Джалладова І. А. Вища математика Навч посібник: у 2-х ч. Ч. 2
| Вид материала | Документы |
- Місця збереження документів, 260.94kb.
- Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. Под ред. Б. П. Демидовича., 19.39kb.
- Список використаних джерел бунятян К. П. Давнє населення України: Навч посібник. К.,, 13.36kb.
- Опсік, іі-курс “Лінійна алгебра та аналітична геометрія”, 15.71kb.
- Виконавець, 1050.89kb.
- Лазарєва С. Ф. Економіка та організація інформаційного бізнесу: Навч посібник, 102.06kb.
- А. М. Українське народознавство в дошкільному закладі: Навч посіб для студ вищ пед, 196.02kb.
- Колесніченко Л. А., Борисенко Л. Л. К 60 Основи психології та педагогіки: Навч метод, 2617.69kb.
- Дмитриченко М. Ф., Навчальний посібник, 2529.95kb.
- Дмитриченко М. Ф., Навчальний посібник, 2842.03kb.
Валєєв К. Г., Джалладова І. А.
Вища математика
Навч. посібник: У 2-х ч. — Ч. 2. — К.: кнеу, 2002. — 451 с.Тв.обкл.
Гриф надано Міністерством освіти і науки України
Лист № 14/182-160 від 20.02.2001
Ціна: 26,25 грн.
ISBN 966–574-354-6
У другій частині навчального посібника подаються докладні відомості про функції багатьох змінних, інтегральне числення, звичайні диференціальні й лінійні різницеві рівняння та ряди.
Як і в першій частині, виклад теоретичного матеріалу підпорядкований розкриттю змісту кожного поняття, його прикладного значення.
Доведення тверджень не формалізовані, а такі, що спираються на аналогію, інтуїцію, евристику.
Усі теоретичні положення ілюструються прикладами економічних задач, ефективно розв’язуваних відповідними методами.
До кожної теми пропонуються систематизовані добірки задач для самостійного розв’язування, що мають тренувальний і контролюючий ха-
рактер.
Насамкінець наводяться характерні приклади комп’ютерного аналізу, а також предметний покажчик.
Призначений для студентів економічних спеціальностей вузів.
ЗМІСТ
Вступ 3
Розділ І. Функції багатьох змінних 5
1.1. Основні поняття 5
1.1.1. Простір Rn 5
1.1.2. Множини точок на площині та в Rn 6
1.1.3. Означення функції багатьох змінних 10
1.1.4. Способи задання функції 12
1.1.5. Графічне зображення функції двох змінних 12
1.1.6. Знаходження області визначення функції двох змінних 15
1.1.7. Границя функції двох змінних 16
1.1.8. Неперервність функції двох змінних 21
1.1.9. Неперервність складеної (складної) функції двох змінних 24
1.1.10. Властивості неперервної функції двох змінних 26
1.1.11. Рівномірна неперервність 30
1.2. Диференційовність функції двох змінних 31
1.2.1. Частинні та повні прирости функції двох змінних 31
1.2.2. Частинні похідні функції двох змінних 32
1.2.3. Повний диференціал функції двох змінних 33
1.2.4. Частинні похідні та повний диференціал функції n-змінних 34
1.2.5. Достатня умова диференційовності функції двох змінних
у точці 38
1.2.6. Диференціювання складеної функції 40
1.2.7. Похідна за напрямом. Градієнт 42
1.2.8. Частинні похідні і повні диференціали вищих порядків 45
1.2.9. Диференціювання неявної функції 48
1.2.10. Формула Тейлора для функції двох змінних 52
1.2.11. Визначник Якобі (якобіан) 53
1.2.12. Економічний зміст частинних похідних 54
1.3. Дослідження функцій багатьох змінних 56
1.3.1. Поняття екстремуму функцій багатьох змінних 56
1.3.2. Необхідні умови існування екстремуму 57
1.3.3. Достатні умови існування екстремуму 58
1.3.4. Гессіан 63
1.3.5. Поняття умовного екстремуму 66
1.3.6. Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (Метод виключення) 67
1.3.7. Метод Лагранжа знаходження точок умовного екстремуму 68
1.3.8. Метод найменших квадратів 73
1.3.9. Вирівнювання за допомогою кривих 75
1.3.10. Найбільше та найменше значення функції багатьох змінних 81
1.3.11. Дотична площина до поверхні 82
1.3.12. Нормаль до поверхні 85
1.3.13. Обвідні 86
1.4. Економічні задачі 89
Вправи для самостійного розв’язування 93
Розділ ІІ. Інтегральне числення 111
2.1. Невизначений інтеграл 111
2.1.1. Поняття невизначеного інтеграла 111
2.1.2. Основні властивості невизначеного інтеграла 112
2.1.3. Найпростіші інтеграли. Таблиця основних інтегралів 113
2.1.4. Метод заміни змінної у невизначеному інтегралі 116
2.1.5. Формула інтегрування частинами 119
2.1.6. Інтегрування раціональних дробів. Стандартний підхід 122
2.1.7. Інтегрування раціональних дробів: інший підхід 131
2.1.8. Інтегрування ірраціональних виразів 142
2.1.9. Біноміальний диференціал 150
2.1.10. Інтегрування тригонометричних виразів 153
2.2. Визначений інтеграл 158
2.2.1. Підсумовування нескінченно малих 158
2.2.2. Поняття визначеного інтеграла. Перший підхід 159
2.2.3. Властивості визначеного інтеграла 160
2.2.4. Визначений інтеграл як функція верхньої межі 169
2.2.5. Поняття визначеного інтеграла. Другий підхід 171
2.2.6. Інтегровність неперервної функції 173
2.2.7. Основна формула інтегрального числення. Виведення 173
2.2.8. Формули зведення. Формула інтегрування частинами 174
2.2.9. Формула заміни змінної у визначеному інтегралі 177
2.2.10. Обчислення визначених інтегралів за допомогою властивостей підінтегральних функцій 178
2.2.11. Геометричне застосування визначеного інтеграла 181
2.2.12. Формула Валліса 192
2.2.13. Наближене обчислення визначених інтегралів 193
2.2.14. Невласні інтеграли 1-го роду: інтеграли з нескінченними межа-
ми інтегрування 198
2.2.15. Невласні інтеграли 2-го роду: інтеграли від необмежених функцій 203
2.2.16. Деякі особливі інтеграли 206
2.2.17. Застосування визначеного інтеграла в економіці 210
2.3. Кратні інтеграли 215
2.3.1. Поняття кривих на площині 215
2.3.2. Задачі, що приводять до подвійного інтеграла 216
2.3.3. Означення подвійного інтеграла 217
2.3.4. Основні теореми 219
2.3.5. Похідна подвійного інтеграла по області інтегрування 223
2.3.6. Зведення подвійного інтеграла до повторного 223
2.3.7. Поняття n-кратного інтеграла 229
2.3.8. Заміна змінних у подвійних інтегралах 230
2.3.9. Полярна система координат 231
2.3.10. Заміна змінних у n-кратних інтегралах 232
2.3.11. Застосування кратних інтегралів до обчислення площі поверхні 233
2.3.12. Кратні невласні інтеграли 236
2.4. Криволінійні інтеграли 238
2.4.1. Поняття криволінійного інтеграла 1-го роду 238
2.4.2. Обчислення криволінійних інтегралів 1-го роду 239
2.4.3. Поняття криволінійного інтеграла 2-го роду 240
2.4.4. Формула Гріна 243
2.4.5. Обчислення площі за допомогою формули Гріна 245
Вправи для самостійного розв’язування 246
Розділ 3. Звичайні диференціальні рівняння 264
3.1. Диференціальні рівняння першого порядку 264
3.1.1. Основні поняття 264
3.1.2. Задача Коші 265
3.1.3. ДР сім’ї кривих 267
3.1.4. Наближені методи розв’язування ДР 269
3.1.5. Наближені аналітичні методи розв’язування ДР 271
3.1.6. Диференціальні рівняння з відокремленими і відокремлюваними змінними 275
3.1.7. Однорідні диференціальні рівняння 276
3.1.8. Диференціальні рівняння у повних диференціалах 278
3.1.9. Лінійні диференціальні рівняння 281
3.1.10. Диференціальне рівняння Бернуллі 284
3.2. Диференціальні рівняння другого порядку, які допускають зни-
ження порядку 285
3.2.1. У диференціальному рівнянні відсутня шукана функція у(х) 285
3.2.2. Диференціальне рівняння не містить явно аргументу 286
3.2.3. Диференціальне рівняння, однорідне відносно шуканої функції
та її похідних 287
3.3. Лінійне диференціальне рівняння другого порядку 288
3.3.1. Загальні властивості розв’язків однорідного лінійного ДР 288
3.4. Лінійні однорідні диференціальні рівняння 293
3.4.1. Лінійні диференціальні рівняння n-го порядку 293
3.4.2. Система лінійних диференціальних рівнянь 297
3.4.3. Дослідження стійкості руху 300
3.5. Розв’язок неоднорідного лінійного диференціального рівняння
зі спеціальною правою частиною 305
3.5.1. Диференціальний оператор 305
3.5.2. Розв’язок неоднорідного диференціального рівняння з поліноміальною правою частиною 307
3.5.3. Розв’язок диференціального рівняння
зі спеціальною правою частиною 309
3.6. Економічні задачі 314
3.6.1. Неокласична модель зростання 314
3.6.2. Модель природного зростання випуску 316
3.6.3. Зростання випуску в умовах конкуренції 316
3.6.4. Динаміка ринкових цін 318
Вправи для самостійного розв’язування 320
Розділ 4. Лінійні різницеві рівняння 329
4.1. Оператор зсуву 329
4.2. Формули інтегрування Грегорі—Ньютона 333
4.3. Різницеві методи Адамса чисельного інтегрування диференці-
альних рівнянь 336
4.4. Лінійні різницеві рівняння зі сталими коефіцієнтами 340
4.4.1. Однорідні різницеві рівняння 341
4.4.2. Неоднорідні різницеві рівняння зі спеціальною правою частиною 346
4.4.3. Метод варіації довільних сталих 347
4.4.4. Рівняння підсумовування функції 349
4.4.5. Система лінійних різницевих рівнянь 351
4.5. Економічні задачі 356
4.5.1. Складні відсотки 356
4.5.2. Економічна модель розвитку Самюельсона—Хікса 356
4.5.3. Павутинні моделі ринку 358
4.5.4. Динамічна модель Леонтьєва 359
Вправи для самостійного розв’язування 361
Розділ 5. Ряди 362
5.1. Основні поняття і означення 362
5.2. Ознаки збіжності рядів з додатними членами 367
5.2.1. Необхідна і достатня умова збіжності ряду з додатними членами 367
5.2.2. Ознаки порівняння 368
5.2.3. Ознака Даламбера 370
5.2.4. Радикальна ознака збіжності Коші 373
5.2.5. Інтегральна ознака збіжності Коші 375
5.2.6. Економічний приклад 377
5.3. Збіжність рядів зі знакозмінними членами 378
5.3.1. Знакопочергові ряди. Ознака збіжності Лейбніца 378
5.3.2. Абсолютна й умовна збіжність 379
5.4. Функціональні ряди 381
5.4.1. Основні означення 381
5.4.2. Властивості рівномірно збіжних рядів 384
5.5. Степеневі ряди 386
5.5.1. Теорема Абеля 387
5.5.2. Дії зі степеневими рядами 389
5.5.3. Розклад функції у степеневі ряди 391
5.5.4. Поліпшення збіжності рядів 396
5.5.5. Застосування степеневих рядів до наближених обчислень 398
5.6. Ряди Фур’є 403
5.6.1. Основні поняття 403
5.6.2. Тригонометрична система функцій 407
5.6.3. Умови збіжності ряду Фур’є 408
5.6.4. Обчислення із застосуванням рядів Фур’є 409
5.6.5. Комплексна форма ряду Фур’є 411
Вправи для самостійного розв’язування 412
Комп’ютерний аналіз 422
Предметний покажчик 443