим границы ответственности перестраховщика. Резерв обеспечивает вероятность выживания 0.95, т.е., если объем ущерба не превысит: M+U=13.9. Если =0.01 то t=2,33, поэтому: M+tS=9+2,33*3=16,0. Следовательно, границы ответственности перестраховщика: от 13,9 до 16,0. Тогда y(a)=f(1.645)=0,1031, y(b)=f(2,33)=0,0264. Подставим в формулу и получим: M(Z)=0,33(0,1031+0,0264)(16,0-13,9) 2 =0,19 е.с.с. Итак, получено значение МО риска перестраховщика, т.е. рисковая премия в перестраховочном договоре. Зная относительную рисковую надбавку перестраховщика h и его нагрузку f1 (с учетом комиссионных), можно последовательно определить его нетто-премию: НП = РП(1 + h), а затем и брутто-премию: БП = НП/(1 - f1). Более подробно перестрахование рассмотрено в соответствующем разделе. Здесь достаточно отметить, в первом приближении, что принцип расчета цены перестраховочной защиты аналогичен правилу расчета цены страховой защиты в основном договоре. Т.е., определяется рисковая премия и рисковая надбавка, а затем - брутто-премия. Специфика: в более высокой надежности, т.е. в повышенной относительной надбавке и наличии комиссионных, уступаемых перестраховщиком цеденту (снижении нагрузки). В целом, перестрахование одной единицы риска стоит дороже, чем страхование этой единицы в основном договоре. Поэтому цедент без веских причин не обращается к перестраховщику.

Pages: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | ... | 6 |

Книги, научные публикации

Blog

Московский международный институт эконометрики, информатики, финансов и права Корнилов И.А.