Программа второго семестра содержит следующие разделы: • интегральное исчисление функции одного переменного
| Вид материала | Программа |
- Темы лекций второго семестра Программа экзамена второго семестра Тема, 71.64kb.
- Календарно-тематический план лекций по статистике на осенний семестр 2011-2012 учебного, 35.24kb.
- М. К. Аммосова Кафедра математической экономики рабочая программа, 85.06kb.
- Интегральное исчисление неопределённый интеграл § Первообразная функция и неопределённый, 83.07kb.
- Основная образовательная программа начального общего образования Муниципального бюджетного, 5929.24kb.
- Литература по дисциплине «Математический анализ», 13.07kb.
- Пособие содержит теоретические сведения по русскому языку и разнообразные упражнения, 6272.93kb.
- Программа по тфкп. Пятый семестр Непрерывность функций комплексного переменного, 16kb.
- Структура программы на Прологе Программа на Прологе состоит из следующих разделов, 146.44kb.
- Сэр Исаа́к Нью́тон, 191.11kb.
Под общей редакцией Петрушко И. М.Курс высшей математики. Интегральное исчисление. Функции нескольких переменных. Дифференциальные уравнения: Учебное пособие. 2-е изд.
Допущено Министерством образования РФ в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям: "Технические науки", "Техника и технологии".
ISBN 978-5-8114-0633-3
Год выпуска 2008
Тираж 3000 экз.
Формат 12,8 20 см
Переплет: твердый
Страниц 608
Учебное пособие соответствует стандартной программе и содержит конспект 24 лекций, разработки 24 практических занятий с подробным решением типовых примеров и задач для самостоятельного решения, контрольные вопросы по всем темам, варианты контрольных работ и программы экзамена с образцами экзаменационных билетов.
Книга отличается от существующих учебных пособий тем, что объединяет в себе функции учебника, сборника задач и репетитора-тренажера и может быть использована как при очной, так и при дистанционной форме обучения.
Для студентов первого курса высших учебных заведений, изучающих высшую математику.
Предисловие
В предлагаемой книге излагаются разделы математического анализа, которые изучаются в технических вузах во втором семестре. Она является составной частью комплекса для организации дистанционного обучения по курсу «Высшая математика», разработанного на кафедре Высшей математики МЭИ.
Программа второго семестра содержит следующие разделы:
• интегральное исчисление функции одного переменного;
• функции нескольких переменных (дифференциальное исчисление);
• обыкновенные дифференциальные уравнения.
В книге содержатся конспекты лекций и разработки для практических занятий, вопросы и задачи для самоконтроля в процессе изучения, а также контрольные работы по всем темам, изучаемым в семестре.
В конце каждой лекции содержатся контрольные вопросы к ней. Если ответ на какой-либо вопрос вызывает затруднение или нет уверенности в его правильности, то следует вернуться к соответствующему месту в лекции (оно указывается в каждом вопросе ссылкой на определение, теорему, замечание или пример). Если в тексте нет прямого ответа на поставленный вопрос, то посмотрите ответы, следующие за контрольными вопросами.
В конце каждого занятия приведены примеры для самостоятельного решения. Начало решения примеров и задач отмечено знаком , а конец — знаком .
Для проверки усвоения студентами пройденного материала проводятся контрольные работы по темам: «Интегрирование», «Функции нескольких переменных», «Дифференциальные уравнения».
Авторы искренне благодарят Е. Б. Зарецкую, В. И. Иванову за большую помощь, оказанную в подготовке рукописи к изданию.
Оглавление
Предисловие .......... 3
Курс лекций
Лекция 1. Неопределенный интеграл .......... 5
§ 1.1. Свойства неопределенного интеграла .......... 5
§ 1.2. Достаточные условия интегрируемости функции .......... 7
§ 1.3. Свойства неопределенного интеграла .......... 7
§ 1.4. Таблица неопределенных интегралов .......... 9
Контрольные вопросы .......... 12
Лекция 2. Основные методы интегрирования .......... 13
§ 2.1. Замена переменной в неопределенном интеграле .......... 13
§ 2.2. Интегрирование по частям в неопределенном интеграле .......... 15
Контрольные вопросы .......... 21
Лекция 3. Комплексные числа .......... 23
§ 3.1. Многочлены .......... 26
§3.2. Многочлены с действительными коэффициентами .......... 28
§3.3. Условия тождественности двух многочленов .......... 31
Контрольные вопросы .......... 32
Лекция 4. Рациональные функции .......... 33
§ 4.1. Разложение рациональной дроби на простейшие .......... 34
§4.2. Интегрирование рациональных функций .......... 36
Контрольные вопросы .......... 41
Лекция 5. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции .......... 42
§ 5.1. Интегрирование выражений R (sin х, соs х) .......... 43
§5.2. Частный случай интегрирования выражений вида R (sin x, cos x) .......... 44
§5.3. Интегрирование выражений вида R (sinm x, соsn х), где m, n — целые числа .......... 45
§5.4. Интегрирование выражений вида: а) ∫sin (x), sin (x)dx, б) ∫ sin (x), cos (x)dx, в) ∫ cos (x), cos (x)dx .......... 46
Контрольные вопросы .......... 46
Лекция 6. Интегрирование иррациональных выражений .......... 48
§6.1. Интегрирование дробно-линейных иррациональностей .......... 48
§6.2. Интегрирование биномиальных дифференциалов .......... 50
§6.3. Интегрирование квадратичных иррациональностей .......... 52
Контрольные вопросы .......... 54
Лекция 7. Определенный интеграл и его свойства .......... 56
§7.1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла .......... 56
§7.2. Понятие определенного интеграла .......... 58
§ 7.3. Необходимое условие интегрируемости функции .......... 59
§7.4. Основные классы интегрируемых функций. Геометрический смысл определенного интеграла .......... 60
§ 7.5. Свойства определенного интеграла .......... 61
§ 7.6. Геометрический смысл теоремы о среднем значении .......... 67
Контрольные вопросы .......... 67
Лекция 8. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона–Лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям .......... 69
§ 8.1. Производная интеграла по верхнему пределу .......... 69
§8.2. Формула Ньютона-Лейбница .......... 72
§ 8.3. Замена переменной под знаком определенного интеграла .......... 75
§ 8.4. Интегрирование по частям в определенном интеграле Контрольные вопросы .......... 77
Контрольные вопросы .......... 77
Лекция 9. Приложения определенного интеграла к вычислению площадей .......... 80
§9.1. Вычисление площадей плоских фигур в прямоугольных декартовых координатах .......... 80
§ 9.2. Вычисление площадей плоских фигур в полярных координатах .......... 83
Контрольные вопросы .......... 89
Лекция 10. Приложения определенного интеграла к вычислению длин дуг кривых и объемов тел .......... 90
§ 10.1. Вычисление длины дуги кривой .......... 90
§ 10.2. Вычисление объемов .......... 97
Контрольные вопросы .......... 100
Лекция 11. Несобственные интегралы .......... 102
§ 11.1 Несобственный интеграл с бесконечными пределами интегрирования .......... 102
§ 11.2 Геометрический смысл несобственных интегралов с бесконечными пределами интегрирования .......... 105
§ 11.3 Свойства b вычисление несобственных интегралов с бесконечными пределами интегрирования .......... 106
§ 11.4 Несобственные интегралы с бесконечными пределами от неотрицательных функций. Теоремы сравнения ... 108
§ 11.5 Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов с бесконечными пределами интегрирования .......... 112
Контрольные вопросы .......... 115
Лекция 12. Несобственные интегралы от неограниченных функций .......... 118
§ 12.1. Геометрический смысл несобственных интегралов от неограниченных функций .......... 121
§ 12.2. Свойства несобственных интегралов от неограниченных функций .......... 122
Контрольные вопросы .......... 126
Лекция 13. Функции нескольких переменных .......... 127
§ 13.1. Понятие функции нескольких переменных .......... 127
§ 13.2. Основные виды множеств в пространстве Rn .......... 129
§ 13.3. Предел функции нескольких переменных .......... 132
§ 13.4. Непрерывность функции нескольких переменных .......... 136
Контрольные вопросы .......... 137
Лекция 14. Понятие производной по направлению и частных производных функции нескольких переменных .......... 139
§ 14.1. Производные по направлению и частные производные .......... 139
§ 14.2. Дифференцируемость функции нескольких переменных полный дифференциал .......... 142
Контрольные вопросы .......... 149
Лекция 15. Касательная плоскость и нормаль к поверхности .......... 151
§ 15.1. Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности .......... 151
§ 15.2. Геометрический смысл полного дифференциала и производных функции двух переменных .......... 154
Контрольные вопросы .......... 156
Лекция 16. Производные сложных функций .......... 158
§ 16.1. Инвариантность формы полного дифференциала .......... 163
§ 16.2. Правила дифференцирования функций нескольких переменных .......... 164
§ 16.3. Неявные функции .......... 165
Контрольные вопросы .......... 173
Лекция 17. Частные производные и дифференциалы высших порядков .......... 175
§ 17.1. Частные производные высших порядков .......... 175
§ 17.2. Дифференциалы высших порядков .......... 179
§ 17.3. Формула Тейлора .......... 183
Контрольные вопросы .......... 185
Лекция 18. Максимумы и минимумы функции нескольких переменных .......... 186
§ 18.1. Необходимые условия экстремума .......... 187
§ 18.2. Достаточные условия экстремума .......... 190
Контрольные вопросы .......... 194
Лекция 19. Условный экстремум .......... 195
§ 19.1. Метод Лагранжа отыскания условных экстремумов .......... 198
§ 19.2. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции .......... 203
Контрольные вопросы .......... 205
Лекция 20. Дифференциальные уравнения (общие понятия). Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Существование и единственность решения начальной задачи. Метод изоклин .......... 206
§ 20.1. Общее и частное решение, общий и частный интеграл дифференциального уравнения первого порядка. Теорема Коши. Особые решения .......... 208
§ 20.2. Метод изоклин .......... 217
Контрольные вопросы .......... 220
Лекция 21. Приемы интегрирования некоторых дифференциальных уравнений первого порядка .......... 222
§ 21.1. Уравнения, не содержащие искомой функции .......... 224
§ 21.2. Уравнения, не содержащие независимой переменной .......... 225
§ 21.3. Уравнения с разделенными переменными .......... 227
§ 21.4. Уравнения с разделяющимися переменными .......... 228
§ 21.5. Однородные уравнения .......... 232
§ 21.6. Линейные уравнения .......... 236
§ 21.7. Уравнение Бернулли .......... 240
§ 21.8. Уравнения в полных дифференциалах .......... 241
§ 21.9. Уравнения, неразрешенные относительно производной .......... 246
Контрольные вопросы .......... 257
Лекция 22. Дифференциальные уравнения высших порядков. Разрешимость начальной задачи. Уравнения, допускающие понижение порядка, и их интегрирование .......... 259
§ 22.1. Понятия частного и общего решений. Начальная задача и ее разрешимость .......... 259
§ 22.2. Уравнения, допускающие понижение порядка .......... 264
§ 22.3. Уравнения, не содержащие искомой функции и ее начальных производных до определенного порядка ....... 266
§ 22.4. Уравнения не содержащие независимой переменной .......... 267
§ 22.5. Уравнения, однородные относительно неизвестной функции и всех се производных .......... 269
Контрольные вопросы .......... 274
Лекция 23. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков. Фундаментальная система решений и структура общего решения однородного уравнения. Неоднородное уравнение, структура его общего решения и вычисление частного решения методом Лагранжа .......... 275
§ 23.1, Линейная зависимость и линейная независимость системы функций. Вронскиан Исследование линейной независимости с помощью вронскиана .......... 277
§ 23.2. Структура общего решения однородного и неоднородного дифференциальных уравнений .......... 282
§ 23.3. Метод вариации произвольных постоянных Лагранжа .......... 289
§ 23.4. Комплексные решения дифференциальных уравнений. Линейная независимость комплексных решений ..... 292
§ 23.5. Метод Эйлера построения общего решения однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и случае простых корней характеристического уравнения .......... 298
§ 23.6. Построение общего решения однородного дифференциального уравнения в случае кратных корней характеристического уравнении .......... 301
§ 23.7. Построение общего решения неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами. Метод подбора частного решения неоднородного уравнения .......... 305
Контрольные вопросы .......... 316
Лекция 24. Системы дифференциальных уравнений .......... 318
§ 24.1. Понятия общего и частного решений. Задача Коши и се разрешимость .......... 319
§ 24.2. Методы интегрирования систем дифференциальных уравнений .......... 325
§ 24.3. Системы линейных дифференциальных уравнений .......... 329
§ 24.4. Глобальная теорема разрешимости начальной задачи для линейной системы дифференциальных уравнений .......... 331
§ 24.5. Линейная зависимость и линейная независимость системы произвольных вектор-функций и решений однородной системы уравнений .......... 332
§ 24.6. Фундаментальная матрица решений и структура общего решения однородной системы .......... 336
§ 24.7. Структура общего решения неоднородной системы дифференциальных уравнений .......... 338
§ 24.8. Построение фундаментальной матрицы решений дифференциальной системы с постоянной матрицей. Метод Эйлера .......... 342
§ 24.9. Устойчивость (по Ляпунову) решений дифференциальных уравнений .......... 348
§ 24.10. Устойчивость по первому приближению точек покоя нелинейных систем .......... 355
Контрольные вопросы .......... 358
Практические занятия
Занятие 1. Неопределенный интеграл. Простейшие приемы интегрирования .......... 361
Занятие 2. Метод подведения под знак дифференциала .......... 368
Занятие 3. Метод интегрирования подстановкой. Интегрирование но частям .......... 376
Занятие 4. Определенный интеграл .......... 384
Занятие 5. Интегрирование рациональных функций .......... 392
Занятие 6. Интегрирование тригонометрических выражений и иррациональных функций .......... 404
Занятие 7. Вычисление площадей плоских фигур .......... 416
Занятие 8. Вычисление длин дуг кривых и объемов тел .......... 426
Занятие 9. Функции нескольких переменных .......... 434
Занятие 10. Частные производные. Полный дифференциал .......... 445
Занятие 11. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Производные сложных и неявных функций .......... 454
Занятие 12. Частные производные высших порядков. Формула Тейлора .......... 466
Занятие 13. Экстремумы функции .......... 476
Занятие 14. Условные экстремумы .......... 483
Занятие 15. Метод Лагранжа для отыскания условных экстремумов .......... 491
Занятие 16. Наибольшее и наименьшее значения функции .......... 496
Занятие 17. Дифференциальные уравнения первого порядка .......... 501
Занятие 18. Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения .......... 506
Занятие 19. Линейные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли .......... 517
Занятие 20. Уравнения в полных дифференциалах .......... 526
Занятие 21. Уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка .......... 535
Занятие 22. Линейные дифференциальные уравнения .......... 545
Занятие 23. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами .......... 553
Занятие 24. Системы дифференциальных уравнений .......... 563