Тема: Правильные многогранники

Вид материала

Конспект

Содержание Вступительное слово учителя Слово учителя Слово учителя Слово учителя Слово учителя Слово учителя Слово учителя Слово учителя

Подобный материал:

• Тема реферата, 244.57kb.
• Тема реферата, 246kb.
• Урок №14 Тема урока: Пять красивых тел. Правильные многогранники, 42.1kb.
• Многогранники, правильные многогранники, 77.69kb.
• Тема урока: «Введение в стереометрию». «Правильные многогранники» (9класс, 2 часа),, 124.03kb.
• Составьте конспект правильные многогранники Полуправильные многогранники Это интересно, 136.81kb.
• Урок геометрии 10 кл Тема урока: "Правильные многогранники" ("платоновы тела") (2 часа),, 22.23kb.
• Правильные и полуправильные многогранники, 109.86kb.
• Программа V всероссийской научной школы «математические исследования в естественных, 30.28kb.
• Урок на семинаре: «Правильные многогранники», 219.36kb.

Урок геометрии в 11-а классе


Тема: Правильные многогранники

Цель: Познакомить с правильными многогранниками, научить изображать и решать простейшие задачи. Познакомить с формулой Эйлера. Расширять кругозор учащихся, повышать их математическую культуру, прививать чувство прекрасного, показать на историческом материале связь правильных многогранников с искусством, наукой, природой.


Конспект урока:

1. Целевая установка: объявление темы, цели, задач урока, формы работы.
   

Вступительное слово учителя: Мы заканчиваем тему «Многогранники» (призма, параллелепипед, куб, пирамида) темой «Правильные многогранники». На сегодняшнем занятии познакомимся с правильными многогранниками, послушаем историю их изучения, решим несколько задач устно и разберем решение задачи письменно.

Эпиграфом нашего урока могут послужить слова Кэрролла «Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины наук».


Сообщение 1. Человек проявляет интерес к многогранникам на протяжении всей своей сознательной деятельности – от двухлетнего ребенка, играющего деревянными кубиками, до зрелого математика, занимающегося исследованиями. Многогранники встречаются в природе в виде кристаллов, в виде вирусов (которые можно рассмотреть с помощью электронного микроскопа). Пчелы строили шестиугольные соты задолго до появления человека, а в истории цивилизации создание многогранных тел (подобных пирамидам) наряду с другими видами пластических искусств уходит в глубь веков. Пять правильных тел изучали Теэтет, Платон, Евклид, Гипсикл и Папп.

Согласно доказательствам Евклида, применяемым ко всем выпуклым многогранным углам, в любом из них сумма плоских углов при вершине меньше 360 градусов.

Если использовать теоретико-множественный язык. То фигуру на плоскости можно бы было описать как множество отрезков и прямых, ограничивающих часть плоскости. Такая плоскость называется многоугольником. Из этого следует, что многогранник можно определить как множество многоугольников, ограничивающих часть трехмерного пространства.

Влияние знаменитого греческого мыслителя Платона сказалось и на «Началах» Евклида. В этой книге, которая на протяжении веков была единственным учебником геометрии, дано описание «идеальных» линий – прямая и самый идеальный многоугольник – правильный – имеющий равные стороны и равные углы. Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани – равные правильные многоугольники и, кроме того, в каждой его вершине сходятся одно и то же число ребер.

Иоганн Кеплер в этюде «О снежинке» высказал: « Среди правильных тел самое первое, начало и родитель остальных – куб, а его, если позволительно так сказать, супруга – октаэдр, ибо у октаэдра столько углов, сколь у куба граней».


Слово учителя: Правильные многогранники с древних времен привлекали к себе внимание ученых, строителей, архитекторов и людей многих профессий. Всех их поражала красота, совершенство, гармония этих фигур. Всего существует 5 видов правильных многогранников, их гранями являются правильные многоугольники (треугольники, квадраты, правильные пятиугольники). Вопрос классу: почему не могут быть правильные шестиугольники? Вершиной правильного многоугольника может быть вершиной либо 3-х, 4-х или 5-и плоских углов. Познакомимся с правильными многогранниками (слайды): тетраэдр, гексаэдр, октаэдр, икосаэдр, додекаэдр. Названия этих многогранников пришли из Древней Греции: 4 – тетра, 6 – гекса, 8 – окта, 12 – додека, 20 – икоса, эдра – грань. Вам нужно запомнить названия этих 5-и многогранников. Пифагорийцы считали такие многогранники божественными и использовали в своих философских сочинениях о сущности мира. Подробно описал свойства правильных многогранников древнегреческий ученый Платон. Их еще называют Платоновыми телами. Правильным многогранникам посвящена последняя 13 книга знаменитых «Начал» Евклида. (Демонстрация моделей правильных многогранников.)


Сообщение 2. «Правильные многогранники в философской картине мира Платона». (слайд) Правильные многогранники иногда называют Платоновыми телами, поскольку они занимают видное место в философской картине мира, разработанной великим мыслителем Древней Греции Платоном (428-348 до н.э.)

Платон считал, что мир строится из 4-х «стихий» - огня, земли, воздуха и воды, а атомы этих «стихий» имеют форму 4-х правильных многогранников.

Тетраэдр олицетворял огонь, поскольку его вершина устремлена вверх, как у разгоревшегося пламени; икосаэдр, как самый обтекаемый – воду; куб (самая устойчивая из фигур) – землю, а октаэдр – воздух. В наше время эту систему можно сравнить с четырьмя состояниями вещества; твердым, жидким, газообразным и пламенным. Пятый многогранник – додекаэдр символизировал весь мир и почитался главнейшим.

Это была одна из первых попыток ввести в науку идею систематизации.


Слово учителя: А теперь от Древней Греции перейдем к Европе средних веков, когда жил и творил замечательный немецкий астроном и математик Иоганн Кеплер.


Сообщение 3. «Кубок Кеплера» (слайд) Представим себя на месте Кеплера. Перед ним различные таблицы – столбики цифр. Это результаты наблюдений движения планет Солнечной системы – как его собственных, так и великих предшественников – астрономов. В этом мире вычислительной работы он хочет найти некоторые закономерности. Иоганн Кеплер, для которого правильные многогранники были любимым предметом изучения, предположил, что существует связь между пятью правильными многогранниками и шестью открытыми к тому времени планетами Солнечной системы.

Согласно этому предположению, в сферу орбиты Сатурна можно вписать куб, в который вписывается сфера орбиты Юпитера.

В нее, в свою очередь, вписывается тетраэдр, описанный около сферы орбиты Марса. В сферу орбиты Марса вписывается додекаэдр, в который вписывается сфера орбиты Земли. А она описана около икосаэдра, в который вписывается сфера Меркурия.

Такая модель Солнечной системы получила название «Космического кубка» Кеплера. Результаты своих вычислений ученый опубликовал в книге «Тайна мироздания». Он считал, что тайна Вселенной раскрыта.

Год за годом ученый уточнял свои наблюдения, перепроверял данные коллег, но, наконец, нашел в себе силы отказаться от заманчивой гипотезы.

Однако ее следы просматриваются в третьем законе Кеплера, где говорится о кубах средних расстояний от Солнца.


Слово учителя: Идеи Кеплера оказались ошибочными, но без гипотез, иногда самых неожиданных, иногда казалось бы бредовых, не может существовать наука.


5 Сообщение 4. « Икосаэдро – додекаэдровая структура Земли». (слайд) Идеи Платона и Кеплера о связи правильных многогранников с гармоничным устройством мира нашли в наше время свое продолжение в интересной научной гипотезе, которую в начале 80-х гг. высказали московские инженеры В.Макаров и В. Морозов. Они считают, что ядро Земли имеет форму свойства растущего кристалла, оказывающего воздействие на развитие всех природных процессов, идущих на планете. Лучи этого кристалла, а точнее, его силовое поле, обуславливают икосаэдро-додекаэдровую структуру Земли. Она проявляется в том, что в земной коре как бы проступают проекции вписанных в земной шар правильных многогранников: икосаэдра и додекаэдра.

Многие залежи полезных ископаемых тянутся вдоль икосаэдро-додекаэдровой сетки; 62 вершины и середины ребер многогранников, называемых узлами, обладают рядом специфических свойств, позволяющих объяснить некоторые непонятные явления. Здесь располагаются очаги древнейших культур и цивилизаций: Перу, Северная Монголия, Гаити, Обская культура и др. В этих точках наблюдаются максимумы и минимумы атмосферного давления, гигантские завихрения Мирового океана. В этих узлах находятся озеро Лох-Несс, Бермутский треугольник. Дальнейшие исследования Земли, возможно, определят отношение к этой научной гипотезе, в которой, как видно, правильные многогранники занимают важное место.


Слово учителя: Эпиграфом следующего выступления можно назвать слова Бертран Рассела «Математика владеет не только истиной, но и высшей красотой – красотой отточенной и строгой, возвышенно чистой и стремящейся к подлинному совершенству, которое свойственно лишь величайшим образцам искусства».

6. Сообщение 5. «Многогранники в искусстве».(слайд)
   

Большой интерес к формам правильных многогранников проявляли также скульпторы, архитекторы, художники. Их всех поражало совершенство, гармония многогранников. Леонардо да Винчи (1452-1519) увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих полотнах. Сальвадор Дали на картине «Тайная вечеря» изобразил Христа со своими учениками на фоне огромного прозрачного додекаэдра. Учеными достаточно хорошо изучены правильные выпуклые многогранники, доказано, что существует всего пять видов многогранников, но сам ли человек их придумал. Скорее всего – нет, он «подсмотрел» их у природы.


Слово учителя: В своей деятельности человек повсюду сталкивается с необходимостью изучать форму, размеры, взаимное расположение пространственных фигур. Подобные задачи решают и астрономы, и физики, и химики, и биологи.

6. Сообщение 6. «Правильные многогранники и природа» (слайд)
   

Правильные многогранники встречаются в живой природе. Например, скелет одноклеточного организма феодарии по форме напоминает икосаэдр. Чем же вызвана такая природная геометризация феодории? По-видимому, тем, что из всех многогранников с тем же числом граней именно икосаэдр имеет наибольший объем при наименьшей площади поверхности. Это свойство помогает морскому организму преодолевать давление водной толщи.

Правильные многогранники – самые выгодные фигуры. И природа этим широко пользуется. Подтверждением тому служит форма некоторых кристаллов. Взять хотя бы поваренную соль, без которой мы не можем обойтись.

Известно, что она растворима в воде, служит проводником электрического тока. А кристаллы поваренной соли имеют форму куба.

При производстве алюминия пользуются алюминиево – калиевыми кварцами, монокристалл которых имеет форму правильного октаэдра.

Получение серной кислоты, железа, особых сортов цемента не обходится без сернистого колчедана. Кристаллы этого химического вещества имеет форму додекаэдра.

В разных химических реакциях применяется сурьменистый сернокислый натрий – вещество, синтезированное учеными. Кристаллы этого вещества имеют форму тетраэдра.

Правильный многогранник – икосаэдр передает форму кристалла бора. В свое время бор использовался для создания полупроводников нового поколения.

Слово учителя: Имея дело с многогранниками, невольно хочется сосчитать число граней, ребер и вершин. Декартом в 1640 году была открыта формула, а позднее вновь отрыта Эйлером в 1752 году и называется формулой Эйлера: Г + В = Р + 2. Запомните эту формулу, она пригодится вам для решения некоторых задач.

Правильный многогранник	Число граней	Число вершин	Число ребер
Тетраэдр	4	4	6
Гексаэдр (куб)	6	8	12
Октаэдр	8	6	12
Додекаэдр	12	20	30
Икосаэдр	20	12	30

6. Сообщение 7. Леонард Эйлер. (слайд) В 2007 году отмечалось 300-летие со дня рождения Леонарда Эйлера. Научное творчество Эйлера поражает своей плодовитостью. Он оставил более 800 трудов, причем многие из них – большие книги в 2-3 томах. При жизни Эйлера статьи его не успевали печатать. Шутя, он говорил, что оставит для академического журнала работ на 20 лет. Великий математик был превосходным вычислителем, но в этот раз он просчитался: после смерти его сочинения печатали еще около 80-и лет. Он был самым разносторонним, так как занимался всеми вопросами современной ему математики и ее приложений. Теория чисел и теория движения Луны, геометрия и оптические приборы, алгебра и сопротивление материалов, тригонометрия и баллистика – все это и многое другое интересовало его. Но главным в его жизни была разработка проблем математики. Ей он посвятил около 315-и сочинений. В геометрии Эйлер положил начало совершенно новой области исследований, выросшей в последствии в большую и важную науку – топологию, которая изучает общие свойства пространства и фигур. Знаменитый французский ученый П. Лаплас говорил: «Читайте, читайте Эйлера, он наш общий учитель».
   

Все сочинения Эйлера написаны очень доступно и увлекательно.

Юный любитель математики может с пользой и интересом прочитать

«Введение в анализ». Читается не так быстро, как приключенческий

роман, но с таким же увлечением.


Слово учителя: Демонстрация книги М Веннинджера «Модели многогранников» под редакцией и с послесловием И. Яглома.

Эта книга – практическое пособие по изготовлению многогранников: правильных и полуправильных, выпуклых и звездчатых. Фундаментальная теория симметрии, лежащая в основе данной темы, придает книге широкое познавательное значение. Книга «Модели многогранников», снабженная выразительными фотографиями и чертежами, вызовет интерес и принесет несомненную пользу всем, кто захочет поближе познакомиться с этими изящными геометрическими объектами. (Демонстрация моделей усеченного октаэдра, ромбокубо- октаэдра, звездчатого октаэдра, большого додекаэдра, большого звездчатого додекаэдра и др., изготовленных учащимися предыдущих выпусков).

6. Решение задач (устно):
   

1). Определите площадь поверхности тетраэдра, длина ребра которого равна а.

2). Определите площадь поверхности октаэдра, длина ребра которого

равна а.

3. Определите длину всех ребер гексаэдра, длина одного ребра – а.
   
4. Площадь поверхности додекаэдра 180 кв. см. Найдите площадь его грани.
   
5. Ребро октаэдра - а. Определите длину оси октаэдра.
   

6. Решение задачи (письменно):
   

Длина ребра гексаэдра - а. Постройте сечение, проведенное через диагональ АД' и середину ребра ВВ' и вычислите площадь этого сечения.

6. Обобщение знаний:
   

Какой многогранник называется правильным?

Сколько существует правильных многогранников?

Перечислите названия правильных многогранников?

Почему не может быть гранью правильного многогранника правильный шестиугольник?

Назовите великих ученых, которые занимались изучением правильных многогранников?

Где в природе встречаются правильные многогранники?

.

6. Подведение итога урока:
   

Выставление и комментирование оценок за сообщения учащихся и решение письменной задачи. Высказывание своего отношения к уроку учащихся и учителя.

6. Домашнее задание: § 51, задачи № 80,81. Повторить вопросы на стр.
   

73-74 с 1 по 37. Готовиться к зачету и контрольной работе.


Спасибо всем за урок!


Литература:

1.Методическое пособие с электронным приложением. Серия «Современная школа». Уроки математики.

Зайцева И.А. «Правильные многогранники» стр. 251 -264

2.Библиотека «Первого сентября». Серия «Математика» Выпуск 5. 2006

И. Смирнова «Комбинаторные задачи по геометрии» стр. 15 – 22.

«Графы», «Теорема Эйлера для многоугольников»

3.Г.Глейзер. История математики в школе. 9-10 классы. Пособие для

учителя. «Теорема Эйлера» о многогранниках. О правильных многогранниках. Стр. 165, 171. 1983 г.

4. Детская энциклопедия. Том № 2, 1965 г. Леонард Эйлер. Стр. 488-490.

5.Энциклопедия для детей. Том № 11, 1998 год. Многогранники. Стр.336-346.

6. М. Веннинджер. Модели многогранников. Перевод с английского.

1974 г.

7.А. Погорелов. Геометрия. 10-11 класс. 2004 г. Пункт № 51, стр 71-72.

8.Ю. Киселев. Геометрия. 11 класс. Поурочные планы, 1-я часть.

2008 г. Историческая справка. Стр. 100-103.