Вступление: Можете использовать эти доказательства и определения как хотите, они предоставляются по принципу «as is»… т е

Вид материала

Содержание

Конечные поля
Примечание: Такая конструкция будет полем вычетов тогда и только тогда, когда p – простое (в противном случае возникают делители

Подобный материал:

ü ссылка скрытаustworks.ru/vmk

Вступление: Можете использовать эти доказательства и определения как хотите, они предоставляются по принципу «as is»… т.е. никакой ответственности за их 100%ю правильность нет, ибо они не очень просты и я умею ошибаться…Соответственно, приветствуются вопросы и поправки… ICQ: 411-928-384

Поля

Необходимые определения:

1. Поле – кольцо, являющееся группой по умножению. (Пример: {R,+,*})

2. Если F₂ подмножество F₁, то F₁ – расширение F₂ (Записывается: F₁ = F₂(M), где множество добавленное к F₁ для получению F₂)

3. Раcширение поля F простое, если оно получается добавлением одного элемента (это НЕ значит «числа», элементом может быть все что угодно, в том числе, какая то линейная комбинация чисел)

Простое расширение можно представить себе следующим образом:

F(∂) = {a₀+a₁∂+a₂∂²+…|a_i из F}

4. Минимальный многочлен для ∂ над F – многочлен наименьшей степени, корнем которого является ∂

5. Многочлен неприводим над F, если он не раскладывается в произведение 2-х сомножителей многочленов (как минимум первой степени)

Маленькая лемма, которую я посчитал нужным доказать отдельно от теоремы.

Лемма: Пусть g(x) минимальный многочлен для α в поле F, α не принадлежит F, тогда g(x) не приводим над F

Доказательство:

Пусть g(x) приводим над F, тогда g(x) = f(x)*s(x) где α корень либо f(x) либо s(x) (ведь это же корень g(x)). Из того, что степени f(x) и g(x) меньше, чем g(x) мы получаем новый многочлен, степени меньшей, чем g(x) корнем которого является α, что противоречит тому, что g(x) – минимальный многочлен.

Теорема: Всякое конечное алгебраическое расширение является простым

Дано: F(α, β)

Доказать: Существует ∂ из F(α, β), такое что F(∂) = F(α, β)

Доказательство:

Пусть g(x) и f(x) минимальные многочлены над F для α и β соответственно.

α₁ … α_n – корни g(x)

β₁ … β_m – корни f(x)

Пусть для определенности α₁ = α и β₁ = β

f(x) и g(x) взаимно просты над F, т.к. g(x) неприводим над F (по лемме)

Найдем в F такое c, что α_i + c*β_j ≠ α₁ + c*β₁ для всех пар (i, j) отличных от (1, 1)

Возьмем из F(α, β) ∂ = α + c * β.

f(x) имеет корнем β

g(∂ - c*x) имеет корнем β (т.к. ∂ - c * β = α, а α – его корень)

Заметим, что f(x) и g(x) многочлены коэффициенты, которых принадлежат F(∂) (g(x) можно упростить до такого многочлена, возведя все в нужные степени и приведя подобные слагаемые).

Имеем НОД(f(x), g(∂ - c*x)) = x – β. (над F(∂))

А здесь делаем заключение: НОД 2-х многочленов над заданным полем будет иметь коэффициенты над тем же полем, т.е. β из F(∂), но и ∂ из F(∂). Следовательно и α (их линейная комбинация) будет находиться в F(∂). А отсюда имеем, что F(α, β) – подмножество F(∂) (т.к. и α и β мы можем найти в F(∂))

Но ∂ = α + c * β (всего лишь их линейная комбинация) и следовательно F(∂) – подмножество F(α, β). Вспомним Прилуцкого (недобрым словом?) и хором скажем: «Тогда F(α. β) = F(∂)»

Вот, собственно, и все…

Конечные поля

Определение: n – характеристика поля, если 1+1+…+1 (n раз) = 0 (n единичных элементов по умножению в сумме дают единичный по сложению)

Утверждение: Если поле имеет конечную характеристику, то она – простое число

Доказательство:

Пусть n – характеристика поля и n = p * q, (p ≠ 0, q ≠ 0), тогда рассмотрим g₁ = (1+1+…+1)_p_раз и g₂ = (1+1+…+1)_q_раз g₁ * g₂ = 0, следовательно g₁ не имеет обратного (чего не может быть)...

(если бы g₁ имел обратный то при умножении нашего равенства g₁ * g₂ = 0 на него слева, получили бы g₂ = 0, что означало бы что q – характеристика поля)

Утверждение: Если поле F имеет характеристику p, то оно содержит поле вычетов по модулю p: Z_p = {0, 1, … p-1}

Доказательство:

Если поле имеет характеристику p, то оно содержит элементы 1, 1+1, 1+1+1, (1+1+…+1)_p_раз = 0, т.е. содержит Z_p = {0, 1, … p-1}. НО: из этого еще не следует что это поле вычетов. То что это именно поле следует из того, что p – простое (по выше доказанному).

Примечание: Такая конструкция будет полем вычетов тогда и только тогда, когда p – простое (в противном случае возникают делители нуля и это будет только кольцо)

Утверждение: Конечное поле имеет порядок p^k, где p – простое число.

Доказательство:

Рассмотрим конечное поле F c характеристикой p. По выше доказанному, оно содержит в себе поле вычетов по модулю p, т.е. Z_p = {0, 1, … p-1}, тогда F – расширение Z_p. Пусть a₁, a₂…a_n – базис надстройки F над Z_p. Тогда каждый элемент из F представим в виде:

a₁ * x₁ + … + a_n * x_n, где x_i из Z_p, т.е. |F| = p^k

Теперь нам предстоит доказать, что такое расширение F существует (т.е. его можно построить). Рассмотрим мультипликативную(т.е. относительно умножения) группу F\{0}.По следствию из т. Лагранжа имеем: x⁽^p^k^)-1 = 1 для любого элемента x из F\{0}. Следовательно, все элементы F\{0} удовлетворяют этому уравнению. Но тогда все элементы F удовлетворяют уравнению: x^p^k = x, т.е. являются корнями многочлена f(x) = x^p^k – x, не нулевые его корни являются корнями g(x) = x⁽^p^k^)-1 – 1.

g

’(x) = (p^k-1)x⁽^p^k^)-2 , тогда g(x) и g’(x) не имеют общих корней, следовательно, различны и все корни многочлена f(x), т.е. наше поле действительно существует и |F| = p^k.

Blog

Вступление: Можете использовать эти доказательства и определения как хотите, они предоставляются по принципу «as is»… т е

Содержание