Скорохватов Михаил Дмитриевич программа

Вид материала

Программа

Содержание Всего часов Статистические методы анализа эксперимента Раздел 2. Распределение вероятностей случайных величин Некоторые распределения и их свойства Распределение вероятностей нескольких случайных величин Раздел 3. Выборочный метод Прямые и косвенные измерения. Раздел 4. Принцип максимального правдоподобия Равноточные и неравноточные измерения Раздел 5. Метод наименьших квадратов Непрямые измерения, линейный случай Раздел 5. Проверка гипотез

Подобный материал:

• Анна андреева андрей Дмитриевич, 986.66kb.
• Программа конференции 30 января государственная публичная историческая библиотека, 106.9kb.
• Л. Киселев, 91.73kb.
• Нагайцев михаил Дмитриевич, 447.84kb.
• Юрий Дмитриевич, 182.48kb.
• Илларионов Михаил Дмитриевич Криминалистика лекция, 494.67kb.
• Бальмонт Константин Дмитриевич, 51.7kb.
• Николай Дмитриевич 17. 04. 1890 17., 159.49kb.
• Программа телеканала "пятый канал", 86.24kb.
• Васильева Татьяна Вадимовна Редактор: доктор философских наук, профессор Губин Валерий, 113.49kb.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Московский физико-технический институт

(государственный университет)


УТВЕРЖДАЮ

Проректор по учебной работе

Ю.А. Самарский

___ мая 2009 г.


ПРОГРАММА


по курсу: СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА ЭКСПЕРИМЕНТА

по направлению: 511600

факультет: ФНБИК

кафедра: физики и физического материаловедения

курс: I

семестр: 1

лекции: 17 часов

практические (семинарские) занятия: 17 часов

лабораторные занятия: нет

самостоятельная работа: 1 час в неделю

экзамен: нет

зачет: 1 семестр

ВСЕГО ЧАСОВ: 34


Программу и задание составил:

д.ф.-м.н. Скорохватов Михаил Дмитриевич


Программа утверждена на заседании кафедры физики и

физического материаловедения ___ мая 2009 года


Заведующий кафедрой В.Г. Вакс


СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА ЭКСПЕРИМЕНТА


Раздел 1. Вероятности


Понятие эксперимента, как строгой последовательности определенных действий, ведущих к получению (измерению) одной или нескольких величин.

Понятие случайной величины.

Результат эксперимента, дискретные и непрерывные величины, результаты повторных экспериментов.

Понятие выборочного пространства и события.

Частотное определение вероятности. Основные понятия аксиоматической теории вероятности.

Случайные события, дополнительное событие, логические операции, совместные и несовместные события, независимые события.

Условная вероятность.


Литература: [1], [2], [5].


Раздел 2. Распределение вероятностей случайных величин


Функция распределения вероятностей случайной величины X:

F(x) = P(X

lim F(x) при x+ = 1

lim F(x) при x- = 0


Плотность вероятности случайной величины:




Функции одной случайной величины, математическое ожидание, дисперсия распределения.


Математическое ожидание или среднее значение для дискретной случайной величины:



для непрерывной случайной величины:




Дисперсия распределения дискретной случайной величины:



непрерывной случайной величины:



Стандартное отклонение или ошибка X :

Некоторые распределения и их свойства

1. Биномиальное распределение
   

2. Равномерное распределение
   

3. Распределение Пуассона
   

4. Распределение Гаусса
   

5. Стандартное (приведенное) распределение Гаусса
   

Нормированная переменная




Распределение Гаусса широко используется при анализе погрешности измерений: если случайная величина является суммой большого числа независимых случайных величин, то она распределена по нормальному закону (независимо от распределения слагаемых). Такая ситуация характерна для сложных физических экспериментов.

Распределение вероятностей нескольких случайных величин

Понятие функции распределения и плотности вероятности для двух случайных величин.

Моменты распределения.

Случай двух случайных величин. Ковариация двух случайных величин, коэффициент корреляции.


Литература: [1], [3]; [5].

Раздел 3. Выборочный метод


Понятие выборки, объема выборки, популяции.

Выборочное распределение,

Статистика – любая функция от выборки x₁, x₂, x₃, …. x_n.


Оценка параметра:

S₀ – истинное значение параметра

S = S(x₁, x₂, x₃, …. x_n) – статистика для оценки S₀.

Несмещенная оценка:

Математическое ожидание функции S(x₁, x₂, x₃, …. x_n) равно S₀ для любого n.

Состоятельная оценка:

Дисперсия функции S(x₁, x₂, x₃, …. x_n) стремится к 0 при n .


Выборочное среднее

- несмещенная и состоятельная оценка для математического ожидания (среднего значения) распределения случайной величины, т.е. оценка




Выборочная дисперсия

несмещенная оценка дисперсии распределения случайной величины X, т.е. оценка ²(x).

Замечания о числе степеней свободы.


Распределение выборочного среднего, дисперсия распределения

Прямые и косвенные измерения.

Вычисление ошибок в косвенных измерениях.

y = y(x)





Для нескольких случайных величин z = z (x,y):




Литература: [1], [5].


Раздел 4. Принцип максимального правдоподобия


Функция правдоподобия и логарифмическая функция правдоподобия:


L() = f(x₁, )f(x₂, )…..f(x_n, ) где  - неизвестный параметр функции

f(x, ) распределения случайной величины x, а (x₁, x₂,…x_n) – выборка.


l = lnL =  lnf(x_n, )


Оценка параметра  следует из решения уравнения:





Ошибка связана с дисперсией распределения :

при условии нормировки


Для функций специального вида , дисперсия равна .

Равноточные и неравноточные измерения

Оценка среднего значения в прямых равноточных измерениях по выборке

(x₁, x₂,…x_n), каждое x_n получено с одинаковой ошибкой .




Оценка среднего значения в прямых неравноточных измерениях по выборке

(x₁, x₂,…x_n), каждое x_n получено со своей ошибкой _n.




Литература: [1], [3], [5].


Раздел 5. Метод наименьших квадратов


Прямые измерения, результаты повторных экспериментов:

y_n = x + _n, где x- истинное значение, _n - флюктуации результатов вокруг истинного значения.

Значение определяется таким образом, чтобы

или

Предполагается, что _n распределены нормально вокруг нулевого значения с дисперсией (у_n)².

Примеры – равноточные и неравноточные измерения.

Непрямые измерения, линейный случай:

где предполагается, что y_n измеряются (находятся) с ошибками y_n при соответствующих значениях x_n.



Для нахождения ₁ и ₂ ищем min функции



т.е.



Значения ₁ и ₂ находятся из решений двух уравнений.

Связь метода наименьших квадратов и метода максимального правдоподобия.

Логарифмическая функция правдоподобия для стандартного распределения Гаусса величин u=_n /_n: .

Литература: [1]; [3], [5].

Раздел 5. Проверка гипотез


Параметрические критерии и критерии согласия. Примеры.

Понятие уровня значимости, двусторонние и односторонние критерии.

Критерий Фишера равенства дисперсий.

Критерий Стьюдента равенства средних значений.


Распределение ²

Определение ² как суммы квадратов n величин из стандартного распределения Гаусса f(x) с дисперсией равной 1 и средним значением равным 0:

, где n – число степеней свободы.

Функция распределения F(² ) и плотность распределения f(²).



Математическое ожидание M(²) = 2 = n

Дисперсия ²(²) = 4 = 2n


Критерий согласия ²

Проверка гипотезы о принадлежности выборки (x₁,x₂, …, x_n) к распределению случайной величины X, плотность которого задается функцией f(x).

Область значений (x) разбивается на (r) интервалов, так что



Для каждого интервала (x_i) подсчитывается число элементов выборки (n_i), входящих в этот интервал, т.е.



где n - объем выборки.

Для проверки гипотезы рассчитывается сумма X²:



которая при n подчиняется распределению ² с ( r-1 ) степенями свободы.

Применение критерия для случаев:

 f(x) - распределение Гаусса

 f(x) - распределение Пуассона.

Критерий ² и метод наименьших квадратов.

Применение метода наименьших квадратов связано с построением суммы:



При n распределение величин М переходит в распределение ² с (n-m) степенями свободы, где m - число связей при нахождении параметров _m:

m уравнений.


Таким образом, критерий ² может быть использован для проверки согласия y=F(x,_m) при подгонке параметров методом наименьших квадратов или в более общем случае при решении задач методом максимального правдоподобия.


Литература: [1]; [3], [4].


СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ


1. З. Брандт «Статистические методы анализа наблюдений»

2. Б.В. Гнеденко «Курс теории вероятностей»

3. Б.Л. Ван дер Варден «Математическая статистика»


Дополнительная литература


4. Д. Худсон «Статистика для физиков»

5. С.С. Уилкс «Математическая статистика»

6. Дж. Сквайрс «Практическая физика»