Программа вступительного экзамена для второй ступени высшего образования (магистратура) по специальности

Вид материала

Содержание

Подобный материал:

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования

«Брестский государственный университет имени А.С. Пушкина»

УТВЕРЖДАЮ

Ректор учреждения образования

«Брестский государственный

университет имени А.С. Пушкина»

______________ М.Э. Чесновский

«_____» ________________ 2011 г.

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ЭКЗАМЕНА

ДЛЯ ВТОРОЙ СТУПЕНИ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

(МАГИСТРАТУРА)

по специальности

1-31 80 03 Математика.

Брест 2011 г.

СОСТАВИТЕЛЬ:

А.В. Чичурин, заведующий кафедрой, И.Н. Климашевская – доцент, И.Г. Кожух - профессор математического анализа и дифференциальных уравнений учреждения образования «Брестский государственный университет имени А.С. Пушкина», О.В. Матысик, заведующий кафедрой, А.А. Юдов – доцент кафедры алгебры и геометрии.

РЕЦЕНЗЕНТЫ:

А.Е. Будько, декан математического факультета учреждения образования «Брестский государственный университет имени А.С. Пушкина», кандидат физико-математических наук, доцент.

А.Н. Прокопеня, профессор кафедры физики учреждения образования «Брестский технический университет», доктор физико-математических наук (Россия), доцент.

^ РЕКОМЕНДОВАНА К УТВЕРЖДЕНИЮ:

Кафедрой математического анализа и дифференциальных уравнений учреждения образования «Брестский государственный университет имени А.С. Пушкина»

(протокол № 10 от 17.05.2011 г.)

Советом математического факультета учреждения образования «Брестский государственный университет имени А.С. Пушкина»

(протокол № __ от ___________)

^ ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Программа составлена в соответствии с типовыми учебными программами. В основу издания положены базовые программы учебных дисциплин «Математический анализ», «Функциональный анализ и интегральные уравнения», «Дифференциальные уравнения», «Уравнения математической физики», «Теория функций комплексной переменной», «Вариационное исчисление и методы оптимизации», «Алгебра и теория чисел», «Дифференциальная геометрия и топология», «Аналитическая геометрия», «Основания геометрии», «Дискретная математика», «Математическая логика», «Введение в математику», утвержденные Советом университета.

В учебной программе предложен общий список вопросов, а так же развернутые планы ответов по каждому из вопросов списка. Развернутые планы снабжены ссылками на литературные источники, в которых можно подчеркнуть подробное изложение соответствующих вопросов.

^ Специалист должен иметь представление: об основных математических структурах; об аксиоматике отдельных разделов математики; о взаимосвязи различных математических дисциплин; об основных принципах доказательства математических утверждений; о точных и приближенных решениях математических задач и их взаимосвязях.

^ Специалист должен знать: множество действительных чисел, функции одного и нескольких переменных, функциональные последовательности и ряды, ряд Фурье, преобразование Фурье, кратные криволинейные и поверхностные интегралы, основные интегральные формулы векторного анализа; функции комплексного переменного и конформные отображения, элементарные функции, интеграл по комплексному переменному, интеграл Коши, последовательности и ряды аналитических функций, теорему единственности и принцип максимума модуля, ряд Тейлора, принцип аргумента, аналитическое продолжение, гармонические функции на плоскости; метрические и топологические пространства, меру и интеграл Лебега, банаховы пространства и операторы, гильбертовы пространства и спектральную теорию операторов, линейные топологические пространства и обобщенные функции; векторы, линейную зависимость, скалярное, векторное и смешанное произведения векторов, уравнения прямой линии на плоскости, линии второго порядка, аффинные и изометрические преобразования плоскости и пространства, поверхности второго порядка, плоские сечения, аффинную классификацию, модели проективной плоскости, проективные преобразования, аффинные и евклидовы аффинные (точечные) пространства, выпуклые многогранники, проективные пространства и проективные отображения, квадрики в проективном пространстве, преобразование евклидовых и аффинных пространств; комплексные числа и многочлены, матричную алгебру и решение систем линейных уравнений, конечномерные линейные пространства, линейные операторы и функционалы, билинейные и квадратичные формы, метрические вещественные и комплексные линейные пространства, основные структуры современной алгебры, простые и взаимно простые числа, сведения о простых числах, числовые сравнения, понятие алгебраических и трансцендентных чисел, линейные пространства и линейные отображения, собственные векторы, инвариантные подпространства, жорданову форму линейного отображения, полилинейные функции, евклидовы и унитарные пространства, симметрические, эрмитовы, ортогональные и унитарные операторы; теорию кривых на плоскости и в пространстве, поверхности, первую и вторую квадратичные формы поверхности, топологические и метрические пространства, гладкие многообразия, риманову метрику, геометрию Лобачевского, матричные группы, риманову геометрию и тензорный анализ, гомотопию, степень отображения; понятие дифференциального уравнения, поля направлений, элементарные приемы интегрирования, задачу Коши, теоремы существования и единственности, общую теорию линейных систем, системы с постоянными коэффициентами, устойчивость по Ляпунову, особые точки, уравнения с частными производными первого порядка; вывод уравнений математической физики, постановку основных краевых задач, классификацию уравнений, теорему Коши-Ковалевской, волновое уравнение, уравнение Лапласа, свойства решений и задачу Дирихле, уравнение теплопроводности, свойства его решений и задачу Коши, понятие корректной задачи, понятие обобщенного решения; булевы функции и функции к-значной логики, графы, сети, контактные схемы и схемы из фундаментальных элементов, оптимальные и самокорректирующиеся коды, автоматы, машины Тьюринга, алгоритмически неразрешимые проблемы, исчисление высказываний, предикаты, исчисление предикатов; классическое вариационное исчисление, уравнение Эйлера, условия второго порядка – Лежандра, Якоби, оптимальное управление, принцип максимума Понтрягина, методы решения задач линейного программирования, симплекс-метод, градиентные методы; понятие случайного события, основные теоремы о вероятности, аксиоматику Колмогорова, схему Бернулли, понятие случайной величины и ее функции распределения, закон больших чисел, центральную предельную теорему, оценки вероятностных характеристик случайных явлений, оценки неизвестных параметров, несмещенные оценки, оценки наибольшего правдоподобия, состоятельные оценки, достаточные статистики, проверку статистических гипотез, критерий «хи-квадрат», корреляционные связи между случайными величинами, метод наименьших квадратов; определение случайного процесса, конечномерные распределения, классы случайных процессов: марковские, стационарные, точечные; гауссовский и пуассоновский случайные процессы, стохастический интеграл, представление о спектральном разложении стационарного процесса, цепи Маркова с непрерывным временем, прямое и обратное уравнения Колмогорова; о погрешности вычислений, интерполяции, теореме Чебышева об альтернансе, ортогональных многочленах, сплайнах, численном интегрировании, прямых и итерационных методах решения систем линейных алгебраических уравнений, численных методах решения задачи Коши для систем дифференциальных уравнений, методах решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений; о методе конечных элементов, численных методах решения гиперболических, параболических, эллиптических и интегральных уравнений.

^ ПЕРЕЧЕНЬ ВОПРОСОВ
ВСТУПИТЕЛЬНОГО ЭКЗАМЕНА В МАГИСТРАТУРУ
ПО СПЕЦИАЛЬНОСТИ 1-31 80 03 МАТЕМАТИКА

Способы задания графов. Потоки на сетях. Алгоритмы Форда-Фалкерсона.
Статистические игры. Критерии для принятия решений.
Системы линейных уравнений и методы их решения (метод Гаусса, правило Крамера, матричный метод).
Кольцо целых чисел. Делимость в кольце Z. Деление с остатком. Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида. Наименьшее общее кратное. Простые и составные числа. Основная теорема арифметики.
Группы. Простейшие свойства групп. Подгруппы. Нормальная подгруппа. Фактор–группа. Гомоморфизм и изоморфизм групп.
Кольца. Простейшие свойства колец. Подкольцо, идеал кольца. Фактор–кольцо. Гомоморфизм и изоморфизм колец. Поля.
Многочлены от одной переменной. Деление с остатком в кольце многочленов. Корни многочлена. Приводимые и неприводимые многочлены. Разложение многочленов на множители. Кольца
Линейные пространства над полем. Подпространство. Линейные многообразия. Изоморфизм линейных пространств. Евклидовы пространства.
Поле комплексных чисел. Действия над комплексными числами в алгебраической форме. Геометрическое изображение и тригонометрическая форма комплексного числа.
Бинарные отношения. Отображения, обратное отображение. Отношения эквивалентности и порядка. Фактор-множество.
Трехмерное евклидово пространство. Скалярное, векторное и смешанное произведения. Применение к решению задач.
Полярные координаты. Простейшие задачи в полярных координатах. Уравнения линий. Эллипс, гипербола и парабола в полярной системе.
Плоскость и прямая в аффинном и ортонормированном репере. Взаимное расположение двух плоскостей, прямой и плоскости, двух прямых в пространстве.
Топологическое пространство. Окрестности. Непрерывные отображения. Гомеоморфизмы.
Подпространство топологического пространства. Аксиомы отделимости. Компактность и связность топологических пространств.
Кривые в трехмерном евклидовом пространстве. Определение кривой. Касательная, нормальная и соприкасающаяся плоскость кривой. Канонический репер кривой. Деривационные формулы. Кривизна и кручение кривой. Натуральные уравнения кривой. Примеры.
Поверхности в трехмерном евклидовом пространстве. Определение поверхности. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Задание кривой на поверхности. Первая и вторая квадратичная форма поверхности и их применение.
Аксиома Лобачевского и следствия из нее. Непротиворечивость системы аксиом плоскости Лобачевского.
Действительные числа. Существование точных граней числовых множеств. Основные принципы математического анализа, связанные с полнотой множества действительных чисел.
Числовые последовательности и ряды. Критерии сходимости числовых последовательностей и рядов. Число . Признаки сходимости числовых рядов.
Предел функции. Свойства предела. Критерий Коши существования предела. Замечательные пределы.
Определения показательной, логарифмической и степенной функций действительной переменной на основе теории предела. Показательная, логарифмическая и степенная функция комплексной переменной и их свойства.
Непрерывность функции в точке. Локальные и глобальные свойства непрерывных функций.
Дифференцируемые функции. Производная и дифференциал, их геометрический смысл. Основные правила дифференцирования.
Основные теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши. Формула Тейлора. Неопределенный интеграл, его свойства. Таблица интегралов. Методы интегрирования.
Определенный и несобственный интегралы Римана, их свойства. Условия интегрируемости функции на отрезке. Существование первообразной для непрерывной функции. Формула Ньютона-Лейбница.
Функции многих переменных: непрерывность и дифференцируемость. Теорема о неявной функции.
Функциональные последовательности и ряды. Признаки равномерной сходимости. Функциональные свойства равномерно сходящихся последовательностей и рядов.
Производная и дифференциал функции комплексной переменной. Условия Коши-Римана. Разложение голоморфной функции в степенной ряд. Теорема единственности.
Интеграл по контуру от функции комплексной переменной, интегральная теорема и интегральная формула Коши. Другие свойства голоморфных функций.
Разложение голоморфной функции в ряд Лорана. Особые точки голоморфной функции. Вычет функции, теорема Коши о вычетах. Принцип аргумента.
Метрические и полные метрические пространства. Принцип сжимающих отображение и его применение к интегральным уравнениям.
Гильбертовы пространства. Ортогональные системы векторов в гильбертовом пространстве и разложения по ним. Теорема о проекции.
Линейные операторы. Ограниченность, непрерывность и полная непрерывность. Норма оператора. Признаки оператора. Признаки обратимости операторов.
Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной.
Системы линейных однородных уравнений первого порядка с переменными и постоянными коэффициентами: общее решение, задача Коши, методы решения. Линейные однородные дифференциальные уравнения -го порядка.
Системы неоднородных уравнений первого порядка с переменными и постоянными коэффициентами: структура общего решения, задача Коши, методы решения. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения -го порядка.
Классификация линейных дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка и приведение их к каноническому виду.
Метод Фурье разделения переменных и его применение в решении задач математической физики.
Интуитивное понятие алгоритма. Необходимость уточнения понятия алгоритма. Машина Тьюринга. Вычислимые функции. Тезис Чёрча.
Исчисление высказываний. Язык. Аксиомы. Правила вывода. Вывод. Теорема дедукции. Непротиворечивость и полнота.
Простейшая вариационная задача, методы ее решения.

^ СОДЕРЖАНИЕ ВОПРОСОВ
ВСТУПИТЕЛЬНОГО ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИКЕ В МАГИСТРАТУРУ ПО СПЕЦИАЛЬНОСТИ 1-31 80 03

ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ

1. Способы задания графов. Потоки на сетях. Алгоритм Форда- Фалкерсона.

Определение графа. Способы задания графов с помощью матриц инцидентности. Определение сети. Пропускная способность ребра. Поток по ребру. Поток на сети. Задача о нахождении максимального потока на сети. Алгоритм Форда-Фалкерсона. Разрез на сети. Теорема Форда-Фалкерсона.

Литература: [22], [23], [43].

^ 2. Статистические игры. Критерии для принятия решений.

Определение статистической игры. Примеры. Основные особенности статистических игр. Критерии выбора стратегии при известных вероятностях состояний природы. Критерии Байеса. Критерии выбора стратегии при неизвестных состояниях природы. Критерии Лапласа, Вальда, Сэвиджа и Гурвица. Особенности упрощений статистических игр.

Литература: [22], [23], [43].

^ АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ

3. Системы линейных уравнений и методы их решения (метод Гаусса, правило Крамера, матричный метод).

Общий вид системы линейных уравнений (СЛУ). Однородная (неоднородная) СЛУ. Определения решения СЛУ, совместной (несовместной) СЛУ, следствия СЛУ. Равносильные СЛУ, элементарные преобразования СЛУ. Теорема об элементарных преобразованиях СЛУ. Матрицы СЛУ. Теоремы Гаусса и Кронекера–Капелли
(с доказательством). Решение системы n линейных уравнений с n переменными по правилу Крамера и матричным способом.

Литература: [19], [24], [25], [33].

4. Кольцо целых чисел. Делимость в кольце Z. Деление с остатком. Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида. Наименьшее общее кратное. Простые и составные числа. Основная теорема арифметики.

Понятие делимости целых чисел, его основные свойства. Теорема о делении с остатком в кольце Z. Определение НОД целых чисел, его свойства. Вычисление НОД с помощью алгоритма Евклида. Определение НОК целых чисел, связь НОД и НОК двух натуральных чисел. Взаимно простые числа. Определение простого и составного числа, свойства простых чисел. Доказательство основной теоремы арифметики. Каноническое разложение натурального числа.

Литература: [9], [24], [32].

^ 5. Группы. Простейшие свойства групп. Подгруппы. Нормальная подгруппа. Фактор–группа. Гомоморфизм и изоморфизм групп.

Определение группы и свойства, вытекающие из определения. Примеры групп (аддитивная группа ^ Z, группа подстановок, группа корней n–ой степени из 1 и т.д.). Определение подгруппы, примеры. Нормальная подгруппа. Фактор–группа, примеры. Определение гомоморфизма и изоморфизма групп. Примеры. Свойства гомоморфизма групп. Доказательство теоремы о гомоморфном образе группы.

Литература: [19], [24], [32].

^ 6. Кольца. Простейшие свойства кольца. Подкольцо, идеал кольца. Фактор–кольцо. Гомоморфизм и изоморфизм колец. Поля.

Определение кольца, примеры. Простейшие свойства кольца (с доказательством). Определение подкольца, идеала кольца, фактор–кольца, примеры. Определение поля, примеры и простейшие свойства полей. Определение гомоморфизма и изоморфизма колец, свойства гомоморфизма. Доказательство теоремы о гомоморфном образе кольца.

Литература: [19], [24], [32].

7. Многочлены от одной переменной. Деление с остатком в кольце многочленов. Корни многочленов. Приводимые и неприводимые многочлены. Разложение многочленов на множители. Кольца

Понятие многочлена от одной переменной, степень многочлена. Кольцо многочленов от одной переменной. Деление с остатком в кольце многочленов (доказательство теоремы). Определение корня многочлена, кратности корня. Приводимые и неприводимые над полем многочлены. Теорема о разложении многочлена на неприводимые множители. Многочлены над полем С комплексных чисел: алгебраическая замкнутость поля С, формулы Виета, неприводимые многочлены. Многочлены над полем R: свойства мнимых корней многочлена, неприводимые над полем R многочлены. Многочлены над полем Q рациональных чисел: рациональные корни многочлена, критерии неприводимости.

Литература: [19], [24], [25], [32].

^ 8. Линейные пространства над полем. Подпространство. Линейные многообразия. Изоморфизм линейных пространств. Евклидовы пространства.

Определение линейного пространства. Примеры и простейшие свойства линейных пространств. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Базис и размерность линейного пространства, примеры. Определение подпространства. Линейная оболочка системы векторов как подпространство (доказательство). Множество всех решений однородной системы линейных уравнений как подпространство арифметического векторного пространства, его размерность. Линейное многообразие как сдвиг некоторого подпространства на вектор. Множество всех решений неоднородной системы линейных уравнений как линейное многообразие арифметического векторного пространства. Определение изоморфизма линейных пространств, свойства изоморфизма. Доказательство теоремы об изоморфизме линейного пространства и арифметического пространства над тем же полем. Определение евклидова пространства, примеры. Длина вектора, угол между векторами, ортогональные векторы. Процесс ортогонализации. Ортонормированный базис евклидова пространства. Изоморфизм евклидовых пространств.

Литература: [19], [24], [25], [33].

^ 9.  Поле комплексных чисел. Действия над комплексными числами в алгебраической форме. Геометрическое изображение и тригонометрическая форма комплексного числа.

Модель поля комплексных чисел как алгебра пар действительных чисел. Алгебраическая форма комплексного числа, сопряжённые комплексные числа. Действия над комплексными числами в алгебраической форме. Примеры. Геометрическое представление комплексных чисел. Тригонометрическая форма комплексного числа. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме. Примеры.

Литература: [19], [24], [25], [32].

^ ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ

10.  Бинарное отношение. Отображения, обратное отображение. Отношения эквивалентности и порядка. Фактор–множество.

Множества и операции над ними. Прямое произведение множеств. Определение n–арного отношения. Бинарные отношения на множестве. Основные свойства бинарных отношений (рефлексивность, антирефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность, связность). Примеры бинарных отношений. Отношение эквивалентности и порядка. Фактор–множество, разбиение множества на классы эквивалентности (доказать теорему). Виды отображений (инъекция, сюръекция, биекция, взаимно обратные). Композиции отображений (сложная функция). Примеры.

Литература: [24], [27], [32], [48].

^ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

11. Трехмерное евклидово пространство. Скалярное, векторное и смешанное произведения. Применение к решению задач.

Понятие трехмерного евклидова пространства. Определение скалярного произведения векторов, свойства скалярного произведения. Вычисление скалярного произведения векторов заданных координатами. Приложение скалярного произведения: длина вектора, расстояние между точками, угол между векторами, направляющие косинусы. Векторное произведение векторов и его свойства. Геометрический смысл векторного произведения. Выражение векторного произведения через координаты множителей. Смешанное произведение векторов. Свойства смешанного произведения. Геометрический смысл модуля смешанного произведения. Вычисление смешанного произведения через координаты множителей.

Литература: [3], [4], [6].

^ 12. Полярные координаты. Простейшие задачи в полярных координатах. Уравнения линий. Эллипс, гипербола и парабола в полярной системе.

Определение полярной системы координат. Координаты точек в полярной системе координат. Связь между полярными и декартовыми координатами. Уравнение линии. Алгебраическая линия и её порядок. Директориальные свойства эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах.

Литература: [3], [4],[6].

^ 13. Плоскость и прямая в аффинном и ортонормированном репере. Взаимное расположение двух плоскостей, прямой и плоскости, двух прямых в пространстве.

Способы задания плоскости в аффинном и ортогональном репере. Общее уравнение плоскости. Взаимное расположение двух плоскостей. Расстояние от точки до плоскости, расстояние между плоскостями. Способы задания прямой в пространстве. Взаимное расположение двух прямых в пространстве: каноническое, параметрическое, как линия пересечения плоскостей. Угол между прямыми. Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью.

Литература: [3], [4], [6].

^ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ТОПОЛОГИЯ

14.  Топологическое пространство. Окрестности. Непрерывные отображения. Гомеоморфизмы.

Определения: топологического пространства, окрестности, базы топологии, замкнутого множества. Определение непрерывного отображения и гомеоморфизма одного топологического пространства в другое. Теоремы о свойствах непрерывных отображений и гомеоморфизмов (доказать).

Литература: [5], [7], [40].

^ 15.  Подпространство топологического пространства. Аксиомы отделимости. Компактность и связность топологических пространств.

Определение топологического пространства. Определение хаусдор-фова, регулярного, нормального топологического пространства. Определение компактности и связности топологического пространства. Доказать теоремы об образе и прообразе хаусдорфова (связного, компактного) топологического пространства при непрерывном отображении и гомеоморфизме.

Литература: [5], [7], [40].

^ 16.  Кривые в трёхмерном евклидовом пространстве. Касательная, нормальная и соприкасающаяся плоскость кривой. Канонический репер кривой. Кривизна и кручение кривой.

Определение кривой в пространстве

. Параметрические уравнения кривой. Формула длины дуги кривой и естественный параметр на кривой. Свойства естественного параметра с доказательством. Уравнение кривой в векторном виде. Определение касательной к кривой (с выводом ее уравнения). Определения нормальной и соприкасающейся плоскостей кривой. Канонический репер кривой и деривационные формулы для этого репера. Определение кривизны и кручения кривой, формулы их вычисления (с выводом). Понятие натуральных уравнений кривой.

Литература: [5], [7], [11], [40].

^ 17. Поверхности в трёхмерном евклидовом пространстве. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Первая и вторая квадратичные формы поверхности и их применение.

Определение поверхности в пространстве

. Параметрическое урав-нение поверхности и уравнение поверхности в векторном виде. Определение касательной плоскости и нормали к поверхности, и их уравнения (с выводом). Кривая на поверхности (определение ее с помощью уравнений в криволинейных координатах и в векторной форме). Первая квадратичная форма поверхности (определения, вывод). Обоснование применения первой квадратичной формы поверхности к вычислению длины кривой на поверхности, угла между кривыми на поверхности, площади поверхности. Определение нормальной кривизны кривой на поверхности (вывод формулы для её вычисления). Определение второй квадратичной формы поверхности.

Литература: [5], [7], [11], [40].

^ ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ

18. Аксиоматика геометрии Лобачевского. Аксиома Лобачевского и следствия из неё. Непротиворечивость системы аксиом плоскости Лобачевского.

Понятие системы аксиом (основные и производные объекты, основные и производные отношения, аксиомы). Требования, предъявляемые к системам аксиом (непротиворечивость, независимость, полнота). Понятие модели (интерпретации) системы аксиом и изоморфизма моделей. Аксиоматика геометрии Лобачевского в схеме Гильберта. Непротиворечивость этой аксиоматики и независимость аксиомы параллельных от остальных аксиом. Следствия из аксиомы параллельных (доказать несколько теорем).

Литература: [5], [7], [40].

^ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

19. Действительные числа. Существование точных граней числовых множеств. Основные принципы математического анализа, связанные с полнотой множества действительных чисел.

Действительные числа. Числовые множества и их границы. Теорема существования точных граней. Классы действительных чисел. Леммы, связанные с полнотой множества R (о вложенных отрезках, о конечном покрытии, о предельной точке).

Литература: [13], [14], [16], [17], [20], [21], [35], [36].

20. Числовые последовательности и ряды. Критерии сходимости числовых последовательностей и рядов. Число . Признаки сходимости числовых рядов.

Предел последовательности. Общие свойства пределов, предел и ариф-метические операции, предельный переход и неравенства. Критерий Коши сходимости последовательности. Число

. Понятие числового ряда и его суммы. Критерий Коши сходимости числового ряда. Признаки сходимости числовых рядов.

Литература: [13], [14], [16], [17], [20], [21], [35], [36].

^ 21. Предел функции. Свойства предела. Критерий Коши существования предела.

Предел функции в точке (определения Коши и Гейне, их эквивалентность). Общие свойства предела функции. Критерий Коши существования предела функции. Замечательные пределы. Предел монотонной функции. о-символика.

Литература: [13], [14], [16], [17], [20], [21], [35], [36].

22. Определения показательной, логарифмической и степенной функций действительной переменной на основе теории предела. Степенная, показательная и логарифмическая функции комплексной переменной и их свойства.

Литература: [13], [14], [16], [17], [20], [21], [35], [36].

^ 23. Непрерывность функции в точке. Локальные и глобальные свойства непрерывных функций.

Непрерывность функции в точке. Классификация точек разрыва. Непрерывность суммы произведения и частного, композиции непрерывных функций (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Разрывы монотонной функции. Существование и непрерывность обратной функции.

Литература: [13], [14], [16], [17], [20], [21], [35], [36].

^ 24. Дифференцируемые функции. Производная и дифференциал, их геометрический смысл. Основные правила дифференцирования.

Производная функции в точке. Дифференцируемость функции в точке, дифференциал. Геометрический и механический смысл производной и дифференциала. Производные и дифференциалы суммы, произведения, частного, композиции функций. Дифференцирование обратной функции. Производные функций, заданных параметрически и неявно.

Литература: [13], [14], [16], [17], [20], [21], [35], [36].

^ 25. Основные теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши. Формула Тейлора.

Основные теоремы дифференциального исчисления (теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши). Правила Лопиталя. Формула Тейлора с различными формами остаточного члена (в общей форме, форме Лагранжа, Коши и Пеано). Исследование поведения функций методами дифференциального исчисления (монотонность функции, локальные экстремумы, выпуклость графика функции, точки перегиба).

Литература: [13], [14], [16], [17], [20], [21], [35], [36].

26. Определенный и несобственный интегралы Римана, их свойства. Условия интегрируемости функции на отрезке. Существование первообразной для непрерывной функции. Формула Ньютона-Лейбница.

Определенный интеграл Римана. Условия существования определенного интеграла, его свойства. Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману. Существование первообразной для непрерывной функции. Обобщенная первообразная. Формула Ньютона-Лейбница. Несобственный интеграл. Признаки сходимости несобственных интегралов от неотрицательных функций.

Литература: [13], [14], [16], [17], [20], [21], [35], [36].

^ 27. Функции многих переменных: непрерывность и дифференцируемость. Теорема о неявной функции.

Функции многих переменных: предел и непрерывность. Дифференцируемость и дифференциал отображения из Rⁿ в R^m в точке. Частные производные и матрица Якоби. Основные законы дифференцирования. Теоремы существования, непрерывности и дифференцируемости неявных функций.

Литература: [13], [14], [16], [17], [20], [21], [35], [36].

^ 28. Функциональные последовательности и ряды. Признаки равномерной сходимости. Функциональные свойства равномерно сходящихся последовательностей и рядов.

Функциональные последовательности и ряды. Поточечная и равномерная сходимость. Критерий Коши равномерной сходимости. Признаки Вейерштрасса, Абеля и Дирихле равномерной сходимости функционального ряда. Непрерывность предельной функции функциональной последовательности и суммы функционального ряда. Почленное дифференцирование и интегрирование функциональных последовательностей и рядов.

Литература: [13], [14], [16], [17], [20], [21], [35], [36].

^ ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

29. Производная и дифференциал функции комплексной переменной. Условия Коши-Римана. Разложение голоморфной функции в степенной ряд. Теорема единственности.

Производная и дифференциал функции комплексной переменной. Условия дифференцируемости функции. Критерий дифференцируемости функции комплексной переменной во внутренней точке области определения (условия Коши-Римана). Голоморфные, аналитические функции. Разложение голоморфной функции в степенной ряд. Теорема единственности.

Литература: [26], [29], [41], [47].

^ 30. Интеграл по контуру от функции комплексной переменной. Интегральная теорема и интегральная формула Коши. Другие свойства голоморфных функций.

Интеграл по контуру от функции комплексной переменной, его свойства. Интегральная теорема Коши. Интеграл типа Коши. Интегральная формула Коши. Бесконечная дифференцируемость голоморфной функции.

Литература: [26], [29], [41], [47].

^ 31. Разложение голоморфной функции в ряд Лорана. Особые точки голоморфной функции. Вычет функции, теорема Коши о вычетах. Принцип аргумента.

Разложение голоморфной функции в ряд Лорана. Изолированные особые точки однозначного характера и их классификация. Вычет функции, его вычисление. Основная теорема о вычетах. Логарифмический вычет. Принцип аргумента.

Литература: [26], [29], [41], [47].

^ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

32. Метрические и полные метрические пространства. Принцип сжимающих отображений и его применение к интегральным уравнениям.

Метрические и полные метрические пространства. Нормированные пространства. Банаховы пространства. Принцип сжимающих отображений и его применение к интегральным уравнениям.

Литература: [18], [28], [45].

^ 33. Гильбертовы пространства. Ортогональные системы векторов в гильбертовом пространстве и разложения по ним. Теорема о проекции.

Гильбертовы пространства. Ортогональные пространства. Ортогональные системы векторов в гильбертовом пространстве, разложение по ним и построение аппроксимации. Теорема о проекции. Метод ортогонализации.

Литература: [2], [18], [45].

^ 34. Линейные операторы. Ограниченность, непрерывность и полная непрерывность. Норма оператора. Признаки обратимости операторов.

Литература: [2], [18], [45].

^ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

35. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной.

Общие понятия для ДУ первого порядка. Интегральные кривые. Поле направлений. Геометрическая интерпретация. ДУ с разделяющимися переменными. Однородные ДУ первого порядка. Линейное ДУ первого порядка. Уравнение Риккати. Уравнение в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.

Литература: [30], [38], [46].

36. Системы линейных однородных уравнений первого порядка с переменными и постоянными коэффициентами: общее решение, задача Коши, методы решения. Линейные однородные дифференциальные уравнения -го порядка.

Системы ЛОДУ первого порядка с переменными и постоянными коэффициентами: структура общего решения, задача Коши, методы интегрирования, теорема существования и единственности. Линейное однородное ДУ n-го порядка с переменными и постоянными коэффициентами: структура общего решения, задача Коши, теорема существования и единственности, методы интегрирования.

Литература: [8], [30], [38], [46].

37. Системы неоднородных уравнений первого порядка с переменными и постоянными коэффициентами: структура общего решения, задача Коши, методы решения. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения -го порядка.

Системы ЛНОДУ первого порядка с переменными коэффициентами: задача Коши, теорема существования и единственности, структура частного решения, метод вариации произвольных постоянных; системы линейных неоднородных ДУ первого порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью: структура частного и общего решения. Линейные неоднородные ДУ n-го порядка с переменными и постоянными коэффициентами: структура частного и общего решения, задача Коши, теорема существования и единственности.

Литература: [8], [30], [38], [46].

^ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

38. Классификация линейных дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка и приведение их к каноническому виду.

Классификация линейных дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка и приведение их к каноническому виду.
Классификация линейных дифференциальных уравнений с частными производными в точке. Приведение к каноническому виду уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Приведение к каноническому виду уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными.

Литература: [34], [42], [44].

^ 39. Метод Фурье разделения переменных и его применение в решении задач математической физики.

Метод Фурье разделения переменных и его применение в решении задач математической физики. Задача о свободных колебаниях струны, закрепленной на концах, и ее решение методом разделения переменных. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге и ее решение методом разделения переменных. Однородная краевая задача для уравнения теплопроводности и ее решение методом разделения переменных.

Литература: [10], [34], [39], [42], [44].

^ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА

40. Алгоритмы.

Интуитивное понятие алгоритма. Свойства алгоритма. Необходимость уточнения понятия алгоритма. Машина Тьюринга: внешний и внутренний алфавиты, программа, конфигурация, применимость. Числовые функции. Вычислимые функции. Тезис Тьюринга.

Литература: [15], [31], [37].

^ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА

41. Исчисление высказываний.

Язык. Аксиомы. Правила вывода. Вывод. Теорема дедукции. Непротиворечивость, полнота, независимость систем аксиом (без доказательств).

Литература: [15], [31], [37].

^ ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ

42. Простейшая вариационная задача, методы ее решения.

Формулировка простейшей вариационной задачи. Общие признаки условий экстремума в задачах без ограничений. Необходимые условия экстремума 1-го порядка. Уравнение Эйлера. Условия 2-го порядка, условия Лежандра и Якоби. Достаточные условия экстремума в простейшей вариационной задаче.

Литература: [1], [12].

^ ПЕРЕЧЕНЬ ЛИТЕРАТУРЫ

Алексеев, В. М. Оптимальное уравнение / В. М. Алексеев, В. М. Тихомиров, С. В.Фомин. – М. : Наука, 1979. – 430 с.
Антоневич, А. Б. Функциональный анализ и интегральные уравнения / А. Б. Антоневич, Я. В. Радыно. – Минск : Университетское, 2003. – 430 с.
Атанасян, Л. С. Геометрия : учеб. пособие : в 2 ч. / Л. С. Атанасян, В. Т. Базылев. – М. : Просвещение, 1986. – Ч. 1. – 342 с.
Атанасян, Л. С. Геометрия : учеб. Пособие : в 2 ч. / Л. С. Атанасян. – М. : Просвещение, 1973. – Ч. 1. – 480 с.
Атанасян, Л. С. Геометрия : учеб. пособие : в 2 ч. / Л. С. Атанасян, Г. Б. Гуревич. – М. : Просвещение, 1986. – Ч. 2. – 336 с.
Базылев, В. Т. Геометрия : учеб. пособие : в 2 ч. / В. Т. Базылев
[и др.]. – М. : Просвещение, 1974. – Ч. 1. – 351 с.
Базылев, В. Т. Геометрия : учеб. пособие : в 2 ч. / В. Т. Базылев, К. И Дуничев. – М. : Просвещение, 1975. – Ч. 2. – 368 с.
Бибиков, Ю. Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений / Ю. Н. Бибиков. – М. : Высшая школа, 1991. – 302 с.
Бухштаб, А. А. Теория чисел / А. А. Бухштаб. – М. : Просвещение, 1966. – 375 с.
Владимиров, В. С Уравнения математической физики / В. С. Владимиров, В. В. Шарипов. – М. : Наука, 1981. – 512 с.
Воднев, В. Т. Сборник задач и упражнений по дифференциальной геометрии : учеб. пособие / В. Т. Воднев. – Минск : Высшая школа, 1970. – 374 с.
Габасов, Р. Методы оптимизации / Р. Габасов, Ф. М. Кириллова. – Минск : Изд-во БГУ, 1981. – 350 с.
Зорич, В. А. Математический анализ : учеб. пособие: в 2 ч. / В. А. Зорич. – М. : Наука, 1981. – Ч. 1. – 543 с.
Зорич, В. А. Математический анализ : учеб. пособие: в 2 ч. / В. А. Зорич. – М. : Наука, 1981. – Ч. 2. – 640 с.
Игошин, В. И. Математическая логика и теория алгоритмов / В. И. Игошин. – Саратов : Изд-во Саратовского ун-та, 1991. – 256 с.
Ильин, В. А. Основы математического анализа : учеб. пособие : в 2 ч. / В. А. Ильин, Э. Г. Позняк. – М. : Наука, 1971. – Ч. 1. – 599 с.
Ильин, В. А. Основы математического анализа : учеб. пособие : в 2 ч. / В. А. Ильин, Э. Г. Позняк. – М. : Наука, 1973. – Ч. 2. – 447 с.
Колмогоров, А. Н. Элементы функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. – М. : Наука, 1989. – 624 с.
Кострикин, А. И. Введение в алгебру / А. И. Кострикин. – М. : Наука, 1977. – 495 c.
Кудрявцев, Л. Д. Курс математического анализа : учеб. пособие : в 2 ч. / Л. Д. Кудрявцев. – М. : Высшая школа, 1981. – Ч. 1. – 687 с.
Кудрявцев, Л. Д. Курс математического анализа : учеб. пособие : в 2 ч. / Л. Д. Кудрявцев. – М. : Высшая школа, 1981. – Ч. 2. – 584 с.
Кузнецов, А. В. Высшая математика : математическое программирование / А. В. Кузнецов, В. А. Сакович, Н. И. Холод. – Минск : Вышэйшая школа, 1994. – 286 с.
Кузнецов, А. В. Сборник задач и упражнений по высшей математике : математическое программирование / А. В. Кузнецов. – Минск : Вышэйшая школа, 1995. – 382 с.
Куликов, Л. Я. Алгебра и теория чисел / Л. Я. Куликов. – М. : Высшая школа, 1979. – 559 с.
Курош, А. Г. Курс высшей алгебры / А. Г. Курош. – М. : Наука, 1971. – 424 с.
Лаврентьев, М. А. Методы теории функций комплексного переменного / М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат. – М. : Наука, 1987. – 688 с.
Лельчук, М. П. Практические занятия по алгебре и теории чисел / М. П. Лельчук [и др.]. – Минск : Вышэйшая школа, 1986. – 302 с.
Люстерник, Л. Л. Краткий курс функционального анализа / Л. Л. Люстерник, В. B.Соболев. – М. : Высшая школа, 1982. – 271 с.
Маркушевич, А. И. Введение в теорию аналитических функций / А. И. Маркушевич, Л. А. Маркушевич. – М. : Просвещение, 1977. – 320 с.
Матвеев, Н. М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений / Н. М. Матвеев. – СПб. : Лань, 2003. – 832 с.
Мендельсон, Э. Введение в математическую логику / Э. Мендельсон. – М. : Наука, 1984. – 320 с.
Милованов, М. В. Алгебра и аналитическая геометрия : учеб. пособие : в 2 ч. / М. В. Милованов, Р. И. Тышкевич, А. С. Феденко. – Минск. : Вышэйшая школа, 1984. – Ч. 1. – 302 с.
Милованов, М. В. Алгебра и аналитическая геометрия : учеб. пособие : в 2 ч. / М. В. Милованов [и др.]. – Минск : Вышэйшая школа, 1987. – Ч. 2. – 269 с.
Мiнюк, С. А. Урауненнi i метады матэматычнай фiзiкi / С. А. Мiнюк, [і інш.]. – Гродно : ГрДУ, 2002. – 433 с.
Никольский, С. М. Курс математического анализа : учеб. пособие : в 2 ч. / С. М. Никольский. – М. : Наука, 1975. – Ч . 1. – 431 с.
Никольский, С. М. Курс математического анализа : учеб. пособие : в 2 ч. / С. М. Никольский. – М. : Наука, 1975. – .Ч. 2. – 407 с.
Новиков, Ф. А. Дискретная математика для программистов / Ф. А. Новиков. – СПб. : Питер, 2000. – 304 с.
Петровский, И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений / И. Г. Петровский. – М. : Наука, 1970. – 279 с.
Пикулин, В. П. Практический курс по уравнениям математической физики / В. П. Пикулин, С. И. Похошаев. – М. : МЦНМО, 2004. – 208 с.
Погорелов, А. В. Геометрия : учеб. пособие / А. В. Погорелов. – М. : Наука, 1983. – 288 с.
Привалов, И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного / И. И. Привалов. – М. : Наука, 1984. – 432 с.
Русак, В. Н. Математическая физика / В. Н. Русак. – Минск : Дизайн ПРО, 1998. – 208 с.
Таха, Х. А. Введение в исследование операций : Пер. с англ. / Х. А. Хата. – 6-е изд. – М. : Вильямс, 2001. – 912 с.
Тихонов, А. Н. Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. – М. : Наука, 1977. – 735 с.
Треногин, В. А. Функциональный анализ / В. А. Треногин. – М. : Наука, 1980. – 495 с.
Федорюк, М. В. Обыкновенные дифференциальные уравнения / М. В. Федорюк. – М. : Наука, 1980. – 351 с.
Шабат, Б. В. Введение в комплексный анализ : учеб. пособие : в 2 ч. / Б. В. Шабат. – М. : Наука, 1985. – Ч.1. – 336 с.
Шнеперман, Л. Б. Курс алгебры и теории чисел в задачах и упражнениях : учеб. пособие : в 2 ч. / Л. Б. Шнеперман. – Мн. : Вышэйшая школа, 1986. – Ч. 1. – 274 с.

Blog

Программа вступительного экзамена для второй ступени высшего образования (магистратура) по специальности

Содержание

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования

по специальности