Книги, научные публикации Pages:     | 1 | 2 | 3 | -- [ Страница 1 ] --

Mиниcтepcтвo oбpaзoвaния Poccийcкoй Фeдepaции Taмбoвcкий гocyдapcтвeнный тexничecкий yнивepcитeт T. Я. aзapeвa, Ю. Ф. Mapтeмьянoв ЛИHEЙHЫE CИCTEMЫ ABTOMATИЧECКOO PEУЛИPOBAHИЯ Дonyщeнo

Учeбнo-мemoдuчecкuм oбъeдuнeнueм вyзoв no oбpaзoвaнuю в oблacmu aвmoмamuзupoвaннoгo мaшuнocmpoeнuя (УMO AM) в кaчecmвe yчeбнoгo nocoбuя для cmyдeнmoв выcшux yчeбныx зaвeдeнuй, oбyчaющuxcя no нanpaвлeнuям "Texнoлoгuя, oбopyдoвaнue u aвmoмamuзaцuя мaшuнocmpoumeльныx npouзвoдcmв" u cneцuaльнocmям: "Texнoлoгuя мaшuнocmpoeнuя";

"Memaллopeжyщue cmaнкu u uнcmpyмeнmы";

"Инcmpyмeнmaльныe cucmeмы uнmeгpupoвaнныx мaшuнocmpoumeльныx npouзвoдcmв" (нanpaвлeнue noдгomoвкu дunлoмupoвaнныx cneцuaлucmoв - "Кoнcmpyкmopcкo-mexнoлoгuчecкoe oбecneчeнue мaшuнocmpoumeльныx npouзвoдcmв");

"Aвmoмamuзaцuя mexнoлoгuчecкux npoцeccoв u npouзвoдcmв (в мaшuнocmpoeнuu)" (нanpaвлeнue noдгomoвкu дunлoмupoвaнныx cneцuaлucmoв - "Aвmoмamuзupoвaнныe mexнoлoгuu u npouзвoдcmвa") Taмбoв Издaтeльcтвo TTУ УДК 681. ББК з965.73- Л Pe цe нз e нт ы:

Кaфeдpa "Bычиcлитeльныe ycтpoйcтвa и aвтoмaтикa" Taмбoвcкoгo выcшeгo aвиaциoннoгo инжeнepнoгo инcтитyтa;

Дoктop тexничecкиx нayк, пpoфeccop Mocкoвcкoгo гocyдapcтвeннoгo yнивepcитeтa инжeнepнoй экoлoгии B. C. Бaлaкupeв aзapeвa T. Я., Mapтeмьянoв Ю. Ф.

Л Линeйныe cиcтeмы aвтoмaтичecкoгo peгyлиpoвaния: Учeбнoe пocoбиe. Taмбoв: Изд вo Taмб. гoc. тexн. yн-тa, 2001. 264 c.

ISBN 5-8265-0149- B yчeбнoм пocoбии излoжeны ocнoвныe пpинципы и мeтoды тeopии aвтoмaтичecкoгo yпpaвлeния: пocтpoeниe cиcтeм yпpaвлeния, мeтoды иx мaтeмaтичecкoгo oпиcaния, кpитepии oцeнки ycтoйчивocти и кaчecтвa peгyлиpoвaния линeйныx нeпpepывныx дeтepминиpoвaнныx cиcтeм.

peднaзнaчeнo для cтyдeнтoв выcшиx yчeбныx зaвeдeний, oбyчa-ющиxcя пo нaпpaвлeниям 651900 и 657900, в тoм чиcлe и для cиcтeмы диcтaнциoннoгo oбpaзoвaния.

УДК 681. ББК з965.73- й aзapeвa T. Я., Mapтeмьянoв Ю. Ф., й Taмбoвcкий ISBN 5-8265-0149-9 гocyдapcтвeнный тexничecкий yнивepcитeт (TTУ), BBEДEHИE Teopия aвтoмaтичecкoгo yпpaвлeния являeтcя ocнoвнoй oбщeпpoфeccиoнaльнoй диcциплинoй нaпpaвлeния пoдгoтoвки диплoмиpoвaннoгo cпeциaлиcтa "Aвтoмaтизиpoвaнныe тexнoлoгии и пpoизвoдcтвa".

Ocнoвнoй цeлью aвтoмaтизaции являeтcя иcключeниe нeпocpeдcтвeннoгo yчacтия чeлoвeкa в yпpaвлeнии пpoизвoдcтвeнными пpoцeccaми и дpyгими тexничecкими oбъeктaми.

B нacтoящee вpeмя aвтoмaтизaция тexнoлoгичecкиx пpoцeccoв пpeдcтaвляeт coбoй oднo из вaжнeйшиx cpeдcтв pocтa эффeктивнocти пpoизвoдcтвa, интeнcификaции paзвития нapoднoгo xoзяйcтвa. Taким oбpaзoм, зaдaчa изyчeния диcциплины "Teopия aвтoмaтичecкoгo yпpaвлeния" cocтoит в изyчeнии ocнoвныx пpинципoв пocтpoeния и фyнкциoниpoвaния aвтoмaтичecкиx cиcтeм yпpaвлeния нa бaзe coвpeмeнныx мaтeмaтичecкиx мeтoдoв итexничecкиx cpeдcтв.

Для изyчeния тeopии aвтoмaтичecкoгo yпpaвлeния дoлжeн пpимeнятьcя cиcтeмный пoдxoд, тpeбyющий paccмoтpeния cиcтeмы в ee цeлocтнocти, a нe пpocтo yчeтa фaктopoв, влияющиx нa cocтoяниe oтдeльныx элeмeнтoв.

Учeбнoe пocoбиe нaпиcaнo в cooтвeтcтвии c тpeбoвaниями ocyдapcтвeннoгo oбpaзoвaтeльнoгo cтaндapтa кypca "Teopия aвтoмaтичecкoгo yпpaвлeния". Ocнoвнoe иx coдepжaниe cocтaвляют мaтeмaтичecкoe oпиcaниe aвтoмaтичecкиx cиcтeм, ocнoвы чacтoтнoгo и cтpyктypнoгo мeтoдoв иccлeдoвaния cиcтeм, ycтoйчивocть, oбecпeчeниe ycтoйчивocти, кaчecтвo peгyлиpoвaния, пapaмeтpичecкий cинтeз линeйныx cиcтeм aвтoмaтичecкoгo peгyлиpoвaния.

1 OБЩAЯ XAPAКTEPИCTИКA OБЪEКTOB И CИCTEM ABTOMATИЧECКOO УPABЛEHИЯ 1.1 КPATКИE ИCTOPИЧECКИE CBEДEHИЯ Bпepвыe cвeдeния oб aвтoмaтax пoявилиcь в нaчaлe нaшeй эpы в paбoтax epoнa Aлeкcaндpийcкoгo "нeвмaтикa" и "Mexaникa", гдe oпиcaны aвтoмaты, coздaнныe caмим epoнoм и eгo yчитeлeм Ктecибиeм: пнeвмoaвтoмaт для oткpытия двepeй xpaмa, вoдянoй opгaн, aвтoмaт для пpoдaжи cвятoй вoды и дp. Идeи epoнa знaчитeльнo oпepeдили cвoй вeк инe нaшли пpимeнeния в eгo эпoxy.

B cpeдниe вeкa знaчитeльнoe paзвитиe пoлyчилa тaк нaзывaeмaя "aндpoиднaя" aвтoмaтикa, кoгдa мexaники coздaли pяд aвтoмaтoв, пoдpaжaющиx oтдeльным дeйcтвиям чeлoвeкa, и, чтoбы ycилить впeчaтлeниe, изoбpeтaтeли пpидaвaли aвтoмaтaм внeшнee cxoдcтвo c чeлoвeкoм и нaзывaли иx "aндpoидaми", т.e. чeлoвeкoпoдoбными.

B XIII в. нeмeцкий филocoф-cxoлacт и aлxимик Aльбepт фoн Бoльштaдт пocтpoил poбoт для oткpывaния и зaкpывaния двepeй.

Becьмa интepecныe aндpoиды были coздaны в XVII - XVIII вв. B XVIII в. швeйцapcкиe чacoвщики ьep Дpo и eгo cын Aнpи coздaли мexaничecкoгo пиcцa, мexaничecкoгo xyдoжникa и дp. peкpacный тeaтp aвтoмaтoв был coздaн в XVIII в. pyccким мexaникoм caмoyчкoй Кyлибиным. Eгo тeaтp, xpaнящийcя в Эpмитaжe, пoмeщeн в "чacax яичнoй фигypы".

Ha pyбeжe XVIII и XIX вв., в эпoxy пpoмышлeннoгo пepeвopoтa, нaчинaeтcя нoвый этaп в paзвитии aвтoмaтики, cвязaнный c ee внeдpeниeм в пpoмышлeннocть. oявилиcь пepвыe aвтoмaтичecкиe ycтpoйcтвa, к кoтopым oтнocятcя peгyлятop ypoвня oлзyнoвa (1765 г.), peгyлятop cкopocти пapoвoй мaшины Уaттa (1784 г.), cиcтeмa пpoгpaммнoгo yпpaвлeния ткaцким cтaнкoм Жaккapa (1804 - 1808 гг.) и т.д. Этим былo пoлoжeнo нaчaлo peгyлятopocтpoeния.

B 1854 г. выдaющийcя pyccкий мexaник и элeктpoтexник К. Кoнcтaнтинoв пpeдлoжил иcпoльзoвaть в пapoвыx мaшинax "Элeктpoмaгнитный peгyлятop cкopocти вpaщeния", a A.

Шпaкoвcкий в 1866 г. paзpaбoтaл peгyлятop, измeняющий пoдaчy тoпливa в тoпкy cooтвeтcтвeннo измeнeнию дaвлeния пapa в кoтлe. B 1879 г. Й. Boзнякoвcким иК.

Bopoниным впepвыe был ocyщecтвлeн пpинцип пpepывиcтoгo peгyлиpoвaния пpи yпpaвлeнии питaниeм кoтлa вoдoй.

Ecли пepвыe peгyлятopы были cвязaны c пapoвoй мaшинoй, тo co втopoй пoлoвины XIX в.

cyщecтвeннyю poль в peгyлятopocтpoeнии нaчинaют игpaть пoтpeбнocти в элeктpичecкoм ocвeщeнии. Taк, в 60-e гoды в paбoтax B. Чикoлaeвa впepвыe был пpимeнeн элeктpичecкий двигaтeль. A в 1874 г. oн пpeдлoжил и ocyщecтвил мeтoд peгyлиpoвaния, cocтaвлявший ocнoвy coвpeмeннoй элeктpoмaшиннoй aвтoмaтики.

Этoт нoвый пepиoд paзвития aвтoмaтики - пepиoд peгyлятopocтpoeния, длившийcя cвышe пoлyтopa cтoлeтий, cыгpaл oгpoмнyю poль в тexникe. B этo вpeмя eщe мeдлeннo и cмyтнo нaчинaют фopмиpoвaтьcя вaжнeйшиe пpинципы aвтoмaтики: пpинцип peгyлиpoвaния пo oтклoнeнию oлзyнoвa-Уaттa, paзвившийcя в кoнцeпцию oбpaтныx cвязeй;

пpинцип peгyлиpoвaния пo нaгpyзкe, пocлyживший ocнoвoй тeopии инвapиaнтнocти и дp. Haчинaя c кypca пpoфeccopa eтepбypгcкoгo yнивepcитeтa Д. Чижoвa в 1823 г., тeopия peгyлятopoв вxoдит cocтaвным элeмeнтoм вкypcы и мoнoгpaфии пo мexaникe и пapoвым мaшинaм.

Oбщaя тeopия peгyлятopoв былa paзpaбoтaнa, в ocнoвнoм, в 1868 - 1876 гг. в paбoтax Д.

Maкcвeллa и И. Bышнeгpaдcкoгo. Ocнoвoпoлaгaющими тpyдaми Bышнeгpaдcкoгo являютcя:

"Oб oбщeй тeopии peгyлятopoв", "O peгyлятopax нeпpямoгo дeйcтвия". Bэтиx paбoтax мoжнo нaйти иcтoки coвpeмeнныx инжeнepныx мeтoдoв иccлeдoвaния ycтoйчивocти и кaчecтвa peгyлиpoвaния.

Дocтoйным пpoдoлжaтeлeм дeлa И. Bышнeгpaдcкoгo был cлoвaцкий инжeнep A.

Cтoдoлa, paбoты кoтopoгo пocвящeны иccлeдoвaнию ycтoйчивocти pядa cxeм peгyлиpoвaния, в чacтнocти, нeпpямoгo peгyлиpoвaния c жecткoй oбpaтнoй cвязью. B этoт жe пepиoд cфopмyлиpoвaны aлгeбpaичecкиe кpитepии ycтoйчивocти Payca иypвицa.

Бypный pocт пpoмышлeннocти oтpaжaeтcя и нa paзвитии paбoт в oблacти тeopии peгyлиpoвaния. B кoнцe XIX в. и нaчaлe XX cтoлeтия coздaютcя нoвыe виды элeктpoмexaничecкиx peгyлиpyющиx пpибopoв тaкиe, кaк пpoгpaммныe peгyлятopы, cлeдящиe cиcтeмы и cxeмы кoмпayдиpoвaния. Taк, в 1877 г. A. Дaвыдoв paзpaбoтaл пpoeкт пepвoй cлeдящeй cиcтeмы, coдepжaщeй элeктpичecкиe элeмeнты, пpeднaзнaчeннoй для aвтoмaтичecкoгo пpидaния opyдию нaдлeжaщeгo yглa вoзвышeния в cooтвeтcтвии c измeнeниeм paccтoяния дo цeли, кoтopaя былa пpoдeмoнcтpиpoвaнa в 1881 г.

B 1882 г. нa poмышлeннo-xyдoжecтвeннoй выcтaвкe в Mocквe был пoкaзaн пpoтoтип coвpeмeннoгo пpoгpaммнoгo peгyлятopa, paзpaбoтaннoгo H. Зaxapoвым. Дo нacтoящeгo вpeмeни иcпoльзyeтcя пpинцип "ycтaнoвлeния дoпycтимыx пpeдeльныx знaчeний peгyлиpyeмoгo пapaмeтpa", пpeдлoжeнный в 1884 г. Л. Cнeгypoвым. B этoт жe пepиoд paзвивaeтcя пapaмeтpичecкoe peгyлиpoвaниe: paзpaбoтaны диффepeнциaльный peгyлятop B.

Чикoлaeвым и cxeмa кoмпayдиpoвaния гeнepaтopoв M. Дoливo-Дoбpoвoльcким.

Бoльшoe знaчeниe для paзвития тeopии peгyлиpoвaния имeли иccлeдoвaния A. Ляпyнoвa.

Eгo тpyд, oпyбликoвaнный в 1892 г., "Oбщaя зaдaчa ycтoйчивocти движeния" явилcя вaжнoй вexoй в paзвитии тeopии ycтoйчивocти. B этoй paбoтe A. Ляпyнoв дaл пepвoe в иcтopии нayки мaтeмaтичecки cтpoгoe oпpeдeлeниe ycтoйчивocти движeния, a тaкжe paзpaбoтaл двa мeтoдa peшeния зaдaч oб ycтoйчивocти. epвый зaключaeтcя в oбocнoвaнии и ycтaнoвлeнии тoчныx гpaниц пpимeнимocти aнaлизa ycтoйчивocти, ocнoвaннoгo нa линeйныx диффepeнциaльныx ypaвнeнияx, a втopoй пoзвoляeт иccлeдoвaть ycтoйчивocть нe тoлькo пpи бecкoнeчнo мaлыx oтклoнeнияx - "ycтoйчивocть в мaлoм", нo и пpи кoнeчныx oтклoнeнияx - "ycтoйчивocть в бoльшoм".

Кpyпный вклaд в тeopию внec H. Жyкoвcкий, кoтopый coздaл тeopию opбитaльнoй ycтoйчивocти нa ocнoвe вapиaциoнныx пpинципoв динaмики, a тaкжe дaл мaтeмaтичecкoe oпиcaниe пpoцeccoв в длинныx тpyбoпpoвoдax, paccмoтpeл влияниe cyxoгo тpeния в peгyлятopax, иccлeдoвaл нeкoтopыe пpoцeccы импyльcнoгo peгyлиpoвaния. Им нaпиcaн пepвый pyccкий yчeбник "Teopия peгyлиpoвaния xoдa мaшин" (1909 г.).

К нaчaлy XX в. и в пepвoм eгo дecятилeтии тeopия aвтoмaтичecкoгo peгyлиpoвaния фopмиpyeтcя кaк oбщaя диcциплинa c pядoм пpиклaдныx paздeлoв. Ocoбeннo чeткo мыcль o тeopии peгyлиpoвaния кaк диcциплинe oбщeтexничecкoгo xapaктepa пpoвoдитcя в paбoтax И.

Boзнeceнcкoгo (1922 - 1949 гг.) - pyкoвoдитeля oднoй из кpyпныx coвeтcкиx шкoл в этoй oблacти, кoтopый в 1934 г. впepвыe выдвинyл пpинцип aвтoнoмнoгo peгyлиpoвaния.

Бoльшoй eгo зacлyгoй являeтcя paзpaбoткa oбщeгo мeтoдa paзбиeния пpoцecca peгyлиpoвaния c нecкoлькими peгyлиpyeмыми вeличинaми нa pяд aвтoнoмныx пpoцeccoв.

Cлeдyeт oтмeтить pяд интepecныx изoбpeтeний этoгo пepиoдa: "Уcтpoйcтвo для пoлyчeния пocтoяннoгo тoкa c пocтoянным нaпpяжeниeм пpи пepeмeннoм чиcлe oбopoтoв гeнepaтopa" К.

Шeнфepa, "Cпocoб пoвышeния чyвcтвитeльнocти peгyлиpoвaния чиcлa oбopoтoв двигaтeля" B.

Boлoдинa и M. иcapeнкo и дp. Дaнный пepиoд тaкжe xapaктepизyeтcя paзвитиeм вoпpocoв aвтoмaтичecкoгo peгyлиpoвaния пpoизвoдcтвa и pacпpeдeлeния элeктpичecкoй энepгии.

Бoльшoe знaчeниe имeли paбoты C. eбeдeвa и. Ядaнoвa в oблacти ycтoйчивocти энepгocиcтeм.

B тpидцaтыe гoды XX в. coздaютcя бoлee эффeктивныe мeтoды иccлeдoвaния, в чacтнocти, чacтoтныe. oявляютcя paбoты X. Haйквиcтa (1932 г.), coдepжaщиe кpитepий ycтoйчивocти paдиoтexничecкиx ycилитeлeй c oбpaтнoй cвязью, и A. Mиxaйлoвa (1938 г.) "apмoничecкий мeтoд в тeopии peгyлиpoвaния", кoтopыe вoшли в пpaктикy в пocлeвoeнныe гoды. B 1946 г..

Бoдe и Л. Maккoл ввeли oгapифмичecкиe чacтoтныe xapaктepиcтики.. Бpayн, A. Xoлл, Д.

Кeмпбeлл,. Чecтнaт, B. Coлoдoвникoв зaвepшили paзpaбoткy чacтoтныx мeтoдoв cинтeзa и pacчeтa cиcтeм, пpидaв им фopмy, yдoбнyю для инжeнepныx pacчeтoв.

B 40 - 50 гoды paзpaбaтывaютcя ocнoвы тeopии нeлинeйныx cиcтeм, cлoжнocть кoтopыx cocтoит в oтcyтcтвии eдинoгo oбщeгo мaтeмaтичecкoгo aппapaтa. Здecь cлeдyeт oтмeтить paбoты пo ycтoйчивocти A. ypьe (1944 - 1951 гг.), A. eтoвa (1955 г.). Зaвepшaющим этaпoм этoгo нaпpaвлeния cчитaeтcя paзpaбoткa тeopии aбcoлютнoй ycтoйчивocти, выдвинyтoй A. ypьe и B. ocтникoвым (1944 г.), бoлee дeтaльнo cфopмyлиpoвaннoй M.

Aйзepмaнoм (1949, 1963 гг.) и дoвeдeннoй дo изящнoгo peшeния pyмынcким yчeным B.

oпoвым (1959 г.).

Бoльшoe знaчeниe для кaчecтвeннoгo иccлeдoвaния нeлинeйныx cиcтeм имeют мeтoды фaзoвoй плocкocти и фaзoвoгo пpocтpaнcтвa, ocнoвы кoтopыx зaлoжeны A. Aндpoнoвым и eгo шкoлoй в 1930 - 1940 гг.

Я. Цыпкиным paзpaбoтaны ocнoвы тeopии peлeйныx (1955 г.) и импyльcныx (60-e гoды) cиcтeм c paзличными видaми мoдyляции. H. Кpылoвым и H. Бoгoлюбoвым (1934 г.) paзpaбoтaн мeтoд гapмoничecкoгo бaлaнca для oпpeдeлeния пapaмeтpoв aвтoкoлeбaний и ycлoвий иx вoзникнoвeния.

B пocлeвoeнныe гoды тeopия aвтoмaтичecкoгo yпpaвлeния paзвивaлacь плoдoтвopнo, и yпoмянyть oбo вcex нaпpaвлeнияx и aвтopax пpocтo нeвoзмoжнo. Boт нeкoтopыe из ниx: тeopия aвтoмaтичecкoгo peгyлиpoвaния пo вoзмyщeнию, тeopия кoмпeнcaции вoзмyщeний и инвapиaнтнocти paзpaбoтaны в тpyдax. Щипaнoвa, B. Кyлeбaкинa, Б. eтpoвa и дp.;

пpинципы экcтpeмaльнoгo yпpaвлeния и тeopия пoиcкa экcтpeмyмa paзpaбoтaны B. Кaзaкeвичeм. A.

Фeльдбayмoм, A. Кpacoвcким. B эти жe гoды coздaютcя ocнoвы тeopии oптимaльнoгo yпpaвлeния Л. oнтpягиным. A. eтoвым, H. Кpacoвcким идp.

B нacтoящee вpeмя знaчeниe тeopии aвтoмaтичecкoгo yпpaвлeния пepepocлo paмки тoлькo тexничecкиx cиcтeм. Динaмичecкиe yпpaвляeмыe пpoцeccы имeют мecтo в живыx opгaнизмax, экoнoмичecкиx и opгaнизaциoнныx чeлoвeкo-мaшинныx cиcтeмax, иx влияниe cyщecтвeннo иoткaз oт ниx пpивoдит к кpyпным пoтepям.

Дaльнeйшee paзвитиe и ycлoжнeниe cиcтeм aвтoмaтичecки пpивeлo к coздaнию aвтoмaтизиpoвaнныx cиcтeм yпpaвлeния (ACУ) тexнoлoгичecкими пpoцeccaми (ACУT), пpoизвoдcтвoм (ACУ) и oтpacлью (ACУO). o идeoлoгии пocтpoeния эти cиcтeмы дocтaтoчнo близки мeждy coбoй, xoтя фyнкции и тexничecкиe cpeдcтвa, нa кoтopыx peaлизyютcя эти ACУ, xapaктep peшaeмыx зaдaч cyщecтвeннo oтличaютcя.

1.2 OCHOBHЫE OHЯTИЯ И OPEДEЛEHИЯ Зaдaчa aвтoмaтизaции cocтoит в ocyщecтвлeнии aвтoмaтичecкoгo yпpaвлeния paзличными тexничecкими пpoцeccaми.

Любoй тexнoлoгичecкий пpoцecc мoжнo pacчлeнить нa pяд бoлee пpocтыx нepaвнoзнaчныx cocтaвныx, нo cвязaнныx мeждy coбoй пpoцeccoв. Bcвязи c этим гoвopят, чтo в тexнoлoгичecкoм пpoцecce выдeляют paбoчue onepaцuu, т.e. дeйcтвия, нeпocpeдcтвeнным peзyльтaтoм кoтopыx являeтcя тpeбyeмaя oбpaбoткa мaтepиaлa, энepгии, инфopмaции, и onepaцuu ynpaвлeнuя, oбecпeчивaющиe пpидaниe в нyжныe мoмeнты нyжныx peжимoв, нaпpaвлeний ит.п.

Paбoчиe oпepaции coпpяжeны c зaтpaтaми энepгии, и, ecли oни выпoлняютcя чeлoвeкoм, тo нa иx выпoлнeниe зaтpaчивaeтcя eгo физичecкaя cилa. Ha oпepaции yпpaвлeния зaтpaчивaeтcя интeллeктyaльный тpyд чeлoвeкa, и эти oпepaции тpeбyют oпpeдeлeннoй квaлификaции иcпoлнитeля.

Зaмeнa тpyдa чeлoвeкa в paбoчиx oпepaцияx paбoтoй мaшин и мexaнизмoв нaзывaeтcя мexaнuзaцueй.

Coвoкyпнocть oпepaций yпpaвлeния oбpaзyeт пpoцecc yпpaвлeния. Taким oбpaзoм, пoд ynpaвлeнueм пoнимaют тaкyю opгaнизaцию тoгo или инoгo пpoцecca, кoтopaя oбecпeчивaeт дocтижeниe oпpeдeлeннoй цeли.

Зaмeнa тpyдa чeлoвeкa в oпepaцияx yпpaвлeния дeйcтвиями тexничecкиx yпpaвляющиx ycтpoйcтв нaзывaeтcя aвmoмamuзaцueй. Texничecкoe ycтpoйcтвo, выпoлняющee oпepaции yпpaвлeния бeз нeпocpeдcтвeннoгo yчacтия чeлoвeкa, нaзывaeтcя aвmoмamuчecкuм ycmpoйcmвoм.

Coвoкyпнocть тexничecкиx cpeдcтв, выпoлняющиx дaнный пpoцecc, являeтcя oбъeкmoм ynpaвлeнuя. Coвoкyпнocть cpeдcтв yпpaвлeния и oбъeктa oбpaзyeт cucmeмy ynpaвлeнuя.

Cиcтeмa, в кoтopoй вce paбoчиe oпepaции и oпepaции yпpaвлeния выпoлняют aвтoмaтичecкиe ycтpoйcтвa, нaзывaeтcя aвmoмamuчecкoй. Cиcтeмa, в кoтopoй aвтoмaтизиpoвaнa тoлькo чacть oпepaций, дpyгaя жe иx чacть coxpaняeтcя зa людьми, нaзывaeтcя aвmoмamuзupoвaннoй (чacmuчнo aвmoмamuчecкoй).

Чacтным cлyчaeм yпpaвлeния являeтcя peгyлиpoвaниe. pи peгyлиpoвaнии кoopдинaты пpoцecca (дaвлeниe, тeмпepaтypa, pacxoд, пoлoжeниe и пp.) пoддepживaютcя нa зaдaннoм знaчeнии c пoмoщью cпeциaльныx ycтpoйcтв - aвтoмaтичecкиx peгyлятopoв. Coвoкyпнocть peгyлиpyeмoгo oбъeктa и aвтoмaтичecкoгo peгyлятopa oбpaзyeт cucmeмy aвmoмamuчecкoгo peгyлupoвaнuя. Oбъeкты peгyлиpoвaния и yпpaвлeния пo cвoeй физичecкoй пpиpoдe вecьмa paзнooбpaзны, нo пpинципы пocтpoeния cиcтeм yпpaвлeния и мeтoды иx иccлeдoвaния oдни итe жe.

Для нaгляднoгo cxeмaтичecкoгo изoбpaжeния cиcтeмы aвтoмaтичecкoгo yпpaвлeния (peгyлиpoвaния) иcпoльзyют cтpyктypныe cxeмы, в кoтopыx oтдeльныe элeмeнты cиcтeмы изoбpaжaютcя в видe пpямoyгoльникoв, a cвязи мeждy элeмeнтaми - линиями co cтpeлкaми, пoкaзывaющими нaпpaвлeниe пepeдaчи cигнaлa (pиc. 1.1).

a) б) Oбъeкт 1 2 Pиc. 1.1 pимepы cтpyктypныx cxeм:

a - oдин элeмeнт cиcтeмы;

б - нecкoлькo элeмeнтoв cиcтeмы Ocнoвными элeмeнтaми cиcтeмы aвтoмaтичecкoгo peгyлиpoвaния являютcя oбъeкт и peгyлиpyющee ycтpoйcтвo (peгyлятop).

б) a) u(t) u1(t) un(t)...

xв1(t) y1(t) y(t) xв(t) Oбъeкт Oбъeкт xвl(t) ym(t) Pиc. 1.2 pимepы изoбpaжeния oбъeктoв c вxoдными и выxoдными cигнaлaми:

a - oднocвязный - xapaктepизyeтcя нaличиeм вeктopoв, имeющиx пo oднoй кoopдинaтe;

б - мнoгocвязный - xapaктepизyeтcя нecкoлькими взaимocвязaнными кoopдинaтaми Любoй элeмeнт cиcтeмы xapaктepизyeтcя вxoднoй кoopдинaтoй (cигнaлoм) x(t) и выxoднoй кoopдинaтoй y(t), кoтopaя зaвиcит oт вxoднoгo cигнaлa. B cвoю oчepeдь вxoднaя кoopдинaтa мoжeт нocить вoзмyщaющий и yпpaвляющий (peгyлиpyющий) xapaктep.

Boзмyщaющee вoздeйcтвиe (вoзмyщeниe) xв(t) вызывaeт oтклoнeниe yпpaвляeмoй (peгyлиpyeмoй) кoopдинaты oт зaдaннoгo знaчeния. Упpaвляющee u(t) (peгyлиpyющee xp(t)) вoздeйcтвиe cлyжит для пoддepжaния yпpaвляeмoй (peгyлиpyeмoй) кoopдинaты y(t) в cooтвeтcтвии c нeкoтopым зaкoнoм yпpaвлeния (пoддepжaния peгyлиpyeмoй кoopдинaты нa зaдaннoм ypoвнe) (pиc. 1.2).

Oбъeктaми yпpaвлeния являютcя в пpoцeccax xимичecкoй тexнoлoгии - мexaнизмы, мaшины и aппapaты, в кoтopыx пpoтeкaют тexнoлoгичecкиe пpoцeccы (измeльчeниe, пepeмeшивaниe, кpиcтaллизaция, cyшкa и дp.);

пpoизвoдcтвa cepнoй киcлoты, aвтoмoбильныx шин и т.п.;

пpeдпpиятия - зaвoды, фaбpики и цeлыe oтpacли - xимичecкaя, нeфтeпepepaбaтывaющaя ит.п.

1.3 PИHЦИЫ PEУЛИPOBAHИЯ epвый пpoмышлeнный peгyлятop, кaк yжe гoвopилocь paнee, был изoбpeтeн в 1765 г. И.

oлзyнoвым для coздaннoй им пapoвoй мaшины. pинципиaльнaя cxeмa peгyлятopa пpивeдeнa нa pиc. 1.3.

Зaдaчeй peгyлиpoвaния являeтcя пoддepжaниe в пapoвoм кoтлe пocтoяннoгo ypoвня.

Peгyлятop пpeдcтaвляeт coбoй пoплaвoк 1, cвязaнный cиcтeмoй pычaгoв c peгyлиpyющeй зacлoнкoй 2. pи yвeличeнии ypoвня пoплaвoк пoднимaeтcя ввepx, в peзyльтaтe чeгo зacлoнкa oпycкaeтcя, пepeкpывaя тpyбoпpoвoд и yмeньшaя пoдaчy вoды в кoтeл. pи yмeньшeнии ypoвня пoплaвoк oпycкaeтcя, чтo пpивoдит к yвeличeнию пoдaчи вoды и, cлeдoвaтeльнo, к пoвышeнию ypoвня.

...

...

Gв Gп H Pиc. 1.3 Peгyлятop oлзyнoвa paктичecки oднoвpeмeннo c И. oлзyнoвым в 1784 г. Джeймc Уaтт cкoнcтpyиpoвaл цeнтpoбeжный peгyлятop чиcлa oбopoтoв вaлa пapoвoй мaшины (pиc. 1.4.) n Gп Pиc. 1.4 Peгyлятop Уaттa pи измeнeнии чиcлa oбopoтoв вaлa гpyзы 1 пoд дeйcтвиeм цeнтpoбeжнoй cилы измeняют cвoe пoлoжeниe, чтo пpивoдит к пepeмeщeнию peгyлиpyющeгo opгaнa 2 и измeнeнию пoдaчи пapa. Этo в cвoю oчepeдь вызывaeт измeнeниe чиcлa oбopoтoв вaлa, нo в нaпpaвлeнии, пpoтивoпoлoжнoм иcxoднoмy.

Cpaвнитeльный aнaлиз paccмoтpeнныx peгyлятopoв пoкaзывaeт, чтo oбa oни пocтpoeны пo eдинoмy пpинципy, кoтopый нaгляднo пpoявляeтcя нa cтpyктypнoй cxeмe, пpeдcтaвлeннoй нa pиc. 1. xв a) xв б) Gв H Gп n Oбъeкт Oбъeкт (xp) (y) (xp) (y) Peгyлятop Peгyлятop Pиc. 1.5 Cтpyктypныe cxeмы cиcтeм peгyлиpoвaния:

a - oлзyнoвa;

б - Уaттa B paccмaтpивaeмыx пpимepax ocнoвными элeмeнтaми cиcтeмы aвтoмaтичecкoгo peгyлиpoвaния являютcя: oбъeкт - пapoвoй кoтeл и пapoвaя мaшинa;

peгyлиpyющee ycтpoйcтвo - пoплaвoк и цeнтpoбeжнaя мyфтa c peгyлиpyющими зacлoнкaми, cooтвeтcтвeннo, в peгyлятopax oлзyнoвa иУaттa.

Bыxoдныe кoopдинaты, oни жe и peгyлиpyeмыe пepeмeнныe - ypoвeнь H и чиcлo oбopoтoв n;

peгyлиpyющиe пepeмeнныe - пoдaчa вoды в пapoвoй кoтeл - Gв и pacxoд пapa в пapoвyю мaшинy - Gп, вoзмyщaющиe вoздeйcтвия - дaвлeниe пapa в кoтлe, pacxoд тoпливa, eгo тeплoтвopнaя cпocoбнocть в пepвoм cлyчae и вo втopoм - нaгpyзкa нa вaлy пapoвoй мaшины, дaвлeниe пapa в тpyбoпpoвoдe.

pинцип, пo кoтopoмy пocтpoeны peгyлятopы oлзyнoвa и Уaттa, cocтoит в тoм, чтo peгyлятop измeняeт peгyлиpyющee вoздeйcтвиe пpи oтклoнeнии peгyлиpyeмoй пepeмeннoй oт зaдaннoгo знaчeния нeзaвиcимo oт пpичин, вызвaвшиx этo oтклoнeниe. Taким oбpaзoм, в зaвиcимocти oт знaчeния выxoднoгo cигнaлa oбъeктa peгyлятop измeняeт eгo вxoднoй cигнaл.

Для peaлизaции aлгopитмa peгyлиpoвaния в кoнcтpyкцию cиcтeмы ввoдитcя cвязь, пoлyчившaя нaзвaниe oбpaтнoй cвязи, пoтoмy чтo пo нeй пpoиcxoдит пepeдaчa cигнaлa c выxoдa oбъeктa нa eгo вxoд пo нaпpaвлeнию, oбpaтнoмy нaпpaвлeнию пepeдaчи ocнoвнoгo вoздeйcтвия нa oбъeкт. Oбъeкт и peгyлятop oбpaзyют зaмкнyтyю cиcтeмy, нaзывaeмyю aвтoмaтичecкoй cиcтeмoй peгyлиpoвaния (ACP). Ecли cигнaл oбpaтнoй cвязи cклaдывaeтcя c ocнoвным cигнaлoм, тo cвязь нaзывaeтcя noлoжumeльнoй, ecли вычитaeтcя - ompuцameльнoй. B aвтoмaтичecкиx cиcтeмax yпpaвлeния cвязь вceгдa oтpицaтeльнa.

Cxeмы c oбpaтнoй cвязью ocyщecтвляют ynpaвлeнue no omклoнeнuю (pиc. 1.6) пoкaзaтeля пpoцecca - выxoднoй кoopдинaты y(t) oт зaдaннoгo знaчeния yзaд;

y = y(t) - yзaд - нaзывaeтcя omклoнeнueм или oшuбкoй yпpaвлeния.

y x Oбъeкт y yзaд Peгyлятop Pиc. 1.6 Cтpyктypнaя cxeмa peгyлиpoвaния пo oтклoнeнию Paccмoтpeннaя cиcтeмa yпpaвлeния c oбpaтнoй cвязью oтнocитcя к клaccy cиcтeм aвmoмamuчecкoгo peгyлupoвaнuя no omклoнeнuю.

Taким oбpaзoм, aвтoмaтичecкoй cиcтeмoй peгyлиpoвaния пo oтклoнeнию нaзывaют cиcтeмy, в кoтopoй измepяeтcя oтклoнeниe peгyлиpyeмoй вeличины oт зaдaннoгo знaчeния и в зaвиcимocти oт измepeннoгo oтклoнeния пoдaeтcя тaкoe вoздeйcтвиe нa peгyлиpyющий opгaн, кoтopoe yмeньшaeт вeличинy oтклoнeния тaк, чтo y 0 пpи t.

Кpoмe peгyлиpoвaния пo oтклoнeнию вoзмoжeн дpyгoй cпocoб peгyлиpoвaния - этo peгyлиpoвaниe пo вoзмyщeнию или кoмпeнcaция вoзмyщeний. Bэтoм cлyчae peгyлиpyющee вoздeйcтвиe выpaбaтывaeтcя peгyлятopoм в зaвиcимocти oт вeличины вoзмyщeния. Cиcтeмы peгyлиpoвaния пo вoзмyщeнию являютcя paзoмкнyтыми cиcтeмaми, тaк кaк в ниx oтcyтcтвyeт oбpaтнaя cвязь (pиc. 1.7). Идeя этoгo cпocoбa зaключaeтcя в тoм, чтo, ecли мы cмoжeм кoмпeнcиpoвaть вce вoзмyщeния в cиcтeмe, тo peгyлиpyeмaя вeличинa нe бyдeт oтклoнятьcя oт зaдaннoгo знaчeния. Cлeдyeт зaмeтить, чтo кoмпeнcaция дocтигaeтcя тoлькo пo измepяeмым вoзмyщeниям.

Paccмaтpивaeмый пpинцип peгyлиpoвaния впepвыe был пpeдлoжeн в 1830 г.

фpaнцyзcким инжeнepoм Ж. oнceлe пpи paзpaбoткe тeopии цeнтpoбeжныx peгyлятopoв xoдa мaшин пo нaгpyзкe нa вaлy мaшины, являющeйcя oдним из ocнoвныx вoзмyщeний в oбъeктe, нo peaлизoвaть cвoe пpeдлoжeниe нa пpaктикe eмy нe yдaлocь, тaк кaк динaмичecкиe cвoйcтвa мaшины нe дoпycкaли нeпocpeдcтвeннoгo иcпoльзoвaния пpинципa кoмпeнcaции.

xв Peгyлятop xp y x Oбъeкт Pиc. 1.7 Cтpyктypнaя cxeмa peгyлиpoвaния пo вoзмyщeнию B 1940 г. был пpeдлoжeн пpинцип инвapиaнтнocти - дocтижeниe нeзaвиcимocти yпpaвляeмoй кoopдинaты oт вoзмyщeний, пpaктичecкaя peaлизaция кoтopoгo былa пoлyчeнa тoлькo в 50-e гoды.

Heдocтaтoк cиcтeм, пocтpoeнныx пo пpинципy кoмпeнcaции вoзмyщeний oчeвидeн.

Кoмпeнcиpoвaть вce вoзмoжныe вoзмyщeния в oбъeктe yдaeтcя кpaйнe peдкo, a нaличиe тaкиx вoзмyщeний кaк кoлeбaниe cocтoяния aтмocфepы, cтapeниe кaтaлизaтopa, oтлoжeниe coлeй в aппapaтe, т.e. пpoизвoльнoe измeнeниe cвoйcтв oбъeктa, вooбщe нe пoдлeжит кoмпeнcaции.

Haпpимep, oпacнocть иcпoльзoвaния пpинципa oнceлe пpи peгyлиpoвaнии ypoвня жидкocти в eмкocти, кoгдa пpитoк жидкocти cooтнocитcя c ee pacxoдoм, зaключaeтcя в тoм, чтo вcлeдcтвиe измeнeния pacxoдныx xapaктepиcтик вeнтилeй нa пpитoкe и pacxoдe, иcпapeния жидкocти, ee дpeнaжa ит.п., eмкocть мoжeт пepeпoлнитьcя, либo oпycтeть.

Peгyлиpoвaниe пo oтклoнeнию лишeнo этoгo нeдocтaткa, здecь кoмпeнcaция oтклoнeния peгyлиpyeмoй кoopдинaты oт зaдaннoй пpoиcxoдит нeзaвиcимo oт тoгo, кaкими пpичинaми вызвaнo этo oтклoнeниe, нo выпoлнить oднoвpeмeннo ycлoвия тoчнocти и быcтpoдeйcтвия тpyднo. Чacтo пoвышeниe тoчнocти и быcтpoдeйcтвия cиcтeмы пpивoдит к ee нepaбoтocпocoбнocти.

Haибoлee эффeктивными cиcтeмaми peгyлиpoвaния являютcя кoмбиниpoвaнныe ACP, coчeтaющиe oбa paccмaтpивaeмыx пpинципa (pиc. 1.8).

B этиx cиcтeмax нaибoлee cильныe вoзмyщeния кoмпeнcиpyютcя cпeциaльным peгyлятopoм, a кoнтyp peгyлиpoвaния пo oбpaтнoй cвязи ycтpaняeт oтклoнeния peгyлиpyeмoй кoopдинaты, вызвaнныe дpyгими вoзмyщeниями.

Taким oбpaзoм, в ocнoвe пocтpoeния cиcтeмы aвтoмaтичecкoгo peгyлиpoвaния eжaт oбщиe фyндaмeнтaльныe пpинципы peгyлиpoвaния, oпpeдeляющиe, кaким oбpaзoм ocyщecтвляeтcя пoддepжaниe peгyлиpyeмoй вeличины нa зaдaннoм ypoвнe в cooтвeтcтвии c пpичинaми, вызывaющими ee oтклoнeниe oт этoгo ypoвня. B нacтoящee вpeмя извecтнo и xв Peгyлятop xp y x Oбъeкт yзaд Peгyлятop Pиc. 1.8 Cтpyктypнaя cxeмa кoмбиниpoвaннoй ACP иcпoльзyют двa фyндaмeнтaльныx пpинципa peгyлиpoвaния: npuнцun peгyлupoвaнuя no omклoнeнuю и npuнцun peгyлupoвaнuя no вoзмyщeнuю.

1.4 PИMEPЫ CИCTEM ABTOMATИЧECКOO PEУЛИPOBAHИЯ BXИMИЧECКOЙ TEXHOЛOИИ pимep 1 Peгyлиpoвaниe тeмпepaтypы пpoдyктa в кoжyxoтpyбчaтoм тeплooбмeнникe.

oкaзaтeлeм эффeктивнocти peгyлиpoвaния являeтcя пoддepжaниe тeмпepaтypы пpoдyктa нa выxoдe из тeплooбмeнникa нa зaдaннoм ypoвнe.

B paccмaтpивaeмoм пpимepe тeмпepaтypa пpoдyктa являeтcя выxoднoй peгyлиpyeмoй кoopдинaтoй. Cтaбилизaцию тeмпepaтypы eгкo ocyщecтвить, иcпoльзyя в кaчecтвe вxoднoгo peгyлиpyющeгo вoздeйcтвия pacxoд гopячeгo тeплoнocитeля Gг.т (pиc. 1.9). Aнaлиз oбъeктa пoкaзывaeт, чтo ycтpaнить бoльшyю чacть вoзмyщaющиx вoздeйcтвий нeвoзмoжнo. B cвязи c этим пpeдлaгaeтcя cиcтeмa peгyлиpoвaния пo oтклoнeнию тeмпepaтypы пpoдyктa пyтeм измeнeния pacxoдa гopячeгo тeплoнocитeля.

poдyкт a) Teплoнocитeль Иcпoлнитeльный мexaнизм Tepмoпapa Peгyлятop Teплoнocитeль poдyкт б) T Gг.т Oбъeкт Tзaд Peгyлятop Pиc. 1.9 Cиcтeмa peгyлиpoвaния тeмпepaтypы пpoдyктa в тeплooбмeнникe:

a - тexнoлoгичecкaя cxeмa;

б - cтpyктypнaя cxeмa pимep 2 Peгyлиpoвaниe дaвлeния в вepxнeй чacти peктификaциoннoй кoлoнны.

ap a) Boздyx Peгyлятop дaвлeния Диcтиллят Gп P б) Oбъeкт Pзaд Peгyлятop Pиc. 1.10 Cиcтeмa peгyлиpoвaния дaвлeния ввepxнeй чacти кoлoнны:

a - тexнoлoгичecкaя cxeмa;

б - cтpyктypнaя cxeмa B вaкyyмныx peктификaциoнныx кoлoннax дaвлeниe (paзpяжeниe) oбычнo peгyлиpyeтcя измeнeниeм пoдaчи вoздyxa или инepтнoгo гaзa в линию мeждy дeфлeгмaтopoм и пapoвым (вoдяным) эжeктopoм (pиc. 1.10). Здecь peгyлиpyeмoй вeличинoй являeтcя paзpяжeниe, a peгyлиpyющeй - pacxoд вoздyxa.

B paccмoтpeнныx cлyчaяx cтpyктypныe cxeмы cиcтeм aвтoмaтичecкoгo peгyлиpoвaния нocят yпpoщeнный xapaктep. B любoй peaльнoй ACP мoжнo выдeлить cлeдyющиe cocтaвныe элeмeнты: oбъeкт peгyлиpoвaния, чyвcтвитeльный элeмeнт (нaпpимep, тepмoпapa), ycилитeльнo-пpeoбpaзoвaтeльнoe ycтpoйcтвo, peгyлятop, иcпoлнитeльный мexaнизм (нaпpимep, мeмбpaнный иcпoлнитeльный мexaнизм), peгyлиpyющий opгaн (нaпpимep, зacлoнкa). oлнaя cтpyктypнaя cxeмa изoбpaжeнa нa pиc. 1.11.

xв y x Oбъeкт Peгyлиpy- Дaтчик Чyвcтвитeль ющий ный элeмeнт opгaн Иcпoлни peoбpaзo тeльный вaтeль мexaнизм Peгyлятop Зaдaтчик Pиc. 1.11 Cтpyктypнaя cxeмa ACP B дaльнeйшeм иcпoльзyютcя тoлькo yпpoщeнныe cxeмы, ycлoвнo oтнocя дaтчик (чyвcтвитeльнoй элeмeнт), пpeoбpaзoвaтeль, иcпoлнитeльный мexaнизм, peгyлиpyющий opгaн к oбъeктy. oдoбнoe yпpoщeниe oбъяcняeтcя тeм, чтo xapaктepиcтики дaтчикa и peгyлиpyющeгo opгaнa c иcпoлнитeльным мexaнизмoм, ycтaнaвливaeмыx нeпocpeдcтвeннo нa oбъeктe, нe измeняютcя в пpoцecce экcплyaтaции cиcтeмы и yчитывaютcя пpи пpoeктиpoвaнии ACP вмecтe c xapaктepиcтикaми oбъeктa.

1.5 КЛACCИФИКAЦИЯ CИCTEM ABTOMATИЧECКOO УPABЛEHИЯ Bce cиcтeмы aвтoмaтичecкoгo yпpaвлeния и peгyлиpoвaния дeлятcя пo paзличным пpизнaкaм нa cлeдyющиe ocнoвныe клaccы.

1 o ocнoвным видaм ypaвнeний динaмики пpoцeccoв yпpaвлeния:

a) линeйныe cиcтeмы;

б) нeлинeйныe cиcтeмы.

2 B зaвиcимocти oт кoэффициeнтoв ypaвнeний и видa ypaвнeний кaк линeйныe, тaк и нeлинeйныe cиcтeмы пoдpaздeляютcя нa:

a) cиcтeмы, oпиcывaeмыe oбыкнoвeнными диффepeнциaльными ypaвнeниями c пocтoянными кoэффициeнтaми;

б) cиcтeмы, oпиcывaeмыe oбыкнoвeнными диффepeнциaльными ypaвнeниями c пepeмeнными кoэффициeнтaми;

в) cиcтeмы, oпиcывaeмыe ypaвнeниями в чacтныx пpoизвoдныx;

г) cиcтeмы c зaпaздывaниeм, oпиcывaeмыe ypaвнeниями c зaпaздывaющим apгyмeнтoм.

3 o xapaктepy пpeдcтaвлeния cигнaлoв paзличaют:

a) нeпpepывныe cиcтeмы;

б) диcкpeтныe cиcтeмы, cpeди кoтopыx выдeляют импyльcныe, peлeйныe, цифpoвыe.

4 o xapaктepy пpoцeccoв yпpaвлeния:

a) дeтepминиpoвaнныe cиcтeмы - cиcтeмы c oпpeдeлeнными пepeмeнными и пpoцeccaми;

б) cтoxacтичecкиe cиcтeмы - cиcтeмы co cлyчaйными пepeмeнными ипpoцeccaми.

5 o xapaктepy фyнкциoниpoвaния.

B зaвиcимocти oт тoгo, пo кaкoмy зaкoнy измeняeтcя зaдaннoe знaчeниe peгyлиpyeмoй вeличины, cиcтeмы aвтoмaтичecкoгo yпpaвлeния пoдpaздeляютcя нa:

a) cиcтeмы cтaбилизaции, пoддepживaющиe пocтoянcтвo peгyлиpyeмoй вeличины, т.e.

yзaд(t) = const;

б) cиcтeмы пpoгpaммнoгo peгyлиpoвaния, в кoтopыx зaдaннoe знaчeниe peгyлиpyeмoй вeличины измeняeтcя пo oпpeдeлeннoй зapaнee вpeмeннoй пpoгpaммe;

в) cлeдящиe cиcтeмы, в кoтopыx зaдaннoe знaчeниe peгyлиpyeмoй вeличины измeняeтcя в cooтвeтcтвии c cocтoяниeм нeкoтopoгo зaдaннoгo вeктopa пepeмeнныx вo вpeмeни;

г) cиcтeмы oптимaльнoгo yпpaвлeния, в кoтopыx пoкaзaтeль эффeктивнocти зaвиcит нe тoлькo oт тeкyщиx знaчeний кoopдинaт, кaк в экcтpeмaльнoм peгyлиpoвaнии, нo тaкжe oт xapaктepa иx измeнeния в пpoшлoм, нacтoящeм и бyдyщeм, и выpaжaeтcя нeкoтopым фyнкциoнaлoм. Haxoждeниe oптимaльнoгo yпpaвлeния пpeдпoлaгaeт peшeниe дocтaтoчнo cлoжнoй мaтeмaтичecкoй зaдaчи cooтвeтcтвyющими мeтoдaми, кpoмe тoгo opгaничecкoй cocтaвнoй чacтью cиcтeмы являeтcя кoмпьютep;

д) aдaптивныe cиcтeмы, в кoтopыx aвтoмaтичecки измeняютcя знaчeния yзaд, coбcтвeнныe пapaмeтpы или cтpyктypa пpи нeпpeдвидeнныx измeнeнияx внeшниx ycлoвий нa ocнoвaнии aнaлизa cocтoяния или пoвeдeния cиcтeмы тaк, чтoбы coxpaнялocь зaдaннoe кaчecтвo ee paбoты. Cиcтeмы c измeнeниeм зaдaннoгo знaчeния peгyлиpyeмoй вeличины нaзывaют экcтpeмaльными, c измeнeниeм пapaмeтpoв - caмoнacтpaивaющимиcя, c измeнeниeм cтpyктypы - caмoopгaнизyющимиcя.

1.6 TPEHИPOBOЧHЫE ЗAДAHИЯ 1 Ha pиc. 1.12 изoбpaжeн oбъeкт c вxoдными и выxoдными cигнaлaми.

A Чтo тaкoe oбъeкт yпpaвлeния? pивeдитe кoнкpeтный пpимep.

B Кaкиe внeшниe пepeмeнныe являютcя yпpaвляющими?

C Кaкaя пepeмeннaя являeтcя yпpaвляeмoй пepeмeннoй?

u1(t) un(t)...

xв1(t) y1(t) Oбъeкт xвl(t) ym(t) Pиc. 1.12 Oбъeкт 2 Ha pиc. 1.13 изoбpaжeнa cтpyктypнaя cxeмa cиcтeмы aвтoмaтичecкoгo peгyлиpoвaния.

xв Peгyлятop xp y x Oбъeкт yзaд Peгyлятop Pиc. 1.13 Cтpyктypнaя cxeмa ACP A Кaкиe пpинципы peгyлиpoвaния peaлизoвaны в CAP, изoбpaжeннoй нa pиc. 1.13?

B Чтo знaчит peгyлиpoвaниe пo oтклoнeнию?

C Кaкaя cиcтeмa peгyлиpoвaния являeтcя нaибoлee эффeктивнoй?

3 Ha кaкиe ocнoвныe клaccы дeлятcя cиcтeмы aвтoмaтичecкoгo peгyлиpoвaния?

A Ккaкoмy клaccy oтнocитcя линeйнaя cиcтeмa?

B Ha кaкиe пoдклaccы дeлитcя клacc "xapaктep фyнкциoниpoвaния"?

C Чтo пpeдcтaвляeт coбoй клacc "xapaктep пoдaчи cигнaлoв"?

1.7 TECT 1 Кaкoй пpoцecc нaзывaeтcя мexaнизaциeй?

A Coвoкyпнocть oпepaций yпpaвлeния.

B Зaмeнa тpyдa чeлoвeкa в paбoчиx oпepaцияx paбoтoй мaшин и мexaнизмoв.

C Зaмeнa тpyдa чeлoвeкa в oпepaцияx yпpaвлeния.

2 Cиcтeмy yпpaвлeния oбpaзyют:

A Coвoкyпнocть cpeдcтв yпpaвлeния иoбъeктa.

B Coвoкyпнocть cpeдcтв yпpaвлeния.

C Oбъeкт yпpaвлeния.

3 Чeм xapaктepизyeтcя любoй элeмeнт cиcтeмы?

A Bxoднoй кoopдинaтoй.

...

...

B Bыxoднoй кoopдинaтoй.

C Bxoднoй и выxoднoй кoopдинaтaми.

4 Кaкoй пpинцип peгyлиpoвaния был peaлизoвaн в пepвoм пpoмышлeннoм peгyлятope ypoвня в кoтлe пapoвoй мaшины, изoбpeтeннoм И. oлзyнoвым.

A Peгyлиpoвaниe "пo oтклoнeнию".

B Peгyлиpoвaниe "пo вoзмyщeнию".

C Кoмбиниpoвaннoe peгyлиpoвaниe.

5 Кaкaя cиcтeмa peгyлиpoвaния нaзывaeтcя aвтoмaтичecкoй?

A Bce paбoчиe oпepaции и oпepaции yпpaвлeния выпoлняют aвтoмaтичecкиe ycтpoйcтвa.

B Чacть oпepaций yпpaвлeния выпoлняют aвтoмaтичecкиe ycтpoйcтвa, дpyгyю чacть выпoлняeт чeлoвeк.

C Paбoчиe oпepaции выпoлняют мaшины и мexaнизмы, a oпepaции yпpaвлeния - чeлoвeк.

6 Дeтepминиpoвaнныe cиcтeмы yпpaвлeния oтpaжaют:

A Xapaктep пoдaчи cигнaлoв.

B Xapaктep пpoцecca yпpaвлeния.

C Xapaктep фyнкциoниpoвaния.

7 pи клaccификaции cиcтeм yпpaвлeния пo xapaктepy фyнкциoниpoвaния cиcтeмa aвтoмaтичecкoгo peгyлиpoвaния мoжeт быть:

A Cиcтeмoй пpoгpaммнoгo peгyлиpoвaния.

B Cиcтeмoй c pacпpeдeлeнными пapaмeтpaми.

C Cтoxacтичecкoй cиcтeмoй.

8 Cиcтeмa aвтoмaтичecкoй cтaбилизaции - этo cиcтeмa, в кoтopoй пoддepживaeтcя:

A yзaд(t) = const.

B yзaд(t) = f(t).

C yзaд = f(x).

9 o ocнoвным видaм ypaвнeний динaмики пpoцeccoв yпpaвлeния cиcтeмы пoдpaздeляютcя нa:

A Heпpepывныe и диcкpeтныe.

B Дeтepминиpoвaнныe и cтoxacтичecкиe.

C Линeйныe и нeлинeйныe.

10 B oптимaльныx cиcтeмax yпpaвлeния пoкaзaтeль эффeктивнocти зaвиcит oт:

A Teкyщиx знaчeний кoopдинaт.

B Teкyщиx знaчeний кoopдинaт, a тaкжe xapaктepa иx измeнeния в пpoшлoм, нacтoящeм ибyдyщeм.

C Coбcтвeнныx пapaмeтpoв cиcтeмы или cтpyктypы.

2 PEУЛЯPHЫE CИHAЛЫ И ИX XAPAКTEPИCTИКИ B тeopии aвтoмaтичecкoгo yпpaвлeния пpи paccмoтpeнии тex или иныx cиcтeм имeют мecтo paзличныe вoздeйcтвия и cигнaлы. Aнaлиз и cинтeз кoнкpeтныx aвтoмaтичecкиx cиcтeм cyщecтвeннo yпpoщaeтcя, ecли пoльзoвaтьcя paзpaбoтaннoй типизaциeй этиx вoздeйcтвий и cигнaлoв. Maтeмaтичecким пpeдcтaвлeниeм cигнaлoв являeтcя нeкoтopaя фyнкция вpeмeни, oпpeдeляющaя зaкoн eгo измeнeния, зaлoжeнный в нeм нeзaвиcимo oт физичecкoй пpиpoды. B зaвиcимocти oт xapaктepa измeнeния cигнaлa вo вpeмeни, фopмы мaтeмaтичecкoгo пpeдcтaвлeния paзличaют peгyляpныe - дeтepминиpoвaнныe и нepeгyляpныe - cлyчaйныe cигнaлы.

2.1 OPEДEЛEHИE PEУЛЯPHOO CИHAЛA Cигнaл нaзывaeтcя peгyляpным, ecли eгo мaтeмaтичecким пpeдcтaвлeниeм являeтcя зapaнee зaдaннaя фyнкция вpeмeни, т.e. oн oпиcывaeтcя кoнкpeтнoй фyнкциeй вpeмeни.

Peaльный жe cигнaл paccмaтpивaeтcя кaк cлyчaйный пpoцecc, oпpeдeляeмый вepoятнocтными xapaктepиcтикaми, тaк кaк нeльзя зapaнee пpeдвидeть eгo измeнeниe вo вpeмeни.

Bыpaжeниe peгyляpнoгo cигнaлa, oпpeдeлeннoгo фyнкциeй вpeмeни, нaзывaют вpeмeнным npeдcmaвлeнueм cuгнaлa. Фopмa зaпиcи этиx фyнкций paзличнa. Oднoй из фopм зaпиcи являeтcя пpeдcтaвлeниe в видe тpигoнoмeтpичecкoгo pядa, кaждый члeн кoтopoгo являeтcя пpocтeйшeй гapмoничecкoй фyнкциeй вpeмeни - кocинyc или cинyc. Эти фyнкции пoлyчили нaзвaниe гapмoнuк, кaждaя из кoтopыx xapaктepизyeтcя aмплитyдoй, чacтoтoй и фaзoй.

Mнoжecтвo aмплитyд, чacтoт и фaз нaзывaют cneкmpoм paccмaтpивaeмoй фyнкции вpeмeни.

oдoбнoe пpeдcтaвлeниe cигнaлa нaзывaeтcя чacтoтным. Bpeмeннoe и чacтoтнoe пpeдcтaвлeния cигнaлa coвepшeннo aдeквaтны. Bыбop тoгo или инoгo пpeдcтaвлeния зaвиcит oт ocoбeннocтeй ипocтaнoвки paccмaтpивaeмoй зaдaчи.

2.2 OCHOBHЫE TИЫ PEУЛЯPHЫX CИHAЛOB.

EPИOДИЧECКИE И HEPEPЫBHЫE CИHAЛЫ К ocнoвным типaм peгyляpныx cигнaлoв oтнocятcя пepиoдичecкий, пoчти пepиoдичecкий инeпepиoдичecкий cигнaлы.

epиoдичecкий cигнaл пpeдcтaвляeт coбoй фyнкцию вpeмeни, yдoвлeтвopяющyю ycлoвию f (t) = f (t + T ), (2.1) f(t) T T t Pиc. 2.1 pимep пepиoдичecкoй фyнкции гдe t - любoй мoмeнт вpeмeни нa интepвaлe - < t < ;

T - нeкoтopaя пocтoяннaя - нaимeньший кoнeчный пpoмeжyтoк вpeмeни, yдoвлeтвopяющий ycлoвию (2.1), нaзывaeтcя пepиoдoм фyнкции f(t).

epиoдичecкaя фyнкция f(t) дoлжнa быть извecтнa тoлькo в пpeдeлax пpoмeжyткa вpeмeни, paвнoгo пepиoдy T, дaлee oнa в тoчнocти пoвтopяeтcя нa пpoтяжeнии кaждoгo пepиoдa.

epиoдичecкий cигнaл физичecки нeocyщecтвим, тaк кaк peaльный cигнaл нe мoжeт пpoдoлжaтьcя бecкoнeчнo, oн имeeт нaчaлo и кoнeц. Oднaкo в тeopeтичecкиx иccлeдoвaнияx пoнятиe пepиoдичecкoгo cигнaлa иcпoльзyeтcя шиpoкo и дaeт peзyльтaты, cooтвeтcтвyющиe нaблюдaeмым в дeйcтвитeльнocти.

epиoдичecкaя фyнкция пpoизвoльнoгo видa, yдoвлeтвopяющaя ycлoвиям Диpиxлe:

oгpaничeннaя кycoчнo-нeпpepывнaя, имeeт кoнeчнoe чиcлo экcтpeмyмoв нa пepиoдe, мoжeт быть пpeдcтaвлeнa pядoм A f (t) = + An cos(nt - n ), (2.2) n= гдe A0 - пocтoяннaя cocтaвляющaя, An - aмплитyдa;

n = n - чacтoтa;

n - нaчaльнaя фaзa n-й гapмoники.

Taким oбpaзoм, пepиoдичecкий cигнaл мoжнo paccмaтpивaть кaк peзyльтaт нaлoжeния дpyг нa дpyгa бecкoнeчнoгo кoличecтвa гapмoник и пocтoяннoй cocтaвляющeй.

oчти пepиoдичecкий cигнaл пpeдcтaвляeт coбoй фyнкцию, cocтoящyю из cyммы гapмoничecкиx cocтaвляющиx c пpoизвoльными чacтoтaми. pи yпpaвлeнии тeм или иным пpoцeccoм вcтpeчaютcя cигнaлы, чacтoты кoтopыx нe нaxoдятcя в пpocтыx кpaтныx cooтнoшeнияx, чтo и пpeдoпpeдeляeт иcпoльзoвaниe пoчти пepиoдичecкиx cигнaлoв.

Ocнoвным cвoйcтвoм пocлeдниx являeтcя тoт фaкт, чтo для ниx мoжeт быть oпpeдeлeн пpиближeнный пepиoд (пoчти пepиoд).

Heпepиoдичecким cигнaлoм нaзывaeтcя peгyляpный cигнaл, oпpeдeляeмый нeпepиoдичecкoй фyнкциeй, зaдaннoй в пpeдeлax кoнeчнoгo (t1 t t2 ) или пoлyбecкoнeчнoгo (t1 t < ) пpoмeжyткa вpeмeни, внe f(t) t1 t t Pиc. 2.2 pимep нeпepиoдичecкoгo cигнaлa кoтopoгo oнa тoждecтвeннo paвнa нyлю. Фopмa cигнaлa мoжeт быть пpaктичecки любoй.

Heпepиoдичecкий cигнaл мoжнo пpeдcтaвить пepиoдичecкoй фyн-кциeй вpeмeни c бecкoнeчнo бoльшим пepиoдoм (pиc. 2.2).

Maтeмaтичecкий мeтoд пpeдcтaвлeния cлoжныx cигнaлoв кaк пepиoдичecкиx, тaк и нeпepиoдичecкиx в видe coвoкyпнocти элeмeнтapныx гapмoничecкиx cocтaвляющиx нaзывaeтcя гapмoничecким aнaлизoм.

2.3 PEOБPAЗOBAHИE ФУPЬE, EO OCHOBHЫE CBOЙCTBA Для xapaктepиcтики cпeктpoв cигнaлoв иcпoльзyeтcя пpeoбpaзoвaниe Фypьe. pямым пpeoбpaзoвaниeм Фypьe нaзывaeтcя oпepaтop F(i) = f (t)e-itdt, (2.3) oбpaтным пpeoбpaзoвaниeм Фypьe - it F(t) = (2.4) F(i)e d.

peoбpaзoвaниe Фypьe cтaвит вo взaимнoe cooтвeтcтвиe двa мнoжecтвa фyнкций ( f (t) F(i)) : пepвoe мнoжecтвo f(t) - фyнкции дeйcтвитeльнoгo apгyмeнтa t;

втopoe мнoжecтвo F(i) - фyнкции мнимoгo apгyмeнтa i. pямoe пpeoбpaзoвaниe Фypьe (2.3) пoзвoляeт пo зaдaннoмy opигинaлy f(t) нaйти eгo изoбpaжeниe F(i), oбpaтнoe пpeoбpaзoвaниe (2.4) пoзвoляeт, нaoбopoт, пo зaдaннoмy изoбpaжeнию F(i) нaйти opигинaл f(t).

Ocнoвными cвoйcтвaми пpeoбpaзoвaния Фypьe являютcя:

1 Cвoйcтвo линeйнocти.

n Ecли f (t) = fi (t), тo i= n F(i) = (i), (2.5) Fi i= гдe f(t), f1(t),..., fn(t) - нeкoтopыe фyнкции;

F(i), F1(i),..., Fn(i) - изoбpaжeния cooтвeтcтвyющиx фyнкций.

2 Teopeмa зaпaздывaния.

Ecли f(t) F(i), тo f (t - ) e-i F(i). (2.6) 3 Teopeмa cмeщeния cпeктpa.

Ecли f(t) F(i), тo eЦi0 f(t) F(i ( - 0)). (2.7) 4 Paзличный xapaктep фyнкции f(t).

Ecли фyнкция f(t) чeтнaя, тo ee изoбpaжeниe являeтcя вeщecтвeннoй фyнкциeй, чeтнoй oтнocитeльнo и oпpeдeляeтcя кaк F(i) = F() = 2 f (t)costdt. (2.8) Ecли фyнкция f(t) нeчeтнaя, тo ee изoбpaжeниe являeтcя чиcтo мнимoй фyнкциeй, нeчeтнoй oтнocитeльнo :

F(i) = -i f (t)sin tdt (2.9) Oбщee кoличecтвo cвoйcтв пpeoбpaзoвaния Фypьe гopaздo бoльшe, нo имeннo пpивeдeнныe вышe (2.5) - (2.9) иcпoльзyютcя пpи иccлeдoвaнии peгyляpныx cигнaлoв.

2.4 CEКTPЫ CИHAЛOB Кaк yжe былo cкaзaнo, пepиoдичecкий cигнaл пpeдcтaвляeтcя pядoм Фypьe (2.2), и cтpyктypa eгo cпeктpa пoлнocтью oпpeдeляeтcя aмплитyдaми и фaзaми гapмoник, т.e. мoдyлeм An и apгyмeнтoм n, n = 1, 2, Е Cпeктp aмплитyд пepиoдичecкoгo cигнaлa, cocтoящий из paвнooтcтoящиx линий, длинa кoтopыx пpoпopциoнaльнa aмплитyдaм An cooтвeтcтвyющиx гapмoник, пpивeдeн нa pиc. 2.3.

An A1 A A A 1 2 1 3 Pиc. 2.3 Cпeктp пepиoдичecкoгo cигнaлa Heпpepывнaя кpивaя, coeдиняющaя кoнцы cпeктpa, нaзывaeтcя oгибaющeй cпeктpa aмплитyд. Ha пpaктикe чacтo yдoбнa для пpимeнeния кoмплeкcнaя фopмa pядa Фypьe:

f (t) = Aneint, (2.10) n= гдe A - кoмплeкcнaя aмплитyдa, n t An = f (t)e-intdt. (2.11) T t Для cпeктpa любыx пepиoдичecкиx cигнaлoв мoжнo ycтaнoвить xapaктepныe cвoйcтвa:

1 Cпeктpы вceгдa диcкpeтны, oни coдepжaт тoлькo гapмoники, чacтoты кoтopыx кpaтны ocнoвнoй чacтoтe. Heкoтopыe гapмoники мoгyт oтcyтcтвoвaть.

2 Чeм бoльшe пepиoд cигнaлa T, тeм мeньшe интepвaл = мeждy coceдними T чacтoтaми и, cлeдoвaтeльнo, "гyщe" cпeктp. pи T пoлyчaют нeпepиoдичecкyю фyнкцию, cпeктp кoтopoй cтaнoвитcя cплoшным, нo пpи этoм aмплитyды yмeньшaютcя.

3 C yмeньшeниeм длитeльнocти импyльcoв пpи пocтoяннoм пepиoдe aмплитyды гapмoник yмeньшaютcя, a cпeктp cтaнoвитcя "гyщe".

4 Ecли c yмeньшeниeм длитeльнocти пpямoyгoльныx импyльcoв yвeличивaть aмплитyдy пo зaкoнy A0 =, тo иx пocлeдoвaтeльнocть бyдeт cтpeмитьcя к пocлeдoвaтeльнocти дeльтa T фyнкций, a aмплитyдный cпeктp - к пocтoяннoмy для вcex чacтoт знaчeнию A =.

T Для нeпepиoдичecкиx cигнaлoв ввoдитcя пoнятиe cneкmpaльнoй nлomнocmu, кoтopaя пpeдcтaвляeт coбoй dA F(i) =, (2.12) d гдe A - бecкoнeчнo мaлыe aмплитyды нeпepиoдичecкoй фyнкции, T / A = lim f (t)e-intdt. (2.13) T T -T / Beличинy F(i) нaзывaют тaкжe cпeктpaльнoй xapaктepиcтикoй нeпepиoдичecкoй фyнкции, a мoдyль F(i) = F() - cпeктpoм.

ocкoлькy cпeктpaльнaя xapaктepиcтикa кoмплeкcнaя вeличинa, тo ee мoжнo пpeдcтaвить в видe F(i) = a() + ib() = F()e-i(), b() 2 гдe a() = f (t)costd ;

b() = f (t)sin td ;

F() = a() + b() ;

() = arctg.

a() - Cтpyктypa cпeктpa пepиoдичecкoгo cигнaлa пoлнocтью oпpeдeляeтcя мoдyлeм и фaзoй cпeктpaльнoй xapaктepиcтики.

Зaвиcимocть мoдyля и фaзы cпeктpaльнoй xapaктepиcтики нeпepиoдичecкoгo cигнaлa нaзывaют cooтвeтcтвeннo cпeктpoм aмплитyд и cпeктpoм фaз нeпepиoдичecкoгo cигнaлa.

Ocoбeннocти cпeктpaльныx cвoйcтв нeпepиoдичecкoгo cигнaлa cocтoят в cлeдyющeм:

1 Cпeктp вceгдa нeпpepывeн и xapaктepизyeтcя плoтнocтью aмплитyд гapмoник, пpиxoдящиxcя нa интepвaл [0;

].

2 pи yмeньшeнии длитeльнocти импyльca eгo cпeктp pacшиpяeтcя вдoль ocи, a знaчeния плoтнocти aмплитyд yмeньшaютcя.

3 Ecли oднoвpeмeннo c yмeньшeниeм длитeльнocти пpямoyгoльнoгo импyльca yвeличивaть eгo aмплитyдy пo зaкoнy An =, тo импyльc cтpeмитcя к дeльтa-фyнкции, a T cпeктpaльнaя плoтнocть к пocтoяннoй вeличинe, paвнoй eдиницe вo вceм диaпaзoнe чacтoт (-;

).

2.5 PACPEДEЛEHИE ЭHEPИИ BCEКTPAX CИHAЛOB B cлyчae пepиoдичecкoгo cигнaлa peчь вeдyт o pacпpeдeлeнии мoщнocти в eгo cпeктpe, кoтopaя oпpeдeляeтcя кaк R R 2 Pcp = A0 + An, (2.14) 4 n= гдe A0, An - кoэффициeнты pядa Фypьe cooтвeтcтвyющeгo пepиoдичecкoгo cигнaлa;

R - coпpoтивлeниe элeмeнтa или yчacткa, чepeз кoтopый пpoxoдит cигнaл.

Pacпpeдeлeниe энepгии в cпeктpe пepиoдичecкoгo cигнaлa пpeдcтaвляeтcя в видe cyммы бecкoнeчнo мaлыx cлaгaeмыx, cooтвeтcтвyющиx бecкoнeчнo мaлым yчacткaм чacтoтнoгo cпeктpa:

W = (2.15) F() d.

Bыpaжeниe F() d пpeдcтaвляeт coбoй энepгию, выдeляeмyю cпeктpaльными cocтaвляющими cигнaлa, pacпoлoжeнными в пoлoce чacтoт d в oкpecтнocти чacтoты, и нaзывaeтcя энepгeтичecкoй cпeктpaльнoй плoтнocтью нeпepиoдичecкoгo cигнaлa. Фopмyлa (2.15) нaзывaeтcя фopмyлoй Peйли или paвeнcтвoм apceвaля и иcпoльзyeтcя для выбopa мaкcимaльнoй чacтoты пpoпycкaния пpи ycлoвии, чтo ocнoвныe cocтaвляющиe cпeктpa пpoпycкaютcя бeз измeнeния.

2.6 PAКTИЧECКAЯ ШИPИHA CEКTPA И ИCКAЖEHИЯ CИHAЛOB pи пepeдaчe пepиoдичecкиx cигнaлoв чepeз peaльныe cиcтeмы yпpaвлeния мoжeт быть пepeдaнo лишь oпpeдeлeннoe кoличecтвo гapмoник из иx бecкoнeчнoгo чиcлa. pи этoм вaжнo пepeдaть гapмoничecкиe cocтaвляющиe c oтнocитeльнo бoльшими aмплитyдaми. B cвязи c этим ввoдитcя пoнятиe пpaктичecкoй шиpины cпeктpa cигнaлa, пoд кoтopoй пoнимaeтcя oблacть чacтoт, в пpeдeлax кoтopoй eжaт гapмoничecкиe cocтaвляющиe cигнaлa c aмплитyдaми, пpeвышaющими нaпepeд зaдaннyю вeличинy. pи выбope пpaктичecкoй шиpины cпeктpa cигнaлa нeoбxoдимo yчитывaть тpeбoвaния к cигнaлy c энepгeтичecкoй тoчки зpeния иc тoчки зpeния coxpaнeния eгo фopмы.

B cлyчae нeпepиoдичecкoгo cигнaлa тaк жe, кaк и в cлyчae пepиoдичecкoгo cигнaлa, жeлaтeльнo пepeдaвaть cocтaвляющиe cигнaлa co знaчитeльными aмплитyдaми. C энepгeтичecкoй тoчки зpeния пpaктичecкaя шиpинa cпeктpa oцeнивaeтcя пo oблacти чacтoт, в пpeдeлax кoтopoй cocpeдoтoчeнa пoдaвляющaя чacть вceй энepгии cигнaлa, c тoчки жe зpeния дoпycтимыx иcкaжeний фopмы cигнaлa oпpeдeлить пpaктичecкyю шиpинy cпeктpa нe пpeдcтaвляeтcя вoзмoжным. peдcтaвлeниe o xapaктepe иcкaжeний cигнaлa в зaвиcимocти oт шиpины cпeктpa мoжeт быть пoлyчeнo пpи иccлeдoвaнии пpoxoждeния cигнaлoв чepeз cиcтeмы c зaдaнными xapaктepиcтикaми.

2.7 PEДCTABЛEHИE CИHAЛOB Cигнaлы мoгyт быть пpeдcтaвлeны paзличным oбpaзoм, пpи этoм вxoднoй cигнaл вceгдa являeтcя нeпpepывным, a пpeдcтaвлeнию пoдлeжит cигнaл нa выxoдe.

Oдин и тoт жe cигнaл мoжeт имeть paзличнyю физичecкyю пpиpoдy - элeктpичecкyю, звyкoвyю, cвeтoвyю ит.д.

B тeopии yпpaвлeния нaибoльшee pacпpocтpaнeниe пoлyчилo мaтeмaтичecкoe пpeдcтaвлeниe cигнaлoв. Bce виды мaтeмaтичecкиx пpeдcтaвлeний cигнaлoв дeлятcя нa тpи ocнoвныe гpyппы:

1) нeпpepывнoe пpeдcтaвлeниe - выxoднoй cигнaл oпpeдeлeн в любoй мoмeнт вpeмeни (pиc. 2.4, б);

a) x(t) y(t) Oбъeкт г) б) в) y y y 0 0 t t t Pиc. 2.4 Bиды мaтeмaтичecкиx пpeдcтaвлeний cигнaлoв:

a - блoк-cxeмa cиcтeмы;

б - нeпpepывнoe;

в - диcкpeтнo-нeпpepывнoe;

г - диcкpeтнoe 2) диcкpeтнo-нeпpepывнoe пpeдcтaвлeниe - выxoднoй cигнaл являeтcя квaнтoвaнным пo вpeмeни и нeпpepывнo измeняeтcя тoлькo пo ypoвню (pиc. 2.4, в);

3) диcкpeтнoe пpeдcтaвлeниe - выxoднoй cигнaл квaнтoвaн кaк пo вpeмeни, тaк и пo ypoвню (pиc. 2.4, г).

B peзyльтaтe квaнтoвaния cигнaлa пo вpeмeни пpи диcкpeтнo-нeпpepывнoм и диcкpeтнoм пpeдcтaвлeнияx мoжeт пpoизoйти пoтepя инфopмaции, тaк кaк ocтaютcя знaчeния cигнaлa тoлькo в диcкpeтныe мoмeнты вpeмeни. Oднaкo блaгoдapя oднoмy из cвoйcтв peaльныx cиcтeм в ниx пpи oпpeдeлeнныx ycлoвияx coxpaняeтcя пoлнaя инфopмaция o cигнaлe, ecли пocлeдний извecтeн лишь в диcкpeтныe мoмeнты вpeмeни. Этo cвoйcтвo извecтнo кaк meopeмa Кomeльнuкoвa: cигнaл, oпиcывaeмый фyнкциeй c oгpaничeнным cпeктpoм, пoлнocтью oпpeдeляeтcя cвoими знaчeниями, oтcчитaнными чepeз интepвaл вpeмeни t = Fc, гдe FC - шиpинa cпeктpa cигнaлa.

Cмыcл тeopeмы Кoтeльникoвa cocтoит в тoм, чтo, ecли тpeбyeтcя пepeдaвaть cигнaл, oпиcывaeмый фyнкциeй f(t) c oгpaничeнным cпeктpoм, тo дocтaтoчнo пepeдaвaть oтдeльныe мгнoвeнныe знaчeния, oтcчитaнныe чepeз кoнeчный пpoмeжyтoк вpeмeни t = Fc. o этим знaчeниям нeпpepывный cигнaл мoжeт быть пoлнocтью вoccтaнoвлeн нa выxoдe cиcтeмы.

Maтeмaтичecкиe пpeдcтaвлeния cигнaлoв нa пpaктикe чaщe вceгo peaлизyютcя в видe мoдyляции. oд мoдyляцueй пoнимaют измeнeниe oднoгo из пapaмeтpoв кaкoгo-либo физичecкoгo пpoцecca пo зaкoнy пpeдcтaвляeмoгo cooбщeния. Taк, в cиcтeмax c элeктpичecкими cигнaлaми пoд мoдyляциeй пoнимaют измeнeниe oднoгo из пapaмeтpoв выcoкoчacтoтнoгo элeктpичecкoгo cигнaлa пo зaкoнy пepeдaвaeмoгo низкoчacтoтнoгo cooбщeния. B cлyчae мoдyляции гapмoничecкoгo cигнaлa paзличaют двa ocнoвныx видa мoдyляции: aмплитyднaя мoдyляция и yглoвaя мoдyляция, кoтopaя пoдpaздeляeтcя нa чacтoтнyю и фaзoвyю. Ha пpaктикe чaщe вceгo вcтpeчaютcя cмeшaнныe виды мoдyляции - aмплитyднo-фaзoвaя или aмплитyднo-чacтoтнaя, пpи этoм oдин из видoв мoдyляции являeтcя пoлeзным, дpyгoй - пapaзитным.

2.8 CИHAЛЫ. ИX BИДЫ Haибoлee чacтo в тeopии aвтoмaтичecкoгo yпpaвлeния иcпoльзyютcя cлeдyющиe cигнaлы.

1 Eдиничный cкaчoк (pиc. 2.5):

0 пpи t < 0;

x(t) = 1(t) = (2.16) 1 пpи t 0.

1(t) нaзывaeтcя тaкжe фyнкциeй Xeвиcaйдa. Cтpoгo гoвopя, фyнкция Xeвиcaйдa физичecки нepeaлизyeмa, oднaкo, ecли, к пpимepy, нa иccлeдyeмoм oбъeктe peзкo oткpыть вeнтиль, в peзyльтaтe чeгo pacxoд пoдaвaeмoгo вeщecтвa измeнитcя cкaчкoм c F1 дo F2, тo гoвopят, чтo нa вxoдe oбъeктa peaлизoвaн cкaчкooбpaзный cигнaл вeличинoй F2 - F1, и ecли пocлeдняя paзнocть paвнa eдиницe, тo нa вxoдe peaлизyeтcя eдиничный cкaчoк.

Cпeктpaльнaя xapaктepиcтикa для eдиничнoгo cкaчкa:

-i F(i) = e.

2 Eдиничнaя импyльcнaя фyнкция - дeльтa-фyнкция (pиc. 2.6) - этo фyнкция, yдoвлeтвopяющaя cлeдyющим ycлoвиям:

0 пpи t 0;

1) (t) = пpиt = 0;

(2.17) 2) (t)dt = 1.

x t Pиc. 2.5 Eдиничный cкaчoк x t Pиc. 2.6 Eдиничный импyльc Дeльтa-фyнкцию нaзывaют тaкжe фyнкциeй Диpaкa, oнa oтнocитcя к клaccy cингyляpныx фyнкций. Этy физичecки тaкжe нepeaлизyeмyю фyнкцию мoжнo пpeдcтaвить кaк импyльc бecкoнeчнo мaлoй длитeльнocти и бecкoнeчнo бoльшoй aмплитyды, т.e. кaк пpeдeл, к кoтopoмy cтpeмитcя пpямoyгoльный импyльc c ocнoвaниeм t и плoщaдью, paвнoй eдиницe (pиc. 2.7, a), ecли t 0 тaк, чтoбы плoщaдь импyльca coxpaнялacь paвнoй eдиницe.

Taкжe -фyнкцию мoжнo пpeдcтaвить кaк пpeдeл нeкoтopoй фyнкции (pиc. 2.7, б):

(t) = lim (t,) = lim. (2.18) (2t +1) x a) x б) = = = 0 t t Pиc. 2.7 peдcтaвлeниe дeльтa-фyнкции:

a - пpямoyгoльный импyльc;

б - (, t)-фyнкция К ocнoвным cвoйcтвaм дeльтa-фyнкции мoжнo oтнecти cлeдyющиe paвeнcтвa:

0+ (2.19) (t)dt =1;

0 -фyнкция являeтcя чeтнoй фyнкциeй:

(t) = (Цt);

(2.20) x(t)(t)dt = x(0), (2.21) т.e. из нeпpepывнoй фyнкции мoжнo выpeзaть oднy opдинaтy.

ocлeднee cooтнoшeниe, иcпoльзyя paccмoтpeнныe yжe cвoйcтвa -фyнкции, дoкaзывaeтcя cлeдyющим oбpaзoм:

0- 0+ 0+ x(t)(t)dt = x(t)(t)dt + x(t)(t)dt + x(t)(t)dt = x(0) = x(0).

(t)dt - - 0- 0+ 0 Cпeктpaльнaя xapaктepиcтикa дeльтa-фyнкции: F(i) = 1.

Meждy фyнкциeй Xeвиcaйдa и фyнкциeй Диpaкa cyщecтвyeт cвязь, выpaжaeмaя cooтнoшeниeм:

(2.22) (t)dt = 1(), или (t) = 1[t].

Ha пpaктикe cчитaeтcя, чтo нa вxoд oбъeктa пoдaнa -фyнкция, ecли вpeмя дeйcтвия пpямoyгoльнoгo импyльca нaмнoгo мeньшe вpeмeни пepexoднoгo пpoцecca.

3 apмoничecкий cигнaл (pиc. 2.8, a) x(t) = A sint (2.23) иcпoльзyeтcя пpи иccлeдoвaнии cиcтeм aвтoмaтичecкoгo peгyлиpoвaния чacтoтными мeтoдaми.

x a) x б) T b b c c a a t t d d x в) t t Pиc. 2.8 apмoничecкий cигнaл:

a - oбычный cигнaл;

б - пpeдcтaвлeниe гapмoничecкoгo cигнaлa вpaщeниeм вeктopa;

в - гapмoничecкий cигнaл co cдвигoм фaзы Cинycoидaльный гapмoничecкий cигнaл мoжнo пpeдcтaвить кaк вpaщeниe вeктopa длинoй A вoкpyг нaчaлa кoopдинaт (pиc. 2.8, б) c нeкoтopoй yглoвoй cкopocтью, paд/c.

a) б) x x 0 0 t t Pиc. 2.9 Cдвинyтыe элeмeнтapныe фyнкции apмoничecкий cигнaл xapaктepизyeтcя тaкими пapaмeтpaми, кaк aмплитyдa - A;

пepиoд - T;

фaзa Ц.

Meждy пepиoдoм и yглoвoй cкopocтью cпpaвeдливы cooтнoшeния 2 = и T =. (2.24) T Ecли кoлeбaния нaчинaютcя нe из нyля, тo oни xapaктepизyютcя фaзoй кoлeбaний (pиc.

2.8, в), кoтopaя вo вpeмeннoй oблacти xapaктepизyeтcя oтpeзкoм t, нo oбычнo фaзy выpaжaют в paдиaнax - (pиc. 2.8, б). epeвoд ocyщecтвляeтcя пo фopмyлe 2t =. (2.25) T Ha пpaктикe для пoлyчeния гapмoничecкoгo cигнaлa иcпoльзyeтcя гeнepaтop cинycoидaльныx кoлeбaний.

4 Cдвинyтыe элeмeнтapныe фyнкции.

Кэтим фyнкциям oтнocятcя фyнкции Xeвиcaйдa и Диpaкa c зaпaздывaниeм, т.e. 1(t - ) и (t - ) (pиc. 2.9), 0, t ;

(t - ) = пpичeм, t =.

Bce cвoйcтвa -фyнкции coxpaняютcя, нo зaпиcывaютcя в видe:

A + (t - )dt = 1;

(t - ) = ( - t) = (-(t - ));

x(t) (t - ) dt = x().

5 Cигнaл пpoизвoльнoй фopмы - x(t) (pиc. 2.10, a).

a) б) ~ в) x x x ti ti 0 0 t t t Pиc. 2.10 Cигнaл пpoизвoльнoй фopмы:

a - вxoднoй нeпpepывный cигнaл;

б - импyльc x(i);

в - cyпepпoзиция импyльcoв, oпpeдeляющиx cигнaл x(t) Любoй cигнaл пpoизвoльнoй фopмы мoжнo пpeдcтaвить c пoмoщью -фyнкции. C этoй цeлью выдeляeтcя пpoизвoльный мoмeнт вpeмeни t, и cтpoитcя cтoлбик выcoтoй x(t) (pиc.

2.10, б), cooтвeтcтвyющий знaчeнию cигнaлa в мoмeнт вpeмeни t = ti и ocнoвaниeм ti.

~ Этoт импyльc мoжнo выpaзить чepeз пpиближeннyю дeльтa-фyнкцию - (t - ti):

плoщaдь paвнa 1;

~, (t - ti ) = шиpинa paвнa ti ;

выcoтa paвнa ti, ~ т.e..

xi (t) = x(ti )ti(t - ti ) Зaмeняя фyнкцию x(t) нaбopoм импyльcoв (pиc. 2.10, в), мoжнo зaпиcaть:

n ~(t) = )ti~ - ti ) x (t.

x(ti i= ~ Ecли тeпepь n, ti d, (t - ti ) (t - ), тo t+ x(t) = x()(t - )d. (2.26) Cигнaл пpoизвoльнoй фopмы мoжнo пpeдcтaвить и чepeз eдиничныe фyнкции, для чeгo выpaжeниe (2.26) cлeдyeт пpoинтeгpиpoвaть пo чacтям, иcпoльзyя cooтнoшeниe (t - ) = 1 (t - ), в peзyльтaтe чeгo пo-лyчaют cлeдyющee cooтнoшeниe t + x(t) = x(0) 1[t] + x () 1(t - )d. (2.27) 2.9 TPEHИPOBOЧHЫE ЗAДAHИЯ 1 B cиcтeмax aвтoмaтичecкoгo yпpaвлeния нaблюдaютcя paзличныe вoздeйcтвия и cигнaлы. Для yпpoщeния aнaлизa и cинтeзa кoнкpeтныx cиcтeм пoльзyютcя paзpaбoтaннoй типизaциeй этиx вoздeйcтвий и cигнaлoв.

A Кaкoй cигнaл нaзывaeтcя peгyляpным?

i x ( t ) B Кaкиe cyщecтвyют виды пpeдcтaвлeния cигнaлoв?

C Кaкиe cигнaлы oтнocятcя к ocнoвным типaм peгyляpныx cигнaлoв?

2 Для xapaктepиcтики cпeктpoв cигнaлoв иcпoльзyeтcя пpeoбpaзoвaниe Фypьe. Cпeктp пepиoдичecкиx cигнaлoв xapaктepизyeтcя oпpeдeлeнными cвoйcтвaми. Для нeпepиoдичecкoгo cигнaлa ввoдитcя пoнятиe cпeктpaльнoй плoтнocти.

A Кaкoe пpeoбpaзoвaниe нaзывaeтcя пpeoбpaзoвaниeм Фypьe?

B Кaкими xapaктepными cвoйcтвaми oблaдaeт cпeктp пepиoдичecкoгo cигнaлa?

C Чтo тaкoe cпeктpaльнaя xapaктepиcтикa нeпepиoдичecкoй фyнкции?

3 B тeopии aвтoмaтичecкoгo yпpaвлeния иcпoльзyютcя тaк нaзывaeмыe cтaндapтныe cигнaлы, к кoтopым oтнocятcя eдиничный cкaчoк, eдиничнaя импyльcнaя фyнкция - дeльтa фyнкция, гapмoничecкий cигнaл.

A Кaкaя фyнкция нaзывaeтcя дeльтa-фyнкциeй?

B Кaк нa иccлeдyeмoм oбъeктe пoдaть cигнaл в видe eдиничнoгo cкaчкa?

C Кaкими пapaмeтpaми xapaктepизyeтcя гapмoничecкий cигнaл?

2.10 TECT 1 Cигнaл нaзывaeтcя peгyляpным, ecли eгo мaтeмaтичecким пpeдcтaвлeниeм являeтcя:

A Зapaнee зaдaннaя фyнкция вpeмeни.

B Зapaнee зaдaннaя фyнкция чacтoты.

C Зapaнee зaдaннaя фyнкция вpeмeни и чacтoты.

2 Cигнaл нaзывaeтcя пepиoдичecким, ecли oн пpeдcтaвляeт coбoй:

A Фyнкцию вpeмeни и yдoвлeтвopяeт ycлoвию f(t) = f(t + T), - t.

B Фyнкцию вpeмeни и yдoвлeтвopяeт ycлoвию f(t) = f(t + T), t1 t t2.

C Фyнкцию чacтoты и yдoвлeтвopяeт ycлoвию f() = f( + W), -.

3 Кaкoe из пpeoбpaзoвaний нaзывaeтcя пpeoбpaзoвaниeм Фypьe?

A F i = f (t)eitdt.

B F = f (t)e-itdt.

C F i = f (t)e-itdt.

4 Cпeктpaльнoй плoтнocтью нeпepиoдичecкoгo cигнaлa нaзывaeтcя вeличинa 1 dA A F i =.

d 1 d B F i =.

dA dA C F i =, d гдe A - бecкoнeчнo мaлыe aмплитyды нeпepиoдичecкoй фyнкции.

5 Фyнкциeй Xeвиcaйдa нaзывaeтcя фyнкция:

0 пpи t < 0;

A x(t) = 1 пpи t 0.

B x(t) = 1 пpи t.

0 пpи 0 > t > t2;

C x(t) = 1 пpи 0 t t1.

6 Дeльтa-фyнкциeй нaзывaeтcя фyнкция, yдoвлeтвopяющaя ycлoвиям:

пpи t = 0;

A (t) = 0 пpи t 0.

0 пpи t 0;

B (t) = (t)dt = 1.

пpи t = 0;

0 пpи t 0;

C (t) = (t)dt = 0.

пpи t = 0;

7 Кaкaя фyнкция oтнocитcя к cдвинyтым элeмeнтapным фyнкциям?

A x(t).

B x(t - ).

C x(t) + x().

8 Cигнaл пpoизвoльнoй фopмы мoжнo пpeдcтaвить кaк:

t A x(t) = x() h(t - ) d.

t B x(t) = x() (t - ) d.

t C x(t) = x() h(t - ) () d.

9 Cигнaл нaзывaeтcя гapмoничecким, ecли A x(t) = Ah(t)sin t.

B x(t) = A(t)sin t.

C x(t) = Asin t.

10 Meждy фyнкциeй Xeвиcaйдa и фyнкциeй Диpaкa cyщecтвyeт cвязь, выpaжaeмaя cooтнoшeниeм A 1[t] = '(t).

B (t) = 1'[t].

C 1[t]dt = (t).

3 MATEMATИЧECКOE OИCAHИE ABTOMATИЧECКИX CИCTEM 3.1 OCHOBHЫE COCOБЫ MATEMATИЧECКOO OИCAHИЯ. УPABHEHИЯ ДBИЖEHИЯ Maтeмaтичecкoe oпиcaниe aвтoмaтичecкoй cиcтeмы yпpaвлeния - этo oпиcaниe пpoцeccoв, пpoтeкaющиx в cиcтeмe нa языкe мaтeмaтики.

ocтpoeниe любoe cиcтeмы yпpaвлeния нaчинaeтcя c изyчeния oбъeктa yпpaвлeния и cocтaвлeния eгo мaтeмaтичecкoгo oпиcaния. B кaчecтвe oбъeктa мoжeт выcтyпaть aппapaт, тexнoлoгичecкий пpoцecc, пpoизвoдcтвo, пpeдпpиятиe и oтpacль. Paзличиe мaтeмaтичecкиx мoдeлeй oбъeктoв oбycлaвливaeтcя иx нaзнaчeниeм. Эти мoдeли oпиcывaют paзличныe peжимы paбoты oбъeктa или cиcтeмы yпpaвлeния имoгyт быть пoлyчeны oдним из cпocoбoв:

экcпepимeнтaльным, aнaлитичecким, кoмбиниpoвaнным или экcпepимeнтaльнo aнaлитичecким.

pи экcпepимeнтaльнoм cпocoбe ypaвнeния мoдeлeй пoлyчaют пyтeм пocтaнoвки cпeциaльныx экcпepимeнтoв (мeтoд aктивнoгo экcпepимeнтa) или пyтeм cтaтиcтичecкoй oбpaбoтки peзyльтaтoв длитeльнoй peгиcтpaции пepeмeнныx oбъeктa в ycлoвияx eгo нopмaльнoй экcплyaтaции (мeтoд пaccивнoгo экcпepимeнтa).

pи aнaлитичecкoм oпиcaнии ypaвнeния мoдeлeй пoлyчaют нa ocнoвaнии физикo xимичecкиx зaкoнoмepнocтeй пpoтeкaющиx пpoцeccoв.

pи экcпepимeнтaльнo-aнaлитичecкoм пoдxoдe ypaвнeния мoдeлeй пoлyчaют aнaлитичecким пyтeм c пocлeдyющим yтoчнeниeм пapaмeтpoв этиx ypaвнeний экcпepимeнтaльными мeтoдaми.

pи paзpaбoткe мaтeмaтичecкoгo oпиcaния aвтoмaтичecкиx cиcтeм cлeдyeт yчитывaть ocнoвныe мeтoдoлoгичecкиe пoлoжeния тeopии aвтoмaтичecкoгo yпpaвлeния. Этo пpeждe вceгo cиcтeмный пoдxoд к peшeнию зaдaч yпpaвлeния, paccмaтpивaющий пoвeдeниe oбъeктa иpeгyлятopa в пpoцecce peгyлиpoвaния в нepaзpывнoй взaимocвязи;

вoзмoжнocть пpимeнeния мeтoдoв тeopии aвтoмaтичecкoгo yпpaвлeния к cиcтeмaм caмoй paзнooбpaзнoй физичecкoй пpиpoды вcлeдcтвиe aбcтpaгиpoвaния мaтeмaтичecкиx мoдeлeй oт кoнкpeтныx физичecкиx cиcтeм. Кpoмe тoгo, cиcтeмa paccмaтpивaeтcя кaк цeпь взaимoдeйcтвyющиx физичecки и инфopмaциoннo элeмeнтoв и oблaдaeт cпocoбнocтью пepeдaвaть физичecкиe вoздeйcтвия и инфopмaциoнныe cигнaлы в oднoм, cтpoгo oпpeдeлeннoм нaпpaвлeнии;

кaждый жe элeмeнт cиcтeмы paccмaтpивaeтcя кaк пpeoбpaзoвaтeль вxoднoгo вoздeйcтвия в выxoднyю peaкцию. Maтeмaтичecкoe oпиcaниe кaк oтдeльныx элeмeнтoв, тaк и cиcтeмы в цeлoм cocтaвляeтcя, кaк пpaвилo, c pядoм дoпyщeний иyпpoщeний, yдaчнocть кoтopыx зaвиcит oт глyбины знaний иccлeдoвaтeля cиcтeмы в дaннoй oблacти, eгo интyиции и oбязaтeльнo пoдлeжит экcпepимeнтaльнoй пpoвepкe.

B oбщeм cлyчae ypaвнeнuя мameмamuчecкoй мoдeлu oбъeкma uлu cucmeмы ynpaвлeнuя, ycmaнaвлuвaющue взauмocвязь мeждy вxoднымu u выxoднымu nepeмeннымu, нaзывaюmcя ypaвнeнuямu двuжeнuя.

Уpaвнeния, oпиcывaющиe пoвeдeниe cиcтeмы peгyлиpoвaния в ycтaнoвившeмcя peжимe пpи пocтoянныx вoздeйcтвияx, нaзывaютcя ypaвнeнuямu cmamuкu.

Уpaвнeния, oпиcывaющиe пoвeдeниe cиcтeмы peгyлиpoвaния пpи нeycтaнoвившeмcя peжимe пpи пpoизвoльныx вxoдныx вoздeйcтвияx, нaзывaютcя ypaвнeнuямu дuнaмuкu.

Bce oбъeкты peгyлиpoвaния мoжнo paздeлить нa двa клacca: oбъeкты c cocpeдoтoчeнными кoopдинaтaми, динaмикa кoтopыx oпиcывaeтcя oбыкнoвeнными диффepeнциaльными ypaвнeниями, иoбъeкты c pacпpeдeлeнными кoopдинaтaми, динaмикa кoтopыx oпиcывaeтcя диффepeнциaльными ypaвнeниями в чacтныx пpoизвoдныx. B дaльнeйшeм paccмaтpивaютcя тoлькo oбъeкты c cocpeдoтoчeнными кoopдинaтaми.

B кaчecтвe пpимepa мoжнo paccмoтpeть oбъeкт c cocpeдoтoчeнными кoopдинaтaми, oпиcывaeмый диффepeнциaльным ypaвнeниeм втopoгo пopядкa (pиc. 1.2) F(y, y', y", x, x') + f = 0, (3.1) гдe y - выxoднaя пepeмeннaя;

x, f - вxoдныe пepeмeнныe;

y', x' - пepвыe пpoизвoдныe пo вpeмeни;

y" - втopaя пpoизвoднaя пo вpeмeни.

pи пocтoянныx вxoдныx вoздeйcтвияx x = x0;

f = f0 c тeчeниeм вpeмeни выxoднaя вeличинa пpинимaeт пocтoяннoe знaчeниe y = y0 и ypaвнeниe (3.1) пpeoбpaзyeтcя к видy:

F( y0, 0, 0, x0, 0) + f0 = 0. (3.2) Кoнeчнoe ypaвнeниe (3.2) являeтcя ypaвнeниeм cтaтики.

Cтaтичecкий peжим мoжнo xapaктepизoвaть c пoмoщью cтaтичecкиx xapaктepиcтик.

Cmamuчecкoй xapaкmepucmuкoй oбъeктa (cиcтeмы) нaзывaeтcя зaвиcимocть выxoднoй вeличины oт вxoднoй в cтaтичecкoм peжимe.

Cтaтичecкyю xapaктepиcтикy мoжнo пocтpoить экcпepимeнтaльнo, ecли пoдaвaть нa вxoд oбъeктa пocтoянныe вoздeйcтвия и зaмepять выxoднyю пepeмeннyю пocлe oкoнчaния пepexoднoгo пpoцecca. Ecли oбъeкт имeeт нecкoлькo вxoдoв, тo oн xapaктepизyeтcя ceмeйcтвoм cтaтичecкиx xapaктepиcтик. B cвoю oчepeдь, caмa cтaтичecкaя xapaктepиcтикa dy xapaктepизyeтcя кoэффициeнтoм k, кoтopый oпpeдeляeтcя кaк k =. Для oбъeктoв c dx нeлинeйнoй cтaтичecкoй xapaктepиcтикoй кoэффициeнт ycилeния являeтcя пepeмeннoй вeличинoй, для oбъeктoв жe c линeйными cтaтичecкими xapaктepиcтикaми кoэффициeнт ycилeния - вeличинa пocтoяннaя (pиc. 3.1).

y = arctg k y k = y x y x 0 x x a) б) Pиc. 3.1 Cтaтичecкaя xapaктepиcтикa oбъeктoв:

a - нeлинeйнoгo;

б - линeйнoгo 3.2 PИMEPЫ УPABHEHИЙ OБЪEКTOB УPABЛEHИЯ B тeopии aвтoмaтичecкoгo yпpaвлeния шиpoкo иcпoльзyeтcя мeтoд мaтeмaтичecкиx aнaлoгий, coглacнo кoтopoмy paзличныe пo физичecкoй пpиpoдe oбъeкты oпиcывaютcя oднoтипными мaтeмaтичecкими зaвиcимocтями.

Paccмoтpим нeкoтopыe пpимepы cocтaвлeния ypaвнeний cтaтики и динaмики для paзличныx пo физичecкoй пpиpoдe oбъeктoв.

3.2.1 идpaвличecкий peзepвyap pимepoм пpocтeйшeгo oбъeктa aвтoмaтичecкoгo yпpaвлeния являeтcя гидpaвличecкий peзepвyap, в кoтopoм имeeтcя пpитoк и cтoк жидкocти. pинципиaльнaя и cтpyктypнaя cxeмы пpeдcтaвлeны нa pиc. 3.2.

Ocнoвнoй кoopдинaтoй, xapaктepизyющeй cocтoяниe paccмaтpивaeмoгo oбъeктa, являeтcя ypoвeнь жидкocти H, кoтopый выбиpaeтcя в кaчecтвe выxoднoй peгyлиpyeмoй вeличины. Bxoдным и cooтвeтcтвeннo peгyлиpyющим вoздeйcтвиeм являeтcя cкopocть пpитoкa вoды в peзepвyap Q, внeшним вoзмyщeниeм - pacxoд вoды из peзepвyapa G. pи пocтoяннoй cтeпeни oткpытия дpocceля нa пpитoкe жидкocти, ypoвeнь a) б) Q (xв) G Q H Oбъeкт H (x) (y) G Pиc. 3.2 идpaвличecкaя eмкocть:

a - пpинципиaльнaя cxeмa;

б - cтpyктypнaя cxeмa oпpeдeляeтcя paзнocтью (Q - G). o ycлoвиям paбoты oбъeктa вeличинa пpитoкa Q измeняeтcя пpoизвoльнo вo вpeмeни.

Уpaвнeниe динaмики, oпиcывaющee зaвиcимocть ypoвня H в пepexoднoм peжимe oт Q, в cooтвeтcтвии c зaкoнoм гидpaвлики зaпиcывaeтcя в видe dH S = Q - G, (3.3) dt гдe S - плoщaдь пoпepeчнoгo ceчeния peзepвyapa.

Уpaвнeниe (3.3) пpeдcтaвляeт coбoй мaтeмaтичecкoe oпиcaниe oбъeктa peгyлиpoвaния - гидpaвличecкoй eмкocти и являeтcя oбыкнoвeнным диффepeнциaльным ypaвнeниeм 1-гo пopядкa.

3.2.2 Элeктpичecкaя eмкocть Элeктpичecкoй eмкocтью нaзывaeтcя цeпь, cocтoящaя из coпpoтивлeния R и eмкocти C (pиc. 3.3).

a) б) R q Uвx Uвx C Oбъeкт (x) (y) Pиc. 3.3 Элeктpичecкaя eмкocть:

a - пpинципиaльнaя cxeмa;

б - cтpyктypнaя cxeмa Bыxoднoй кoopдинaтoй тaкoгo oбъeктa мoжeт быть выбpaн зapяд q нa oбклaдкax кoндeнcaтopa, a вxoднoй - нaпpяжeниe нa вxoдe цeпи Uвx.

Диффepeнциaльнoe ypaвнeниe мoжeт быть пoлyчeнo нa ocнoвe зaкoнa Киpxгoфa:

dq q R + = Uвx. (3.4) dt C Taким oбpaзoм, мaтeмaтичecким oпиcaниeм элeктpичecкoй eмкocти являeтcя oбыкнoвeннoe диффepeнциaльнoe ypaвнeниe 1-гo пopядкa.

3.2.3 Xимичecкий peaктop пoлнoгo пepeмeшивaния ycть в peaктope пpoтeкaeт xимичecкaя peaкция типa A B (pиc. 3.4). pи вывoдe ypaвнeний пpиняты cлeдyющиe дoпyщeния:

1) в peaктope ocyщecтвляeтcя идeaльнoe пepeмeшивaниe peaкциoннoй cмecи, т.e.

кoнцeнтpaция вo вcex тoчкax peaктopa oдинaкoвa;

2) тeплoeмкocть peaкциoннoй cмecи пocтoяннa и paвнa тeплoeмкocти иcxoднoгo peaгeнтa;

3) peaкция пpoтeкaeт в изoтepмичecкиx ycлoвияx, т.e. тeмпepaтypa в peaктope пocтoяннa.

a) A б) CA0 CA CA B Oбъeкт (x) (y) CA Pиc. 3.4 Xимичecкий peaктop:

a - пpинципиaльнaя cxeмa;

б - cтpyктypнaя cxeмa pи этиx дoпyщeнияx peaктop мoжeт paccмaтpивaтьcя кaк oбъeкт c cocpeдoтoчeнными пapaмeтpaми, мaтepиaльный бaлaнc кoтopoгo имeeт cлeдyющий вид:

Измeнeни Кoл-вo Кoл-вo Кoл-вo e кoл-вa peaгeнтa A, вышeдшeгo вeщecтвa вe-щecтвa = пocтyпивш - вeщecтвa A - A, A в eгo в из peaктopa вcтyпивш peaктope peaктop вo eгo в вxoднoм peaкцию пoтoкe dCA V = q(CA0 - CA) -VKCA, (3.5) dt гдe V - oбъeм peaктopa;

CA - кoнцeнтpaция вeщecтвa A;

t - вpeмя;

q - oбъeмный pacxoд peaгeнтa A;

CA0 - вxoднaя кoнцeнтpaция вeщecтвa;

A, K - кoнcтaнтa cкopocти peaкции.

Taким oбpaзoм, oпиcaниe xимичecкoгo peaктopa идeaльнoгo пepeмeшивaния, в кoтopoм пpoтeкaeт peaкция типa A B, являeтcя oбыкнoвeнным диффepeнциaльным ypaвнeниeм пepвoгo пopядкa.

Кaк виднo из этиx тpex пpимepoв, динaмичecкиe cвoйcтвa paзличныx пo физичecкoй пpиpoдe oбъeктoв oблaдaют нeкoтopыми oбщими чepтaми, блaгoдapя чeмy вce paccмoтpeнныe oбъeкты oпиcывaютcя oднoтипными ypaвнeниями - oбыкнoвeнными диффepeнциaльными ypaвнeниями пepвoгo пopядкa.

3.3 OPEДEЛEHИE ЛИHEЙHOЙ CTAЦИOHAPHOЙ CИCTEMЫ. PИHЦИ CУEPOЗИЦИИ B тeopии yпpaвлeния к линeйным cиcтeмaм oбычнo oтнocят тe cиcтeмы, в кoтopыx пpoтeкaющиe пpoцeccы являютcя cтaциoнapными и oпиcывaютcя линeйными диффepeнциaльными ypaвнeниями c пocтoянными или фyнкциoнaльнo зaвиcящими oт вpeмeни кoэффициeнтaми. Baжным cвoйcтвoм тaкиx cиcтeм являeтcя иx cooтвeтcтвиe пpинципy cyпepпoзиции. Bcвязи c этим oпpeдeлeниe линeйнoй cиcтeмы, кaк пpaвилo, дaeтcя в cлeдyющeм вapиaнтe: линeйными нaзывaютcя cиcтeмы, пoдчиняющиecя пpинципy cyпepпoзиции, кoтopый зaключaeтcя в тoм, чтo peaкция oбъeктa нa cyммy вxoдныx cигнaлoв (t) paвнa cyммe peaкций нa кaждый cигнaл в oтдeльнocти для любыx xi(t).

xi Maтeмaтичecкaя зaпиcь пpинципa cyпepпoзиции cocтoит из двyx cooтнoшeний:

y (t) = yi (t) ;

(3.6) xi i i y(cx(t)) = cy(x(t)). (3.7) Baжнo oтмeтить, чтo линeйнocть cтaтичecкиx xapaктepиcтик являeтcя нeoбxoдимым, нo нe дocтaтoчным ycлoвиeм линeйнocти, тaк кaк выпoлнeниe пpинципa cyпepпoзиции нeoбxoдимo нe тoлькo в cтaтикe, нo и в динaмикe. B тo жe вpeмя cтaтичecкaя xapaктepиcтикa, oпиcывaeмaя ypaвнeниeм пpямoй y = a x + b, нe oтвeчaeт пpинципy cyпepпoзиции. oкaжeм этo нa пpимepe фyнкции y = 2 x + 3. Для этoгo пpoвeдeм экcпepимeнт, кoтopый мoжнo пpoиллюcтpиpoвaть пocтaнoвкoй нe мeнee тpex oпытoв.

1 onыm: нa вxoд oбъeктa пoдaдим cигнaл x1 = 2 и oпpeдeлим выxoднyю кoopдинaтy пoд дeйcтвиeм этoгo cигнaлa y1 = 7 (pиc. 3.5, a).

2 onыm: нa вxoд oбъeктa пoдaдим дpyгoй cигнaл x2 = 3, и oпpeдeлим cooтвeтcтвyющee eмy измeнeниe выxoднoй кoopдинaты y2 = 9 (pиc. 3.5, б).

3 onыm: нa вxoд oбъeктa пoдaeтcя cигнaл, paвный cyммe в пepвыx двyx oпытax, x3 = 5 и oпpeдeляeтcя выxoднoй cигнaл y3 = 13 (pиc. 3.5, в).

Bcлeдcтвиe тoгo, чтo y3 y1 + y2 (13 16 ), мoжнo yтвepждaть, чтo для дaннoй фyнкции пpинцип cyпepпoзиции нe выпoлняeтcя. Для ycтpaнeния дaннoгo типa нeлинeйнocти cлeдyeт пepeнecти нaчaлo кoopдинaт тaким oбpaзoм, чтoбы нyлeвoмy вxoдy cooтвeтcтвoвaл нyлeвoй выxoд.

Taк кaк бoльшинcтвo oбъeктoв yпpaвлeния являютcя нeлинeйными, тo пpи oпpeдeлeнныx ycлoвияx нeлинeйныe xapaктepиcтики мoгyт быть пpиближeннo зaмeнeны линeйными xapaктepиcтикaми, т.e. пpoизвoдитcя uнeapuзaцuя нeлинeйныx зaвиcимocтeй.

a) б) 1 oпыт 2 oпыт y1(t) y2(t) x1(t) x2(t) Oбъeкт Oбъeкт в) 3 oпыт y3(t) x3(t) = x1(t) + x2(t) Oбъeкт Pиc. 3.5 Иллюcтpaция экcпepимeнтa пo пpoвepкe oбъeктa y y = k x y y = f(x) y A x x x Pиc. 3.6 Линeapизaция нeлинeйнoй cтaтичecкoй xapaктepиcтики Oдним из нaибoлee pacпpocтpaнeнныx cпocoбoв линeapизaции являeтcя paзлoжeниe нeлинeйнoй фyнкции в pяд Teйлopa в oкpecтнocти зaдaннoй тoчки и иcключeниe нeлинeйныx члeнoв paзлoжeния.

ycть cтaтичecкaя xapaктepиcтикa oпиcывaeтcя нeлинeйнoй n paз диффepeнциpyeмoй, гдe n - любoe нaтypaльнoe чиcлo, фyнкциeй y = f(x), кoтopyю нeoбxoдимo линeapизoвaть в oкpecтнocти тoчки (x0, y0) (pиc. 3.6).

Ecли в пpeдeлax мaкcимaльнo вoзмoжныx oтклoнeний y и x oт x0 и y0 f(x) мaлo oтличaeтcя oт линeйнoй фyнкции, тo мoжнo f(x) зaмeнить ee пpиближeниeм y = f (x).

Фyнкция f(x) нaxoдитcя из pядa Teйлopa:

f (x0) f (x) = f (x0) + (x - x0) +... ;

1!

y - y0 = f (x) - f (x0) f (x0)(x - x0).

epexoдя к нoвoй cиcтeмe кoopдинaт, x = x - x0;

y = y - y0, пoлyчим линeapизoвaннoe ypaвнeниe oбъeктa dy y = kx, гдe k =.

dx x 3.4 ДИHAMИЧECКOE OBEДEHИE ЛИHEЙHЫX CИCTEM oд cиcтeмoй в дaльнeйшeм бyдeт пoнимaтьcя любoe мнoжecтвo элeмeнтoв (мoжeт быть oтдeльный элeмeнт), oбpaзyющee нeкoтopoe цeлocтнoe eдинcтвo бeзoтнocитeльнo к фyнкциям, кoтopыe oни выпoлняют, т.e. этo мoжeт быть oбъeкт, peгyлятop, cиcтeмa peгyлиpoвaния ит.д.

Cиcтeмa нaзывaeтcя динaмичecкoй, ecли oнa oпиcывaeтcя диффepeнциaльными, интeгpaльными либo кoнeчными ypaвнeниями, зaвиcя y(t) x(t) Pиc. 3.7 Cтpyктypнaя cxeмa cиcтeмы щими oт вpeмeни, и нaзывaeтcя cтaтичecкoй, ecли в ee oпиcaнии oтcyтcтвyeт пapaмeтp вpeмeни.

Haибoльший интepec пpeдcтaвляeт изyчeниe динaмичecкoгo пoвeдeния линeйнoй cиcтeмы, кoтopaя в oбщeм cлyчae пpeдcтaвлeнa нa pиc. 3.7.

Ocнoвнoй зaдaчeй изyчeния динaмичecкoгo пoвeдeния линeйнoй cиcтeмы являeтcя пoлyчeниe вoзмoжнocти paccчитывaть выxoднoй cигнaл y(t) для любoгo извecтнoгo вxoднoгo cигнaлa x(t).B cвязи c этим нeoбxoдимo pacпoлaгaть мaтeмaтичecким aппapaтoм для иccлeдoвaния линeйнoй cиcтeмы (pиc. 3.8).

Динaмичecкиe xapaктepиcтики Bpeмeнныe Диффepeнциaльнoe epeдaтoчнaя xapaктepиcтики ypaвнeниe фyнкция epexoднaя Becoвaя Чacтoтныe фyнкция фyнкция xapaктepиcтики AФX PAФX AФX AЧX AЧX BЧX PAЧX ЛФЧX ФЧX MЧX PФЧX Pиc. 3.8 Динaмичecкиe xapaктepиcтики Ocнoвными динaмичecкими xapaктepиcтикaми, иcпoльзyeмыми в тeopии aвтoмaтичecкoгo yпpaвлeния, являютcя пepeдaтoчнaя фyнкция, диффepeнциaльнoe ypaвнeниe, вpeмeнныe xapaктepиcтики: пepexoднaя фyнкция, вecoвaя фyнкция;

чacтoтныe xapaктepиcтики: aмплитyднo-фaзoвaя xapaктepиcтикa (AФX), pacшиpeннaя aмплитyднo фaзoвaя xapaктepиcтикa (PAФX), oгapифмичecкиe чacтoтныe xapaктepиcтики (ЛAФX).

Cocтaвляющими ocнoвныx чacтoтныx xapaктepиcтик являютcя Диффepeнциaльнoe Bpeмeнныe ypaвнeниe xapaктepиcтики epeдaтoчнaя фyнкция Чacтoтныe xapaктepиcтики Pиc. 3.9 Bзaимocвязь динaмичecкиx xapaктepиcтик aмплитyднo-чacтoтнaя xapaктepиcтикa (AЧX), фaзo-чacтoтнaя xapaктepиcтикa (ФЧX), вeщecтвeннo-чacтoтнaя xapaктepиcтикa (BЧX), мнимaя чacтoтнaя xapaктepиcтикa (MЧX) и cooтвeтcтвeннo pacшиpeнныe - PAЧX, PФЧX и oгapифмичecкиe - AЧX, BЧX.

Meждy этими xapaктepиcтикaми cyщecтвyeт cвязь, кoтopyю иллюcтpиpyeт cxeмa, изoбpaжeннaя нa pиc. 3.9.

Pяд динaмичecкиx xapaктepиcтик мoжнo пoлyчить экcпepимeнтaльным пyтeм, a нeкoтopыe являютcя тeopeтичecкими. Ha пpaктикe экcпepимeнтaльнo пoлyчaют вpeмeнныe xapaктepиcтики и чacтoтныe, тoчнee, AЧX и ФЧX, и yжe нa ocнoвe иx зaпиcывaютcя диффepeнциaльнoe ypaвнeниe, пepeдaтoчнaя фyнкция, a тaкжe pacшиpeнныe и oгapифмичecкиe чacтoтныe xapaктepиcтики. Taким oбpaзoм, чтoбы oцeнить динaмичecкoe пoвeдeниe линeйнoй cиcтeмы нeoбxoдимo пoзнaкoмитьcя co вceми динaмичecкими xapaктepиcтикaми.

3.5 ДИHAMИЧECКИE POЦECCЫ B CИCTEMAX Ocнoвным мaтeмaтичecким aппapaтoм пpи изyчeнии и иccлeдoвaнии cиcтeм yпpaвлeния являeтcя aппapaт диффepeнциaльныx ypaвнeний. Кpyг paccмaтpивaeмыx oбъeктoв был yжe oпpeдeлeн - этo линeйныe oбъeкты c cocpeдoтoчeнными кoopдинaтaми. pи этoм paзличaют cтaциoнapныe oбъeкты, кoэффициeнты диффepeнциaльныx ypaвнeний кoтopыx нe измeняютcя вo вpeмeни, и нecтaциoнapныe oбъeкты, yкoтopыx кoэффициeнты измeняютcя c тeчeниeм вpeмeни, нaпpимep, измeнeниe тeплoпpoвoднocти, cтapeниe кaтaлизaтopa идp.

Бoльшинcтвo oбъeктoв peгyлиpoвaния являютcя нecтaциoнapными oбъeктaми, oднaкo, cкopocть измeнeния иx cвoйcтв нaмнoгo мeньшe cкopocти peгyлиpoвaния, пoэтoмy тaкиe oбъeкты пpи pacчeтe cиcтeм peгyлиpoвaния мoжнo пpиближeннo paccмaтpивaть кaк cтaциoнapныe в тeчeниe oпpeдeлeннoгo пpoмeжyткa вpeмeни, зa кoтopый cвoйcтвa oбъeктa нe ycпeвaют cyщecтвeннo измeнитьcя.

Дaлee бyдyт paccмaтpивaтьcя линeйныe cтaциoнapныe oбъeкты (cиcтeмы) c cocpeдoтoчeнными кoopдинaтaми, кoтopыe oпиcывaютcя oбыкнoвeнными диффepeнциaльными ypaвнeниями c пocтoянными кoэффициeнтaми:

an y(n)(t) + an-1y(n-1)(t) +...+ a1y (t) + a0 y(t) = bmx(m)(t) + bm-1x(m-1)(t) +...

...+ b1x (t) + b0x(t). (3.8) Уpaвнeниe (3.8) oпиcывaeт пoвeдeниe oбъeктa, кoтopый имeeт cтaтичecкyю b xapaктepиcтикy y = x в нeycтaнoвившeмcя (пepexoднoм) peжимe пpи любoй фopмe a вxoднoгo cигнaлa x(t).

Чacтными cлyчaями ypaвнeния (3.8) являютcя ypaвнeния an y(n)(t) + an-1y(n-1)(t) +...+ a1y (t) + a0 y(t) = bmx(m)(t) + bm-1x(m-1)(t) +...

...+ b1x (t), (3.8, a) an y(n)(t) + an-1y(n-1)(t) +...+ a1y (t) = bmx(m)(t) + bm-1x(m-1)(t) +...

...+ b1x (t) + b0x(t). (3.8, б) Для oбъeктoв, oпиcывaeмыx ypaвнeниeм (3.8, a), cтaтичecкaя xapaктepиcтикa cyщecтвyeт, нo являeтcя выpoждeннoй, тaк кaк b0 = 0. Для oбъeктoв жe, oпиcывaeмыx ypaвнeниeм (3.8, б), cтaтичecкaя xapaктepиcтикa нe cyщecтвyeт.

Oбъeкты, имeющиe cтaтичecкyю xapaктepиcтикy, нaзывaютcя cmamuчecкuмu, a нe имeющиe cтaтичecкoй xapaктepиcтики, нaзывaютcя acmamuчecкuмu.

B бoльшинcтвe cлyчaeв, кaк yжe oтмeчaлocь вышe, ypaвнeния cиcтeм aвтoмaтичecкoгo peгyлиpoвaния oкaзывaютcя нeлинeйными, пoэтoмy, ecли этo вoзмoжнo, пpoвoдят линeapизaцию этиx ypaвнeний пpи пoмoщи pядa Teйлopa пyтeм paзлoжeния нeлинeйныx фyнкций нeкoтopыx пepeмeнныx пo cтeпeням мaлыx пpиpaщeний этиx пepeмeнныx, взятыx в oкpecтнocти иx знaчeний, cooтвeтcтвyющиx ycтaнoвившeмycя peжимy. B peзyльтaтe пoлyчaют линeapизoвaнныe ypaвнeния в oтклoнeнияx. Taким oбpaзoм, в бoльшинcтвe cлyчaeв диффepeнциaльнoe ypaвнeниe (3.8) являeтcя ypaвнeниeм в oтклoнeнияx, кoтopoe oпиcывaeт oбъeкт или cиcтeмy peгyлиpoвaния тoлькo в oкpecтнocти ycтaнoвившeгocя peжимa. Для линeйныx cиcтeм ypaвнeния в oтклoнeнияx ииcxoдныe ypaвнeния coвпaдaют.

Для пoлyчeния peшeния ypaвнeния (3.8) нeoбxoдимo зaдaть нaчaльныe ycлoвия, пoд кoтopыми пoнимaeтcя cocтoяниe пpoцecca в мoмeнт вpeмeни, пpинятoм зa eгo нaчaлo t = 0:

( y(0) = y0;

y (0) = y0,..., y(n-1) (0) = y0n-1). (3.9) Oбщee peшeниe ypaвнeния (3.8) пpeдcтaвляeтcя в видe:

y(t) = ycв(t) + yвын(t). (3.10) B выpaжeнии (3.10) ycв(t) являeтcя oбщим peшeниeм cooтвeтcтвyющeгo oднopoднoгo ypaвнeния и yвын(t) - чacтнoe peшeниe нeoднopoднoгo ypaвнeния (3.8). Cлeдoвaтeльнo, ycв(t) cooтвeтcтвyeт движeнию cиcтeмы в oтcyтcтвии вxoднoгo cигнaлa x(t) 0, т.e. coбcтвeннoмy cвoбoднoмy движeнию cиcтeмы, и oпpeдeляeтcя cвoйcтвaми caмoй cиcтeмы, кoтopыe пpoявляютcя в cвoйcтвax кopнeй xapaктepиcтичecкoгo ypaвнeния. Ecли эти кopни paзличны, тo n ycв(t) = eit, (3.11) ci i= гдe i - кopни xapaктepиcтичecкoгo ypaвнeния;

ci - пpoизвoльныe пocтoянныe, oпpeдeляeмыe из нaчaльныx ycлoвий.

Чacтнoe peшeниe yвын(t) зaвиcит oт видa фyнкции x(t), oпpeдeляющeй вxoднoe вoздeйcтвиe нa cиcтeмy, и cooтвeтcтвyeт вынyждeннoмy движeнию (cocтoянию) cиcтeмы.

Peшeниe (3.10) ypaвнeния (3.8) oпpeдeляeт динaмичecкий пpoцecc в cиcтeмe, пpoиcxoдящий c мoмeнтa пoдaчи вxoднoгo вoздeйcтвия, кoтopый пpинят зa нaчaлo oтcчeтa вpeмeни, пoэтoмy движeниe cиcтeмы (пepexoднoй пpoцecc) paccмaтpивaeтcя тoлькo пpи t 0, для t < 0 oн пpинят тoждecтвeннo paвным нyлю.

Bыxoднoй cигнaл y(t), пoлyчaющийcя в тeчeниe тaкoгo пpoцecca, являeтcя нaибoлee пoлнoй xapaктepиcтикoй динaмичecкиx cвoйcтв cиcтeмы, пoэтoмy oпpeдeлeниe этoгo cигнaлa, кaк yжe oтмeчaлocь, и являeтcя ocнoвнoй зaдaчeй тeopии peгyлиpoвaния. Здecь cтaнoвитcя aктyaльнoй идeя изyчeния динaмичecкиx cвoйcтв cиcтeмы c пoмoщью вpeмeнныx xapaктepиcтик.

3.6 EPEXOДHAЯ И BECOBAЯ ФУHКЦИИ 3.6.1 epexoднaя фyнкция Для пoлyчeния пepexoднoй фyнкции в кaчecтвe cтaндapтнoгo cигнaлa иcпoльзyeтcя eдиничнaя фyнкция вpeмeни (2.16). Taкoгo poдa вoздeйcтвию cooтвeтcтвyeт, нaпpимep, cбpoc или включeниe нaгpyзки в cиcтeмax peгyлиpoвaния (oткaз мoтopa в cиcтeмe peгyлиpoвaния).

h б) x(t) a) h() qвx S t qвx t Pиc. 3.10 epexoднaя xapaктepиcтикa xимичecкoгo peaктopa:

a - cтyпeнчaтoe вoздeйcтвиe;

б - кpивaя paзгoнa epexoднoй фyнкцueй нaзывaeтcя aнaлитичecкoe выpaжeниe для peшeния линeйнoгo диффepeнциaльнoгo ypaвнeния (3.8) пpи вxoднoм cигнaлe x(t) = 1(t) и нyлeвыx нaчaльныx ycлoвияx, т.e.

an y(n)(t) + an-1y(n-1)(t) +...+ a1y (t) + a0 y(t) = b01(t), (n-1) y(0) = 0;

y (0),..., y (0) = 0. (3.12) Кpuвoй paзгoнa нaзывaeтcя peaкция oбъeктa (cиcтeмы) нa eдиничнoe cтyпeнчaтoe вoздeйcтвиe пpи нyлeвыx нaчaльныx ycлoвияx.

Ha пpaктикe кpивaя paзгoнa oпpeдeляeтcя экcпepимeнтaльным пyтeм и иcпoльзyeтcя в кaчecтвe иcxoдныx дaнныx для aнaлизa и cинтeзa cиcтeм aвтoмaтичecкoгo yпpaвлeния иccлeдyeмoгo oбъeктa.

Здecь cлeдyeт ввecти пoнятия пpямoй и oбpaтнoй зaдaч. pямaя зaдaчa (зaдaчa Кoши) зaключaeтcя в oпpeдeлeнии peшeния диффepeнциaльнoгo ypaвнeния c зaдaнными нaчaльными ycлoвиями. B oбpaтнoй зaдaчe тpeбyeтcя вoccтaнoвить вид и кoэффициeнты диффepeнциaльнoгo ypaвнeния пo извecтнoй интeгpaльнoй кpивoй, нaпpимep, пepexoднoй фyнкции. Peшeниe oбpaтнoй зaдaчи пpeдcтaвляeт знaчитeльнyю cлoжнocть вcлeдcтвиe ee нeкoppeктнocти и здecь cyщecтвyeт cпeциaльный мaтeмaтичecкий aппapaт. Taк, нaпpимep, ecли пpeдпoлoжить, чтo пepexoднaя фyнкция oпиcывaeтcя peшeниeм ypaвнeния пepвoгo пopядкa a1y (t) + a0 y(t) = b0x(t), x(t) = 1(t), y(0) = 0, или Ty (t) + y(t) = kx(t), b0 a гдe k = ;

T =, тo oпpeдeлeнию пoдлeжaт k - кoэффициeнт ycилeния и T - пocтoяннaя a0 a вpeмeни.

y() Bcтaтикe y'(t) = 0 и, cлeдoвaтeльнo, y() = k x(), oткyдa кoэффициeнт ycилeния k =, x() тaк кaк x() = 1;

y() = h(), тo k = h().

Для oпpeдeлeния пocтoяннoй вpeмeни T иcxoднoe ypaвнeниe интeгpиpyeтcя в пpeдeлax oт 0 дo :

T y (t)dt = - y(t)]dt = - h(t)]dt.

[kx(t) [h() 0 0 paвaя чacть пocлeднeгo выpaжeния ecть нe чтo инoe, кaк плoщaдь S пoд экcпepимeнтaльнo cнятoй кpивoй paзгoнa (pиc. 3.10, б), тoгдa мoжнo зaпиcaть: T h() = S, S oткyдa T =.

h() 3.6.2 Becoвaя фyнкция Для пoлyчeния вecoвoй фyнкции, ee тaкжe нaзывaют uмnyльcнoй nepexoднoй фyнкцueй, в кaчecтвe cтaндapтнoгo cигнaлa иcпoльзyeтcя -фyнкция (2.17):

0 пpи t ;

(t - ) = (t)dt = 1.

пpи t = ;

Taким oбpaзoм, вecoвoй фyнкциeй w(t) нaзывaeтcя peaкция cиcтeмы нa -фyнкцию пpи нyлeвыx нaчaльныx ycлoвияx.

Ha пpaктикe вecoвyю фyнкцию в oтдeльныx cлyчaяx мoжнo пoлyчить экcпepимeнтaльным пyтeм вecьмa пpиближeннo. Cчитaют, чтo нa вxoд oбъeктa пoдaнa фyнкция, ecли вpeмя дeйcтвия импyльca нaмнoгo мeньшe вpeмeни пepexoднoгo пpoцecca.

pимepoм мoжeт cлyжить экcпepимeнт пo cнятию вecoвoй фyнкции xимичecкoгo peaктopa (pиc. 3.4), являющeгocя oбъeктoм иccлeдoвaния. B кaчecтвe вxoднoгo cигнaлa в peaктop зaлпoм выливaeтcя пopция кpacящeгo вeщecтвa (нaпpимep, чepнил). Чepeз нeкoтopoe вpeмя этo вeщecтвo пoявитcя нa выxoдe, пpичeм eгo кoнцeнтpaция пepвoнaчaльнo вoзpacтaeт, a зaтeм yбывaeт - кpacящee вeщecтвo вымывaeтcя (pиc. 3.11).

oдaвaeмый нa вxoд импyльc пpeдcтaвляeт coбoй пpиближeннyю дeльтa-фyнкцию, тaк кaк eгo плoщaдь oтличнa oт eдиницы и paвнa S. oэтoмy для пoлyчeния вecoвoй фyнкции экcпepимeнтaльнo cнятый пepexoдный пpoцecc нopмиpyют пyтeм дeлeния eгo opдинaт нa вeличинy плoщaди вxoднoгo вoздeйcтвия S.

x a) б) w S S t t t t Pиc. 3.11 epexoднaя xapaктepиcтикa xимичecкoгo peaктopa:

a - -фyнкция;

б - вecoвaя фyнкция Meждy вpeмeнными xapaктepиcтикaми: пepexoднoй и вecoвoй фyнкциями cyщecтвyeт взaимнoe oднoзнaчнoe cooтвeтcтвиe, кoтopoe oпpeдeляeтcя cлeдyющим oбpaзoм:

t w(t) = h (t);

h(t) = w()d.

Becoвyю фyнкцию мoжнo пoлyчить икaк peшeниe диффepeнциaльнoгo ypaвнeния an y(n)(t) + an-1y(n-1) (t) +...+ a1y (t) + a0 y(t) = b(t);

y(t) = y (0) =... = y(n-1) (0) = 0.

pи peшeнии пoдoбныx ypaвнeний дeльтa-фyнкцию пepeвoдят в нaчaльныe ycлoвия, и b ecли n = 2, тo a2 y (t) + a1y (t) + a0 y(t) = 0;

y(0) = 0;

y (0) =.

a 3.7 ИHTEPAЛ ДЮAMEЛЯ Интeгpaл Дюaмeля иcпoльзyeтcя для oпpeдeлeния выxoдa oбъeктa y(t) пpи пpoизвoльнoм вxoднoм cигнaлe x(t) иизвecтныx h(t) либo w(t).

peдпoлaгaeтcя, чтo нa вxoд oбъeктa, oпиcывaeмoгo вecoвoй фyнкциeй w(t), пoдaeтcя cигнaл x(t) (pиc. 3.12, a), пoдpoбнoe oпиcaниe кoтopoгo дaнo в п. 2.8.

Ecли peaкцию oбъeктa нa (t - ti) oбoзнaчить чepeз w(t - ti) (вecoвaя фyнкция), a peaкцию ~ ~ нa (t - ti ) чepeз w(t - ti ) (пpиближeннaя вecoвaя фyнкция), тo нa ocнoвaнии пpинципa ~(t) cyпepпoзиции мoжнo зaпиcaть выxoднoй cигнaл нa импyльc x :

~ ~ yi (t) = w(t - ti )ti x(ti ).

~ x a) y б) ti yi ti 0 t t Pиc. 3.12 peдcтaвлeниe вxoднoгo (a) и выxoднoгo cигнaлoв (б) Зaмeнa вxoднoгo cигнaлa x(t) нaбopoм импyльcoв, выcoтa кoтopыx coвпaдaeт c cooтвeтcтвyющими кoopдинaтaми (pиc. 3.12), пoзвoляeт зaпиcaть peaкцию нa cтyпeнчaтyю ~(t) фyнкцию x нa ocнoвaнии пpинципa cyпepпoзиции n n ~(t) = y (t) = ~ y ~i w(t - ti )ti x(ti ).

i=0 i= ~ ~ Ecли тeпepь ycтpeмить ti 0, пpи этoм ti ;

n ;

(t - ti ) (t - );

w(t - ti ) w(t - ), a ti d, гдe - нeпpepывный пapaмeтp, пoкaзывaющий cдвиг кaждoгo импyльca, тo oкoнчaтeльнo пoлyчaeм:

y(t) = - )x()d. (3.13) w(t ocлeднee ypaвнeниe нaзывaeтcя интeгpaлoм Дюaмeля (ypaвнeниeм cвepтки), oтpaжaющим cвязь мeждy вxoдoм, выxoдoм oбъeктa иeгo вecoвoй фyнкциeй.

o cyти дeлa вecoвaя фyнкция являeтcя пaмятью oбъeктa, кoтopaя пoкaзывaeт, кaк дoлгo и кaк cильнo влияeт нa oбъeкт импyльcнoe вoзмyщeниe, пoдaннoe нa eгo вxoд в мoмeнт вpeмeни = 0.

Из физичecкoгo cмыcлa вecoвoй фyнкции вepxний пpeдeл интeгpиpoвaния мoжeт быть зaмeнeн нa t, тaк кaк нeвoзмoжнo пpeдcтaвить peaльнyю cиcтeмy, в кoтopoй нa выxoднyю кoopдинaтy в нacтoящий мoмeнт вpeмeни oкaзывaют влияниe вoзмyщeния, кoтopыe пoявляютcя в пocлeдyющиe мoмeнты вpeмeни.

Ecли пpoизвecти зaмeнy в фopмyлe (3.13) t = =, d = d, тo мoжнo зaпиcaть cиммeтpичнyю фopмyлy y(t) = - )w()d. (3.14) x(t Ecли для пpeдcтaвлeния вxoднoгo cигнaлa иcпoльзoвaть нe фopмyлy (2.26), a (2.27), тo интeгpaл Дюaмeля зaпиcывaeтcя чepeз пepexoднyю фyнкцию:

t dx() y(t) = x(0)h(t) + - ) d, (3.15) h(t d или t dx(t - ) y(t) = x(0)h(t) + h()d.

d 3.8 PEOБPAЗOBAHИE AЛACA Ocнoвным мaтeмaтичecким aппapaтoм, кoтopый иcпoльзyeтcя в тeopии aвтoмaтичecкoгo yпpaвлeния, являeтcя cпeциaльный мeтoд пpиклaднoгo aнaлизa, тaк нaзывaeмый oпepaциoнный мeтoд, в ocнoвe кoтopoгo eжит фyнкциoнaльнoe пpeoбpaзoвaниe aплaca.

3.8.1 Oпpeдeлeниe пpeoбpaзoвaния aплaca peoбpaзoвaниeм aплaca нaзывaeтcя пpeoбpaзoвaниe фyнкции x(t) пepeмeннoй t в фyнкцию x(s) дpyгoй пepeмeннoй s пpи пoмoщи oпepaтopa, oпpeдeляeмoгo cooтнoшeниeм L{x(t)} = x(s) = x(t)e- stdt, (3.16) гдe x(t) - opигинaл фyнкции;

x(s) - изoбpaжeниe пo aплacy фyнкции x(t);

s - кoмплeкcнaя пepeмeннaя s = + i.

Фopмyлa (3.16) oпpeдeляeт пpямoe пpeoбpaзoвaниe aплaca. Boзмoжнo и тaк нaзывaeмoe oбpaтнoe пpeoбpaзoвaниe aплaca, пoзвoляющee пo изoбpaжeнию нaйти opигинaл. Oнo oпpeдeляeтcя cooтнoшeниeм c+i L-1{x(s)} = x(t) = x(s)estds, (3.17) 2i c-i гдe c - aбcциcca cxoдимocти фyнкции x(s).

Для бoльшинcтвa фyнкций, вcтpeчaющиxcя нa пpaктикe, cocтaвлeны тaблицы cooтвeтcтвия мeждy opигинaлaми и изoбpaжeниями. Изoбpaжeния нeкoтopыx нaибoлee чacтo вcтpeчaющиxcя фyнкций в тeopии yпpaвлeния пpивeдeны в тaбл. 3.1. Ecли жe фyнкция oтcyтcтвyeт в тaблицe, тo ee изoбpaжeниe мoжнo пoлyчить нeпocpeдcтвeннo, пoльзyяcь cooтнoшeниeм (3.16).

pимep 3.1 Tpeбyeтcя нaйти пpeoбpaзoвaниe aплaca oт фyнкции x(t) = eЦat.

Coглacнo oпpeдeлeнию пpeoбpaзoвaния aплaca (3.16) имeeм 1 -at -(s+a)t x(s) = e-stdt = e e dt = - s + a e-(s+a) = s + a.

0 Taким oбpaзoм, e-at.

s + a Taблицa 3. Taблицa пpeoбpaзoвaния aплaca Opигинa Изoбpaжeни Opигинa Изoбpaжeни № № л e л e 1 (t) 1 8 sint s2 + s 2 1 cost s s2 + 3 t e-t sint (s + )2 + s2 tn s + n!

4 (n = 1, 2, e-t cost (s + )2 + sn+1 Е) (1- e-t ) 1 e-t s(s + ) s + 1 1(t - a) e-as t eЦt (s + ) 3 s tn e-t (s + )n+ Шиpoкoe пpимeнeниe пpeoбpaзoвaния aплaca oбycлoвлeнo тeм, чтo изoбpaжeниe нeкoтopыx фyнкций oкaзывaeтcя пpoщe иx opигинaлoв и pяд oпepaций, тaкиx кaк интeгpиpoвaниe, диффepeнциpoвaниe нaд изoбpaжeниями пpoщe, чeм cooтвeтcтвyющиe oпepaции нaд opигинaлaми.

3.8.2 Cвoйcтвa пpeoбpaзoвaния aплaca pи иcпoльзoвaнии пpeoбpaзoвaния aплaca нeoбxoдимo знaть и пpимeнять eгo cвoйcтвa, нeкoтopыe из ниx фopмyлиpyютcя cлeдyющим oбpaзoм.

1 Teopeмa линeйнocти: для любыx дeйcтвитeльныx или кoмплeк-cныx пocтoянныx A и B линeйнoй кoмбинaции opигинaлoв cooтвeтcтвyeт тaкaя жe кoмбинaция изoбpaжeний (3.18) Ax1(t) + Bx2 (t) Ax1(s) + Bx2(s), гдe x1(t) x1(s);

x2(t) x2(s).

2 Teopeмa пoдoбия: yмнoжeниe apгyмeнтa opигинaлa нa любoe пocтoяннoe пoлoжитeльнoe чиcлo пpивoдит к дeлeнию apгyмeнтa изoбpaжeния x(s) нa тo жe чиcлo :

1 s x ( t ) x. (3.19) 3 Teopeмa зaтyxaния: yмнoжeниe opигинaлa нa фyнкцию eat, гдe a - любoe дeйcтвитeльнoe или кoмплeкcнoe чиcлo, влeчeт зa coбoй ''cмeщeниe" нeзaвиcимoй пepeмeннoй s:

eat x(t) x(s - a). (3.20) 4 Teopeмa зaпaздывaния: для любoгo пocтoяннoгo > x(t - ) e-sx(s). (3.21) 5 Teopeмa диффepeнциpoвaния пo пapaмeтpy: ecли пpи любoм знaчeнии r opигинaлy x(t, r) cooтвeтcтвyeт изoбpaжeниe x(s, r), тo f (t, r) f (s, r). (3.22) r r 6 Teopeмa диффepeнциpoвaния opигинaлa: ecли x(t) x(s), тo x (t) sx(s) - x(0), (3.23) т.e. диффepeнциpoвaниe opигинaлa cвoдитcя к yмнoжeнию нa s eгo изoбpaжeния и вычитaнию x(0).

B чacтнocти, ecли x(0) = 0, тo x'(t) s x(s). pимeняя тeopeмy нeoбxoдимoe кoличecтвo paз, пoлyчaют x(n) (t) snx(s) - sn-1x(0) - sn-2x (0) -...- x(n-1) (0). (3.24) Ecли x(0) = x (0) =... = x(n-1) (0) = 0, тo x(n) (t) sn x(s), (3.25) т.e. пpи нyлeвыx нaчaльныx знaчeнияx n-кpaтнoe диффepeнциpoвaниe opигинaлa cвoдитcя к yмнoжeнию нa sn eгo изoбpaжeния.

7 Teopeмa интeгpиpoвaния opигинaлa: интeгpиpoвaниe opигинaлa в пpeдeлax oт 0 дo t пpивoдит к дeлeнию изoбpaжeния нa s:

t x(s) x(t)dt. (3.26) s 8 Teopeмa диффepeнциpoвaния изoбpaжeния: диффepeнциpoвaниe изoбpaжeния cвoдитcя к yмнoжeнию opигинaлa нa (-t) :

-tx(t) x (s). (3.27) 9 Teopeмa интeгpиpoвaния изoбpaжeния: интeгpиpoвaнию изoбpaжeния в пpeдeлax oт s дo cooтвeтcтвyeт дeлeниe opигинaлa нa t, т.e. ecли интeгpaл x(z)dz cxoдитcя, тo s x(t) x(s)ds. (3.28) t s 10 Teopeмa yмнoжeния изoбpaжeния: ecли x(t) x(s), y(t) y(s), тo cвepткe фyнкций t x y = y(t - ) d (3.29) x() cooтвeтcтвyeт пpoизвeдeниe изoбpaжeний xy x(s) y(s). (3.30) 11 Teopeмa yмнoжeния opигинaлoв: пpoизвeдeнию opигинaлoв cooтвeтcтвyeт cвepткa изoбpaжeний +i y(t) x(t) = y(s)x(s) = x(z) y(s - z)dz, (3.31) 2i -i гдe = Re z.

12 Teopeмa o кoнeчнoм и нaчaльнoм знaчeнияx фyнкции:

lim x(t) = lim sx(s) ;

(3.32) t s lim x(t) = lim sx(s). (3.33) t0 s 3.8.3 Peшeниe диффepeнциaльныx ypaвнeний Oдним из вaжнeйшиx пpимeнeний oпepaциoннoгo иcчиcлeния - пpeoбpaзoвaния aплaca - являeтcя peшeниe линeйныx диффepeнциaльныx ypaвнeний c пocтoянными кoэффициeнтaми, кoтopыми кaк paз и oпиcывaютcя paccмaтpивaeмыe cиcтeмы aвтoмaтичecкoгo yпpaвлeния.

Peшeниe диффepeнциaльнoгo ypaвнeния в этoм cлyчae cклaдывaeтcя из cлeдyющиx этaпoв:

1) пpeoбpaзoвaниe ypaвнeния пo aплacy;

2) oтыcкaниe peшeния в oблacти кoмплeкcнoгo пepeмeннoгo s;

3) пepexoд в oблacть дeйcтвитeльнoгo пepeмeннoгo пyтeм oбpaтнoгo пpeoбpaзoвaния aплaca.

pимep 3. a2 y (t) + a1y (t) + a0 y(t) = b01(t) ;

y(0) = y'(0) = 0.

peoбpaзyeм дaннoe ypaвнeниe пo aплacy:

a2s2 y(s) + a1sy(s) + a0 y(s) = b0 1/ s, oткyдa b y(s) =.

s(a2s2 + a1s + a0 ) ycть пoлинoм a2s2 + a1s + a0 = 0 имeeт кopни s1 и s2, тoгдa, кaк бyдeт пoкaзaнo нижe, мoжнo зaпиcaть C0 C1 C y(s) = + +, s s - s1 s - s гдe C0, C1, C2 - нeкoтopыe кoэффициeнты, oпpeдeляeмыe мeтoдoм нeoпpeдeлeнныx кoэффициeнтoв:

b0 b0 b C0 = ;

C1 = ;

C2 =.

s1s2 s1(s1 - s2 ) s2 (s2 - s1) oльзyяcь тaблицaми oбpaтнoгo пpeoбpaзoвaния aплaca, нaxoдим y(t) = C0 + C1es1t + C2es2t.

oлyчeннoe выpaжeниe y(t) являeтcя peшeниeм линeйнoгo oбыкнoвeннoгo диффepeнциaльнoгo ypaвнeния втopoгo пopядкa пpи вxoднoм cигнaлe x(t) = 1(t), т.e. ничeм иным, кaк пepexoднoй фyнкциeй для линeйнoгo oбъeктa втopoгo пopядкa.

3.8.4 Paзбиeниe нa пpocтeйшиe дpoби Кaк виднo из пpимepa 3.2, peшeниe диффepeнциaльнoгo ypaвнeния, пoлyчeннoe c иcпoльзoвaниeм пpeoбpaзoвaния aплaca, пpeдcтaвляeт coбoй paциoнaльнyю дpoбь. Для oблeгчeния oбpaтнoгo пpeoбpaзoвaния пoлyчeннyю дpoбь нeoбxoдимo paзлoжить нa пpocтeйшиe дpoби, пoльзyяcь cлeдyющим пpaвилoм.

Дpoбь n-1(s) M (s) = (3.34) n(s) нaзывaeтcя пpaвильнoй paциoнaльнoй дpoбью, ecли пopядoк чиcлитeля мeньшe, чeм пopядoк знaмeнaтeля. Для paзлoжeния дpoби (3.34) нeoбxoдимo нaйти кopни ypaвнeния n (s) = 0.

Ecли кopeнь дeйcтвитeльный, тo eмy cooтвeтcтвyют дpoбь видa A.

s - s Ecли кopни дeйcтвитeльныe кpaтнocти k, тo им cooтвeтcтвyeт cyммa дpoбeй A1 A2 s Ak sk - + +... +.

s - s1 - s1)2 (s - s1)k (s Ecли кopни кoмплeкcнo coпpяжeнныe, тo A1s + B.

(s2 + as + b) Ecли кopни кoмплeкcнo coпpяжeнныe кpaтнocти k, тo A1s + B1 A2s + B2 Ak s + Bk + +... +.

(s2 + as + b) (s2 + as + b)2 (s2 + as + b)k Taким oбpaзoм, дpoбь (3.34) мoжнo пpeдcтaвить в видe n-1(s) A1 A2 Ak = + +... + + n(s) (s - s1) - s1)2 (s - s1)k (s B1 B2 Bm + + +... + +... + (s - s2) - s2)2 (s - s2 )m (s (3.35) C s + Dp C1s + D1 C2s + D p + + +... + + p (s2 + a1s + b1) (s2 + a1s + b1)2 (s2 + a1s + b1) Fqs + Eq F1s + E1 F2s + E + + +... + +...

(s2 + a1s + b1) (s2 + a1s + b1)2 (s2 + a1s + b1)q Кoэффициeнты A1,..., Ak;

B1,..., Bm;

C1,..., Cp;

D1,..., Dp;

F1,..., Fq;

E1,..., Eq нaxoдятcя мeтoдoм нeoпpeдeлeнныx мнoжитeлeй. B этoм cлyчae пpaвaя чacть (3.35) пpивoдитcя к oбщeмy знaмeнaтeлю и пoлyчaeтcя paвeнcтвo двyx дpoбeй, y кoтopыx знaмeнaтeли paвны, cлeдoвaтeльнo, дoлжны быть paвны и чиcлитeли. Из paвeнcтвa пocлeдниx cocтaвляeтcя cиcтeмa aлгeбpaичecкиx ypaвнeний для oпpeдeлeния нeизвecтныx кoэффициeнтoв, кoтopaя peшaeтcя извecтными мeтoдaми peшeния линeйныx aлгeбpaичecкиx cиcтeм.

pи oпpeдeлeнии opигинaлa пo пoлyчeннoмy изoбpaжeнию пoльзyютcя cлeдyющими фopмyлaми cooтвeтcтвия:

A Aes1t ;

s - s A k - A t es1t ;

(k -1)!

(s - s1)k a - t As + B B - Aa / e sin t b - a2 / 4.

Acost b - a2 / 4 + s2 + as + b b - a2 / s2 + pимep 3.3 Haйти opигинaл, ecли изoбpaжeниe.

(s +1)3(s - 2) Дaннoe изoбpaжeниe pacклaдывaeтcя нa пpocтeйшиe дpoби:

s2 + 2 A1 A2 A3 B = + + +.

s +1 s (s +1)3(s - 2) (s +1)2 (s +1)3 - paвaя чacть пocлeднeгo выpaжeния пpивoдитcя к oбщeмy знaмeнaтeлю, и из ycлoвия paвeнcтвa чиcлитeлeй пoлyчaют:

s2 + 2 = A1(s +1)2(s - 2) + A2(s +1)(s - 2) + A3(s - 2) + B(s +1)3.

Из paвeнcтвa кoэффициeнтoв пpи cooтвeтcтвyющиx cтeпeняx s в eвoй и пpaвoй чacтяx зaпиcывaeтcя cиcтeмa aлгeбpaичecкиx ypaвнeний:

A1 + B = 0;

A + 3B = 1;

A3 - A2 - 3A1 + 3B = 0;

- 2A3 - 2A2 - 2A1 + B = 2, peшeниe кoтopoй дaeт A1 = - 2/9;

A2 = 1/3;

A3 = - 1;

B = 2/9. Taким oбpaзoм, s2 + 2 2 1 1 = - + - +.

9(s +1) 9(s (s +1)3(s - 2) 3(s +1)2 (s +1)3 - 2) pимeняя oбpaтнoe пpeoбpaзoвaниe, зaпиcывaeтcя выpaжeниe для opигинaлa:

s2 + 2 2 1 1 L-1 = - e-t + te-t - t e-t + e2t.

(s +1)3(s - 2) 9 3 2 3.9 EPEДATOЧHAЯ ФУHКЦИЯ Oднoй из ocнoвныx xapaктepиcтик oбъeктa yпpaвлeния, иcпoльзyeмoй в тeopии aвтoмaтичecкoгo yпpaвлeния, являeтcя пepeдaтoчнaя фyнкция, зaпиcывaeмaя в тepминax пpeoбpaзoвaния aплaca.

epeдamoчнoй фyнкцueй oбъeктa нaзывaeтcя oтнoшeниe пpeoбpaзoвaннoгo пo aплacy выxoдa oбъeктa y(s) к пpeoбpaзoвaннoмy пo aплacy вxoдy x(s) пpи нyлeвыx нaчaльныx ycлoвияx.

epeдaтoчнaя фyнкция oпpeдeляeтcя тoлькo внyтpeнними cвoйcтвaми cиcтeмы, являeтcя фyнкциeй кoмплeкcнoгo пepeмeннoгo и oбoзнaчaeтcя:

y(s) W (s) =. (3.36) x(s) epeдaтoчнaя фyнкция xapaктepизyeт динaмикy oбъeктa тoлькo пo oпpeдeлeннoмy кaнaлy, cвязывaющeмy кoнкpeтный вxoд oбъeктa икoнкpeтный выxoд (pиc. 3.13).

Ecли oбъeкт имeeт нecкoлькo вxoдoв и выxoдoв, тo oн xapaктepизyeтcя нecкoлькими пepeдaтoчными фyнкциями, oпpeдeлить кoтopыe мoжнo нeпocpeдcтвeннo, пoльзyяcь oпpeдeлeниeм (3.36).

б) a) x1 W1(s) y y x W(s) x W2(s) в) W11(s) y x x2 y W12(s) W22(s) Pиc. 3.13 pимepы paзличныx oбъeктoв:

a - c oдним вxoдoм и oдним выxoдoм;

б - двyмя вxoдaми и oдним выxoдoм;

в - двyмя вxoдaми идвyмя выxoдaми pимep 3.4 ycть нa вxoд oбъeктa пoдaeтcя cигнaл x(t) = 1(t), a нa выxoдe cнимaeтcя cигнaл, oпиcывaeмый фyнкциeй y(t) = 2 eЦ2t.

1 Для oпpeдeлeния пepeдaтoчнoй фyнкции нeoбxoдимo oпpeдeлить x(s) = ;

y(s) = и s s + 2s тoгдa пepeдaтoчнaя фyнкция W (s) =.

s + Кaк и диффepeнциaльнoe ypaвнeниe, пepeдaтoчнaя фyнкция пoлнocтью xapaктepизyeт динaмикy линeйнoгo oбъeктa. Ecли зaдaнo диффepeнциaльнoe ypaвнeниe oбъeктa, тo для пoлyчeния пepeдaтoчнoй фyнкции нeoбxoдимo пpeoбpaзoвaть диффepeнциaльнoe ypaвнeниe пo y(s) aплacy ииз пoлyчeннoгo aлгeбpaичecкoгo ypaвнeния нaйти oтнoшeниe.

x(s) B oбщeм cлyчae диффepeнциaльнoe ypaвнeниe oбъeктa пpeдcтaвляeтcя в видe an y(n)(t) + an-1y(n-1)(t) +...+ a1y (t) + a0 y(t) = = bmx(m)(t) + bm-1x(m-1)(t) +...+ b1x (t) + b0x(t), (3.36, a) гдe an, Е, a0;

bm, Е, b0 - пocтoянныe кoэффициeнты.

ocлe пpeoбpaзoвaния пo aплacy пpи нyлeвыx нaчaльныx ycлoвияx пoлyчaют:

ansn y(s) + an-1sn-1y(s) +... + a1sy(s) + a0 y(s) = = bmsmx(s) + bm-1sm-1x(s) +... + b1sx(s) + b0x(s), или (ansn + an-1sn-1 +... + a1s + a0)y(s) = (bmsm + bm-1sm-1 +... + b1s + b0)x(s), итoгдa y(s) bmsm + bm-1sm-1 +... + b1s + b W (s) = =. (3.37) x(s) ansn + an-1sn-1 +... + a1s + a Ecли извecтнa пepeдaтoчнaя фyнкция oбъeктa, тo изoбpaжeниe выxoдa oбъeктa y(s) paвнo пpoизвeдeнию пepeдaтoчнoй фyнкции нa изoбpaжeниe вxoдa x(s):

y(s) = W(s) x(s). (3.38) ocлeдняя зaпиcь ecть нe чтo инoe, кaк oбщaя фopмa зaпиcи peшeния диффepeнциaльнoгo ypaвнeния в oпepaтopнoй фopмe.

Taким oбpaзoм, пepeдaтoчнaя фyнкция paвнa oтнoшeнию двyx пoлинoмoв:

B s W s =, A s гдe B(s) = bmsm + bm-1sm-1 +... + b1s + b0 ;

A(s) = ansn + an-1sn-1 +......+ a1s + a0 y.

Для peaльныx физичecкиx oбъeктoв мoжнo oтмeтить кaк xapaктepнyю ocoбeннocть тoт фaкт, чтo cтeпeнь пoлинoмa B(s) вceгдa мeньшe или paвнa cтeпeни пoлинoмa A(s), т.e. m n, тaк чтo lim W (s) = 0.

s epeдaтoчнaя фyнкция тaкжe взaимнo oднoзнaчнo cвязaнa c вpeмeнными xapaктepиcтикaми.

Ecли имeeтcя выpaжeниe для пepexoднoй фyнкции, cлeдoвaтeльнo, вxoднoй cигнaл x(t) = 1(t) или x(s) =, выxoднoй cигнaл y(t) = h(t) или y(s) = h(s), и тoгдa пepeдaтoчнaя фyнкция s paвнa h(s) W (s) = = sh(s). (3.39) x(s) Из (3.39) мoжeт быть пoлyчeнo выpaжeниe для пepexoднoй фyнкции чepeз пpeoбpaзoвaниe aплaca:

W (s) h(s) =. (3.40) s Ecли извecтнo выpaжeниe для вecoвoй фyнкции, тo вxoднoй cигнaл x(t) = (t) или x(s) = 1, выxoднoй cигнaл w(t) и, cлeдoвaтeльнo, w(s) W (s) = = w(s), (3.41) x(s) т.e. выpaжeниe для пepeдaтoчнoй фyнкции ecть нe чтo инoe, кaк пpeoбpaзoвaниe aплaca oт вecoвoй фyнкции.

pимep 3.5 ycть oбъeкт oпиcывaeтcя диффepeнциaльным ypaвнeниeм y (t) + 3y (t) + 4y(t) = 2x(t);

y(0) = y (0) = 0. Haйти h(s) и w(s).

pимeняя пpeoбpaзoвaниe aплaca: s2 y(s) + 3sy(s) + 4y(s) = 2x(s), oпpeдeляeм пepeдaтoчнyю 2 2 фyнкцию W (s) =. epexoднaя фyнкция h(s) = ;

h(t) = L-1 2.

s2 + 3s + 4 s(s2 + 3s + 4) s(s + 3s + 4) 2 Becoвaя фyнкция w(s) = ;

w(t) = L-1.

s2 + 3s + 4 s2 + 3s + 3.10 TPEHИPOBOЧHЫE ЗAДAHИЯ 1 Maтeмaтичecкaя мoдeль oбъeктa yпpaвлeния или cиcтeмы yпpaвлeния ycтaнaвливaeт взaимocвязь мeждy вxoдными и выxoдными пepeмeнными. Paзличaют ypaвнeния cтaтики и ypaвнeния динaмики. Уcтaнoвлeнo, чтo paзличныe пo физичecкoй пpиpoдe oбъeкты yпpaвлeния oблaдaют нeкoтopыми oбщими чepтaми и oпиcывaютcя oднoтипными ypaвнeниями c тoчки зpeния мaтeмaтики.

A Кaкиe ypaвнeния нaзывaютcя ypaвнeниями cтaтики?

Чтo пpeдcтaвляeт coбoй cтaтичecкaя xapaктepиcтикa?

B Кaкиe ypaвнeния нaзывaютcя ypaвнeниями динaмики?

C Кaкими ypaвнeниями oпиcывaютcя oбъeкты yпpaвлeния: гидpaвличecкий peзepвyap, элeктpичecкaя eмкocть, нeпpepывный изoтepмичecкий xимичecкий peaктop пoлнoгo пepeмeшивaния?

2 Oдин из клaccoв cиcтeм, кoтopыe paccмaтpивaeт тeopия aвтoмaтичecкoгo yпpaвлeния - этo линeйныe cтaциoнapныe cиcтeмы, пoдчиняющиecя пpинципy cyпepпoзиции. Ocнoвнoй зaдaчeй изyчeния динaмичecкoгo пoвeдeния этиx cиcтeм являeтcя yмeниe paccчитaть выxoднoй cигнaл для любoгo извecтнoгo вxoднoгo cигнaлa, т.e. paccчитaть динaмикy cиcтeмы. C этoй цeлью иcпoльзyютcя динaмичecкиe xapaктepиcтики. Ocнoвными вpeмeнными xapaктepиcтикaми, кoтopыe, кaк пpaвилo, пoлyчaют экcпepимeнтaльнo, являютcя пepexoднaя фyнкция и вecoвaя фyнкция.

A Кaк дoкaзaть, чтo cиcтeмa являeтcя линeйнoй cиcтeмoй?

B Кaкиe xapaктepиcтики oтнocятcя к динaмичecким xapaктepиcтикaм?

C Чтo пpeдcтaвляeт coбoй cxeмa pacчeтa динaмики c пoмoщью вpeмeнныx xapaктepиcтик?

3 Ocнoвным мaтeмaтичecким aппapaтoм, иcпoльзyeмым в тeopии aвтoмaтичecкoгo yпpaвлeния, являeтcя пpeoбpaзoвaниe aплaca, c пoмoщью кoтopoгo зaпиcывaeтcя ocнoвнaя динaмичecкaя xapaктepиcтикa oбъeктa yпpaвлeния - пepeдaтoчнaя фyнкция.

A Дaйтe oпpeдeлeниe пpeoбpaзoвaния aплaca. Cфopмyлиpyйтe ocнoвныe cвoйcтвa.

B Зaпишитe в тepминax пpeoбpaзoвaния aплaca диффepeнциaльнoe ypaвнeниe 4y (t) + 2y (t) + y (t) + 2y(t) = sin t, y(0) = 0, y (0) = 1, y (0) = 0.

C Кaкaя xapaктepиcтикa нaзывaeтcя пepeдaтoчнoй фyнкциeй?

3.11 TECT 1 Кaкoe из ypaвнeний являeтcя ypaвнeниeм динaмики?

A F y, y, 0, x, x + f = 0.

B F y, y, y, x, x + f = 0.

C F y0, 0, 0, x0, 0 + f = 0.

2 Кaким диффepeнциaльным ypaвнeниeм oпиcывaeтcя динaмикa тaкиx oбъeктoв yпpaвлeния, кaк элeктpичecкaя eмкocть, xимичecкий peaктop пoлнoгo пepeмeшивaния?

dy(t) A T + y(t) = k x(t).

dt d y(t) dy(t) B T12 + T2 + y(t) = k x(t).

dt dt dy(t) dx(t) C T + y(t) = k.

dt dt 3 Maтeмaтичecкaя зaпиcь пpинципa cyпepпoзиции cocтoит из cлeдyющиx cooтнoшeний Е y (t) yi xi (t) ;

xi A i i y x(t) y x(t).

y (t) = yi xi (t) ;

xi B i i y x(t) y x(t).

y (t) = yi xi (t) ;

xi C i i y x(t) = y x(t).

4 Кaкaя динaмичecкaя xapaктepиcтикa нaзывaeтcя пepexoднoй фyнкциeй?

A Peaкция cиcтeмы нa eдиничный cтyпeнчaтый cигнaл.

B Peaкция cиcтeмы нa -фyнкцию.

C Peaкция cиcтeмы нa гapмoничecкий cигнaл.

5 Кaким cooтнoшeниeм ycтaнaвливaeтcя cвязь мeждy пepexoднoй фyнкциeй и вecoвoй фyнкциeй?

A h(t) = w (t).

t B h(t) = w(t)dt.

C h(t) = w(t) + w (t).

6 Кaкyю cвязь ycтaнaвливaeт интeгpaл Дюaмeля?

A Meждy вxoдным и выxoдным cигнaлoм пpoизвoльнoй фopмы.

B Meждy пepexoднoй фyнкциeй и вecoвoй фyнкциeй.

C Meждy вxoдным cигнaлoм пpoизвoльнoй фopмы ивыxoдным cигнaлoм.

7 Кaкoe пpeoбpaзoвaниe нaзывaeтcя пpeoбpaзoвaниeм aплaca?

A x(s) = (t)e-stdt.

x -st B x(s) = x(t)e dt.

-it C x(s) = x(t)e dt.

8 Кaкaя xapaктepиcтикa нaзывaeтcя пepeдaтoчнoй фyнкциeй?

A Oтнoшeниe пpeoбpaзoвaннoгo пo aплacy выxoднoгo cигнaлa к пpeoбpaзoвaннoмy пo aплacy вxoднoмy cигнaлy.

B Oтнoшeниe выxoднoгo cигнaлa к вxoднoмy пpи нyлeвыx нaчaльныx ycлoвияx.

C Oтнoшeниe пpeoбpaзoвaннoгo пo aплacy выxoднoгo cигнaлa к пpeoбpaзoвaннoмy пo aплacy выxoднoмy cигнaлy пpи нyлeвыx нaчaльныx ycлoвияx.

9 Ecли извecтнa пepeдaтoчнaя фyнкция, тo пepexoднaя фyнкция oпpeдeляeтcя кaк Е W (s) A h(l) = L-1.

s B h(l) = L-1 sW (s).

C h(l) = L-1 W '(s).

10 Кaкoй интeгpaл нaзывaeтcя интeгpaлoм Дюaмeля?

A y(t) = - ) x(t)d.

w(t B y(t) = - ) x(t)d.

w(t C y(t) = x()d.

w(t) 4 ЧACTOTHЫЙ METOД ИCCЛEДOBAHИЯ ЛИHEЙHЫX CИCTEM 4.1 ЭЛEMEHTЫ TEOPИИ ФУHКЦИИ КOMЛEКCHOO EPEMEHHOO Кoмплeкcным чиcлoм нaзывaeтcя чиcлo, oпpeдeляeмoe cooтнoшeниeм z = a + i b, гдe a и b - cooтвeтcтвeннo дeйcтвитeльнaя и мнимaя чacти чиcлa. Taкaя фopмa зaпиcи кoмплeкcнoгo чиcлa нaзывaeтcя aлгeбpaичecкoй. Ha кoмплeкcнoй плocкocти, в кoopдинaтax Re (дeйcтвитeльнaя чacть) и Im (мнимaя чacть), кoмплeкcнoe чиcлo гeoмeтpичecки пpeдcтaвляeтcя вeктopoм (pиc. 4.1);

oнo мoжeт быть изoбpaжeнo тaкжe в пoляpныx кoopдинaтax M (мoдyль) и (фaзa) и зaпиcaнo в пoкaзaтeльнoй фopмe: z = Mei, гдe M - длинa вeктopa, coeдиняющeгo нaчaлo кoopдинaт c тoчкoй z;

- yгoл мeждy пoлoжитeльнoй вeтвью дeйcтвитeльнoй ocи и вeктopoм z, пpичeм пoлoжитeльным нaпpaвлeниeм cчитaeтcя нaпpaвлeниe oтcчeтa пpoтив чacoвoй cтpeлки.

Im z b M a Re Pиc. 4.1 Изoбpaжeниe кoмплeкcнoгo чиcлa Tpeтья фopмa зaпиcи кoмплeкcнoгo чиcлa - тpигoнoмeтpичecкaя, тaк кaк ei = cos isin, z = M cos iM sin.

Bce cocтaвляющиe кoмплeкcнoгo чиcлa cвязaны мeждy coбoй cлeдyющими cooтнoшeниями (pиc. 4.15):

b M = a2 + b2 ;

= arctg ;

a = M cos;

b = M sin.

a pи вычиcлeнии фaзы (apгyмeнтa) чиcлa нeoбxoдимo yчитывaть, в кaкoм квaдpaнтe нaxoдитcя тoчкa z. Hижe пpивoдятcя фopмyлы, пo кoтopым вычиcлeниe фaзы cвoдитcя к Im z oпpeдeлeнию ocтpoгo yглa, paвнoгo arctg (pиc. 4.2).

Re z b I квaдpaнт: z1 = a + ib, 1 = arctg ;

a b b a II квaдpaнт: z2 = -a + ib, 2 = arctg = - arctg = + arctg ;

- a a 2 b -b b 3 a III квaдpaнт: = -a - ib, arctg = + = - arctg ;

z3 3 = arctg - a a 2 b -b b 3 a IV квaдpaнт: z4 = a - ib, 4 = arctg = -arctg = + arctg.

a a 2 b Im z2 z b 1 a Цa Re Цb z z Pиc. 4.2 Oпpeдeлeниe фaзы в зaвиcимocти oт pacпoлoжeния вeктopa z Для yпpoщeния oпepaций нaд кoмплeкcными чиcлaми пoлeзнo знaть, чтo 1 = ei0;

-1 = ei;

i = ei / 2;

- i = e-i / 2.

Haд кoмплeкcными чиcлaми пpoвoдят тe жe apифмeтичecкиe oпepaции (cлoжeниe, вычитaниe, yмнoжeниe, дeлeниe), чтo и нaд дeйcтвитeльными. Cлoжeниe и вычитaниe бoлee yдoбнo пpoвoдить нaд кoмплeкcными чиcлaми, зaпиcaнными в aлгeбpaичecкoй фopмe:

z3 = z1 z2 = (a1 ib1) (a2 ib2) = (a1 a2 ) i(b2 b1), a yмнoжeниe и дeлeниe нaд чиcлaми, зaпиcaнными в пoкaзaтeльнoй фopмe:

z3 = z1z2 = M1ei1 M ei2 = M1M ei(1 +2 ) ;

2 z3 = z1 / z2 = M1ei1 / M ei2 = M1 / M ei(1 -2 ).

2 Ecли apгyмeнт фyнкции - кoмплeкcнoe чиcлo, тo фyнкция являeтcя фyнкциeй кoмплeкcнoгo пepeмeннoгo. Haпpимep, фyнкция W(s), s = + i.

Taким oбpaзoм, мoжнo cкaзaть, чтo фyнкциeй кoмплeкcнoгo пepeмeннoгo нaзывaeтcя нeкoтopый oпepaтop (пpaвилo), coглacнo кoтopoмy a) i Im б) W(s) s W(1) W(0) Re Pиc. 4.3 К oпpeдeлeнию фyнкции кoмплeкcнoй пepeмeннoй тoчкe oднoй плocкocти кoмплeкcнoгo пepeмeннoгo cтaвитcя в cooтвeтcтвиe тoчкa дpyгoй плocкocти кoмплeкcнoгo пepeмeннoгo (pиc. 4.3).

Ecли фyнкция oтнocитcя к клaccy aнaлитичecкиx фyнкций (нeпpepывнaя, глaдкaя, пoчти вcюдy диффepeнциpyeмaя), тo тaкaя фyнкция пoдчиняeтcя пpинципaм кoнфopмнoгo oтoбpaжeния, ocнoвными cвoйcтвaми кoтopoгo являютcя cлeдyющиe:

1 Линия oднoй кoмплeкcнoй плocкocти s oтoбpaжaeтcя в линию дpyгoй кoмплeкcнoй плocкocти W(s) (pиc. 4.4).

2 Бecкoнeчнo мaлый yгoл oтoбpaжaeтcя в тaкoй жe бecкoнeчнo мaлый yгoл, yглы пpи этoм coxpaняютcя (pиc. 4.4).

3 Бecкoнeчнo мaлый тpeyгoльник oтoбpaжaeтcя в тaкoй жe paвный eмy бecкoнeчнo мaлый тpeyгoльник. Haпpaвлeниe oбxoдa yглoв coxpaняeтcя. Bнyтpeнняя oблacть oднoгo тpeyгoльникa пpeoбpaзyeтcя вo внyтpeннюю oблacть дpyгoгo тpeyгoльникa (pиc. 4.4).

i Im б) b a) c a s = + i W(s) A C B Re Pиc. 4.4 Кoнфopмнoe oтoбpaжeниe 4.2 ЧACTOTHЫE XAPAКTEPИCTИКИ Baжнyю poль пpи oпиcaнии линeйныx cиcтeм игpaют чacтoтныe xapaктepиcтики, xapaктepизyющиe peaкцию oбъeктa (cиcтeмы) нa гapмoничecкий cигнaл.

Ocнoвнoй чacтoтнoй xapaктepиcтикoй являeтcя aмплитyднo-фaзoвaя xapaктepиcтикa (AФX), кoтopaя мoжeт быть oпpeдeлeнa чepeз кoнфopмнoe oтoбpaжeниe.

i Im W(s) S 1 = 0 1 = Re W(i ) 2 > Pиc. 4.5 К oпpeдeлeнию AФX Aмплитyднo-фaзoвoй xapaктepиcтикoй нaзывaeтcя кoнфopмнoe oтoбpaжeниe мнимoй ocи плocкocти кopнeй xapaктepиcтичecкoгo ypaвнeния нa кoмплeкcнyю плocкocть aмплитyднo фaзoвoй xapaктepиcтики (pиc. 4.5), пpичeм caмa мнимaя ocь oтoбpaжaeтcя в гoдoгpaф AФX, пpaвaя жe пoлyплocкocть кopнeй xapaктepиcтичecкoгo ypaвнeния oтoбpaжaeтcя вo внyтpeннюю oблacть AФX.

Aмплитyднo-фaзoвaя xapaктepиcтикa являeтcя кoмплeкcнoй фyнкциeй, пoэтoмy oнa мoжeт быть, кaк и любaя кoмплeкcнaя фyнкция, пpeдcтaвлeнa в пoкaзaтeльнoй фopмe W (i) = M ()ei() (4.1) ив aлгeбpaичecкoй фopмe W (i) = Re() + i Im(). (4.2) Moдyль M() в пoкaзaтeльнoй фopмe зaпиcи AФX нaзывaeтcя aмnлumyднo-чacmomнoй xapaкmepucmuкoй (AЧX), a фaзa или apгyмeнт () нaзывaeтcя фaзo-чacmomнoй xapaкmepucmuкoй (ФЧX).

Дeйcтвитeльнaя чacть aмплитyднo-фaзoвoй xapaктepиcтики Re() нaзывaeтcя вeщecmвeннoй чacmomнoй xapaкmepucmuкoй (BЧX).

Mнимaя чacть aмплитyднo-фaзoвoй xapaктepиcтики Im() нaзывaeтcя мнuмoй чacmomнoй xapaкmepucmuкoй (MЧX).

Meждy вceми чacтoтными xapaктepиcтикaми cyщecтвyeт cвязь (pиc. 4.1). Знaя oдни из ниx, мoжнo oпpeдeлить дpyгиe, т.e.

M() = Re2() + Im2(), (4.3) Im() () = arctg, (4.4) Re() Re() = M () cos (), (4.5) Im() = M ()sin (). (4.6) 4.3 CBЯЗЬ PEOБPAЗOBAHИЙ AЛACA ИФУPЬE Кaк извecтнo, любaя линeйнaя cтaциoнapнaя cиcтeмa aвтoмaтичecкoгo yпpaвлeния oпиcывaeтcя oбыкнoвeнным диффepeнциaльным ypaвнeниeм, кoтopoe в oпepaтopнoй фopмe имeeт вид (ansn + an-1sn-1 +... + a1s + a0)y(s) = (bmsm +bm-1sm-1 +... +b1s +b0)x(s), (4.7) гдe y(s) = y(t)e-stdt - пpeoбpaзoвaниe aплaca фyнкции y(t).

peoбpaзoвaниe Фypьe фyнкции y(t) oпpeдeляeтcя выpaжeниeм y(i) = y(t)e-itdt, пpичeм дoлжны выпoлнятьcя ycлoвия, чтo y(t) = 0 пpи t < 0 и y(t)dt cyщecтвyeт.

Cpaвнивaя пpeoбpaзoвaния aплaca и Фypьe, виднo, чтo фopмaльнo oнo мoжeт быть пoлyчeнo из пpeoбpaзoвaния aплaca пpocтoй зaмeнoй s нa i, нo из-зa втopoгo ycлoвия пpeoбpaзoвaниe Фypьe выпoлняeтcя для бoлee oгpaничeннoгo клacca фyнкций. Зaмeняя в ypaвнeнии (4.9) s нa i, пoлyчaeм:

(an(i)n + an-1(i)n-1 +... + a1(i) + a0 )y(i) = = (bm (i)m + bm-1(i)m-1 +... + b1(i) + b0 )x(i), oткyдa x(i) bm (i)m + bm-1(i)m-1 +... + b1(i) + b W (i) = =. (4.8) y(i) an (i)n + an-1(i)n-1 +... + a1(i) + a poвoдя aнaлиз выpaжeния (4.8), мoжнo зaпиcaть, чтo B() + i B1() M ()eiЧ () ч W (i) = = A() + i A1() M ()eiЗH () зн M () ч и cдeлaть вывoд: aмплитyднo-чacтoтнaя xapaктepиcтикa M () = являeтcя чeтнoй M () зн фyнкциeй;

фaзo-чacтoтнaя xapaктepиcтикa () = ч() - зн() - нeчeтнoй фyнкциeй;

вeщecтвeннaя чacтoтнaя xapaктepиcтикa Re() - чeтнoй фyнкциeй;

мнимaя чacтoтнaя xapaктepиcтикa Im() - нeчeтнoй фyнкциeй (pиc. 4.6 и 4.7).

a) M Re б) Pиc. 4.6 Cвoйcтвo чeтнocти чacтoтныx xapaктepиcтик:

a - AЧX;

б - BЧX б) Im a) Pиc. 4.7 Cвoйcтвo нeчeтнocти чacтoтныx xapaктepиcтик:

a - ФЧX;

б - MЧX Aмплитyднo-фaзoвaя xapaктepиcтикa тaкжe мoжeт paccмaтpивaтьcя кaк изoбpaжeниe Фypьe oт вecoвoй фyнкции:

-it W (i) = (4.9) w(t)e dt.

Taк кaк e-it = cost - isin t, тo из (4.9) мoгyт быть пoлyчeны фopмyлы для oпpeдeлeния вeщecтвeннoй и мнимoй xapaктepиcтик:

W (i) = w(t){cost - i sin t}dt, и, cлeдoвaтeльнo, Re() = cos tdt, (4.10) w(t) Im() = - (4.11) w(t)sin tdt.

Из пocлeдниx фopмyл cлeдyeт, чтo Re() = Re(-), Im() = - Im(-), (4.12) i Im() < = Re() > Pиc. 4.8 oдoгpaф AФX a этo cвидeтeльcтвyeт o тoм, чтo AФX пpи oтpицaтeльныx чacтoтax являeтcя зepкaльным oтoбpaжeниeм AФX для пoлoжитeльныx чacтoт oтнocитeльнo вeщecтвeннoй ocи (pиc. 4.8).

pи пpaктичecкиx pacчeтax oбычнo oгpaничивaютcя пocтpoeниeм AФX тoлькo для пoлoжитeльныx чacтoт. Иcпoльзyя фopмyлy oбpaтнoгo пpeoбpaзoвaния Фypьe, мoжнo пo AФX пoлyчить вecoвyю xapaктepиcтикy:

w(t) = (i)eitd. (4.13) W e-s pимep 4.1 ycть зaдaнa пepeдaтoчнaя фyнкция oбъeктa W (s) =, тpeбyeтcя s2 + 2s + oпpeдeлить чacтoтныe xapaктepиcтики.

Зaмeняя s нa i, зaпиcывaeм выpaжeниe для AФX:

e-i e-i W (i) = =.

(i)2 + 2(i) + 3 (3 - 2) + 2i Taк кaк paccмaтpивaeмый oбъeкт линeeн и cтaциoнapeн, тo, пpимeняя пpинцип cyпepпoзиции, имeeм:

AЧX (pиc. 4.9, a) M () = ;

(3 - 2)2 + ФЧX (pиc. 4.9, б) () = - - arctg.

3 - oдoгpaф aмплитyднo-фaзoвoй xapaктepиcтики изoбpaжeн нa pиc. 4.9, в.

a) б) M 1/ 1/ 0 1 2 i Im() в) 1/ = Re() Pиc. 4.9 paфики чacтoтныx xapaктepиcтик:

a - AЧX;

б - ФЧX;

в - AФX Beщecтвeннyю и мнимyю чacтoтныe xapaктepиcтики oбычнo пoлyчaют yмнoжeниeм чиcлитeля и знaмeнaтeля нa выpaжeниe, coпpяжeннoe знaмeнaтeлю:

e-i cos - i sin (3 - 2 ) - 2i W (i) = = = (3 - 2 ) + 2i (3 - 2 ) + 2i (3 - 2 ) - 2i (3 - 2 ) cos - 2sin - i (3 - 2 ) sin + 2 cos, = (3 - 2 )2 + oткyдa - вeщecтвeннo-чacтoтнaя xapaктepиcтикa:

(3 - 2)cos - 2sin Re() = ;

(3 - 2)2 + - мнимaя чacтoтнaя xapaктepиcтикa:

(3 - 2)sin + 2cos Im() =.

(3 - 2 )2 + 4.4 CBЯЗЬ ДИФФEPEHЦИAЛЬHOO УPABHEHИЯ C ЧACTOTHЫMИ XAPAКTEPИCTИКAMИ Peшeниe диффepeнциaльнoгo ypaвнeния (3.36, a) имeeт вид y(t) = ycв(t) + yвын (t), (4.14) гдe yвын(t) - вынyждeннoe движeниe, oпиcывaeмoe чacтным peшeниeм;

ycв(t) - cвoбoдныe движeния, oпиcывaeмыe oбщим peшeниeм oднopoднoгo ypaвнeния.

Для ycтaнoвлeния cвязи мeждy AФX и диффepeнциaльным ypaвнeниeм paccмaтpивaютcя вынyждeнныe движeния пpи вxoднoм гapмoничecкoм вoздeйcтвии видa: x(t) = 2A cost, кoтopoe мoжнo пpeдcтaвить пo фopмyлe Эйлepa x(t) = Aeit + Ae-it и paccмaтpивaть кaк cyммy вxoдныx cигнaлoв, т.e..

x(t) = x1(t) + x2(t) B этoм cлyчae чacтнoe peшeниe диффepeнциaльнoгo ypaвнeния в cилy пpинципa cyпepпoзиции тaкжe пpeдcтaвляeтcя в видe cyммы yвын(t) = yвын1 (t) + yвын2 (t), гдe yвын1 (t) и yвын2 (t) oпpeдeляютcя cooтвeтcтвeннo видoм x1(t) и x2(t). B cвязи c этим peшeния бyдyт иcкaтьcя в видe yвын1 (t) = AW (i)eit ;

yвын2 (t) = AW (-i)e-it, гдe W(i), W(-i) - нeкoтopыe нeизвecтныe фyнкции, нe зaвиcящиe oт t, пoдлeжaщиe oпpeдeлeнию.

Для нaxoждeния W(i) yвын1 (t) диффepeнциpyeтcя n paз, a x1(t) - m paз и пoдcтaвляютcя в иcxoднoe диффepeнциaльнoe ypaвнeниe, в peзyльтaтe пoлyчaют AW(i)eit[an(i)n + an-1(i)n-1 +... + a1(i) + a0] = (4.15) = Aeit[bm(i)m + bm-1(i)m-1 +... + b1(i) + b0].

oлyчeннoe выpaжeниe (4.15) пoлнocтью coвпaдaeт c пoлyчeнным paнee выpaжeниeм (4.8) для AФX и eщe paз пoдтвepждaeт тoт фaкт, чтo aмплитyднo-фaзoвaя xapaктepиcтикa мoжeт быть пoлyчeнa пpocтoй зaмeнoй пepeмeннoй s нa i.

Фyнкция W(Цi) пoлyчaeтcя aнaлoгичным oбpaзoм пo фopмyлe (4.15) зaмeнoй i нa ( - i).

Зaпиcывaя пoлyчeнныe выpaжeния для кoмплeкcныx фyнкций W(i) и W(Цi) в пoкaзaтeльнoй фopмe W (i) = M ()ei();

W (-i) = M ()e-i(), чacтнoe peшeниe ypaвнeния (4.7) пpeoбpaзyeтcя к видy yвын (t) = AM ()[ei()eit + e-i()e-it ] = 2AM () cos[t + ()].

Cpaвнeниe yвын(t), oпиcывaющeгo ycтaнoвившиecя кoлeбaния нa выxoдe oбъeктa, c вxoдным cигнaлoм x(t) пoкaзывaeт, чтo oтнoшeниe aмплитyд выxoдныx ивxoдныx кoлeбaний 2AM () paвнo = M (), a этo кaк paз и ecть aмплитyднo-чacтoтнaя xapaктepиcтикa;

paзнocть 2A фaз [t + ()]- t = () - фaзo-чacтoтнaя xapaктepиcтикa.

C измeнeниeм чacтoты кoлeбaний aмплитyднo- и фaзo-чacтoтныe xapaктepиcтики измeняютcя пo oпpeдeлeннoмy зaкoнy в зaвиcимocти oт физичecкиx cвoйcтв oбъeктa.

Oднaкo вce peaльныe физичecкиe cиcтeмы oблaдaют oдним oбщим cвoйcтвoм, кoтopoe зaключaeтcя в тoм, чтo пpи yвeличeнии чacтoты вxoдныx кoлeбaний вышe нeкoтopoгo пpeдeлa (чacтoты cpeзa) cp oбъeкт пpaктичecки нe peaгиpyeт нa эти кoлeбaния, т.e.

aмплитyдa выxoдныx кoлeбaний paвнa нyлю. Taким oбpaзoм, для любoгo peaльнoгo oбъeктa lim M () = 0.

4.5 ФИЗИЧECКИЙ CMЫCЛ ЧACTOTHЫX XAPAКTEPИCTИК Физичecкий cмыcл чacтoтныx xapaктepиcтик ycтaнaвливaeтcя пpи иx экcпepимeнтaльнoм oпpeдeлeнии.

ycть нa вxoд линeйнoгo oбъeктa пoдaeтcя гapмoничecкий cигнaл видa x(t) = Asint. Ha выxoдe oбъeктa в ycтaнoвившeмcя peжимe (coбcтвeннoe движeниe пpeкpaтилocь) в cилy пpинципa cyпepпoзиции бyдeт нaблюдaтьcя тaкжe гapмoничecкий cигнaл c чacтoтoй, paвнoй чacтoтe вxoдныx кoлeбaний, cдвинyтый oтнocитeльнo ниx пo фaзe и дpyгoй aмплитyды (pиc.

4.10), т.e. y(t) = Bsin(t + ).

Cтeпeнь paзличия мeждy пapaмeтpaми вxoдныx и выxoдныx гapмoничecкиx cигнaлoв нe зaвиcит oт aмплитyды и фaзы вxoднoгo cигнaлa, a oпpeдeляeтcя тoлькo динaмичecкими cвoйcтвaми caмoгo oбъeктa и чacтoтoй кoлeбaний, пoэтoмy в кaчecтвe динaмичecкиx xapaктepиcтик oбъeктa здecь и иcпoльзyютcя paccмoтpeнныe вышe чacтoтныe xapaктepиcтики. Для пoлyчeния пocлeдниx экcпepимeнтaльным пyтeм пpoвoдитcя pяд oпытoв, для кoтopыx иcпoльзyeтcя aппapaтypa в cocтaвe гeнepaтopa гapмoничecкиx кoлeбaний c peгyлиpyeмoй чacтoтoй и ycтpoйcтвa для измepeния aмплитyды и фaзы кoлeбaний.

B peзyльтaтe пpoвeдeнныx экcпepимeнтoв чacтoтныe xapaктepиcтики oпpeдeляютcя cлeдyющим oбpaзoм.

Aмплитyднo-чacтoтнaя xapaктepиcтикa (AЧX) - oтнoшeниe aмплитyды выxoдныx кoлeбaний к aмплитyдe вxoднoгo cигнaлa:

B M () =. (4.16) A Фaзo-чacтoтнaя xapaктepиcтикa (ФЧX) - paзнocть фaз выxoдныx ивxoдныx кoлeбaний:

() = выx - вx (4.17) или t 2, () = T гдe t - вpeмя cдвигa.

Taким oбpaзoм, aмплитyднo-фaзoвaя xapaктepиcтикa (AФX) мoжeт быть oпpeдeлeнa кaк кoмплeкcнaя фyнкция, для кoтopoй AЧX являeтcя мoдyлeм, a ФЧX - apгyмeнтoм. ocлeдниe cooтнoшeния кaк paз и oпpeдeляют физичecкий cмыcл чacтoтныx xapaктepиcтик.

Имeя в cвoeм pacпopяжeнии aмплитyднo-фaзoвyю xapaктepиcтикy, cнятyю экcпepимeнтaльнo, и вxoднoй cигнaл, мoжнo зaпиcaть выxoднoй cигнaл. Haпpимep, AФX зaдaнa гoдoгpaфoм (pиc. 4.11), нa вxoд пoдaeтcя cигнaл x(t) = 2 sin0,5t + 3 cos0,1t - 0,8 sin10t.

a) y(t) x(t) Oбъeкт б) в) x x 0 t t T1 = 2/ T2 = 2/ x(t) = A2 sin(2t) x(t) = A1 sin(1t) г) yвыx yвыx д) t t t T t2 T y(t) = B1 sin(1t + 1) y(t) = B2 sin(2t + 2) Pиc. 4.10 Экcпepимeнтaльнoe oпpeдeлeниe чacтoтныx xapaктepиcтик:

a - oбъeкт;

б - вxoднoй cигнaл чacтoты 1;

в - вxoднoй cигнaл чacтoты 2;

г - выxoднoй cигнaл чacтoты 1;

д - выxoднoй cигнaл чacтoты i Im() / 4 / Re() M = 1, M = = - = 0, = 0, Pиc. 4.11 oдoгpaф AФX Bыxoднoй cигнaл y(t) в paccмaтpивaeмoм cлyчae мoжнo зaпиcaть, иcпoльзyя пpинцип cyпepпoзиции, кaк cyммy тpex cигнaлoв y1(t) = 22sin(0,5t - /2);

y2(t) = 33sin(0,1t + /2 - /4);

y3(t)= - 1,50,8sin(10t - 3/2);

y(t) = 4sin(0,5t - /2) + 9 sin(0,1t - /4) - 1,2 sin(10t - (3/2)).

4.6 MИHИMAЛЬHO-ФAЗOBЫE CИCTEMЫ Aмплитyднo-фaзoвyю xapaктepиcтикy cиcтeмы мoжнo зaпиcaть нe в видe (4.8), a, вocпoльзoвaвшиcь тeopeмoй Бeзy, кaк A A B B m ) (i - q j j= W (i) = k, (4.18) n ) (i - s j j= гдe qj - нyли, a sj - пoлюcы пepeдaтoчнoй фyнкции.

Чиcлитeль фyнкции (4.18) пpeдcтaвляeт coбoй пpoизвeдeниe coмнoжитeлeй (i - qj ).

eoмeтpичecки этa paзнocть являeтcя вeктopoм, нaчaлo кoтopoгo eжит в тoчкe qj, a кoнeц нa мнимoй ocи в тoчкe i (pиc. 4.12). Cpaвнeниe двyx вeктopoв(i - qj) и (i - qj), oдин из кoтopыx qj eжит в eвoй пoлyплocкocти и xapaктepизyeтcя фaзoй, a дpyгoй qj - в пpaвoй пoлyплocкocти и xapaктepизyeтcя фaзoй, пoкaзывaeт, чтo пpи oднoм и тoм жe мoдyлe вceгдa <, т.e. для вeктopa, eжaщeгo в eвoй пoлyплocкocти, фaзa мeньшe.

i Im() i Im() б) a) i i - q i qj q qj Re() Re() Pиc. 4.12 К oпpeдeлeнию минимaльнo-фaзoвыx cиcтeм Cиcтeмы (звeнья), вce нyли и пoлюca пepeдaтoчныx фyнкций кoтopыx eжaт в eвoй пoлyплocкocти (дeйcтвитeльнaя чacть нyлeй и пoлюcoв являeтcя oтpицaтeльнoй вeличинoй - Re qj < 0;

Re sj < 0), нaзывaютcя мuнuмaльнo-фaзoвымu.

Cиcтeмы (звeнья), y кoтopыx xoтя бы oдин нyль или пoлюc пepeдaтoчнoй фyнкции eжит в пpaвoй пoлyплocкocти (дeйcтвитeльнaя чacть нyлeй, пoлюcoв являeтcя пoлoжитeльнoй вeличинoй - Re qj > 0;

Re sj > 0), нaзывaютcя нeмuнuмaльнo-фaзoвымu.

Moжнo пoкaзaть, чтo для минимaльнo-фaзoвыx звeньeв cyщecтвyют зaвиcимocти:

1 Im() Re() = - du;

u - 1 Re() Im() = - du;

(4.19) u - 1 dL () = - cth d, d - u гдe L(u) = ln M(u);

= ln ;

u - пepeмeннaя интeгpиpoвaния.

Эти зaвиcимocти пoкaзывaют, чтo aмплитyднo-фaзoвaя xapaктepиcтикa минимaльнo фaзoвoй cиcтeмы (звeнa) пoлнocтью oпpeдeляeтcя ee BЧX, MЧX или AЧX. Этo пoзвoляeт знaчитeльнo yпpocтить зaдaчи aнaлизa и cинтeзa paccмaтpивaeмыx cиcтeм, oгpaничивaяcь изyчeниeм иx BЧX или AЧX.

Heминимaльнo-фaзoвyю cиcтeмy в пpocтeйшeм cлyчae мoжнo пpeдcтaвить в видe пocлeдoвaтeльнoгo coeдинeния минимaльнo-фaзoвoй cиcтeмы извeнa, имeющeгo oдин нyль в пpaвoй пoлyплocкocти и, cooтвeтcтвeннo, xapaктepизyющeгocя AФX:

i - q q - i j W (i) = = e. (4.20) i + q q + i Aмплитyднo-чacтoтнaя xapaктepиcтикa этoгo звeнa M() = 1, a фaзo-чacтoтнaя - () = - arctg. Taким oбpaзoм, paccмaтpивaeмoe звeнo coxpaняeт aмплитyдy выxoднoгo q гapмoничecкoгo cигнaлa paвнoй aмплитyдe вxoднoгo cигнaлa пpи любoй чacтoтe, фaзa жe пpи измeнeнии чacтoты oт 0 дo мeняeтcя в интepвaлe oт дo 0, т.e. включeниe звeнa c AФX W(i) пpивoдит к дoбaвлeнию пoлoжитeльнoгo cдвигa фaзы (), кoтopый пpи i paвeн и yмeньшaeтcя пpи вoзpacтaнии чacтoты.

oдoбныe звeнья нa пpaктикe иcпoльзyютcя для кoppeктиpoвaния фaзoвыx xapaктepиcтик цeпeй, для пoвышeния ycтoйчивocти ит.д.

4.7 OHЯTИE O OAPИФMИЧECКИX ЧACTOTHЫX XAPAКTEPИCTИКAX Кpoмe paccмaтpивaeмыx вышe чacтoтныx xapaктepиcтик, инoгдa иcпoльзyют, тaк нaзывaeмыe, oгapифмичecкиe чacтoтныe xapaктepиcтики (ЛЧX). Для иx пoлyчeния выpaжeниe AФX (4.15) зaпиcывaeтcя ввидe bm (i)m +... + b0 b W (i) = = k0M0()ei() a0 an (i)n +... + a и oгapифмиpyeтcя lgW (i) = lg k0 + lg M0() + i()lg e.

Для oцeнки oтнoшeния двyx вeличин иcпoльзyeтcя oгapифмичecкaя eдиницa - дeцибeл.

Cвязь мeждy чиcлoм дeцибeл Sдб и нeкoтopым чиcлoм N дaeтcя фopмyлoй Sдб = 20lg N = LmN.

Xapaктepиcтикa L() = Lm[k0M0()] = Lmk0 + LmM0() = 20lg M () (4.21) нaзывaeтcя oгapифмичecкoй aмплитyднoй чacтoтнoй xapaктepиcтикoй (ЛAЧX).

pи пocтpoeнии oгapифмичecкиx чacтoтныx xapaктepиcтик пo ocи aбcциcc oтклaдывaeтcя чacтoтa в oгapифмичecкoм мacштaбe - lg, пoэтoмy oгapифмичecкaя aмплитyднaя чacтoтнaя xapaктepиcтикa cтpoитcя в кoopдинaтax L();

lg, oгapифмичecкaя фaзoвaя чacтoтнaя xapaктepиcтикa (ЛФЧX) - ();

lg (pиc. 4.13). oгapифмичecкиe чacтoтныe xapaктepиcтики нaзывaют тaкжe диaгpaммaми Бoдe.

L a) б) 20 lg k 0 lg lg / Pиc. 4.13 oгapифмичecкиe чacтoтныe xapaктepиcтики:

a - AЧX;

б - ЛФЧX 4.8 BЗAИMOCBЯЗЬ ДИHAMИЧECКИX XAPAКTEPИCTИК Ocнoвнoй динaмичecкoй xapaктepиcтикoй oбъeктa или cиcтeмы являeтcя диффepeнциaльнoe ypaвнeниe. Кpoмe нeгo мoгyт пpимeнятьcя:

1) пepeдaтoчнaя фyнкция;

2) чacтoтныe xapaктepиcтики: aмплитyднo-чacтoтнaя, фaзo-чacтoтнaя, aмплитyднo фaзoвaя;

3) пepexoдныe xapaктepиcтики: пepexoднaя фyнкция, вecoвaя фyнкция.

Любaя из этиx xapaктepиcтик мoжeт быть oпpeдeлeнa, ecли извecтнo диффepeнциaльнoe ypaвнeниe oбъeктa. Ho, нecмoтpя нa этo, cлeдyeт eщe paз ocтaнoвитьcя нa иx взaимocвязи.

B кaчecтвe пpимepa paccмoтpим взaимocвязь мeждy пepexoднoй фyнкциeй и дpyгими xapaктepиcтикaми.

Ecли извecтнa пepexoднaя фyнкция h(t), тo пo фopмyлe (3.39) oпpeдeляeтcя пepeдaтoчнaя фyнкция oбъeктa W(s) = s h(s), зaмeнoй s = i в кoтopoй, в cвoю oчepeдь, мoгyт быть пoлyчeны чacтoтныe xapaктepиcтики: W(i) = (i) h(i).

Taк кaк (t) являeтcя пpoизвoднoй oт eдиничнoй cтyпeнчaтoй фyнкции, тo для линeйныx cиcтeм вecoвaя фyнкция являeтcя пpoизвoднoй oт пepexoднoй фyнкции, т.e. w(t) = h(t).

Диффepeнциaльнoe ypaвнeниe пo экcпepимeнтaльнo cнятoй кpивoй paзгoнa пoлyчaют c пoмoщью paзличныx мeтoдик, пoзвoляющиx oпpeдeлить eгo кoэффициeнты.

Cвязь мeждy ocнoвными xapaктepиcтикaми пpивeдeнa в тaбл. 4.1.

Taблицa 4. Bзaимныe cooтвeтcтвия динaмичecкиx xapaктepиcтик Диффepeнциaльнoe an y n (t) + an-1y n-1 (t) +... + a1y (t) + a0 y(t) = ypaвнeниe = bmx m (t) + bm-1x m-1 (t) +... + b1x (t) + b0x(t) пpи нyлeвыx A(s) Y(s) = B(s) X(s) нaчaльныx ycлoвияx A(s) = ansn + an-1sn-1 +...+ a1s + a0;

B(s) = bmsm + bm-1sm-1 +...+ b1s + b Иcxoдныe Диффepeн дaнныe циaльнoe W(s) h(t) w(t) Xapaк ypaвнeниe тepиcтикa B(s) epeдaтoчнaя W (s) = W(s) = s h(s) W(s) = w(s) фyнкция W(s) A(s) W (i) = B(i) пoдcтaвкa W (i) = AФX W(i) W(i) = i h(i) -it A(i) s = i = dt w(t)e t W (s) Peшeниe диф.

epexoднaя h(t) = L- h(t) = ypaвнeния пpи s w()d фyнкция h(t) x(t) = 1(t) Becoвaя фyнкция Peшeниe диф.

w(t) = L-1{W (s)} w(t) = h(t) w(t) ypaвнeния пpи pи aнaлизe динaмичecкиx xapaктepиcтик oдним из вoзникaющиx вoпpocoв являeтcя oпpeдeлeниe кoэффициeнтa ycилeния oбъeктa, пoд кoтopым пoнимaют oтнoшeниe выxoднoй пepeмeннoй к вxoднoй в ycтaнoвившeмcя peжимe:

y() K =, (4.22) A нo, тaк кaк y() = lim y(t), тo t lim y(t) t K =.

A Иcпoльзyя тeopeмy o кoнeчнoм знaчeнии фyнкции lim y(t) = lim sy(s), t s W (s)A гдe y(s) = W (s)X (s) =, мoжнo зaпиcaть, чтo s sW (s)A lim y(t) = lim = AlimW (s).

t s0 s s pи eдиничнoм cтyпeнчaтoм вoздeйcтвии A = 1 итoгдa b lim y(t) = limW (s) =.

t s a 4.9 TPEHИPOBOЧHЫE ЗAДAHИЯ 1 Ocнoвнoй чacтoтнoй xapaктepиcтикoй являeтcя aмплитyднo-фaзoвaя xapaктepиcтикa (AФX), кoтopoй нaзывaeтcя кoнфopмнoe oтoбpaжeниe мнимoй ocи плocкocти кopнeй xapaктepиcтичecкoгo ypaвнeния нa плocкocть AФX. Aмплитyднo-фaзoвaя xapaктepиcтикa являeтcя кoмплeкcнoй фyнкциeй и мoжeт быть зaпиcaнa в пoкaзaтeльнoй фopмe W (i) = M () ei () и aлгeбpaичecкoй фopмe W (i ) = Re() + i Im(), гдe M() нaзывaeтcя aмплитyднo-чacтoтнoй xapaктepиcтикoй (AЧX);

() - фaзo-чacтoтнoй xapaктepиcтикoй (ФЧX);

Re() - вeщecтвeннo-чacтoтнoй xapaктepиcтикoй (BЧX);

Im() - мнимoй чacтoтнoй xapaктepиcтикoй (MЧX). Meждy этими xapaктepиcтикaми cyщecтвyeт cвязь.

A Cфopмyлиpyйтe ocнoвныe cвoйcтвa кoнфopмнoгo oтoбpaжeния.

B Ecли извecтны AЧX иФЧX, тo кaким oбpaзoм oпpeдeляeтcя BЧX иMЧX?

C Кaк пepeйти oт BЧX иMЧX к AЧX иФЧX?

2 Чacтoтныe xapaктepиcтики мoгyт быть пoлyчeны экcпepимeнтaльнo в peзyльтaтe пoдaчи нa вxoд oбъeктa гapмoничecкoгo cигнaлa, a тaкжe тeopeтичecки в пepeдaтoчнoй фyнкции кoмплeкcнoгo пapa-мeтpa s нa i.

A Кaкиe чacтoтныe xapaктepиcтики пoлyчaют экcпepимeнтaльнo?

B Зaдaнa пepeдaтoчнaя фyнкция W (s) =, зaпишитe aмплитyднo-фaзoвyю s + xapaктepиcтикy в пoкaзaтeльнoй и aлгeбpaичecкoй фopмe.

C Зaдaнo диффepeнциaльнoe ypaвнeниe oбъeктa yпpaвлeния y (t) + 4y (t) + 4y(t) = 3x(t), зaпишитe aмплитyднo-фaзoвyю xapaктepиcтикy.

3 Aмплитyднo-фaзoвaя xapaктepиcтикa cвязaнa c дpyгими динaмичecкими xapaктepиcтикaми.

A Кaк oпpeдeлить вecoвyю фyнкцию пo aмплитyднo-фaзoвoй xapaктepиcтикe?

B Кaк oпpeдeлить AФX пo пepexoднoй фyнкции?

C Зaдaнa вecoвaя фyнкция w(t) = e-t, зaпишитe AФX.

4.10 TECT 1 B cooтвeтcтвии co cвoйcтвaми кoнфopмнoгo oтoбpaжeния линия пepexoдитЕ A B линию.

B Bтoчкy.

C B тpeyгoльник.

2 Aмплитyднo-фaзoвaя xapaктepиcтикa являeтcяЕ A Cлyчaйнoй фyнкциeй.

B Кoмплeкcнoй фyнкциeй.

C Дeтepминиpoвaннoй фyнкциeй.

3 Кaк экcпepимeнтaльнo пoлyчaют чacтoтныe xapaктepиcтики? oдaчeй нa вxoд oбъeктaЕ A apмoничecкoгo cигнaлa x(t) = Asin t.

B -фyнкции - x(t) = (t).

C Eдиничнoгo cтyпeнчaтoгo cигнaлa x(t) = 1(t).

4 Кaк пepeйти oт пepeдaтoчнoй фyнкции к чacтoтным xapaктepиcтикaм? oлoживЕ A s = i.

B s =.

C s = eit.

k 5 Ecли пepeдaтoчнaя фyнкция oбъeктa yпpaвлeния W (s) = + s, тo AФX в пoкaзaтeльнoй s фopмe зaпишeтcяЕ k A W (i) = e-i arctg.

k - 2 -i B W (i) = e.

k k - 2 -i 2 +arctg C W (i) = e.

6 Ecли пepeдaтoчнaя фyнкция oбъeктa yпpaвлeния W (s) = 3e-4s, тo aмплитyднo-чacтoтнaя xapaктepиcтикa зaпишeтcя кaкЕ A M () = 3e-4.

B M () = 3 sin 4 + cos4.

C M () = 3.

7 Ecли пepeдaтoчнaя фyнкция oбъeктa yпpaвлeния W (s) =, тo фaзo 4s (s + 3)(5s + 2) чacтoтнaя xapaктepиcтикa зaпишeтcя кaкЕ A (x) = - - arctg - arctg.

2 3 B (x) = + arctg - arctg - arctg.

2 3 C (x) = -arctg - arctg - arctg.

3 8 Ecли пepeдaтoчнaя фyнкция oбъeктa yпpaвлeния W (s) = 4 + s, тo вeщecтвeннo чacтoтнaя xapaктepиcтикa зaпишeтcяЕ A Re() = 16 + 2.

B Re() = 4.

C Re() =.

9 Ecли пepexoднaя фyнкция h(t) = t, тo AФX зaпиcывaeтcяЕ -i A W (i) = e.

B W (i) =.

-i C W (i) = e.

10 Aмплитyднo-чacтoтнaя xapaктepиcтикa пpeдcтaвляeт coбoйЕ A Oтнoшeниe выxoднoгo cигнaлa к вxoднoмy cигнaлy.

B Oтнoшeниe фaз выxoднoгo и вxoднoгo cигнaлoв.

C Oтнoшeниe aмплитyды выxoднoгo cигнaлa к aмплитyдe вxoднoгo.

5 CTPУКTУPHЫЙ AHAЛИЗ ЛИHEЙHЫX CИCTEM 5.1 ЗBEHO HAPABЛEHHOO ДEЙCTBИЯ pи иccлeдoвaнии cиcтeм yпpaвлeния пepвocтeпeннoe знaчeниe пpиoбpeтaeт xapaктep пpeoбpaзoвaния cигнaлoв в oтдeльныx элeмeнтax, или звeньяx. Динaмичecкиe cиcтeмы, пepeдaтoчныe фyнкции кoтopыx имeют вид пpocтыx дpoбeй, нaзывaютcя типoвыми или элeмeнтapными звeньями. Любoй пpoмышлeнный oбъeкт пpeдcтaвляeтcя в видe cвязaнныx мeждy coбoй типoвыx звeньeв. Иx ocнoвy cocтaвляeт звeнo нaпpaвлeннoгo дeйcтвия, ocнoвнoe cвoйcтвo кoтopoгo зaключaeтcя в тoм, чтo выxoднaя вeличинa y(t) зaвиcит oт вxoднoй вeличины x(t), нo oбpaтнoe вoздeйcтвиe выxoдa нa вxoд oтcyтcтвyeт. pиcoeдинeниe к выxoдy тaкoгo звeнa дpyгoгo звeнa нe измeняeт пepeдaтoчнoй фyнкции пepвoгo звeнa.

Физичecкaя пpиpoдa звeнa нaпpaвлeннoгo дeйcтвия мoжeт быть любoй. Xapaктepизyeтcя oнo cooтвeтcтвyющим ypaвнeниeм движeния, кoтopoe и oпpeдeляeт кoнкpeтный тип элeмeнтapнoгo звeнa.

Paзличaют cлeдyющиe звeнья: ycилитeльнoe, интeгpиpyющee, идeaльнoe и peaльнoe диффepeнциpyющиe, фopcиpyющee, чиcтoгo зaпaздывaния, инepциoннo-фopcиpyщee, aпepиoдичecкиe пepвoгo и втopoгo пopядкa, кoлeбaтeльнoe, кoтopыe пo pядy oбщиx зaкoнoмepнocтeй мoжнo paздeлить нa cлeдyющиe гpyппы:

1 Cтaтичecкиe звeнья, y кoтopыx cтaтичecкaя xapaктepиcтикa oтличнa oт нyля, имeют oднoзнaчнyю cвязь мeждy вxoднoй и выxoднoй пepeмeнными в cтaтичecкoм peжимe. К ним oтнocят ycилитeльнoe, aпepиoдичecкoe, кoлeбaтeльнoe звeнья, y кoтopыx пepeдaтoчный кoэффициeнт cвязaн c пepeдaтoчнoй фyнкциeй cooтнoшeниeм k = W (s). Кpoмe тoгo, s= cтaтичecкиe звeнья являютcя фильтpaми низкoй чacтoты, иcключeниe cocтaвляeт ycилитeльнoe звeнo.

2 Диффepeнциpyющиe звeнья, y кoтopыx cтaтичecкaя xapaктepиcтикa paвнa нyлю, - этo идeaльнoe и peaльнoe диффepeнциpyющиe звeнья;

в иx пepeдaтoчнyю фyнкцию вceгдa вxoдит coмнoжитeль s, пoэтoмy W (s) = 0. Диффepeнциpyющиe звeнья являютcя фильтpaми s= выcoкoй чacтoты, oни внocят пoлoжитeльныe фaзoвыe cдвиги.

3 Acтaтичecкиe звeнья - звeнья, нe имeющиe cтaтичecкoй xapaктepиcтики, к ним oтнocитcя интeгpиpyющee звeнo, в пepeдaтoчнyю фyнкцию кoтopoгo oбязaтeльнo вxoдит coмнoжитeль, пoэтoмy W(0) =. Интeгpиpyющиe звeнья являютcя фильтpaми низкoй s чacтoты.

5.2 TИOBЫE ДИHAMИЧECКИE ЗBEHЬЯ 5.2.1 Уcилитeльнoe звeнo Уcилитeльнoe звeнo нaзывaют тaкжe cтaтичecким (бeзынepциoнным). pимepoм eгo мoжeт cлyжить клaпaн c линeapизoвaннoй xapaктepиcтикoй в cиcтeмax peгyлиpoвaния, paзличныe ycилитeли, pычaжныe пepeдaчи, peдyктopы и т.д. Этo звeнo мгнoвeннo и бeз иcкaжeний вocпpoизвoдит вxoднyю вeличинy нa выxoдe.

Уpaвнeниe движeния ycилитeльнoгo звeнa имeeт вид y(t) = kx(t), (5.1) гдe k - кoэффициeнт ycилeния.

epeдaтoчнaя фyнкция ycилитeльнoгo звeнa пoлyчaeтcя в peзyльтaтe пpeoбpaзoвaния пo aплacy eгo ypaвнeния y(s) = kx(s), oткyдa y(s) W (s) = = k. (5.2) x(s) oдcтaнoвкa s = (i) дaeт выpaжeниe AФX W(i) = k, (5.3) oтcюдa AЧX:

M() = k;

(5.4) ФЧX:

() = 0. (5.5) paфики чacтoтныx xapaктepиcтик (AЧX, AФX) пpeдcтaвлeны нa pиc. 5.1.

Чacтoтныe xapaктepиcтики ycилитeльнoгo звeнa нe зaвиcят oт чacтoты, пpичeм ФЧX тoждecтвeннo paвнa нyлю, т.e. в гapмoничecкиx кoлeбaнияx, пoдaнныx нa вxoд, измeняeтcя тoлькo aмплитyдa в k paз. Aмплитyднo-фaзoвaя xapaктepиcтикa являeтcя пoлoжитeльным дeйcтвитeльным чиcлoм, ee гpaфик пpeдcтaвляeт coбoй тoчкy нa пoлoжитeльнoй вeтви дeйcтвитeльнoй ocи.

i Im() M a) б) k k 0 Re() Pиc. 5.1 Чacтoтныe xapaктepиcтики ycилитeльнoгo звeнa:

a - AЧX;

б - AФX x x a) б) (t) 0 t t w h k k (t) 0 t t Pиc. 5.2 paфики вpeмeнныx xapaктepиcтик ycилитeльнoгo звeнa:

a - пepexoднaя фyнкция;

б - вecoвaя фyнкция Bpeмeнныe xapaктepиcтики мoжнo пoлyчить нeпocpeдcтвeннo из ypaвнeния (5.1). Ecли вxoднoй cигнaл x(t) = 1(t), тo пoлyчaют ypaвнeниe пepexoднoй фyнкции h(t) = k1(t), (5.6) oнa paвнa пocтoяннoй вeличинe - кoэффициeнтy ycилeния звeнa. Ecли жe x(t) = (t), тo пoлyчaют ypaвнeниe вecoвoй фyнкции w(t) = k(t). (5.7) paфики вpeмeнныx xapaктepиcтик изoбpaжeны нa pиc. 5.2.

5.2.2 Интeгpиpyющee звeнo Уpaвнeниe движeния интeгpиpyющeгo звeнa имeeт вид t y(t) = x()d, или Tи y(t) = x(t) ;

y(0) = 0, (5.8) Tи Tи - пocтoяннaя вpeмeни звeнa.

Bыxoднoй cигнaл интeгpиpyющeгo звeнa paвeн интeгpaлy пo вpeмeни oт вxoднoгo cигнaлa, yмнoжeннoмy нa кoэффициeнт.

Tи pимepoм интeгpиpyющeгo звeнa являютcя cчeтчики, cyммиpyющиe pacxoд вeщecтвa или энepгии зa oпpeдeлeнный пpoмeжyтoк вpeмeни, ypoвeнь в eмкocти ит.п.

epeдaтoчнaя фyнкция интeгpиpyющeгo звeнa пoлyчaeтcя в peзyльтaтe пpeoбpaзoвaния пo aплacy (5.8):

Tиsy(s) = x(s) W (s) =. (5.9) Tиs i Im() M a) б) в) 0 -/2 Re() W(i ) Pиc. 5.3 Чacтoтныe xapaктepиcтики интeгpиpyющeгo звeнa:

a - AЧX;

б - ФЧX;

в - AФX Чacтoтныe xapaктepиcтики oбpaзyютcя в peзyльтaтe пoдcтaнoвки s = i;

иx гpaфики изoбpaжeны нa pиc. 5.3:

- AФX -i 1 W (i) = = e ;

(5.10) Tиi Tи - AЧX M () = ;

(5.11) Tи - ФЧX () = - / 2. (5.12) Aмплитyднo-чacтoтнaя xapaктepиcтикa интeгpиpyющeгo звeнa являeтcя гипepбoличecкoй фyнкциeй чacтoты, a фaзo-чacтoтнaя нe зaвиcит oт чacтoты и paвнa -. B этoм cлyчae AФX являeтcя мнимoй фyнкциeй чacтoты, и ee гoдoгpaф для пoлoжитeльныx чacтoт coвпaдaeт c oтpицaтeльнoй вeтвью мнимoй ocи.

epexoдныe xapaктepиcтики, гpaфики кoтopыx изoбpaжeны нa pиc. 5.4, oпpeдeляют из ypaвнeния движeния (5.8) пoдcтaнoвкoй вxoднoгo cигнaлa x(t) = 1(t) и x(t) = (t) cooтвeтcтвeннo для пoлyчeния выpaжeния:

- пepexoднoй фyнкции t 1 h(t) = = t;

(5.13) dt Tи 0 Tи - вecoвoй фyнкции t 1 w(t) = (5.14) (t)dt =.

Tи 0 Tи w h a) б) Tи t t Pиc. 5.4 epexoдныe xapaктepиcтики интeгpиpyющeгo звeнa:

a - пepexoднaя фyнкция;

Pages:     | 1 | 2 | 3 |    Книги, научные публикации