Geum.ru

А. В. Язенин 2010 г. Программа

Вид материалаПрограмма

Содержание


Методы моделирования и анализа динамических систем
Подобный материал:

УТВЕРЖДАЮ


Декан факультета ПМиК

А.В. Язенин

«___»____________2010 г.



ПРОГРАММА

итогового государственного экзамена по направлению

010500 «Прикладная математика и информатика» (магистратура)

Специализация «Математическое моделирование»


Mетоды математического моделирования
  1. Математические методы исследования нелинейных динамических систем. Особенности поведения нелинейных динамических систем. Понятие устойчивости систем (общенаучное, математическое).
  2. Системы нелинейных дифференциальных уравнений Ляпунова. Приведение этих систем к каноническому виду. Условия существования периодических решений.
  3. Алгоритм метода Ляпунова для автономных нелинейных систем. Примеры нахождения приближенных решений для консервативных и неконсервативных систем.
  4. Метод Ван-дер-Поля (методы разделения движений). Алгоритм построения приближенного периодического решения для автономных систем. Примеры.
  5. Метод Пуанкаре. Алгоритм построения приближенного периодического решения для автономных систем. Примеры.
  6. Метод А.Н.Крылова. Алгоритм построения приближенных решений. Пример.
  7. Алгоритм метода Пуанкаре построения автоколебательных режимов для неавтономных систем. Колебания вдали от резонанса. Пример.
  8. Алгоритм метода Пуанкаре построения автоколебательных режимов для неавтономных систем. Резонансные колебания.
  9. Алгоритм построения приближенных решений для квазилинейных неавтономных систем на основе метода Н.Н.Боголюбова. Пример.
  10. Метод Бубнова-Галеркина. Алгоритм построения периодических решений квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Пример.


Литература
  1. Н.Н. Моисеев. Асимтотические методы нелинейной механики. М.: Наука, изд. 1-е, 1969, изд. 2-е, 1981.
  2. И.М. Бабаков. Теория колебаний. М.: Наука, 1968. гл.5.
  3. А.С. Вольмир. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. М.: Наука, 1972.
  4. А.Н.Кудинов, В.А.Колдунов, О.И.Черепанов. Численные методы расчета оболочечных конструкций с трехмерных позиций. Тверь: ТвГУ, 2006.
  5. Е.А.Андреева, В.М.Цирулева. Вариационное исчисление и методы оптимизации. Тверь: ТвГУ, гл.3, 2001.



Математические модели процесса потери устойчивости динамических систем
  1. Устойчивость равновесного состояния системы при потенциальных силах. Теорема Лагранжа-Дирихле об устойчивости равновесия консервативной системы.
  2. Уравнения возмущенного движения в относительных координатах. Определение устойчивости движения.
  3. Прямой метод А.М. Ляпунова об оценке устойчивости возмущенного движения. Функции Ляпунова первого и второго рода.
  4. Теоремы А.М. Ляпунова об устойчивости и неустойчивости возмущенного (неустановившегося) движения.
  5. Теорема А.М. Ляпунова об асимптотической устойчивости неустановившегося движения.
  6. Критерии отрицательности вещественных частей корней характеристического уравнения. Критерии Гауса и Гурвица.
  7. Каноническая форма уравнений движения первого приближения.
  8. Основные теоремы А.М.Ляпунова об устойчивости по первому приближению.
  9. Устойчивость периодических движений автономной квазилинейной системы с одной степенью свободы.
  10. Оценка устойчивости периодических движений неавтономной квазилинейной системы с одной степенью свободы.



Литература
  1. Н.Г. Четаев. Устойчивость движения. М.: Наука, изд. 3-е, 1965, изд. 4-е, 1990.
  2. И.М. Бабаков. Теория колебаний. М.: Наука, гл. 10,11, 1968.
  3. И.А. Алфутов, К.С. Колесников. Устойчивость движения и равновесия. М.: МТУ им. Баумана, 2003.
  4. А.П. Проскуряков. Метод Пуанкаре в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1977.


Методы вычислительной механики
  1. Плоские задачи теории упругости. Запись уравнений плоской задачи теории упругости в комплексной форме.
  2. Общее решение плоской задачи теории упругости с использованием функций комплексных переменных. Комплексное представление перемещений и напряжений. Запись граничных условий плоских задач теории упругости в комплексной форме.
  3. Решение первой основной задачи теории упругости для бесконечной плоскости с круговым отверстием. Понятие о концентрации напряжений.
  4. Решение первой основной задачи теории упругости для кругового кольца.
  5. Решение задачи теории упругости для бесконечной плоскости с круговым упругим включением.
  6. Запись граничных условий плоских задач теории упругости при использовании конформного отображения. Решение первой основной задачи теории упругости для бесконечной плоскости с эллиптическим отверстием.
  7. Напряженно-деформированное состояние в бесконечно протяженном теле с прямолинейной щелью.
  8. Коэффициенты интенсивности напряжений. Критерий локального разрушения. Энергетический метод в механике разрушения.


Литература
  1. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. – М.: Наука, 1967. – 708 с.
  2. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т.1,2. М.:Наука, 1994.
  3. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. – М.:Наука, 1975. – 576с.
  4. Левин В.А., Зингерман К.М. Плоские задачи теории многократного наложения больших деформаций. Методы решения. – М.: Физматлит, 2002. – 272 с.


Методы решения задач динамики жидкости
  1. Основные уравнения во вращающейся системе координат. Уравнения движения и неразрывности. Квазистатическое приближение. Уравнения движения и неразрывности в сферической системе координат. Уравнения «диффузии» тепла и соли.
  2. Двумерная модель ветровых течений и переноса примеси в водоёме. Вывод вспомогательных соотношений. Вывод уравнения для интегральной функции тока. Краевые условия. Вывод соотношений для определения значения функции тока на границах островов, в случае не односвязной области. Оценка порядков величин различных членов в уравнении для интегральной функции тока (безразмерный анализ).
  3. Понятие о методе конечных разностей для решения уравнений в частных производных. Метод прогонки для решения систем алгебраических уравнений с трёхдиагональной матрицей коэффициентов. Матричная прогонка. Понятие об итерационных методах решения систем алгебраических уравнений и примеры их реализации. Простая итерация (метод одновременных смещений), метод последовательных смещений, метод неполной релаксации, метод прогонок по линиям, блочные методы Якоби, Гаусса-Зейделя, неполной релаксации.


Литература
  1. Кочин Н.Е, Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. – М.: Иностр. лит., 1963.
  2. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости: Пер. с англ. – М.: Мир, 1973.
  3. Гилл А. Динамика атмосферы и океана: Пер. с англ. – М.: Мир, 1986.
  4. Педлоски Дж. Геофизическая гидродинамика: Пер. с англ. – М.: Мир, 1984.
  5. Климок В.И. Математические модели гидротермодинамики водоёма и их численная реализация: Учеб. Пособие. – Тверь: ТвГУ, 2006.



Методы моделирования и анализа динамических систем


Метод конечных элементов
  1. Динамические системы. Методы построения моделей. Примеры математических моделей динамических систем в экологических, экономических задачах, задачах механики.
  2. Качественный анализ нелинейных дифференциальных систем. Задачи, общая схема, примеры анализа.
  3. Вариационная постановка задач механики. Методы решения: метод локальных вариаций, метод установления.
  4. Базовые понятия метода конечных элементов. Общая теория, методика и алгоритмы построения конечно-элементных моделей. Постановка задач динамики и статики.
  5. Конечно-элементные модели дискретных систем. Реализация общей методики метода конечных элементов, основные соотношения, конечно-элементная формулировка задачи статики и динамики для стержневой системы.
  6. Конечно-элементные модели непрерывных систем. Реализация общей методики метода конечных элементов, основные соотношения, конечно-элементная формулировка задачи статики для задачи о плоском напряженном состоянии.
  7. Численные методы решения задач динамики. Спектральное разложение, общая теория и решение задач статики и динамики МКЭ методом собственных форм.


Литература
  1. Холодниок М., Клич А., Кубичек М., Марек М. Методы анализа нелинейных динамических моделей. Мир: 1991.
  2. Математическое моделирование. Ред. Дж. Эндрюс., Р.Мак-Лоун. Мир: 1979.
  3. Кротов В.Ф., Лагоша Б.А., Лобанов С.М., др. Основы теории оптимального управления. М.: Высшая школа, 1990.
  4. Алфутов Н.А. Основы расчета на устойчивость упругих систем. М.: Машиностроение, 1978.
  5. Бате Н., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. М.: Стройиздат, 1982.