Рабочая программа и задание на контрольную работу с методическими указаниями для студентов III курса специальности 080105. Финансы и кредит (Ф)

  1   2   3   4

эконометрика

рабочая программа и задание

на контрольную работу с методическими указаниями

для студентов III курса специальности

080105. Финансы и кредит (Ф)


Москва – 2007


Программа разработана в соответствии с Государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования специальности 080150 – Финансы и кредит.


Составитель: к.э.н., доц. Е.А.Сеславина

Рецензент: к.э.н., проф. Н.В.Федотова

Рецензент: к.э.н., доцент Е.Н. Евдокимова


РАБОЧАЯ ПРОГРАММА

1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ.


Дисциплина “Эконометрика” является одной из специализированных математических дисциплин, обеспечивающих профессиональную подготовку специалистов в области финансов и кредита.

Данный предмет изучается на фундаментальной основе дисциплины “Теория вероятностей и математическая статистика”, и является вычислительной базой для курсов: “Финансы и денежное обращение“, «Деньги, кредит, банки», “Кредитование предприятий и организаций”, “Страховое дело”, “Рынок ценных бумаг и биржевое дело”, “Финансовый анализ”, «Финансовый менеджмент».

Цель дисциплины состоит в формировании у студентов знаний и навыков по вопросам, связанным с обработкой статистической информации и выборочных данных, проверки статистических гипотез, дисперсионного анализа, корреляционного анализа, регрессионного анализа, анализа временных рядов.

2. ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ОСВОЕНИЯ СОДЕРЖАНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ.

Изучив дисциплину студент должен:

2.1. знать и уметь использовать современные методы дисперсионного, корреляционного и регрессионного анализа, анализа временных рядов;

2.2 применять изученные методы в финансово-экономических расчетах.

2.3. иметь представление о основных методах обработки статистической информации в области экономики и финансов;


3. ОБЪЕМ ДИСЦИПЛИНЫ И ВИДЫ УЧЕБНОЙ РАБОТЫ.

Вид учебной работы	Всего часов	Курс III
Общая трудоемкость дисциплины:	90
Аудиторные занятия	16
Лекции	12
Практические занятия	4
Самостоятельная работа	59
Контрольная работа	15	1
Вид итогового контроля		Зачет с оценкой

4. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ.

4.1. РАЗДЕЛЫ ДИСЦИПЛИНЫ И ВИДЫ ЗАНЯТИЙ.

№ п/п	Разделы дисциплины	Лекции	Практические занятия, час
1	Вариационные ряды и их характеристика.	2	2
2	Основы математической теории выборочного метода.	2	2
3	Проверка статистических гипотез.	2
4	Дисперсионный анализ.	2
5	Корреляционный анализ.	2
6	Регрессионный анализ.	1
7	Анализ временных рядов.	1

4.2. СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ.

Раздел 1. Вариационные ряды и их характеристики.

Вариационные ряды, их графическое и табличное задание. Средние величины. Показатели вариации.

[1, 3, 4, 5]

Раздел 2. Основы математической теории выборочного метода

Вводятся понятия о выборках, методах нахождения оценок, определение эффективных оценок с помощью неравенства Рао-Крамера-Фреше.

[3, 4, 5]

Раздел 3. Проверка статистических гипотез.

Проверка гипотезы о равенстве средних. Проверка гипотезы о равенстве дисперсии. Построение теоретического закона распределения по опытным данным. Проверка гипотезы о законе распределения.

[3, 4, 5,]

Раздел 4. Дисперсионный анализ.

Однофакторный дисперсионный анализ. Понятие о двухфакторном дисперсионном анализе.

[1, 2, 3, 4, 5, 6]

Раздел 5. Корреляционный анализ.

Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости. Линейная парная регрессия. Коэффициент корреляции. Проверка значимости и интервальная оценка параметров связи. Понятие о многомерном корреляционном анализе. Ранговая корреляция.

[1, 2, 3, 4, 5, 6]

Раздел 6. Регрессионный анализ.

Парная регрессионная модель. Интервальная оценка и проверка значимости уравнения регрессии. Нелинейная регрессия. Множественный регрессионный анализ. Корреляционная матрица и ее выборочная оценка. Определение доверительных интервалов для коэффициентов и функции регрессии. Оценка взаимосвязей переменных. Проверка значимости уравнения множественной регрессии.

[1, 2, 3, 4, 5, 6]

Раздел 7. Анализ временных рядов.

Общие сведения о временных рядах и задачах их анализа. Стационарные временные ряды и их характеристики. Автокорреляционная функция. Аналитическое выравнивание (сглаживание) временного ряда. Выделение неслучайной компоненты. Временные ряды и прогнозирование. Трендовые модели.

[1, 2, 3, 4, 5, 6]

4.3. ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ.

Не предусмотрено.


4.4. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ.

№ п/п	Разделы дисциплин	Наименования практических занятий
1	Раздел 1. Вариационные ряды и их характеристики.	Раздел 1. Вариационные ряды и их характеристики. Вариационные ряды, их графическое и табличное задание.
2	Раздел 2. Основы математической теории выборочного метода.	Раздел 2. Основы математической теории выборочного метода. Вводятся понятия о выборках, методах нахождения оценок, определение эффективных оценок с помощью неравенства РАО-Крамера-Фреше.

5. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА.

Контрольная работа на тему:

Вариационные ряды, их графическое и табличное задание. Средние величины.

Вводятся понятия о выборках, методах нахождения оценок, определение эффективных оценок с помощью неравенства Рао-Крамера-Фреше.

Проверка гипотезы о равенстве средних. Проверка гипотезы о равенстве дисперсии. Проверка гипотезы о законе распределения.

Однофакторный дисперсионный анализ. Понятие о двухфакторном дисперсионном анализе.

Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости. Проверка значимости и интервальная оценка параметров связи. Ранговая корреляция.

Интервальная оценка и проверка значимости уравнения регрессии. Нелинейная регрессия. Корреляционная матрица и ее выборочная оценка. Определение доверительных интервалов для коэффициентов и функции регрессии. Оценка взаимосвязей переменных. Проверка значимости уравнения множественной регрессии.

Общие сведения о временных рядах и задачах их анализа. Стационарные временные ряды и их характеристики. Автокорреляционная функция. Аналитическое выравнивание (сглаживание) временного ряда. Выделение неслучайной компоненты.

6. Литература.

Основная литература

1. Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика, М.: ЮНИТИ, 2004.

Дополнительная литература

2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшая школа, 2001 -360с.

3. Елесеева И.И., Юзбашев Н.М. Общая теория статистики. - М.: Финансы и статистика, 2001 - 650с.

4. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: ЮНИТИ, 2005 - 543 с.

5. Колемаев В.А., Калинина В.Н. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: ИНФРА-М, 2001 - 300с.


ЗАДАНИЕ НА КОНТРОЛЬНУЮ РАБОТУ.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА.

ЗАДАЧА 1. ВЫБОРОЧНЫЙ МЕТОД.

Предприятие выпускает детали с номинальной длиной L₀. Реально же в большой серии деталей их длины несколько различаются между собой. Была произведена выборка из n деталей, длина которых оказалась равной L(k), где k= 1,2, ...n.

Требуется найти:

1) m - рекомендуемое число интервалов по формуле Стерджеса;

2) длину интервала;

3) сгруппировать ряд и найти частоты n_i;

4) доли деталей от их общего числа w_i;

5) накопленная частота n_iнак;

6) накопленная доля w_iнак;

7) построить гистограмму;

8) построить кумуляту и эмпирическую функцию распределения длин деталей.

Вычислить:

1) среднюю арифметическую длину детали (L_ср);

2) медиану длины детали (М_е);

3) моду длины детали (М_о);

4) смещенную оценку дисперсии длины детали (D);

5) несмещенную оценку дисперсии длины детали (D1);

6) среднее квадратическое отклонение длины детали (), соответствующее несмещенной оценке;

7) коэффициент вариации длины детали ().

Исходные данные для расчета.

Значения результатов опытов следует в задаче вычислять по следующей формуле:

L(k) = L₀ + 0,1*N*sin(nk), где L_о = 10N.

1  k  n, n = 50.

N - номер варианта, полученный сложением всех цифр учебного шифра.

Методические указания

1. Рекомендуемое число интервалов вычисляется по формуле Стерджеса:

m = 1 + 3,322*lgn.

2. Длина интервала k = (L_max - L _min) / m, где L_max - L _min - разность между наибольшей и наименьшей длиной деталей.

3. Сгруппированный ряд следует представить в таблице 1.

Таблица 1

i	Длина деталей	Частота, ni	Доля деталей, wi	Накопленная частота, niнак	Накопленная доля, wiнак
1
...
m
		50	1	-	-

n_i (частота) - число, показывающее сколько раз встречаются варианты из данного интервала.

w_i (частость)= n_i/ n - отношение полученных вариантов к общему числу наблюдений.

n_iнак (накопленная частота) - показывает сколько наблюдалось вариантов со значением признака меньшим х.

Отношение накопленной частоты n_iнак к общему числу наблюдений n называется накопленной долей w_iнак .

Для построения гистограммы по оси абсцисс откладывается длина деталей. При этом нас интересует отрезок от ее минимального до максимального значения. Этот отрезок следует разбить на m равных частей. По оси ординат следует отложить n_i - число попаданий длин деталей в i интервала разбиения.

По оси Y должны быть представлены два масштаба. В первом из них единицей служит 1 деталь и в этом масштабе представлена гистограмма n_i . Во втором масштабе единицей служит 1/ n - в этом случае гистограмма представляет зависимость частот n_i /n от номера интервала.

Гистограмма представляет собой ступенчатую зависимость, причем величина i ступеньки в первом масштабе равна n_i, а во втором - n_i /n.

Кумулята - это зависимость накопленной частоты от номера интервала. Для построения этой зависимости в начале каждого интервала по оси Y откладывается величина накопленной доли. Эти точки последовательно соединяются и получается возрастающая кусочно-линейная зависимость, график которой - ломаная линия.

Эмпирическая функция распределения - это зависимость накопленной доли от номера интервала. Ее график совпадет с графиком кумуляты, если выбрать единицей масштаба по оси ординат равной 1/n.

Среднее арифметическое выборки вычисляется по следующей формуле:

L_ср = (n_i * L_i )/n,

в качестве L_i следует принимать среднюю длину i интервала разбиения.

Медиана - это середина отрезка разбиения.

M_e = (L_max + L_min )/2.

Модой называется значение длины, соответствующая наибольшей частоте n_i. В качестве этой длины нужно взять середину того интервала, в котором частота n_i наибольшая.

Смещенная оценка дисперсии может быть вычислена по формуле:

D = [(L_i - L_ср )²n_i ]/n.

Однако, практически удобнее ее вычислять по следующей формуле:

D = [(L_i )²n_i ]/n - (L_ср )².

Для несмещенной оценки дисперсии D1 могут быть использованы следующие две формулы аналогичные приведенным выше.

D1 = [(L_i - L_ср )²n_i ]/(n - 1).

D1 = [(L_i )²n_i ]/(n - 1) - (L_ср )²*n/(n-1).

Среднее квадратическое отклонение равно корню квадратному из дисперсии, вычисляемой по несмещенной оценке

___

 =D1

Коэффициент вариации равен процентному отношению среднего квадратического отклонения к средней арифметической длине деталей и может быть вычислен по формуле:

 = *100/ L_ср .


Задача 2. Проверка статистических гипотез.

1). Проверить по критерию Пирсона проверить гипотезу о нормальности закона распределения для данных задачи 1.

Методические указания

В критерии ²- Пирсона в качестве меры расхождения берется величина ², равная сумме квадратов отклонений статистических вероятностей и частостей w_i от гипотетических вероятностей р_i, рассчитанных по предполагаемому распределению, рассматриваемых с некоторыми весами с_i .

_m

² = с_i (w_i - р_i )².

ⁱ⁼¹

В качестве весов можно взять соотношение с_i = n/ p_i, тогда

_m

²= (n_i -np_i )²/np_i (2.1)

_i=1

Схема применения критерия ² :

1. Определить меру расхождения эмпирических и теоретических ² частот по формуле (2.1).

2. Для заданного уровня значимости  по таблице ² распределения (таблица 4 приложения) находят критическое значение ²_,k при числе степеней свободы k = m - r -1, где m- число интервалов эмпирического ряда, r - число параметров в законе распределения.

3. Если фактически наблюдаемое значение ² больше критического ²_> ²_,k , то гипотеза Н₀ отвергается, если ² _²_,k, то гипотеза Н₀ принимается.

Для расчета вероятностей p_i попадания случайной величины Х в интервал [x_i, x_i+1] используется функция Лапласа (по таблице 2 приложения) в соответствии со свойствами нормального распределения:

конец начало

p_i ( x_{i } x _ x_i+1 ) = 1/2[Ф(x_i+1 - L_ср)/  - Ф(x_i - L_ср)/ ],

где L_ср и  были рассчитаны в предыдущей задаче.

Для определения ² удобно составить таблицу2.


Таблица 2

i	Интервал [xi , xi+1 ]	Эмпири-ческие частоты ni	Вероят-ности pi	Теорети-ческие частоты npi	(ni -npi )2	(ni -npi )2 npi
1
...
n
			1		-	2 =

Следует заметить, что ² - распределение имеет смысл при n?, поэтому необходимо, чтобы в каждом интервале было достаточное количество наблюдений, не менее пяти. Поэтому имеет смысл объединять соседние интервалы, в которых это условие не соблюдается, чтобы в объединенных интервалах n_i  5. Это следует учитывать при вычислении числа степеней свободы в качестве величины которой следует брать уменьшенное число интервалов.

В данной задаче r = 2 - математическое ожидание и дисперсия, уровень значимости  следует принять равным 0,01*N, где N - номер варианта.

2). По критерию Колмогорова проверить гипотезу о равномерности полученного в задаче 1 закона распределения.


Методические указания

В критерии Колмогорова в качестве меры расхождения между теоретическим и эмпирическим распределением рассматривают максимальное значение абсолютной величины разности между эмпирической функцией распределения Ф_n(x) и соответствующей теоретической функцией распределения

Q = max Ф_n(x) - Ф(x)  -статистика критерия Колмогорова.

Схема применения критерия Колмогорова:

1) Построить эмпирическую функцию распределения Ф_n(x) и предполагаемую теоретическую функцию распределения Ф(x).

2) Определить меру расхождения между теоретическим и эмпирическим распределением Q по формуле статистики критерия Колмогорова и вычислить величину

__

 = Qn .

3) Если вычисленное значение  окажется больше критического _, определенного на уровне значимости , то нулевая гипотеза Н₀ о том, что случайная величина Х имеет заданный закон распределения, отвергается. Если   _, то считается, что гипотеза Н₀ не противоречит опытным данным.

Уровень значимости следует принять равным 0,01*N, где N - номер варианта.

В качестве эмпирической функции распределения следует принять кумуляту, полученную в задаче 1.

В качестве теоретического распределения следует рассматривать прямую линию, наименьшее значение которой равно нулю на первом интервале, а наибольшее - единице на последнем интервале.

В таблице 3 приведены критические значения _ критерия Колмогорова для некоторых .

Таблица 3

Уровень значимости 	0,40	0,30	0,20	0,10	0,05	0,025	0,01	0,005	0,001	0,0005
Критическое значение 	0,89	0,97	1,07	1,22	1,36	1,48	1,63	1,73	1,95	2,03

Задача 3. Дисперсионный анализ.

Предприятие выпускает объективы для фотоаппаратов. В большой партии могут встретиться некоторые экземпляры очень высокого качества, цена которых может достигать А денежных единиц. Эксперты сделали выборочную проверку партии и оценили качество объективов по 100-бальной шкале. Выяснилось, что функция распределения баллов является нормальным законом распределения с математическим ожиданием m и средним квадратическим отклонением . Высококачественными являются объективы, у которых сумма баллов больше 90. Партия содержит n штук. Стоимость экспертизы всей партии С денежных единиц. Рассчитать прибыль от реализации высококачественных объективов.

Методические указания

Для всех вариантов принять:

m = 50

n = 10000

C = 50000

A = 200.

 = 20 + 0,05*N, где N - номер варианта.

Прибыль от реализации объективов рассчитывается по формуле

П = Д - С,

где Д - доход от реализации всей партии высококачественных объективов равный S*А.

S - отобранных объективов, которое вычисляется по формуле:




Задача 4. Корреляционный анализ.

1). По данным статистической отчетности за 25 лет в выбранной местности количество выпадающих осадков представляет собой случайную величину, выраженную формулой Xi = 300+10*N*sin(0,2*i), мм в год. Урожайность там же оказалась равной Yi = 30 + N*sin[0,25(i + 1)] центнеров с гектара, где N - номер варианта, i = 1, 2, ... , 25.

Найти уравнение линейной регрессии.

Методические указания

Уравнение регрессии имеет вид:

y_i = Ax_i + B.

Для нахождения неизвестных данного уравнения регрессии нужно применить метод наименьших квадратов. Для этого нужно решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными А и В:

25 25

B*n + A* x_i =  y_i

i=1 i=1

25 25 25

B* x_i + A* x_i²=  x_i*y_i

i=1 i=1 i=1

2). Вычислить коэффициент корреляции между урожайностью Yi и объемом выпадающих осадков Xi.

Коэффициент корреляции r является показателем тесноты связи изменения в среднем Y, когда X увеличится на единицу среднего квадратического отклонения. Значение коэффициента корреляции вычисляется по формуле:

____

r = + А*С, (4.1)

где А представляет собой зависимость Yот X, а С - зависимость X от Y.

Парный коэффициент корреляции может принимать значения от -1 до 1.

Значение показателя А следует взять из пункта 1 данной задачи, а значение показателя С рассчитать из уравнения xi = C* yi + D, применив метод наименьших квадратов, решив систему двух линейных уравнений :

D*n + C* y_i =  x_i

D* y_i + C* y_i²=  x_i*y_i .


Задача 5. Регрессионный анализ.

Имеются данные об урожайности сельскохозяйственных культур на орошаемых территориях z_i (центнеров с гектара) с учетом объема полива х_i (тысяч литров на гектар) и y_i внесенного удобрения (центнеров на гектар).

Зависимость z_i представлена следующей формулой:

z_i = A_i + D_isin(i) +E_i sin(3i),

x_i = B_i + F_i sin(2i) + G_i sin(4i) ,

y_i = C_i + H_i cos(i) + P_i cos(5i),

где А_i = 8*Ni, D_i = 0,04i , E_i = -0,1i,

B_i = 2* iN / (iN + 2), F_i = -0,03i, G_i = 0,02i,

C_i = 3* iN /( iN + 3), H_i = 0,1 i, P_i =0,2 i.

i - число испытаний 1  i  25.

Необходимо: 1) найти парные, частные и множественный коэффициенты корреляции между переменными и оценить их значимость при  = 0,05; 2) найти уравнение множественной регрессии Y по x_i и y_i , оценить значимость этого уравнения и его коэффициентов; 3) сравнить раздельное влияние на зависимую переменную каждой из объясняющих переменных, используя стандартные коэффициенты регрессии и коэффициенты эластичности.

Методические указания

1) .Парные коэффициенты корреляции можно найти пользуясь формулой (4.1).

При оценке значимости полученного коэффициента корреляции необходимо сравнить вычисляемое значение t с табличным значением t - коэффициента Стьюдента, определенного на уровне значимости  при числе степеней свободы k = n-2 по приложению 3.

Вычисление t возможно по формуле:

 

t = [rn - 2 ]/1 - r²

t > t_1-;k .

Для вычисления множественного коэффициента корреляции необходимо составить матрицу Q_p парных коэффициентов корреляции вида:



Множественный коэффициент корреляции заключен в пределах 0 R 1. Вычисляется этот коэффициент по формуле:



R_i,12...p = 1 - q_p / q_ii ,

где q_p  - определитель матрицы q_p ,

q_ii - алгебраическое дополнение элемента r_ii той же матрицы (равного 1).

Оценить значимость этого критерия можно по формуле:

F = R²(n -p)/(1 - R²)(p - 1) и сравнить его с табличным значением F- критерия на уровне значимости  при числе степеней свободы k₁ = p - 1 и k₂ = n -p - F_;k1,k2, для чего необходимо воспользоваться приложением 4.

F > F_;k1,k2

Частный коэффициент корреляции вычисляется по формуле:



r_ij,12...p = - q_ij /q_ii q_jj ,

где q_ij и q_ii - алгебраические дополнения матрицы q_p . Значимость данного коэффициента оценивается аналогично с коэффициентом r.

2). Уравнение множественной регрессии имеет вид:

z_xy = b₀ + b₁ * x₁ + b₂ * y₁ .

Для нахождения коэффициентов b_i в этом уравнении обозначим через Z матрицу-столбец значений (z₁, z₂, ..., z₂₅), через W - матрицу значений x_i и y_i c добавленным первым столбцом, состоящим из единиц.

	1	x1	y1
W =	1	x2	y2
	...	...	...
	1	x25	y25

Для удобства вычислений следует составить таблицу.

Таблица 4

i	xi	yi	zi	xi2	yi2	zi2	xi yi	zi xi	ziyi	zxy	ei2 = =(yxi -yi )2
1
2
...
										-

Далее необходимо найти произведение транспонированной матрицы W’ на саму матрицу W. Транспонированной матрицей называется матрица, в которой строки и столбцы поменяны местами.

	1	1	...	1		1	x1	y1
W’W=	x1	x2	...	x25		1	x2	y2
	y1	y2	...	y25		...	...	...
						1	x25	x25

Рекомендуется сравнить элементы полученной матрицы произведения с результатами сумм в итоговой строке таблицы 4.

Следующим шагом нужно найти матрицу произведение W’ на матрицу-столбец Z.

	1	1	...	1		z1
W’Z=	x1	x2	...	x25		z2
	y1	y2	...	y25		...
						z25

Матрицу обратную (W’W) - (W’W)^-1 определяют по формуле:

(W’W)^-1 = U* 1/W’W,

где W’W - определитель матрицы W’W,

U - матрица, присоединенная к матрице W’W. Присоединенной, называется матрица, составленная из алгебраических дополнений к элементам транспонированной матрицы. Алгебраическим дополнением элемента матрицы называется определитель минора, получающегося вычеркиванием строки и столбца элемента, еще и умноженный на -1, если сумма номеров строки и столбца нечетная.

Умножим эту матрицу(W’W) на вектор-столбец (W’Z) получим коэффициенты bi - множественной регрессии. То есть составим искомое уравнение z_xy = b₀ + b₁ * x₁ + b₂ * y₁ .

Подставляя значения x_i и y_i в уравнение регрессии получим значения z_xy .

3. Для сравнения влияния на зависимую переменную различных объясняющих переменных используют стандартизованные коэффициенты регрессии b’_j и коэффициенты эластичности Е_j (j =1, 2,...p):

b’_j = b_j*s_x(y)/s_z ;

E_j = b_j* x_ср (y_ср)/z_ср,

где b_j - соответствующий объясняющей переменной коэффициент уравнения регрессии;

s_x(y) - среднее квадратическое отклонение соответствующей объясняющей переменной;

s_z - среднее квадратическое отклонение переменной z;

x_cр - среднее значение объясняющей переменной x;

y_cр - среднее значение объясняющей переменной y.


Задача 6. Анализ временных рядов.

Изменение курса рубля к доллару за год ежемесячно задана экспериментальной зависимостью:

_

f(n) = 25*1,01ⁿ + 3*0,5ⁿ + (1,02ⁿ*sin n/3)*(N+5)/2N,

где n = 0, 2, ...11;

N - номер варианта, полученный сложением последних четырех цифр учебного шифра.

Требуется найти коэффициенты модели a и b для прогноза соотношения курса валют, если теоретически функциональная зависимость имеет вид:

f(n) = b*aⁿ.

Методические указания

В целях линеаризации задачи применим логарифмирование, так как для финансовых расчетов изменение по логарифмическому закону часто распространимо. Для этого обозначим через g(n) натуральный логарифм функции f(n). Тогда

g(n) = ln b + n*ln a.

Для удобства вычислений составим таблицу.

Таблица 5

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
 f(n)
 g(n)