Тетраэдр задан длинами своих рёбер. Вывести формулы (на выбор): для объёма тетраэдра; для радиуса r вписанного в тетраэдр шара

Вид материала

Документы

Содержание Краткая аннотация Краткая аннотация Краткая аннотация Краткая аннотация Краткая аннотация Краткая аннотация МАСТЕР-КЛАСС: «алгебра и геометрия» Возраст обучающихся – 8-10 класс Срок реализации программы – 2011 год Цель программы Формы проведения цикла занятий Ожидаемые результаты и способы их проверки определены по годам обучения. ВТОРОЙ год обучения группы «Научные кадры будущего» Изучение алгебры и геометрии в рамках мастер-класса направлено на достижение следующих целей Изучение алгебры и геометрии в рамках пятого цикла занятий направлено на достижение следующих целей Краткое содержание программы 15-24 июня 2011 г., г. Гагра, Республика Абхазия Изучение алгебры и геометрии в рамках шестого цикла занятий направлено на достижение следующих целей Краткое содержание программы Изучение алгебры и геометрии в рамках седьмого цикла занятий направлено на достижение следующих целей Краткое содержание программы ... Полное содержание

Подобный материал:

• Задачи урока: Практическое применение теоретических знаний по теме «Сечения. Тетраэдр., 48.24kb.
• Пять правильных многогранников, 79.93kb.
• Домашнее задание для 10К на 14-19 февраля, 20.64kb.
• Домашнее задание для 10А на 14-19 февраля, 20.2kb.
• 1. Вычислите длину окружности и площадь круга заданного радиуса R. Результат вывести, 12.13kb.
• Лебедева Татьяна Владимировна, учитель истории и обществознания моу новогоркинская, 20.69kb.
• Задачи урока: обучающие : вывести формулы для вычисления суммы вклада по простому, 93.27kb.
• Урок по теме: «Производная логарифмической и показательной функций», 78.87kb.
• Приказ Министерства статистики и анализа Республики Беларусь 12. 04. 2006 №96 методика, 99.98kb.
• Необходимые документы для открытия туристической визы в марокко, 11.97kb.

Темник исследовательских работ для участников группы «Научные кадры будущего»

по научному направлению «Прикладная математика и математическое моделирование»


Место проведения исследования: кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана


Научный руководитель

Горбунов Артур Валерьевич,

кандидат физико-математических наук,

доцент кафедры «Математическое моделирование»

	Название темы
1.	Изучение метрических характеристик тетраэдра
	Краткая аннотация:	Тетраэдр задан длинами своих рёбер. Вывести формулы (на выбор): для объёма тетраэдра; для радиуса r вписанного в тетраэдр шара; для радиуса R описанного около тетраэдра шара; для двугранных углов тетраэдра.
2.	Теорема Наполеона в сферической геометрии
	Краткая аннотация:	Выяснить, имеет ли место утверждение теоремы Наполеона для сферических треугольников. В случае, когда такое утверждение имеет место, доказать его.
3.	Изучение метрических характеристик сферического квадрата
	Краткая аннотация:	Вывести соотношения, связывающие длину стороны сферического квадрата с другими его элементами, в том числе: а) с площадью; б) с длиной диагонали; в) с величиной угла между сторонами; г) с радиусом описанной около квадрата окружности; д) с радиусом вписанной в квадрат окружности. Примечание: сферическим квадратом называется правильный (с равными сторонами и углами между смежными сторонами) четырёхугольник на сфере.
4.	Многоугольник наибольшей площади
	Краткая аннотация:	Вычислить наибольшую площадь участка, который можно огородить забором, состоящим из n секций имеющих длины a1, …, an. Рассмотреть случаи n=3, 4, 5 и произвольного n.
5.	Число комбинаций в игре "Морской бой"
	Краткая аннотация:	Даны n прямоугольников размерами a1×b1, a2×b2, …, an×bn, где длины сторон — целые. Вычислить число различных способов, которыми можно расположить эти прямоугольники на прямоугольном поле размерами A×B так, чтобы расстояние между ними было не менее одной клетки.
6.	Генератор псевдослучайной последовательности
	Краткая аннотация:	Предложить метод построения бесконечной непериодической последовательности из нулей и единиц такой, что абсолютные и условные частоты вхождения каждой цифры были бы одинаковыми (=1/2). Вывести формулу общего члена такой последовательности.
7.	Число способов раскраски правильного многогранника
	Краткая аннотация:	Вычислить, сколькими способами можно раскрасить грани правильного многогранника N красками так, чтобы никакие две из получившихся раскрасок многогранника не были одинаковыми (не совмещались при каком-либо вращении). Рассмотреть варианты окраски (на выбор): разных грани окрашиваются разными цветами; разные грани могут быть окрашены одним цветом. В качестве правильного многогранника рассмотреть (на выбор): а) тетраэдр; б) куб; в) октаэдр; г) додекаэдр; д) икосаэдр.

Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана

Специализированная научно-исследовательская подготовка группы «Научные кадры будущего»

ПРОГРАММА специализированного курса научно-исследовательской подготовки

на 2011 год по Направлению: «ПРИКладная математика и математическое моделирование»

МАСТЕР-КЛАСС: «алгебра и геометрия»


Место прохождения подготовки:

кафедра «Математическое моделирование»


Руководитель направления:

ГорбуноВ Артур Валерьевич,

кандидат физико-математических наук,

доцент кафедры «Математическое моделирование»,

МГТУ им. Н.Э. Баумана

Возраст обучающихся – 8-10 класс

Срок реализации программы – 2011 год

г. Москва, 2011г.

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА к программе

специализированного курса научной подготовки


Данная программа предназначена для научно-технической специализации группы «Научные кадры будущего» в области векторной алгебры, аналитической геометрии, основ проективной и сферической геометрии в течение 2011 года. Это второй год обучения группы НКБ, он состоит из трех циклов, организуемых на принципах исследовательского обучения в мастер-классе «Алгебра и геометрия» (весна, лето, осень).

Обучающиеся научной школы, это особо перспективные молодые исследователи – школьники 8-10 классов, отобранные по всей России для специализированной научной подготовки в приоритетных направлениях развития науки, техники и технологий Российской Федерации.

Цель программы: формирование знаний, умений и навыков самостоятельной исследовательской деятельности в области прикладной и фундаментальной математики; развитие индивидуальности и творческого потенциала учащихся.


Задачи программы:

• Формирование познавательных потребностей учащихся в области математики;
  
• Ознакомление с актуальными проблемами алгебры и геометрии;
  
• Расширение кругозора учащихся, целостного восприятия окружающего мира;
  
• Освоение теоретических и практических основ исследовательской деятельности;
  
• Теоретическая и практическая разработка выполняемых исследовательских работ;
  
• Содействие в профессиональном самоопределении обучающихся.
  

Занятия проводятся на кафедре «Математическое моделирование» МГТУ им.Н. Баумана укомплектованной методическими, дидактическими и техническими средствами.

Формы проведения цикла занятий: теоретические, практические, лабораторные занятия и индивидуальная работа (мастер-класс, обсуждения, индивидуальные и групповые консультации участников и их руководителей, оценка и подбор тем научно-исследовательских работ, исходя из интереса обучающегося и перспективности тематик; экскурсии, конкурсы, лабораторные и практические работы, занятия – обсуждения, встречи с учеными, посещение научных центров, работа с литературой и т.д.)

Ожидаемые результаты и способы их проверки определены по годам обучения.

Эффективность процесса обучения отслеживается в системе разнообразных срезов и форм аттестаций:

а) входного контроля в начале каждого цикла занятий (контрольная работа, решение задач, тесты, опрос);

б) промежуточной аттестации в конце каждого цикла занятий (домашние задания; мини-конференции исследовательских работ с коллективным обсуждением и самооценкой на расширенных заседаниях мастер-класса; творческие конкурсы, олимпиады, викторины);

в) итоговой аттестации (контрольная работа, защита проектов).

Результаты деятельности обучающихся заносятся в «Творческие паспорта» и «Зачетные книжки обучающегося».

Участники с лучшими исследовательскими проектами в каждом этапе рекомендуются для участия в научных мероприятиях программы «Шаг в будущее».

ВТОРОЙ год обучения группы «Научные кадры будущего»


Занятия второго года обучения группы «Научные кадры будущего» в основном посвящены изучению алгебраических методов в геометрии. Вводный курс векторной алгебры, теории определителей и аналитической геометрии является необходимой ступенью для последующего изучения общей алгебры. Знания в этой области смогут также помочь слушателям в постановке и решении различных прикладных задач.

Изучение алгебры и геометрии в рамках мастер-класса направлено на достижение следующих целей:

• изучение понятия вектора и основных операций векторной алгебры;
  
• знакомство с теорией определителей, их геометрическим смыслом и овладение методами вычисления определителей;
  
• овладение навыками использования метода координат для решения геометрических задач;
  
• овладение методами решения систем линейных алгебраических уравнений;
  
• знакомство с циклическими и геометрическими неравенствами и овладение методами их доказательств;
  
• овладение методами вывода уравнений простейших кривых и поверхностей;
  
• знакомство с геометрией на сфере;
  
• знакомство с проективной геометрией;
  
• применение полученных знаний и умений для решения задач практической и теоретической деятельности.
  

В результате изучения алгебры и геометрии в рамках мастер-класса слушатель


должен знать:

• основные понятия векторной алгебры, теории определителей, аналитической, сферической и проективной геометрии;
  
• методы вычисления: координат вектора; скалярного, векторного и смешанного произведения векторов; определителей; площадей многоугольников и объёмов многогранников;
  
• методы решения систем линейных алгебраических уравнений;
  
• методы доказательств циклических и симметрических неравенств;
  
• экстремальные свойства многоугольников и многогранников;
  
• методы вывода уравнений простейших кривых и поверхностей;
  

должен уметь:

• решать геометрические задачи алгебраическими методами;
  
• решать системы линейных алгебраических уравнений;
  
• доказывать циклические неравенства стандартными способами;
  
• решать задачи на экстремум геометрическими методами;
  
• выводить уравнения простейших кривых и поверхностей;
  
• строить простейшие кривые и поверхности по их уравнениям, выяснять их взаимное расположение;
  
• использовать приобретенные знания и умения в научной работе;
  

получить представление:

• об алгебраических методах в геометрии,
  
• о геометрических методах в алгебре.
  

Пятый цикл занятий

11-15 апреля 2011, г. Москва, МГТУ им. Н.Э.Баумана

1. Пояснительная записка
   

Пятый цикл занятий посвящен элементарному введению в такой важный раздел математики как линейная алгебра. Программа мастер-класса включает изучение векторной алгебры, метода координат и основ теории определителей.


Изучение алгебры и геометрии в рамках пятого цикла занятий направлено на достижение следующих целей:

• изучение понятия вектора и основных операций векторной алгебры;
  
• знакомство с теорией определителей, их геометрическим смыслом и овладение методами вычисления определителей;
  
• овладение навыками использования метода координат для решения геометрических задач;
  
• овладение методами решения систем линейных алгебраических уравнений;
  
• применение полученных знаний и умений для решения задач практической и теоретической деятельности.
  

В результате изучения алгебры и геометрии в рамках пятого цикла занятий слушатель

должен знать:

• смысл понятий: вектор; взаимное расположение; векторная алгебра; линейные операции; линейная комбинация; векторное пространство; линейная зависимость; базис; разложение по базису; координаты; система координат; ортогональная проекция; ориентация системы векторов; ориентированная площадь; ориентированный объём; определитель; перестановка; инверсия; чётность перестановки; скалярное, векторное и смешанное произведение;
  
• методы вычисления: координат вектора; скалярного, векторного и смешанного произведения векторов; определителей; площадей многоугольников и объёмов многогранников;
  
• методы решения систем линейных алгебраических уравнений;
  

должен уметь:

• решать геометрические задачи алгебраическими методами;
  
• решать системы линейных алгебраических уравнений;
  
• использовать приобретенные знания и умения в научной работе;
  

получить представление:

• об алгебраических методах в геометрии,
  
• о геометрических методах в алгебре.
  

2. Рабочая программа пятого цикла занятий:
   

№ п/п	Название темы	Форма проведения
		Объем курса (в акад. часах)	В том числе:
			Теоретические занятия (в акад. часах)	Практические занятия (в акад. часах)	Индивидуальная работа (в акад. часах)
	Векторная алгебра	2	Лекция №1 – 2 ч.		работа с методическими указаниями
	Метод координат	6	Лекция №2,3 – 4 ч.	Семинар №1 - 2 ч.	работа с методическими указаниями
	Введение в теорию определителей	6	Лекция №4,5 – 4 ч.	Семинар №2 -2 ч.	работа с методическими указаниями
	Произведения векторов	6	Лекция №6,7 – 4 ч.	Семинар №3 -2 ч.
	Итого:	20

Краткое содержание программы: Тема 1. Векторы и векторная алгебра (2 акад. часа) Понятие геометрического вектора. Длина геометрического вектора. Нулевой вектор, единичный вектор. Коллинеарные и компланарные векторы. Равенство векторов. Свободные, скользящие и связанные векторы. Примеры из геометрии и механики. Линейные операции над векторами: сложение векторов и умножение вектора на число. Алгебраические свойства линейных операций. Противоположный вектор, вычитание векторов, орт вектора. Линейные комбинации векторов. Линейная зависимость. Условия линейной зависимости для систем из 1-го, 2-x, 3-x и 4-x геометрических векторов. Тема 2. Метод координат (6 акад. часов) Базис, разложение по базису, координаты. Единственность разложения по базису. Векторные пространства V1, V2 и V3 и базисы в них. Вычисление в координатах. Условие коллинеарности двух векторов. Ортогональный и ортонормированный базис. Вычисление длины вектора в ортонормированном базисе. Скалярное произведение и ортогональная проекция, их алгебраические свойства. Условие ортогональности векторов. Нахождение длины вектора и угла между векторами при помощи скалярного произведения. Формулы для вычисления скалярного произведения, длины вектора, косинуса угла между векторами в ортонормированном базисе. Механический смысл скалярного произведения. Направляющие косинусы и их свойства. Вычисление координат вектора в ортогональном базисе, формулы Эйлера-Фурье. Система координат, начало системы координат, радиус вектор, координаты точки. Связь координат вектора с координатами его начала и конца. Декартова прямоугольная система координат. Тема 3. Введение в теорию определителей (6 акад. часов) Ориентированные площадь и объём, их свойства. Вычисление ориентированного объёма в координатах. Определители и их основные свойства. Перестановки и их чётность. Формула полного развёртывания. Формула понижения порядка. Методы вычисления определителей. Приложения определителей в геометрии и алгебре. Вычисление площадей многоугольников и объёмов многогранников. Вычисление высоты в простейших многоугольниках и многогранниках. Алгебраические критерии линейной зависимости векторов. Геометрическая интерпретация системы линейных уравнений и использование определителей для их решения, правило Крамера. Тема 4. Произведения векторов (6 акад. часов) Векторное, псевдоскалярное и смешанные произведения векторов, их свойства, геометрический смысл и методы вычисления. Приложение векторного и смешанного произведения в геометрии и механике.

Список литературы:

1. Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия: Учеб. для вузов / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1998. – 388 с.
   
2. Сборник задач по математике для втузов. Ч. 1. Линейная алгебра и основы математического анализа: Учеб. пособие для вузов / Под ред. А.В. Ефимова и Б.П. Демидовича. 2-е изд., М.: Наука, 1986. 428 с.
   

4. Формирование тематики перспективных проектов:
   

Примерный перечень тем научных работ

1. Изучение метрических характеристик тетраэдра
   

шестой цикл занятий

15-24 июня 2011 г., г. Гагра, Республика Абхазия

1. Пояснительная записка
   

Шестой цикл занятий знакомит слушателя с циклическими и симметрическими неравенствами, а также неравенствами, имеющими геометрическую интерпретацию, и экстремальными свойствами различных геометрических объектов. Программа мастер-класса включает новые результаты теории циклических неравенств, в том числе, различные обобщения перестановочного неравенства, доказанные в последнее десятилетие. Большое внимание также уделено методам доказательства метрических соотношений для выпуклых тел.


Изучение алгебры и геометрии в рамках шестого цикла занятий направлено на достижение следующих целей:

• знакомство с циклическими и геометрическими неравенствами и овладение методами их доказательств;
  
• применение полученных знаний и умений для решения задач практической и теоретической деятельности.
  

должен знать:

• циклические и симметрические неравенства; выпуклая функция; выпуклое множество; выпуклая комбинация; однородная функция; перестановочные неравенства; изопериметрическое неравенство; четырёхшарнирный метод Штейнера; сумма Миньковского; формула Штейнера – Миньковского;
  
• методы доказательств циклических и симметрических неравенств;
  
• экстремальные свойства многоугольников и многогранников;
  

должен уметь:

• доказывать циклические неравенства стандартными способами;
  
• решать задачи на экстремум геометрическими методами;
  
• использовать приобретенные знания и умения в научной работе;
  

получить представление:

• об алгебраических методах в геометрии,
  
• о геометрических методах в алгебре.
  

2. Рабочая программа пятого цикла занятий:
   

№ п/п	Название темы	Форма проведения
		Объем курса (в акад. часах)	В том числе:
			Теоретические занятия (в акад. часах)	Практические занятия (в акад. часах)	Индивиду­аль­ная работа (в акад. часах)
	Циклические и симметрические неравенства	4	Лекция №1 – 2 ч.	Семинар №1 - 2 ч.	работа с методическими указаниями
	Неравенства для выпуклых функций	6	Лекция №2 – 4 ч.	Семинар №2 -2 ч.	работа с методическими указаниями
	Перестановочные неравенства	6	Лекция №3 – 4 ч.	Семинар №3 -2 ч.	работа с методическими указаниями
	Геометрические неравенства	4	Лекция №4 – 2 ч.	Семинар №4 -2 ч.	работа с методическими указаниями
	Метрические соотношения в выпуклых многоугольниках и многогранниках	4	Лекция №5 – 2 ч.	Семинар №4 -2 ч.	работа с методическими указаниями
	Итого:	24

Краткое содержание программы: Тема 1. Циклические и симметрические неравенства (4 акад. часа) Основы теории циклических и симметрических неравенств, приёмы доказательств неравенств: методы математической индукции и Р.Штурма, использование свойств монотонности, выпуклости и однородности. Классические неравенства со средними значениями, неравенства Коши, Коши-Буняковского, Гёлдера и Миньковского. Тема 2. Неравенства для выпуклых функций (6 акад. часа) Выпуклые функции и их свойства, лемма о трёх хордах, связь выпуклости и знака второй производной. Классические неравенства с выпуклыми функциями: Йенсена, Караматы, Фукса, Сегё. Тема 3. Перестановочные неравенства (6 акад. часа) Перестановочное неравенство и его обобщения: неравенства для сумм произведений элементов двух монотонных последовательностей, для произведений сумм элементов двух монотонных последовательностей, неравенство Чебышёва и др. Нерешенные проблемы. Тема 4. Геометрические неравенства (4 акад. часа) Неравенства для элементов треугольника. Экстремальные свойства треугольников и четырёхугольников. Экстремальные свойства правильных многоугольников: изопериметрическое неравенство, четырёхшарнирный метод Штейнера. Тема 5. Метрические соотношения в выпуклых многоугольниках и многогранниках (4 акад. часа) Линейные операции с выпуклыми телами и фигурами: умножение на скаляр и сумма Миньковского. Метрические свойства линейных операций. Неравенство Брунна-Миньковского. Формула Штейнера – Миньковского и её следствия для вложенных выпуклых многоугольников и многогранников.

Список литературы:

1. Седракян Н.М., Авоян А.М. Неравенства. Методы доказательства / Пер. с арм. Г.В. Григоряна. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. 256 с.
   
2. Маршалл А., Олкин И. Неравенства: теория мажоризации и её приложения / Пер. с англ. М.: Мир, 1983. 574 с.
   
3. Харди Г., Литтльвуд Д., Полиа Г. Неравенства: Пер. с англ. М.: 1948. 456 с.
   
4. Радемахер Г., Теплиц О. Числа и фигуры. М.: 1966. 264 с.
   
5. Храбров А.И. Вокруг монгольского неравенства // Математическое просвещение. Сер. 3. № 7, 2003. М.: МЦНМО, 2003. С. 149–162. 
   
6. Радзивиловский  Л.В. Обобщение перестановочного неравенства и монгольское неравенство // Математическое просвещение. Сер. 3.  № 10. М.: МЦНМО, 2006. С. 210–224.
   
7. Прасолов В.В. Задачи по алгебре, арифметике и анализу. М.: МЦНМО, 2005. 545 с.
   
8. Прасолов В.В. Задачи по планиметрии: Учебное пособие. 5-е изд., испр. и доп. М.: МЦНМО: ОАО Московские учебники, 2006. 640 с.
   

5. Формирование тематики перспективных проектов:
   

Примерный перечень тем научных работ

1. Многоугольник наибольшей площади
   

седьмой цикл занятий

24-28 октября 2011 г., г. Москва

2. Пояснительная записка
   

Седьмой цикл занятий посвящен методам векторной алгебры в евклидовой и неевклидовой геометрии. Программа мастер-класса включает изучение основ аналитической геометрии кривых и поверхностей, знакомство со сферической и проективной геометрией.


Изучение алгебры и геометрии в рамках седьмого цикла занятий направлено на достижение следующих целей:

• овладение методами вывода уравнений простейших кривых и поверхностей;
  
• знакомство с геометрией на сфере;
  
• знакомство с проективной геометрией;
  
• применение полученных знаний и умений для решения задач практической и теоретической деятельности.
  

должен знать:

• нормальный и направляющий векторы; уравнение кривой и поверхности; коническое сечение (коника); полуось; фокус; директриса; эксцентриситет; кривая второго порядка; поверхность второго порядка; эксцесс и дефект сферического треугольника; двойственность; проективные прямая, плоскость и пространство; проективные преобразования;
  
• методы вывода уравнений простейших кривых и поверхностей на плоскости и в пространстве;
  
• метод приведения уравнения кривой второго порядка к каноническому виду и её построения;
  

должен уметь:

• выводить уравнения простейших кривых и поверхностей;
  
• строить простейшие кривые и поверхности по их уравнениям, выяснять их взаимное расположение;
  
• использовать приобретенные знания и умения в научной работе;
  

получить представление:

• об алгебраических методах в геометрии,
  
• о геометрических методах в алгебре.
  

3. Рабочая программа седьмого цикла занятий:
   

№ п/п	Название темы	Форма проведения
		Объем курса (в акад. часах)	В том числе:
			Теоретические занятия (в акад. часах)	Практические занятия (в акад. часах)	Индивиду­аль­ная работа (в акад. часах)
	Уравнения прямой на плоскости и плоскости в пространстве	4	Лекция №1 – 2 ч.	Семинар №1 - 2 ч.	работа с методическими указаниями
	Уравнение прямой в пространстве, взаимное расположение прямой и плоскости	4	Лекция №2 – 2 ч.	Семинар №2 -2 ч.	работа с методическими указаниями
	Кривые и поверхности второго порядка	4	Лекция №3 – 2 ч.	Семинар №3 -2 ч.	работа с методическими указаниями
	Введение в сферическую тригонометрию	4	Лекция №4 – 2 ч.	Семинар №4 -2 ч.
	Введение в проективную геометрию	4	Лекция №5,6 – 4 ч.
	Итого:	20

Краткое содержание программы: Тема 1. Уравнения прямой на плоскости и плоскости в пространстве (4 акад. часа) Направляющий и нормальный векторы прямой на плоскости. Различные виды уравнения прямой на плоскости: уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно данному вектору; общее уравнение; каноническое; параметрическое уравнение прямой; уравнение прямой с угловым коэффициентом; уравнение прямой «в отрезках»; нормированное уравнение прямой. Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Условие перпендикулярности и параллельности прямых. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой. Отклонение точки от прямой. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору. Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, не лежащие на одной прямой. Уравнение плоскости «в отрезках». Угол между двумя плоскостями. Условие перпендикулярности и параллельности плоскостей. Нормированное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости. Тема 2. Уравнение прямой в пространстве, взаимное расположение прямой и плоскости (4 акад. часа) Прямая как линия пересечения двух плоскостей. Канонические и параметрические уравнения прямой в пространстве. Векторное уравнение прямой. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Расстояние от точки до прямой в пространстве. Условие пересечения двух прямых. Условие принадлежности двух прямых одной плоскости. Скрещивающиеся прямые, расстояние между ними. Условие параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. Вывод формулы для вычисления угла между пространственной прямой и плоскостью. Нахождение точки пересечения прямой и плоскости. Тема 3. Кривые и поверхности второго порядка (4 акад. часа) Геометрическое определение и вывод канонических уравнений, свойства кривых второго порядка. Приведение общего уравнения второй степени к каноническому виду. Уравнения окружности и сферы. Классификация поверхностей второго порядка и их равнения. Метод сечений. Цилиндрические и конические поверхности, поверхности вращения. Тема 4. Введение в сферическую тригонометрию (4 акад. часа) Точки, прямые и окружности на сфере. Сферический треугольник. Сумма углов сферического треугольника и её связь с площадью, эксцесс и дефект сферического треугольника. Формулы для решения сферического треугольника: теорема синусов, теоремы косинусов для сторон и для углов. Применение векторной алгебры для решения сферического треугольника. Тема 5. Введение в проективную геометрию (4 акад. часа) Проективная прямая и проективная плоскость. Однородные координаты. Проективные преобразования прямой и плоскости. Теоремы Паппа, Дезарга, Паскаля.

Список литературы:

1. Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия: Учеб. для вузов / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1998. 388 с.
   
2. Васильев Н., Гутенмахер В. Сумма углов сферического многоугольника // Квант. № 2, 1988. С. 55-56.
   
3. Скопенков М.Б. Теорема о высотах треугольника и тождество Якоби // Математическое просвещение. Сер. 3.  № 17. М.: МЦНМО, 2007. С. 79–89.
   
4. Сборник задач по математике для втузов. Ч. 1. Линейная алгебра и основы математического анализа: Учеб. пособие для вузов / Под ред. А.В. Ефимова и Б.П. Демидовича. 2-е изд., М.: Наука, 1986. 428 с.
   
5. Прасолов В.В. Задачи по планиметрии: Учебное пособие. 5-е изд., испр. и доп. М.: МЦНМО: ОАО Московские учебники, 2006. 640 с.
   

5. Формирование тематики перспективных проектов:
   

Примерный перечень тем научных работ

1. Теорема Наполеона в сферической геометрии
   
2. Изучение метрических характеристик сферического квадрата