e-mail  автора сhernyshev german@gmail

Вид материала

Реферат

Содержание Граница х2=0 свободна от напряжений и на ней должны выполняться условия Функции , ,  должны удовлетворять следующим уравнениям, получающимся из уравнений равновесия

Подобный материал:

• с) 1999 А. Аливердиев (e-mail: aliverdi@mail, 1826.11kb.
• Международная Книга предлагает Вашему вниманию очередной каталог книжных новинок, 2394.05kb.
• Козлов Александр Сергеевич, 68.13kb.
• С. Ю. E- mail автора: skfree@mail ru Наименование организации, 89.92kb.
• Российское отделение, 53.3kb.
• Методичні рекомендації на тему: "праця жінок", 59.37kb.
• Годовой отчет за 2009 год, 328.89kb.
• Научно-практическая конференция «Голография наука и практика»; специализированная выставка, 210.02kb.
• Митюгина Марина Михайловна к э. н, доцент чгу имени И. Н. Ульянова, г. Чебоксары е-mail:, 92.02kb.
• В. Х. Абдуллина, Е. А. Сергеева, И. Ш. Абдуллин Казанский государственный технологический, 21.32kb.

Рассмотрим в рамках четырехмерной теории упругости классическую задачу о поверхностных волнах в полубесконечной пластине -полосе х₂  0 с прямолинейной границей х₂ = 0, для которой имеются экспериментальные исследования. Вначале получим уравнения для полосы-пластины. Пусть срединная поверхность плоской полосы толщиной 2h совпадает с плоскостью х₃ = 0, а ее грани х₃ =h свободны от напряжений, на них ₃₃ = ₃₂ = ₃₁ =0. На этих гранях отсутствует отток и приток энергии, т.е. _3t = 0. Толщина полосы считается малой и поэтому все указанные напряжения можно считать малыми внутри области по сравнению с другими напряжениями и ими можно пренебречь, как это делается в классической теории упругости при построении аналогичных уравнений [9 - 12]. Уравнения равновесия примут вид׃

_11,1 + _12,2 – с₁^-1_1t,t = 0, _21,1 + _22,2 – c₁^-1_2t,t = 0,

_1t,1 + _2t,2 – c₁^-1_tt,t = 0.


Закон Гука после соответствующих преобразований примет вид:


₁₁=2(+2)^-1 +2(₁₁+_tt), ₂₂ =2(+2)^-1 +2(_{22 +} _tt),

_tt = 2,  = u_1,1 + u_2,2 , ₃₃ =-(+2)^-1 - _tt.


Остальные компоненты напряжений ₁₂, _1t, _2t определяются прежними формулами (1.3.11):


_ = _ + 2_ + ( + 2)_tt_, _t = 2( + 2)_t, 

_tt = ( + 2)(+ _tt)


В перемещениях уравнения равновесия имеют вид:


u₁ + (1+)(1-)^-1_,1 –(+2)c₁^-2u_1,tt +_,1t =0,

u₂ + (1+)(1-)^-1_,2 - (+2)с₁^-2u _2,tt +,_2t =0,

 =(+2)^-1c₁^-2_,t, 2 =(+)^-1


Здесь  двумерный оператор Лапласа,  - коэффициент Пуассона. При  =0 выписанные уравнения переходят в классические. В перемещениях полученные четырехмерные уравнения для пространственных компонент перемещений не выделились в отдельные от временной компоненты уравнения, как это имеет место в четырехмерных уравнениях для пространства. Полученные уравнения

можно преобразовать в следующие:


 - с₁^-2_,tt =0,  - c₂^-2_,tt ,  =(+2)^-1c₁^-2_,t ,  =u_1,2-u_2,1.

Из этих уравнений видно, что скорость продольных волн в полосе сохранилась равной пространственной скорости продольных волн, а не меньше ее, как это имеет место в классической теории упругости. Согласно классической теории скорость продольных волн с₁ в полосе равна с₁² =4(+)(+2)^-1^-1. Скорость поперечных волн сохранилась той же, что и в пространстве с₂² =  ^-1. Получился интересный результат, если провести сравнение с накопленным экспериментальным материалом, касающимся распространения продольных волн в пластинах.

Граница х₂=0 свободна от напряжений и на ней должны выполняться условия:

₂₂= ₁₂ = _2t =0. (1)

Третье условие _2t =0 в данном случае означает равенство нулю на свободной границе нормальной компоненты плотности импульса, что означает отсутствие оттока или притока энергии на свободной границе. Решение уравнений в перемещениях строим в виде:

u₁ =_,1 + _,2 +_,1, u₂ = _,2 - _,1 + _,2,

 =(+2)^-1c₁^-2_,t +^-1(+2)c₁^-2_,t ,

Функции _, _,  должны удовлетворять следующим уравнениям, получающимся из уравнений равновесия:

 =с₁^-2_,tt,  =c₂^-2_,tt ,  =0


Для нахождения поверхностных волн функции ,, следует строить в виде:


 = Аexp[-x_{2 +} iq(x₁-c₃t)],  = Bexp[-x₂ +iq(x₁-c₃t)], (2)

 =Dexp[-qx₂+iq(x₁- c₃t)], ² =q²(1-c₃²c₁^-2), ²=q²(1-c₃²c₂^-2)


Выполняя однородные граничные условия (1), приходим к следующим трем алгебраическим уравнениям для определения констант A,B,D:


(1-c₃²c₁ ^-2)A + i(1-c₃²c₂ ^-2 )^1/2B + [1+c₃²c₁^-2 (+2)^-1]D = 0

-2i(1-c₃²c₁ ^-2)^1/2A + (2-c₃²c₂ ^-2)B - 2iD = 0

2c₂²c₁^-2(1-c₃²c₁ ^-2)^1/2A + iB - 2^-1D = 0.

Условием разрешимости этой системы является равенство нулю определите-

ля ее:


(1-c₃²c₁^-2)^1/2 i((1-c₃²c₂^-2)^1/2 1+c₃²c₁^-2 (+2)^-1 (3)

2i (1-c₃²c₁^-2)^1/2 (2-c₃²c₂ ^-2) -2i = 0

2c₂²c₁^-2 i 2^-1


Решение системы, как следует из анализа этого уравнения, может существовать только при с₃ =с₁, при других значениях с₃ решение отсутствует, так как уравнение (3) других корней кроме с₃=0 не имеет, а этот корень соответствует статике. При с₃=с₁ решение (2) имеет вид:


 = Аехр iq(x₁-c₁t),  =  = 0.