e-mail  автора сhernyshev german@gmail

Вид материала

Реферат

Содержание 2.2. Линейные уравнения гравитационного поля А. Эйнштейна.

Подобный материал:

• с) 1999 А. Аливердиев (e-mail: aliverdi@mail, 1826.11kb.
• Международная Книга предлагает Вашему вниманию очередной каталог книжных новинок, 2394.05kb.
• Козлов Александр Сергеевич, 68.13kb.
• С. Ю. E- mail автора: skfree@mail ru Наименование организации, 89.92kb.
• Российское отделение, 53.3kb.
• Методичні рекомендації на тему: "праця жінок", 59.37kb.
• Годовой отчет за 2009 год, 328.89kb.
• Научно-практическая конференция «Голография наука и практика»; специализированная выставка, 210.02kb.
• Митюгина Марина Михайловна к э. н, доцент чгу имени И. Н. Ульянова, г. Чебоксары е-mail:, 92.02kb.
• В. Х. Абдуллина, Е. А. Сергеева, И. Ш. Абдуллин Казанский государственный технологический, 21.32kb.

2.2. Линейные уравнения гравитационного поля

А. Эйнштейна.

Четырехмерная теория упругости, учитывающая деформацию координаты времени, построена в работе [4] при помощи обобщения методов построения четырехмерной теории гравитации, в которой деформация координаты времени учтена. Поэтому начнем с рассмотрения теории гравитации. Приведем здесь известные четырехмерные уравнения гравитации в линейной постановке для того, чтобы иметь возможность проводить сопоставление их с уравнениями линейной теории упругости и подготовить базу для проведения обобщения метода получения четырехмерных уравнений гравитации на метод получения четырехмерных уравнений теории упругости. Знаменитые уравнения гравитационного поля А. Эйнштейна имеют вид [ 3]׃


R_jk – 1/2g_jkR = 8T_jk (1)


Здесь Rjk так называемый тензор Ричи, далее он расшифрован, j, k, l, m = 1, 2, 3, 4, T_jk - тензор энергии–импульса, R = g_jkR_jk , g_jk - метрический тензор пространства, более конкретный вид тензора R_jk будет выписан чуть позже. Четырехмерный тензор энергии-импульса удовлетворяет уравнениям:


Т_jk,k = 0.


Об этих уравнениях в монографии [1], стр.355 сказано: «уравнения, выражая собой законы сохранении энергии и импульса, содержат в себе уравнения движения той физической системы, к которой относится рассматриваемый тензор энергии-импульса (т. е. уравнения движения материальных частиц или вторую пару уравнений Максвелла). Таким образом, уравнения гравитационного поля содержат в себе также и уравнения для самой материи, которая создает это поле». Цитата приведена с целью показать, что в гравитации четырехмерные уравнения движения материальной среды физиками получены достаточно давно и никто в настоящее время их не критикует за учет в этих уравнениях деформируемости координаты времени наравне с деформируемостью пространственных координат. Эти уравнения, как только что было отмечено, построены с учетом принципа сохранения энергии. Конечно же, метод получения этих уравнений можно и нужно использовать в теории упругости для исправления динамических уравнений, для учета принципа сохранения энергии, а не принципа сохранения количества движения, потому что характер полей гравитации и упругости одинаковый и это далее подробно рассматривается.

В данной работе будем рассматривать малые гравитационные поля, которые описываются линейной теорией, и примем, что в пространстве отсутствует тензор энергии – импульса, T_jk = 0, определяемый массами, зарядами и сосредоточим

внимание на однородных линейных уравнениях гравитационного поля. Это делается для того, чтобы изучать описываемые этими уравнениями свойства среды гравитационного пространства. Вид уравнений и других соотношений теории гравитации здесь заимствован из знаменитой монографии [3] американских ученых Misner Charles W., Thorne Kip S., Wheeler John A. Метрический тензор невозмущенного гравитационного пространства в случае, когда используется прямоугольная система координат, имеет вид g_jk = _jk , где _ = 1 , _ = 0,   , ₄₄ = -1, _4 = 0 , , = 1,2,3. Тензор деформированного пространства g_jk представлен в виде [3]:


g _jk = _jk + h _jk


Выражения для компонент тензора R _jk имеют вид:


R_jk = R_ljlk , R = _jk R_jk

R_jklm = h_jm,kl + h_kl,jm – h_km,jl – h_jl,km


Здесь цифры после запятой в нижних индексах означают производные по соответствующим координатам х_, х₄=сt, с - скорость света. При проведении исследований гравитационных явлений на основе этих уравнений в рамках линейного приближения к ним добавляются так называемые “калибровочные условия“ [3]:


h_jk,k = 0,

h_jk = h_jk – (1/2)h_jk , h = h_jj (2)


Отметим, что данные калибровочные условия внешне напоминают уравнения равновесия и закон Гука из теории упругости. Далее это сходство будет подробно анализироваться. В продолжение нахождения сходства теорий гравитации и упругости, которому в данной книге специально уделено много внимания и которое нельзя просто сразу указать и все, а приходится находить, анализируя все положения той и другой теорий, отметим следующее. В теории упругости вводится тензор деформаций _ как полуразность метрических тензоров деформированного g_^ и недеформированного g_ тел. При деформировании тела без разрывов и сдвигов тензор деформаций в упругом теле выражается через перемещения u_ :

2_ =g_^ - g_ = u_, + u_, , u_ = x_^ - x_


Здесь x_^ деформированная система координат, связанная с точками упругого тела, x_ неподвижная система координат. Аналогично определяется тензор деформаций и для четырехмерного пространства [4], что будет представлено

в следующем параграфе § 2.3. Но уже здесь можно сказать, что, в сущности, введенный выше тензор h_jk :


h _jk = g _jk - _jk


и является умноженным на 2 тензором деформаций четырехмерного гравитационного пространства. Сказанное подтверждается следующим. В теории гравитации тензор h_jk выражается [3] через четыре функции произвольные функции _j , которые названы генерирующими функциями. Эти функции вводятся следующим образом:


_j = x_j - x_j (3)


И такое введение данных функций _j называется преобразованием координат x_j в координаты x_j . Эти функции введены совершенно так же, как введены перемещения в теории упругости согласно выше приведенной формуле. Компоненты тензора h_jk выражаются через функции _j следующим образом [3]:


h_jk = _j,k + _k,j (4)


Получается, что этот тензор выражается через функции _j, так же, как тензор деформаций _ выражается через функции перемещений u_, отличие лишь в коэффициенте 2. Следовательно, тензор h_jk является практически удвоенным тензором деформаций четырехмерного гравитационного пространства, хотя об этом в книгах по теории гравитации не говорится. Если это и вызывает, может быть, некоторые сомнения относительно компонент этого тензора, связанных с временной генерирующей функцией ₄, то чисто пространственные компоненты тензора h_ точно представляют удвоенные пространственные компоненты тензора деформаций. Это следует из того, что если положить _= u_ , тогда h_ = u_ + u_, ,=1,2,3 и затем сравнить эти h_ с выше выписанным тензором деформаций _, то и получится выше сказанное. Таким образом, оказывается, что теория гравитации в трехмерном представлении, когда деформация координаты времени равна нулю, совпадает с теорией упругости. Ну а о совпадении четырехмерной гравитации с теорией упругости пока говорить рано, потому что четырехмерная упругость еще здесь не представлена. Данное сходство теорий упругости и гравитации, построенной на принципе сохранения энергии является основой обобщения четырехмерной теории гравитации на получение четырехмерной теории упругости на принципе сохранения энергии деформации.

Уравнения (1) в линейном приближении и при отсутствии тензора энергии-импульса являются в терминологии теории упругости уравнениями совместности

деформаций для четырехмерного пространства. Вернее уравнениями совместности деформаций являются уравнения ׃


R_jklm = 0,


которые обращают в нуль и однородные уравнения (1). Таким образом, видны сходства положений теории гравитации и теории упругости. Более подробно о сходстве теорий упругости и гравитации понятнее будет говорить, когда будут представлены четырехмерные уравнения теории упругости. Выше отмеченные и другие сходства, о которых в данной книге будет достаточно много говориться, побуждают глубже выявить аналогию уравнений упругости и гравитации и попытаться извлечь из этого полезные научные следствия.

Вопрос об упругой модели гравитационного пространства постоянно рассматривается в научном мире, об этом выше говорилось (см. Введение). Но далее слов дело не шло и не идет и, по всей вероятности, причина такой остановки заключалась в том, что классическая теория упругости трехмерная теория, в ней принято, что деформируются только пространственные координаты, а время является недеформируемой координатой. А теория гравитации является четырехмерной теорией, как видно из выписанных уравнений, т.е. в ней принято, что время в гравитационном пространстве деформируется наравне с пространственными координатами. Для проведения полной аналогии гравитации и упругости нужно иметь четырехмерную теорию упругости, хотя бы на первый взгляд может быть формальную. Такая четырехмерная теория упругости построена в работе [4] и оказалось, что она является не формальной теорией, а самой нормальной реальной теорией, исправляющей трехмерную динамическую теорию упругости, которая оказалась неправильной, и об этом далее в следующем параграфе, да и во многих местах книги, будет подробно говориться.