Geum.ru

Н. Р. Садыков снежинский физико-технический институт нияу мифи, Челябинская обл. Зависимость траектории cпиновых частиц от поляризации задача

Вид материалаЗадача
Подобный материал:

Зависимость траектории cпиновых частиц от поляризации

Н.Р. САДЫКОВ

Снежинский физико-технический институт НИЯУ МИФИ, Челябинская обл.


ЗАВИСИМОСТЬ ТРАЕКТОРИИ CПИНОВЫХ ЧАСТИЦ ОТ ПОЛЯРИЗАЦИИ


Задача определения параметров траектории спиновых частиц и пучка лучей сведена к вариационной задаче с высшими производными. Применительно к диссипативным солитонам оптический эффект Магнуса (ОЭМ) определяется спиральностью  и топологическим индексом m. Установлена связь между ОЭМ и неголономностью поля касательных к траектории единичных векторов. Малые величины кручения и кривизны совместно с поляризацией определяют аналог 4-потенциала в электромагнитном поле. Рассмотрен классический аналог обратного ОЭМ.


В оптике для большого класса задач (см., например, [1]) векторное поле касательных к траектории единичных векторов образует голономное векторное поле [2] (нормальная конгруэнция [1], с. 154), где касательный к траектории единичный вектор. Это приводит к тому, что можно провести к пучку лучей семейство ортогональных поверхностей, пересекающих каждую кривую под прямым углом. Такие ортогональные поверхности отождествляются с волновыми фронтами ([1], с. 812) или волновыми поверхностями ([1], с. 41). Выполнение условия голономности для поля касательных к траектории единичных векторов приводит к тому, что в оптике имеет место инвариант Лагранжа ([1], с. 155). Аналогичная ситуация возникает при движении заряженных частиц в стационарном электрическом поле. В этом случае существует обобщение инварианта Лагранжа ([1], с. 805) (один из инвариантов Пуанкаре). Для таких заряженных частиц электрический потенциал однозначно определяет значение “показателя преломления”, и существует довольно глубокая аналогия с обычной оптикой. Ситуация меняется для заряженной частицы в магнитном поля. При наличии магнитного поля обобщенный импульс содержит векторный потенциал, ротор от которого равен вектору магнитной индукции, что приводит к неголономности касательного к траектории векторного поля (к косой конгруэнции ([1], с. 154)). Но в [3] показано, что учет поляризации в случае электромагнитного излучения приводит к уравнению траектории пучка лучей, аналогичному уравнению движения заряженной частицы в магнитном поле. Полученное уравнение в приближении геометрической оптики описывает оптический эффект Магнуса [3]. Роль “заряда” выполняет топологический заряд (знак циркулярной поляризации излучения), а величина “магнитного поля” будет определяться величиной кривизны траектории. Аналогичная ситуация возникает в случае электрически нейтральной спиновой частицы [4]. Это, в свою очередь, означает, что исследованные в [3] эффекты влияния поляризации на параметры траектории охватывают класс неголономных касательных к траектории векторных полей. При этом выполнение условия неголономности приводит к очень сильных следствиям, а именно: условие неголономности приводит к тому, что нельзя провести к семейству траекторий семейство ортогональных поверхностей (волновых фронтов).

В [3, 4] для спиновых частиц показано, что действие в случае оптического эффекта Магнуса запишется

, (1)

где , , , касательный к траектории единичный вектор, скорость частицы, вектор поляризации частицы с полуцелым спином; крученние траектории, , n – “показатель преломления”. В (1) несмотря на релятивистски инвариантную форму записи будем в дальнейшем подразумевать нерелятивистские скорости, поскольку рассматриваемые поляризационные эффекты в случае релятивистских скоростей малы (см. [4]). В дальнейшем по аналогии с выводом уравнения траектории заряженной частицы из (1) в четырехмерных обозначениях получим

, , (2)

где , , , , интервал трехмерной длины в лабораторной системе координат.

Из (2) получим

, , (3)

где , . Из (3) видно, что во втором уравнении два последних слагаемых в правой части выполняют роль “электрического поля” в случае заряженной частицы.

Систему уравнений (3) можно записать в виде

, . (4)

Из первого уравнения (4) с учетом соотношения следует равенство

, (5)

которое в случае нерелятивистских скоростей и при условии может быть записано в виде


. (6)

В этом случае выполняет как бы роль дополнительной “потенциальной энергии” в стационарном электромагнитном поле.

Для лагранжиана с высшими производными уравнение “движения” имеет вид ([5], с. 688)

. (7)

В работе [11] была получена величина – аналог обобщенного импульса для спиновой частицы

, (8)

где кривизна траектории спиновой частицы. С учетом (8) лагранжиан будем искать в виде . В результате из (7) получим ([5], с. 688)

, . (9)

Если в (8) выразить кривизну через параметры среды , то из (2) можно получить уравнение движения, которое в отличие от (9) не будет содержать последнего слагаемого .

Для вывода уравнения траектории циркулярно поляризованного светового луча нельзя воспользоваться действием в виде (1). Воспользуемся тем, что имеет место теорема ([5], с. 311), в соответствии с которой свет движется по такой кривой, вдоль которой время движения имеет экстремум среди всех гладких кривых, а кривые являются геодезическими новой метрики. В этом случае уравнение движения (уравнение геодезической) запишется

, , (10)

где греческие индексы у тензоров равны 1, 2, 3; .

По аналогии с (2) обобщим уравнение на четырехмерное пространство Минковского с учетом дополнительной 4-силы

, ,

, ). (11)

где , , , , , , , , ; латинские индексы равны 0,1,2,3; , кручение траектории пучка лучей; знак циркулярной поляризации; ; топологический индекс.

Из покомпонентной записи (11) получим систему уравнений

, , (12)

где , .

При из первого уравнения (12) получим

. (13)

Соотношение (13) для циркулярно поляризованного излучения перекликается с (6).

Возникает вопрос, существует ли классический аналог рассмотренных в работе эффектов? Последняя постановка задачи позволяет лучше уяснить физическую суть поляризационных эффектов. Покажем, что аналогичный эффект существует. Пусть удлиненная частица с цилиндрической геометрией, радиус которого практически совпадает с радиусом цилиндра, движется без трения по желобу и вращается с угловой скоростью вокруг оси симметрии. Радиус длина тела удовлетворяют условию , кручение желоба в рассматриваемой точке. Запишем лагранжиан в геликоидальной системе координат [6] (покоится относительно трехгранника Френе). Данная система координат вращается относительно абсолютно неподвижной системы координат с угловой скоростью , где скорость центра массы тела. Лагранжиан в тороидальной системе координат запишется

, (14)

где масса тела, орбитальный момент тела, момент инерции тела.

С учетом соотношения из (14) получим выражение для лагранжиана и обобщенного импульса в геликоидальной системе координат

, , (15)

где касательный к “траектории” тела единичный вектор, . Из (15) следует, что обобщенный импульс в геликоидальной системе координат пропорциональна орбитальному моменту и определяется величиной кручения. Поскольку имеет место , то при переходе от геликоидальной системы координат к абсолютно неподвижной системе координат не будет менять величину обобщенного импульса с точностью до . Нетрудно убедиться, что результат (15) не изменится, если в качестве тела рассмотреть тело в форме шара. В этом случае векторы не параллельны друг другу. Из (15) следует выражение для нулевой компоненты 4-импульса в случае нерелятивистских скоростей

. (16)

Из (16) получим выражение, аналогичное при выражению (6) для спиновой частицы

. (17)

Из (15) и (17) следует, что существует классический аналог рассмотренных заведомо квантовых поляризационных эффектов. Видно, что компоненты 4-импульса зависят от собственного орбитального момента (величины ). Зависимость (15) автоматически означает, что в случае классической частицы будет существовать аналог обратного оптического эффекта Магнуса [6].

Таким образом, задача определения параметров траектории поляризованного пучка лучей сводится к вариационной задаче с высшими производными. Уравнение траектории можно получить из уравнения Эйлера–Лагранжа, либо с помощью аналога преобразований Лежандра привести систему к гамильтоновой форме. В оптическом эффекте Магнуса лагранжиан содержит в качестве переменных производные от обобщенных координат до второго порядка включительно. Оптический эффект Магнуса (векторная часть 4-потенциала) определяется не только спиральностью , но и топологическим индексом m (магнитным квантовым числом). Последнее может проявляться в случае диссипативных солитонов. В случае поляризационных эффектов векторное поле касательных к траекториям единичных векторов не удовлетворяет условию голономности ([2, стр. 11). Это соотношение реализуется в том случае, когда фаза волны (где , амплитуда волны) является полным дифференциалом (градиентной функцией), в результате чего при будет иметь место ([1], с. 154) . Условие является ни чем иным, как инвариантом Лагранжа ([1], с. 155): циркуляция вектора по замкнутому контуру равна нулю. Инвариант Лагранжа является одним из инвариантов Пуанкаре ([1, стр. 805). При выполнении условия голономности в соответствии с теоремой Якоби ([2, с. 10) существует семейство поверхностей, ортогональных полю. Применительно к векторному полю такое семейство поверхностей представляет собой фазовые поверхности (семейство фазовых фронтов). В соответствии с (10) частота циркулярно поляризованного излучения зависит от величины кручения.


СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

  1. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. М.: Наука, 1970.
  2. Аминов Ю.А. Геометрия векторного поля. М.: Наука, 1990.
  3. Садыков Н.Р. // Теорет. и матем. физика. 2006. Т. 149. № 1. С. 65.
  4. Садыков Н.Р. // Теорет. и матем. физика. 2003. Т. 135. № 2. С. 280.
  5. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Методы и приложения. М.: Наука, 1986.
  6. Садыков Н.Р. // Теорет. и матем. физика. 2005. Т. 144. № 3. С. 555.