Geum.ru

Три шедевра человеческого разума

Вид материалаДокументы

Содержание


1. Homo metaphysicum
Подобный материал:

Три шедевра человеческого разума


История человечества есть прежде всего история человеческого разума. Именно это чарующее мироощущение подвигло Гегеля создать величественное здание самопостижения Абсолюта. Философ писал: «Прежде всего мы должны обратить внимание на то обстоятельство, что интересующий нас предмет - всемирная история, - совершается в духовной сфере. Мир обнимает собою физическую и психическую природу; физическая природа также играет некоторую роль во всемирной истории… Но субстанциальным является дух и ход его развития» [1, c.70]. Во введении к «Лекциям по истории философии» Гегель продолжает: «… мировой дух не впадает в равнодушное спокойствие; это его свойство имеет своим основанием простое понятие духа, согласно которому его жизнью является его деяние. Это деяние имеет своей предпосылкой наличие известного материала, на который оно направлено и который оно не только умножает, не только расширяет, прибавляя к нему новый материал, но и существенно обрабатывает, преобразует. Созданное каждым поколением в области науки и духовной деятельности есть наследие, рост которого является результатом сбережений всех предшествовавших поколений, святилище, в котором все человеческие поколения благодарно и радостно поместили все то, что им помогло пройти жизненный путь, что они обрели в глубинах природы и духа… с мыслью дело обстоит так, что, только порождая себя, она себя находит: дело даже обстоит так, что лишь тогда, когда она себя находит, она существует и действительна». Даже атеист будет сотрясен до глубины души, если эстетически вглядится в единство истории. Религиозный же мыслитель увидит в деяниях человеческого разума Lux Aeternus, вечный свет божественного первообраза.

По своей сущности разум обречен мыслить. Столетие за столетием он неустанно создает эйдосы (идеи), конструируя их из изменчивого чувственного материала и собственного наследия. А. Лосев, уточняя данное понятие на античном материале, писал: «Но этот «эйдос», и по Платону, и по Аристотелю, есть не что иное, как видимая и оформленная сущность. Поэтому когда переводят платоновский «эйдос», то переводят его как «идея»; а когда переводят аристотелевский «эйдос», то переводят его как «форма». Однако и филологически, и философски – это одна и та же категория, противоположная бесформенной материи, как нечто видимое и упорядоченное… картинно представляемым планом вещественно-телесного продуцирования, почему для этого и были привлечены термины "идея" или "эйдос", уже по самой своей этимологии (эйдос – древнегреч. "вид") указывавшие на физическое видение» [2]. Здесь мы оставим в стороне вопрос о происхождении и сущности идей и примем феноменологический взгляд на них как на данность.

Некоторые идеи, едва родившись, после кратковременного расцвета увядают и попадают в Лету. Иные эйдосы ведут себя подобно змеям, сбрасывая с себя старую понятийную оболочку, чтобы спустя какое-то время возродиться в новом виде. Есть и такие эйдосы, таящие в себе неисчерпаемую бездну, которые крепчают с каждым поколением философов, жертвующих им все силы. Последние идеи вправе можно назвать шедеврами разума. Их также можно величать «трансцендентальными», поскольку, единожды создав их предельным напряжением сил, разум более не в состоянии совладать с ними – стоящие за ними образы лишь частично улавливаются в сети понятийного аппарата.

В данной статье мы проанализируем особенности рождения трех трансцендентальных эйдосов: бесконечности, Бога и сложности. Они имеют непреходящее значение для соответственно математики, религиозной философии и техницистского мышления.

1. Homo metaphysicum


Вслед за кантоведом С. Катречко [3], постулируем метафизическую интенцию к созданию таких эйдосов внутри трансцендентального субъекта. С одной стороны, указанное стремление (metaphysica naturalis) общее для всех манифестаций трансцендентального субъекта; но с другой, каждая такая манифестация, представляя homo metaphysicum, вполне индивидуальна и субъектна. Поэтому надлежит рассмотреть, какие формы метафизической интенции возможны, и соответственно какие формы homo metaphysicum возможны in concreto. При этом, как мне кажется, особенно полезной оказывается оптика проективно модальных онтологий, развиваемая В. Моисеевым [4].




Рис. 1. Проективная схема трансцендентирующего разума.



Разум, будучи предоставлен самому себе, находит два объекта применения. Во-первых, исследованию могут быть подвергнуты формы и условия его приложения к чему-либо. Такой формальный подход свойственен математике, а если речь заходит об условиях и предпосылках разума (или, чуть сузив, познания/познавания), то мы получаем гносеологию. Во-вторых, исследованию может подлежать мир, Бог, человек и все, что считается реальным; уместно расширить объект исследования до всего того, что человек способен созерцать, то мы получаем философию (без гносеологии). Такое созерцание в отличие от первого рода обладает смысловой направленностью, т.е. объект созерцания чем-то интересен для homo metaphysicum. Последний получает интеллектуальное удовольствие от самого процесса, и объект предстает лишь одним из необходимых условий созерцания. Даже когда речь идет об этике, то, хотя её предмет стоит в непосредственно практической связи с жизнью, но сама этика, в трансцендентальной свой части, условно называемой метаэтикой, сохраняет покой и безмятежность. Иная ситуация складывается, когда разум имеет дело с реальностью не созерцательно, а действенно, стремясь манипулировать и преобразовать последнюю согласно поставленной цели. Здесь человек проявляет себя технически, технологически в контексте создаваемого объекта. В самом простейшем случае мы получаем понятие «проектирование». Если указанный объект, который иронично можно назвать «штуковиной», не столько физичен, сколько идеален, то проектирование предстает перед нами через программирование. Типичные примеры – станок с числовым программным управлением, операционная система Windows. Еще один, более удобный для метафизика пример – написание отчета по гранту или монографии, где востребован талант Архитектора.

Таким образом, мы имеем эпистемологическую, спекулятивную и конструктивную формы метафизической интенции, а в качестве форм homo metaphysicum – математика, философа и архитектора (или системосоздателя). В силу того, что изрядная доля математики, проектирования и даже философии насыщена эмпирическим материалом, вследствие чего «приземлена», не вырывается на трансцендентальный простор, то легко наблюдать громадное число представителей этих дисциплин, не обремененных метафизической интенцией. Но в основаниях этих «наук» лежит улавливаемый интуицией «мета-» трансцендентальный регион, где они сплавлены воедино. Например, трансцендентальная идея красоты принадлежит в первую очередь философии, во вторую очередь – математике (вспомним крылатое «поверить алгеброй гармонию», число золотого сечения), но и в третью очередь – проектированию (внутренняя согласованность частей технической системы и красива, и ведет к эффективности ее эксплуатационных характеристик). Поэтому крупный математик, обладающий metaphysica naturalis, незаметно для себя может от серьезных профессиональных проблем продрейфовать к проблемам, традиционно считающихся философскими. Сходным образом может измениться и оптика его работы; например, при конструировании философской системы применяются все три вида метафизической интенции.

Общность трансцендентального региона может быть косвенно показана на примерах биографий замечательных людей. Великий Лейбниц был способен и создавать исчисление бесконечно малых, и развивать идеи монадологии и теодицеи, и конструировать механическую счетную машину, и выдвигать проекты по народному просвещению для Российской Академии наук. Норберт Винер, начав как профессиональный математик в области расчета траекторий снарядов, закончил как «отец кибернетики», а его последним крупным трудом был «Творец и робот». Название, кстати, многозначительное для тех, кто свысока и брезгливо смотрит на труд инженеров и изобретателей. Академик Борис Раушенбах, будучи профессионалом в области авиастроения, отличился в исследованиях русской иконописи и даже написал трактат по проблеме христианской Троицы. Бертран Рассел был одинаково силен и в математической логике, и в философии. Про Людвига Витгенштейна рассказывают, что в качестве отдыха он занимался работой водопроводчика. Небезызвестный Георг Кантор однажды попросил разрешить ему читать лекции по философии. Платон пострадал за свою попытку осуществить (сконструировать) идеальное государство в Сицилии. Архимед известен и как математик, и как конструктор. Подобных примеров известно множество, и данное проблемное поле заслуживает отдельного исследования со стороны антропологов (например, вопрос – почему переходы из математики в философию случаются гораздо чаще, чем из философии в математику).

2. Бесконечность


В трансцендентальном регионе математики центральную роль играет идея бесконечности. Без нее, как кажется, математика превращается в ремесленничество, окончательно становится служанкой для нужд практиков. Математику можно определить как искусство оперирования с символами, т.е. каждому буквенному обозначению на бумаге приписывается ментальный эйдетический смысл, скрытый подчас от самого математика в дебрях подсознания. В математическом анализе эйдос бесконечности приобретает вид знаков ∞ и lim, в теории множеств он представляется как ω (омега) и  (алеф), последней и первой буквами греческого алфавита.

Сделаем отступление на тему оснований математики. Существует разделение математики в широком смысле на алгебру и геометрию (по способу мышления), что находит глубокие параллели с кантовскими априорными формами чувственного восприятия. Например, М. Атья пишет: «… пространственная интуиция и пространственное восприятие составляют необыкновенно мощное орудие, и вот почему геометрия реально является столь мощной ветвью математики – не только в вещах, явно геометрических, но даже в тех, которые такими не выглядят. Мы пытаемся придать им геометрическую форму… развитие человеческого мозга придало ему такую колоссальную емкость, позволяющую усваивать громадное количество информации за мгновенный зрительный акт… С другой стороны, алгебра существенно связана со временем. Каким бы разделом алгебры вы ни занимались, выполняется последовательность операций – одна за другой, а «одна за другой» означает, что вам пришлось иметь дело со временем. В статичном мире невозможно вообразить себе алгебру… Любой алгоритм, любой процесс вычислений – это последовательность шагов…. Алгебра для геометра – это искушение Фауста… поскольку, начиная алгебраическое вычисление, вы по существу перестаете думать» [5]. Таким образом, мы сталкиваемся с парами «геометр – алгебраист»: Ньютон vs Лейбниц, Пуанкаре vs Гильберт, Кантор vs Кронекер, Фреге vs Бурбаки, Колмогоров vs Марков-младший. Весьма показательна эта дихотомичность, если вглядеться в исчисление высказываний Гильберта и исчисление предикатов Фреге; для алгебраиста Гильберта Х есть просто переменная литера, но для геометра Фреге за Х скрыт некий реальный объект. Смешанные мотивы имеются и в построении самой алгебры; дух алгебраической интуиции породил понятие «сигнатура», но дух геометра заставил ввести на основе сигнатуры понятие «алгебраическая система».

Алгебраист и конструктивист А.А. Марков определял «слово» как «конструктивный объект, получающийся приписыванием к пустому слову справа букв алфавита» [6]; он старался избегать понятия «множество» и определять «слово» как, например, линейно упорядоченное множество. В современной же математической литературе не придерживаются строгости, не видят безвкусицы, например, в выражении «множество всех слов в алфавите». Максимум того, что могут позволить себе конструктивисты, - это признать потенциальную бесконечность в том смысле, что алгоритм может породить слово, превосходящее по длине наперед заданное число. В алфавите {0,1,..9}, таким образом, невозможно записать число «пи», - в лучшем случае получится нечто вроде 3.14159 (если дополнить алфавит вспомогательными знаками, то станет возможным записать рациональные числа). Здесь еще возникает казус, связанный с различными представлениями: 4/11=0.3636…=0.(36) или 4/10=0.4=0.400=0.4(0)=0.3(9). Для конструктивиста 0.4(0) и 0.3(9) будут различными числами. Для получения, например, каждой последующей девятки алгоритму необходимо совершать какие-то шаги – примерно так, как делал каждый знакомящийся с древним парадоксом про Ахиллеса и черепаху. Здесь возникает и солирует абстракция потенциальной осуществимости (по А.А. Маркову). И действительно, как поступали древние атомисты? Они попросту запрещали проводить очередное деление.

И все-таки алгебраисты не столь бессильны перед бесконечностью, сокрытой в иррациональных числах. Как известно, среди последних выделяют алгебраические, определяемые как корни полиномов с целыми коэффициентами. С одной стороны введение радикалов √ решает проблему представления таких чисел, но не полностью. И с другой стороны, для кубических уравнений формула Кардано для неприводимого случая апеллирует к arccos, а для уравнений степени выше или равной 5 вообще показано отсутствие такой формулы с радикалами. Для трансцендентальных чисел е и «пи» ситуация вообще безнадежна; впрочем, число е более рационально, поскольку в представлении через бесконечную цепную дробь наблюдается регулярность арифметической прогрессии в знаменателях. Цепные дроби спасают в случае квадратичных иррациональностей; конструктивист бессилен записать десятичной дробью число «золотого сечения» (√5–1)/2=1+1/(1+1/(1+…)). Хотя в формуле присутствует многоточие, но важнее предсказуемость, алгоритмизируемость следующего знака, что позволяет «приручить» бесконечность.

Бесконечность первого рода, счетное количество 0, возникнет тогда, когда мы перейдем к актуальной бесконечности в лице «множестве всех слов в алфавите» и соответственно внесем элементы геометрии. Легко понять, что для алфавита {0, 1, …9, ., (, )} оно интерпретируется либо как множество всех натуральных чисел, либо как множество всех рациональных на отрезке [0;1] – например, «314» отвечает 314 или 0.314. С математической точки зрения нет разницы между бесконечно малыми и бесконечно большими величинами (ввиду соответствия y=1/x); но содержательно, когда бесконечность трактуется философски, разница между, например, космологией и квантовой механикой ощутима. В теории множеств счетным множествам соответствуют ординалы, причем вводятся они весьма остроумным способом. Единственным символом, который можно было здесь использовать, является Ø – знак пустого множества (пишется без фигурных скобок). Поэтому поступили так: 0*= Ø, 1*={Ø}, 2*={Ø,{Ø}}, 3*={Ø,{Ø},{Ø,{Ø}}} и т.д. в соответствии с принципом индукции (потенциальной осуществимости). Затем получаем актуальную бесконечность в виде ординала ω={0*, 1*, 2*,…}, card(ω)= 01. Существует негативная, на мой взгляд, черта канторовской теории множеств, видная уже на примере натуральных чисел. Для этой теории все равно, что является элементом множества, какими качествами тот обладает – главное, это мощность и соответствие. Так, вместо знака Ø можно было поставить палочку, а семантически считать ее, например, отрезком; как справедливо отмечал В.А.Успенский [7], аксиоматика Пеано, основанная на теории множеств, вводит натуральные числа с точностью для изоморфизма.

Уже для счетной бесконечности возникают неожиданности. Например, как понять, что рациональных чисел на отрезке [0;1] столько же, сколько на отрезке [0;2]? Здесь лучше прибегнуть к геометрическому способу и мысленно отметить межами, как это делается на дорогах, равномерно идущие рациональные числа (допустим с шагом 0.01) на [0;1]. Затем вспомнить о таком свойстве: «Множество рациональных чисел всюду плотно», т.е. между любыми двумя рациональными числами найдется еще одно рациональное число (опять же в силу индукции). Тогда межами отметим и середины этих отрезков. Общее число межей сравнялось с межами на отрезке [0;2] шага 0.01 – мы как бы в оптике смотрим на отрезок [0;2] в разном масштабе. Математики умеют доказать, что рациональных чисел счетное число, а также теорему Кантора о квадрате (она верна и для рациональных чисел). Эта удивительная теорема же утверждает, что единичный квадрат содержит столько же точек, сколько и его сторона. Конструктивное доказательство основано на соответствиях вида 0.154387→ (0.148, 0.537).

Переход к бесконечности второго рода, мощности континуума 1, поясним на примере «множества всех слов». Для конструктивистов длина слова всегда конечна, но вот если разрешить слову иметь бесконечную длину… (например, можно сказать, что хотя человек не может выписать точное значение числа π, то где-то такая запись/слово существует). Тогда количество слов бесконечной длины и будет составлять континуум. Четкий зрительный образ для него, разумеется, отрезок [0;1] или вся числовая ось (что одно и то же в силу отображения y=1/x). В аксиоматике теории множеств Цермело-Френкеля такой переход связан с аксиомой степени и конструкцией булеана: В(Х)≡2Х суть множество всех подмножеств множества Х. Кантор показал, что всегда card(В(Х))>card(X). Более того, конструкция булеана есть единственный2, по-видимому, инструмент в руках математика3 для получения множеств большей мощности. С помощью булеана можно формализовать множество всех вещественнозначных функций вещественного аргумента YВ(), card(Y)=2. Так что не удивительно появление континуум-гипотезы: (XU)(01). Эта гипотеза запрещает множества дробных мощностей; показано, однако, что ее нельзя и доказать, ни опровергнуть.

С 80-х гг. ХХ-го века популярность приобрели фракталы – самоподобные объекты дробной топологической размерности. С конструктивной точки зрения фрактал строится многократным применением одного и того же правила к объекту и его частям; подобная самоприменимость, как известно, приводила к парадоксу лжеца. Рассмотрим пыль Кантора в качестве примера. На начальном шаге из отрезка [0;1] вынимается средняя треть. На следующем шаге из каждой 1/3 также изымается середина. После бесконечного числа шагов получаем фрактал «пыль Кантора», топологическая (хаусдорфова) размерность которого менее 1 (составляет около 0.69). Оказывается, мощность этого множества равна по-прежнему 1.

Единственный приходящий мне на ум пример на бесконечность, который слабо связан с множествами, относится к суммированию рядов (гармонический ряд, сумма геометрической прогрессии или сумма ряда +1-1+1-1+1-…). Что касается теории пределов, то следует отдать должное гению Коши, который сумел избежать актуальной бесконечности. Сам же вопрос «чему равна сумма ряда» не совсем правилен, в действительности ряду мы приписываем некую связь с посторонним, вообще говоря, числом, и какая связь нами постулируется, такое число и получается.

Мы показали, как конструктивно проявляет себя в математике эйдос бесконечности. Он тесно переплетен с множествами. Первичной для образования идеи потенциальной бесконечности является абстракция/интуиция потенциальной осуществимости (или принцип индукции). Для актуальной бесконечности первичное значение имеет интуиция целокупности, поскольку ставшее множество рассматривается как целое. И, разумеется, для образования обоих типов бесконечности необходима интуиция тождества-и-различия (абстракция отождествления, по А.А Маркову). Поясним алгебраическое видение этой интуиции на примере слова «слово» в алфавите {a, б, …, я}. Буквы алфавита есть некий идеальный оригинал, с которого делаются слепки; третья и пятая буква в слове «слово» есть абсолютно точные копии оригинала и равны друг другу, если пренебречь их расположением. Для геометра интуиция тождества необходима, чтобы различать элементы множеств друг от друга. Укажем еще на интересную абстракцию самоприменимости, которая косвенно присоединяется к эйдосу бесконечности. Подробное же изучение выявленных четырех абстракций вывело бы нас за рамки статьи.

3. Бог


В трансцендентальном регионе философии центральным является эйдос Бога, к которому стягивается все остальное. Хотя атеистическая философия и имеет свою историю, однако выразим уверенность, что без религиозной философии атеизм, как философия, был бы невозможен. Буддизм, даосизм и другие восточные учения также обладают эйдосом Бога, правда, только безличностного. Нам же ближе традиционное понимание Запада. Религия по праву может считаться матерью философии, а теология – ее старшей сестрой. Шлейермахер писал: «Религиозное размышление есть лишь непосредственное сознание, что все конечное существует лишь в бесконечном и через него, все временное — в вечном и через него. Искать и находить это вечное и бесконечное во всем, что живет и движется, во всяком росте и изменении, во всяком действии, страдании, и иметь и знать в непосредственном чувстве саму жизнь, лишь как такое бытие в бесконечном и вечном — вот что есть религия... И потому она - жизнь в бесконечной природе целого, во всеедином, в Боге — жизнь, обладающая Богом во всем и всем в Боге» [8].

Обратимся к крылатой фразе, оброненной Кантом в примечании к разделу «Система трансцендентальных идей» основного своего труда: «Настоящая цель исследований метафизики – это только три идеи: Бог, свобода и бессмертие, причем второе понятие, связанное с первым, должно приводить к третьему как к своему необходимому выводу. Все, чем метафизика занимается помимо этих вопросов, служит ей только средством…» [9, с. 238]. Кант также писал в разделе «О конечной цели естественной деятельности человеческого разума»: «Я мыслю себе только отношение [высшей – И.В.] сущности, которая сама по себе совершенно неизвестна мне, к наибольшему систематическому единству мироздания исключительно для того, чтобы сделать ее схемой регулятивного принципа возможно большего эмпирического применения моего разума… Высшее формальное единство, основывающееся на понятиях разума, есть целесообразное единство вещей, и спекулятивный интерес разума заставляет рассматривать все устроение мира так, как если бы оно возникало из намерения наивысшего разума» [9, c.405, 409]. Это и задает тон нашего спекулятивного (в отличие от религиозного) дискурса.

Напомним читателю о существовании пары десятков «доказательств бытия Бога», которые можно свести к пяти аргументам, указывающим нам на возможные источники философской идеи Бога. Кратко перечислим их: космологический (от первопричины), телеологический (от упорядоченности), онтологический (от совершенства), этический (от справедливости) и эстетический (от зрителя). Не будем, однако, вдаваться в подробности; об этом и так написано слишком много. Отметим только, что каждый аргумент репрезентирует определенный тип мироощущения, и следует лишь предостеречь от чрезмерной его психологизации. Для философии ничтожны такие попытки атеистов найти истоки идеи Бога в:
  • Боязни древних людей неведомых природных явлений (марксисты)
  • Инфантильности слабого человека, которому Бог заменяет отца и который хочет стать сильным и богоподобным (Фрейд)
  • Боязни смерти и желании жить вечно
  • Потребности любить и/или быть любимым, что здесь зачастую невозможно и нереализуемо (Ницше)
  • Мстительности и желания восстановить нарушенную справедливость
  • Трансцендентальных порывах, присущих человеку (В. Франкл)
  • В корыстной деятельности священнослужителей, распространяющих при молчаливом поощрении государства, подобно заразе, идею Бога («поп на небеса поглядывает, а руками по земле пошаривает», Е.К. Дулуман и Р.Докинз)

Все эти объяснения по-своему остроумны и правильны (лишь два последних из них слабо завязаны на психологию), но их ничтожность для философии состоит в том, они бьют по «Богу Авраама, Исаака, Иакова», но не по Богу философов. Последний, согласно Шлейермахеру, познается понятием, а религиозный Бог – чувством.

Идею Бога, как трансцендентальную идею чистого разума, Кант не случайно связывает с регулятивным принципом, который в действительности имманентен разуму. Эта имманентность заложена в требовании от себя, во-первых, минимальной степени упорядоченности и определенности, а во-вторых, максимальной степени единства в отношении остальных идей. Любая философия, даже если ее создатель открещивается от намерения «быть систематичным», по мере саморазвития прогрессирует в направлении большей внутренней согласованности идей ее составляющих. Многообразие идей, относящихся либо к миру в целом, либо к какому-то его «континенту», хаотично и неоформленно, если отсутствует упорядочивающий их принцип. По форме регулятивный принцип находит выражение в законе достаточного основания, который устанавливает среди идей иерархию (математически формализованный линейно упорядоченными множествами), а по содержанию представляет одну из форм существования конструктивной метафизической интенции. Возможно помыслить, однако, такой регулятивный принцип, который допускает несколько4 независимых первоидей в философской системе, но тогда последняя представляется лишь частично упорядоченной (а значит и несовершенной), поскольку абстракция иерархичности неизбежно пытается выявить существенное отношение между этими первосущностями. Тогда-то естественно и рождается высшая первоидея/первосущность, источник всего, т.е. Бог.

Что же касается требования минимальной степени определенности, то оно может быть аналитически выведено из трансцендентальности идеи Бога. Если бы какая-либо трансцендентальная идея мыслилась четко и однозначно-определенно, полностью исчерпывая свой предмет, то она бы целиком находилась перед взором homo metaphysicum, что противоречило бы её в качестве «запредельного». Но такая идея должна непременно оставлять в поле зрения что-то константное, поскольку в противном случае утратила бы очертания и перестала бы быть «идеей» вообще. Наиболее ярко конфликт этих противоположных требований характерен для идеи Бога. Если бы человеческий разум полностью познал бы идею Бога, то всякая философия, срубив сук на котором сидит, упала бы на землю и вскоре бы умерла, выродившись в лучшем случае в пустые словопрения. Поэтому философу следует даже бояться создавать абсолютную всеохватывающую систему, поскольку успех обратился бы в проклятие для потомков. Но, к счастью, теологу можно спать спокойно, поскольку на любые разоблачения научно подкованного атеиста он с чистой совестью укажет: «Вы опровергли лишь свое представление о Боге, а в действительности Бог непознаваемо иной…». Возникает, однако, вторая опасность, связанная с тем, что я называю «сверхпонятиями»; сверхпонятие – это понятие, меняющее свой смысл от системы к системы или от века к веку, т.е. когда одним словом описывают разное («омоним» в лингвистике). Таким образом, понятию «Бог» может, к несчастью, соответствовать череда эйдосов Бога, не имеющих между собой ничего общего, что вполне способно привести к трагическим результатам (неверные интерпретации религиозно-философских систем, религиозные распри и войны, усугубленные эмпирическим). Поэтому, если исключить вариант всеобщей смерти религии, единственный путь к религиозному примирению лежит в выделении константного содержания эйдосов Бога. В настоящее время остается лишь завидовать тому краткому периоду в средневековой истории арабского халифата, когда в Испании крупнейшие мыслители из иудеев, христиан и мусульман без суеты, неформально и заинтересованно обсуждали эйдос Бога в смиренном понимании, что подлинное имя Бога даже не Сущий, а Тайна. В вышеприведенной цитате из Шлейермахера, как мне кажется, содержится ясное указание на то, что могло бы составить жесткое ядро константности в идее Бога – (все)единство. Задачей же теологии и философии является опосредованно и длинным (через все миросозерцание), но кратчайшим и верным путем, расширить эту константную область в идее Бога.

Разум никогда не откажется от постижения Тайны, даже при четком осознании её бесконечной глубины и опасности. Здесь уместно перейти от математически-гносеологической формы метафизической интуиции к её спекулятивной форме, т.е. от трансцендентального рассмотрения к трансцендентному. Бог мыслится, конечно, трансценденцией, стоящей за многобразием феноменального. Если вещи, люди, события, простые идеи нам отчетливо видны, то трансценденцию мы непосредственно «не видим», однако, пред-полагаем5. Естественно предположить, что невидимое отличается от видимого не только расположением относительно нашего «третьего глаза», но и по сущности. Таким образом, частица «НЕ» переходит на предикаты Бога, что фиксировано в традиции отрицательного богословия. Если вещи конечны, то Бог бесконечен (в пространстве, времени, мудрости, силе, добродетельности, красоте и т.д.). Если заглянуть на Восток, то человек желает, а Бог не желает и потому вне страданий. Феноменальный мир чем-то заполнен, а вот Нирвана есть пустотность. Еще одна пара, сыгравшая важную роль в истории философии: вещи изменчивы, Бог же неизменен (таким образом, парменидово Бытие и есть Бог). Легко затем посчитать негативные предикаты положительными (формальной подстановкой В=не-А) и уже рассматривать явленный мир как ущербное отрицание божественного совершенства. Так, благость Бога еще более оттеняется ставшим автоматически греховным миром (ср. с традицией гностиков). Но на этом пути апофатическая традиция, впадая в крайность, встречается с проблемой.

Единое доселе Бытие грозит расщепиться на две автономные части, равно как и человек, принадлежащий двум мирам сразу. Каждая религия догматически решила этот вопрос; позвольте мне не идти по проторенной тропе библеистов, восхищающихся фигурой Христа. Философское разрешение данной проблемы должно быть иным, укажу лишь некоторые моменты последнего. Во-первых, mundus phaenomenon соразмерен с mundus intelligibilis. Находясь внутри Западной религиозной традиции, можно было бы провести такое рассуждение: «Бог, как совершенный Мастер, творит совершенный мир, и притом в единственном экземпляре, и в каком-то смысле превосходящем Его Самого. Только тогда Его мастерство достойно самого Мастера». Тем самым мы как бы возвращаем тварному миру утраченную им ценность; обратная тенденция, просвечивающаяся сквозь страницы Нового Завета, только отталкивает людей от христианства. Во-вторых, оба мира имеют общую судьбу и смысл, будучи взаимосвязаны. По Шлейермахеру, «мир не без Бога» и «Бог не без мира» - один нуждается в другом. В-третьих, отрицание предиката не означает его снятия. Данный тезис, религиозная формулировка которого задана гениальной фразой «по образу Своему и по подобию Своему», можно трактовать в двух значениях. Одно состоит в общности класса качества; например, сравнение «легкий» и «тяжелый» предполагает, что оба предмета обладают одним качеством, пусть и в противоположном состоянии. Второе значение заключается в отмене формально-логического закона непротиворечия для Бога. Например, Бог есть одновременно и величайший преступник, и величайший праведник. Основание: если бы Бог в приписанной Ему неизменчивости обладал предикатом А, то невозможно было бы Ему иметь предикат не-А, что противоречит его всемогуществу. Таким образом, мы поставлены между дилеммой: либо ограничить могущество Бога, либо ограничить сферу действия закона непротиворечия. Для Востока основание формулируется иначе: Бог (Природа, Дао) в силу многообразности обладают разными предикатами, а потому о них, как целом, нельзя сказать что-то определенное. Например, нельзя сказать о мире в целом, что он светел или темен, поскольку он частью и светел, и темен. Поэтому и сказано в первом же стихе книги «Дао дэ дзин»: «Сказал Дао - не сказал ничего / Промолчал о Дао - выразил пустоту / Назвал имя - обрек имя на смерть. / Безымянное есть начало неба и земли. / Имя расторгает чашу Единого / На тьму скучных вещей» [10].

Когда в центре философской системы ставится религиозная идея Бога, то она становится больше, чем система, но меньше, чем религия – она становится теоцентризмом. Теоцентризм провозглашает: «Бог – мера всех вещей», а антропоцентризм начертал девизом: «Человек – мера всех вещей». Мало представлять Бога в виде большого Космоса. Нужно еще ощущать живую связь с Ним. Ведь религия - настоящая религия - это всего лишь восстановление связи с Богом. Если же говорить о существующих религиях, то Бога нужно оценивать не через них, а напротив, на каждую из них взирать с позиции теоцентризма (прежде всего сквозь призму Священной истории). Все, что я доподлинно знаю о Боге, это только две вещи:
  1. Бог есть, Бог есть Творец мира
  2. Бог есть Личность, Бог есть моральная Личность

Есть триада: «Я», «божественность», «Бог». Выкидываем один член триады, вываливается второй, а затем третий. Убираем «Я» (с его единством и свободой), и получаем тоталитаризм закона, пусть и Божьего. Убираем «божественность» (с ее разумностью и моральностью), теряется связь человека и Бога, ибо «по образу и подобию…», а та связь, которая остается, становится аморальной и беззаконной – к примеру, человек может обмануть Бога, и Бог его тоже лживым откровением (уже в Илиаде видны повадки греческих богов). Короче, Бог становится дьяволом. Убираем Бога (о котором сказано в христианском апокрифе – «кто близ Меня, тот близ огня»), и остается человек со своей смертностью, прахом, слегка прикрытый фиговым листком морали, которая как-то еще сдерживает сильных в издевательствах над слабыми. Итак, Бог есть совершенное олицетворение божественности...

4. Сложность


В трансцендентальном регионе конструирования одну из ведущих ролей играет эйдос сложности. Этот эйдос молод сравнительно с почтенными стариками «бесконечностью» и «Богом», стремительно переживая сейчас, в век научно-технического прогресса, период зрелости. Неправильно ограничивать его лишь областью техники, хотя именно здесь он более всего проявляется. Поэтому стоит остановиться подробнее на габитусе трансцендентального региона, связанного с конструированием.

Удобнее начать рассмотрение с понятия «технической системы» (ТС). Человек творит «по образу и подобию…» (технические) системы из подручного материала. Частично разрушая природные формы материи, он впечатывает в неё ту искусственную форму, каковую возжелал его дух. Толика свободы, заключенная в этом желании, дает основание признать за техникой право считаться искусством (промежуточной ступенью между искусством и техникой можно считать «ремесло»). Предмет искусства, однако, имеет отличие от ТС по признаку неутилитарности, т.е. в нем замысел художника живет как бы сам по себе, «незаинтересованно» (все шедевры, пожалуй, допускают полифонию интерпретаций, отличных от первоначального намерения гения); в то же время ТС подчинена жестким требованиям заказчика и/или потребителя. Впрочем, такое разделение условно – например: 1) «Реквием» Моцартом писался с подсознательной целью создать траурно-оптимистическое настроение у христианина; 2) компьютер, первоначально задуманный как «вычислитель», зачастую используется не по назначению, что вызывает нервное раздражение у работодателей (Интернет, чаты, игры и пр.). Во всяком случае ТС часто сопряжена с внешней целью, которая эксплицируется в терминах «потребительских свойств», «эксплуатационно-технических характеристик». Эта цель (или цели) определяют во многом структуру системы, её внутренние связи между элементами/подсистемами. Указанное отношение «функция↔структура» не жесткое, находясь под воздействием, с одной стороны, стереотипов поведения конструктора, и с другой – доступных средств реализации. Первое ограничение носит идеальный характер «стиля» (быть может, также «прототипа»), а второе – материальный характер «технологии». Технология6 рассматривает другие ТС подчиненными для изготавливаемой ТС. Замысел ТС порождает, таким образом, технолого-конструктивный образ, эйдос у проектировщика; этот эйдос проецируется на знаковую плоскость как «проектная документация». Разного рода спецификации детализируются по мере развития технолого-конструктивного образа.

Долгое время, если homo metaphysicum и занимался техникой, то только как средством, не подозревая о том, что столь «недостойный предмет» заслуживает внимания сам по себе (глядящий в небо не замечает кочки под ногами и спотыкается). Оглядевшись вокруг, мы замечаем, как за какое-то тысячелетие жизнь усложнилась. Усложнились технические «штуковины» (сравните соху и комбайн, счеты и компьютер), усложнились технологии (например, сапожное ремесло – сколько разновидностей клея, кожи и пр. должен использовать мастер по обуви), усложнилось естествознание (и по объему знаний, и по структуре, по понятийному аппарату – уже смешно напомнить о старой «натурфилософии»), усложнились гуманитарные науки (взять, например, психологические тесты под 200 вопросов и методы их обработки). Даже если взять казус футбола – от простого девиза «бей и беги» столетней давности мы перешли к целому комплексу: «тактические схемы», «методики тренировочного процесса», «фан-движения». Подобные примеры можно множить и множить… Весь ХХI-й век человечеству предстоит бороться с лавиной сложности, подчас намеренно упрощая сложное7.

Каждому, кто ощущал беспомощность по возвращении домой с только что купленным навороченным, например, фотоаппаратом, или кто вспоминал свое детское бессилие перед искусственным, придуманным педагогами, школьным математическим примером на тождественные преобразования, - тому не нужно обосновывать трансцендентальность идеи сложности. Косвенным указанием на трансцендентальность служит также невозможность даже вербального определения. Легко себе представить диалог профессора теоретической физики (П) и студентки (С):

П: Скажите, пожалуйста, что такое квадрупольный момент?

С: Ну… это когда два электрона…

П: Да, нет, все просто, смотрите… берем вектор поля, вычитаем из него другой, раскладываем по Тейлору…

С: Не понимаю я математику, все эти ряды… Это так сложно, сжальтесь над девушкой. Я на лекции ходила…

Из этого диалога можно вообразить, что сложность – это сугубо психологическое понятие, слабо связанное с объективностью. Тем не менее, я буду утверждать о преимущественно объектной природе «сложности». Здесь на выручку приходит указание на синергетику, которую можно определить как (пред)науку о параметрах порядка в нелинейных системах. К ведению синергетики, например, относится вопрос: «Что сложнее, калькулятор МК-61 или таракан, в него случайно забравшийся?». По-видимому, этот вопрос может быть сформулирован в терминах информации и её меры. Во всяком случае математики придумали для оценки сложности алгоритмов теорию сложности. ХХ-й век вообще оказался плодовит для развития дискретных разделов математики, и ХIХ-й век славных достижений исчисления бесконечно малых величин и функционального анализа остался позади. Можно сказать, что метафизическая интенция переключилась с бесконечного на конечное, и эйдос сложности является квинтэссенцией «метафизики конечного», в котором сквозь нищету тварного пробивается свет трансценденции. Бога можно трактовать как бесконечно сложную сущность (принято считать, что Бог или закон кармы следит за событиями внутри mundus phaenomenon, однако, как технически реализуется такое слежение и распознавание? Для этого по крайней мере сложность обоих миров должна быть сравнимой).

Далее я буду говорить о программировании как весьма интересном частном случае конструирования, при котором создается почти идеальный объект (в том смысле, что его нельзя «пощупать» руками). Следует сказать, что мало кто из профессиональных философов, занятых традиционно «вечными» проблемами, обеспокоился тем, что рядом с философией за последние полвека возникло и стремительно растет здание дисциплины-«монстра», обычно именуемой Computer Science или, если взять сущностный аспект, методологией программирования. Этот монстр возник, конечно, не без участия прикладных математиков и разработчиков стандартов, но живет собственной жизнью, улавливая потребности рынка на волне всеобщей компьютеризации. Одно только множество языков и сред программирования не может не поражать, равно как и бесчисленное количество созданных «по случаю» утилит (при только двух операционных системах, Linux и Windows, создающих как бы материю виртуального мира, в котором существуют программы). Уместно будет процитировать одного из создателей информатики Эдсгера В. Дейкстру: «Я придерживаюсь мнения, что программирование - один из наиболее сложных разделов прикладной математики, поскольку оно также является одним из наиболее сложных направлений инженерии, и наоборот… Мы не должны забывать, что программисты живут в мире искусственно созданных сущностей, это отличает их от большинства других ученых. Программист не должен спрашивать, насколько применимы технологии надежного программирования, он должен создать мир, в котором они применимы; это единственный путь обеспечить высокое качество разработки» [11]. На мой взгляд, один из притягательных моментов в программировании для человека – это головокружение от абсолютной власти творца над компьютером.

Дейкстра об информатике: «Она стала замечательной дисциплиной, поскольку разделение между "чистой" и "прикладной", столь традиционное для многих других дисциплин, совершенно поблекло и существенно утратило свое значение… Она не может избежать такой формальности, поскольку любой язык программирования, будучи интерпретируемым механически, представляет своего рода формальную систему. В то же время она обладает всей прелестью прикладной математики, поскольку огромная мощность современных компьютеров дает такие возможности для создания хаоса, что ее методы необходимы, если мы не намерены попасться в ловушку сложности, которую сами же и создали. Научиться не попадаться в собственноручно произведенную ловушку сложности, сохранять вещи достаточно простыми и научиться достаточно эффективно мыслить о своих разработках - вот центральная задача информатики… Но программист едва ли может апеллировать к неисчерпаемой сложности своей программы, так как она создана им самим! Программист должен платить за то, что все находится в его полном распоряжении: это следствие элементарности основ программирования… большинство наших систем гораздо сложнее, чем может считаться разумным, и слишком запутанны и хаотичны, чтобы ими было удобно и надежно пользоваться. Среднего пользователя компьютерной индустрии обслуживают так скверно, что он в любой момент ожидает сбоя своей системы, и мы наблюдали массовое распространение программного обеспечения, нашпигованного ошибками, по всему миру, за что нам должно было бы быть весьма стыдно» [11].

Ещё никто не написал историю информатики как историю её идей. Разумеется, существуют худо бедно классификации языков программирования, даже древо хронологии их появления, но этого явно недостаточно – например, остается открытым вопрос о причинах вымирания того или иного языка (PL1), или операционной системы? Эволюция software происходит коррелированно с появлением hardware, одно иногда опережает другое – растущая емкость винчестера, изобретение «мыши» в 1984г. Концепции программирования также испытывают воздействие со стороны пользователя, причем не понятно, кто из них кого приручает – примеры: GUI, т.е. оконный интерфейс, WWW-протокол. Но в целом, как кажется, программирование живет автономной и неуправляемой из-вне жизнью, имея внутри стимулы к развитию. Вот как описывает Дейкстра историю программирования: «В это время [по-видимому, 50-е гг. – И.В.] программирование представлялось в первую очередь как битва с ограничениями машины, битва, которую нужно было выиграть хитростью. Это было систематическое использование специфических особенностей каждой машины: это был расцвет виртуозного кодирования… я, например, помню весьма отчетливо, как в 1962 те из нас, кто действительно написал компилятор, выглядели в глазах остальных как некие полубоги. В связи с этим достижением я бы хотел подчеркнуть, что этого никогда бы не произошло, если бы мы со временем не научились давать формальное определение синтаксиса компилируемого языка: без этого формального определения слишком сложно было бы определить существование проблемы компиляции… Для разработки операционных систем проблема синхронизации процессов была поставлена и решена, и первые теоремы об отсутствии "смертельных объятий" были доказаны; также формальное определение явления, интуитивно известного как "смертельное объятие", было первой предпосылкой этого достижения… В 70-е годы центр внимания сместился от синтаксиса к семантике, сначала к детерминированным последовательным программам, но вскоре впоследствии охватил также недетерминированность и параллельность… В этом десятилетии программы стали самостоятельными математическими объектами. Кратчайший способ уловить изменение направления внимания - это, пожалуй, отметить, что если раньше задачей программ было управлять поведением машины, то теперь задачей машины стало выполнение наших программ. Верификация и разработка программ развились в разделы формальной математики до такой степени, что теперь уже не считается безответственностью опубликовать программу, не испробовав ее на компьютере» [11]. В 80-е годы завершилось становление основных языков высокого уровня (BASIC, Pascal, C++), начавшееся с сер. 70-х. К сер. 90-х набрала силу идеология объектно-ориентированного программирования (ООП), вобравшая все лучшее из процедурного подхода того же Дейкстры; в практике программирования обычным стало использовать указатели при одновременном контроле за эффективностью распределения памяти. Получило распространение языков макросов (т.е. сценарного типа) и событийно ориентированных языков, стимулированных GUI. В 2000-х гг. расцвели многообразные языки разметки страниц (HTML, UML), инициированные Интернетом; одновременно резко повысилось наше умение оперировать графикой и анимацией, усилилась роль стандартизации (NET-паспорт) и дистанционных приложений, встал вновь вопрос о создании гибкого универсального языка программирования (Java?). Следующее десятилетие будет, по-видимому, посвящено вопросам организации параллельных вычислений и «приручению» многоядерных процессоров.

Вернемся, однако, к вопросу сложности. Вот как оценивал его в 1986г. Кауфман: «Эта принципиальная возможность [развитие hardware – И.В.] соблазняет настраивать компьютеры на виды услуг, очень далеких от элементарных возможностей исполнителя. Более того - таковы почти все практически значимые услуги. Поэтому в общем случае план должен предусматривать огромное количество элементарных действий над огромным количеством элементарных объектов. Но этого мало. Самое главное - огромное количество связей между этими объектами. Поэтому и сами программы становятся огромными (уже имеются программы из миллионов команд; например, для управления военными и космическими объектами). Между тем способности человека работать с большим числом связанных объектов, как хорошо известно, весьма ограничены. В качестве ориентира при оценке этих способностей указывают обычно на так называемое "число Ингве", равное семи (плюс-минус 2). Другими словами, человек обычно не в состоянии уверенно работать с объектом, в котором более семи компонент с произвольными допустимыми взаимными связями. До тех пор, пока программирование остается в основном человеческой деятельностью, с указанным ограничением необходимо считаться» [12]. Какие же способы придумало программирование для борьбы со сложностью? По сути дела только два – блочно-иерархический подход и субъект-предикатную парадигму, которые наиболее рельефно выражены в ООП.

Когда-то в период от Аристотеля до Боэция западные мыслители пытались понять, как логикой лучше постигнуть сложность мира и быть в состоянии в нем ориентироваться. Но этот путь длиной почти в 700 лет был пройден в XX-м веке за 70 лет, когда лучшие умы программистского ремесла пытались расправиться с виртуальным миром; не знаю только, радоваться ли столь быстрому прохождению или печалиться результату, поскольку изобрели почти что «велосипед». Всякий программист знает, что такое «класс», «объект», «свойство» (или «поле») и «метод». Это же знал и схоласт под именами «род», «субъект» и «предикат». Хотя понятия, изобретенные программистами, более изощренные (не берусь сказать, как подразделяли схоласты предикаты), но по сути ничего не изменилось с тех времен – даже аналог платоновых идей можно увидеть в определении типа (type). Разделение мира на (зрительные) объекты=субъекты, обладающие предикатами – вот она, субъект-предикатная парадигма, созданная для упорядочивания феноменального. Имя «поля» есть название качества, значение поля есть предикат конкретного объекта; совокупность предикатов полностью определяет объект (с точностью до пространственного положения) и «класс (экземпляр) определяется всеми его полями (свойствами и методами)» - это свойство инкапсуляции знакомо и программистам, и логикам. В этом же состоит и метод декомпозиции. Положение «объект состоит из других объектов» также упорядочивает феноменальное, поскольку связывает родителей с потомками, создает иерархию, позволяет «не видеть» деталей реализации – тут одновременно и выгоды процедурного программирования, и пресловутое «наследование», и суть указанного выше блочно-иерархического подхода. В ООП есть и третий столп – полиморфизм, фактически реализующий неформальную идею аналогии. Если программист, например, видит строчку X.close(0), то ему не нужно ничего знать об Х, из опыта он знает, что Х исчезнет и притом согласно нормальному ходу вещей. Следует признать, что в своем развитии программирование повторило на новом уровне достижения древних греков.

Я помню первое впечатление, когда перешел от программирования под MS DOS на программирование под Windows. Мне подумалось, как тяжко мне придется с длинными именами переменных в полстрочки и как просто, в 3-4 буквы, выглядели имена переменных в благословенных DOS-программах. Но позже пришло понимание, что и возможности у DOS малы. Некоторые любители Linuх до сих пор любят режим командной строки, он дешев и сердит, и верно, конечно, что графическая оболочка с кнопочками лишь антураж. Но думали ли они, что их путь командной строки тупиковый, что, еще раз цитируя Дейкстру, «формализмы вводятся не для того, чтобы усложнить вещи, а для того, чтобы сделать их возможными»…

Заключение


В статье мы попытались кое-что сказать о трех шедеврах человеческого разума, о которых, конечно, можно говорить бесконечно долго, с сознанием присущей им сложности и в почтении перед божественной мудростью. Несомненно, разум создал и еще создаст несколько красивых вещей, даже шедевров, которые немного уступят этим трем. Но дух нашего времени истончился и страшно далек от метафизики, перейдя от неверия в разум к насмешкам и, что хуже, безразличию к богоподобному разуму. Ныне в почете практичный рассудок и распущенность ощущений на фоне скуки и усталости от будничной рутины, которую пытаются разбавить в лучшем случае пустопорожними ток-шоу. Наш же разговор был призван вернуть читателя на животворящее лоно трансцендентального.

Литература

  1. Г.Ф. Гегель. Лекции по философии истории / Пер. А. М. Водена
  2. А.Ф. Лосев История античной философии в конспективном изложении – М.: "Мысль", 1989.
  3. С.Л. Катречко. Как возможна метафизика? //Вопросы философии, 2005, № 9.
  4. В.И. Моисеев. Проективно-модальная онтология и некоторые ее приложения // Логические исследования. Выпуск 11. - М.: Наука, 2004. – С.215-227.
  5. М. Атья. Математика в ХХ-м веке // Математическое просвещение, сер. 3, вып. 7., 2003, с. 5-24.
  6. А.А. Марков, Н.М. Нагорный Теория алгорифмов.—М.: Наука, 1984.— 432 с.
  7. В. А. Успенский. Семь размышлений на темы философии математики // Всесоюзный симпозиум «Закономерности и современные тенденции развития математики», Обнинск, 1985г. ссылка скрыта
  8. Яблоков И.Н. Ф. Шлейермахер о религии [на основе “Речей о религии” философа]
  9. И. Кант Критика чистого разума.- М.: Мысль, 1994г
  10. Лао-Цзы. Дао Дэ Дзин (пер.О.Борушко) ссылка скрыта: 8001/~rutsky/rfs/home/2002a/mitya/public_html/Dao_de_Czin/borushko.txt.php
  11. Эдсгер В. Дейкстра. Статьи. ссылка скрыта
  12. В.Ш. Кауфман. Языки программирования: концепции и принципы М.: МГУ, 1986г.


Matigor,

10-19 января 2008

1 Остается открытым вопрос о существовании мощностей (или кардинальных чисел) отдельно от множеств. Я отвечаю на него «положительно», и пишу в функциональном стиле card(X), отдавая себе отчет в проблеме со множеством значений такой функции. Пока же принято относиться к кардинальным числам как к множествам (кардиналам), пользуясь изоморфизмом равномощных множеств.

2 Определена также операция степени AB как множество функций f, Dom(f)=B и Val(f)=A. Булеан есть частный случай степени, если положить А={0,1}, B=X (если для конкретного подмножества из Х некий хХ принадлежит ему, то f(x)=1; как говорят, f будет характеристической функцией. С другой стороны и степень есть частный случай булеана, поскольку АХ принадлежит множеству отношений B(BA).

3 Булеан может иметь не только формальное значение внутри теории множеств. В аксиоматике Колмогорова теории вероятностей присутствует т.н. алгебра событий, которая в отличие от множества событий репрезентирует реальные события и де факто вводится на основе булеана (с некоторыми дополнительными ограничениями, связанными с объединением и пересечением множеств)

4 В этом проявляется специфика трансцендентального региона. Для обычной аксиоматики наличие одной только аксиомы было бы странным

5 Система Гуссерля, одна из наследниц кантианства, выглядит интересным исключением, подтверждающим правило, поскольку является тупиковой, как и радикальный солипсизм. Тот же недостаток присущ и развитым формам позитивизма.

6 В каких-то случаях термин «технология» оказывается неудачным, поскольку его использование молчаливо предполагает ряд условий, главное из которых – массовость производства. Если быть еще более точным, корректнее заменить «технологию» на «технологический маршрут» (что не отменяет указания на условие массовости).

7 В Японии, например, ряд фирм перешли к производству сотовых телефонов, ориентированных на пожилых людей (с минимумом функциональности); для таких людей освоение обычного мобильника непреодолимо по причине избытка количества кнопок. В среде компьютерщиков получил распространение шутливый закон «80 на 20»: «80% пользователей программ использует лишь 20% их возможностей»