Geum.ru

Алгебра высказываний

Вид материалаДокументы

Содержание


ИНВЕРСИЯ (отрицание)
ЭКВИВАЛЕНЦИЯ (равнозначность)
Логические операции имеют следующий приоритет
Алгоритм определения набора входных переменных
Подобный материал:
Алгебра высказываний


Логическая операция
Обозначения
Таблица истинности
Диаграмма Эйлера-Венна

в естественном языке
в алгебре высказываний обозначение
в языках программирования обозначение

КОНЪЮНКЦИЯ

(логическое умножение):

- это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны.
и
&, Λ
And

А

В

А&В

0

0

0

0

1

0

1

0

0

1

1

1



  В алгебре множеств конъюнкции соответствует операция пересечения множеств, т.е. множеству получившемуся в результате умножения множеств А и В соответствует множество, состоящее из элементов, принадлежащих одновременно двум множествам.


ДИЗЪЮНКЦИЯ

(логическое сложение)

- это логическая операция, которая каждым двум простым высказываниям ставит в соответствие составное высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания ложны и истинным, когда хотя бы одно из двух образующих его высказываний истинно.


или

Or

А

В

АВ

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

1



В алгебре множеств дизъюнкции соответствует операция объединения множеств, т.е. множеству получившемуся в результате сложения множеств А и В соответствует множество, состоящее из элементов, принадлежащих либо множеству А, либо множеству В.

ИНВЕРСИЯ (отрицание):

- это логическая операция, которая каждому простому высказыванию ставит в соответствие составное высказывание, заключающееся в том, что исходное высказывание отрицается.


неверно, что... и частице не;
, ¬
Not;

A



0

1

1

0



В алгебре множеств логическому отрицанию соответствует операция дополнения до универсального множества, т.е. множеству получившемуся в результате отрицания множества А соответствует множество , дополняющее его до универсального множества.

ИМПЛИКАЦИЯ

(логическое следование):

-это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда условие (первое высказывание) истинно, а следствие (второе высказывание) ложно.

 
если ...,

то ...;
.




А

В

А    В

0

0

1

0

1

1

1

0

0

1

1

1






ЭКВИВАЛЕНЦИЯ (равнозначность):

– это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания одновременно истинны или одновременно ложны.

тогда и только тогда; в том и только в том случае;
, ~ , ≡.




А

В

А    В

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

1






  

Логические операции имеют следующий приоритет:

действия в скобках, инверсия, &,  ,  ,  .


Алгоритм построения таблицы истинности

  1. подсчитать количество переменных n в логическом выражении;
  2. определить число строк в таблице, которое равно m= 2n;
  3. подсчитать количество логических операций в логическом выражении и определить количество столбцов в таблице, которое равно количеству переменных плюс количество операций;
  4. ввести название столбцов таблицы в соответствии с последовательностью выполнения логических операций с учетом скобок и приоритетов;
  5. заполнить столбцы входных переменных наборами значений;
  6. провести заполнение таблицы истинности по столбцам, выполняя логические операции в соответствии с установленной в п,4 последовательностью.



Алгоритм определения набора входных переменных




  1. разделить колонку значений первой переменной пополам и заполнить верхнюю часть колонки нулями, а нижнюю единицами;
  2. разделить колонку значений второй переменной на четыре части и заполнить каждую четверть чередующимися группами нулей и единиц, начиная с группы нулей;
  3. продолжит деление колонок значений последующих переменных на 8, 16 и т.д. частей и заполнение их группами нулей или единиц до тех пор, пока группа нулей и единиц не будет состоять из одного символа.



Пример

Для формулы A&(B&) построить таблицу истинности.


Количество логических переменных 3, следовательно, количество строк - 23 = 8.

Количество логических операций в формуле 5, количество логических переменных 3, следовательно количество столбцов - 3 + 5 = 8.


A
B
C




&

B &
A&(B &)

0
0
0
1
1
1
1
0

0
0
1
1
0
0
0
0

0
1
0
0
1
0
1
0

0
1
1
0
0
0
1
0

1
0
0
1
1
1
1
1

1
0
1
1
0
0
0
0

1
1
0
0
1
0
1
1

1
1
1
0
0
0
1
1