Новосибирский Государственный Технический Университет. Факультет автоматики и вычислительной техники Кафедра вычислительной техники (специальность 220100). учебное пособие

Вид материала

Учебное пособие

Содержание 0.1.2  Двумерные преобразования в однородных координатах Декартовые точки с бесконечными координатами Параллельные прямые

Подобный материал:

• Новосибирский Государственный Технический Университет. Факультет автоматики и вычислительной, 1650.9kb.
• Рабочая программа для специальности: 220400 Программное обеспечение вычислительной, 133.96kb.
• Государственный Технический Университет. Факультет: Автоматики и Вычислительной Техники., 32.46kb.
• Образования Республики Молдова Колледж Микроэлектроники и Вычислительной Техники Кафедра, 113.64kb.
• Постоянное развитие и углубление профессиональных навыков в области информационных, 54.56kb.
• «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем», 1790.14kb.
• Задачи дисциплины: -изучение основ вычислительной техники; -изучение принципов построения, 37.44kb.
• Лекция №2 «История развития вычислительной техники», 78.1kb.
• Система контроля и анализа технических свойств интегральных элементов и устройств вычислительной, 582.84kb.
• Московский государственный инженерно-физический институт (технический университет), 947.05kb.

0.1.2  Двумерные преобразования в однородных координатах

Как видно из (2), (4) и (6) двумерные преобразования имеют различный вид. Сдвиг реализуется сложением, а масштабирование и поворот - умножением. Это различие затрудняет формирование суммарного преобразования и устраняется использованием двумерных однородных координат точки, имеющих вид:

[ x y w ].

Здесь w - произвольный множитель не равный 0.

Двумерные декартовые координаты точки получаются из однородных делением на множитель w:

X = x / w, Y = y / w.

(0.1.8)

Однородные координаты можно представить как промасштабированные с коэффициентом w значения двумерных координат, расположенные в плоскости с Z = w.

В силу произвольности значения w в однородных координатах не существует единственного представления точки, заданной в декартовых координатах.

Преобразования сдвига, масштабирования и поворота в однородных координатах относительно центра координат все имеют одинаковую форму произведения вектора исходных координат на матрицу преобразования.

Для сдвига

  xn yn wn   =   x y w   ·       1 0 0 0 1 0 Tx Ty 1       .

(0.1.9)

Для масштабирования

  xn yn wn   =   x y w   ·       Sx 0 0 0 Sy 0 0 0 1       .

(0.1.10)

Для поворота

  xn yn wn   =   x y w   ·       cos sin 0 -sin cos 0 0 0 1       .

(0.1.11)

Как видно из (9) - (11), wn = w, а матрица преобразования для двумерных однородных координат в общем случае имеет вид:

         A B D E P Q L M S          ,

(0.1.12)

где элементы A,   B,   D и E определяют изменение масштаба, поворот и смещение, а L и M определяют сдвиг. Покажем, что элемент S определяет общее изменение масштаба, а элементы P и Q определяют проецирование.

Рассмотрим вначале для этого преобразование

  xn yn h   =   x y 1   ·       1 0 0 0 1 0 0 0 S       .

Легко видеть, что xn = x,   yn = y,   h = S. Таким образом двумерные декартовые координаты преобразованной точки

Xn = xn / h = x / S, Yn = yn / h = y / S,

т.е. такое преобразование задает изменение масштаба вектора положения точки. При S < 1 выполняется уменьшение, а при S > 1 - увеличение.

Для уяснения смысла третьего столбца матрицы преобразований (12) выполним преобразование

  xn yn h   =   x y 1   ·       1 0 P 0 1 Q 0 0 1       =   x y (Px+Qy+1)   .

Здесь xn = x,   yn = y,   h = Px + Qy + 1, т.е. переменная h, которая определяет плоскость, содержащую преобразованные точки, представленные в однородных координатах, образует теперь уравнение плоскости в трехмерном пространстве:

h = Px + Qy + 1.

(0.1.13)

Получим результирующие двумерные декартовые координаты Xn, Yn для преобразованной точки

Xn = x Px + Qy + 1 , Yn = y Px + Qy + 1 .

Это соответствует вычислению их в плоскости Z = 1, т.е. проецированию из плоскости (13) в плоскость Z = 1. Легко показать, что центр проецирования находится в начале координат. Рассмотрим для этого параметрические уравнения прямой, проходящей через точки (X₀, Y₀, 1) и (X, Y, (MX+NY+1) ):

X(t) = X0 + (X-X0) ×t = x/h + (x - x/h) ×t Y(t) = Y0 + (Y-Y0) ×t = y/h + (y - y/h) ×t Z(t) = 1 + (MX+NY) ×t = 1 + (h - 1) ×t .

(0.1.14)

Из условия X(t) = X₀ = 0 находим t = 1/(1 - h), подставляя это значение t в выражения для Y(t) и Z(t), получим:

Y0 = y/h + (y - y/h)/(1-h) = y/h - y/h = 0.

Z0 = 1 + (h-1)/(1-h) = 0.

Итак, показано, что элементы P и Q матрицы (12) определяют проецирование с центром проекции в начале координат.

Кроме удобств, связанных с единообразным представлением преобразований, и, следовательно, с упрощением композиции преобразований, рассматриваемой в следующем пункте, однородные координаты дают возможность простого представления точек, имеющих в декартовой системе значение координаты, равное бесконечности.

Декартовые точки с бесконечными координатами

Рассмотрим в декартовой системе линию, проходящую через начало координат и точку (X,Y). Однородные координаты этой точки - (x,y,h) = (hX, hY, h), где h имеет произвольное значение. Предел отношения x/y при h стремящимся к 0 равен X/Y, но при этом декартовые координаты стремятся к бесконечности. Таким образом, точка с однородными координатами

(x, y, 0)

(0.1.15)

задает в декартовой системе точку на бесконечности для рассмотренной прямой. В частности, точка с однородными координатами (1, 0, 0) задает бесконечную точку на декартовой оси X, а точка с однородными координатами (0, 1, 0) задает бесконечную точку на декартовой оси Y.

Параллельные прямые

Покажем, что прямые, параллельные в декартовой системе координат, в однородных координатах имеют точку пересечения. Эта особенность далее будет использована при анализе перспективных преобразований.

Пусть две пересекающиеся прямые в декартовой системе координат заданы системой уравнений:

A1 ·X + B1 ·Y + C1 = 0 A2 ·X + B2 ·Y + C2 = 0.

(0.1.16)

Решая эту систему относительно X и Y, найдем координаты точки пересечения

X0 = C1 ·B2-C2 ·B1 A1 ·B2-A2 ·B1 .

Y0 = A1 ·C2-A2 ·C1 A1 ·B2-A2 ·B1 .

Запишем результат в однородных координатах

   C1 ·B2-C2 ·B1 A1 ·B2-A2 ·B1 ,  A1 ·C2-A2 ·C1 A1 ·B2-A2 ·B1 ,  1    .

В силу произвольности масштабного множителя, умножим значения координат на (A₁ ·B₂ - A₂ ·B₁)

(C1 ·B2-C2 ·B1,  A1 ·C2-A2 ·C1,  A1 ·B2-A2 ·B1).

Если прямые параллельны, то определитель системы (16) - (A₁ ·B₂-A₂ ·B₁) равен нулю. Учитывая это и обозначая x₀ = (C₁ ·B₂-C₂ ·B₁), y₀ = (A₁ ·C₂-A₂ ·C₁), получим координату пересечения параллельных прямых в однородной системе координат

( x0, y0, 0 ).

При этом точка пересечения лежит на прямой -y₀ ·x + x₀ ·y = 0 на бесконечности.