Нейробум: поэзия и проза нейронных сетей
Вид материала | Документы |
СодержаниеДоказательство теоремы Доказательство теоремы. |
- Ю. Н. Шунин Лекции по теории и приложениям искусственных нейронных сетей,Рига,2007, 190.96kb.
- Я. А. Трофимов международный университет природы, общества и человека «Дубна», Дубна, 71.95kb.
- Курсовая работа по дисциплине " Основы систем искусственного интеллекта" Тема: Опыт, 903.59kb.
- Нейрокомпьютерная техника: Теория и практика, 2147.23kb.
- Заочный Государственный Университет Внастоящее время все большее применение в разработке, 64.47kb.
- Особенности применения нейронных сетей в курсе «Интеллектуальные информационные системы», 82.99kb.
- Применение аппарата нейронных сетей системы matlab для аппроксимации степенных математических, 50.69kb.
- Автоматизированная система рубрикации лекционного материала с использованием нейронных, 114.4kb.
- Ульяновский Государственный Технический Университет Кафедра вычислительной техники, 216.41kb.
- Isbn 5-7262-0634 нейроинформатика 2006, 96.9kb.
Доказательство теоремы
В данном разделе приведено доказательство теоремы о числе линейно независимых образов в пространстве k-х тензорных степеней эталонов.
При построении тензорных сетей используются тензоры валентности k следующего вида:
![]() | (13) |
где

Если все вектора


1. Пусть


![]() | (14) |
Доказательство этого свойства следует непосредственно из свойств тензоров общего вида.
2. Если в условиях свойства 1 вектора являются тензорными степенями, то скалярное произведение имеет вид:
![]() | (15) |
Доказательство непосредственно вытекает из свойства 1.
3. Если вектора a и b ортогональны, то есть

Доказательство вытекает из свойства 2.
4. Если вектора a и b коллинеарны, то есть


Следствие. Если множество векторов


5. Применение к множеству векторов




Сюръективным мультииндексом

1. для любого



2. для любого



Обозначим через




Предложение 1. Если вектор a представлен в виде


![]() | (16) |
Доказательство предложения получается возведением

В множестве

Предложение 2. Множество X является максимальным множеством n-мерных векторов с координатами равными ±1 и не содержит пар противоположно направленных векторов.
Доказательство. Из равенства единице последней координаты всех векторов множества X следует отсутствие пар противоположно направленных векторов. Пусть x – вектор с координатами ±1, не входящий в множество X, следовательно последняя координата вектора x равна минус единице. Так как в множество X включались все (n-1)-мерные вектора с координатами ±1, то среди них найдется вектор, первые n-1 координата которого равны соответствующим координатам вектора x со знаком минус. Поскольку последние координаты также имеют противоположные знаки, то в множестве X нашелся вектор противоположно направленный по отношению к вектору x. Таким образом множество X максимально.
Таким образом в множестве X содержится ровно







Теорема. При k


Для доказательства этой теоремы потребуется следующая интуитивно очевидная, но не встреченная в литературе лемма.
Лемма. Пусть дана последовательность векторов

таких, что




Доказательство. Известно, что процедура ортогонализации Грама приводит к построению ортонормированного множества векторов, а все вектора линейно зависящие от предыдущих векторов последовательности обращаются в нулевые. Проведем процедуру ортогонализации для заданной последовательности векторов.
. Причем
, так как
,
и
.
...
j.





...
^ Доказательство теоремы. Произведем линейное преобразование векторов множества X с матрицей






![]() | (17) |
Представим (17) в виде двух слагаемых:
![]() | (18) |
Обозначим первую сумму в (18) через











Таким образом








Для того, чтобы показать, что число линейно независимых тензоров в множестве






![]() | (19) |
Рассмотрим первое слагаемое в (19) отдельно.

Заменим в последнем равенстве внутреннюю сумму в первом слагаемом на тензоры из

![]() | (20) |
Преобразуем второе слагаемое в (19).
![]() | (21) |
Преобразуя аналогично (21) второе слагаемое в (20) и подставив результаты преобразований в (19) получим
![]() | (22) |
В (22) все не замененные на тензоры из



