Методические указания для выполнения курсовой работы по дисциплине «Численные методы и прикладное программирование»

Вид материала

Методические указания

Содержание 1. Обработка экспериментальных данных Обработка экспериментальных данных Собственно идентификация Оценка результатов моделирования 1.1. Восстановление значений измеряемой величины в моменты времени между измерениями. N, удовлетворяющего условиям f(x N=7), а сама зависимость y(x) MathCAD сплайн интерполяция реализуется при помощи следующих функций: lspline(x,y) 1.2.Сглаживание экспериментальных данных Линейное сглаживание по трем точкам Сглаживание исходных данных методом 1.3. Математическая обработка данных и решение При помощи (1.11) в зависимости от размерности матрицы z можно рассчитать коэффициенты полинома заданной степени. MathCADа для осуществления регрессионного анализа. regress(vx,vy,n) 1.4. Оценка адекватности математической модели. Oxy, получим в этом случае два уравнения движения: x = f Равнопеременное движение. Определим длину вектора скорости в момент времени t=t0

Подобный материал:

• Методические указания к курсовой работе по дисциплине «численные методы», 134.12kb.
• Рабочая учебная программа дисциплины Численные методы и прикладное программирование, 299.02kb.
• Методические указания к курсовому проектированию по дисциплине «Прикладное программирование», 474.71kb.
• Методические указания для выполнения курсовой работы по дисциплине «Макроэкономика», 976.03kb.
• Методические указания по содержанию и организации выполнения курсовой работы по дисциплине, 1445.93kb.
• Методические указания для выполнения курсовой работы по дисциплине «Теория принятия, 547.84kb.
• Методические указания для ее выполнения по дисциплине «финансы» 2008-2009 уч. Год (для, 247.31kb.
• Методические указания для выполнения курсовой работы по дисциплине: «Метрология, стандартизация, 170.43kb.
• Методические указания для выполнения курсовой работы по дисциплине «Теории организации, 246.85kb.
• Методические рекомендации по организации и защите курсовой работы по дисциплине для, 794.15kb.

Методические указания

для выполнения курсовой работы

по дисциплине

«Численные методы и прикладное программирование»


Курсовая работа согласно учебному плану для специальности 170500 выполняется студентами 2-го курса на 3-ем семестре и составляет 17 часов от общего объёма учебной работы (51 час).


Методические указания помогут студентам выполнить работу и освоить учебную программу в полном объёме.


Мокрова Н.В., Суркова Л.Е

Курсовая работа выполняется студентами II курса машиностроительного факультета.

Содержание курсовой работы включает две важные части, выполнение которых необходимо для подготовки квалифицированных специалистов. Работа позволяет закрепить основные знания, полученные при изучении кинематики точки, и рассмотреть важный раздел обработки экспериментальных данных.

В помощь к выполнению курсовой работы изложены основные понятия и определения теоретической механики, касающиеся кинематики точки, а также основные определения, способы расчета и алгоритмы обработки экспериментальных данных. Приведены фрагменты программ реализации отдельных этапов обработки данных.

В качестве аппарата для расчета используется математический пакет MathCAD (версии 6.0, 6.0 pro, 7.0, 2000), который признан во всем мире как мощное средство обработки информации математическими методами. Этот пакет прикладных программ позволяет обрабатывать исходные данные при помощи большого количества встроенных функций, включает большой аппарат матричного исчисления, статистического анализа, дает возможность производить графический анализ, работать с файлами данных и т.д. Следует отметить, что пакет разработан как средство удобное для понимания, позволяет строить документы в виде, как мы привыкли видеть на бумаге.

^ 1. Обработка экспериментальных данных.

Математическое моделирование является одним из способов обработки информации для решения инженерно-технических и экономических задач. Развитие теории информации и компьютерной техники позволяет широко применять методы математического моделирования благодаря возможности реализации сложнейших алгоритмов обработки результатов исследований.

Построение математической модели в общем случае состоит из определения структуры зависимостей входных и выходных переменных рассматриваемого объекта (рис.1) и определения параметров модели, т. е. числовых значений коэффициентов, с использованием информации, полученной при исследовании реальных объектов.

e




x y

объект


Рис. 1.1. Структура технологического объекта.

x - вектор входных переменных;

y - вектор выходных переменных;

e - высокочастотная случайная величина (помеха).


При этом технологическим объектом называется некоторая система, преобразующая входную информацию (вектор входных переменных x) в выходную информацию (вектор выходных переменных y). Входными переменными (координатами) объекта называются технологические переменные, определяющие условия работы объекта. Они могут изменяться либо под воздействием случайных факторов, либо намеренно вручную или автоматически. Вектор выходных переменных (координат) – это технологические переменные, устанавливающиеся в результате работы объекта, то есть изменяя входную координату x объект устанавливает соответствующее значение выходной координаты y. Однако вид этой зависимости y = f(x) принципиально неизвестен.

Математическая модель, построенная на основе экспериментальных данных, должна точно описывать объект, при этом неоспоримым достоинством является простота модели, ясный физический смысл коэффициентов, ее общность для рассматриваемого класса процессов, а также возможность создания модели на стадии проектирования с целью решения задач прогнозирования сложных ситуаций.

Таким образом, первая проблема, которую необходимо решать в рамках математического моделирования, это обработка экспериментальных данных.

^ Обработка экспериментальных данных включает в себя несколько этапов:

- Предварительная обработка данных. На этом этапе, как правило, осуществляется устранение помехи, действующей на объект и обусловленной случайными факторами, путем использования фильтров, например, скользящего среднего, метода четвертых разностей, экспоненциального фильтра и т.д. Случайная составляющая помехи встречается практически при любых измерениях.

- ^ Собственно идентификация. Это определение параметров математической модели по экспериментальным данным. При этом вид математической модели (это может быть уравнение прямой, параболы или любая другая зависимость) выбирается заранее. Определение параметров в общем случае – это поиск минимума многомерной функции-критерия.

- ^ Оценка результатов моделирования, т.е. оценка адекватности математической модели, которая состоит в определении степени соответствия математической модели данным эксперимента.


^ 1.1. Восстановление значений измеряемой величины в моменты времени между измерениями.

Для облегчения процедуры идентификации необходимо, чтобы при планировании и проведении эксперимента входная переменная x (рис.1.1) менялась эквидистантно (через равные промежутки времени), и количество экспериментов было не менее десяти. Однако при проведении эксперимента такое изменение входной переменной реализуется сложнее, чем не эквидистантное. Поэтому для увеличения информативности проведенного эксперимента необходимо применение интерполяции и экстраполяции.

Интерполяцией называют определение промежуточных значений функции между двумя полученными отсчетами.

Известны значения аргумента x = x₀, x₁, …x_N и соответствующие значения функции y = y₀, y₁, …y_N , где f(x₀ ) = y₀ , f(x₁ ) = y₁ , … f(x_N ) = y_N . Необходимо найти функцию y = f(x). Таких функций может быть бесконечное множество, поэтому чаще всего принимают в качестве функции f(x) многочлен (обычно степень его на единицу меньшей, чем число неизвестных табличных значений). Таким образом, задача интерполяции заключается в нахождении многочлена

y = f(x) (1.1)

степени ^ N, удовлетворяющего условиям

f(x₀ ) = y₀ , f(x₁ ) = y₁ , _… f(x_N ) = y_N (1.2)

где x₀ ,x₁ ,..x_N - узлы интерполяции.

Экстраполяцией называют определение будущих значений функции с момента очередного отсчета до момента поступления следующего отсчета, то есть за пределами полученной таблицы данных. Это можно сделать, если известна интерполирующая функция.

Во многих случаях используется сплайн - интерполяция. Сплайн – это кусочно-полиномиальная функция, т.е. функция, для которой вся область определения разбита на подобласти, и в каждой из них функция представляет собой полином заданной степени m. При этом сама функция и ее производные до (m-1)-го порядка во всей области определены, в том числе на границах подобластей, и непрерывны. Наиболее часто используется кубический сплайн (m=3).

Сплайны бывают интерполирующие и сглаживающие. Они используются для интерполяции значений функций, заданных на дискретном множестве точек. Интерполирующие сплайны точно проходят через заданные значения. Spline – в переводе означает “гибкая линия”. При построении сплайнов кубическая парабола проводится через каждые три экспериментальные точки:

0, 1, 2; 1, 2, 3; 2, 3, 4 и т.д. Определяются коэффициенты параболы, исходя из равенства первых и вторых производных в конечных и начальных точках. Целесообразно применение сплайнов в следующих случаях:

- При обработке данных, когда количество точек мало (^ N=7), а сама зависимость y(x) носит сложный зигзагообразный характер.

- Используется при численном интегрировании и дифференцировании для получения более точных значений. Сплайн легко интегрируется и дифференцируется, т.е. это функция, с которой легко проводить дальнейшие преобразования.

В ^ MathCAD сплайн интерполяция реализуется при помощи следующих функций:

lspline(x,y) - при линейной экстраполяции в концевых точках;

pspline(x,y) - при параболической экстраполяции в концевых точках;

spline(x,y) - при кубической экстраполяции в концевых точках;

Указанные функции возвращают вектор вторых производных, необходимых для функции, которая и осуществляет интерполяцию данных, это:

interp(p,x,y,z) - возвращает интерполированное значение при помощи вектора p в точке z, где p - вектор вторых производных.

Интерполирующая функция проходит через все точки таблицы, при этом случайная компонента фильтруется незначительно.

Применение сплайн-интерполяции в MathCAD отражено в примере 1.1.


Пример 1.1.

Задание исходных массивов данных:



Сплайн интерполяция и нахождение значений функции в промежуточной точке.









^ 1.2.Сглаживание экспериментальных данных.

Сглаживанием (или фильтрацией) называют операцию выделения полезного сигнала измерительной информации y из его суммы с помехой e. На практике применяют несколько алгоритмов сглаживания. При сглаживании данных эксперимента производится операция усреднения с помощью интерполяционных полиномов, обеспечивающих получение уточненного значения Y_i по заданному значению y_i и ряду известных близлежащих значений (… y_i-1, y_i , y_i+1…). Где m=3 для (y_i-1 … y_i+1) и m=5 для (y_i-2 , y_i-1 … y_i+1 , y_i+2) - ширина окна сглаживания.

Для осуществления сглаживания используются фильтры, которые различаются по методу проведения операции усреднения и по ширине окна сглаживания. Рассмотрим некоторые из алгоритмов сглаживания.

^ Линейное сглаживание по трем точкам реализуется с помощью формул:

Y₀ = (5y₀+2y₁-y₂)/6

Y_i = (y_i-1+y_i+y_i+1)/3 , 1  i  N-1 (1.3)

Y_N = (5y_N+2y_N-1-y_N-2)/6

где N- номер последней точки (ординаты y_i). Метод скользящего среднего и сглаживание с использованием встроенных функций MathCAD приведены в примере 1.2.


Пример 1.2.
^

Сглаживание исходных данных методом

скользящего среднего.



Встроенная функция сглаживания методом скользящей медианы.






^ 1.3. Математическая обработка данных и решение

задачи идентификации.

Математическая модель – это система математических соотношений, при помощи которых можно описать свойства объекта уравнением вида:

F (x, y, b) = 0 (1.4)

где F – конкретный функциональный вид зависимости,

b – вектор параметров {b₀, b₁, b₂ … b_p}.

В зависимости от способа представления функции F выделяют два способа построения математических моделей:

- Экспериментальный (эмпирический или формальный) способ. На объекте проводится эксперимент с получением векторов входных и выходных параметров x и y. Вид функции F задается по своему усмотрению, функция также как и вектор параметров b не имеет физического смысла. При задании эмпирической модели руководствуются простотой вычисления функции F, ее задают в виде, разрешенном относительно y: y=y^м(x, b), где вектор параметров b включается линейно. Этим требованиям удовлетворяют модели вида полинома. Особенностью таких моделей является то, что применять их можно только в том диапазоне значений x, в котором проводился эксперимент с целью определения параметров b. Раздел математической статистики, занимающийся вопросами аппроксимации данных эмпирическими зависимостями, называется регрессионным анализом.

- Аналитический способ. Вид функции F получается на основе анализа всех процессов, протекающих в объекте, принятия системы допущений и составления системы уравнений сохранения субстанций для выделенного объекта. При этом вид функции определяется физической сутью процесса и принятой системой допущений. Таким образом, получаются системы уравнений, сложные уравнения, которые невозможно разрешить относительно переменных. Многие технологические процессы могут быть описаны только системами дифференциальных уравнений.

Как уже отмечалось, определение параметров математической модели по экспериментальным данным является задачей идентификации. Используя таблицу экспериментальных данных (x – вектор входных параметров, y – вектор выходных параметров), необходимо найти такие значения параметров b={b_j, j=0…p} ( p – порядок уравнения) модели объекта

F(x, y^м, b) = 0 (1.5)

чтобы вектор выходных параметров модели y^м был максимально приближен к вектору исходных данных y. Если в модели (1.5), структура которой известна, задать вектор параметров b, то можно получить таблицу расчетных данных аналогичную экспериментальной, при чем y^м будет определяться набором этих параметров. Задача идентификации заключается в минимизации некоторого критерия I, являющегося мерой близости двух векторов y и y^м.

I(b) = Ф(b, y, y^м) min (1.6)

^b

Для проведения процедуры идентификации можно сформулировать несколько критериев, поэтому эта процедура не имеет единственного решения.

В качестве критерия I может выступать квадратичный критерий, физический смысл которого состоит в расчете оценки дисперсии аппроксимации экспериментальных данных в выбранной модели F:

N

I(b)=^___1___(y_i – y^м(x_i, b))² (1.7)

^{N -p i=1}

где N – количество экспериментов,

p – количество параметров, включенных в модель.

Может быть так же использован модульный критерий:

N

I(b)= /y_i – y^м(x_i, b)/ (1.8)

ⁱ⁼¹

или минимаксный критерий (критерий равномерного приближения):

I(b) = max /y_i – y^м(x_i, b)/ (1.9)

ⁱ

Если вектор y^м представлен в виде функции, линейной по параметрам, то решение задачи идентификации может быть осуществлено, при I в виде квадратичного критерия, аналитически на основе необходимых условий существования минимума. Тогда задача идентификации сводится к решению системы линейных уравнений:

 I(b)/ b_j =0, j=0…p (1.10)

Этот метод называется методом наименьших квадратов (МНК).

В качестве уравнения модели могут выступать полиномы разной степени. В среде MathCAD для вычисления параметров b₀ и b₁ , входящих в уравнение прямой (полинома первой степени) существуют специальные встроенные функции:

b₀ =intercept(x,y) (отсечение)

b₁ =slope(x,y) (наклон)

Расчет параметров моделей, представляющих собой полиномы первой и второй степени, приведен в примере 1.3. Для расчета коэффициентов параболы использован матричный метод решения системы линейных уравнений (1.10). При этом составлена вспомогательная матрица z, столбцы которой представляют собой элементы вектора x в соответствующей степени и использована матричная формула расчета коэффициентов полинома

A = ( z^T  z ) ^–1 ( z^T  y) (1.11)
^

При помощи (1.11) в зависимости от размерности матрицы z можно рассчитать коэффициенты полинома заданной степени.

Пример 1.3.

Задание исходных массивов данных.



Линейная регрессия вида Y*=b₀+b₁•x




Среднеквадратичная погрешность аппроксимации:




Полиномиальная регрессия вида Y*=b₀+b₁•x+ b₂•x²

Среднеквадратичная погрешность аппроксимации:






В качестве уравнения модели могут быть также использованы следующие виды регрессионных зависимостей:

y^м (x, b) = b₀ +b₁/x - для гиперболической регрессии;

y^м (x, b) = b₀• x ^b1 - для степенной регрессии;

y^м (x, b) = b₀•b₁^x - для показательной регрессии;

y^м (x, b) = b₀•exp(b₁•x) - для экспоненциальной регрессии;

y^м (x, b) = b₀ +b₁•lg x - для логарифмической регрессии.

Определение коэффициентов степенной регрессии с помощью блока MathCAD приведено в примере 1.4.


Пример 1.4.

Уравнение степенной регрессии y*= b₀• x ^b1.



Среднеквадратичная ошибка аппроксимации:






Приведем одну из встроенных функций ^ MathCADа для осуществления регрессионного анализа.

regress(vx,vy,n) - возвращает вектор, требуемый interp, чтобы построить полином порядка n, который наилучшим образом приближает данные из vx и vy; где vx - m-мерный вектор, vy - m-мерный вектор, который соответствует точкам vx. Применение этой встроенной функции для нахождения коэффициентов полинома третьей степени приведено в примере 1.5.


Пример 1.5.

Полиномиальная регрессия вида Y*=b₀+b₁•x+ b₂•x²+ b₃•x³ с использованием встроенной функции.




Среднеквадратичная ошибка аппроксимации:





^ 1.4. Оценка адекватности математической модели.

Модель считается построенной, когда определены числовые значения параметров и дан ответ на вопрос: соответствует ли модель данному объекту. Однозначного ответа об адекватности модели не существует. Для оценки адекватности используют несколько подходов, один из которых базируются на величине дисперсии аппроксимации:

N

S ²_апп =I(b)=^___1___(y_i - y*(x_i, b))² (1.12)

^{N -p i=1}



S_апп =  S ²_апп - среднеквадратичная погрешность.

Эта величина может быть использована в качестве критерия оценки адекватности модели одним из двух нижеприведенных способов.

- Модель считается адекватной, если S_апп<y, где y - некоторая заданная экспериментатором точность (не ниже абсолютной погрешности измерительного прибора), имеющая ту же размерность что y и S_апп.

- Модель считается адекватной, если  <*, где *- допустимая относительная погрешность; =S_апп/ - относительная погрешность; - это, чаще всего, среднее значение выходной переменной y в эксперименте, либо диапазон изменения выходной переменной, т.е. =y_max-y_min.

Рассмотрим пример построения математической модели и определения ее адекватности (пример 1.6).

Пример 1.6.

Определение зависимости расстояния от времени движения объекта.

Пусть в качестве объекта выступает движущийся велосипедист. Известно, что в моменты времени t₀, t₁, …t_n, выраженные в секундах, велосипедист находился на расстоянии L₀, L₁, …L_n, выраженном в метрах, от дома. Скорость его движения можно описать дифференциальным уравнением вида:

dL/dt=b₀+b₁·t (1.13)

Необходимо найти зависимость между пройденным путем L и временем t, то есть определить закон движения велосипедиста L=F(t, b), и оценить адекватность найденного решения исходным экспериментальным данным.

Решим исходное дифференциальное уравнение в символьном виде:

(1.14)

Далее рассмотрим решение задачи идентификации и найдем параметры математической модели с помощью «решающего блока» MathCAD:

зададим начальное приближение:






Найденные коэффициенты b₀, b₁ и начальные условия с использованием размерностей в MathCAD можно записать так:




Полученное дифференциальное уравнение можно также решить с использованием встроенной функции MathCAD:




Результаты решение исходной задачи и экспериментальные данные приведены на графике:




Среднеквадратичная погрешность построенной математической модели относительно экспериментальных данных определяется по формуле:


mse 1=0.108


В результате построенная математическая модель описывает исходные экспериментальные данные с погрешностью, не превышающей 11%. Модель можно считать адекватной, если эта погрешность меньше требуемой, или неадекватной, если эта погрешность больше требуемой.

Относительная погрешность аппроксимации (отнесенная к диапазону) не превышает 10%:

m=0.099

2. Кинематика Точки.

Кинематикой называется раздел механики, в которой изучаются геометрические свойства движения тел без учета их инертности (массы) и действующих на них сил.

Время является скалярной, непрерывно изменяющейся величиной. В задачах кинематики время t принимают за независимую переменную (аргумент). Все другие переменные величины (расстояние, скорости и т.д.) рассматриваются как изменяющиеся с течением времени, т.е. как функции времени t. Отсчет времени ведется от некоторого начального момента (t=0), о выборе которого в каждом случае условливаются. Всякий данный момент времени t определяется числом секунд, прошедших от начального момента до данного; разность между какими-нибудь двумя последовательными моментами времени называется промежутком времени.

С точки зрения кинематики - задать движение или закон движения тела (точки) – значит, задать положение этого тела (точки) относительно данной системы отсчета в любой момент времени.

Основная задача кинематики точки и твердого тела состоит в том, чтобы, зная закон движения точки (тела), установить методы определения всех кинематических величин, характеризующих данное движение.

Непрерывная линия, которую описывает движущаяся точка относительно данной системы отсчета, называется траекторией точки. Если траекторией является прямая линия, движение точки называется прямолинейным, а если кривая – криволинейным.

Для задания движения точки можно применять координатный способ задания движения точки. Он заключается в следующем: положение точки можно непосредственно определять ее декартовыми координатами x, y, z, которые при движении точки будут с течением времени изменяться. Чтобы знать закон движения точки, то есть положение в пространстве в любой момент времени, надо знать значение координат точки для каждого момента времени, то есть знать зависимости

x = f₁(t), y = f₂(t), z = f₃ (t) (2.1)

Уравнения (2.1) представляют собой уравнения движения точки в прямоугольных декартовых координатах. Они определяют закон движения точки при координатном способе задания движения.

Если движение точки происходит все время в одной и той же плоскости, то, приняв эту плоскость за плоскость ^ Oxy, получим в этом случае два уравнения движения:

x = f₁(t), y = f₂(t). (2.2)

Наконец, при прямолинейном движении точки, если вдоль ее траектории направить координатную ось Ox, движение будет определяться одним уравнением (законом прямолинейного движения точки)

x = f(t). (2.3)

Уравнения (2.1) и (2.2) представляют собой одновременно уравнения траектории точки в параметрической форме, где роль параметра играет время t. Исключив из уравнений движения время t, можно найти уравнение траектории в обычной форме, т.е. в виде, дающем зависимость между координатами точки.

Естественный способ задания движения точки. Положение точки на заданной траектории в любой момент времени t определяется расстоянием (дуговой координатой) s. То есть длиной участка траектории, отсчитанной от некоторой ее неподвижной точки, принятой за начало отсчета. Значит, если кроме траектории, на которой отмечено начало отсчета O, задана зависимость

s = f(t) (2.4)

между расстоянием s и временем t , то в любой момент времени можно точно определить положение точки на траектории. Уравнение (2.4) называется законом движения точки по заданной траектории.

Известно, что при движении точки по криволинейной траектории ее скорость в каждый данный момент времени направлена по касательной к траектории. Так же установлено, что числовое значение средней скорости за любой промежуток времени t равно частному от деления пройденного пути на время t.

Значение скорости точки, движение которой задано естественным способом, в любой момент времени равно первой производной от расстояния (дуговой координаты) по времени:

 = ds /d t= f(t) (2.5)

Модуль касательного ускорения, равный производной от скорости в данный момент по времени, или, иначе, второй производной от расстояния по времени, характеризует быстроту изменения значения скорости:

a_t = d /dt = f(t) (2.6)

Модуль нормального ускорения пропорционален второй степени модуля скорости в данный момент, обратно пропорционален радиусу кривизны траекторий в данной точке и характеризует быстроту изменения направления скорости:

a_n =  ² / (2.7)

Если векторы  и a_t направлены в одну и ту же сторону, то движение точки называется ускоренным. При этом значения  и a_t имеют одинаковые знаки ( > 0, a_t > 0 или  < 0, a_t < 0). Если же векторы  и a_t направлены в противоположные стороны, то движение точки называется замедленным. В этом случае знаки  и a_t разные ( > 0, a_t < 0 или  < 0, a_t > 0).

Касательное ускорение a_t характеризует быстроту изменения модуля скорости, нормальное ускорение a_n характеризует быстроту изменения направления скорости. Иначе говоря, касательное ускорение служит характеристикой неравномерности движения по любой траектории, а нормальное ускорение – характеристикой криволинейности движения и при a_t0 и a_n0 точка движется неравномерно по криволинейной траектории.

Прямолинейное движение. Если a_n=0, то точка движется прямолинейно, так как при a_n=²/=0 направление скорости остается неизменным, а это возможно лишь при движении точки по прямолинейной траектории (равенство ²/=0 возможно лишь при  =).

Равномерное движение. Если a_t=0, то движение точки называется равномерным, так как при этом числовое значение (модуль) скорости остается постоянным. Значит, при a_t =0 =const. Получаем уравнение равномерного движения

s=s_o+ t (2.8)

Если at=0 и an=0, то движение точки называется равномерным прямолинейным. Если at=0 и an0, то точка движется равномерно по криволинейной траектории.

^ Равнопеременное движение. Если a_t = d /dt =const, то движение точки называется равнопеременным. Уравнение равнопеременного движения точки:

s= s_o+₀ t + a_t t² /2 (2.9)

Примерами равноускоренного движения точки, начинающегося из начала отсчета траектории и без начальной скорости, могут служить движение автомобиля при трогании с места или движение самолета на взлетной полосе, а также известное из физики свободное падение тел.

Описанные выше движения точки, как при решении задач, так и просто ради большей наглядности целесообразно изображать в виде графиков расстояний, скоростей и касательных ускорений, построенных в осях (t, s), (t, ) и (t, a_t) с соблюдением соответствующих масштабов.

На рисунке 2.1. изображены графики равнопеременного движения. Геометрический образ уравнения движения s(t) есть парабола, изменение скорости точки (t) изображено прямой с начальной ординатой ₀, а постоянное касательное ускорение a_t(t) изображено прямой, параллельной оси времени.


Рис.2.1. Кинематические графики равнопеременного движения точки.


График расстояний не следует отождествлять с траекторией движения точки: при равномерном движении точки график расстояний всегда прямая линия, тогда как точка может двигаться по какой угодно криволинейной траектории.

На графике расстояний s(t) можно показать положение точки в заданные моменты времени; в моменты времени, когда точка находится на определенном расстоянии; в моменты времени, когда расстояние минимально или максимально. В примере 2.1 приведены варианты определения положения точки с использованием встроенных функций МathCAD.


Пример 2.1.

Определение положения точки.

В заданные моменты времени t=tz положение точки определяется по уравнению движения точки:



Моменты времени (t₁, t₂), в которые точка находится на заданном расстоянии h, определяются с использованием встроенной функции root для решения нелинейных уравнений:




При прямолинейном движении по экспериментальным данным t_i и x(t_i) можно найти положение точки, когда расстояние x(t_i) будет максимальным или минимальным. При этом определяется величина этого расстояния (max(x), min(x)) и моменты времени (Tmax, Tmin), когда она максимальна или минимальна:




Результаты определения положения точки при разных условиях отражены на графике (рис.2.2.):

Рис. 2.2. Положение точки на графике расстояний.


На графике расстояний можно также построить вектор скорости в заданный момент времени. Длина вектора определяется модулем скорости точки в данный момент времени, а направление вектора определяется знаком скорости. Пример 2.2. иллюстрирует построение векторов скоростей в заданные моменты времени в среде MathCAD.


Пример 2.2.

Построение вектора скорости в заданные моменты времени.
^

Определим длину вектора скорости в момент времени t=t0:

Угол наклона вектора скорости α в данный момент времени к оси абсцисс определяется из условия: tg(α)=Δs/Δt – тангенс угла наклона касательной является производной от функции S(t), то есть определяется скоростью в данный момент времени:



Уравнение прямой, проходящей через точку (t0, S(t0)), будет иметь вид:



Длина вектора скорости на графике определяется приращением времени Δt. Конец вектора соответствует абсциссе tk.



На графике расстояний построены векторы в моменты времени t0 и t1:

Рис. 2.3. Построение векторов скоростей

на графике расстояний

Проанализируем построенные выше векторы скорости. Рассматривая график, видим, что в момент времени t=t0 (t0=0.3 c) вектор скорости положительный (вектор направлен вправо, υ(t0)>0), модуль его равен /υ(t0)/=1. В момент времени t=t1 (t1=1 c) вектор скорости отрицательный (вектор направлен влево, υ(t1)<0), модуль его равен /υ(t1)/=0.4.

Сопоставив полученные результаты с анализом кинематических графиков, приведенных ниже, убедимся в правильности сделанных выводов.

Рис. 2.4. Кинематические графики движения точки.


При рассмотрении кинематических графиков (рис. 2.4.), можно сделать вывод, что в течение времени от 0 до 0.8 секунд точка движется равнозамедленно (скорость и ускорение в течение этого промежутка времени имеют разные знаки, значит, их векторы направлены в противоположные стороны). В период времени от 0.8 до 1.6 секунд точка движется равноускоренно (скорость и ускорение имеют одинаковые знаки, то есть их векторы направлены в одну сторону).

Анализируя график расстояний, видим, что за 1.6 секунды точка прошла путь S=2*(Smax-S(0)) метров, где Smax – максимальная величина расстояния, S(0) – расстояние в момент начала отсчета. Начав движение со скоростью υ(0), точка за первые 0.8 секунды по прямой прошла (Smax-S(0)) метра, а затем вернулась в исходное положение, имея ту же скорость, но направленную в противоположную сторону.

Примером такого движения можно считать движение материальной точки (например, камня), брошенного вертикально вверх со скоростью υ(0).


Литература.

1. Володин В.М., Бутусов О.Б., Добролюбов Г.В.
   

Автоматизация и программирование инженерных задач средствами Маткада: Учебное пособие. – М.: МГУИЭ, 2000. - 188 с., ил.

2. Хергаргер М., Партоль Х.
   

MathCAD 2000: полное руководство. Пер. с нем. – К.: Издательская группа BHV, 2000. – 416 с.

3. Очков В.Ф.
   

MathCAD PLUS 6.0 для студентов и инженеров. – М.: ТОО фирма «Компьютер Пресс», 1996. – 238 с.,ил.

4. Дьяконов В.П.
   

Справочник по MathCAD PLUS 6.0 PRO. – М.: «СК Пресс», 1997. – 336 с.

5. Аркуша А.И.
   

Техническая механика: Теоретическая механика и сопротивление материалов: Учеб. для машиностр. спец. Техникумов. – 2-е изд., доп. – М.: Высш. шк., 1989. – 352 с., ил.

6. Тарг С.М.

Краткий курс теоретической механики: Учеб. Для втузов. – 10-е изд., перераб. и доп. – М.:Высш. шк., 1986. – 416 с., ил.