Образовательный стандарт среднего (полного) общего образования по математике профильный уровень

Вид материала

Образовательный стандарт

Содержание Числа и многочлены. Понятие о степени с иррациональным показателем. Комплексные числа. Основная теорема алгебры. Теорема Виета для многочленов произвольной степени. Уравнения и неравенства Функции и последовательности. Начала математического анализа Понятие о пределе функции в точке. Поведение функций на бесконечности. Асимптоты Элементы статистики и теория вероятностей. Элементы логики Дополнительные главы планиметрии Прямые и плоскости в пространстве Центральное проектирование. Многогранные углы. Неравенства для плоских углов трехгранного угла. Круглые тела и поверхности Объемы тел и площади поверхностей Координаты. векторы Симметрия в пространстве Методы и задачи геометрии Метод центра масс. ... Полное содержание

Подобный материал:

• Поурочное планирование уроков физики в 10 классах (профильный уровень) (умк мякишева, 724.58kb.
• Образовательный стандарт среднего (полного) общего образования по физике профильный, 402.04kb.
• Образовательный стандарт среднего (полного) общего образования по физике профильный, 109.19kb.
• Образовательный стандарт среднего (полного) общего образования по физике Стандарты, 119.36kb.
• Программа по русскому языку для абитуриентов, поступающих в БелГУ, ориентирована, 286.21kb.
• Приказ № от 20 г. Программа среднего (полного) общего образования по математике (базовый, 161.31kb.
• Образовательный стандарт среднего (полного) общего образования по математике, 95.54kb.
• Список статей периодических изданий. Базисный план для среднего (полного) общего образования., 191.48kb.
• Образовательный стандарт среднего (полного) общего образования по математике, 327.61kb.
• Программа среднего (полного) общего образования по Литературе (профильный уровень), 585.09kb.

ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ СТАНДАРТ
СРЕДНЕГО (ПОЛНОГО) ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
ПО МАТЕМАТИКЕ

ПРОФИЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ

Изучение математики на профильном уровне в старшей школе направлено на достижение следующих целей, общих для всего процесса математического образования:

• воспитание средствами, характерными для математической деятельности, стремления к получению новых знаний и их применению, способностей к систематической работе, творческой активности и самостоятельности, интеллектуальной честности и дисциплины, уважения к значимости научных знаний.
  
• развитие в процессе изучения математики интеллектуальных качеств личности, таких как точность и ясность мысли, логическое мышление и алгоритмическая культура, интуиция и сообразительность, критичность и самокритичность;
  
• освоение математических знаний как неотъемлемой части человеческой культуры, ознакомление с ведущими математическими идеями и результатами, историей их развития, влиянием на жизнь современного общества;
  
• овладение умениями, необходимыми для актуализации математических знаний, их применения в повседневной жизни, изучения смежных дисциплин, успешного продолжения образования;
  

Специфика целевых установок изучения математики на профильном уровне в старшей школе состоит в том, что оно нацелено на возможность продолжения образования и получения профессиональной подготовки, предполагающей высокий уровень владения математикой, ее методами, идеями и техническим аппаратом.


Реализация указанных целей достигается в результате освоения следующего содержания образования.


Обязательный минимум содержания
основных образовательных программ


АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА

ЧИСЛА И МНОГОЧЛЕНЫ.

Натуральные числа. Метод математической индукции. Целые числа. Делимость. Деление с остатком. Алгоритм Евклида.

Действительные числа: рациональные и иррациональные числа. Несоизмеримые отрезки. Изображение действительных чисел на числовой прямой. Бесконечные десятичные дроби. Арифметические действия над действительными числами, извлечение корня натуральной степени из действительного числа.

Степень с рациональным показателем. Понятие о степени с иррациональным показателем. Свойства степеней с действительными показателями.

Логарифм числа по данному основанию. Логарифм произведения, частного и степени, формула перехода к новому основанию. Десятичные и натуральные логарифмы. Число е.

Многочлены от одной переменной. Делимость многочленов. Деление многочленов, выделение целой части. Теорема Безу. Рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами.

Многочлены от двух переменных, однородные многочлены. Формулы сокращенного умножения для старших степеней. Бином Ньютона. Многочлены от нескольких переменных, симметрические и однородные многочлены.

ТРИГОНОМЕТРИЯ

Градусная и радианная мера произвольного угла. Число . Изображение действительных чисел на единичной окружности. Синус, косинус, тангенс и котангенс числа. Формулы, связывающие синус, косинус, тангенс, котангенс одного и того же числа.

Формулы приведения. Формулы сложения, формулы двойного угла. Выражение синуса, косинуса и тангенса угла через тангенс половинного угла. Формулы перехода от сумм к произведениям и обратно. Арксинус, арккосинус и арктангенс числа и их свойства.


КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА.

Комплексные числа и их геометрическая интерпретация. Алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексных чисел. Действительная и мнимая часть, модуль и аргумент комплексного числа. Комплексно сопряженные числа.

Комплексные корни квадратного трехчлена. Основная теорема алгебры. Теорема Виета для многочленов произвольной степени.

Арифметические действия над комплексными числами в разных формах записи. Возведение в натуральную степень (формула Муавра) и извлечение корня натуральной степени из комплексного числа.

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

Преобразования рациональных, иррациональных, степенных, показательных, логарифмических и тригонометрических выражений.

Уравнения и неравенства с одной или с несколькими неизвестными. Системы и совокупности уравнений и неравенств. Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля.

Решение рациональных, иррациональных, показательных, логарифмических и тригонометрических уравнений и неравенств. Исследование уравнений, неравенств и систем с параметрами. Равносильные преобразования. Переход к следствию с последующей проверкой. Перебор возможностей, отбор корней. Замена переменной. Универсальная тригонометрическая подстановка. Введение вспомогательного угла.

Доказательства неравенств: использование равносильных преобразований, метода математической индукции, исследования функций. Неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом нескольких чисел.

Использование при решении уравнений и неравенств свойств функций: монотонности, непрерывности, периодичности, четности и ограниченности множества значений функции. Метод интервалов.

Использование графиков функций. Изображение на координатной плоскости множества решений уравнений и неравенств, их систем и совокупностей. Графическое решение систем линейных неравенств с двумя переменными.

Составление уравнений и неравенств по текстовому описанию задачи. Учет ограничений, связанных с реальными свойствами рассматриваемых процессов и явлений, в том числе – целочисленность, положительность, пределы изменения.


ФУНКЦИИ И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ.

Понятие функции. Числовые функции. Область определения и множество значений функции. График функции. Способы задания функций. Кусочно-заданные функции.

Монотонность функции, промежутки возрастания и убывания. Точки (локального) максимума и минимума, наибольшее и наименьшее значения, ограниченность функций. Выпуклость функции. Четность и нечетность, периодичность функции. Связь между свойствами функции и ее графика.

Элементарные функции: многочлены, дробно-линейная и рациональные функции; степенные, показательные и логарифмические функции; тригонометрические функции; обратные тригонометрические функции. Свойства и графики элементарных функций.

Композиция функций (сложная функция) и обратная функция.

Преобразования графиков функций: сдвиги и растяжения (сжатия) вдоль координатных осей, симметрия относительно осей и биссектрисы первого и третьего координатных углов.

Числовые последовательности, способы их задания. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Понятие о пределе последовательности. Теорема о пределе монотонной ограниченной последовательности. Числа  и е. Приближение действительных чисел рациональными.

Понятие непрерывности функции. Промежутки знакопостоянства непрерывной функции. Понятие о пределе функции в точке. Поведение функций на бесконечности. Асимптоты

Понятие о производной функции в точке. Производная, как скорость и как тангенс угла наклона касательной, уравнение касательной. Вторая производная как ускорение. Производные элементарных функций. Производная суммы, произведения и частного двух функций. Производная сложной функции. Производная обратной функции. Использование производной при исследовании функций и построении их графиков.

Использование производных при решении уравнений и неравенств, при решении текстовых, физических и геометрических задач. Решение задач на наибольшее и наименьшее значения.

Понятие об определенном интеграле как площади криволинейной трапеции. Первообразная. Первообразные элементарных функций. Формула Ньютона–Лейбница. Приложения определенного интеграла: вычисление площадей криволинейных фигур, вычисление площадей поверхности и объемов фигур вращения, нахождение массы по плотности ее распределения.

ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИКИ И ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.

Табличное и графическое представление результатов измерений: выборка, варианта, (вариационный) ряд данных, многоугольники (полигоны) распределения. Гистограммы выборок больших объемов. Нормальное распределение и гауссова кривая.

Числовые характеристики рядов данных: среднее, квадратичное отклонение, дисперсия. Диаграммы рассеяния измерений двух признаков. Функциональные и корреляционные зависимости. Линейная корреляция.

Сочетания и биномиальные коэффициенты. Треугольник Паскаля и его свойства.

Геометрические вероятности, диаграммы Эйлера. Сумма и произведение случайных событий. Независимость случайных событий. Независимые повторения испытаний с двумя исходами. Схема и формула Бернулли. Использование таблицы значений гауссовой функции. Вероятность и статистическая частота наступления события, представление о законе больших чисел.

ЭЛЕМЕНТЫ ЛОГИКИ

Логические операции с высказываниями. Кванторы. Следствие и равносильность. Прямая и обратная теоремы. Необходимые и достаточные условия. Противоречие. Доказательство от противного. Аксиоматический подход к построению отдельных разделов математики.


Геометрия


ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ПЛАНИМЕТРИИ

Решение задач повышенного уровня сложности по курсу планиметрии.

Дополнительные факты, теоремы и разделы планиметрии.


ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ

Основные понятия стереометрии (точка, прямая, плоскость, пространство). Способы задания прямых и плоскостей. Многогранники и круглые тела. Расстояние между фигурами.

Взаимное расположение прямых в пространстве. Пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся прямые. Угол между прямыми в пространстве. Перпендикулярность прямых. Расстояние между скрещивающимися прямыми.

Взаимное расположение прямой и плоскости. Параллельность и перпендикулярность. Угол между прямой и плоскостью. Перпендикуляр и наклонная. Расстояние от точки до плоскости. Ортогональная проекция. Теорема о трех перпендикулярах.

Взаимное расположение плоскостей. Параллельность. Перпендикулярность. Двугранный угол, линейный угол двугранного угла.

Параллельное проектирование. Площадь ортогональной проекции многоугольника. Изображение пространственных фигур. Центральное проектирование.


МНОГОГРАННИКИ

Вершины, ребра, грани многогранника. Поверхность многогранника. Выпуклые и невыпуклые многогранники. Многогранные углы. Неравенства для плоских углов трехгранного угла.

Призма, ее элементы: основания, боковые ребра, высота, боковая поверхность. Прямая призма и наклонная призма. Правильная призма. Параллелепипед. Куб.

Пирамида, ее элементы: основание, боковые ребра, высота, боковая поверхность. Сечения пирамиды, параллельные ее основанию. Правильная пирамида. Треугольная пирамида (сфера, вписанная в пирамиду; сфера, описанная около пирамиды).

Сечения многогранников. Построение сечений.

Развертки многогранников.

Правильные многогранники (тетраэдр, октаэдр, куб, икосаэдр, додекаэдр).

Симметрия в многогранниках.


КРУГЛЫЕ ТЕЛА И ПОВЕРХНОСТИ

Цилиндр, конус, их элементы: основания, образующая, высота, боковая поверхность. Развертка боковой поверхности.

Шар, сфера. Сечения сферы (шара) плоскостями. Касательная плоскость к сфере.

Касание круглых тел с плоскостью, с прямой и между собой.

Вписанные и описанные многогранники.

Понятие о телах и поверхностях вращения. Ось вращения.


ОБЪЕМЫ ТЕЛ И ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Понятие объема. Равновеликость тел. Отношение объемов подобных тел.

Объем прямоугольного параллелепипеда. Объем призмы и цилиндра.

Объем пирамиды и конуса. Вычисление объема треугольной пирамиды.

Площадь поверхности цилиндра и конуса.

Объем шара и площадь сферы. Площадь сферического пояса и сферического сегмента.


КООРДИНАТЫ. ВЕКТОРЫ

Декартовы координаты в пространстве. Формула расстояния между двумя точками. Уравнения сферы и плоскости. Уравнения прямой.

Векторы. Модуль вектора. Равенство векторов. Сложение векторов и умножение вектора на число. Угол между векторами. Компланарность векторов. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам. Координаты вектора. Скалярное произведение векторов.


СИММЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

Представление о движении в пространстве.

Параллельный перенос. Центральная симметрия. Зеркальная симметрия.

Симметрия многогранников.


МЕТОДЫ И ЗАДАЧИ ГЕОМЕТРИИ

Сведения к планиметрическим задачам: метод сечений; метод проектирования. Развертка.

Координатный и векторный методы.

Метод центра масс.

Задачи на вычисление, на доказательство, на построение на изображениях, на геометрические места точек.

Задачи на комбинации тел.

Геометрические неравенства, задачи на максимум и минимум.

Решение планиметрических задач стереометрическими методами.


Требования к уровню подготовки
выпускников средней школы

Профильный уровень

В результате изучения математики в старшей школе на профильном уровне, в дополнение к знаниям, определенным стандартом для обучения на базовом уровне, предполагается, что выпускник будет

знать:

• определение, основные свойства и правила действий над комплексными числами в алгебраической и тригонометрической форме;
  
• основные приемы решения уравнений и неравенств, доказательства тождеств и неравенств;
  
• определения основных элементарных функций, способы задания функций и схему их исследования;
  
• определение и свойства обратных тригонометрических функций;
  
• геометрический и физический смысл производной, связь свойств функции и ее производной;
  
• простейшие приемы вычисления определенных интегралов;
  
• определение и основные свойства биномиальных коэффициентов;
  
• схему и формулу Бернулли для повторения независимых испытаний с двумя исходами;
  
• различные методы решения геометрических задач.
  
• понимать смысл аксиоматического метода в геометрии; иметь представление о существовании неевклидовых геометрий (сферической геометрии и геометрии Лобачевского), о истории возникновения и развития геометрии;
  
• иметь представление о роли геометрии и ее прикладном значении:
  
• примеры задач прикладного характера.
  

уметь:

• выполнять действия с многочленами, включая разложение многочленов на множители, нахождение целых корней многочлена с целыми коэффициентами, кратных корней многочлена, применять теорему Виета, тождества с симметрическими многочленами;
  
• проводить преобразования выражений, содержащих различные операции над числами и буквами, доказывать тождества;
  
• выполнять арифметические действия над комплексными числами, изображать их точками комплексной плоскости, находить комплексные корни квадратных уравнений с действительными коэффициентами;
  
• применять алгебраические методы при решении уравнений и неравенств различных типов;
  
• исследовать уравнения и неравенства в зависимости от входящих параметров, используя графический метод;
  
• дифференцировать основные элементарные функции и их несложные комбинации;
  
• исследовать элементарные функции и их несложные комбинации с помощью производной, строить их графики;
  
• исследовать поведение изучаемых функций вблизи особых точек и на бесконечности;
  
• решать задачи на максимум-минимум с использованием элементов математического анализа;
  
• применять методы математического анализа для исследования вопросов о числе корней уравнения, для доказательства неравенств, получения приближенных формул и оценок;
  
• вычислять первообразные основных элементарных функций и их простейших комбинаций;
  
• работать с последовательностями, выясняя их монотонность, ограниченность, поведение общего члена;
  
• находить числовые характеристики рядов данных измерений;
  
• вычислять вероятности события, пользуясь комбинаторными приемами, простейшими свойствами вероятности, схемой повторных испытаний;
  
• использовать таблицу значений гауссовой функции для приближенного вычисления вероятностей;
  
• выделять характерные свойства фигур;
  
• конструировать конфигурации с заданными свойствами, доказывать их существование и единственность;
  
• решать задачи на нахождение геометрических величин, их наибольших и наименьших значений;
  
• использовать сведения из других разделов математики для решения геометрических задач;
  
• владеть методами построения изображений (в параллельной проекции) многогранников;
  
• владеть основными методами построения сечений геометрических тел;
  
• решать планиметрические и стереометрические задачи повышенной трудности на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов) с необходимыми теоретическими обоснованиями;
  
• уметь решать планиметрические и стереометриче­ские задачи повышенной сложности на доказательство геометрических фактов;
  
• применять интегральное исчисление для вычисления площадей плоских фигур, объемов тел вращения.
  

применять полученные знания и умения для решения практических задач, связанных с повседневной жизнью.


применять полученные знания и умения для решения практических задач, связанных с повседневной жизнью. на основе следующих способов математической деятельности:

• построение и исследование математических моделей для описания и решения прикладных задач, задач из смежных дисциплин; проверка и оценка результатов своей работы, соотнесение их с поставленной задачей, с личным жизненным опытом;
  
• исследовательская деятельность, проведение экспериментов, выдвижение гипотез и их проверка;
  
• планирование и осуществление алгоритмической деятельности; выполнение расчетов практического характера; использование математических формул и самостоятельное их составление на основе обобщения частных случаев и эксперимента;
  
• самостоятельная работа с источниками информации, анализ, обобщение и систематизация полученной информации, интегрирование ее в личный опыт, использование учебников и научно-популярной литературы;