Урок по теме: «Производная логарифмической и показательной функций»

Вид материала

Урок

Содержание Ход урока. Организационный момент. Сообщение темы и цели урока.

Подобный материал:

• «Производная показательной и логарифмической функции», 11.99kb.
• Муниципальное общеобразовательное учреждение, 227.38kb.
• Урок алгебры в 10 классе Тема: «Логарифмы, логарифмическая функция, её свойства и график», 66.6kb.
• Урок по теме: «Производная в технике, физике, химии, экономике, 178.94kb.
• Урок по теме «Производная в технике, физике, химии, экономике, 110.56kb.
• Урок по теме: "Показательные функции, уравнения, неравенства", 69.08kb.
• Урок информатики по теме: Использование, 107.33kb.
• Дифференциальное исчисление Лекция 18. Производная, её геометрический и механический, 172.29kb.
• Вопросы к экзамену по курсу «Вариационное исчисление и оптимальное управление» ( Весна, 40.7kb.
• Урок в 8-м классе по теме: "Тепловой баланс. Решение задач", 94.3kb.

ТВОРЧЕСКАЯ ЛАБОРАТОРИЯ

Урок по теме:


«Производная логарифмической и показательной функций»


Цели урока:

1. Обучающая: углубление понимания сущности производной путём применения её для получения новых знаний; вывести формулы производных логарифмической и показательной функций; показать значимость изучения данной темы.
   
2. Развивающая: формирование умений выполнять обобщения и конкретизацию; формирование умения строить доказательство, логическую цепочку рассуждений; установление межпредметных связей.
   
3. Воспитательная: воспитание познавательного интереса к учебному предмету.
   

Оборудование: плакат с высказыванием, девизом урока, компьютеры, экран, карточки для работы в группах.


Ход урока.


Девиз урока (записан на плакате).


Кто такой учёный?

Тот, кто ночами забыв про кровать,

Усердно роется в книжной груде.

Чтобы ещё кое-что узнать

Из того, что знают другие люди.

(П. Хейн).

1. Организационный момент.
   

Учитель читает четверостишье:

«Мир рвался в опытах Кюри

Атомной лопнувшею бомбой

На электронные струи

Не воплощённой гекатобомбой»

- Знакомы ли вам эти строчки? Нет? Это в 1921 году написал Андрей Белый. Вдумайтесь только1921 год! За полтора десятка лет до того, как учёные начали работать над созданием атомной бомбы и почти за четверть века до Хиросимы! Поэт предсказал вступление в атомный век! Как он смог?! Андрей Белый – это литературный псевдоним, а настоящее его имя Б.Н. Бугаев. Учился он на физико-математическом факультете Московского университета. Но почему же мы знаем о литературных достижениях Андрея Белого и так мало о математике Борисе Бугаеве? Дело в том, что мир узнаёт о каком-то великом человеке, когда он получает всемирное признание и ему вручают премию за достижения. Премий много, но самая престижная – Нобелевская. Она вручается за заслуги в самых различных областях. Так мир узнал о великих русских поэтах и писателях – Михаиле Шолохове, Иване Бунине, об Александре Солженицыне, Борисе Пастернаке и т.д. Но в списке нобелевских лауреатов вы не найдёте ни одного человека, которому бы её вручили за достижения в области математики. Почему? Потому что у её основателя Нобеля была невеста и друг – математик, который отбил её у него и Нобель завещал: за математику премию не вручать. И сейчас предлагаю вам стать учёными, чтобы все, кто здесь сидит, поняли, что (определение) ответ на вопрос : кто такой учёный?

Тот, кто ночами забыв про кровать,

Усердно роется в книжной груде.

Чтобы ещё кое-что узнать

Из того, что знают другие люди.

относится и к вам, показав это своим трудом, совершая открытия, исследования, выводы формул. И как знать, может быть, когда-нибудь признание найдет кого-то из вас.

Итак, начинаем урок.

2. Сообщение темы и цели урока.
   

(Высвечиваются на экране, дети записывают в тетрадь).

3. Актуализация опорных знаний.
   

(Вопросы высвечиваются на экране, зачитываются учителем, после ответа по щелчку высвечивается ответ).

1. Что означает данная запись?
   

ƒ (х + h) – ƒ(x)

h

2. Как можно записать это по-другому?
   

3. Дайте определение производной.
   

lim	Δf	= ƒ′(х) или ƒ′(х) =	lim	ƒ(х + h) – ƒ(х)	.
Δх→0	Δх		Δh→0	h

4. В чём заключается физический смысл производной?
   

5. Как называется правило нахождения производной?
   

6. Что означает: функция дифференцируема в каждой точке интервала (а; b)?
   

7. Верно ли обратное утверждение?
   

8. Что означает запись? Продолжите её:
   

(ƒ(х) + g(х))′ = (ƒ′(х) + g′(х)).

9. Продолжите равенство.
   

(сƒ(х))′ =

10. Верно ли равенство:
    

(ƒ(х) · g(х))′ = (ƒ′(х) · g′(х)).

11. Найдите ошибку в формуле:
    

(	ƒ(х)	)′ =	ƒ′(х)g(х) + g′(х)ƒ(х)	.
	g(х)		g′(х)

12. Объясните данную формулу:
    

ƒ(g(х))′ = ƒ′(g(х)) · g′(х).

13. Какое понятие неразделимо с понятием производной?
    

14. Производные каких функций мы умеем вычислять?
    

15. Назвать линейную функцию и её производную.
    

16. Назвать степенную функцию и её производную.
    

4. Выполнение теста (на компьютерах) (5 мин.)
   

5. Изучение новой темы.
   

1. Вводное слово учителя: Изучение темы «Производная» немыслимо без знаний о теории функций. На предыдущих уроках мы решали задачи, используя знания о линейной и степенной функциях, с помощью производной решали задачи на нахождение мгновенной скорости прямолинейного неравномерного движения, кинетическую энергию тела, силу, действующую на материальную точку и др.
   

А как решить такую немаловажную в жизни задачу (на экране высвечивается):

Масса радия в 1 г. через 10 лет уменьшилась до 0,999г. Через сколько лет масса радия уменьшится до 0,5г.?

Решение этой задачи и многих физических, биологических, технических и других задач сводится к решению уравнения

m′ (t) = m۪ ℮^−Rt (на экране)

где m′ (t) – скорость радиоактивного распада вещества, скорость размножения бактерий. Как видите такие задачи нельзя решить без знаний показательной и логарифмической функций и их производных. Я думаю, что результаты ваших исследований, желание постичь новое, ваши внимание и логика помогут достичь поставленных целей.

2. В решении таких задач большую роль играет число «℮». О своих исследованиях расскажут ученики (сообщения).
   

− Об истории и значимости логарифмической функции.

− По графику на экране о свойствах функции.

− Формула перехода от одного основания к другому.

− Понятие натурального логарифма. Вся вычислительная техника работает только с натуральными логарифмами.

− Формула перехода

1

log a x =	ln x	, где а > 0, а ≠ 1, ℮	ln a	= a
	ln a

− В высшей математике доказано.

2

(ln x)′ =	1	, х > 0
	x

(ln (Rx + b))′ = R ·	1	=	k	.
	kx + b		kx + b

3. Показательная функция и число «℮».
   

− Из истории показательной функции.

− Свойства показательной функции (график на экране).

− Формула a^x = ℮^{x ln a} = ( ℮ ^{ln a} ) = a^x ;

3 4

℮x ln a = ax

;

( ℮x )′ = ℮x

,

( ℮Rx + b)′ = k℮ Rx + b

Запись на доске формул 1, 2, 3, 4 (Слайд на экране)

Итак, настало время поработать в творческой лаборатории. Представьте себе, что вы учёные и работаете над выводом формул производных логарифмической функции и показательной функции. Создадим две творческие группы.

4. Вывод формул производных логарифмической и показательной функций (работа парами).
   

Каждая пара берёт лист № 1. Опорный лист для доказательства формулы производной логарифмической функции.

Лист № 1.

(log_a x)′ =

1). Переведите log_a x к основанию ℮.

2). Примените 2-е правило дифференцирования, т.е. постоянный множитель вынесите за знак производной.

3). Вычислите (ln x)′.

4). Умножьте полученные дроби.

5). Запишите формулу производной логарифмической функции

	(loga x)′ =	1
		x ln a

6). Найдите производную сложной функции.

(loga(kx + b))′ = loga′(kx + b) · (kx + )′ =	k
	(kx + b)ln a

7). По желанию вывод формулы написать на доске.


Лист № 2

(а^х)′ =

1. Запишите а^х с помощью числа ℮.
   

2. Примените формулу (℮^{kx + b})′ = k℮^{kx + b}

3. Замените ℮^{x ln a} равным ему значением.

4. Найдите производную сложной функции

(а ^{kx + b})′ =

5. По желанию вывод формулы записать на доске.

6. Закрепление теоретического материала в результате решения упражнений.
   

№ 831 (1, 3), № 832 (1, 5), № 833

7. Итоги урока.
   

1. Чему равна производная функции ℮^х , (ln x)′
   
2. ( )′ = 2^х ln 2
   
3. (log₈3x)′ =
   

Что же, вы смогли с помощью опорных знаний, добытых самими же, вывести формулы производных логарифмической и показательной функций. И я хочу вручить вам Нобелевскую премию – вы настоящие учёные. Откройте свои конверты и достаньте оттуда грамоты.

8. Задание на дом.
   

§7 до п.3. Исследовать другой способ доказательства производной показательной логарифмической функций. № 833 – 835 (2, 4), № 840 (2).

Почему крокодил? Потому что это животное никогда не отступает и не пятится назад! Этого я и вам желаю.

Затем лидеры в группах объявляют оценки и дают краткую характеристику работы каждого члена группы.