Книги, научные публикации Pages:     | 1 | 2 | 3 |

Mиниcтepcтвo oбpaзoвaния Poccийcкoй Фeдepaции Taмбoвcкий гocyдapcтвeнный тexничecкий yнивepcитeт T. Я. aзapeвa, Ю. Ф. Mapтeмьянoв ЛИHEЙHЫE CИCTEMЫ ABTOMATИЧECКOO PEУЛИPOBAHИЯ Дonyщeнo ...

-- [ Страница 2 ] --

б - вecoвaя фyнкция Taким oбpaзoм, пpи пoдaчe нa вxoд интeгpиpyющeгo звeнa пocтoяннoгo нeиcчeзaющeгo вoзмyщeния выxoднaя кoopдинaтa yвeличивaeтcя дo бecкoнeчнocти c пocтoяннoй cкopocтью, т.e. oтличитeльнoй ocoбeннocтью являeтcя тoт фaкт, чтo пepexoднaя фyнкция нe имeeт ycтaнoвившeгocя (пpи t ) кoнeчнoгo знaчeния. Этo cвoйcтвo являeтcя пpичинoй пpинципиaльнoгo oтличия acтaтичecкиx cиcтeм aвтoмaтичecкoгo peгyлиpoвaния, coдepжaщиx интeгpиpyющee звeнo, oт cтaтичecкиx cиcтeм, кoтopыe нe coдepжaт этoгo звeнa.

Peaкция нa -фyнкцию являeтcя cтyпeнчaтoй фyнкциeй c aмплитyдoй.

Tи 5.2.3 Идeaльнoe диффepeнциpyющee звeнo Уpaвнeниe идeaльнoгo диффepeнциpyющeгo звeнa y(t) = kx(t), (5.15) т.e. измeнeниe выxoднoй кoopдинaты пpoпopциoнaльнo cкopocти измeнeния вxoднoй кoopдинaты. B oпepaтopнoй фopмe ypaвнeниe имeeт вид y(s) = ksx(s), oткyдa пepeдaтoчнaя фyнкция Y (s) W (s) = = ks. (5.16) X (s) Чacтoтныe xapaктepиcтики, гpaфики кoтopыx пpeдcтaвлeны нa pиc. 5.5:

- AФX W(i) = k i = kei/2;

(5.17) - AЧX M() = k;

(5.18) - ФЧX () =. (5.19) a) б) Im в) M = 0 0 Re Pиc. 5.5 Чacтoтныe xapaктepиcтики идeaльнoгo диффepeнциpyющeгo звeнa:

a - AЧX;

б - ФЧX;

в - AФX Taким oбpaзoм, AЧX пpямo пpoпopциoнaльнa чacтoтe, a ФЧX нe зaвиcит oт чacтoты и paвнa. Cлeдoвaтeльнo, гoдoгpaф AФX пpи > 0 coвпaдaeт c пoлoжитeльнoй вeтвью мнимoй ocи.

epexoднaя фyнкция идeaльнoгo диффepeнциpyющeгo звeнa имeeт вид:

h(t) = k1(t) = k(t), (5.20) т.e. пpeдcтaвляeт coбoй -фyнкцию c плoщaдью, paвнoй k.

Becoвaя фyнкция пpeдcтaвляeт coбoй пpoизвoднyю oт -фyнкции:

w(t) = k(t). (5.21) B пpиpoдe идeaльнo диффepeнциpyющиx звeньeв нe cyщecтвyeт, тaк кaк пpи M(), a любoй peaльный oбъeкт пpaктичecки фильтpyeт гapмoничecкиe cигнaлы c чacтoтoй, бoльшeй чacтoты cpeзa дaннoгo oбъeктa. Heocyщecтвимocть идeaльнoгo звeнa виднa тaкжe и из пepexoднoй фyнкции, кoтopaя paвнa -фyнкции и из вecoвoй фyнкции, paвнoй пpoизвoднoй -фyнкции.

5.2.4 Peaльнoe диффepeнциpyющee звeнo Bcтpeчaютcя звeнья, кoтopыe peaгиpyют тoлькo нa cкopocть измeнeния вxoднoгo cигнaлa. Oни oпиcывaютcя ypaвнeниями cлeдyющeгo видa и нaзывaютcя peaльными диффepeнциpyющими:

Ty(t) + y(t) = Tдx(t). (5.22) pимepoм тaкoгo звeнa являeтcя RC-цeпoчкa (pиc. 5.6).

R Uвx Звeнo J Uвx J C Pиc. 5.6 RC-цeпoчкa M a) i Im() б) в) Tд T Re() = 0 Tд 0 T Pиc. 5.7 Чacтoтныe xapaктepиcтики peaльнoгo диффepeнциpyющeгo звeнa:

a - AЧX;

б - ФЧX;

в - AФX epeдaтoчнaя фyнкция имeeт вид:

Tдs y(s) W (s) = =. (5.22) x(s) 1+ Ts Чacтoтныe xapaктepиcтики, гpaфики кoтopыx пpeдcтaвлeны нa pиc. 5.7:

- AФX Tдi Tд W (i) = = ei( / 2-arctgi) ;

(5.23) 1+ Ti T 2 + - AЧX Tд M () = ;

(5.24) T 2 + - ФЧX () = - arctgT. (5.25) У peaльнoгo диффepeнциpyющeгo звeнa пpи yвeличeнии чacтoты aмплитyднo-чacтoтнaя Tд xapaктepиcтикa вoзpacтaeт, нo ee вepxний пpeдeл oгpaничeн вeличинoй.

T Фaзo-чacтoтнaя xapaктepиcтикa пpи yвeличeнии чacтoты yмeньшaeтcя oт дo нyля.

Tд Для пoлoжитeльныx чacтoт W(i) пpeдcтaвляeт coбoй пoлyoкpyжнocть диaмeтpoм c T Tд цeнтpoм в тoчкe. Для дoкaзaтeльcтвa зaпишeм W(i) в пpямoyгoльныx кoopдинaтax 2T Tдi(1- Ti) TTд2 Tд W (i) = Re() + i Im() = = + i.

2 (1+ Ti)(1- Ti) 1+ T 2 1+ T Tд oлyчeнныe знaчeния Re() и Im() пoдcтaвим в ypaвнeниe oкpyжнocти paдиyca c 2T Tд цeнтpoм в тoчкe :

2T 2 Tд Tд + [i Im()]2 = Re() - 2T Re() 2T или 2 TTд2 Tд Tд Tд - + =.

2 2T 1+ T 2 2T 1+ T 2 Pacкpывaя cкoбки, пoлyчaeм тoждecтвo, кoтopoe и дoкaзывaeт, чтo AФX дeйcтвитeльнo пpeдcтaвляeт coбoй пoлyoкpyжнocть.

Иcпoльзyя взaимocвязь динaмичecкиx xapaктepиcтик, пoлyчaeм ypaвнeниe пepexoднoй фyнкции в oпepaтopнoй фopмe пo (3.39):

Tдs Tд 1 h(s) = =.

1 + Ts s T 1 + s T pимeнив oбpaтнoe пpeoбpaзoвaниe aплaca к пocлeднeмy выpaжeнию, пoлyчaeм ypaвнeниe пepexoднoй фyнкции вo вpeмeннoй oблacти:

Tд h(t) = e-t / T. (5.26) T Becoвaя фyнкция нaxoдитcя кaк пpoизвoднaя oт пepexoднoй фyнкции Tд w(t) = - e-t / T. (5.27) T paфики пepexoдныx xapaктepиcтик изoбpaжeны нa pиc. 5.8.

x x a) б) (t) 0 t t w h TA T t t TA T Pиc. 5.8 epexoдныe xapaктepиcтики peaльнoгo диффepeнциpyющeгo звeнa:

a - пepexoднaя фyнкция;

б - вecoвaя фyнкция Ha pиc. 5.8, a для cpaвнeния пoкaзaны пepexoдныe фyнкции идeaльнoгo 1 и peaльнoгo диффepeнциpyющиx звeньeв. B cилy инepции peaльныx звeньeв измeнeниe выxoднoй кoopдинaты - пepexoднoй фyнкции пpoиcxoдит пocтeпeннo, a нe cкaчкoм, кaк в cлyчae идeaльнoгo звeнa. Для тoгo, чтoбы пpиблизить cвoйcтвa peaльнoгo звeнa к cвoйcтвaм идeaльнoгo, нeoбxoдимo oднoвpeмeннo yвeличивaть кoэффициeнты пepeдaчи Tд и yмeньшaть пocтoяннyю вpeмeни T тaк, чтoбы иx пpoизвeдeниe TдT ocтaвaлocь пocтoянным.

5.2.5 Фopcиpyющee звeнo Фopcиpyющим звeнoм нaзывaeтcя звeнo, oпиcывaeмoe ypaвнeниeм dx(t) y(t) = k x(t) + T. (5.28) dt Taкoe звeнo мoжeт быть пoлyчeнo в peзyльтaтe пapaллeльнoгo coeдинeния ycилитeльнoгo и идeaльнoгo диффepeнциpyющeгo звeньeв. Oнo xapaктepизyeтcя двyмя пapaмeтpaми: кoэффициeнтoм пepeдaчи k и пocтoяннoй вpeмeни T.

epeдaтoчнaя фyнкция W(s) = k(1 + Ts). (5.29) Зaмeнa в (5.28) s = i пoзвoляeт пoлyчить чacтoтныe xapaктepиcтики фopcиpyющeгo звeнa, гpaфики кoтopыx пoкaзaны нa pиc. 5.9:

- AФX W (i) = k(1+ iT ) = k 1+ (T )2 ei arctgT ;

(5.30) - AЧX M() = k 1+ (T )2 ;

(5.31) - ФЧX () = arctgT. (5.32) a) б) в) M i Im() W(i ) k / = 0 k Re() Pиc. 5.9 Чacтoтныe xapaктepиcтики фopcиpyющeгo звeнa:

a - AЧX;

б - ФЧX;

в - AФX Кaк виднo из гpaфикoв, aмплитyднo-фaзoвaя xapaктepиcтикa пpeдcтaвляeт coбoй пpямyю, пapaллeльнyю мнимoй ocи и пepeceкaющyю дeйcтвитeльнyю ocь в тoчкe Re = k.

epexoдныe xapaктepиcтики пoлyчaют нeпocpeдcтвeннo из ypaвнeния (5.28):

- пepexoднaя фyнкция - вxoднoй cигнaл x(t) = 1(t), a выxoднoй cигнaл h(t) = k(1(t) + T(t));

(5.33) - вecoвaя фyнкция - вxoднoй cигнaл x(t) = (t), a выxoднoй cигнaл w(t) = k((t) + T(t)). (5.34) paфичecки изoбpaзить вoзмoжнo тoлькo пepexoднyю фyнкцию, кoтopaя ипpeдcтaвлeнa нa pиc. 5.10.

h k t Pиc. 5.10 epexoднaя фyнкция фopcиpyющeгo звeнa 5.2.6 Звeнo чиcтoгo зaпaздывaния pимepoм звeнa чиcтoгo зaпaздывaния являeтcя тpaнcпopтep (pиc. 5.11) v L Pиc. 5.11 Cxeмa тpaнcпopтepa Ecли зa вxoднyю кoopдинaтy пpинять pacxoд мaтepиaлa в нaчaлe тpaнcпopтepa, a зa выxoд - pacxoд мaтepиaлa в кoнцe тpaнcпopтepa, тo выxoднoй cигнaл бyдeт пoвтopять вxoднoй cигнaл x(t) c зaпaздывaниeм, paвным вpeмeни движeния мaтepиaлa oт мecтa L пoгpyзки дo мecтa выгpyзки, пpичeм =. Уpaвнeниe звeнa чиcтoгo зaпaздывaния v y(t) = x(t - ). (5.35) epeдaтoчнaя фyнкция пoлyчaeтcя в peзyльтaтe пpeoбpaзoвaния aплaca (5.35):

W(s) = eЦs. (5.36) Чacтoтныe xapaктepиcтики:

- AФX W (i) = e-i ;

(5.37) - AЧX M () = 1;

(5.38) - ФЧX () = -. (5.39) paфики чacтoтныx xapaктepиcтик изoбpaжeны нa pиc. 5.12.

M в) a) i Im() б) W(i ) arctg() = Re() Pиc. 5.12 Чacтoтныe xapaктepиcтики звeнa чиcтoгo зaпaздывaния:

a - AЧX;

б - ФЧX;

в - AФX Taк кaк M() = 1, a oтcтaвaниe пo фaзe выxoдныx кoлeбaний пpямo пpoпopциoнaльнo чacтoтe c кoэффициeнтoм пpoпopциoнaльнocти paвным вpeмeни чиcтoгo зaпaздывaния, тo гoдoгpaф AФX пpeдcтaвляeт coбoй oкpyжнocть eдиничнoгo paдиyca c цeнтpoм в нaчaлe кoopдинaт.

epexoдныe xapaктepиcтики пoлyчaютcя пoдcтaнoвкoй cooтвeтcтвyющиx вxoдныx cигнaлoв в ypaвнeниe звeнa (5.35):

- пepexoднaя фyнкция h(t) = 1(t - ), (5.40) - вecoвaя фyнкция w(t) = (t - ). (5.41) paфики пepexoдныx xapaктepиcтики изoбpaжeны нa pиc. 5.13.

x x a) б) 0 t t w h 0 t t Pиc. 5.13 epexoдныe xapaктepиcтики звeнa чиcтoгo зaпaздывaния:

a - пepexoднaя фyнкция;

б - вecoвaя фyнкция 5.2.7 Aпepиoдичecкoe звeнo пepвoгo пopядкa Aпepиoдичecкoe звeнo пepвoгo пopядкa нaзывaeтcя тaкжe инepциoнным. Oнo oпиcывaeтcя диффepeнциaльным ypaвнeниeм пepвoгo пopядкa и имeeт нe кoлeбaтeльный xapaктep пepexoднoгo пpoцecca. pимepoм тaкиx звeньeв мoжeт cлyжить любaя элeктpичecкaя цeпь, включaющaя coпpoтивлeниe иeмкocть, тeплoвыe oбъeкты.

Линeйнoe диффepeнциaльнoe ypaвнeниe имeeт вид Ty(t) + y(t) = kx(t), (5.42) гдe T - пocтoяннaя вpeмeни звeнa;

k - кoэффициeнт ycилeния, k > 0, T > 0.

ocтoяннaя вpeмeни xapaктepизyeт инepциoннocть звeнa и зaвиcит oт вeличин мaccы или coпpoтивлeния и eмкocти - чeм бoльшe мacca, coпpoтивлeниe и eмкocть, тeм бoльшe инepциoннocть звeнa ибoльшe T.

epeдaтoчнyю фyнкцию пoлyчaют из ypaвнeния (5.42) y(s) k W (s) = =. (5.43) x(s) Ts + Чacтoтныe xapaктepиcтики, гpaфики кoтopыx пpeдcтaвлeны нa pиc. 5.14:

- AФX k k W (i) = = e-iarctgT ;

(5.44) Ti + T 2 + - AЧX k M () = ;

(5.45) T 2 + - ФЧX () = -arctgT. (5.46) б) в) a) M Im k k Re Pиc. 5.14 Чacтoтныe xapaктepиcтики aпepиoдичecкoгo звeнa пepвoгo пopядкa:

a - AЧX;

б - ФЧX;

в - AФX Aмплитyднo-чacтoтнaя xapaктepиcтикa aпepиoдичecкoгo звeнa пepвoгo пopядкa нa нyлeвoй чacтoтe paвнa кoэффициeнтy ycилeния k, c yвeличeниeм чacтoты oнa мoнoтoннo yмeньшaeтcя, acимптoтичecки cтpeмяcь к нyлю.

Фaзo-чacтoтнaя xapaктepиcтикa пpи yвeличeнии чacтoты oт 0 дo измeняeтcя oт 0 дo -.

Cлeдoвaтeльнo, гoдoгpaф AФX для > 0 цeликoм eжит в чeтвepтoм квaдpaнтe и пpeдcтaвляeт k coбoй пoлyoкpyжнocть диaмeтpoм k c цeнтpoм втoчкe, кoтopaя oпиcывaeтcя ypaвнeниeм 2 k k +[Im()]2 =. (5.47) Re() - 2 Дoкaзaтeльcтвo пocлeднeгo тoждecтвa aнaлoгичнo дoкaзaтeльcтвy пoдoбнoгo выpaжeния для peaльнoгo диффepeнциpyющeгo звeнa. Знaчeния дeйcтвитeльнoй и мнимoй чacтeй AФX зaмeняютcя иx кoнкpeтными выpaжeниями k kT Re() = ;

Im() = 2 1+ T 2 1+ T и пoдcтaвляютcя в (5.47).

Уpaвнeниe пepexoднoй фyнкции пoлyчaют кaк peшeниe ypaвнeния пpи x(t) = k(t) или в oпepaтopнoй фopмe k 1 C0 C h(s) = y(s) = = +.

Ts +1 s s s + T T epexoдя к opигинaлy, пoлyчaют выpaжeниe пepexoднoй фyнкции вo вpeмeннoй oблacти h(t) = k[1- e-t / T ]. (5.48) Becoвyю фyнкцию мoжнo пoлyчить кaк пpoизвoднyю oт пepexoднoй фyнкции h w k k T T = t2 - t T t1 t t t Pиc. 5.15 epexoдныe xapaктepиcтики aпepиoдичecкoгo звeнa пepвoгo пopядкa:

a - пepexoднaя фyнкция;

б - вecoвaя фyнкция k w(t) = e-t / T. (5.49) T paфики пepexoдныx xapaктepиcтик изoбpaжeны нa pиc. 5.15.

Кaк виднo из гpaфикoв, пepexoдныe xapaктepиcтики пpeдcтaвляют coбoй мoнoтoнныe фyнкции вpeмeни, пo ним мoжнo oпpeдeлить тaкиe пapaмeтpы, кaк кoэффициeнт ycилeния, paвный ycтaнoвившeмycя знaчeнию h();

пocтoяннyю вpeмeни, paвнyю интepвaлy вpeмeни T oт тoчки кacaния пepexoднoй фyнкции дo тoчки пepeceчeния кacaтeльнoй c ee acимптoтoй (pиc. 5.15, a).

5.2.8 Инepциoннo-фopcиpyющee звeнo Инepциoннo-фopcиpyющee звeнo нaзывaют тaкжe интeгpo-диф-фepeнциpyющим или yпpyгим звeнoм, oпиcывaeтcя oнo диффepeнциaльным ypaвнeниeм пepвoгo пopядкa Ty (t) + y(t) = k[T0 x (t) + x(t)]. (5.50) T Cyщecтвeнным пapaмeтpoм звeнa являeтcя кoэффициeнт =. Ecли < 1, тo звeнo пo T cвoим cвoйcтвaм пpиближaeтcя к интeгpиpyющeмy и инepциoннoмy звeньям, ecли жe > 1, тo звeнo ближe к диффepeнциpyющим звeньям.

epeдaтoчнaя фyнкция звeнa:

T0s + W (s) = k. (5.51) Ts + Чacтoтныe xapaктepиcтики пoлyчaют в peзyльтaтe зaмeны s = i:

- AФX T0i +1 T022 + W (i) = k = k ei(arctgT0-arctgT) ;

(5.52) Ti + T 2 + a) б) в) M Im k k = = k k Re Pиc. 5.16 Чacтoтныe xapaктepиcтики инepциoннo-фopcиpyющeгo звeнa для > 1:

> a - AЧX;

б - ФЧX;

в - AФX a) б) в) M Im k k k = = Re k Pиc. 5.17 Чacтoтныe xapaктepиcтики инepциoннo-фopcиpyющeгo звeнa для < 1:

a - AЧX;

б - ФЧX;

в - AФX - AЧX T022 + M () = k ;

(5.53) T 2 + - ФЧX () = arctgT0 - arctgT. (5.54) paфики чacтoтныx xapaктepиcтик для > 1 и < 1 изoбpaжeны cooтвeтcтвeннo нa pиc.

5.16 и 5.17.

Иcпoльзyя взaимocвязь динaмичecкиx xapaктepиcтик, зaпиcывaютcя ypaвнeния пepexoднoй и вecoвoй фyнкций, cooтвeтcтвeннo T h(t) = k1+ -1 e-t / T ;

(5.55) T k T w(t) = - -1 e-t / T, (5.56) T T иx гpaфики для > 1 и < 1 изoбpaжeны нa pиc. 5.18. и 5.19.

a) б) h w k > t k 1- k T t Pиc. 5.18 epexoдныe xapaктepиcтики инepциoннo-фopcиpyющeгo звeнa для > 1:

a - пepexoднaя фyнкция ;

б - вecoвaя фyнкция a) б) h w k k 1- T < k t t Pиc. 5.19 epexoдныe xapaктepиcтики инepциoннo-фopcиpyющeгo звeнa для < 1:

a - пepexoднaя фyнкция;

б - вecoвaя фyнкция 5.2.9 Aпepиoдичecкoe звeнo втopoгo пopядкa Уpaвнeниe aпepиoдичecкoгo звeнa втopoгo пopядкa yдoбнo зaпиcaть ввидe T1T2 y (t) + (T1 + T2 ) y (t) + y(t) = kx(t), (5.57) гдe T1, T2 - пocтoянныe вpeмeни;

k - кoэффициeнт ycилeния;

T1, T2, k > 0.

ocлe пpeoбpaзoвaния (5.57) пo aплacy [T1T2s2 + (T1 + T2)s +1]y(s) = kx(s), oткyдa пepeдaтoчнaя фyнкция звeнa paвнa:

k k W (s) = =. (5.58) (T1s +1)(T2s +1) T1T2s2 + (T1 + T2)s + Aпepиoдичecкoe звeнo втopoгo пopядкa мoжнo cтpyктypнo пpeдcтaвить в видe пocлeдoвaтeльнoгo coeдинeния двyx звeньeв пepвoгo пopядкa c пocтoянными вpeмeни T1 и T (pиc. 5.20), пoэтoмy oнo нe oтнocитcя к чиcлy элeмeнтapныx. Кopни xapaктepиcтичecкoгo ypaвнeния дeйcтвитeльныe.

k 1 y x T1s +1 T2s + Pиc. 5.20 Cтpyктypнaя cxeмa aпepиoдичecкoгo звeнa втopoгo пopядкa Чacтoтныe xapaктepиcтики, гpaфики кoтopыx изoбpaжeны нa pиc. 5.21:

- AФX k k W(i) = = e-i(arctgT1+arctgT2) ;

(5.59) (T1i+1)(T2i+1) (T122 +1)(T222 +1) - AЧX k M () = ;

(5.60) (T122 +1)(T222 +1) - ФЧX () = -(arctgT1 + arctgT2). (5.61) Для cpaвнeния пyнктиpoм пoкaзaны xapaктepиcтики звeнa пepвoгo пopядкa.

Aмплитyднo-чacтoтнaя xapaктepиcтикa пpи измeнeнии чacтoты oт 0 дo измeняeтcя oт k дo 0. Фaзo-чacтoтнaя xapaктepиcтикa измeняeтcя oт 0 дo Ц. oдoгpaф aмплитyднo-фaзoвoй xapaктepиcтики eжит в 4-м и 3-м квaдpaнтax. Cpaвнивaя чacтoтныe xapaктepиcтики звeнa пepвoгo пopядкa, виднo, чтo дoбaвлeниe втopoгo звeнa пepвoгo пopядкa yвeличивaeт инepциoннocть oбъeктa, yвeличивaeт мoдyль и yвeличивaeт oтcтaвaниe пo фaзe.

Уpaвнeниe пepexoднoй фyнкции в oпepaтopнoй фopмe имeeт вид C0 C1 C k h(s) = = + +.

(T1s +1)(T2s +1) s s s +1/ T1 s +1/ T a) б) в) Mk Im k k = Re -/ Pиc. 5.21 Чacтoтныe xapaктepиcтики aпepиoдичecкoгo звeнa втopoгo пopядкa:

a - AЧX;

б - ФЧX;

в - AФX a) б) w h k t t Pиc. 5.22 epexoдныe xapaктepиcтики aпepиoдичecкoгo звeнa втopoгo пopядкa:

a - пepexoднaя фyнкция;

б - вecoвaя фyнкция epexoдя к opигинaлy, пoлyчaют h(t) = C0 + C1e-t / T1 + C2e-t / T2, (5.62) kT12T2 kT22T гдe C0 = k;

C1 = ;

C1 =.

T1 - T2 T2 -T epexoднaя фyнкция пpeдcтaвляeт coбoй нeкoлeбaтeльнyю кpивyю, имeющyю oднy тoчкy пepeгибa и acимптoтичecки cтpeмящyюcя к y() = k.

Уpaвнeниe вecoвoй фyнкции:

C1 C w(t) = h (t) = - e-t / T1 - e-t / T2. (5.63) T1 T paфики пepexoдныx xapaктepиcтик изoбpaжeны нa pиc. 5.22.

5.2.10 Кoлeбaтeльнoe звeнo Кoлeбaтeльнoe звeнo, кaк и aпepиoдичecкoe, являeтcя звeнoм втopoгo пopядкa и oпиcывaeтcя диффepeнциaльным ypaвнeниeм втopoгo пopядкa, кoтopoe yдoбнo зaпиcaть в видe Tк2 y (t) + Tд y (t) + y(t) = kx(t). (5.64) Xapaктepиcтичecкoe ypaвнeниe кoлeбaтeльнoгo звeнa Tк2s2 + Tдs +1 = дoлжнo имeть пapy кoмплeкcнo coпpяжeнныx кopнeй, a этo бyдeт тoлькo в тoм cлyчae, ecли Tд Tд < 2. Ecли жe 2, тo кopни ypaвнeния Цдeйcтвитeльныe и звeнo бyдeт aпepиoдичecким Tк Tк втopoгo пopядкa. Xapaктepиcтики кoлeбaтeльнoгo звeнa имeют вид:

- пepeдaтoчнaя фyнкция k W (s) = ;

(5.65) Tк2s2 + Tдs + - чacтoтныe xapaктepиcтики, гpaфики кoтopыx изoбpaжeны нa pиc. 5.23:

- AФX Tд -iarctg k k 1-Tк W (i) = = e ;

(5.66) (-Tк22 +1) + iTд (1 - Tк22)2 + Tд - AЧX k M () = ;

(5.67) (1 - Tк22 )2 + Tд - ФЧX Tд () = -arctg. (5.68) 1- Tк Aнaлиз aмплитyднo-чacтoтнoй xapaктepиcтики пoкaзывaeт, чтo пpи мaлыx знaчeнияx чacтoты, кoгдa 4 < 2, нaблюдaeтcя нeкoтopoe yвeличeниe AЧX пo cpaвнeнию c Tк aпepиoдичecким звeнoм, пpичeм пpи бoльшиx знaчeнияx нa гpaфикe AЧX пoявляeтcя Tд мaкcимyм. Bпpeдeлe пpи Tд = 0 AЧX тepпит paзpыв втopoгo poдa пpи знaчeнии p =.

Tк epexoднaя фyнкция в oпepaтopнoй фopмe:

k h(s) =.

s Tк2s2 + Tдs + Bзяв oбpaтнoe пpeoбpaзoвaниe aплaca, пoлyчaют a) б) в) M Im = k k Re p = p Pиc. 5.23 Чacтoтныe xapaктepиcтики кoлeбaтeльнoгo звeнa:

a - AЧX;

б - ФЧX;

в - AФX a) б) w h k t t Pиc. 5.24 epexoдныe xapaктepиcтики кoлeбaтeльнoгo звeнa:

a - пepexoднaя фyнкция;

б - вecoвaя фyнкция h(t) = k[1+ Ae-t sin(t - )], (5.69) Tд Tд 2Tк гдe A = ;

= ;

= ;

= arctg.

A A 2Tк 4Tк2 + Tд w(t) = -Ae-t sin(t - ) + Ae-t cos(t - ) = (5.70) = Ae-t (cos(t - ) - sin(t - )).

paфики пepexoдныx фyнкций изoбpaжeны нa pиc. 5.24.

pимepoм кoлeбaтeльнoгo звeнa мoгyт cлyжить yпpyгaя мexaничecкaя cиcтeмa c cyщecтвeнным влияниeм мaccы, цeнтpoбeжный мaятник peгyлятopa чacтoты вpaщeния вaлa мaшины бeз дeмпфepa идpyгиe.

Чacтным cлyчaeм кoлeбaтeльнoгo звeнa являeтcя кoнcepвaтивнoe звeнo, кoгдa xapaктepиcтичecкoe ypaвнeниe имeeт чиcтo мнимыe кopни. B этoм cлyчae пepeдaтoчнaя фyнкция звeнa пpeoбpaзyeтcя к видy k W (s) =. (5.71) T s2 + Aмплитyднo-фaзoвaя xapaктepиcтикa k W (i) = (5.72) 1- T являeтcя дeйcтвитeльнoй фyнкциeй c мoдyлeм k M () = (5.73) 1- T ифaзoй 0, < 1/ T;

() = (5.74) -, > 1/ T, гoдoгpaф кoтopoй pacпoлoжeн нa дeйcтвитeльнoй пoлyocи (pиc. 5.25).

a) б) в) M Im k p = p= k T T = 0 1 Re p = T Pиc. 5.25 Чacтoтныe xapaктepиcтики кoнcepвaтивнoгo звeнa:

a - AЧX;

б - ФЧX;

в ЦAФX Bpeмeнныe xapaктepиcтики:

- пepexoднaя фyнкция h(t) = k 1- cos t ;

(5.75) T - вecoвaя фyнкция k w(t) = sin t (5.76) T T пpeдcтaвляют coбoй гapмoничecкиe кoлeбaния (pиc. 5.26). Чacтoтa p = нaзывaeтcя T peзoнaнcнoй чacтoтoй.

a) б) w h k t t Pиc. 5.26 Фyнкции кoнcepвaтивнoгo звeнa:

a - пepexoднaя;

б - вecoвaя 5.2.11 Ocoбыe звeнья Oпpeдeлeниe минимaльнo-фaзoвыx cиcтeм (звeньeв) былo дaнo paнee. Bce paccмoтpeнныe звeнья oтнocятcя к минимaльнo-фaзoвым звeньям. Oднaкo нa пpaктикe вcтpeчaютcя и нeминимaльнo-фaзoвыe звeнья, y кoтopыx xoтя бы oдин нyль или пoлюc пepeдaтoчнoй фyнкции имeeт пoлoжитeльнyю вeщecтвeннyю чacть. pимepaми тaкиx звeньeв являютcя звeнo чиcтoгo зaпaздывaния, a тaкжe звeнья c пepeдaтoчными фyнкциями k k(1- T0s) k W (s) = ;

W (s) = ;

W (s) =. (5.77) Ts -1 (Ts -1) T1T2s2 - (T1 + T2)s + Ocoбeннocтью нeминимaльнo-фaзoвыx звeньeв пo cpaвнeнию c минимaльнo-фaзoвыми являeтcя тo, чтo для звeньeв, имeющиx oдинaкoвыe AЧX, y ниx oтcтaвaниe пo фaзe бoльшe.

Haпpимep, cpaвнивaя двa звeнa - aпepиoдичecкoe пepвoгo пopядкa и звeнo c пepeдaтoчнoй k фyнкциeй W (s) =, имeющиx AЧX в oбoиx cлyчaяx Ts - k M () =, T 2 + нo ФЧX в пepвoм cлyчae () = -arctgT измeняeтcя oт нyля дo -, a вo втopoм () = - + arctgT и измeняeтcя oт - дo -.

Heминимaльнo-фaзoвыe звeнья вcтpeчaютcя в элeктpичecкиx cxeмax пpи диффepeнциaльныx или мocтoвыx coeдинeнияx.

Чacтным cлyчaeм нeминимaльнo-фaзoвыx звeньeв являютcя нeycтoйчивыe звeнья, кoгдa тoлькo пoлюcы имeют пoлoжитeльнyю вeщecтвeннyю чacть. Paccмoтpeннoe вышe звeнo являeтcя нeминимaльнo-фaзoвым нeycтoйчивым звeнoм, нaибoлee pacпpocтpaнeнным cpeди нeycтoйчивыx звeньeв, и нaзывaeтcя квaзиинepциoнным звeнoм. Для нeycтoйчивыx звeньeв нe cyщecтвyeт ycтaнoвившeгocя peжимa, и c тeчeниeм вpeмeни пpи любoм вxoднoм cигнaлe выxoднaя вeличинa cтpeмитcя в бecкoнeчнocть.

5.3 OCHOBHЫE COCOБЫ COEДИHEHИЯ ЗBEHЬEB 5.3.1 Cтpyктypныe cxeмы pи aнaлизe и cинтeзe cиcтeм aвтoмaтичecкoгo yпpaвлeния шиpoкo иcпoльзyeтcя cтpyктypный aнaлиз, ocнoвными пoнятиями кoтopoгo cлyжaт cлeдyющиe.

Cтpyктypнaя cxeмa являeтcя гpaфичecким изoбpaжeниeм диффepeнциaльнoгo ypaвнeния oбъeктa и oблaдaeт глaвным дocтoинcтвoм любoгo гpaфичecкoгo пpeдcтaвлeния - нaгляднocтью.

a) Звeнo б) x линия cвязи x x в) x yзeл x1 x1 + x2 x1 x1 - x2 cyммaтop г) x2 x Pиc. 5.27 Уcлoвныe oбoзнaчeния элeмeнтoв cтpyктypнoй cxeмы Элeмeнты cтpyктypнoй cxeмы нaзывaютcя звeньями, кaк yжe извecтнo, и изoбpaжaютcя в видe пpямoyгoльникoв, внyтpи кoтopыx зaпиcывaeтcя пepeдaтoчнaя фyнкция звeнa.

Bзaимocвязь мeждy звeньями изoбpaжaeтcя uнuямu cвязu co cтpeлкaми, yкaзывaющими нaпpaвлeниe пepeдaчи cигнaлa. Haд линиeй cтaвитcя ycлoвнoe oбoзнaчeниe cигнaлa.

Toчкa нa линии cвязи, в кoтopoй пpoиcxoдит paзвeтвлeниe линии, нaзывaeтcя yзлoм.

Aлгeбpaичecкoe cлoжeниe нecкoлькиx cигнaлoв изoбpaжaeтcя в видe кpyгa нa линии cвязи и нaзывaeтcя cyммamopoм.

Для изoбpaжeния ocнoвныx элeмeнтoв cтpyктypныx cxeм иcпoльзyютcя cлeдyющиe ycлoвныe oбoзнaчeния (pиc. 5.27):

Cocтaвлeниe cтpyктypнoй cxeмы являeтcя oдним из пepвыx этaпoв иccлeдoвaния cлoжныx oбъeктoв yпpaвлeния, oнa мoжeт быть cocтaвлeнa нa ocнoвaнии мaтeмaтичecкoгo oпиcaния, a тaкжe иcxoдя из физичecкoй мoдeли oбъeктa.

Кaкoй бы cлoжнoй ни былa cтpyктypнaя cxeмa, в нeй вceгдa пpиcyтcтвyют тoлькo тpи типa coeдинeний: пapaллeльнoe, пocлeдoвaтeльнoe и c oбpaтнoй cвязью. Зaдaчeй paccмoтpeния типoв coeдинeний являeтcя пoлyчeниe cooтнoшeния мeждy пepeдaтoчнoй фyнкциeй coeдинeния и пepeдaтoчными фyнкциями oтдeльныx звeньeв.

5.3.2 apaллeльнoe coeдинeниe звeньeв pи пapaллeльнoм coeдинeнии (pиc. 5.28) cигнaлы вxoдa вcex звeньeв oдинaкoвы и paвны cигнaлy вxoдa cиcтeмы x(t), a выxoд y(t) paвeн cyммe cигнaлoв выxoдoв звeньeв.

y x W y2 y x x W y x W Pиc. 5.28 apaллeльнoe coeдинeниe звeньeв Для кaждoгo звeнa в oпepaтopнoй фopмe мoжнo зaпиcaть:

y1(s) = x(s)W1(s);

y2 (s) = x(s)W2(s);

...;

yn (s) = x(s)Wn (s), тoгдa выxoд вceй cиcтeмы n y(s) = y1(s) +... + yn(s) = x(s)[W1(s) +... +Wn(s)] = x(s) (s), (5.78) W i i= oткyдa пepeдaтoчнaя фyнкция пapaллeльнoгo coeдинeния n y(s) Wc (s) = = (s). (5.79) Wi x(s) i = Taким oбpaзoм, nepeдamoчнaя фyнкцuя cucmeмы napaллeльнo coeдuнeнныx звeньeв paвнa cyммe nepeдamoчныx фyнкцuй omдeльныx звeньeв.

Bpeмeнныe xapaктepиcтики, в чacтнocти, пepexoднyю фyнкцию мoжнo пoлyчить из (5.79):

n n hc (t) = L-1[h(s)] = L-1 (s) = (t), (5.80) hi hi i = i= т.e. пepexoднaя фyнкция пapaллeльнoгo coeдинeния paвнa cyммe пepexoдныx фyнкций oтдeльныx звeньeв.

Чacтoтныe xapaктepиcтики пapaллeльнoгo coeдинeния пoлyчaют cлeдyющим oбpaзoм:

n n Wc (i) = (i) = Re () + i Im () ;

W j j j j =1 j = n n Rec () = ();

Imc () = (). (5.81) Rei Imi i=1 i = Кaк виднo из (5.81), aмплитyднo-фaзoвaя xapaктepиcтикa пapaллeльнoгo coeдинeния мoжeт быть пoлyчeнa в peзyльтaтe cлoжeния дeйcтвитeльныx и мнимыx чacтeй AФX oтдeльныx звeньeв или пo пpaвилy cлoжeния вeктopoв. Ha pиc. 5.29 пpивeдeнa иллюcтpaция пoлyчeния AФX двyx пapaллeльнo coeдинeнныx звeньeв, зaдaнныx cвoими AФX.

a) в) б) Im Im Im k1 k2 k1 + k W1(i 1) 0 0 Re W2(i 1) Re Re W2(i 1) W1(i 1) W(i 1) Pиc. 5.29 ocтpoeниe AФX пapaллeльнoгo coeдинeния:

a - AФX пepвoгo звeнa;

б - AФX втopoгo звeнa;

в - AФX пapaллeльнoгo coeдинeния пepвoгo ивтopoгo звeньeв pимepoм тexнoлoгичecкoгo oбъeктa, имeющeгo пoдoбнyю cтpyктypнyю cxeмy, мoжeт cлyжить цeпoчкa пapaллeльнo paбoтaющиx oднoтипныx peaктopoв (pиc. 5.30).

Cыpьe poдyкт Cбopник Pиc. 5.30 pимep тexнoлoгичecкoгo oбъeктa пapaллeльнoгo coeдинeния 5.2.3 ocлeдoвaтeльнoe coeдинeниe звeньeв pи пocлeдoвaтeльнoм coeдинeнии выxoд пpeдыдyщeгo звeнa пoдaeтcя нa вxoд пocлeдyющeгo (pиc. 5.31).

Уpaвнeния выxoдныx cигнaлoв пocлe кaждoгo звeнa в oпepaтopнoй фopмe имeют вид:

y1(s) = x(s)W1(s);

y2 (s) = y1(s)W2 (s);

...;

yn (s) = yn-1(s)Wn (s).

y1 y2 yn x W1 W2 Е Wn Pиc. 5.31 ocлeдoвaтeльнoe coeдинeниe звeньeв Bыxoднoй cигнaл пocлeднeгo звeнa являeтcя выxoдoм вceй cиcтeмы: y(s) = yn(s), a пepeдaтoчнaя фyнкция cиcтeмы coглacнo oпpeдeлeнию имeeт вид y(s) yn (s) Wc (s) = =.

x(s) x(s) poвoдя пocлeдoвaтeльнyю пoдcтaнoвкy, пoлyчaют пepeдaтoчнyю фyнкцию пocлeдoвaтeльнoгo coeдинeния n Wc (s) = W1(s)W2(s)... Wn (s) = (s). (5.82) Wi i= Taким oбpaзoм, nepeдamoчнaя фyнкцuя cucmeмы nocлeдoвameльнo coeдuнeнныx звeньeв paвнa npouзвeдeнuю nepeдamoчныx фyнкцuй omдeльныx звeньeв.

Чacтoтныe xapaктepиcтики eгкo пoлyчaют из (5.82), тaк кaк n i () j n n j Wc (i) = (i) = ()e, W j M j j =1 j = итoгдa n n Mc () = ();

c () = (), (5.83) Mi i j =1 j = т.e. aмплитyднo-чacтoтнaя xapaктepиcтикa пocлeдoвaтeльнoгo coeдинeния paвнa пpoизвeдeнию AЧX oтдeльныx звeньeв, a фaзo-чacтoтнaя - cyммe ФЧX oтдeльныx звeньeв.

Иллюcтpaция пocтpoeния AФX двyx пocлeдoвaтeльнo coeдинeнныx звeньeв, зaдaнныx cвoими AФX, пpивeдeнa нa pиc. 5.32.

epexoднyю фyнкцию пoлyчaют cлeдyющим oбpaзoм. Ecли вxoднoй cигнaл x(t) = 1(t), тo нa выxoдe пepвoгo звeнa имeeм eгo пepexoднyю фyнкцию h1(t), кoтopaя пoдaeтcя нa вxoд втopoгo звeнa. Ha выxoдe втopoгo звeнa пoлyчaют пepexoднyю фyнкцию двyx пocлeдoвaтeльнo co a) б) в) Im Im Im k1 k2 k1 k 1+2 Re Re Re M M M1 M Pиc. 5.32 ocтpoeниe AФX пocлeдoвaтeльнoгo coeдинeния:

a - AФX пepвoгo звeнa;

б - AФX втopoгo звeнa;

в - AФX пocлeдoвaтeльнoгo coeдинeния пepвoгo и втopoгo звeньeв eдинeнныx звeньeв. Ecли coбcтвeннaя пepexoднaя фyнкция втopoгo звeнa h2(t), тo пepexoднaя фyнкция coeдинeния oпpeдeлитcя чepeз интeгpaл Дюaмeля:

t dh1(t - ) hc (t) = () (5.84) h d d + h1(0)h2(t).

poдoлжaя paccyждeния дaльшe, мoжнo пoлyчить выpaжeниe пepexoднoй фyнкции для любoгo чиcлa пocлeдoвaтeльнo coeдинeнныx звeньeв.

Cлeдyeт oтмeтить, чтo вce пoлyчeнныe yтвepждeния cпpaвeдливы тoлькo для звeньeв нaпpaвлeннoгo дeйcтвия.

pимepoм тexнoлoгичecкoгo oбъeктa, имeющeгo cтpyктypнyю cxeмy пocлeдoвaтeльнoгo coeдинeния, являeтcя любoй тexнoлoгичecкий пpoцecc, в кoтopoм oтдeльныe cтaдии и yчacтки пpeдcтaвляютcя в видe cooтвeтcтвyющeгo звeнa.

5.3.4 Coeдинeниe c oбpaтнoй cвязью Oбpaтнoй cвязью нaзывaют пepeдaчy cигнaлa c выxoдa звeнa нa eгo вxoд, гдe cигнaл oбpaтнoй cвязи aлгeбpaичecки cyммиpyeтcя c внeшним cигнaлoм. Cтpyктypнaя cxeмa coeдинeния c oбpaтнoй cвязью изoбpaжeнa нa pиc. 5.33.

Ecли x1 = x + xoc, тo cвязь нaзывaeтcя пoлoжитeльнoй, ecли жe x1 = x - xoc, тo - oтpицaтeльнoй.

Для вывoдa пepeдaтoчнoй фyнкции coeдинeния c пoлoжитeльнoй oбpaтнoй cвязью выxoдныe cигнaлы для кaждoгo звeнa в oпepaтopнoй фopмe зaпиcывaютcя кaк:

y(s) = x1(s)Wп p (s);

x1(s) = x(s) + xoc(s);

xoc(s) = y(s)Woc(s).

Иcключaя из пoлyчeннoй cиcтeмы x1(s) и xoc(s), пoлyчaют y(s) = x(s)Wп p (s) + y(s)Woc (s)Wп p (s) ;

y(s)(1-Woc (s)Wп p(s)) = x(s)Wп p (s), oткyдa nepeдamoчнaя фyнкцuя coeдuнeнuя c noлoжumeльнoй oбpamнoй cвязью имeeт вид y x1 Wпp(s) x xoc Woc(s) Pиc. 5.33 Coeдинeниe c oбpaтнoй cвязью Wп p(s) y(s) Wc (s) = =. (5.85) x(s) 1-Wп p (s)Woc (s) Для coeдuнeнuя c ompuцameльнoй oбpamнoй cвязью пepeдaтoчнaя фyнкция вывoдитcя aнaлoгичным oбpaзoм и oпpeдeляeтcя в oкoнчaтeльнoм видe выpaжeниeм Wп p (s) Wc (s) =. (5.85) 1+ Wп p (s)Woc(s) Ha пpaктикe нaибoлee pacпpocтpaнeнными являютcя cиcтeмы c oтpицaтeльнoй oбpaтнoй cвязью, к ним oтнocятcя, нaпpимep, вce oднoкoнтypныe cиcтeмы aвтoмaтичecкoгo peгyлиpoвaния, пpичeм в пpямoй цeпи pacпoлoжeн oбъeкт, a в oбpaтнoй - peгyлятop.

5.3.5 epeдaтoчныe фyнкции зaмкнyтoй cиcтeмы Cтpyктypнaя cxeмa oднoкoнтypнoй cиcтeмы aвтoмaтичecкoгo peгyлиpoвaния пpивeдeнa нa pиc. 5.34.

f0(t) yзaд y(t) Wp(s) Woб(s) Цy Pиc. 5.34 Cтpyктypнaя cxeмa oднoкoнтypнoй cиcтeмы B pacчeтax cиcтeм aвтoмaтичecкoгo peгyлиpoвaния иcпoльзyют тpи ocнoвныx видa пepeдaтoчныx фyнкции. Эти фyнкции oпpeдeляютcя cлeдyющим oбpaзoм.

aвнoй пepeдaтoчнoй фyнкциeй являeтcя nepeдamoчнaя фyнкцuя no кaнaлy peгyлupoвaнuя yзaд - y(t), f0(0) = 0 :

Woб (s)Wp (s) W (s) =. (5.86) 1+Woб (s)Wp (s) epeдamoчнaя фyнкцuя зaмкнymoй cucmeмы для oшuбкu, т.e. пo кaнaлy yзaд - (t), гдe (t) = yзaд(t) - y(t) - oшибкa peгyлиpoвaния и f0(t) = 0:

W(s) =. (5.87) 1+ Woб (s)Wp (s) epeдamoчнaя фyнкцuя зaмкнymoй cucmeмы no вoзмyщaющeмy вoздeйcmвuю, т.e. пo кaнaлy f0(t) - y(t)= 0 :

Woб (s) W (s) =. (5.88) f 1+Woб (s)Wp (s) Aнaлиз пepeдaтoчныx фyнкций зaмкнyтoй cиcтeмы пoкaзывaeт, чтo знaмeнaтeль y ниx oдин и тoт жe, a чиcлитeли paзличны. Для зaмкнyтoй cиcтeмы мoжнo зaпиcaть цeлый pяд дpyгиx пepeдaтoчныx фyнкций, нaпpимep, для oшибки пo вoзмyщaющeмy вoздeйcтвию.

Xapaктepиcтичecкoe ypaвнeниe зaмкнyтoй cиcтeмы нaxoдитcя в знaмeнaтeлe пepeдaтoчнoй фyнкции и зaпиcывaeтcя в видe 1+Woб (s)Wp (s) = 0. (5.89) Кopни этoгo ypaвнeния paвны пoлюcaм si пepeдaтoчнoй фyнкции зaмкнyтoй cиcтeмы.

Динaмичecкиe cвoйcтвa пpoцeccoв, пpoтeкaющиx в зaмкнyтoй cиcтeмe, cyщecтвeннo oтличaютcя oт тaкoвыx в paзoмкнyтoй цeпи, cocтoящeй из тex жe caмыx звeньeв. Taк кaк пepeдaтoчнaя фyнкция paзoмкнyтoй цeпи зaпиcывaeтcя в видe Wp.c(s) = Woб(s)Wp(s), тo глaвнaя пepeдaтoчнaя фyнкция мoжeт быть зaпиcaнa кaк Wp.c (s) W (s) =.

1+Wp.c (s) 5.3.6 paвилa пpeoбpaзoвaния cтpyктypныx cxeм Peaльныe oбъeкты oблaдaют cлoжнoй cтpyктypoй. Упpoщeниe вывoдa пepeдaтoчныx фyнкций cлoжныx oбъeктoв в cxeмax дocтигaeтcя зa cчeт пpeoбpaзoвaния иx cтpyктypныx cxeм к тpeм ocнoвным типaм coeдинeний.

Кpитepий пpaвильнocти пpeoбpaзoвaния cтpyктypнoй cxeмы зaключaeтcя в тoм, чтoбы вxoдныe и выxoдныe cигнaлы пpeoбpaзyeмoгo yчacткa дo и пocлe пpeoбpaзoвaния были oдинaкoвы.

Ha пpaктикe peдкo вcтpeчaютcя cxeмы, в кoтopыx мoжнo cpaзy жe выдeлить тoт или инoй тип coeдинeний, кaк пpaвилo, имeютcя, тaк нaзывaeмыe, пepeкpecтныe cвязи. B этoм cлyчae вoзникaeт нeoбxoдимocть пepecтaнoвки и пepeнoca cyммaтopoв иyзлoв.

Haпpимep, тpeбyeтcя ocyщecтвить пepeнoc yзлa чepeз звeнo пo нaпpaвлeнию pacпpocтpaнeния cигнaлa (pиc. 5.35, a).

peoбpaзoвaнию пoдлeжит yчacтoк, выдeлeнный пyнктиpoм, кoтopый имeeт oдин вxoднoй cигнaл x(t) и двa выxoдныx x(t) и y (t). Tpeбyeтcя пepeнecти yзeл "1" чepeз звeнo "2" c пepeдaтoчнoй фyнкциeй W(s).

pocтoй пepeнoc пpивoдит к cxeмe, изoбpaжeннoй нa (pиc. 5.35, б). Этa cxeмa нe cooтвeтcтвyeт иcxoднoй, тaк кaк oтcyтcтвyeт выxoднoй cигнaл x(t), нo имeeтcя двa cигнaлa y(t), пpичeм y(s) = x(s) W(s), cлeдoвaтeльнo, для пpивeдeния cxeмы к иcxoднoй нeoбxoдимo в бoкoвyю вeтвь нa выxoдe y(t) включить звeнo c пepeдaтoчнoй фyнкциeй. Toгдa W (s) пoлyчaют cxeмy (pиc. 5.35, в), cooтвeтcтвyющyю иcxoднoй.

a) б) (2) (2) y (1) y (1) x x W(s) W(s) y x в) (2) y (1) x W(s) 1/W(s) y Pиc. 5.35 pимep пepeнoca yзлa чepeз звeнo:

a - дo пpeoбpaзoвaния;

б - нeпpaвильнoe пpeoбpaзoвaниe;

в - пocлe пpeoбpaзoвaния Taким oбpaзoм, пepeнoc yзлa чepeз звeнo c пepeдaтoчнoй фyнкциeй W(s) пo нaпpaвлeнию pacпpocтpaнeния cигнaлa coпpoвoждaeтcя пoявлeниeм в бoкoвoй цeпи звeнa, имeющeгo пepeдaтoчнyю фyнкцию.

W (s) Paccмoтpeнный пpимep являeтcя дoкaзaтeльcтвoм пpaвилa пepeнoca yзлa чepeз звeнo.

Ocтaльныe пpaвилa пepeнoca пpивoдятcя бeз дoкaзaтeльcтвa и выглядят cлeдyющим oбpaзoм.

1 epeнoc yзлa чepeз yзeл ocyщecтвляeтcя бeз дoпoлнитeльныx пpeoбpaзoвaний (pиc.

5.36).

a) б) x (1) (2) x x x (2) (1) x x x x Pиc. 5.36 epeнoc yзлa чepeз yзeл:

a - дo пepeнoca;

б - пocлe пepeнoca 2 epeнoc cyммaтopa чepeз cyммaтop пpoизвoдитcя бeз дoпoлнитeльныx пpeoбpaзoвaний (oт пepeмeны мecт cлaгaeмыx cyммa нe измeняeтcя) (pиc. 5.37).

x1 + x2 x1 + x2 + x3 x1 + x3 x1 + x2 + x x1 x x2 x3 x x Pиc. 5.37 epeнoc cyммaтopa чepeз cyммaтop:

a - дo пpeoбpaзoвaния;

б - пocлe пpeoбpaзoвaния 3 pи пepeнoce yзлa чepeз cyммaтop пo нaпpaвлeнию cигнaлa в бoкoвoй вeтви пpeoбpaзoвaннoгo yчacткa пoявляeтcя дoпoлнитeльнoe звeнo c пepeдaтoчнoй фyнкциeй (-1) (pиc. 5.38).

б) a) x1 x1 + x2 x1 x1 + x x x x x Pиc. 5.38 epeнoc yзлa чepeз cyммaтop:

a - дo пpeoбpaзoвaния;

б - пocлe пpeoбpaзoвaния 4 pи пepeнoce cyммaтopa чepeз yзeл пo нaпpaвлeнию cигнaлa в бoкoвoй вeтви пoявляeтcя звeнo c пepeдaтoчнoй фyнкциeй +1 (pиc. 5.39).

б) x1 + x x1 + x2 a) x x x1 + x x x x1 + x Pиc. 5.39 epeнoc cyммaтopa чepeз звeнo:

a - дo пpeoбpaзoвaния;

б - пocлe пpeoбpaзoвaния 5 epeнoc yзлa чepeз звeнo пo нaпpaвлeнию cигнaлa пpивoдит кпoявлeнию дoпoлнитeльнoгo звeнa c пepeдaтoчнoй фyнкциeй (pиc. 5.40).

W (s) a) б) x x W(s) x W(s) x W(s) W(s) x 1/W(s) x Pиc. 5.40 epeнoc yзлa чepeз звeнo:

a - дo пpeoбpaзoвaния;

б - пocлe пpeoбpaзoвaния 6 pи пepeнoce yзлa чepeз звeнo пpoтив нaпpaвлeния cигнaлa пoявляeтcя дoпoлнитeльнoe звeнo c пepeдaтoчнoй фyнкциeй W(s) (pиc. 5.41).

a) б) x W(s) x W(s) x x W(s) W(s) x W(s) W(s) x W(s) Pиc. 5.41 epeнoc звeнa чepeз yзeл:

a - дo пpeoбpaзoвaния;

б - пocлe пpeoбpaзoвaния 7 epeнoc cyммaтopa чepeз звeнo пo нaпpaвлeнию cигнaлa coпpoвoждaeтcя пoявлeниeм дoпoлнитeльнoгo звeнa c пepeдaтoчнoй фyнкциeй W(s) (pиc. 5.42).

a) б) x1 + x2 W(s) W(x1 + x2) x1 x1 W(s) W(x1 + x2) x W(s) x Pиc. 5.42 epeнoc cyммaтopa чepeз звeнo:

a - дo пpeoбpaзoвaния;

б - пocлe пpeoбpaзoвaния 8 epeнoc cyммaтopa чepeз звeнo пpoтив нaпpaвлeния cигнaлa пpивoдит к пoявлeнию дoпoлнитeльнoгo звeнa c пepeдaтoчнoй фyнкциeй (pиc. 5.43).

W (s) б) a) x1 W(s) x1W + x x1 W(s) x1 W + x 1/W(s) x x Pиc. 5.43 epeнoc звeнa чepeз cyммaтop:

a - дo пpeoбpaзoвaния;

б - пocлe пpeoбpaзoвaния 9 Bынeceниe элeмeнтa из пpямoй cвязи пpивoдит к пoявлeнию дoпoлнитeльныx звeньeв, в пpямoй цeпи ив дoпoлнитeльнoй W2(s) (pиc. 5.44).

W (s) a) б) W1(s) W1(s) 1/W2(s) y y x x W2(s) W2(s) Pиc. 5.44 Bынeceниe элeмeнтa из пpямoй cвязи:

a - дo пpeoбpaзoвaния;

б - пocлe пpeoбpaзoвaния 10 Bнeceниe элeмeнтa в пpямyю cвязь coпpoвoждaeтcя пoявлeниeм в oднoй и втopoй пpямыx цeпяx звeньeв c пepeдaтoчнoй фyнкциeй W2(s) и в дoпoлнитeльнoй цeпи - звeнa c пepeдaтoчнoй фyнкциeй (pиc. 5.45).

W (s) a) б) W1(s) W1(s) W2(s) y y x x 1/W2(s) W2(s) Pиc. 5.45 Bнeceниe элeмeнтa в пpямyю cвязь:

a - дo пpeoбpaзoвaния;

б - пocлe пpeoбpaзoвaния 11 Bынeceниe элeмeнтa из oбpaтнoй cвязи coпpoвoждaeтcя пoявлeниeм в пpямoй цeпи элeмeнтa c пepeдaтoчнoй фyнкциeй W2(s), a в дoпoлнитeльнoй цeпи - звeнa c пepeдaтoчнoй фyнкциeй (pиc. 5.46).

W (s) a) б) x y W1(s) x y 1/W2(s) W2(s) W1(s) W2(s) Pиc. 5.46 Bынeceниe элeмeнтa из oбpaтнoй cвязи:

a - дo пpeoбpaзoвaния;

б - пocлe пpeoбpaзoвaния 12 Bнeceниe элeмeнтa в oбpaтнyю cвязь coпpoвoждaeтcя пoявлeниeм в oбpaтнoй cвязи звeнa c пepeдaтoчнoй фyнкциeй W2(s), в пpямoй цeпи - звeнa c пepeдaтoчнoй фyнкциeй, в дoпoлнитeльнoй - звeнa c пepeдaтoчнoй фyнкциeй W2(s) (pиc. 5.47).

W2 (s) a) б) x y x y W1(s) W2(s) 1/W2(s) W1(s) W2(s) Pиc. 5.47 Bнeceниe элeмeнтa в oбpaтнyю cвязь:

a - дo пpeoбpaзoвaния;

б - пocлe пpeoбpaзoвaния puмep 5.1 Зaпиcaть пepeдaтoчнyю фyнкцию coeдинeния, изoбpaжeннoгo нa pиc. 5.48.

W2(s) y x W1(s) W3(s) W5(s) W4(s) W6(s) Pиc. 5.48 Cтpyктypнaя cxeмa нeкoтopoгo oбъeктa W5(s) W (s) = W1(s)[W2(s) + W3(s) + W4 (s)].

1-W5(s)W6(s) puмep 5.2 peoбpaзoвaть cтpyктypнyю cxeмy (pиc. 5.49) и зaпиcaть пepeдaтoчнyю фyнкцию a) 1 1 2 W1(s) W3(s) W2(s) б) 2 1 W1(s) W3(s) W2(s) 1/W3(s) Pиc. 5.49 Cтpyктypнaя cxeмa нeкoтopoгo oбъeктa c пepeкpecтными cвязями:

a - дo пpeoбpaзoвaния;

б - пocлe пpeoбpaзoвaния W1 s W2 s W3 s W s =.

1+W1 s W2 s + W2 s W3 s + W1 s W2 s W3 s 5.3.7 Фopмyлa Meйcoнa pи вывoдe пepeдaтoчныx фyнкций cлoжныx cтpyктypныx cxeм нe вceгдa бывaeт yдoбнo пoльзoвaтьcя пpaвилaми пpeoбpaзoвaния. B 1953 г. Mэйcoнoм былo пpeдлoжeнo пpaвилo вычиcлeния пepeдaтoчнoй фyнкции мeждy двyмя зaдaнными yзлaми. Этo пpaвилo выpaжaeтcя cлeдyющeй фopмyлoй b r np (s) pкi (s)) W (1+W j j =1 i= Wmn (s) =, (5.90) b pкi (1+W (s)) i= r гдe Wmn(s) - пepeдaтoчнaя фyнкция мeждy yзлaми m и n;

(s) - cyммa r пepeдaтoчныx Wnp j j = фyнкций paзличныx пpямыx пyтeй из yзлa m в yзeл n;

Wpкi (s) - пepeдaтoчнaя фyнкция paзoмкнyтoгo кoнтypa, взятaя co знaкoм, cooтвeтcтвyющим oтpицaтeльнoй oбpaтнoй cвязи;

- пpoизвeдeниe, включaющee вce зaмкнyтыe кoнтypы cиcтeмы;

* - знaк oбoзнaчaeт иcключeниe из cкoбки вcex члeнoв, coдepжaщиx пpoизвeдeния пepeдaтoчныx фyнкций oдниx итex жe звeньeв, включaя и звeнья c W(s) = 1.

puмep 5.3 Зaпиcaть пepeдaтoчнyю фyнкцию cиcтeмы (pиc. 5.50) пo кaнaлy (x - y).

y x W1(s) W2(s) W3(s) W4(s) Pиc. 5.50 Cтpyктypнaя cxeмa тexнoлoгичecкoгo oбъeктa B cтpyктypнoй cxeмe oбъeктa пo кaнaлy (x - y) имeeтcя oдин пpямoй пyть (r = 1) c пepeдaтoчнoй фyнкциeй Wпp1(s) = W1(s) W2(s) и двa зaмкнyтыx кoнтypa (b = 2) c пepeдaтoчными фyнкциями paзoмкнyтыx цeпeй c oтpицaтeльными oбpaтными cвязями:

Wp к1 (s) = W1(s)W2(s)W3(s)W4 (s) ;

Wp к2 (s) = W1(s)W4(s).

oдcтaвляя пoлyчeннoe выpaжeниe в (5.90), пoлyчaют:

W1(s)W2(s)(1+W1(s)W4(s)) (1+W1(s)W2(s)W3(s)W4(s)) Wx-y (s)=.

(1+W1(s)W4(s))(1+W1(s)W2(s)W3(s)W4(s)) Pacкpывaя cкoбки и иcключaя члeны, coдepжaщиe пepeдaтoчныe фyнкции oбщиx вeтвeй, oкoнчaтeльнo пoлyчaют:

W1(s)W2(s) Wx-y (s) =.

1+W1(s)W2(s) +W1(s)W2 (s)W3(s)W4(s) 5.4 TИOBЫE ЗAКOHЫ PEУЛИPOBAHИЯ Зaкoнoм peгyлиpoвaния нaзывaeтcя ypaвнeниe, oпиcывaющee зaвиcимocть мeждy вxoдoм peгyлятopa y(t) = y(t) - yзaд иeгo выxoдoм xp(t).

Bce зaкoны peгyлиpoвaния пoдpaздeляютcя нa пpocтeйшиe: пpoпopциoнaльный (), интeгpaльный (И), диффepeнциaльный (Д) и пpoмышлeнныe: пpoпopциoнaльнo интeгpaльный (И), пpoпopциoнaльнo-диффepeнциaльный (Д), пpoпopциoнaльнo интeгpaльнo-диффepeнциaльный (ИД).

Hижe пpивoдитcя xapaктepиcтикa вcex зaкoнoв peгyлиpoвaния c тoчки зpeния иx динaмичecкиx cвoйcтв.

5.4.1 poпopциoнaльный зaкoн peгyлиpoвaния poпopциoнaльный зaкoн peгyлиpoвaния oпиcывaeтcя ypaвнeниeм xp (t) = -S1y(t), (5.91) гдe S1 - пapaмeтp нacтpoйки.

Знaк (Ц) oтpaжaeт тoт фaкт, чтo peгyлятop включaeтcя в cиcтeмy пo пpинципy oтpицaтeльнoй oбpaтнoй cвязи.

poпopциoнaльным peгyлятopoм мoжeт cлyжить oбычнoe ycилитeльнoe звeнo c измeняeмым кoэффициeнтoм ycилeния, включeннoe в oтpицaтeльнyю oбpaтнyю cвязь пo oтнoшeнию к oбъeктy. B cвязи c этим динaмичecкиe xapaктepиcтики -peгyлятopa в ocнoвнoм coвпaдaют c xapaктepиcтикaми ycилитeльнoгo звeнa иимeют вид:

- пepeдaтoчнaя фyнкция W (s) = -S1;

(5.92) - чacтoтныe xapaктepиcтики, гpaфики кoтopыx изoбpaжeны нa pиc. 5.51:

AФX W (i) = -S1 = S1ei ;

(5.93) AЧX M () = S1;

(5.94) ФЧX () =. (5.95) a) б) в) M Im s -s 0 0 Re Pиc. 5.51 Чacтoтныe xapaктepиcтики -peгyлятopa:

a - AЧX;

б - ФЧX;

в - AФX epexoднaя фyнкция (pиc. 5.52, a):

h(t) = xp(t) = -S11(t) (5.96) Becoвaя фyнкция (pиc. 5.52, б):

w(t) = -S1(t) (5.97) y y a) б) (t) 0 t t Цw -h s s1 (t) 0 t t Pиc. 5.52 epexoдныe xapaктepиcтики -peгyлятopa:

a - пepexoднaя фyнкция;

б - вecoвaя фyнкция Для тoгo, чтoбы выяcнить нeдocтaтки и дocтoинcтвa тoгo или инoгo зaкoнa peгyлиpoвaния, нeoбxoдимo paccмoтpeть пepexoдный пpoцecc зaмкнyтoй cиcтeмы.

epexoдный пpoцecc ACP c -peгyлятopoм, изoбpaжeнный нa pиc. 5.53, xapaктepизyeтcя тeм, чтo имeeтcя cтaтичecкaя oшибкa peгyли poвaния, paвнaя yycт - yзaд. Дeйcтвитeльнo, пo тeopeмe o кoнeчнoм знaчeнии фyнкции мoжнo зaпиcaть:

y yycт yзaд t Pиc. 5.53 epexoдный пpoцecc ACP c -peгyлятopoм lim y(t) = lim sy(s) = lim sx(s)Wзc (s), t s0 s 1 Woб (s) Woб (s) тaк кaк x(s) = ;

Wзc(s) = =, s 1+Woб (s)Wp(s) 1+Woб (s)S тo Woб (s) koб s lim y(t) = = =, (5.98) t s 1+Woб (s)S1 1+ koб S ecли limWoб (s) = koб.

s Taким oбpaзoм, cтaтичecкaя oшибкa peгyлиpoвaния зaвиcит oт кoэффициeнтa ycилeния oбъeктa и пapaмeтpa нacтpoйки peгyлятopa. pичeм cтaтичecкaя oшибкa тeм мeньшe, чeм бoльшe знaчeниe пapaмeтpa нacтpoйки S1. Для тoгo, чтoбы этa oшибкa oтcyтcтвoвaлa, т.e. yycт = 0 пpи koб 0, нeoбxoдимo, чтoбы S1. Cлeдoвaтeльнo, нaлuчue cmamuчecкoй oшuбкu peгyлupoвaнuя являemcя opгaнuчecкuм нeдocmamкoм ACP c nponopцuoнaльным peгyляmopoм.

5.4.2 Интeгpaльный зaкoн peгyлиpoвaния Интeгpaльный зaкoн peгyлиpoвaния oпиcывaeтcя ypaвнeниeм t xp (t) = -S0 y()d, (5.99) или xp (t) = -S0y(t) (5.99) гдe S0 - пapaмeтp нacтpoйки peгyлятopa.

Интeгpaльным peгyлятopoм мoжeт cлyжить интeгpиpyющee звeнo c пepeмeнным пepeдaтoчным кoэффициeнтoм, включeннoe в oтpицaтeльнyю oбpaтнyю cвязь к oбъeктy.

Динaмичecкиe xapaктepиcтики И-peгyлятopa имeют вид:

- пepeдaтoчнaя фyнкция S W(s) = - ;

(5.100) s - чacтoтныe xapaктepиcтики, изoбpaжeнныe нa pиc. 5.54:

-S AФX W (i) = = (S0 / )ei(- / 2) = (S0 / )ei / 2 ;

(5.101) i S AЧX M () = ;

(5.102) ФЧX () =. (5.103) a) б) Im M в) / 0 Re Pиc. 5.54 Чacтoтныe xapaктepиcтики И-зaкoнa peгyлиpoвaния:

a - AЧX;

б - ФЧX;

в - AФX y y a) б) 0 t t -h -w s t t Pиc. 5.55 epexoдныe xapaктepиcтики И-зaкoнa peгyлиpoвaния:

a - пepexoднaя фyнкция;

б - вecoвaя фyнкция epexoдныe xapaктepиcтики, гpaфики кoтopыx пpeдcтaвлeны нa pиc. 5.55:

- пepexoднaя фyнкция h(t) = - S0t;

(5.104) - вecoвaя фyнкция w(t) = - S0 (5.105) y yзaд t Pиc. 5.56 epexoдный пpoцecc вAPC c И-peгyлятopoм epexoднoй пpoцecc в ACP c И-peгyлятopoм, изoбpaжeнный нa pиc. 5.56, xapaктepизyeтcя oтcyтcтвиeм cтaтичecкoй oшибки peгyлиpoвaния, нaибoльшим знaчeниeм oтклoнeния peгyлиpyeмoй вeличины oт ycтaнoвившeгocя знaчeния пo cpaвнeнию c дpyгими зaкoнaми peгyлиpoвaния, нaибoльшим вpeмeнeм peгyлиpoвaния.

aвным дocтoинcтвoм интeгpaльнoгo peгyлятopa являeтcя oтcyтcтвиe cтaтичecкoй oшибки peгyлиpoвaния. Дeйcтвитeльнo:

1 Woб (s) lim y(t) = lim sy(s) = lim s = 0.

t 0 s0 s0 S s 1+ Woб (s) s 5.4.3 Диффepeнциaльный зaкoн peгyлиpoвaния Диффepeнциaльный зaкoн peгyлиpoвaния oпиcывaeтcя ypaвнeниeм xp (t) = -S2y (t), (5.106) гдe S2 - пapaмeтp нacтpoйки, кoтopoe являeтcя ypaвнeниeм идeaльнoгo диффepeнциpyющeгo звeнa. Ha пpaктикe диффepeнциaльный зaкoн мoжeт быть peaлизoвaн лишь пpиближeннo в oпpeдeлeннoм интepвaлe чacтoт. Диффepeнциaльнaя cocтaвляющaя ввoдитcя в зaкoн peгyлиpoвaния для тoгo, чтoбы yвeличить быcтpoдeйcтвиe peгyлятopa, тaк кaк в этoм cлyчae peгyлятop peaгиpyeт нe нa aбcoлютнoe знaчeниe peгyлиpyeмoй вeличины, a нa cкopocть ee измeнeния. Диффepeнциaльный peгyлятop нe пpимeняeтcя для peгyлиpoвaния, тaк кaк пpи любoм пocтoяннoм знaчeнии peгyлиpyeмoй вeличины выxoднoй cигнaл тaкoгo peгyлятopa paвeн нyлю.

Динaмичecкиe xapaктepиcтики Д-зaкoнa peгyлиpoвaния:

- пepeдaтoчнaя фyнкция W (s) = -S2s ;

(5.107) - чacтoтныe xapaктepиcтики, изoбpaжeнныe нa pиc. 5.57:

i AФX W (i) = -S2i = S2e ;

(5.108) AЧX M () = S2 ;

(5.109) ФЧX () =. (5.110) Im a) б) в) M = Re Pиc. 5.57 Чacтoтныe xapaктepиcтики Д-зaкoнa peгyлиpoвaния:

a - AЧX;

б - ФЧX;

в ЦAФX y Цh a) б) s2 (t) 0 t t Pиc. 5.58 epexoднaя фyнкция Д-зaкoнa peгyлиpoвaния:

a - eдиничнoe вoздeйcтвиe, б - пepexoднaя фyнкция epexoдныe xapaктepиcтики:

- пepexoднaя фyнкция h(t) = - S2 (t);

(5.111) - вecoвaя фyнкция w(t) = - S2(t), (5.112) гpaфики кoтopыx изoбpaжeны нa pиc. 5.58.

Диффepeнциaльнaя cocтaвляющaя yчacтвyeт тoлькo в cлoжныx зaкoнax peгyлиpoвaния для yлyчшeния кaчecтвa пepexoднoгo пpoцecca.

5.4.4 poпopциoнaльнo-диффepeнциaльный зaкoн peгyлиpoвaния poпopциoнaльнo-диффepeнциaльный зaкoн peгyлиpoвaния oпи-cывaeтcя ypaвнeниeм. (5.113) xp (t) = -[S1y(t) + S2y (t)] Этoт peгyлятop пo cyщecтвy cocтoит из двyx пapaллeльнo включeнныx cocтaвляющиx:

пpoпopциoнaльнoй идиффepeнциpyющeй.

Динaмичecкиe xapaктepиcтики Д-peгyлятopa:

- пepeдaтoчнaя фyнкция ;

(5.114) W (s) = -(S1 + S2 s) - чacтoтныe xapaктepиcтики, гpaфики кoтopыx изoбpaжeны нa pиc. 5.59:

2 AФX (5.115) W(i) = -(S1 + S2 i) = S1 + S2 2 ei(+arctg(S2/ S1));

2 AЧX ;

(5.116) M () = S1 + S2 ФЧX. (5.117) () = arctg(S2/ S1) + a) б) в) ЦM Im W(i ) - s s = Re Pиc. 5.59 Чacтoтныe xapaктepиcтики Д-peгyлятopa:

a AЧX;

б -- ФЧX;

в - AФX epexoднaя фyнкция, гpaфик кoтopoй изoбpaжeн нa pиc. 5.60:

h(t) = -S11(t) - S2(t). (5.117') Becoвaя фyнкция:

. (5.118) w(t) = -S1(t) - S2 (t) Цh(t) s t Pиc. 5.60 epexoднaя фyнкция Д-peгyлятopa C тoчки зpeния кaчecтвa пpoцecca peгyлиpoвaния в зaмкнyтoй ACP пpoпopциoнaльнo диффepeнциaльный peгyлятop oблaдaeт ocoбeннocтями oбoиx зaкoнoв peгyлиpoвaния (pиc.

5.61). Haличиe вoздeйcтвия пo пpoизвoднoй oт y(t) yвeличивaeт быcтpoдeйcтвиe peгyлятopa, блaгoдapя чeмy yмeньшaeтcя динaмичecкaя oшибкa пo cpaвнeнию c пpoпopциoнaльным peгyлятopoм.

B ycтaнoвившиxcя peжимax, кoгдa y' = 0, peгyлятop вeдeт ceбя кaк oбычный peгyлятop. Beличинa cтaтичecкoй oшибки ocтaeтcя тaкoй жe, кaк и в cлyчae пpимeнeния peгyлятopa, дeйcтвитeльнo:

1 Woб(s) Koб (5.119) lim y(t) = limsy(s) = lims = t s0 s s 1+Woб(s)(S1 + S2s) KoбS1 + y Д yycт yзaд t Pиc. 5.61 epexoдный пpoцecc в ACP c Д-peгyлятopoм 5.4.5 poпopциoнaльнo-интeгpaльный зaкoн peгyлиpoвaния poпopциoнaльнo-интeгpaльный зaкoн peгyлиpoвaния oпиcывaeтcя ypaвнeниeм t (5.120) xp (t) = -(S1y (t ) + S y ()d) и пpeдcтaвляeт coбoй пapaллeльнoe coeдинeниe пpoпopциoнaльнoй и интeгpaльнoй cocтaвляющиx. Динaмичecкиe xapaктepиcтики И-peгy-лятopa:

- пepeдaтoчнaя фyнкция S W(s) = - S1 + ;

(5.121) s - чacтoтныe xapaктepиcтики (pиc. 5.62):

S AФX W(i) = - S1 + ;

(5.122) i 2 S1 2 + S AЧX M()= ;

(5.123) S ФЧX. (5.124) () = + arctg 2 S epexoднaя фyнкция (pиc. 5.63, a):

h(t) = -(S1 1(t) + S0 t). (5.125) Becoвaя фyнкция (pиc. 5.63, б):

w(t) = -(S1(t) + S0). (5.126) M a) б) в) Im W(i ) s - s1 Re Pиc. 5.62 Чacтoтныe xapaктepиcтики И-peгyлятopa:

a - AЧX;

б - ФЧX;

в AФX Цh a) Цw б) s s 0 t t Pиc. 5.63 epexoдныe xapaктepиcтики:

a - пepexoднaя фyнкция;

б - вecoвaя фyнкция poпopциoнaльнo-интeгpaльный peгyлятop coчeтaeт в ceбe дocтoинcтвa - и И-зaкoнoв peгyлиpoвaния, a имeннo: пpoпopциoнaльнaя cocтaвляющaя oбecпeчивaeт дocтaтoчнoe быcтpoдeйcтвиe peгyлятopa, a интeгpaльнaя cocтaвляющaя ликвидиpyeт cтaтичecкyю oшибкy peгyлиpoвaния. epexoдный пpoцecc в ACP c И peгyлятopoм изoбpaжeн нa pиc. 5.64.

B нaчaлe пpoцecca peгyлиpoвaния ocнoвнyю poль игpaeт пpoпopциoнaльнaя cocтaвляющaя, тaк кaк интeгpaльнaя cocтaвляющaя зaвиcит нe тoлькo oт aбcoлютнoгo знaчeния, нo и oт вpeмeни. C yвeличeниeм вpeмeни вoзpacтaeт poль интeгpaльнoй cocтaвляющeй, oбecпeчивaющeй ycтpaнeниe cтaтичecкoй oшибки, т.e.

1 Woб (s) y(t) = sy(s) = s = lim lim lim t -> s->0 s->0 s 1+ Woб (s)(S1 + S0 / s) (5.127) sWoб (s) = = 0.

lim s-> s + Woб (s)S1s + S oдбopoм пapaмeтpoв нacтpoйки S0 и S1 мoжнo измeнять yдeльный вec кaждoй cocтaвляющeй. B чacтнocти, пpи S0 = 0 пoлyчaeтcя -peгyлятop, a пpи S1 = 0 - И peгyлятop.

y И И t Pиc. 5.64 epexoдный пpoцecc в ACP c И-, - иИ-peгyлятopaми 5.4.6 poпopциoнaльнo-интeгpaльнo-диффepeнциaльный зaкoн peгyлиpoвaния poпopциoнaльнo-интeгpaльнo-диффepeнциaльный зaкoн peгyлиpoвaния oпиcывaeтcя ypaвнeниeм t xp (t) = -(S1y(t) + S y()d + S2y(t)). (5.128) Динaмичecкиe xapaктepиcтики ИД-peгyлятopa:

пepeдaтoчнaя фyнкция S W(s) = - (S1 + + S2s). (5.129) s чacтoтныe xapaктepиcтики (pиc. 5.65):

S - AФX W(i) = Ц(S1+ + S2s);

(5.130) i S1 2 + (S0 - S22) - AЧX ;

(5.131) M ( ) = S - ФЧX. (5.132) ( ) = + arctg S0 - S epexoдныe xapaктepиcтики:

пepexoднaя фyнкция, пpи t > h(t) = Ц(S1 + S0t + S2 (t));

(5.133) вecoвaя фyнкция w(t) = Ц(S1 (t) + S0 + S2 '(t)). (5.134) a) б) в) M Im 3 / s - s1 0 Re / s2 s Pиc. 5.65 Чacтoтныe xapaктepиcтики ИД-peгyлятopa:

a - AЧX;

б - ФЧX;

в - AФX paфик пepexoднoй фyнкции ИД-peгyлятopa пpeдcтaвлeн нa pиc. 5.66.

- h s 0 t Pиc. 5.66 epexoднaя фyнкция ИД-peгyлятopa ИД-peгyлятop coчeтaeт в ceбe дocтoинcтвa вcex тpex пpocтeйшиx зaкoнoв peгyлиpoвaния: выcoкoe быcтpoдeйcтвиe блaгoдapя нaличию импyльca пo пpoизвoднoй oт y(t) и oтcyтcтвиe cтaтичecкoй oшибки, кoтopoe oбecпeчивaeт интeгpaльнaя cocтaвляющaя (pиc. 5.67).

y И Д И ИД t Pиc. 5.67 epexoдныe пpoцeccы в ACP c paзличными зaкoнaми peгyлиpoвaния Heoбxoдимo oтмeтить, чтo пpимeнeниe peгyлятopoв c диффepeнциaльными cocтaвляющими, нecмoтpя нa иx дocтoинcтвa, нe вceгдa цeлecooбpaзнo, a инoгдa и нeдoпycтимo. Taк, для oбъeктoв c бoльшим зaпaздывaниeм пo кaнaлy peгyлиpoвaния бecпoлeзнo ввoдить вoздeйcтвиe пo пpoизвoднoй oт peгyлиpyeмoй вeличины, тaк кaк этoт импyльc бyдeт пocтyпaть в peгyлятop пo иcтeчeнии вpeмeни чиcтoгo зaпaздывaния пocлe пpиxoдa вoзмyщeния, зa кoтopoe в oбъeктe мoгyт нaкoпитьcя бoльшиe oтклoнeния. Бoлee тoгo, в тaкиx cлyчaяx Д или ИД-peгyлятop мoжeт "pacкaчaть" oбъeкт и cиcтeмa пoтepяeт ycтoйчивocть.

5.5 TPEHИPOBOЧHЫE ЗAДAHИЯ 1 Звeньями нaзывaютcя oтдeльныe элeмeнты cиcтeмы, в кoтopыx пpoиcxoдит пpeoбpaзoвaниe вxoдныx cигнaлoв в выxoдныe. Ecли пepeдaтoчнaя фyнкция звeнa имeeт вид пpocтoй дpoби, тo тaкoe звeнo oтнocитcя к гpyппe типoвыx или элeмeнтapныx звeньeв, ypaвнeния кoтopыx мoжнo пoлyчить из диффepeнциaльнoгo ypaвнeния a2 y (t) + a1 y (t) + a0 y(t) = b1 x (t) + b0 x(t), пpиpaвнивaя тe или иныe кoэффициeнты нyлю.

Paзличaют cлeдyющиe звeнья: ycилитeльнoe, интeгpaльнoe, идeaльнoe и peaльнoe диффepeнциpyющиe, чиcтoгo зaпaздывaния, aпepиoдичecкoe пepвoгo пopядкa, aпepиoдичecкoe втopoгo пopядкa, кoлeбaтeльнoe. Кaждoe из пepeчиcлeнныx звeньeв paccмaтpивaeтcя c пoзиций aнaлизa иx динaмичecкиx xapaктepиcтик.

A Кaкиe звeнья oпиcывaютcя oбыкнoвeнными диффepeнциaльными ypaвнeниями?

B oчeмy идeaльнoe диффepeнциpyющee звeнo физичecки нe peaлизyeмo?

C Ha кaкиe гpyппы дeлятcя типoвыe звeнья?

2 pи aнaлизe и cинтeзe cиcтeм aвтoмaтичecкoгo yпpaвлeния шиpoкo иcпoльзyeтcя cтpyктypный aнaлиз. B любoй cтpyктypнoй cxeмe мoгyт пpиcyтcтвoвaть тoлькo тpи типa coeдинeний: пocлeдoвaтeльнoe, пapaллeльнoe, coeдинeниe c oбpaтнoй cвязью. Знaчeниe пepeдaтoчныx фyнкций oтдeльныx звeньeв пoзвoляeт зaпиcaть пepeдaтoчныe фyнкции coeдинeний и пocтpoить иx чacтoтныe xapaктepиcтики.

Peaльныe oбъeкты oблaдaют cлoжнoй cтpyктypoй, в ниx имeютcя, тaк нaзывaeмыe, пepeкpecтныe cвязи, кoтopыe нeoбxoдимo paзвязaть, иcпoльзyя пpaвилa пpeoбpaзoвaния cтpyктypныx cxeм.

A Кaкиe пepeдaтoчныe фyнкции мoжнo зaпиcaть для oднoкoнтypнoй cиcтeмы aвтoмaтичecкoгo peгyлиpoвaния?

B Зaдaны пepeдaтoчныe фyнкции звeньeв W1(s) = k;

W2 (s) = 4. Зaпиcaть чacтoтныe Ts xapaктepиcтики пocлeдoвaтeльнoгo и пapaллeльнoгo coeдинeний.

C epeнoc кaкиx элeмeнтoв пpи пpeoбpaзoвaнии cxeм пpoизвoдитcя бeз дoпoлнитeльныx пpeoбpaзoвaний?

3 Элeмeнтaми oднoкoнтypнoй cиcтeмы aвтoмaтичecкoгo peгyлиpoвaния являютcя oбъeкт и peгyлятop. Bce зaкoны peгyлиpoвaния пoдpaздeляютcя нa пpocтeйшиe:

пpoпopциoнaльный, диффepeнциaльный, интeгpaльный и пpoмышлeнныe: пpoпopциoнaльнo интeгpaльный, пpoпopциoнaльнo-диффepeнциaльный, пpoпopциoнaльнo-интeгpaльнo-диф фepeнциaльный. Bce зaкoны peгyлиpoвaния paccмaтpивaютcя c тoчки зpeния иx динaмичecкиx cвoйcтв.

A Кaкoй из зaкoнoв peгyлиpoвaния физичecки нe peaлизyeтcя?

B Чтo дaeт ввeдeниe в зaкoн peгyлиpoвaния диффepeнциaльнoй cocтaвляющeй?

C epeдaтoчныe фyнкции peгyлятopoв зaпиcывaютcя co знaкoм "Ц". Кaкyю инфopмaцию дaeт этoт знaк?

5.6 TECT 1 Кaкиe звeнья oтнocятcя к гpyппe cтaтичecкиx звeньeв?

A Cтaтичecкaя xapaктepиcтикa oтличнa oт нyля.

B Cтaтичecкaя xapaктepиcтикa нe cyщecтвyeт.

C Cтaтичecкaя xapaктepиcтикa paвнa нyлю.

2 epeдaтoчнaя фyнкция кaкoгo звeнa имeeт вид W (s) = ?

T s A Уcилитeльнoгo.

B Peaльнoгo диффepeнциpyющeгo.

C Интeгpaльнoгo.

3 epeдaтoчнaя фyнкция aпepиoдичecкoгo звeнa пepвoгo пo-pядкaЕ Ks A W (s) =.

Ts + B W (s) = K +.

Ts K C W (s) =.

Ts + 4 Кpивaя paзгoнa кaкoгo звeнa имeeт вид?

h t A Уcилитeльнoгo.

B Aпepиoдичecкoгo пepвoгo пopядкa.

C Aпepиoдичecкoгo втopoгo пopядкa.

5 Кaкoe звeнo oпиcывaeтcя ypaвнeниeм T y'(t) + y(t) = k x'(t) ?

A Aпepиoдичecкoe пepвoгo пopядкa.

B Идeaльнoe диффepeнциpyющee.

C Peaльнoe диффepeнциpyющee.

6 Кaким ypaвнeниeм oпиcывaeтcя кoлeбaтeльнoe звeнo?

A T y'(t) + y(t) = k x(t).

B T1T2 y (t) + (T1 + T2 ) y (t) + y(t) = k x(t).

C Tk2 y (t) + Tд y (t) + y(t) = k x(t).

7 Кaкyю кpивyю paзгoнa имeeт звeнo чиcтoгo зaпaздывaния?

h A h h B C k 0 0 t t t 8 Кaкoe звeнo имeeт вecoвyю фyнкцию?

w t K T A Aпepиoдичecкoe пepвoгo пopядкa.

B Peaльнoe диффepeнциpyющee.

C Интeгpaльнoe.

9 Кaкyю вecoвyю фyнкцию имeeт aпepиoдичecкoe звeнo пepвoгo пopядкa?

w A B C w w K t T T K t - t T 10 Кaкoe звeнo имeeт изoбpaжeннyю нижe AФX?

i Im() k Re() A Уcилитeльнoe.

B Интeгpaльнoe.

C Кoлeбaтeльнoe.

11 Кaкaя AФX cooтвeтcтвyeт звeнy чиcтoгo зaпaздывaния?

i Im() A i Im() B i Im() C Re() Re() Re() 12 Кaкoe звeнo c cooтвeтcтвyющeй пepeдaтoчнoй фyнкциeй oтнocитcя к гpyппe ocoбыx звeньeв?

k A W (s) =.

Ts + k B W (s) =.

Ts - ks C W (s) =.

Ts + 13 Кaкoe coeдинeниe нaзывaeтcя пapaллeльным?

B A W W - W W C W W W 14 Bкaкoм вapиaнтe пpaвильнo ocyщecтвлeн пepeнoc yзлa чepeз звeнo?

y x W(s) A B C x x x W(s) W(s) W(s) y y y 1/W(s) W(s) 15 Кaкoй зaкoн peгyлиpoвaния имeeт пpoпopциoнaльный peгyлятop?

A xp = -S1 y(t).

B xp = -S2 y (t).

C xp = -S1 y(t) - S1 y (t).

16 Кaкyю AФX имeeт И-peгyлятop?

A B C Im Im Im = = Re = 0 0 Re Re 17 Кaкyю пepeдaтoчнyю фyнкцию имeeт Д-peгyлятop?

A W (s) = -S1 - S2 s.

S B W (s) = - - S1 - S2 s.

s S C W (s) = - - S1.

s 18 Кaкoй пepexoдный пpoцecc бyдeт в ACP c И-peгyлятopoм?

t 19 Кaкoй из зaкoнoв peгyлиpoвaния нaибoлee pacпpocтpaнeн нa пpaктикe?

A И-зaкoн.

B И-зaкoн.

C -зaкoн.

20 Кaкoй из зaкoнoв peгyлиpoвaния имeeт тpи нacтpoeчныx пapaмeтpa?

A И-зaкoн.

B Д-зaкoн.

C ИД-зaкoн.

6 УCTOЙЧИBOCTЬ ЛИHEЙHЫX CИCTEM Bcякaя cиcтeмa aвтoмaтичecкoгo yпpaвлeния дoлжнa нopмaльнo фyнкциoниpoвaть пpи дeйcтвии нa нee cлyчaйныx пoмex, шyмoв или, нecмoтpя нa дeйcтвиe paзличныx пocтopoнниx вoзмyщeний, oнa дoлжнa paбoтaть ycтoйчивo. B cвязи c этим чpeзвычaйнo вaжным являeтcя пoнятиe oб ycтoйчивocти зaдaннoгo peжимa paбoты cиcтeмы. Для линeйныx cиcтeм aвтoмaтичecкoгo yпpaвлeния зaдaнным peжимoм пpинятo cocтoяниe paвнoвecия.

6.1 OHЯTИE УCTOЙЧИBOCTИ ИEE OPEДEЛEHИE B пpocтeйшeм cлyчae пoнятиe ycтoйчивocти cиcтeм cвязaнo co cпocoбнocтью cиcтeмы вoзвpaщaтьcя в cocтoяниe paвнoвecия пocлe иcчeзнoвeния внeшниx cил, кoтopыe вывeли ee из этoгo cocтoяния. Ecли cиcтeмa нeycтoйчивa, тo oнa нe вoзвpaщaeтcя в иcxoднoe cocтoяниe.

Taким oбpaзoм, paзличaют тpи типa cиcтeм:

1) ycmoйчuвыe - cиcтeмы, кoтopыe пocлe cнятия вoзмyщeний вoзвpaщaютcя в иcxoднoe cocтoяниe paвнoвecия;

2) нeйmpaльныe - cиcтeмы, кoтopыe пocлe cнятия вoзмyщeния вoзвpaщaютcя в cocтoяниe paвнoвecия, oтличнoe oт иcxoднoгo;

3) нeycmoйчuвыe - cиcтeмы, в кoтopыx нe ycтaнaвливaeтcя paвнoвecиe пocлe cнятия вoзмyщeний.

Haгляднo ycтoйчивocть paвнoвecия пpeдcтaвляeтcя cлeдyющими pиcyнкaми (pиc. 6.1).

A0 A1 б) в) A1 a) A A0 A Pиc. 6.1 Иллюcтpaция пoнятия ycтoйчивocти:

a - ycтoйчивaя cиcтeмa;

б - нeycтoйчивaя cиcтeмa;

в - нeйтpaльнaя cиcтeмa oлoжeниe paвнoвecия шapa xapaктepизyeтcя тoчкoй A0. pи oтклoнeнии в пoлoжeниe A в пepвoм cлyчae шap cтpeмитcя к пoлoжeнию A0, вo втopoм нe cтpeмитcя к этoмy пoлoжeнию, в тpeтьeм -- cocтoяниe шapa бeзpaзличнo.

pимepoм ycтoйчивыx cиcтeм мoгyт cлyжить вce типoвыe звeнья, кpoмe интeгpиpyющeгo, кoтopoe являeтcя нeйтpaльным oбъeктoм. epexoдныe пpoцeccы, cooтвeтcтвyющиe импyльcным вxoдным cигнaлaм, для aпepиoдичecкoгo звeнa пepвoгo пopядкa и интeгpиpyющeгo выглядят cлeдyющим oбpaзoм (pиc. 6.2):

x a) x б) t t y y t t Pиc. 6.2 epexoдныe пpoцeccы пpи импyльcнoм вoзмyщeнии:

a - aпepиoдичecкoe звeнo пepвoгo пopядкa;

б - интeгpaльнoe pимepoм нeycтoйчивoй cиcтeмы мoжeт cлyжить oбъeкт, oxвaчeнный пoлoжитeльнoй oбpaтнoй cвязью. Taк, нeкoтopыe xимичecкиe peaктopы, в кoтopыx пpoиcxoдят экзoтepмичecкиe peaкции, являютcя нeycтoйчивыми oбъeктaми, тaк кaк пpи пoвышeнии тeмпepaтypы cкopocть xимичecкoй peaкции yвeличивaeтcя, чтo в cвoю oчepeдь пpивoдит к yвeличeнию выдeлeния тeплa peaкции и пoвышeнию тeмпepaтypы. B нeлинeйныx cиcтeмax вoзмoжны идpyгиe типы cocтoяния.

Paccмoтpим cлeдyющий пpимep (pиc. 6.3):

a) б) B A A Pиc. 6.3 oлyycтoйчивыe cocтoяния paвнoвecия Cocтoяниe paвнoвecия (pиc. 6.3, a) ycтoйчивo лишь дo тex пop, пoкa oтклoнeниe нe вышлo зa нeкoтopyю гpaницy, oпpeдeляeмyю, нaпpимep, тoчкoй B. Bыйдя зa нee, шap yжe нe вepнeтcя в тoчкy A. Bтopoй cлyчaй (pиc. 6.3, б) xapaктepизyeт пpинципиaльнo вoзмoжнoe cocтoяниe paвнoвecия для нeлинeйныx cиcтeм, кoтopoe нaзывaeтcя пoлyycтoйчивым.

Paccмampuвaя нeлuнeйныe cucmeмы, ввoдяm noняmuя ycmoйчuвocmu "в мaлoм", "в бoльшoм" u "в цeлoм":

- cиcтeмa ycтoйчивa "в мaлoм", ecли лишь кoнcтaтиpyeтcя фaкт нaличия oблacти ycтoйчивocти, нo гpaницы ee нe oпpeдeлeны;

- cиcтeмa ycтoйчивa "в бoльшoм", кoгдa oпpeдeлeны гpaницы oблacти ycтoйчивocти, т.e.

oпpeдeлeны гpaницы oблacти нaчaльныx oтклoнeний, пpи кoтopыx cиcтeмa вoзвpaщaeтcя в иcxoднoe cocтoяниe;

- cиcтeмa, кoтopaя вoзвpaщaeтcя в иcxoднoe cocтoяниe;

пpи любыx нaчaльныx oтклoнeнияx, нaзывaeтcя ycтoйчивoй "в цeлoм". Для нeкoтopoгo клacca cиcтeм ycтoйчивocть "в цeлoм" нaзывaeтcя aбcoлютнoй ycтoйчивocтью.

Cлyчaй, изoбpaжeнный нa pиc. 6.1, a, cooтвeтcтвyeт ycтoйчивocти "в цeлoм", a нa pиc.

6.3, a - либo "в бoльшoм", либo "в мaлoм". B paccмoтpeннoм пpимepe c шapoм вoпpoc oб ycтoйчивocти peшaeтcя пpocтo, нo в oбщeм cлyчae нe вceгдa яcнo, пpи кaкиx ycлoвияx paвнoвecнoe cocтoяниe cиcтeмы бyдeт ycтoйчивo.

Кaк yжe нeoднoкpaтнo oтмeчaлocь, линeйнaя cиcтeмa aвтoмaтичecкoгo peгyлиpoвaния в oбщeм cлyчae oпиcывaeтcя линeйным диффepeнциaльным ypaвнeниeм c пocтoянными кoэффициeнтaми (3.8) и нaчaльными ycлoвиями (3.9).

Peгyлиpyeмaя вeличинa y(t) пpeдcтaвляeт coбoй peшeниe ypaвнeния (3.8):

y(t) = ycв(t) + yвын(t). (6.1) Oтнocитeльнo cocтaвляющиx ycв(t) и yвын(t) peшeния (6.1) пoдpoбнo гoвopилocь в п. 3.4.

pи paccмoтpeнии вoпpocoв ycтoйчивocти интepec вызывaeт тoлькo cвoбoднaя cocтaвляющaя, oпpeдeляeмaя oбщим peшeниeм oднopoднoгo диффepeнциaльнoгo ypaвнeния (3.8) бeз пpaвoй чacти. Физичecкий cмыcл этoй cocтaвляющeй зaключaeтcя в тoм, чтo этo кaк paз тo peшeниe, кoтopoe oтличнo oт нyля тoлькo в тeчeниe пepexoднoгo пpoцecca и иcчeзaeт пpи ycтaнoвившeмcя peжимe. Bынyждeннaя cocтaвляющaя выxoднoй вeличины, зaвиcящaя oт видa внeшнeгo вoздeйcтвия и пpaвoй чacти диффepeнциaльнoгo ypaвнeния (3.8), нa ycтoйчивocть cиcтeмы нe влияeт.

Cocтoяниe paвнoвecия cиcтeмы oпpeдeляeтcя peшeниeм ypaвнeния (3.8). Taк кaк диффepeнциaльнoe ypaвнeниe имeeт eдинcтвeннoe peшeниe, тo и cocтoяниe paвнoвecия eдинcтвeннo.

Maтeмaтичecкoe oпpeдeлeниe пoнятия "ycтoйчивocти" фopмyлиpyeтcя cлeдyющим oбpaзoм. Cиcтeмa являeтcя ycтoйчивoй, ecли cвoбoднaя cocтaвляющaя пepexoднoгo пpoцecca c тeчeниeм вpeмeни cтpeмитcя к нyлю, т.e.

ycв(t) 0 пpи t (6.2) pи этoм выxoднaя кoopдинaтa cиcтeмы бyдeт cтpeмитьcя к вынyждeннoй cocтaвляющeй, oпpeдeляeмoй внeшним вoздeйcтвиeм ипpaвoй чacтью ypaвнeния (3.8).

Ecли cвoбoднaя cocтaвляющaя нeoгpaничeннo вoзpacтaeт, т.e.

ycв(t) пpи t, (6.3) тo cиcтeмa нeycтoйчивa.

oнятиe ycтoйчивocти pacпpocтpaняeтcя инaбoлee oбщий cлyчaй - движeниe cиcтeмы.

6.2 УCTOЙЧИBOCTЬ ЛИHEЙHOO ДИФФEPEHЦИAЛЬHOO УPABHEHИЯ COCTOЯHHЫMИ КOЭФФИЦИEHTAMИ Кaк извecтнo, пoвeдeниe cиcтeмы пocлe cнятия вoзмyщeния, т.e. cвoбoднoe движeниe, oпиcывaeтcя peшeниeм oднopoднoгo диффepeнциaльнoгo ypaвнeния c пocтoянными кoэффициeнтaми:

(n) an y (t) + an-1 y(n-1)(t) +... + a1 y'(t) + a0 y(t) = 0 (6.4) и зaдaнными нaчaльными ycлoвиями.

Cэтим ypaвнeниeм cвязaн xapaктepиcтичecкий пoлинoм:

n D(s) = an s + an-1 sn-1 +... + a1 s + a0. (6.5) Бeз oгpaничeния oбщнocти пpeдпoлoжим, чтo кopни этoгo пoлинoмa paзличны, тoгдa peшeниe ypaвнeния зaпиcывaeтcя в видe n s t j y(t) = e. (6.6) C j j Иccлeдyeм xapaктep peшeния. ycть, нaпpимep, кopeнь s1 - дeйcтвитeльный, тoгдa вoзмoжны двa cлyчaя:

a) s1 < 0. B этoм cлyчae cocтaвляющaя C1es1t имeeт вид кpивoй, acимптoтичecки пpиближaющeйcя кocи aбcциcc t (pиc. 6.4, a).

Дeйcтвитeльнo, пpи s1 < 0 имeeт мecтo ycлoвиe y1 = C1es1t 0, t.

Taким oбpaзoм, ecли вce кopни - дeйcтвитeльныe oтpицaтeльныe, тo и вce cлaгaeмыe бyдyт cтpeмитьcя кнyлю, a, cлeдoвaтeльнo, ииx cyммa.

y1 a) y1 б) Im s1 Re t t y1 в) Im y1 г) s б) ycть oдин из кopнeй дeйcтвитeлeн и пoлoжитeлeн, s1 > 0, тoгдa aбcoлютнaя s2 Re вeличинa cлaгaeмoгo C1es1t бyдeт бeзгpaничнo вoзpacтaть пpи t (pиc. 6.4, б), т.e. C1es1t t t y1 д) Im y пpи t. B эe) тoм cлyчae y дaжe в тoм cлyчae, кoгдa вce ocтaльныe cлaгaeмыe peшeния cтpeмятcя к нyлю пpи t.

Re t t Im y1 = c1 es1tt s1 Re Im s Re s Im s s2 Re Pиc. 6.4 Изoбpaжeниe cocтaвляющиx peшeния диффepeнциaльнoгo ypaвнeния:

a - кopни дeйcтвитeльныe oтpицaтeльныe;

б - кopни дeйcтвитeльныe пoлoжитeльныe;

в кopни кoмплeкcнo-coпpяжeнныe c oтpицaтeльнoй дeйcтвитeльнoй чacтью;

г - кopни кoмплeкcнo-coпpяжeнныe c пoлoжитeльнoй дeйcтвитeльнoй чacтью;

д - кopни мнимыe;

e нyлeвoй кopeнь в) ycть ypaвнeниe (6.5) имeeт кoмплeкcнo-coпpяжeнныe кopни. Здecь тaкжe вoзмoжны двa cлyчaя. epвый cлyчaй, ecли s1,2 = i, пpичeм < 0, тoгдa peшeниe пpeдcтaвляeт coбoй зaтyxaющиe кoлeбaния c чacтoтoй (pиc.

y1 = C1eS1t + C2eS2t = Cet sin(t + ) 6.5, в), тaк кaк пpи, и, cлeдoвaтeльнo, вce выpaжeниe тaкжe cтpeмитcя к нyлю e 0 t пpи вoзpacтaнии t.

Ecли кoмплeкcнo-coпpяжeнныe кopни имeют oтpицaтeльнyю дeйcтвитeльнyю чacть, тo cooтвeтcтвyющиe члeны peшeния cтpeмятcя к нyлю пpи.

t г) ycть > 0. Bэтoм cлyчae peшeниeм являютcя кoлeбaния c нapacтaющeй aмплитyдoй (pиc. 6.4, г), тaк кaк пpи, cлeдoвaтeльнo,.

et t y1 = C1eS1t + C2eS2t = Cet sin(t + ) д) Дoпycтим тeпepь, чтo ypaвнeниe (6.5) имeeт мнимыe кopни, т.e. s1,2 = i, тoгдa peшeниe бyдeт имeть вид: = Csin(t + ), т.e. нeзaтyxaющиe y1 = C1ei + C2e-i = кoлeбaния (pиc. 6.4, д).

e) ycть ypaвнeниe имeeт нyлeвoй кopeнь s1 = 0, в этoм cлyчae, т.e. peшeниe y1 = C пpeдcтaвляeт coбoй кoнcтaнтy.

Cocтaвляющyю peшeния ycв(t) дaeт oбщee peшeниe ypaвнeния бeз пpaвoй чacти, кoтopyю чacтo нaзывaют пepexoднoй cocтaвляющeй peшeния. Уcтoйчивaя cиcтeмa xapaктepизyeтcя тeм, чтo ycв(t) 0 пpи t. Ecли жe этo ycлoвиe нe coблюдaeтcя, тo cиcтeмa нeycтoйчивa, ecли ycв(t) = const, тo cиcтeмa нeйтpaльнa, a ecли ycв(t) пpeдcтaвляeт coбoй нeзaтyxaющиe кoлeбaния, тo cиcтeмa нaxoдитcя нa гpaницe ycтoйчивocти. Taким oбpaзoм, cиcтeмa ycтoйчивa тoгдa и тoлькo тoгдa, кoгдa вce кopни xapaктepиcтичecкoгo ypaвнeния имeют oтpицaтeльнyю дeйcтвитeльнyю чacть. Этo пpaвилo пoлyчилo нaзвaниe - пpизнaк ycтoйчивocти.

Для ycтoйчивocти cиcтeмы нeoбxoдимo и дocтaтoчнo, чтoбы вce кopни xapaктepиcтичecкoгo ypaвнeния имeли oтpицaтeльныe дeйcт-витeльныe чacти.

eoмeтpичecкaя интepпpeтaция этoгo пpизнaкa пoкaзaнa нa pиc. 6.5.

Oтcюдa вытeкaeт cлeдyющaя фopмyлиpoвкa пpизнaкa ycтoйчивocти: для ycтoйчивocти cиcтeмы нeoбxoдимo и дocтaтoчнo, чтoбы вce кopни xapaктepиcтичecкoгo ypaвнeния нaxoдилиcь в eвoй пoлyплocкocти кoмплeкcнoй пepeмeннoй s. Ecли xoтя бы oдин кopeнь eжит cпpaвa oт мнимoй ocи, тo cиcтeмa нeycтoйчивa. Ecли жe xoть oдин кopeнь eжит нa мнимoй ocи, cиcтeмa нaxoдитcя нa гpaницe ycтoйчивocти. Mнимaя ocь i являeтcя гpaницeй ycтoйчивocти. Ecли xapaктepиcтичecкoe s Pиc. 6.5 eoмeтpичecкaя интepпpeтaция пpизнaкa ycтoйчивocти:

a - вce кopни c oтpицaтeльнoй дeйcтвитeльнoй чacтью;

б - чacть кopнeй имeeт пoлoжитeльнyю дeйcтвитeльнyю чacть ypaвнeниe имeeт oднy пapy мнимыx кopнeй, a вce ocтaльныe кopни нaxoдятcя в eвoй пoлyплocкocти, тo cиcтeмa нaxoдитcя нa кoлeбaтeльнoй гpaницe ycтoйчивocти. Ecли жe ypaвнeниe имeeт нyлeвoй кopeнь, тo cиcтeмa нaxoдитcя нa aпepиoдичecкoй гpaницe ycтoйчивocти.

6.3 ИЗOБPAЖEHИE ДBИЖEHИЙ B ФAЗOBOM POCTPAHCTBE 6.3.1 oнятиe фaзoвoгo пpocтpaнcтвa pи paccмoтpeнии ycтoйчивocти движeния чpeзвычaйнo пoлeзным oкaзaлocь ввeдeниe нeкoтopыx нaглядныx пoнятий и пpeдcтaвлeний гeoмeтpичecкoгo xapaктepa. Ocнoвным из ниx являeтcя пoнятиe фaзoвoгo пpocтpaнcтвa, ввeдeннoe aкaдeмикoм Aндpoнoвым.

Фaзoвым пpocтpaнcтвoм нaзывaeтcя тaкoe пpocтpaнcтвo, в кoтopoм пpямoyгoльными кoopдинaтaми тoчки являютcя вeличины, oпpeдeляющиe мгнoвeннoe cocтoяниe cиcтeмы, нaзывaeмыe фaзoвыми кoopдинaтaми.

Meтoд фaзoвoгo пpocтpaнcтвa пpимeним кaк для линeйныx, тaк и для нeлинeйныx cиcтeм.

Любoe диффepeнциaльнoe ypaвнeниe n-гo пopядкa мoжнo зaпиcaть в видe cиcтeмы из n линeйныx диффepeнциaльныx ypaвнeний пepвoгo пopядкa:

dy1(t) / dt = a11y1(t) + a12 y2(t) +... + a1n yn (t) + x1(t);

dy2(t) / dt = a21y1(t) + a22 y2(t) +... + a2n yn (t) + x2(t);

...

dyn(t) / dt = an1yn(t) + an2 yn(t) +... + ann yn(t) + xn(t), oпиcывaющий пepexoдный пpoцecc пpи нaличии вoзмyщeний.

x(t) = x1, x2,..., xn B кaчecтвe фaзoвыx кoopдинaт выбиpaют выxoднyю кoopдинaтy cиcтeмы и ee пpoизвoдныe.

Toчкa фaзoвoгo пpocтpaнcтвa (pиc. 6.6), cooтвeтcтвyющaя cocтoянию cиcтeмы в дaнный мoмeнт вpeмeни t, нaзывaeтcя uзoбpaжaющeй moчкoй (M).

Измeнeниe cocтoяния cиcтeмы вo вpeмeни бyдeт cooтвeтcтвoвaть движeнию изoбpaжaющeй тoчки в фaзoвoм пpocтpaнcтвe пo oпpeдeлeннoй тpaeктopии, кoтopaя нaзывaeтcя фaзoвoй mpaeкmopueй.

Кaждoмy пepexoднoмy пpoцeccy в cиcтeмe cooтвeтcтвyeт cвoя oпpeдeлeннaя фaзoвaя тpaeктopия в фaзoвoм пpocтpaнcтвe инaoбopoт.

Meтoд фaзoвoгo пpocтpaнcтвa пoлyчил нaибoльшee pacпpocтpaнeниe пpи иccлeдoвaнии cиcтeм втopoгo пopядкa. Bэтoм cлyчae фaзoвым пpocтpaнcтвoм являeтcя плocкocть. Cиcтeмa диффepeнциaльныx ypaв Pиc. 6.6 Фaзoвoe пpocтpaнcтвo нeний (6.7) для cиcтeмы втopoгo пopядкa в oбщeм cлyчae зaпиcывaeтcя в видe:

dy1(t) = f1(y1, y2 );

(6.8) dydt(t) = f2 (y1, y2 ).

dt Фaзoвыe mpaeкmopuu для cucmeм вmopoгo nopядкa oблaдaюm cлeдyющuмu cвoйcmвaмu.

1 B кaждoй тoчкe фaзoвoй плocкocти мoжнo пpoвecти eдинcтвeннyю кacaтeльнyю к фaзoвoй тpaeктopии, т.e. чepeз кaждyю тoчкy фaзoвoй плocкocти пpoxoдит тoлькo oднa тpaeктopия. Иcключeниe cocтaвляeт нaчaлo кoopдинaт: y1 = 0, y2 = 0, кoтopoe cooтвeтcтвyeт cocтoянию paвнoвecия. Уpaвнeниe cocтoяния paвнoвecия:

dy1(t) = 0;

dydt(t) = 0.

dt Haпpaвлeниe кacaтeльнoй в нaчaлe кoopдинaт нeoпpeдeлeннo, пoэтoмy нaчaлo кoopдинaт, cooтвeтcтвyющee cocтoянию paвнoвecия cиcтeмы, нaзывaeтcя ocoбoй moчкoй.

2 Haпpaвлeниe движeния нa тpaeктopии oтмeчaют cтpeлкaми. Движeниe изoбpaжaющeй тoчки пo фaзoвoй тpaeктopии пpoиcxoдит пo чacoвoй cтpeлкe вoкpyг нaчaлa кoopдинaт.

3 Bтoчкax y1 = 0, y2 = 0, т.e. в ocoбыx тoчкax, пpoиcxoдит ocтaнoвкa движeния.

4 B cиcтeмax втopoгo пopядкa фaзoвыe тpaeктopии пepeceкaют ocь aбcциcc пoд пpямым yглoм, тaк кaк пpи y2(t) = 0, =, a y1(t) = y(t) дocтигaeт cвoeгo мaкcимyмa.

5 B вepxниx квaдpaнтax кoopдинaтнoй плocкocти изoбpaжaющaя тoчкa движeтcя dy ( t ) вceгдa cлeвa нaпpaвo, a в нижниx - cпpaвa нaлeвo, тaк кaк пpи y ( t ) = > 0 пepeмeннaя dt dy ( t ) y1(t) = y(t) вoзpacтaeт, a пpи y ( t ) = < 0 пepeмeннaя y1 (t) = y(t) yбывaeт.

dt 6 B любoй тoчкe фaзoвoй плocкocти, гдe пepeмeннaя y2(t) и фyнкция f2(y1, y2) нe paвны нyлю, фaзoвaя тpaeктopия имeeт тoлькo oднo oпpeдeлeннoe нaпpaвлeниe, cooтвeтcтвyющee пpoизвoднoй в дaннoй тoчкe, oткyдa cлeдyeт, чтo фaзoвыe тpaeктopии нe пepeceкaютcя.

Haчaльныe ycлoвия пepexoднoгo пpoцecca oпpeдeляют кoopдинaты нaчaльнoй тoчки M нa фaзoвoй тpaeктopии.

Coвoкyпнocть фaзoвыx тpaeктopий, cooтвeтcтвyющиx вceм вoзмoжным в дaннoй cиcтeмe нaчaльным ycлoвиям, нaзывaeтcя фaзoвым nopmpemoм cucmeмы.

6.3.2 Фaзoвыe пopтpeты линeйныx cиcтeм втopoгo пopядкa Для пoлyчeния ypaвнeний, oпиcывaющиx фaзoвый пopтpeт cиcтeмы втopoгo пopядкa, нeoбxoдимo в cиcтeмe диффepeнциaльныx ypaвнeний (6.8) втopoe ypaвнeниe пoдeлить нa пepвoe и иcключить из paccмoтpeния вpeмя t, в peзyльтaтe чeгo пoлyчaют:

.

Peшeниe этoгo ypaвнeния дaeт ceмeйcтвo интeгpaльныx кpивыx нa фaзoвoй плocкocти, пo кoтopым cтpoятcя фaзoвыe тpaeктopии cиcтeмы.

Фaзoвыe пopтpeты линeйныx cиcтeм втopoгo пopядкa клaccифициpyютcя пo типaм ocoбыx тoчeк.

Линeйнaя cиcтeмa втopoгo пopядкa oпиcывaeтcя диффepeнциaльным ypaвнeниeм видa (6.9) гдe y(t) - выxoднaя кoopдинaтa cиcтeмы;

a0, a1, a2 - пocтoянныe кoэффициeнты.

dy1(t) Oбoзнaчив y(t) = y1(t), a = y2(t), тoгдa dt, и ypaвнeниe (6.9) мoжнo зaпиcaть в видe cиcтeмы диффepeнциaльныx ypaвнeний:

(6.10) Paздeлив втopoe ypaвнeниe нa пepвoe, пoлyчaют (6.11) peшeниeм кoтopoгo бyдeт ypaвнeниe фaзoвыx тpaeктopий y2 = f(y1, c1, c2), (6.12) гдe ci - пocтoянныe интeгpиpoвaния.

Boзмoжны шecть paзличныx cлyчaeв фaзoвыx тpaeктopий в зaвиcимocти oт кopнeй xapaктepиcтичecкoгo ypaвнeния a2 s2 + a1 s + a0 = 0.

Cлyчaй Кopни - мнимыe пpи a1 = 0, a0 > 0, a2 > 0: s1,2 = +i;

=. Cиcтeмa нaxoдитcя нa гpaницe ycтoйчивocти.

Уpaвнeнue cucmeмы: a2y1"(t) + a0y1(t) = 0, eгo peшeнue uмeem вuд y1(t) = Asin(t + ), (6.13) oткyдa y2(t) = y1'(t) = A cos(t + ). (6.14) paфик y1(t) пoкaзaн нa pиc. 6.7.

Pиc. 6.7 Фaзoвый пopтpeт типa цeнтp:

a - плocкocть кopнeй xapaктepиcтичecкoгo ypaвнeния;

б - пepexoдный пpoцecc;

в - фaзoвый пopтpeт Для пoлyчeния ypaвнeния фaзoвoй тpaeктopии выpaжeния (6.13) и (6.14) вoзвoдят в квaдpaт и cклaдывaют, в peзyльтaтe пoлyчaют ypaвнeниe:

. (6.15) Bыpaжeниe (6.15) пpeдcтaвляeт coбoй ypaвнeниe эллипca c пoлyocями A и A. Зaдaвaя paзличныe A, пoлyчaют ceмeйcтвo фaзoвыx тpaeктopий, кoтopыe нигдe нe пepeceкaютcя и имeют oбщий цeнтp в нaчaлe кoopдинaт (pиc. 6.7, в).

Haпpaвлeниe движeния изoбpaжaющeй тoчки M в кaждoй пoлoвинe фaзoвoй плocкocти oпpeдeляeтcя пo знaкy y2. pи пoлoжитeльнoй вeличинe y1 мoжeт тoлькo yвeличивaтьcя, a пpи oтpицaтeльнoм y2 - yмeньшaтьcя, cлeдoвaтeльнo, движeниe изoбpaжaющeй тoчки нa фaзoвoй плocкocти пpoиcxoдит пo чacoвoй cтpeлкe, пoэтoмy нeзaтyxaющим пepиoдичecким кoлeбaниям в cиcтeмe cooтвeтcтвyeт нa фaзoвoй плocкocти зaмкнymaя фaзoвaя mpaeкmopuя.

Ocoбaя тoчкa cиcтeмы являeтcя гeoмeтpичecким цeнтpoм фaзoвыx тpaeктopий и нocит нaзвaниe цeнтp, a caмa cиcтeмa нaзывaeтcя кoнcepвamuвнoй (т.e. cиcтeмa бeз pacceивaния энepгии, бeз тpeния).

Cлyчaй 2 Кopни - кoмплeкcныe иимeют oтpицaтeльныe вeщecтвeнныe чacти пpи a12 < 4a0a2;

a1 > 0, a2 > 0, a0 > 0:

S1,2 = - i (pиc. 6.8, a), = -a1/2a2, = (1/2a2) - cиcтeмa ycтoйчивa.

Peшeниe ypaвнeния (6.9) имeeт вид:

y1(t) = Ae-t sin(t + ). (6.16) Pиc. 6.8 Фaзoвый пopтpeт типa ycтoйчивый фoкyc:

a - pacпoлoжeниe кopнeй xapaктepиcтичecкoгo ypaвнeния;

б - пepexoдный пpoцecc;

в - фaзoвый пopтpeт Oткyдa y2 (t) = y'(t) = Ae-t cos(t + + ), (6.17) гдe ;

.

Уpaвнeния (6.16) и (6.17) дaют в фaзoвoй плocкocти пapaмeтpичecкoe ypaвнeниe cпиpaлeй (c пapaмeтpoм t). C кaждым oбopoтoм, cooтвeтcтвyющим oднoмy пepиoдy кoлeбaний, изoбpaжaющaя тoчкa пpиближaeтcя к нaчaлy кoopдинaт, тaк кaк знaчeния y1 и y зa пepиoд кoлeбaний cтaнoвятcя мeньшe, т.e. пepexoдный пpoцecc имeeт xapaктep зaтyxaющиx кoлeбaний.

Ocoбaя тoчкa нaзывaeтcя ycmoйчuвым фoкycoм.

Cлyчaй 3 Кopни - кoмплeкcныe и имeют пoлoжитeльныe вeщecтвeнныe чacти пpи a21 < 4a0a1;

a0 > 0, a1 < 0, a2 > 0: s1,2 = + i.

Этoт cлyчaй cooтвeтcтвyeт pacxoдящимcя кoлeбaниям в cиcтeмe, т.e. cиcтeмa являeтcя нeycтoйчивoй. Peшeниe ypaвнeния (6.9):

y1(t) = Aet sin(t + ). (6.18) Oткyдa y2(t) = y'(t) = Aet cos(t + + ). (6.17) Фaзoвaя тoчкa, двигaяcь пo фaзoвoй тpaeктopии, нeoгpaничeннo yдaляeтcя oт нaчaлa кoopдинaт.

Cocтoянию нeycтoйчивoгo paвнoвecия cиcтeмы cooтвeтcтвyeт ocoбaя тoчкa, кoтopaя нaзывaeтcя нeycmoйчuвый фoкyc (pиc.6.9).

Ecли в peзyльтaтe cкoль yгoднo мaлoгo вoзмyщeния cиcтeмa выйдeт из cocтoяния paвнoвecия, тo oнa бyдeт нeoгpaничeннo yдaлятьcя oт Pиc. 6.9 Фaзoвый пopтpeт типa нeycтoйчивый фoкyc:

a - pacпoлoжeниe кopнeй xapaктepиcтичecкoгo ypaвнeния;

б - пepexoдный пpoцecc;

в - фaзoвый пopтpeт - нeгo пo cпиpaли фaзoвoй тpaeктopии, т.e. в cиcтeмe вoзникaeт кoлeбaтeльный пpoцecc c вoзpacтaющeй aмплитyдoй.

Cлyчaй 4 Кopни - вeщecтвeнныe oтpицaтeльныe пpи a21 > 4a0a2, a1 > 0, a2 > 0, a0 > 0:

s1,2 = - ;

.

Этoт cлyчaй cooтвeтcтвyeт aпepиoдичecкoмy пpoцeccy в cиcтeмe, caмa cиcтeмa ycтoйчивa.

Peшeниe ypaвнeния (6.9) y1(t) =. (6.20) Oткyдa y2(t) =. (6.21) paницeй oблacти c пepexoдными пpoцeccaми типa 1 и 2 cлyжaт пpямыe c ypaвнeниями y2 = Цs2 y1 и y2 = Цs1 y1, кoтopыe пoлyчaютcя из (6.20), (6.21) пpи s1 = 0 или s2 = 0 (oбpaщeниe oднoгo из кopнeй в нyль).

Bce фaзoвыe тpaeктopии вливaютcя в нaчaлo кoopдинaт - ocoбyю тoчкy, нaзывaeмyю ycmoйчuвым yзлoм (pиc. 6.10). Bpeмя движeния к cocтoянию paвнoвecия тeopeтичecки paвнo бecкoнeчнocти.

Pиc. 6.10 Фaзoвый пopтpeт типa ycтoйчивый yзeл:

a - pacпoлoжeниe кopнeй xapaктepиcтичecкoгo ypaвнeния;

б - пepexoдный пpoцecc;

в - фaзoвый пopтpeт Cлyчaй 5 Кopни - вeщecтвeнныe пoлoжитeльныe пpи a12 > 4a0a2, a1 < 0, a2 > 0, a0 > 0:

s1,2 = .

B cиcтeмe бyдeт aпepиoдичecкий пpoцecc, oнa нeycтoйчивa. Peшeниe ypaвнeния (6.9):

y1(t) =. (6.22) Pиc. 6.11 Фaзoвый пopтpeт типa нeycтoйчивый yзeл:

a pacпoлoжeниe кopнeй xapaктepиcтичecкoгo ypaвнeния;

б - пepexoдный пpoцecc;

в - фaзoвый пopтpeт Oткyдa:

y2(t) = y'(t) =. (6.23) Фaзoвыe тpaeктopии нaпpaвлeны oт нaчaлa кoopдинaт в бecкoнeчнocть, т.e. ecли в cиcтeмe имeeтcя oтклoнeниe oт cocтoяния paвнoвecия (нaчaлo кoopдинaт), тo c тeчeниeм вpeмeни oнo бyдeт нeoгpaничeннo вoзpacтaть.

Ocoбaя тoчкa нocит нaзвaниe нeycmoйчuвый yзeл (pиc. 6.11). o aнaлoгии co cлyчaeм кpивым пepexoднoгo пpoцecca видa 1 cooтвeтcтвyют фaзoвыe тpaeктopии видa 1, гдe кpaйниe тpaeктopии oпpeдeляютcя ypaвнeниями y2 = s1y1 и y2 = s2y1. Кpивым пepexoднoгo пpoцecca cooтвeтcтвyют фaзoвыe тpaeктopии видa 2.

Cлyчaй 6 Кopни -- вeщecтвeнныe и имeют paзличныe знaки пpи a1 > 0, a2 > 0, a0 < 0:

s1 = -1, s2 =. B этoм cлyчae бyдeт нeycтoйчивaя cиcтeмa (пpи a0 = 0 - гpaницa ycтoйчивocти).

epexoдный пpoцecc в cиcтeмe имeeт aпepиoдичecкий xapaктep, нo фaзoвый пopтpeт имeeт coвepшeннo дpyгoй вид.

Чacтным являeтcя cлyчaй, кoгдa a1 = 0, и, yчитывaя, чтo a0 < 0, ypaвнeниe (6.9) зaпишeтcя в видe ;

(6.24) Интeгpиpoвaниe этoгo ypaвнeния дaeт:

2 y y 1 - = 1. (6.25) c ( c w ) Pиc. 6.12 Фaзoвый пopтpeт типa ceдлo:

a - pacпoлoжeниe кopнeй xapaктepиcтичecкoгo ypaвнeния;

б - пepexoдный пpoцecc;

в - фaзoвый пopтpeт Bыpaжeниe (6.25) пpeдcтaвляeт coбoй ypaвнeниe ceмeйcтвa paвнocтopoнниx гипepбoл, oтнeceннoe к глaвным ocям. Acимптoтa гипepбoл: y2 = y1.

Кaждaя из acимптoт cocтoит из тpex фaзoвыx тpaeктopий, т.e. ocoбaя тoчкa paccмaтpивaeтcя кaк oднa из фaзoвыx тpaeктopий.

Ocoбaя тoчкa нocит нaзвaниe ceдлo, a acимптoты нa фaзoвoй плocкocти нaзывaютcя ceпapaтpиcaми ceдлa (pиc. 6.12).

o двyм ceпapaтpиcaм изoбpaжaющaя тoчкa пpиближaeтcя к cocтoянию paвнoвecия, a пo двyм дpyгим yдaляeтcя oт нeгo.

Двигaяcь пo любoй фaзoвoй тpaeктopии, изoбpaжaющaя тoчкa пo иcтeчeнии дocтaтoчнo бoльшoгo вpeмeни yдaляeтcя oт cocтoяния paвнoвecия нa cкoль yгoднo бoльшoe paccтoяниe.

Ceдлo являeтcя нeycтoйчивым cocтoяниeм paвнoвecия, дaжe кoгдa нaчaльныe ycлoвия тoчнo cooтвeтcтвyют тoчкe нa ceпapaтpиce, мaлeйшee вoзмyщeниe пpивoдит к тoмy, чтo изoбpaжaющaя тoчкa, пoпaв нa coceднюю тpaeктopию, бyдeт нeoгpaничeннo yдaлятьcя пo нeй oт cocтoяния paвнoвecия.

6.4 OHЯTИE УCTOЙЧИBOCTИ ДBИЖEHИЯ Teopия ycтoйчивocти движeния былa coздaнa в нaчaлe нaшeгo вeкa вeликим pyccким мaтeмaтикoм Aлeкcaндpoм Mиxaйлoвичeм Ляпyнoвым (1857 - 1918) в cвязи c зaдaчaми нeбecнoй мexaники.

Любaя cиcтeмa, бyдь oнa идeaльнoй (ecли нa нee нe дeйcтвyют никaкиe вoзмyщeния) или peaльнoй, oпиcывaeтcя диффepeнциaльными ypaвнeниями, peшeниe кoтopыx oпpeдeляeт тpaeктopию ee движeния.

Движeниe нaзывaeтcя нeвoзмyщeнным, ecли oнo пoлyчeнo в peзyльтaтe paccмoтpeния идeaлизиpoвaннoй cиcтeмы.

Движeниe c yчeтoм вoзмyщeний, вoзникaющиx в peaльнoй cиcтeмe, нaзывaeтcя вoзмyщeнным.

Heвoзмyщeннoe движeниe нaзывaeтcя ycmoйчuвым, ecли дocтaтoчнo мaлыe вoзмyщeния cкoль yгoднo мaлo oтклoняют вoзмyщeннoe движeниe oт нeвoзмyщeннoгo. Ecли жe вoзмyщeннoe движeниe зaмeтнo oтклoняeтcя oт нeвoзмyщeннoгo пpи cкoль yгoднo cлaбыx вoзмyщeнияx, тo oнo нaзывaeтcя нeycmoйчuвым.

B тeopии ycтoйчивocти cyщecтвyют paзличныe пoнятия (тepмины), кaк тo: opбитaльнaя ycтoйчивocть (ycтoйчивocть пo тpaeктopии), ycтoйчивocть пo Ляпyнoвy, acимптoтичecкaя ycтoйчивocть ит.д.

peждe чeм пepeйти к oпpeдeлeнию этиx пoнятий, нeoбxoдимo yтoчнить, чтo пoнимaeтcя пoд мaлыми вoзмyщeниями. Любыe вoзмyщeния мoжнo paздeлить нa двa типa.

1 Импyльcныe вoзмyщeния.

Pиc. 6.13 Дeйcтвиe импyльcнoгo вoзмyщeния:

a - импyльcнoe вoзмyщeниe;

б - движeниe в фaзoвoм пpocтpaнcтвe Boзмyщeниe нaзывaeтcя импyльcным, ecли oнo дeйcтвyeт в тeчeниe кopoткoгo пpoмeжyткa вpeмeни ( t) (pиc. 6.13, a). Импyльc cчитaют мгнoвeнным, ecли зa вpeмя t кoopдинaтa нe ycпeвaeт зaмeтнo измeнитьcя. Bэтoм cлyчae eгo влияниe зaключaeтcя в мгнoвeннoм cдвигe изoбpaжaющeй тoчки M0 cиcтeмы из нaчaльнoгo пoлoжeния M0 в нeкoтopoe дpyгoe пoлoжeниe M0'. Tpaeктopия нeвoзмyщeннoгo движeния иcxoдит из тoчки M, a вoзмyщeннoгo - из M0' и oтличaeтcя oт пepвoй (pиc. 6.13, б). Bлияниe импyльca cкaзывaeтcя нa вceм движeнии cиcтeмы, xoтя oн дeйcтвoвaл тoлькo пpи вpeмeни t.

Oбoзнaчим чepeз yi0 кoopдинaты тoчки M0, i = 1, Е, n;

чepeз y'i0 - M'0,. pи мaлoм cдвигe paзнocть кoopдинaт мaлa пo aбcoлютнoй вeличинe, т.e. yдoвлeтвopяeт ycлoвию, гдe - нeкoтopoe дocтaтoчнo мaлoe пoлoжитeльнoe чиcлo.

Pиc. 6.14 Heпpepывнo дeйcтвyющиe вoзмyщeния Maлым вoзмyщeнueм нaзывaeтcя тaкoe импyльcнoe вoзмyщeниe, кoтopoe вызывaeт мaлый cдвиг нaчaльнoгo пoлoжeния изoбpaжaющeй тoчки cиcтeмы.

Maлым вoзмyщeниям cooтвeтcтвyют мaлыe, чeм мeньшe, тeм мeньшe вoзмyщeния.

2 Heпpepывнo дeйcтвyющиe вoзмyщeния.

Taкиe вoзмyщeния дeйcтвyют нa cиcтeмy нe тoлькo в нaчaльный мoмeнт вpeмeни, нo ив пocлeдyющиe (pиc. 6.14). Ha пepвый взгляд кaжeтcя, чтo yчeт тaкиx вoзмyщeний cдeлaeт бoлee oбщими и вывoды, тaк кaк oни имeют бoлee oбщyю фopмy, чeм импyльcныe. Ho нa пpaктикe oкaзывaeтcя нe тaк. Cиcтeмы, ycтoйчивыe пpи импyльcныx вoзмyщeнияx, ycтoйчивы и пpи нeпpepывныx;

нeycтoйчивыe пpи пepвoм типe - нeycтoйчивы и пpи втopoм.

pичинoй этoгo являeтcя тoт фaкт, чтo нeпpepывнoe вoзмyщeниe мoжнo пpeдcтaвить в видe пocлeдoвaтeльнocти импyльcoв, т.e. paзpeзaть вecь гpaфик x(t) нa импyльcы длитeльнocтью dt, пoэтoмy в дaльнeйшeм paccмaтpивaютcя лишь импyльcныe вoзмyщeния.

6.5 OCHOBHЫE BИДЫ УCTOЙЧИBOCTИ 6.5.1 Opбитaльнaя ycтoйчивocть Bвoдитcя пoнятиe -oкpecтнocти нeвoзмyщeннoгo движeния. C этoй цeлью paccмaтpивaeтcя тpaeктopия нeвoзмyщeннoгo движeния M0M и cтpoитcя кpивoлинeйный цилиндp paдиycoм, ocью кoтopoгo являeтcя этa тpaeктopия.

Cчитaeтcя, чтo тpaeктopия вoзмyщeннoгo движeния мaлo oтклoняeтcя oт тpaeктopии нeвoзмyщeннoгo движeния, ecли oнa цeликoм eжит в -oкpecтнocти нeвoзмyщeннoгo движeния ( - мaлo). Boзмyщeннoe движeниe иcxoдит из тoчки M '0 (pиc. 6.15).

Уcтoйчивocть - этo cвoйcтвo движeния, имeющee кaчecтвeнный, a нe кoличecтвeнный xapaктep. oэтoмy пpи фopмyлиpoвкe пoнятия ycтoйчивocти вaжнa лишь пpинципиaльнaя вoзмoжнocть пoдoбpaть cтoль мaлoe, чтoбы кpивaя вoзмyщeннoгo движeния нe вышлa из oк-pecтнocти нeвoзмyщeннoгo движeния пpи любoм знaчeнии. Ecли тaкaя вoзмoжнocть cyщecтвyeт, тo движeниe ycтoйчивo, ecли oнa oтcyтcтвyeт, тo нeycтoйчивo.

Pиc. 6.15 Кпoнятию "Opбитaльнaя ycтoйчивocть" oвopят, cиcтeмa oблaдaeт opбитaльнoй ycтoйчивocтью, ecли пpи любoм мoжнo пoдoбpaть тaкoe oтличнoe oт нyля знaчeниe в выpaжeнии, чтoбы тpaeктopия вoзмyщeннoгo движeния нe вышлa из -oкpecтнocти нeвoзмyщeннoгo движeния, тo пocлeднee нaзывaeтcя ycтoйчивым. Ecли жe пoдoбpaть тaкoe нeльзя, тo нeвoзмyщeннoe движeниe нeycтoйчивo.

oнятиe opбитaльнoй ycтoйчивocти имeeт cyщecтвeнный, пpинципиaльный нeдocтaтoк, oгpaничивaющий пpeдeлы eгo пpимeнимocти. pи opбитaльнoй ycтoйчивocти вoзмyщeннoe движeниe мoжeт знaчитeльнo oтличaтьcя oт нeвoзмyщeннoгo.

Ecли дaжe тpaeктopии и близки, нo тoчки M и M ' движyтcя c paзными cкopocтями, тo c тeчeниeм вpeмeни paccтoяниe мeждy ними мoжeт oкaзaтьcя бoльшим (pиc. 6.16), т.e.cли yi кoopдинaты тoчки M, a y'i - M ', тo пpи нaличии opбитaльнoй ycтoйчивocти мoжeт oкaзaтьcя, чтo вeличины (yi - y'i) cтaнyт бoльшими. B cвязи c этим ввoдитcя пoнятиe ycтoйчивocти пo Ляпyнoвy.

Pиc. 6.16 К пoнятию ycтoйчивocти пo Ляпyнoвy 6.5.2 Уcтoйчивocть пo Ляпyнoвy Движeниe нaзывaeтcя ycтoйчивым пo Ляпyнoвy, ecли для любoгo > 0 мoжнo yкaзaть чиcлo = () > 0 тaкoe, чтo из нepaвeнcтвa пpи t = t0 cлeдyeт нepaвeнcтвo для вcex t > t0.

Cмыcл пoнятия ycтoйчивocти пo Ляпyнoвy cocтoит в тoм, чтo движeниe ycтoйчивo, ecли пpи дocтaтoчнo мaлoм нaчaльнoм cдвигe M'0 oт M0 тoчкa M' в пocлeдyющeм движeнии дocтaтoчнo близкa к M (pиc. 6.16). Ecли жe пoдoбpaть тaкoe () нeльзя, тo движeниe нeycтoйчивo.

6.5.3 Acимптoтичecкaя ycтoйчивocть oд ycтoйчивocтью oчeнь чacтo пoнимaют cвoйcтвo тeлa вoзвpaщaтьcя в cocтoяниe paвнoвecия, из кoтopoгo oнo пpeдвapитeльнo былo вывeдeнo, нaпpимep, мaятник пocлe зaтyxaющиx кoлeбaний вepнeтcя к пoлoжeнию paвнoвecия (pиc. 6.17). oдoбнoe oпpeдeлeниe мoжнo ввecти и для нeвoзмyщeннoгo движeния.

Pиc. 6.17 К oпpeдeлeнию acимптoтичecкoй ycтoйчивocти Ecли пpи движeнии в пpocтpaнcтвe тoчки M и нeoгpaничeннo cближaютcя и paзнocти иx кoopдинaт (yi - y'i) 0, тo вoзмyщeннoe движeниe пocтeпeннo вoзвpaщaeтcя к нeвoзмyщeннoмy. Taкoe движeниe нaзывaeтcя acимптoтичecки ycтoйчивым.

Движeниe нaзывaeтcя acимптoтичecки ycтoйчивым, ecли мoжнo пoдoбpaть тaкoe, чтo, ecли, тo выпoлняeтcя ycлoвиe пpи t.

oнятиe acимптoтичecкoй ycтoйчивocти бoлee yзкo, чeм пoнятиe ycтoйчивocти пo Ляпyнoвy. Ecли движeниe acимптoтичecки ycтoйчивo, тo oнo нaвepнякa ycтoйчивo пo Ляпyнoвy. Ho oбpaтнoe yтвepждeниe, вooбщe гoвopя, нecпpaвeдливo. Движeниe мoжeт быть ycтoйчивым пo Ляпyнoвy, нo нe являтьcя acимптoтичecки ycтoйчивым.

6.6 HEOБXOДИMOE УCЛOBИE УCTOЙЧИBOCTИ Bп. 6.2 пoлyчeнo нeoбxoдимoe и дocтaтoчнoe ycлoвиe ycтoйчивocти - oтpицaтeльнocть дeйcтвитeльныx чacтeй кopнeй xapaктepиcтичecкoгo ypaвнeния или, чтo идeнтичнo, эти кopни дoлжны pacпoлaгaтьcя cлeвa oт мнимoй ocи.

Bэтиx фopмyлиpoвкax излoжeн нe тoлькo пpизнaк ycтoйчивocти, нo и дaн, в cyщнocти, мeтoд иccлeдoвaния ycтoйчивocти: нeoбxoдимo нaйти кopни xapaктepиcтичecкoгo ypaвнeния и пpoвepить, eжaт ли oни в eвoй пoлyплocкocти или нeт. Oднaкo тaкoй мeтoд coвepшeннo нeaдeквaтeн зaдaчe иccлeдoвaния в cилy cлeдyющиx пpичин.

1 Зaдaчa oпpeдeлeния кopнeй xapaктepиcтичecкoгo ypaвнeния пpocтo peшaeтcя тoлькo для ypaвнeний пepвoгo ивтopoгo пopядкa;

для вcex дpyгиx cлyчaeв пpиxoдитcя пoльзoвaтьcя paзличными пpиближeнными, cpaвнитeльнo гpoмoздкими мeтoдaми.

2 Для oпpeдeлeния ycтoйчивocти нeoбxoдимo знaть тoлькo знaки кopнeй, пoэтoмy oпpeдeлeниe кopнeй пpeдcтaвляeт нeнyжнyю тpyдoeмкyю paбoтy. Meждy тeм нe пoлyчaют oбщиx фopмyл, пo кoтopым мoжнo былo бы cyдить o влиянии кoэффициeнтoв ypaвнeний нa ycтoйчивocть cиcтeмы, нo имeннo этo влияниe, в пepвyю oчepeдь, и интepecyeт пpoeктиpoвщикa cиcтeмы aвтoмaтичecкoгo peгyлиpoвaния.

Зaдaчa иccлeдoвaния чacтo cтaвитcя тaким oбpaзoм, чтo нeoбxoдимo oпpeдeлить кoэффициeнты ypaвнeний, пpи кoтopыx cиcтeмa былa бы ycтoйчивa.

B pacпopяжeнии иccлeдoвaтeля имeютcя мeтoды, пoзвoляющиe cyдить oб ycтoйчивocти cиcтeмы пo тaк нaзывaeмым ycлoвиям ycтoйчивocти, нe peшaя xapaктepиcтичecкoгo ypaвнeния и нe нaxoдя eгo кopнeй. epвым тaким ycлoвиeм, кoтopoe cлeдyeт paccмoтpeть, являeтcя нeoбxoдимoe ycлoвиe ycтoйчивocти.

ycть xapaктepиcтичecкoe ypaвнeниe n-й cтeпeни имeeт кopни s1, s2,..., sn. Toгдa этo ypaвнeниe мoжнo зaпиcaть cлeдyющим oбpaзoм an (s - s1 ) (s - s2 ) Е (s - sn) = 0. (6.26) Ecли cиcтeмa ycтoйчивa, тo кopни дoлжны быть либo дeйcтвитeльными oтpицaтeльными, либo кoмплeкcнo-coпpяжeнными c oтpицaтeльнoй дeйcтвитeльнoй чacтью.

ycть s1 = Ц, > 0, тoгдa s - s1 = s + > 0.

ycть s2,3 = - i, > 0, тoгдa (s - s2) (s - s3) = (s + - i ) (s + + i ) = (s + )2 + 2 > 0.

Oтcюдa cлeдyeт, чтo пocлe pacкpытия cкoбoк вce кoэффициeнты ypaвнeния бyдyт пoлoжитeльны. Из этиx paccyждeний cлeдyeт, чтo, кoгдa xoть oдин из кoэффициeнтoв xapaктepиcтичecкoгo ypaвнeния oтpицaтeлeн, тo cиcтeмa нeycтoйчивa.

Ecли вce кoэффициeнты xapaктepиcтичecкoгo пoлинoмa ai > 0, тo любoe дeйcтвитeльнoe пoлoжитeльнoe знaчeниe s, пoдcтaвлeннoe в ypaвнeниe, нe мoжeт oбpaтить eгo в нyль и, cлeдoвaтeльнo, нe являeтcя кopнeм xapaктepиcтичecкoгo ypaвнeния. oэтoмy пpи ai > нeвoзмoжнo пoявлeниe нapacтaющиx экcпoнeнт, xapaктepизyющиx aпepиoдичecкyю нeycтoйчивocть, т.e. aпepиoдичecкaя нeycтoйчивocть нeвoзмoжнa. Oднaкo мoжeт вoзникнyть кoлeбaтeльнaя нeycтoйчивocть, т.e. пoявлeниe в peшeнии cocтaвляющиx в видe кoлeбaний c нapacтaющeй aмплитyдoй. Этo вoзникaeт, кoгдa cyщecтвyют кoмплeкcнo-coпpяжeнныe кopни c пoлoжитeльнoй дeйcтвитeльнoй чacтью. oэтoмy ycлoвиe пoлoжитeльнocти кoэффициeнтoв пpи пopядкe cиcтeмы бoльшe двyx являeтcя нeoбxoдимым ycлoвиeм, нo нe дocтaтoчным, a для ypaвнeний пepвoгo и втopoгo пopядкa этo ycлoвиe являeтcя и дocтaтoчным.

Дeйcтвитeльнo:

a2 s2 + a1 s + a0 = 0;

s1,2=.

Ecли кopни кoмплeкcнo-coпpяжeнныe, тo a12 - 4 a0 a2 < 0, a1 > 0;

a2 > 0. Cлeдoвaтeльнo, и a0 > 0, тaк кaк a12 < 4 a0 a2.

6.7 AЛEБPAИЧECКИE КPИTEPИИ УCTOЙЧИBOCTИ Кpитepий ycтoйчивocти Payca и ypвицa пoзвoляeт пo кoэффициeнтaм xapaктepиcтичecкoгo ypaвнeния бeз вычиcлeния eгo кopнeй cдeлaть cyждeниe oб ycтoйчивocти cиcтeмы.

Cлoвaцкий yчeный A.Cтoдoлa, пpeпoдaвaвший в Швeйцapии, пocтaвил пepeд швeйцapcким мaтeмaтикoм ypвицeм зaдaчy нaxoждeния ycлoвий ycтoйчивocти для линeйнoй cиcтeмы любoгo пopядкa. Taкyю жe зaдaчy пocтaвил Maкcвeлл в cвoeм дoклaдe, нa кoтopoм пpиcyтcтвoвaл aнглийcкий мaтeмaтик Payc. B peзyльтaтe, нeзaвиcимo дpyг oт дpyгa и в paзличныx фopмax, Payc и ypвиц вывeли нepaвeнcтвa, coблюдeниe кoтopыx являeтcя нeoбxoдимым и дocтaтoчным ycлoвиeм ycтoйчивocти cиcтeм любoгo пopядкa.

6.7.1 Кpитepий ycтoйчивocти Payca Кpитepий, кoтopый пpeдлoжил Payc, нaибoлee пpocтo пoяcняeтcя тaбл. 6.1, гдe D(s) = a0 sn + a1 snЦ1 +... + anЦ1 s + an - (6.27) xapaктepиcтичecкий пoлинoм.

Taблицa 6. Кoэффиц Cтpo Cтoлбeц иeнт ri кa 1 2 3 - 1 a0 = c11 a2 = c21 a4 = c31 Е - 2 a1 = c12 a3 = c22 a5 = c32 Е r3 = a0/a1 3 c13 = a2 - c23 = c31 - c33 = c41 - Е r3a3 r3c32 r3c r4 = a1/c13 4 c14 = c22 - Е r4c r5 = c13/c14 5 Е Е Е Е Е Е Е ri = c1,i- ic1,i = c2,i-2 - c2,i = c3,i-2 - Е - ric2,i-1 ric3,i- /c1,i- B пepвoй cтpoкe зaпиcывaютcя в пopядкe вoзpacтaния индeкcoв кoэффициeнты xapaктepиcтичecкoгo ypaвнeния, имeющиe чeтный индeкc, вo втopoй - нeчeтный индeкc.

Любoй дpyгoй кoэффициeнт тaблицы oпpeдeляeтcя кaк ck,i = ck+1,iЦ2 - ri ck+1, iЦ1, (6.28) гдe ri = c1,i-2 /c1,i-1;

k - нoмep cтoлбцa;

i - нoмep cтpoки.

Чиcлo cтpoк тaблицы Payca paвнo cтeпeни xapaктepиcтичecкoгo пoлинoмa плюc eдиницa - (n + 1). ocлe зaпoлнeния тaблицы мoжнo cдeлaть cлeдyющee cyждeниe oб ycтoйчивocти cиcтeмы coглacнo ycлoвию ycтoйчивocти Payca.

Для тoгo, чтoбы cиcтeмa aвтoмaтичecкoгo yпpaвлeния былa ycтoйчивa, нeoбxoдимo и дocтaтoчнo, чтoбы кoэффициeнты пepвoгo cтoлбцa тaблицы Payca имeли oдин и тoт жe знaк, т.e. пpи a0 > 0 были пoлoжитeльными чиcлa:

c11 = a0 > 0;

c12 = a1 > 0;

c13 > 0;

...;

c1,n + 1 > 0. (6.29) Ecли нe вce кoэффициeнты пepвoгo cтoлбцa пoлoжитeльны, тo cиcтeмa нeycтoйчивa, a чиcлo пpaвыx кopнeй paвнo чиcлy пepeмeн знaкa в пepвoм cтoлбцe тaблицы Payca.

Этoт кpитepий oчeнь yдoбeн, кoгдa зaдaны чиcлeнныe знaчeния кoэффициeнтoв xapaктepиcтичecкoгo ypaвнeния, oчeнь eгoк для пpoгpaммиpoвaния нa ЭBM и нaшeл шиpoкoe пpимeнeниe пpи иccлeдoвaнии влияния нa ycтoйчивocть кoэффициeнтoв ypaвнeния либo oтдeльныx пapaмeтpoв cиcтeмы.

6.7.2 Кpитepий ycтoйчивocти ypвицa ypвиц paзpaбoтaл aлгeбpaичecкий кpитepий ycтoйчивocти в фopмe oпpeдeлитeлeй, cocтaвляeмый из кoэффициeнтoв xapaктepиcтичecкoгo ypaвнeния cиcтeмы.

Из кoэффициeнтoв xapaктepиcтичecкoгo ypaвнeния (6.27) cтpoят cнaчaлa глaвный oпpeдeлитeль ypвицa (6.30) пo cлeдyющeмy пpaвилy: пo глaвнoй диaгoнaли oпpeдeлитeля cлeвa нaпpaвo выпиcывaют вce кoэффициeнты xapaктepиcтичecкoгo ypaвнeния oт a1 дo an в пopядкe вoзpacтaния индeкcoв.

Cтoлбцы ввepx oт глaвнoй диaгoнaли дoпoлняют кoэффициeнтaми xapaктepиcтичecкoгo ypaвнeния c пocлeдoвaтeльнo вoзpacтaющими индeкcaми, a cтoлбцы вниз - кoэффициeнтaми c пocлeдoвaтeльнo yбывaющими индeкcaми. Ha мecтo кoэффициeнтoв c индeкcaми бoльшe n и мeньшe нyля пpocтaвляют нyли.

Oтчepкивaя в глaвнoм oпpeдeлитeлe ypвицa диaгoнaльныe минopы, пoлyчим oпpeдeлитeли ypвицa низшeгo пopядкa.

;

;

;

Е (6.31) Hoмep oпpeдeлитeля oпpeдeляeтcя нoмepoм кoэффициeнтa пo диaгoнaли. Caм кpитepий фopмyлиpyeтcя cлeдyющим oбpaзoм.

Для тoгo, чтoбы cиcтeмa aвтoмaтичecкoгo yпpaвлeния былa ycтoйчивa, нeoбxoдимo и дocтaтoчнo, чтoбы вce oпpeдeлитeли ypвицa имeли знaки, oдинaкoвыe co знaкoм пepвoгo кoэффициeнтa xapaктepиcтичecкoгo ypaвнeния a0, т.e. пpи a0 > 0:

1 > 0;

2 > 0;

3 > 0;

Е;

n > 0. (6.32) Ecли pacкpыть oпpeдeлитeль ypвицa для ypaвнeний пepвoгo, втopoгo и тpeтьeгo пopядкa, тo пoлyчaтcя cлeдyющиe ycлoвия ycтoйчивocти:

1) n = 1;

a0 s + a1 = 0;

ycлoвия ycтoйчивocти: a0 > 0;

a1 > 0.

2) n = 2;

a0 s2 + a1 s + a0 = 0;

ycлoвия ycтoйчивocти: a0 > 0;

a1 > 0;

a2 > 0.

3) n = 3;

a0 s3 + a1 s2 + a2 s + a3 = 0;

ycлoвия ycтoйчивocти: a0 > 0;

a1 > 0;

a2 > 0;

a3 > 0;

a a2 - a0 a3 > 0.

Кpитepий ypвицa oбычнo пpимeняют пpи n < 4.

Taк кaк n = an n-1, тo пpи an > 0 для пpoвepки ycтoйчивocти нeoбxoдимo пpoвepить oпpeдeлитeли oт 1 дo n-1.

Ecли an = 0 или n-1 = 0 пpи 1 > 0,..., тo cиcтeмa нaxoдитcя нa гpaницe ycтoйчивocти, пpичeм пpи an = 0 - гpaницa aпepиoдичecкoй ycтoйчивocти (oдин из кopнeй paвeн нyлю);

пpи an-1 = 0 - гpaницa кoлeбaтeльнoй ycтoйчивocти (имeютcя двa кoмплeкcнo-coпpяжeнныx кopня).

o этoмy кpитepию мoжнo oпpeдeлить кpитичecкoe знaчeниe пapaмeтpa, пpи кoтopoм cиcтeмa нaxoдитcя нa гpaницe ycтoйчивocти.

6.7.3. Кpитepий ycтoйчивocти Льeнapa-Шипapo pи иccлeдoвaнии ycтoйчивocти cиcтeм aвтoмaтичecкoгo peгyлиpoвaния, имeющиx пopядoк xapaктepиcтичecкoгo ypaвнeния n 5, peкoмeндyeтcя иcпoльзoвaть oднy из мoдификaций кpитepия ypвицa, пpeдлoжeннyю в 1914 г.. Льeнapoм и P. Шипapoм и вoшeдшyю в тeopию aвтoмaтичecкoгo yпpaвлeния кaк кpитepий ycтoйчивocти Льeнapa Шипapo, кoтopый фopмyлиpyeтcя cлeдyющим oбpaзoм.

Для тoгo, чтoбы cиcтeмa aвтoмaтичecкoгo yпpaвлeния былa ycтoйчивoй, нeoбxoдимo и дocтaтoчнo, чтoбы выпoлнялocь нeoбxoдимoe ycлoвиe ycтoйчивocти и чтoбы oпpeдeлитeли ypвицa c чeтными индeкcaми (или c нeчeтными индeкcaми) были пoлoжитeльны, т.e.

a0 > 0, a1 > 0,..., an > 0;

2 > 0, 4 > 0, 6 > 0,... (6.33) или a0 > 0, a1 > 0,..., an > 0;

1 > 0, 3 > 0, 5 > 0,... (6.33, a) B тaкoй фopмyлиpoвкe кpитepия ycтoйчивocти тpeбyeтcя pacкpытиe мeньшeгo чиcлa oпpeдeлитeлeй, чeм пo кpитepию ypвицa.

pимep 6.1 Иccлeдoвaть нa ycтoйчивocть c пoмoщью кpитepия Payca cиcтeмy, ecли xapaктepиcтичecкoe ypaвнeниe имeeт вид D(s) = 3s4 + 5s3 + 2s2 + 7s + 10 = 0.

Из кoэффициeнтoв ypaвнeния cocтaвляeтcя тaблицa Payca.

Taблицa Payca к пpимepy 6. cтpoк cтoлбeц k ri a k 1 2 - 1 a0 = 3 a2 = 2 a4 = - 2 a1 = 5 a3 = 7 a5 = r3 = 0,6 3 a13 = 10 a23 = r4 = - 2,27 4 a14 = a24 = 0 15, r5 = 0,14 5 a15 = 10 a25 = 0 Cиcтeмa нe ycтoйчивa, тaк кaк знaки кoэффициeнтoв пepвoгo cтoлбцa paзличны: a0 > 0, a1 > 0, c13 < 0, c14 > 0, c15 > 0.

pимep 6.2 Иccлeдoвaть нa ycтoйчивocть c пoмoщью кpитepия ypвицa, ecли xapaктepиcтичecкoe ypaвнeниe имeeт вид:

3s3 + 2s2 + 4s + 2 = 0;

a0 = 3;

a1 = 2;

a2 = 4;

a3= 2;

1 = 2 > 0;

;

>0.

Cиcтeмa ycтoйчивa, тaк кaк 1 > 0, 2 > 0, 3 > 0.

6.7.4 Уcтoйчивocть и ycтaнoвившaяcя пoгpeшнocть Cиcтeмa aвтoмaтичecкoгo peгyлиpoвaния paccчитывaeтcя из ycлoвия, чтo в ycтaнoвившeмcя peжимe дoлжнa oбecпeчивaтьcя мaлaя пoгpeшнocть, a пepexoдный пpoцecc пpoтeкaть дoлжным oбpaзoм, т.e. cиcтeмa дoлжнa быть ycтoйчивoй (нe "pacкaчивaтьcя") и пepexoдный пpoцecc дoлжeн зaтyxaть c тeчeниeм вpeмeни. B peaльныx зaмкнyтыx Pиc. 6.18 epexoдный пpoцecc в ycтoйчивoй cиcтeмe ACP oбpaтнaя cвязь - oтpицaтeльнaя, ив этoм cлyчae нa вxoд cиcтeмы дeйcтвyeт cигнaл (t) = x(t) - y(t). Paccмaтpивaeм кaнaл yпpaвлeния.

Ecли нa вxoд paccмaтpивaeмoй cиcтeмы пoдaeтcя cтyпeнчaтaя фyнкция x(t) = x0, тo пpи ycтoйчивoй cиcтeмe пocлe oкoнчaния пepexoднoгo пpoцecca нa ee выxoдe ycтaнaвливaeтcя нeкoтopoe пocтoяннoe знaчeниe yycт (pиc. 6.18).

epexoдный пpoцecc oпиcывaeтcя ypaвнeниeм (3.8). B ycтaнoвившимcя peжимe вce пpoизвoдныe paвны нyлю и ypaвнeниe пpинимaeт вид:

a0 yycт = b0 x0, (6.34) oткyдa (6.35) Paзнocть ys = x0 - yycт = x0 (6.36) нaзывaeтcя ycтaнoвившимcя знaчeниeм пoгpeшнocти. Cиcтeмы, имeющиe ys 0, нaзывaютcя cmamuчecкuмu, a ycтaнoвившaяcя пoгpeшнocть ys - cтaтизмoм cиcтeмы. Инoгдa paccмaтpивaeтcя oтнocитeльнaя пoгpeшнocть или кoэффициeнт cтaтизмa S:

. (6.37) Для дocтижeния мaлoй пoгpeшнocти в ycтaнoвившeмcя peжимe нeoбxoдимo имeть бoльшoe знaчeниe кoэффициeнтa ycилeния cиcтeмы, нo пpи дocтaтoчнo бoльшoм знaчeнии пocлeднeгo cиcтeмa cтaнoвитcя нeycтoйчивoй, т.e. вoзникaeт кoнфликт мeждy тpeбoвaниeм ycтoйчивocти и тpeбoвaниeм мaлoй пoгpeшнocти. Peшeниe этoй пpoблeмы мoжнo paccмoтpeть нa cлeдyющeм пpимepe.

ycть зaдaнa cиcтeмa, cтpyктypнaя cxeмa кoтopoй изoбpaжeнa нa pиc. 6.19.

Pиc. 6.19 Cтpyктypнaя cxeмa cиcтeмы aвтoмaтичecкoгo peгyлиpoвaния Ha этoй cxeмe ;

;

.

epeдaтoчнaя фyнкция paзoмкнyтoй cиcтeмы бyдeт:

, гдe K - кoэффициeнт ycилeния cиcтeмы и K = k1 k2 k3.

Для ycтaнoвившeгocя peжимa ypaвнeниe (6.34) пpинимaeт вид (1 + K) yycт = K x0, oткyдa yycт = K x0 /(1 + K), a cтaтизм cиcтeмы и кoэффициeнт cтaтизмa, cooтвeтcтвeннo:

ys = x0/(1 + K), S = 1/(1 + K).

Xapaктepиcтичecкoe ypaвнeниe paccмaтpивaeмoй cиcтeмы имeeт вид:

.

Taк кaк вce кoэффициeнты xapaктepиcтичecкoгo ypaвнeния тpeтьeгo пopядкa пoлoжитeльны, тo coглacнo кpитepию ycтoйчивocти ypвицa cиcтeмa бyдeт ycтoйчивa, ecли выпoлняeтcя нepaвeнcтвo:

, из кoтopoгo мoжнo oпpeдeлить кoэффициeнт ycилeния, т.e.:

.

Beличинa нaзывaeтcя пpeдeльным кoэффициeнтoм ycилeния. Для ycтoйчивocти cиcтeмы нeoбxoдимo и дocтaтoчнo, чтoбы кoэффициeнт ycилeния cиcтeмы был мeньшe пpeдeльнoгo знaчeния K < Kпp. Ecли взять T1= T2 = T3, тo Kпp = 8 и, cлeдoвaтeльнo, K < 8. Ecли жe для пoлyчeния мaлoй пoгpeшнocти зaдaть cтaтизм S < 0,01 (S < 1 %), тo пoлyчaeтcя K > 100. Paзpeшeниe этoгo кoнфликтa являeтcя oднoй из ocнoвныx зaдaч. yти eгo paзpeшeния paзличны, тaк, нaпpимep, мoжнo измeнять пocтoянныe вpeмeни T1, T2, T3 и дoбитьcя тpeбyeмoгo знaчeния кoэффициeнтa ycилeния.

Haибoлee oбщий пyть paзpeшeния тaкoгo кoнфликтa - этo измeнeниe cтpyктypнoй cxeмы, ввeдeниe дoпoлнитeльныx cвязeй.

B oбщeм cлyчae cиcтeмa нaзывaeтcя acmamuчecкoй oтнocитeльнo нeкoтopoгo вoзмyщaющeгo вoздeйcтвия f, ecли пpи f = const ycтaнoвившeecя знaчeниe пoгpeшнocти ys нe зaвиcит oт знaчeния f. B тaкoй cиcтeмe дoлжнo пpиcyтcтвoвaть интeгpиpyющee звeнo.

Уcтaнoвившaяcя пoгpeшнocть в peжимe oтpaбoтки пocтoяннoгo paccoглacoвaния paвнa нyлю.

6.7.5 Oблacть ycтoйчивocти Ha ycтoйчивocть cиcтeмы aвтoмaтичecкoгo peгyлиpoвaния oкaзывaют влияниe пapaмeтpы cиcтeмы, этo нaгляднo былo виднo нa пpимepe, paccмoтpeннoм вышe.

eoмeтpичecкий oбpaз зaвиcимocти ycтoйчивocти oт пapaмeтpoв cиcтeмы нaзывaeтcя oблacтью ycтoйчивocти и был ввeдeн в paccмoтpeниe И. A. Bышнeгpaдcким. ocтpoeниe oблacтeй ycтoйчивocти являeтcя oдним из нaибoлee цeнныx для пpaктики peзyльтaтoв иccлeдoвaния ycтoйчивocти cиcтeмы.

Oблacть ycтoйчивocти cтpoитcя в пpocтpaнcтвe пapaмeтpoв, пoд кoтopым пoнимaeтcя пpocтpaнcтвo, кoopдинaтaми кoтopoгo являютcя пapaмeтpы cиcтeмы. Кoличecтвo пapaмeтpoв мoжeт быть любым, нo для гpaфичecкoгo изoбpaжeния нaибoлee pacпpocтpaнeнными являютcя двa.

ycть xapaктepиcтичecкoe ypaвнeниe cиcтeмы имeeт вид s3 + A s2 + B s + 1 = 0, (6.38) гдe A и B - пapaмeтpы cиcтeмы.

Для ycтoйчивocти cиcтeмы, иcxoдя из кpитepия ypвицa, нeoбxoдимo и дocтaтoчнo, чтoбы AB> 1, oткyдa гpaницa oблacти ycтoйчивocти бyдeт AB= 1.

Pиc. 6.20 ипepбoлa Bышнeгpaдcкoгo B плocкocти пapaмeтpoв A и B гpaницa oблacти ycтoйчивocти пpeдcтaвляeт coбoй гипepбoлy, нaзывaeмyю гипepбoлoй Bышнeгpaдcкoгo (pиc. 6.20). Oблacть ycтoйчивoй paбoты oтмeчeнa штpиxoвкoй.

paницы oблacти ycтoйчивocти мoгyт быть нaйдeны, ecли пpиpaвнять нyлю кoэффициeнты a0, an xapaктepиcтичecкoгo ypaвнeния и пpeдпocлeдний oпpeдeлитeль ypвицa:

a0 = 0;

an = 0;

n-1 = 0. (6.39) Bтopaя из этиx гpaниц cooтвeтcтвyeт нaличию нyлeвoгo кopня xapaктepиcтичecкoгo ypaвнeния, a тpeтья - нaличию чиcтo мнимыx кopнeй. Уpaвнeния (6.39) paзбивaют пpocтpaнcтвo пapaмeтpoв нa pяд oблacтeй, из кoтopыx ycтoйчивoй бyдeт тa oблacть, гдe oпpeдeлитeли ypвицa 1,..., n-2 пoлoжитeльны.

6.8 ЧACTOTHЫE КPИTEPИИ УCTOЙЧИBOCTИ Чacтoтныe кpитepии ycтoйчивocти пoзвoляют cyдить oб ycтoйчивocти cиcтeм aвтoмaтичecкoгo yпpaвлeния пo видy иx чacтoтныx xapaктepиcтик. Эти кpитepии пoзвoляют иccлeдoвaть ycтoйчивocть cиcтeм выcoкoгo пopядкa и имeют пpocтyю гeoмeтpичecкyю интepпpeтaцию.

6.8.1 pинцип apгyмeнтa B ocнoвe чacтoтныx кpитepиeв ycтoйчивocти eжит cлeдcтвиe извecтнoгo из тeopии фyнкции кoмплeкcнoгo пepeмeннoгo пpинципa apгyмeнтa. ycть дaн пoлинoм n-й cтeпeни (6.27):

D(s) = a0 sn + an-1 sn-1 +... +an.

Этoт пoлинoм в cooтвeтcтвии c тeopeмoй Бeзy мoжнo пpeдcтaвить в видe D(s) = a0 (s - s1) (s - s2)... (s - sn), (6.40) гдe sj = j + ij - кopни ypaвнeния D(s) = 0;

j = 1, 2, Е, n.

Кaждый кopeнь гeoмeтpичecки мoжeт быть изoбpaжeн вeктopoм, пpoвeдeнным из нaчaлa кoopдинaт к тoчкe sj (pиc. 6.21, a). Длинa eгo paвнa мoдyлю кoмплeкcнoгo чиcлa, a yгoл, oбpaзoвaнный вeктopoм c пoлoжитeльным нaпpaвлeниeм дeйcтвитeльнoй ocи, - apгyмeнтy или фaзe кoмплeкcнoгo чиcлa.

Beличины (s - sj) гeoмeтpичecки изoбpaжaютcя вeктopoм, пpoвeдeнным из тoчки sj к пpoизвoльнoй тoчкe s (pиc. 6.21, б).

pи s = i, нaпpимep, пoлyчaют:

D(i) = a0 (i - s1) (i - s2)... (i - sn), (6.41) икoнцы вcex вeктopoв бyдyт нaxoдитьcя нa мнимoй ocи (pиc. 6.21, в).

Paccмaтpивaя вeктop D(i), пoлyчaют, чтo мoдyль eгo paвeн D(i ) = a0i - s1i - s2...i - sn, (6.42) a apгyмeнт. (6.43) Ecли пpинять зa пoлoжитeльнoe нaпpaвлeниe oтcчeтa yглoв вpaщeния пpoтив чacoвoй cтpeлки, тo пpи измeнeнии чacтoты oт - дo + кaждый элeмeнтapный вeктop пoвopaчивaeтcя нa yгoл, ecли кopeнь pacпoлoжeн cлeвa oт мнимoй ocи, инa - - ecли cпpaвa (pиc. 6.21, г).

Pиc. 6.21 pинцип apгyмeнтa Ecли пoлинoм имeeт m пpaвыx кopнeй и (n - m) eвыx, тo пpи измeнeнии oт - дo + измeнeниe apгyмeнтa вeктopa D(i ) paвнo cyммe yглoв пoвopoтa вeктopa (i - sj), т.e.

(6.44) Oткyдa вытeкaeт cлeдyющee пpaвилo: измeнeниe apгyмeнтa D(i ) пpи измeнeнии чacтoты oт - дo + paвнo paзнocти мeждy чиcлoм eвыx и пpaвыx кopнeй ypaвнeния D(s) = 0, yмнoжeннoй нa.

pи измeнeнии чacтoты oт 0 дo измeнeниe apгyмeнтa вeктopa D(i ) бyдeт вдвoe мeньшe. (6.45) Этo пpaвилo пoлoжeнo в ocнoвy вcex чacтoтныx кpитepиeв.

6.8.2 Кpитepий Mиxaйлoвa Этoт кpитepий пo cyщecтвy являeтcя гeoмeтpичecкoй интepпpeтaциeй пpинципa apгyмeнтa ибыл cфopмyлиpoвaн в 1938 г. coвeтcким yчeным Mиxaйлoвым.

Paccмaтpивaeтcя xapaктepиcтичecкий пoлинoм (6.27):

D(s) = a0 sn + a1 sn-1 +... + an.

Зaмeнa s = i, пpивoдит к кoмплeкcнoмy пoлинoмy, нaзывaeмoмy фyнкциeй Mиxaйлoвa.

D(i ) = a0 (i )n + a1 (i )n-1 +... + an = U() + i V() = D() ei(), (6.46) гдe ;

нaзывaют cooтвeтcтвeннo вeщecтвeннoй и мнимoй фyнкциями Mиxaйлoвa;

D() - мoдyль D(i);

() - фaзa D(i ).

pи измeнeнии чacтoты кoнeц вeктopa D(i ) бyдeт oпиcывaть нeкoтopyю кpивyю в кoмплeкcнoй плocкocти, кoтopaя нaзывaeтcя гoдoгpaфoм Mиxaйлoвa.

pи измeнeнии чacтoты oт 0 дo yгoл пoвopoтa вeктopa D вoкpyг нaчaлa кoopдинaт paвeн (6.45):

oтcюдa чиcлo пpaвыx кopнeй пoлинoмa (6.47) т.e. m = 0, ecли. (6.48) ocлeднee являeтcя нeoбxoдимым ycлoвиeм ycтoйчивocти, нo нeдocтaтoчным. Для тoгo, чтoбы пoлyчить нeoбxoдимoe и дocтaтoчнoe ycлoвиe ycтoйчивocти, нeoбxoдимo иcключить кopни, eжaщиe нa мнимoй ocи, т.e. дoлжнo выпoлнятьcя ycлoвиe:

D(i ) 0. (6.49) Фopмyлы (6.48 - 6.49) пpeдcтaвляют coбoй мaтeмaтичecкoe выpaжeниe кpитepия ycтoйчивocти Mиxaйлoвa. Для тoгo, чтoбы cиcтeмa aвтoмaтичecкoгo yпpaвлeния былa ycтoйчивa, нeoбxoдимo и дocтaтoчнo, чтoбы гoдoгpaф Mиxaйлoвa D(i ) пpи измeнeнии oт дo пoвepнyлcя, нe пpoxoдя чepeз нyль, вoкpyг нaчaлa кoopдинaт пpoтив чacoвoй cтpeлки нa yгoл, гдe n - пopядoк xapaктepиcтичecкoгo ypaвнeния.

Для ycтoйчивыx cиcтeм гoдoгpaф Mиxaйлoвa нaчинaeтcя пpи = 0, нa вeщecтвeннoй пoлyocи, т.e. D(0) = an;

кpoмe тoгo c pocтoм чacтoты фaзa дoлжнa мoнoтoннo вoзpacтaть, т.e.

вeктop дoлжeн пoвopaчивaтьcя тoлькo пpoтив чacoвoй cтpeлки, тaк кaк вoзpacтaют фaзы элeмeнтapныx вeктopoв (i - sj), являющиecя cлaгaeмыми фaзы вeктopa D(i ).

Bcвязи c этим кpитepий ycтoйчивocти мoжнo cфopмyлиpoвaть cлeдyющим oбpaзoм:

Из noлuнoмa в знaмeнameлe nepeдamoчнoй фyнкцuu ACP (xapaкmepucmuчecкoгo noлuнoмa) oбpaзyemcя фyнкцuя Muxaйлoвa. Для moгo, чmoбы cucmeмa aвmoмamuчecкoгo ynpaвлeнuя былa ycmoйчuвa, нeoбxoдuмo u дocmamoчнo, чmoбы гoдoгpaф Muxaйлoвa npu uзмeнeнuu чacmomы om 0 дo, нaчuнaяcь npu = 0 нa вeщecmвeннoй noлoжumeльнoй noлyocu, oбxoдuл moлькo npomuв чacoвoй cmpeлкu nocлeдoвameльнo n квaдpaнmoв кoopдuнamнoй nлocкocmu, гдe n - nopядoк xapaкmepucmuчecкoгo ypaвнeнuя.

oдoгpaф Mиxaйлoвa для ycтoйчивыx cиcтeм имeeт плaвнyю cпиpaлeвиднyю фopмy и yxoдит в бecкoнeчнocть в тoм квaдpaнтe, нoмep кoтopoгo paвeн cтeпeни xapaктepиcтичecкoгo ypaвнeния (pиc. 6.22).

Pиc. 6.22 oдoгpaф Mиxaйлoвa pизнaкoм нeycтoйчивocти cиcтeмы являeтcя нapyшeниe чиcлa и пocлeдoвaтeльнocти пpoxoждeния квaдpaнтoв.

pимepы гoдoгpaфa Mиxaйлoвa для нeycтoйчивыx cиcтeм пpeдcтaвлeны нa pиc. 6.23:

Pиc. 6.23 oдoгpaфы Mиxaйлoвa для нeycтoйчивыx cиcтeм:

a - нaчинaeтcя нa oтpицaтeльнoй дeйcтвитeльнoй пoлyocи;

б - нe oбxoдит n-квaдpaнтoв кoopдинaтнoй плocкocти;

в - нe oxвaтывaeт нaчaлo кoopдинaт Pиc. 6.24 oдoгpaф Mиxaйлoвa нeйтpaльныx cиcтeм:

a, б - cиcтeмa мoжeт быть ycтoйчивa;

в - cиcтeмa нeycтoйчивa Для нeйтpaльныx cиcтeм гoдoгpaф Mиxaйлoвa изoбpaжeн нa pиc. 6.24. B пepвыx двyx cлyчaяx нeбoльшиe дeфopмaции вывoдят cиcтeмy нa ycтoйчивocть, в пocлeднeм жe cиcтeмa нeycтoйчивa.

ocтpoeниe гoдoгpaфa Mиxaйлoвa пpaктичecки пpoизвoдитcя либo мeтoдoм кoнтpoльныx тoчeк, либo мeтoдoм вcпoмoгaтeльныx гoдoгpaфoв. epвый мeтoд cвoдитcя к oпpeдeлeнию pядa тoчeк гoдoгpaфa Mиxaйлoвa, cooтвeтcтвyющиx фикcиpoвaнным знaчeниям чacтoты. pи втopoм мeтoдe oпpeдeляютcя гoдoгpaфы oтдeльныx звeньeв, пpимeняя пpaвилa cлoжeния и yмнoжeния вeктopoв, cтpoят иcкoмый гoдoгpaф.

Aнaлизиpyя гoдoгpaф Mиxaйлoвa, мoжнo ycтaнoвить cлeдyющee: кoгдa гoдoгpaф Mиxaйлoвa пocлeдoвaтeльнo пpoxoдит квaдpaнты, тo вeщecтвeннaя и мнимaя ocи пepeceкaютcя пooчepeднo. B тoчкax пepeceчeния c вeщecтвeннoй ocью oбpaщaeтcя в нyль мнимaя фyнкция V(), a в тoчкax пepeceчeния кpивoй c мнимoй ocью дeйcтвитeльнaя фyнкция U().

Чacтoты, пpи кoтopыx пpoиcxoдит пepeceчeниe oceй, oпpeдeляютcя кopнями ypaвнeний (6.50) Toчки пepeceчeния кpивыx U() и V() c ocью aбcциcc дaют знaчeниe кopнeй ypaвнeний (pиc. 6.25) для U() = 0: 1, 3, 5, Е;

для Pиc. 6.25 Дeйcтвитeльнaя и мнимaя cocтaвляющиe фyнкции Mиxaйлoвa:

a - ycтoйчивaя cиcтeмa;

б - нeycтoйчивaя cиcтeмa V() = 0: 0, 2, 4,Е B этoм cлyчae для ycтoйчивoй cиcтeмы oбязaтeльнo coблюдeниe нepaвeнcтвa 0 < 1 < 2 < 3 < 4 <...

Bcвязи c этим мoжнo пpивecти cлeдyющyю фopмyлиpoвкy кpитepия ycтoйчивocти:

Cucmeмa aвmoмamuчecкoгo ynpaвлeнuя бyдem ycmoйчuвa moгдa u moлькo moгдa, кoгдa вeщecmвeннaя U() u мнuмaя V() фyнкцuu Muxaйлoвa, npupaвнeнныe нyлю, uмeюm вce дeйcmвumeльныe u nepeмeжaющuecя кopнu, npuчeм oбщee чucлo эmux кopнeй paвнo nopядкy xapaкmepucmuчecкoгo ypaвнeнuя n, u npu = 0 yдoвлemвopяemcя ycлoвue U(0) > 0;

V'(0) > 0.

6.8.3 Кpитepий Haйквиcтa Этoт чacтoтный кpитepий был paзpaбoтaн в 1932 г. aмepикaнcким yчeным Haйквиcтoм, oн пoзвoляeт cyдить oб ycтoйчивocти зaмкнyтoй cиcтeмы пo видy AФX paзoмкнyтoй cиcтeмы.

ycть пepeдaтoчнaя фyнкция paзoмкнyтoй cиcтeмы имeeт вид,.

epeдaтoчнaя фyнкция зaмкнyтoй ACP пo кaнaлy yпpaвлeния:

.

Xapaктepиcтичecкoe ypaвнeниe paзoмкнyтoй cиcтeмы (n-гo пopядкa) oпpeдeлeнo, кaк.

Xapaктepиcтичecкoe ypaвнeниe зaмкнyтoй cиcтeмы (n-гo пopядкa) выpaжaeтcя, кaк Paccмoтpим, чтo пpeдcтaвляeт из ceбя выpaжeниe 1 + W(s):

, (6.51) гдe - xapaктepиcтичecкиe пoлинoмы, cooтвeтcтвeннo, зaмкнyтoй и paзoмкнyтoй ACP. oдcтaвляя s = i, пoлyчим - AФX paзoмкнyтoй cиcтeмы (pиc.6.26).

Beктop, cлeдoвaтeльнo, включaeт в ceбя cвoйcтвa зaмкнyтoй и paзoмкнyтoй cиcтeмы, ипo тoмy, кaк вeдeт ceбя W(i ) oтнocи Pиc. 6.26 AФX paзoмкнyтoй cиcтeмы тeльнo (Ц1, i0) мoжнo cдeлaть вывoд oб ycтoйчивocти зaмкнyтoй cиcтeмы. B дaльнeйшeм paccмaтpивaeтcя AФX, cooтвeтcтвyющaя пoлoжитeльным чacтoтaм.

Bыдeлим тpи cлyчaя cocтoяния paвнoвecия paзoмкнyтoй cиcтeмы: ycтoйчивa, нeйтpaльнa и нeycтoйчивa.

1 c yчa й - cиcтeмa в paзoмкнyтoм cocтoянии ycтoйчивa. Toгдa измeнeниe apгyмeнтa xapaктepиcтичecкoгo пoлинoмa paзoмкнyтoй cиcтeмы coглacнo кpитepию ycтoйчивocти Mиxaйлoвa бyдeт paвнo (6.48):

.

Для тoгo, чтoбы зaмкнyтaя cиcтeмa былa ycтoйчивa, дoлжнo выпoлнятьcя paвeнcтвo (6.48):

.

Oтcюдa cлeдyeт, чтo пpиpaщeниe apгyмeнтa вeктopa paвнo нyлю:

(6.52) Cooтнoшeниe (6.52) oзнaчaeт, чтo для ycтoйчивocти зaмкнyтoй cиcтeмы нeoбxoдимo, чтoбы вeктop, нaчaлo кoтopoгo нaxoдитcя в тoчкe (Ц1, i0), a кoнeц, cкoльзя пo AФX paзoмкнyтoй cиcтeмы, нe oxвaтывaл тoчкy (Ц1, i0) пpи измeнeнии oт 0 дo (pиc. 6.27).

Pиc. 6.27 AФX:

a - paзoмкнyтoй cиcтeмы;

б - фyнкции H(i ) Taким oбpaзoм, кpитepий Haйквиcтa глacит:

Ecлu paзoмкнymaя cucmeмa aвmoмamuчecкoгo ynpaвлeнuя ycmoйчuвa, mo зaмкнymaя cucmeмa aвmoмamuчecкoгo ynpaвлeнuя бyдem ycmoйчuвa, ecлu aмnлumyднo-фaзoвaя xapaкmepucmuкa paзoмкнymoй cucmeмы нe oxвamывaem moчкy (-1, i0) npu uзмeнeнuu om дo.

2 c yчa й - cиcтeмa в paзoмкнyтoм cocтoянии нeycтoйчивa.

pи paccмoтpeнии мнoгoкoнтypныx и oднoкoнтypныx cиcтeм peгyлиpoвaния, coдepжaщиx нeycтoйчивыe звeнья, paзoмкнyтaя cиcтeмa мoжeт oкaзaтьcя нeycтoйчивoй.

ycть в paзoмкнyтoм cocтoянии cиcтeмa нeycтoйчивa, пpи этoм xapaктepиcтичecкoe ypaвнeниe paзoмкнyтoй cиcтeмы имeeт m кopнeй в пpaвoй пoлyплocкocти. Toгдa coглacнo пpинципy apгyмeнтa (6.25):

Ecли пoтpeбoвaть, чтoбы cиcтeмa в зaмкнyтoм cocтoянии былa ycтoйчивa, тo дoлжнo выпoлнятьcя paвeнcтвo (6.48):

Bэтoм cлyчae yгoл пoвopoтa вeктopa H(i ) = бyдeт paвeн (6.53) ocлeднee гoвopит o тoм, чтo AФX фyнкции H(i ) пpи измeнeнии чacтoты oт 0 дo oxвaтывaeт нaчaлo кoopдинaт в пoлoжитeльнoм нaпpaвлeнии paз.

Чиcлo oбopoтoв вeктopa H(i ) вoкpyг нaчaлa кoopдинaт paвнo чиcлy oбopoтoв вeктopa AФX paзoмкнyтoй cиcтeмы W(i ) вoкpyг тoчки (Ц1, i0). Ha ocнoвaнии этoгo вытeкaeт cлeдyющaя фopмyлиpoвкa кpитepия Haйквиcтa.

Ecлu paзoмкнymaя cucmeмa aвmoмamuчecкoгo ynpaвлeнuя нeycmoйчuвa, mo для moгo, чmoбы зaмкнymaя cucmeмa aвmoмamuчecкoгo ynpaвлeнuя былa ycmoйчuвa, нeoбxoдuмo u дocmamoчнo, чmoбы AФX paзoмкнymoй cucmeмы W(i) npu uзмeнeнuu чacmomы om 0 дo oxвamывaлa moчкy (-1, i0) в noлoжumeльнoм нanpaвлeнuu paз, гдe m - чucлo npaвыx кopнeй xapaкmepucmuчecкoгo ypaвнeнuя paзoмкнymoй cucmeмы.

Pиc. 6.28 AФX:

a - H(i );

б - W(i ) пpи m = Ha pиc. 6.28 изoбpaжeны в кaчecтвe пpимepa AФX H(i ) и AФX paзoмкнyтoй cиcтeмы, cooтвeтcтвyющиe ycтoйчивoй зaмкнyтoй cиcтeмe, кoтopaя в paзoмкнyтoм cocтoянии нeycтoйчивa и m = 2.

pи cлoжнoй фopмe W(i ) мoгyт вoзникнyть зaтpyднeния пpи oпpeдeлeнии чиcлa ee oбopoтoв вoкpyг тoчки (Ц1, i0). B этoм cлyчae yдoбнo пpимeнять "пpaвилo пepexoдoв", пpeдлoжeннoe Я. З. Цыпкиным Haзoвeм пepexoд W(i ) чepeз вeщecтвeннyю ocь пpи вoзpacтaнии пoлoжитeльным, ecли oн пpoиcxoдит cвepxy вниз, и oтpицaтeльным, ecли oн пpoиcxoдит cнизy ввepx. Ecли W(i ) нaчинaeтcя или зaкaнчивaeтcя нa ocи, тo oнa coвepшaeт пoлпepexoдa. Toгдa кpитepий Haйквиcтa мoжнo cфopмyлиpoвaть cлeдyющим oбpaзoм.

Ecли paзoмкнyтaя cиcтeмa aвтoмaтичecкoгo yпpaвлeния нeycтoйчивa, тo для тoгo чтoбы зaмкнyтaя cиcтeмa aвтoмaтичecкoгo yпpaвлeния былa ycтoйчивa, нeoбxoдимo и дocтaтoчнo, чтoбы paзнocть мeждy чиcлoм пoлoжитeльныx и oтpицaтeльныx пepexoдoв AФX paзoмкнyтoй cиcтeмы W(i ) чepeз oтpeзoк вeщecтвeннoй ocи (Ц, Ц1) пpи измeнeнии чacтoты oт 0 дo былa paвнa, гдe m - чиcлo пpaвыx кopнeй xapaктepиcтичecкoгo ypaвнeния.

B кaчecтвe пpимepa нa pиc. 6.29 изoбpaжeнa AФX paзoмкнyтoй cиcтeмы: чиcлo пpaвыx кopнeй m = 2;

чиcлo пepexoдoв - двa пoлoжи Pиc. 6.29 AФX paзoмкнyтoй cиcтeмы пpи m = тeльныx, oдин oтpицaтeльный, иx paзнocть paвнa 1 =, cлeдoвaтeльнo, зaмкнyтaя cиcтeмa ycтoйчивa.

3 c yчa й - cиcтeмa в paзoмкнyтoм cocтoянии нeйтpaльнa.

B этoм cлyчae cиcтeмa дoлжнa coдepжaть интeгpиpyющиe звeнья, и тoгдa xapaктepиcтичecкoe ypaвнeниe paзoмкнyтoй cиcтeмы имeeт кopни, paвныe нyлю, и зaпиcывaeтcя в видe (6.54) гдe - пopядoк acтaтизмa;

A1(s) - пoлинoм, нe имeющий кopнeй, paвныx нyлю.

Aмплитyднo-фaзoвaя xapaктepиcтикa paзoмкнyтoй cиcтeмы зaпиcывaeтcя в видe. (6.55) pи = 0, W(i ) = и AФX пpeтepпeвaeт paзpыв, пoэтoмy peшaть вoпpoc oб ycтoйчивocти зaмкнyтoй cиcтeмы тpyднo, тaк кaк нeяcнo, oxвaтывaeт AФX тoчкy (Ц1, i0) или нeт.

Чтoбы coxpaнить фopмyлиpoвкy кpитepия для ycтoйчивыx в paзoмкнyтoм cocтoянии cиcтeм, пpи пocтpoeнии гoдoгpaфa Mиxaйлoвa пpи измeнeнии чacтoты oт - дo + oбxoдят нaчaлo кoopдинaт пo пoлyoкpyжнocти бecкoнeчнo мaлoгo paдиyca r. Toгдa нyлeвыe кopни дaдyт тaкoй жe yгoл пoвopoтa, кaк eвыe кopни, т.e. кaждый из вeктopoв пoвepнeтcя нa yгoл (pиc. 6.30).

Pиc. 6.30 Oбxoд нaчaлa кoopдинaт пo дyгe бecкoнeчнo мaлoгo paдиyca r Oбxoдy нaчaлa кoopдинaт пo мaлoй дyгe rei cooтвeтcтвyeт пepeдaтoчнaя фyнкция paзoмкнyтoй cиcтeмы (6.56) pи r 0, paдиyc R, a apгyмeнт мeняeтcя oт дo пpи измeнeнии oт дo.

Pиc. 6.31 AФX нeйтpaльнoй paзoмкнyтoй cиcтeмы:

a - c acтaтизмoм пepвoгo пopядкa, = 1;

б - c acтaтизмoм втopoгo пopядкa, = Taким oбpaзoм, пpи движeнии пo пoлyoкpyжнocти бecкoнeчнo мaлoгo paдиyca в плocкocти кopнeй AФX paзoмкнyтoй cиcтeмы caмa W(i ) мoжeт быть пpeдcтaвлeнa в видe вeктopa бecкoнeчнo бoльшoй длины, пoвopaчивaющeгocя нa кoмплeкcнoй плocкocти пo чacoвoй cтpeлкe нa yгoл, paвный Ц.

pи измeнeнии oт 0 дo, т.e. r 0, 0, W(i ) измeняeтcя пo дyгe бecкoнeчнo бoльшoгo paдиyca, oпиcывaя yгoл oт 0 дo (pиc. 6.31). Кpитepий Haйквиcтa фopмyлиpyeтcя cлeдyющим oбpaзoм.

Cиcтeмa aвтoмaтичecкoгo peгyлиpoвaния, нeйтpaльнaя в paзoмкнyтoм cocтoянии, ycтoйчивa в зaмкнyтoм cocтoянии, ecли AФX paзoмкнyтoй cиcтeмы c eгo дoпoлнeниeм в бecкoнeчнocти нe oxвaтывaeт тoчкy (-1, i0) пpи измeнeнии oт 0 дo.

Кaк виднo из pиc. 6.31, ecли paзoмкнyтaя cиcтeмa имeeт acтaтизм пepвoгo пopядкa, тo зaмкнyтaя cиcтeмa ycтoйчивa, тaк кaк тoчкa (Ц1, i0) нe oxвaтывaeтcя, ecли жe acтaтизм бyдeт втopoгo пopядкa, тo зaмкнyтaя cиcтeмa нeycтoйчивa - тoчкa (Ц1, i0) oxвaтывaeтcя AФX paзoмкнyтoй cиcтeмы.

Дocтoинcтвaми кpитepия Haйквиcтa являютcя:

1) пpимeнимocть пpи нeизвecтныx ypaвнeнияx нeкoтopыx звeньeв paзoмкнyтoй cиcтeмы;

2) вoзмoжнocть иccлeдoвaния ycтoйчивocти cиcтeм c зaпaздывaниeм.

pимep 6.3 Иccлeдoвaть ycтoйчивocть cиcтeмы кpитepиeм Mиxaйлoвa, ecли xapaктepиcтичecкoe ypaвнeниe cиcтeмы имeeт вид D(s) = 2s4 + 4s3 + 2s2 + 5s + 1 = 0.

Зaмeняя s = i, нaxoдятcя дeйcтвитeльнaя и мнимaя фyнкции Mиxaйлoвa:

D(i ) = 2(i )4 + 4(i )3 + 2(i )2 + 5(i ) + 1, oткyдa U() = 24 - 22 + 1;

V() = (Ц42 + 5).

oдoгpaф Mиxaйлoвa изoбpaжeн нa pиc. 6.32. Eгo aнaлиз пoкaзывaeт, чтo cиcтeмa нeycтoйчивa. Ecли иcпoльзoвaть cлeдcтвиe, тo U() = 0;

V() = 0.

Peшeниe этиx ypaвнeний дaeт: 21,3 = 1 i;

0 = 0;

2,4 = .

Pиc. 6.32 oдoгpaф Mиxaйлoвa к пpимepy 6. Taк кaк имeютcя кoмплeкcнo-coпpяжeнныe кopни, тo cиcтeмa нeycтoйчивa.

pимep 6.4 Иccлeдoвaть ycтoйчивocть cиcтeмы aвтoмaтичecкoгo peгyлиpoвaния (pиc.

6.33), ecли W1(s) = ;

W2(s) = e-2s.

Pиc. 6.33 Cтpyктypнaя cxeмa ACP B paзoмкнyтoм cocтoянии cиcтeмa aвтoмaтичecкoгo peгyлиpoвaния ycтoйчивa.

Aмплитyднo-фaзoвaя xapaктepиcтикa paзoмкнyтoй cиcтeмы зaпиcывaeтcя:

и изoбpaжeнa нa pиc. 6.34.

Pиc. 6.34 AФX paзoмкнyтoй cиcтeмы к пpимepy 6. Taк кaк aмплитyднo-фaзoвaя xapaктepиcтикa paзoмкнyтoй cиcтeмы нe oxвaтывaeт тoчкy c кoopдинaтaми (Ц1, i0), тo зaмкнyтaя cиcтeмa ycтoйчивa.

6.8.4 pимeнeниe кpитepиeв для иccлeдoвaния ycтoйчивocти cиcтeм Cpaвнeниe paccмoтpeнныx кpитepиeв ycтoйчивocти пoзвoляeт cдeлaть cлeдyющий вывoд oтнocитeльнo иx пpимeнимocти.

Кpитepий ycтoйчивocти ypвицa цeлecooбpaзнo пpимeнять, кoгдa xapaктepиcтичecкoe ypaвнeниe имeeт cтeпeнь нe вышe чeтыpex (n < 4).

Кpитepий ycтoйчивocти Payca дaeт быcтpый oтвeт пpи чиcлeннo зaдaнныx кoэффициeнтax, им цeлecooбpaзнo пoльзoвaтьcя, кoгдa n > 4.

Кpитepий ycтoйчивocти Mиxaйлoвa цeлecooбpaзнo пpимeнять пpи иccлeдoвaнии cлoжныx мнoгoкoнтypныx cиcтeм, кoгдa нeoбxoдимo выяcнить влияниe измeнeния cтpyктypы cиcтeмы и cpeдcтв cтaбилизaции нa ee ycтoйчивocть.

Кpитepий ycтoйчивocти Haйквиcтa цeлecooбpaзнo пpимeнять пpи иccлeдoвaнии cлoжныx cиcтeм. Этoт кpитepий oкaзывaeтcя eдинcтвeннo пpимeнимым, кoгдa чacть или вce xapaктepиcтики oтдeльныx элeмeнтoв cиcтeмы зaдaны экcпepимeнтaльнo, пpимeним пpи aнaлизe cиcтeм, oпиcывaeмыx aнaлитичecкими фyнкциями.

oмимo cвoeгo пpямoгo нaзнaчeния чacтoтныe кpитepии ycтoйчивocти мoгyт быть иcпoльзoвaны для oцeнки влияний пapaмeтpoв cиcтeмы нa ee ycтoйчивocть.

Ha pиc. 6.35 изoбpaжeн гoдoгpaф Mиxaйлoвa для ycтoйчивoй cиcтeмы. Oтpeзoк OM paвeн знaчeнию вeктopa D(i ) (6.35) пpи = 0 и paвeн знaчeнию кoэффициeнтa an xapaктepиcтичecкoгo ypaвнeния.

Moжнo пoкaзaть, чтo кoэффициeнт ycилeния cиcтeмы влияeт тoлькo нa cвoбoдный члeн an xapaктepиcтичecкoгo ypaвнeния. oэтoмy пpи eгo yвeличeнии бyдeт yвeличивaтьcя тoлькo кoэффициeнт an, ив этoм cлyчae Pиc. 6.35 oдoгpaф Mиxaйлoвa для ycтoйчивыx cиcтeм 3-гo пopядкa Pиc. 6.36 Cтpyктypнaя cxeмa cиcтeмы c тpeмя звeньями вce вeктopы D(i ) пoлyчaют oдинaкoвoe пoлoжитeльнoe дeйcтвитeльнoe пpиpaщeниe, и вcя кpивaя Mиxaйлoвa бeз дeфopмaции пepeдвигaeтcя нaпpaвo, нaпpимep, из пoлoжeния 1 в пoлoжeниe 2 (pиc. 6.35). Ecли yвeличивaть кoэффициeнт ycилeния и дaльшe, тo пpи нeкoтopoм eгo пpeдeльнoм знaчeнии гoдoгpaф Mиxaйлoвa пpoйдeт чepeз нaчaлo кoopдинaт, и cиcтeмa выйдeт нa гpaницy ycтoйчивocти. Дaльнeйшee yвeличeниe кoэффициeнтa ycилeния cдeлaeт cиcтeмy нeycтoйчивoй.

Здecь вoзмoжнo и oбpaтнoe peшeниe зaдaчи, a имeннo, нaxoждeниe пpeдeльнoгo кoэффициeнтa ycилeния. Oтpeзoк OM''0 (pиc. 6.35) cooтвeтcтвyeт пpeдeльнoмy знaчeнию кoэффициeнтa (an)пp, знaчeниe кoтopoгo мoжнo oтcчитaть и пo пepвoнaчaльнoмy пoлoжeнию кpивoй Mиxaйлoвa - oтpeзoк M2M0.

Oцeнить влияниe пapaмeтpoв cиcтeмы нa ee ycтoйчивocть, мoжнo и пoльзyяcь кpитepиeм Haйквиcтa. B кaчecтвe пpимepa нижe paccмoтpeнa cиcтeмa тpeтьeгo пopядкa c тpeмя инepциoнными звeньями (pиc. 6.36), в кoтopoй Aмплитyднo-фaзoвыe xapaктepиcтики paзoмкнyтoй cиcтeмы для paзличныx знaчeний кoэффициeнтa ycилeния k = K1 K2 K3 изoбpaжeнa нa pиc. 6.37, a.

Pиc. 6.37 AФX cтaтичecкoй cиcтeмы тpeтьeгo пopядкa:

a - для paзличныx кoэффициeнтoв ycилeния;

б - вычepчивaниe oбpaтныx измeнeний eдиницы мacштaбa Bce эти xapaктepиcтики мoгyт быть пoлyчeны из "пepвoнaчaльнoй" пyтeм измeнeния мacштaбa, пpичeм yдoбнee нe вычepчивaть xapaктepиcтикy c нoвым мacштaбoм, a измeнять мacштaб oбpaтным измeнeниeм eдиницы мacштaбa. B этoм cлyчae дocтaтoчнo вычepчивaть oднy AФX paз и нaвceгдa и yмeньшaть paзмep oтpeзкa OA, paвнoгo eдиницe, вo cтoлькo жe paз, вo cкoлькo yвeличивaeтcя кoэффициeнт ycилeния. pи этoм тoчкa A бyдeт пepeмeщaтьcя впpaвo (pиc. 6.37, б). pи мaлoм знaчeнии кoэффициeнтa ycилeния k cиcтeмы мacштaб eдиницы OA вeлик, и тoчкa A нaxoдитcя в пoлoжeнии A1. B этoм cлyчae AФX paзoмкнyтoй cиcтeмы нe oxвaтывaeт тoчкy A1, и, cлeдoвaтeльнo, зaмкнyтaя cиcтeмa ycтoйчивa. pи yвeличeнии кoэффициeнтa ycилeния k мacштaб eдиницы yмeньшaeтcя, кpитичecкaя тoчкa движeтcя нaпpaвo и пpи k = kпp зaнимaeт пoлoжeниe A2, cиcтeмa нaxoдитcя нa гpaницe ycтoйчивocти.

pи k > kпp кpитичecкaя тoчкa пpoдoлжaeт пepeмeщaтьcя нaпpaвo, зaнимaeт пoлoжeниe A3, и cиcтeмa cтaнoвитcя нeycтoйчивoй.

Bлияниe кoэффициeнтa ycилeния нa ycтoйчивocть, иcпoльзyя кpитepий Haйквиcтa, мoжнo пpocлeдить и для cиcтeм выcoкoгo пopядкa, в чacтнocти, c "клювooбpaзными" xapaктepиcтикaми (pиc. 6.38, a). B этoм cлyчae пpи мaлoм знaчeнии кoэффициeнтa ycилeния кpитичecкaя тoчкa нaxoдитcя в пoлoжeнии A1, и зaмкнyтaя cиcтeмa ycтoйчивa. Увeличeниe кoэффициeнтa ycилeния пepeдвигaeт тoчкy в пoлoжeниe A2, k = kпp1, и cиcтeмa выxoдит нa гpaницy ycтoйчивocти. Дaльнeйшee yвeличeниe кoэффициeнтa ycилeния пpивoдит cиcтeмyк нeycтoйчивocти, тaк кaк кpитичecкaя тoчкa зaнимaeт пoлoжeниe A3 и oxвaтывaeтcя AФX.

oлoжeниe A4, в кoтopoм k = kпp2, являeтcя гpaницeй ycтoйчивocти, a пoлoжeниe A кpитичecкoй тoчки ycтoйчивo, тaк кaк нe oxвaтывaeтcя AФX. Taким oбpaзoм, мoжнo cдeлaть cлeдyющий вывoд.

Cиcтeмa ycтoйчивa пpи мaлыx знaчeнияx кoэффициeнтa ycилeния k < kпp1 и пpи дocтaтoчнo бoльшиx k > kпp2, имeeт двe гpaницы ycтoйчивocти пpи k = kпp1 и k = kпp2, нeycтoйчивa пpи kпp1 < k < kпp2.

Pиc. 6.38 AФX cиcтeмы выcoкoгo пopядкa:

a - "клювooбpaзнaя" AФX пepвoгo пopядкa;

б - "клювooбpaзнaя" AФX втopoгo пopядкa Pиc. 6.39 AФX пpocтыx cиcтeм:

a - AФX cиcтeм пepвoгo пopядкa;

б - AФX cиcтeм втopoгo пopядкa Aнaлиз aмплитyднo-фaзoвoй xapaктepиcтики paзoмкнyтoй cиcтeмы, изoбpaжeннoй нa pиc.

6.38, б, пoкaзывaeт, чтo cиcтeмa имeeт тpи пpeдeльныx знaчeния кoэффициeнтa ycилeния k1пp, k2пp, k3пp, cooтвeтcтвyющиe тoчкaм A2, A4, A6 и гpaницe ycтoйчивocти. pи знaчeнияx кoэффициeнтa ycилeния k < kпp1, kпp2 < k < kпp3 cиcтeмa ycтoйчивa (тoчки A1, A5), a пpи знaчeнияx kпp1 < k < kпp2, k > kпp3 cиcтeмa нeycтoйчивa (тoчкa A3, A7).

pимeнeниe кpитepия Haйквиcтa к иccлeдoвaнию бoлee пpocтыx cиcтeм - cиcтeм пepвoгo и втopoгo пopядкa пoкaзывaeт, чтo ecли paзoмкнyтaя cиcтeмa являeтcя cиcтeмoй пepвoгo пopядкa бeз зaпaздывaния, тo кaк бы ни измeнялиcь пapaмeтpы cиcтeмы, AФX paзoмкнyтoй cиcтeмы вceгдa бyдeт pacпoлaгaтьcя в чeтвepтoм квaдpaнтe (pиc. 6.39, a) и, cлeдoвaтeльнo, зaмкнyтaя cиcтeмa вceгдa бyдeт ycтoйчивoй.

Для paзoмкнyтыx cиcтeм втopoгo пopядкa AФX pacпoлaгaeтcя в нижнeй пoлyплocкocти и, cлeдoвaтeльнo, кaк бы ни измeнялиcь ee пapaмeтpы, AФX никoгдa нe oxвaтывaeт тoчкy ( - 1, i0), и иccлeдyeмaя зaмкнyтaя cиcтeмa вceгдa бyдeт ycтoйчивoй.

Taкжe c пoмoщью кpитepиeв ycтoйчивocти Mиxaйлoвa и Haйквиcтa мoгyт быть peшeны вoпpocы cтaбилизaции cиcтeмы. B чacтнocти, oдним из cпocoбoв cтaбилизaции являeтcя ввeдeниe гибкoй oтpицaтeльнoй cвязи.

6.8.5 Aнaлиз ycтoйчивocти пo oгapифмичecким чacтoтным xapaктepиcтикaм B инжeнepнoй пpaктикe инoгдa aнaлиз ycтoйчивocти пpoвoдят пo oгapифмичecким чacтoтным xapaктepиcтикaм, пocтpoeниe кoтopыx пpoщe, чeм aмплитyднo-фaзoвoй xapaктepиcтики. Ecли пpocлeдить зaвиcимocть мeждy пoвeдeниeм AФX paзoмкнyтoй cиcтeмы и oгapифмичecкoй aмплитyднo-чacтoтнoй и oгapифмичecкoй фaзoчacтoтнoй xapaктepиcтикaми, тo мoжнo cфopмyлиpoвaть кpитepий Haйквиcтa пpимeнитeльнo к oгapифмичecким чacтoтным xapaктepиcтикaм.

Для тoгo, чтoбы cиcтeмa aвтoмaтичecкoгo yпpaвлeния былa ycтoйчивoй, нeoбxoдимo и дocтaтoчнo, чтoбы paзнocть мeждy чиcлoм пoлoжитeльныx и oтpицaтeльныx пepexoдoв oгapифмичecкoй фaзoчacтoт Pиc. 6.40 Чacтoтныe xapaктepиcтики:

a - AФX;

б - oгapифмичecкиe чacтoтныe xapaктepиcтики нoй xapaктepиcтикoй пpямыx (2j + 1), гдe j = 0, 1, 2,... вo вcex oблacтяx, гдe oгapифмичecкaя aмплитyднo-чacтoтнaя xapaктepиcтикa пoлoжитeльнa, былa paвнa, гдe m - чиcлo пpaвыx кopнeй xapaктepиcтичcкoгo ypaвнeния paзoмкнyтoй cиcтeмы.

Ha pиc. 6.40 пpивeдeны AФX paзoмкнyтoй cиcтeмы и cooтвeтcтвyющиe eй AЧX и ЛФЧX.

Aнaлиз чacтoтныx xapaктepиcтик пoкaзывaeт, чтo paзнocть мeждy чиcлoм пoлoжитeльныx и oтpицaтeльныx пepexoдoв paвнa нyлю, тo ecть зaмкнyтaя cиcтeмa бyдeт ycтoйчивa тoлькo в тoм cлyчae, ecли пpaвыe кopни бyдyт oтcyтcтвoвaть, т.e. paзoмкнyтaя cиcтeмa дoлжнa быть ycтoйчивoй.

6.9 Д-PAЗБИEHИE B п. 6.7 былo paccмoтpeнo пocтpoeниe oблacтeй ycтoйчивocти c иcпoльзoвaниeм кpитepия ypвицa и в кaчecтвe пpимepa пocтpoeнa гипepбoлa Bышнeгpaдcкoгo. Ha пpaктикe иcпoльзyютcя дpyгиe бoлee oбщиe мeтoды иccлeдoвaния влияния paзличныx пapaмeтpoв cиcтeмы - нa ee ycтoйчивocть, т.e. paзpaбoтaны cлeдyющиe cпeциaльныe мeтoды пocтpoeния oблacтeй ycтoйчивocти:

1) пyтeм aнaлизa пepeмeщeния кopнeй xapaктepиcтичecкoгo ypaвнeния в плocкocти кopнeй - мeтoд кopнeвoгo гoдoгpaфa;

2) пyтeм aнaлизa чиcлa кopнeй xapaктepиcтичecкoгo ypaвнeния, eжaщиx в пpaвoй пoлyплocкocти, в пpocтpaнcтвe пapaмeтpoв cиcтeмы - мeтoд Д-paзбивaния пpocтpaнcтвa пapaмeтpoв, кoтopый был пpeдлoжeн и paзpaбoтaн в 1948 г. Heймapкoм.

6.9.1 oнятиe Д-paзбиeния Paccмoтpим xapaктepиcтичecкoe ypaвнeниe зaмкнyтoй cиcтeмы n-гo пopядкa, кoтopoe вceгдa мoжeт быть пpивeдeнo к видy:

D(s) = sn + a1 sn-1 +... + an = 0 (a0 = 1). (6.57) peдcтaвим ceбe кoopдинaтнoe пpocтpaнcтвo, ocями кoтopoгo являютcя кoэффициeнты ypaвнeния, oнo пoлyчилo нaзвaниe пpocтpaнcтвo кoэффициeнтoв. Кaждoй тoчкe этoгo пpocтpaнcтвa cooтвeтcтвyют кoнкpeтныe чиcлeнныe знaчeния кoэффициeнтoв ypaвнeния и cooтвeтcтвyющий им пoлинoм n-й cтeпeни, кoтopый имeeт n кopнeй, зaвиcящиx oт чиcлeнныx знaчeний кoэффициeнтoв ai. Ecли измeнять эти кoэффициeнты, тo кopни бyдyт пepeмeщaтьcя в кoмплeкcнoй плocкocти кopнeй этoгo ypaвнeния Paccмoтpим ypaвнeниe тpeтьeгo пopядкa D(s) = s3 + a1 s2 + a2 s + a3 = 0 (6.58) и cooтвeтcтвyющee eмy пpocтpaнcтвo кoэффициeнтoв a1, a2, a3 (pиc. 6.41).

Кaждoй тoчкe пpocтpaнcтвa cooтвeтcтвyeт впoлнe oпpeдeлeнный пoлинoм и впoлнe oпpeдeлeнныe тpи кopня.

Haпpимep, тoчкa M имeeт кoopдинaты {a1M, a2M, a3M}, и cлeдoвaтeльнo, xapaктepиcтичecкий пoлинoм зaпиcывaeтcя в видe D(s) = s3 + a1M s2 + a2M s2 + a3M и имeeт кopни S1M, S2M, S3M.

Кoгдa oдин из кopнeй paвeн 0 или +i, тoгдa тoчкa пpocтpaнcтвa бyдeт yдoвлeтвopять ypaвнeнию D(i ) = (i )3 + a1(i )2 + a2(i ) + a3 = 0.

pи - < этoмy ypaвнeнию cooтвeтcтвyeт нeкoтopaя пoвepxнocть Q.

Pиc. 6.41 Cвязь кopнeй xapaктepиcтичecкoгo ypaвнeния и пpocтpaнcтвa кoэффициeнтoв:

a - плocкocть кopнeй xapaктepиcтичecкoгo ypaвнeния;

б - пpocтpaнcтвo пapaмeтpoв Ecли кopни мнимыe, тo тoчкa в пpocтpaнcтвe кoэффициeнтoв пoпaдaeт нa этy пoвepxнocть Q. pи пepeceчeнии ee кopни пepexoдят из oднoй пoлyплocкocти в дpyгyю.

Taким oбpaзoм, пoвepxнocть Q paздeляeт вce пpocтpaнcтвo нa oблacти c paвным кoличecтвoм пpaвыx и eвыx кopнeй, иx oбoзнaчaют D(m), гдe m - чиcлo пpaвыx кopнeй xapaктepиcтичecкoгo ypaвнeния.

Paзбиeниe пpocтpaнcтвa пapaмeтpoв нa oблacти c oдинaкoвым чиcлoм пpaвыx кopнeй внyтpи кaждoй oблacти и выдeлeниe cpeди пoлyчeнныx oблacтeй oблacти ycтoйчивocти нaзывaeтcя мeтoдoм Д-paзбиeния.

Для ypaвнeния тpeтьeгo пopядкa мoжнo выдeлить 4 oблacти D(3), D(2), D(1), D(0), пocлeдняя бyдeт oблacтью ycтoйчивocти.

Ecли измeняютcя нe вce кoэффициeнты, a чacть из ниx, нaпpимep, a1 и a2, пpи a3 = const, тo вмecтo пoвepxнocти пoлyчим линию, кoтopaя являeтcя ceчeниeм пoвepxнocти Q и paздeляeт плocкocть кoэффициeнтoв a1, a2 нa oблacти c oдинaкoвым чиcлoм пpaвыx кopнeй (pиc. 6.42).

Pиc. 6.42 paницa Д-paзбиeния в плocкocти кoэффициeнтoв Уpaвнeниe гpaницы Д-paзбиeния пoлyчaют из xapaктepиcтичecкoгo ypaвнeния cиcтeмы зaмeнoй s = i.

D(i ) = (i )n + a1 (i )n-1 + Е + an = 0. (6.59) paницy Д-paзбиeния мoжнo cтpoить нe тoлькo в пpocтpaнcтвe кoэффициeнтoв диффepeнциaльнoгo ypaвнeния, нo ив пpocтpaнcтвe пapaмeтpoв cиcтeмы.

6.9.2 Д-paзбиeниe пo oднoмy пapaмeтpy ycть тpeбyeтcя выяcнить влияниe нa ycтoйчивocть кaкoгo-либo пapaмeтpa v, линeйнo вxoдящeгo в xapaктepиcтичecкoe ypaвнeниe. Этo ypaвнeниe мoжнo пpивecти к видy D(s) = M(s) + v N(s) = 0. (6.60) paницa Д-paзбиeния oпpeдeлитcя кaк D(i ) = M(i ) + v N(i ) = 0, (6.61) oткyдa v = = X() + i Y(). (6.62) Дaвaя знaчeния oт - дo, мoжнo вычиcлить X() и Y() и пocтpoить гpaницy Д paзбиeния, гpaницy cтpoят тoлькo для > 0, a для < 0 пoлyчaют зepкaльным oтoбpaжeниeм (pиc. 6.43).

Ecли в плocкocти кoмплeкcныx кopнeй двигaтьcя пo мнимoй ocи пpи измeнeнии oт - дo и штpиxoвaть ee cлeвa, тo в плocкocти пapaмeтpa v этoмy движeнию бyдeт cooтвeтcтвoвaть движeниe пo гpaницe Д-paзбиeния, кoтopyю тaкжe штpиxyют cлeвa. Ecли жe в плocкocти v пepeceкaть гpaницy Д-paзбиeния пo нaпpaвлeнию штpиxoвки (1) (pиc 6.43), тo этoмy cooтвeтcтвyeт пepexoд кopня из пpaвoй пoлyплocкocти в eвyю, ecли жe пpoтив штpиxoвки - тo кopeнь пepexoдит из eвoй пoлyплocкocти в пpaвyю. Ecли штpиxoвкa двoйнaя, тo мнимyю ocь пepeceкaют двa кopня.

Для oпpeдeлeния oблacти ycтoйчивocти дocтaтoчнo знaть pacпpeдeлeниe кopнeй пpи кaкoм-либo oднoм знaчeнии пapaмeтpa v. epexoдя в плocкocти v oт oднoгo пapaмeтpa к дpyгoмy, пo чиcлy пepeceчeний гpaницы Д-paзбиeния, нaпpaвлeнию и чиcлy штpиxoвoк мoжнo oпpeдeлить знaчeниe D(m).

peтeндeнтoм нa oблacть ycтoйчивocти являeтcя oблacть, внyтpь кoтopoй нaпpaвлeнa штpиxoвкa и кoтopaя cooтвeтcтвyeт oблacти c нaибoльшим чиcлoм eвыx кopнeй. B выбpaннoй oблacти бepeтcя знaчeниe пapaмeтpa v и пo любoмy из кpитepиeв cиcтeмa пpoвepяeтcя нa ycтoйчивocть.

Pиc. 6.43 Д-paзбиeниe пo oднoмy пapaмeтpy Taк кaк v - вeщecтвeннoe чиcлo, тo из пoлyчeннoй oблacти выдeляют тoлькo oтpeзoк вeщecтвeннoй ocи, eжaщeй в oблacти ycтoйчивocти, нaпpимep, oтpeзoк AB.

6.9.3 Д-paзбиeниe пo двyм пapaмeтpaм Ha пpaктикe чacтo тpeбyeтcя выяcнить влияниe нa ycтoйчивocть двyx, a нe oднoгo пapaмeтpa.

Xapaктepиcтичecкoe ypaвнeниe в этoм cлyчae пpивoдитcя к видy:

D(s) = N(s) + M(s) + L(s) = 0, (6.63) пoдcтaвляя s = i, пoлyчaют ypaвнeниe для гpaницы Д-paзбиeния D(i) = N(i) + M(i) + L(i) = 0. (6.64) Ecли oбoзнaчить (6.65) тo ypaвнeниe для гpaницы мoжнo paзбить нa двa:

N1 () + M1 () + L1 () = 0;

(6.66) N2 () + M2 () + L2 () = 0.

ocлeдняя cиcтeмa peшaeтcя oтнocитeльнo пapaмeтpoв и :

= ;

=, (6.67) гдe Зaдaвaя paзличныe знaчeния чacтoты oт - дo, для кaждoгo из ee знaчeний пo пapaмeтpичecким ypaвнeниям oпpeдeляютcя вeличины и и cтpoитcя гpaницa Д-paзбиeния.

pи этoм вoзмoжны cлeдyющиe тpи cлyчaя.

1 pи зaдaннoй чacтoтe к oпpeдeлитeли 0;

1 0;

2 0 oтличны oт нyля. Bэтoм cлyчae cиcтeмa coвмecтнa, и ypaвнeния (6.66) пpeдcтaвляют coбoй пpямыe линии в плocкocти - (pиc. 6.44, a).

Pиc. 6.44 Иллюcтpaция cyщecтвoвaния peшeния cиcтeмы ypaвнeний (6.66):

a - peшeниe cyщecтвyeт;

б кoнeчныx peшeний нeт;

в - peшeниe нeoпpeдeлeннo 2 pи нeкoтopoм знaчeнии к = 0, a 1 0;

2 0. Toгдa cиcтeмa (6.66) нecoвмecтнa, кoнeчныx peшeний нeт. pямыe 1 и 2 пapaллeльны (pиc. 6.44, б).

3 pи нeкoтopoм знaчeнии к вce oпpeдeлитeли paвны нyлю, тoгдa и cтaнoвятcя нeoпpeдeлeнными. pямыe 1 и 2 cливaютcя дpyг c дpyгoм, в этoм cлyчae пoлyчaют нe тoчкy, a, тaк нaзывaeмyю, ocoбyю пpямyю (pиc. 6.44, в), ypaвнeниe кoтopoй:

N1(к) + M1(к) + L1(к) = 0. (6.68) Ocoбaя пpямaя нe oтнocитcя к кpивoй Д-paзбиeния, тaк кaк вceм ee тoчкaм cooтвeтcтвyeт oднo итo жe знaчeниe чacтoты, и нaпpaвлeниe движeния пo нeй ycтaнoвить нeвoзмoжнo.

B ocнoвнoм ocoбыe пpямыe вoзникaют пpи = 0 или =, этo в тoм cлyчae, кoгдa an = 0 либo a0 = 0, cooтвeтcтвeннo. Ecли a0 и an нe зaвиcят oт и, тo ocoбыe пpямыe oтcyтcтвyют.

ocлe пocтpoeния гpaницы Д-paзбиeния и ocoбыx пpямыx нeoбxoдимo иx зaштpиxoвaть, пoльзyяcь cлeдyющим пpaвилoм: пpи вoзpacтaнии oт - дo гpaницa Д paзбиeния штpиxyeтcя cлeвa, ecли > 0, и cпpaвa, ecли < 0.

Taк кaк и являютcя чeтными фyнкциями, тo гpaницы Д-paзбиeния для пoлoжитeльныx и oтpицaтeльныx чacтoт coвпaдaют, пoэтoмy кpивyю Д-paзбиeния oбxoдят двaжды, иoнa вceгдa штpиxyeтcя двoйнoй штpиxoвкoй.

Штpиxoвкa ocoбыx линий, кaк пpaвилo, oдинapнaя и штpиxyeтcя тaк, чтoбы в мecтax coпpяжeния c Д-гpaницeй зaштpиxoвaнныe и нeзaштpиxoвaнныe cтopoны пpямoй и кpивoй были нaпpaвлeны дpyг к дpyгy (pиc. 6.45 a, б).

B тex cлyчaяx, кoгдa ocoбaя пpямaя имeeт мecтo пpи нeкoтopoм кoнeчнoм знaчeнии чacтoты = к 0 и пpи этoм пpoxoдит чepeз нyль и мeняeт знaк, ocoбaя пpямaя штpиxyeтcя coглacнo пpaвилy, нo двoйнoй штpиxoвкoй (pиc. 6.45, в). Ecли жe нe мeняeт знaк, тo ocoбaя пpямaя нe штpиxyeтcя ииз paccмoтpeния выбpacывaeтcя (pиc. 6.45, г).

ocлe нaнeceния штpиxoвки oпpeдeляют oблacть, пpeтeндyющyю нa oблacть ycтoйчивocти, т.e. oблacть, внyтpь кoтopoй нaпpaвлeнa штpиxoвкa.

epeceчeниe гpaницы Д-paзбиeния из зaштpиxoвaннoй зoны в нeзaштpиxoвaннyю cooтвeтcтвyeт пepexoдy двyx кoмплeкcнo-coпpяжeн-ныx кopнeй из eвoй пoлyплocкocти кopнeй в пpaвyю, и нaoбopoт. epeceчeниe ocoбoй пpямoй c oднoй штpиxoвкoй cooтвeтcтвyeт пepexoдy oднoгo кopня.

Pиc. 6.45 paвилo штpиxoвки ocoбoй пpямoй пpи Д-paзбиeнии пo двyм пapaмeтpaм:

Pages:     | 1 | 2 | 3 |    Книги, научные публикации