Назначение фильтров и их место в измерительной системе

Вид материала

Содержание

RC фильтр и его дискретный аналог
Фильтрация с восстановлением
Построение процедуры восстановления.
О проблеме оптимальной настройки фильтрации с восстановлением.

Подобный материал:

Назначение фильтров и их место в измерительной системе

Целью построения информационно-управляющих систем является получение достоверной информации о текущих значениях параметров объекта контроля или управления. Наилучшей может считаться такая идеальная информационная система, у которой показания Х₁(t),…,X_n(t) точно соответствуют состоянию измеряемых параметров Y₁(t),…, Y_n(t) в каждый момент времени (Рис. 1.).

Как всегда, идеальная система на практике не осуществима и является примером абстрактного понятия. В реальных системах всегда имеется несоответствие текущих показаний Х(t) и действительного состояния объекта Y(t) т.е.:

Х(t) ≠ Y(t) (1)

Основные причины несоответствия известны. Это погрешности измерительной системы, ее влияние на объект контроля и еще помехи, возникающие в процессе передачи и преобразования информационных сигналов.

При разработке ИС всегда преследуется цель свести к минимуму несоответствие между действительным значением Y(t) и результатом измерения Х(t), т.е.

(2)

Одним из подходов к достижению этой цели является применение фильтров. Их непосредственной задачей является избирательное подавление помех в измеряемом сигнале, что осуществимо при наличии хотя бы одного признака или свойства, по которому сигнал помехи можно отличить от информационного (полезного) сигнала. Природа этого признака и его особенности определяют устройство и принцип действия фильтра, применяемого в каждом конкретном случае.

При использовании фильтров ИС выдаёт получателю информации фильтрованные сигналы Fх(t) (Рис. 2.).

Применение фильтров (Ф) может считаться оправданным, если оно уменьшает несоответствие между действительными и измеренными значениями параметров, т.е. повышается достоверность получаемой информации:

(3)

В случае невыполнения условия (3) применение фильтров в измерительных системах теряет смысл.

RC фильтр и его дискретный аналог

Возможности современной микропроцессорной техники позволяют реализовывать разнообразные дискретные (цифровые) фильтры в виде логических и вычислительных процедур. Практически все известные аналоговые фильтры осуществимы в цифровом варианте.

Рассмотрим реализацию дискретного, фильтра являющегося аналогом широко известного RC-фильтра первого порядка (Рис. 3.).

Напомним, что это фильтр нижних частот. Он используется в тех случаях, когда полезный сигнал отличается от помех по частотному спектру. А именно, когда нижняя граница спектра действующих помех численно превосходит значение верхней границы спектра полезного сигнала. Подобная ситуация встречается на практике достаточно часто.

Дискретным аналогом непрерывного RC фильтра может считаться такой цифровой фильтр, который при одинаковом входном сигнале произвольного вида X(t) формирует на выходе сигнал, точно совпадающий в дискретные моменты времени

с выходным сигналом RC фильтра. Имеется в виду, что j - фиксированный временной интервал (шаг дискретизации по времени), i = 0, 1, 2, 3…- порядковый номер шага.

Данное определение поясняется рисунком 4. Х(t) – сигнал, поданный на входы фильтров. Fx(t) – сигнал на выходе непрерывного RC фильтра. Fx_i–дискретные значения на выходе цифрового фильтра-аналога. Выполняется условие: Fx(i·j) = Fx_i , где i = 0, 1, 2, …

Цифровые измерительные системы обновляют результаты измерения с установленной периодичностью, т.е. они дискретны во времени. В быстродействующих микропроцессорных ИС величина шага дискретизации j обычно бывает малой. Конкретная величина шага зависит от многих факторов. Например, от быстродействия используемых аналого-цифровых преобразователей, или от времени обработки предыдущей информации и т.д. При малых значениях j непрерывная функция Х(t) с высокой степенью точности представима в виде кусочно-постоянной функции Х(i·j), которая совпадает с функцией X(t) в дискретные моменты времени:

t_i = j·i , i = 0, 1, 2, 3, … (4)

Такое представление позволяет упростить аналитическое исследование сигнала, получаемого на выходе непрерывного RC фильтра. Зависимость выходного сигнала Fх(t) у аналогового RC фильтра от сигнала на входе X(t) описывается линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

, (5)

где T = RC – постоянная времени фильтра.

Поведение функции Fx(t) на произвольно взятом i-ом интервале времени длительностью j определяется решением уравнения (5) с правой частью

Х(t) = X_i (6)

и начальным условием, соответствующим состоянию выхода фильтра в конце предыдущего, (i-1)-го интервала времени:

Fx(0) = Fx_i_-1 (7)

Это решение имеет следующий вид [1]:

(8)

Оно справедливо на каждом i–ом отрезке t

[0; j], равном длительности временного интервала.

Дискретный аналог рассматриваемого RC фильтра должен в момент выдачи информации, т.е. при t = j, иметь на выходе такое же значение фильтрованного сигнала Fx_i, как и RC фильтр. Математическая запись этого условия имеет вид:

(9)

Формула (9) представляет собой соотношение, которому обязан удовлетворять дискретный фильтр, если он эквивалентен исходному RC фильтру. Соотношение (9) является ключевым для реализации дискретного фильтра в виде вычислительной процедуры в микропроцессорном устройстве. Из него следует, что для определения значения сигнала на выходе дискретного фильтра в текущий (j·i)-й момент времени необходимо:

а) зарегистрировать состояние сигнала X_i на входе фильтра в текущий (j·i)-й момент времени;

б) иметь в памяти значение фильтрованного сигнала Fx_i_-1в конце предыдущего интервала времени;

в) произвести вычисление Fx_i по формуле (9) и выдать в качестве текущего результата измерения;

г) занести рассчитанное значение Fx_j в память вместо ранее хранимого Fx_i_-1, так как оно понадобится при вычислении очередного Fx_i₊₁ значения фильтрованного сигнала.

Величины j и T в выражении (9) являются параметрами дискретного фильтра. Они имеют достаточно ясный физический смысл. T- это постоянная времени фильтра (полная аналогия с непрерывным RC фильтром), j – период обновления информации на выходе дискретного фильтра. Параметр j у аналогового (непрерывного) фильтра отсутствует. Для дискретного фильтра он имеет существенное значение и определяет некоторые из его свойств.

Для большинства дискретных фильтров, используемых на практике, период j значительно меньше постоянной времени T, то есть имеет место соотношение

(10)

При условии (10) экспонента

с достаточной точностью описывается двумя членами разложения в степенной ряд (Мак-Лорена).

(11)

Это позволяет упростить запись формулы (9)

(12)

Вычислительному устройству, реализующему дискретный фильтр по упрощенному соотношению (12), не нужно уметь вычислять экспоненциальную функцию.

Содержательный смысл вычислительной процедуры (12) можно сформулировать примерно так: - текущее фильтрованное значение сигнала Fx_i складывается из значения Fx_i_-1, которое было на выходе фильтра на предыдущем шаге, и уменьшенной в (T/j) раз разности между тем, что сейчас поступает на вход фильтра (X_i) и тем, что было на его выходе шаг назад (Fx_i_-1).

Если ввести обозначение

Q = T/j , (13)

то формула (12), описывающая цифровой аналог RC фильтра, примет окончательный вид:

(14)

Величину Q условимся называть степенью фильтрации.

Входной сигнал, считываемый в дискретные моменты t_i= j·i, включает в себя информационный сигнал – Х_и(ji) и помеху – Х_п(ji). Если обозначить процедуру вычисления по формуле (14), через линейный оператор Ф, то процесс фильтрации можно представить таким образом:

Fx(ji) = Ф( Х(ji) ) = Ф( Х_и(ji)+Х_п(ji) ) = Fx_и(ji) + Fx_п(ji) (15)

Задача фильтра состоит в том, чтобы максимально подавить помехи – Х_п и при этом минимально исказить полезный информационный сигнал X_и. В этом смысле идеальным является фильтр, который обеспечивает:

Ф( Х_и(ji) ) =Fx_и(ji) = Х_и(ji) (16)

Ф( Х_п(ji) ) =Fx_п(ji) = 0 (17)

На выходе идеального фильтра при условиях (16) и (17) получается сигнал, точно соответствующий информационному (полезному) сигналу:

Fx(ji) = Х_и(ji) (18)

Дискретный фильтр (14) не является идеальным и не обладает способностями (16) и (17). Поэтому результат фильтрации не совпадет с полезным сигналом:

Fx(ji)

Х_и(ji) (19)

Тем не менее, если сигнал после фильтрации становится более близким к информационному сигналу, чем до фильтрации, то есть повод говорить об эффективности фильтра.

Распространённой мерой близости двух произвольных функций U₁(t) и U₂(t) на интервале времени [t₁;t₂] является квадратичный функционал:

(20)

Для функций, определенных дискретными значениями U₁(ji) и U₂(ji), аналогом меры (20) является конечная сумма:

, (21)

где К – округлённое до целого значения отношение (t₂ – t₁) / j

Пользуясь мерой (21), можно оценить:

а) на сколько исходный сигнал Х(ji) отличается от информационного (полезного) сигнала Х_и(ji):

(22)

б) на сколько фильтрованный сигнал Fx(ji) отличается от информационного X_и(ji):

(23)

Эффективность фильтра можно характеризовать отношением

Р_F = I₁/ I₂ (24)

Оно показывает во сколько раз сигнал, прошедший фильтрацию, точнее соответствует информационному сигналу, чем до фильтрации. Очевидно, что фильтр становится результативным, если показатель Р_F> 1.

В общем случае величина показателя Р_F зависит от следующих факторов:

свойств (спектрального состава) информационного сигнала;
свойств (спектрального состава) сигнала помехи;
качества настройки фильтра.

Наибольшая эффективность фильтрации сигналов с конкретными свойствами достигается в случае оптимальной настройки фильтров.

Фильтрация с восстановлением

Выполняя свое предназначение, ФНЧ зачастую искажают и сам полезный сигнал. Это бывает особенно заметно, когда частотный спектр помехи мало отличается от спектра информационного сигнала.

Желательно вернуть искаженному фильтрацией полезному сигналу его первоначальный вид. Для этого нужна своего рода восстанавливающая процедура.

Такая процедура окажется оправданной только в том случае, если восстановление полезного низкочастотного сигнала не будет сопровождаться равноценным восстановлением подавленных фильтрацией высокочастотных помех. В идеале восстановление помех должно отсутствовать. А в действительности сводиться к минимуму.

Предполагается, что процесс преобразования сигнала в ходе фильтрации с восстановлением будет состоять из двух этапов. На первом этапе исходный сигнал Х(t) подвергается обычной фильтрации (операция Ф), которая обязана подавить в требуемой степени высокочастотную помеху, а на втором этапе фильтрованный сигнал Fx(t) проходит операцию избирательного восстановления (В), выправляющую искажения полезного низкочастотного сигнала.

Обе процедуры – фильтрации и восстановления должны избирательно воздействовать на полезный сигнал и помехи. Избирательность возможна только при наличии хотя бы одного отличительного признака. Таковым является несовпадение частотных спектров полезного сигнала и помех. И он единственный, других нет. Поэтому придется использовать его дважды. Сначала при фильтрации (операцией Ф), а затем при восстановлении (операцией В).

Построение процедуры восстановления.

Естественно предположить, что процедура восстановления должна быть обратной процедуре фильтрации. Из этого сразу следует, что у каждого фильтра нижних частот, характеризующегося своим оператором фильтрации Ф(p), будет своя, индивидуальная процедура восстановления с оператором В(р), удовлетворяющим условию:

(25)

Рассмотрим возможность построения процедуры восстановления для распространенного на практике фильтра нижних частот в виде RC-цепочки.

Передаточная функция RC-фильтра первого порядка имеет вид:

, (26)

где T = R∙C – постоянная времени фильтра.

Согласно (25), процедуру восстановления определяет обратный оператор:

(27)

Восстановленный сигнал является результатом воздействия оператора В(р) на фильтрованный сигнал:

(28)

Чтобы в выражении (28) перейти от трансформант Лапласа к оригиналам (функциям времени), следует вспомнить правило:

(29)

В результате получается

(30)

Равенство (30) указывает, что восстановленный сигнал Xв(t) отличается от фильтрованного Fx(t) на величину, равную произведению производной фильтрованного сигнала на постоянную времени фильтра Т. Именно эта «добавка» к Fx(t) и создает эффект восстановления.

Таким образом, чтобы осуществлять процедуру восстановления сигнала после фильтрации, необходимо знать величину производной dFx/dt в текущий момент времени, умножить ее на известную постоянную Т и алгебраически просуммировать результат с текущим значением фильтрованного сигнала.

Наличие памяти у микропроцессорных контроллеров позволяет помнить предысторию фильтрованного сигнала Fx(t) за некоторый предшествующий период

. Это делает возможной численную оценку производной фильтрованного сигнала dFx/dt каким-либо из известных методов. Вычислительные действия для микропроцессоров естественны. Следовательно, в цифровых контроллерах процедура восстановления является вполне осуществимой.

Если предположить, что численная оценка производной dFx/dt в процедуре восстановления выполняется совершенно точно, тогда исходный сигнал будет воспроизводиться полностью. Целиком восстановятся оба его компонента - и полезный сигнал, и помеха. Последнее противоречит основной цели – избавиться от помехи. Процедура восстановления лишается практического смысла.

Очевидно, что необходимо подобрать такой способ численной оценки производной, который обладал бы избирательными свойствами по отношению к истинному сигналу и помехе. Идеальным можно считать такой вариант, при котором оценка производной полезного (низкочастотного) сигнала была бы точной, а оценка производной высокочастотной помехи была бы нулевой. Тогда полезный сигнал восстанавливался бы полностью, а помеха не восстанавливалась бы совсем.

Идеальный вариант на практике, как всегда, неосуществим. Однако, при определенных условиях известные методы численной оценки производной могут стать приближением к идеалу и способны наделить процедуру восстановления желаемыми свойствами. Примером может служить простейший конечно-разностный способ оценки, который иллюстрируется рисунком 5.

Способ предусматривает расчет производной по двум значениям функции, зафиксированным через известный промежуток времени

. Конечно-разностная оценка производной функции Fx(t) в точке t₀ определяется по формуле:

(31)

Верхняя черта в выражении (31) указывает, что это приближенная расчетная оценка производной, а не ее действительное значение, которое равно тангенсу угла наклона касательной к функции Fx(t) в точке t₀, т. е.tgβ:

Очевидно, что в общем случае

численно не совпадают. Разность между ними характеризует погрешность конечно-разностной оценки производной:

(32)

Восстановление полезного сигнала будет тем точнее, чем меньше погрешность оценки его производной после фильтрации. Величина погрешности ε(t) зависит от выбора величины интервала усреднения ∆. Очевидно, что ε(t) снижается при уменьшении ∆.

Из этого следует первая рекомендация по выбору интервала ∆:

для качественного восстановления полезного сигнала следует стремиться к сокращению интервала усреднения ∆.

С другой стороны, чтобы свести к минимуму восстановление фильтрованной помехи Fx^п(t) конечно-разностная оценка производной должна давать близкий к нулю результат на высокочастотном сигнале. Ситуация поясняется рисунком 6. Ее специфика в том, что интервал усреднения ∆ значительно превосходит средний период высокочастотной помехи.

Точная производная функции Fx^п(t) в момент t₀ равна tgγ. Конечно-разностная оценка производной равна:

(33) .

На рисунке 6 видно, что оценка (33) тем сильнее стремится к нулю, чем больше величина

. Из этого следует вторая рекомендация по выбору интервала

для минимального восстановления высокочастотной помехи предпочтителен интервал усреднения наибольшей допустимой величины.

Очевидно, что первая и вторая рекомендации противоречат друг другу. Это дает основание предположить, что существует такое компромиссное значение

, при котором конечно-разностная оценка производной фильтрованного сигнала обеспечивает слабое воспроизведение высокочастотной помехи и достаточно полное восстановление полезного (информационного) сигнала.

Аналоговый ФНЧ в виде RC-цепочки имеет один параметр настройки – постоянную времени Т. У цифрового аналога RC-фильтра таких параметров два – постоянная времени Т и шаг дискретизации по времени j. Рассматриваемая цифровая фильтрация с восстановлением является процедурой, имеющей три параметра настройки. К прежним параметрам T и j еще добавляется интервал усреднения

. Эффективность фильтрации с восстановлением зависит от выбора значений Т, j и

. Наибольшая эффективность достигается при оптимальных параметрах.

О проблеме оптимальной настройки фильтрации с восстановлением.

Предполагается, что исходный сигнал X(t) представляет собой совокупность информационного (полезного) сигнала и высокочастотной помехи:

Х(t) = Х^и(t) + Х^п(t) , (34)

то после первого этапа (фильтрации) он превращается в фильтрованный сигнал:

Fx(t) = Fx^и(t) + Fx^п(t) (35)

Главной целью первого этапа ставится радикальное подавление помехи:

Fx^п(t)→0 (36)

При этом допустимо существенное искажение полезного сигнала, т.к. далее последует второй этап – восстановление. Его содержание раскрывает соотношение (30), которое можно представить подробнее:

Хв(t) = T·

Fx(t) + Fx(t) = T·

[Fx^и(t) + Fx^п(t)] + Fx^и(t) + Fx^п(t) =

T·

Fx^и(t) + T·

Fx^п(t) + Fx^и(t) + Fx^п(t) (37)

Как уже отмечалось, конечно-разностная оценка низкочастотного сигнала имеет неизбежную погрешность

(t):

Fx^и(t) =

Fx^и(t) ±

(t) (38)

Для высокочастотной помехи конечно-разностная оценка производной дает близкий к нулю результат с точностью до величины β(t):

Fx^п(t) = 0 ± β(t) (39)

Подстановка конечно-разностных оценок (38) и (39) в выражение (37) приводит к следующему результату:

Хв(t) = T· (

Fx^и(t) ±

(t)) + Т· (0 ± β(t)) + Fx^и(t) + Fx^п(t) =

T·

Fx^и(t) ± Т·

(t) ± Т·β (t) + Fx^и(t) + Fx^п(t) (40)

Согласно соотношению (30) сумма T·

Fx^и(t) + Fx^и(t) в выражении (40) дает точно восстановленный информационный (полезный) сигнал, т.е.:

T·

Fx^и(t) + Fx^и(t) = Х^и(t) (41)

С учетом (41) выражение для восстановленного сигнала принимает удобный для анализа вид:

Хв(t) = Х^и(t) ± Т·

(t) ± Т·β (t) + Fx^п(t) (42)

Идеальным результатом фильтрации с восстановлением было бы получение точного информационного сигнала:

Хв(t) = Х^и(t) (43)

По естественным причинам реальный (42) и идеальный (43) результаты не совпадают. Разница между ними определяет объективную погрешность (ошибку) процедуры фильтрации с восстановлением. Согласно (42) она равна алгебраической сумме трех слагаемых:

Error = ± Т·

(t) ± Т·β (t) + Fx^п(t) (44)

Действие фильтрации с восстановлением тем эффективнее, чем меньше величина ошибки (44).

Постоянная времени фильтра Т входит в первые два слагаемых выражения (44) в виде сомножителя. Однако вывод, что предпочтителен выбор минимального Т, будет поспешным, поскольку при малом Т слабеет подавление помехи. А это означает увеличение третьего слагаемого Fx^п(t) в формуле (44).

(t) и β(t) - это погрешности конечно-разностной оценки производной фильтрованного полезного сигнала Fx^и(t) и помехи Fx^п(t). Минимизация погрешностей

(t) и β(t) приводит к противоречивым рекомендациям по выбору размера интервала усреднения

. Кроме того, на выбор настроек фильтра влияет также специфика частотных спектров полезного сигнала и помехи.

Таким образом, зависимость погрешности фильтрации с восстановлением от параметров настройки Т и

имеет достаточно сложный характер. Определение оптимальных значений Т^опт и

^опт, при которых погрешность минимальна, т. е.:

Error (Т^опт,

^опт) =

Error (Т,

), (45)

является задачей поиска минимума функции двух переменных.

Для оценки эффективности фильтрации с восстановлением можно использовать традиционные показатели (22), (23), (24).

Blog

Назначение фильтров и их место в измерительной системе

Содержание

Назначение фильтров и их место в измерительной системе