Xv научно-практическая конференция «Шаг в будущее» Муниципальное образовательное учреждение

Вид материала

Содержание

Цель и задачи исследования
Глава 1. Понятие, свойства правильных, полуправильных, правильных звёздчатых многогранников
Двойственные многогранники.
2.Понятие полуправильных многогранников.
Глава2. Задачи на построение правильных, полуправильных и правильных звёздчатых многогранников
Построить правильный октаэдр, вписанный в данный куб.
Опишите около данного куба правильный октаэдр.
О - центре куба - и являются взаимно перпендикулярными (рис. 5). На каждой из этих прямых по обе стороны от точки О
Хух'у’, хz.х'z',уzу’z'
Хух' у’zz’
SРRQ (рис. 30). проведем на ней среднюю линию, соединяя середины ребер SР

Подобный материал:

Городское управление образования

XV научно-практическая конференция «Шаг в будущее »

Муниципальное образовательное учреждение

гимназия №33

Построение многогранников с помощью куба.

Выполнила: ученица 11 «А» класса Мезенина Алёна

Научный руководитель:

Коногорова Л.А, учитель математики высшей квалификационной категории гимназии №33

Улан-Удэ

2008

Оглавление

Введение 3

Глава 1. Понятие, свойства правильных, полуправильных, правильных звёздчатых многогранников

§ 1. Понятие и свойства правильного многогранника 4

§ 2. Понятие полуправильных многогранников 5

§3. Понятие правильных звёздчатых многогранников 6

Глава 2.Задачи на построение правильных ,полуправильных и правильных звёздчатых многогранников с помощью куба………………………….. …………………………………….................8

Заключение ………………………………………………………………………….…………………...…11

Список использованной литературы…. ..12

Приложения

Введение

Правильные многогранники с древних времён привлекали к себе внимание ученых, архитекторов, художников. Их поражала красота, совершенство, гармония этих многогранников. Пифагорейцы считали эти многогранники божественными и использовали их в своих философских сочинениях о существе мире. Подробно описал свойства правильных многогранников древнегреческий учёный Платон. Именно поэтому правильные многогранники называются также телами Платона. В учебных пособиях по геометрии за курс средней школы даны весьма скудные сведения о многогранниках. Задач на эту тему предлагается совсем немного, из-за чего возможности темы совершенно не раскрываются. А ведь она в теоретическом отношении очень богата, позволяет сформулировать много интересных задач. Решение предложенных задач позволит увидеть, что определенные приемы построения помогают в значительной мере упростить как само построение, так и понимание свойств фигуры. Один из таких приемов — «привязывание» сложной фигуры к фигуре более простой, в частности, к кубу. Этот прием, хорошо известный геометрам, в школе почти не применяется. И напрасно, поскольку обращение к кубу помогает нам, как по ступенькам, подниматься от одного Платонова тела к другому, переходя от простых задач, к более сложным.

Цель и задачи исследования: Целью данного исследования является изучение построения многогранников разных видов: правильных, полуправильных, звездчатых. Достижение данной цели реализуется через постановку и решение следующих задач:

анализ учебной и научной литературы по данной теме;
ознакомление с понятиями правильного, полуправильного, звездчатого многогранников, их видами и свойствами;
решение практических задач на построение данных многогранников с использованием куба;

- выяснение целесообразности данного приёма.

Глава 1. Понятие, свойства правильных, полуправильных, правильных звёздчатых многогранников

§ 1 Понятие и свойство правильного многогранника

МНОГОГРАННИК - это поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело. Эти многоугольники называются гранями, их стороны - ребрами, а вершины - вершинами многогранника. Многогранник, у которого гранями являются равные правильные многоугольники, и число ребер, выходящих из каждой вершины многогранника, одинаково (т. е. все многогранные утлы равны), называется правильным.

Если все грани - правильные р- угольники и q из них примыкают к каждой вершине, то такой правильный многогранник обозначается {р, q}. Это обозначение было предложено Л.Шлефли (1814 - 1895), швейцарским математиком, которому принадлежит немало изящных результатов в геометрии и математическом анализе, (таблица!)

Простейшими правильными многогранниками является правильный тетраэдр, гранями которого служат четыре равносторонних треугольника и к каждой из вершин примыкают по три грани. Тетраэдру соответствует запись {3, 3}. Это не что иное, как частный случай треугольной пирамиды. Наиболее известен из правильных многогранников куб (иногда называемый правильным гексаэдром)- прямая квадратная призма, все шесть граней которой -квадраты. Так как к каждой вершине примыкают по 3 квадрата, куб обозначается {4, 3}. Если две одинаковые квадратные пирамиды с гранями, имеющими форму равносторонних треугольников, совместить основаниями, то получится многогранник, называемый правильным октаэдром. Он ограничен восемью равносторонними треугольниками, к каждой из вершин примыкают по четыре треугольника, и следовательно, ему соответствует запись {3, 4}. Правильный октаэдр можно рассматривать и как частный случай прямой правильной треугольной антипризмы

Вершины любого правильного многогранника лежат на сфере. Кроме этой сферы, называемой «описанной сферой», имеются еще две важные сферы. Одна из них, «срединная сфера», проходит через середины всех ребер, а другая, «вписанная сфера», касается всех граней в их центрах. Все три сферы имеют общий центр, который называется центром многогранника.

Двойственные многогранники. Рассмотрим правильный многогранник {р, g} и его срединную сферу 5. Средняя точка каждого ребра касается сферы. Заменяя каждое ребро отрезком перпендикулярной прямой, касательной к .V в той же точке, мы получим N₁ ребер многогранника, двойственного многограннику {р,q}. Нетрудно показать, что гранями двойственного многогранника служат правильные g-угольники и что к каждой вершине примыкают р граней. Следовательно, многограннику {р,q}двойствен правильный многогранник {q,р}. Существуют две пары правильных многогранников, для которых число вершин одного равно числу граней другого -октаэдр и куб, икосаэдр и додекаэдр.

Симметрия. Основной интерес к правильным многогранникам вызывает большое число симметрии, которыми они обладают. Под симметрией многогранника мы понимаем такое его движение как твердого тела в пространстве ( поворот вокруг некоторой прямой, отражение относительно некоторой плоскости и т.д.), которое оставляет неизменным множества вершин, ребер и граней многогранника. Иначе говоря, под действием преобразования симметрии вершина, ребро пли грань либо сохраняет свое исходное положение, либо переводится в исходное положение другой вершины, другого ребра или другой грани.

Существует одна симметрия, которая свойственна всем многогранникам. Речь идет о тождественном преобразовании, оставляющем любую точку в исходном положении. С менее тривиальным примером симметрии мы встречаемся в случае прямой правильной р-угольной призмы. Пусть L - прямая, соединяющая центры оснований. Поворот вокруг L на любое целое кратное угла 360/р градусов является симметрией. Пусть, далее. - плоскость, проходящая посредине между основаниями параллельно им. Отражение относительно плоскости (движение, переводящее любую точку Р в точку Р, такую, что пересекает отрезок РР под прямым углом и делит его пополам) - еще одна симметрия. Комбинируя отражение относительно плоскости с поворотом вокруг прямой L , мы получим еще одну симметрию.

Симметрия, являющаяся произведением четного числа отражений, называется прямой, в противном случае - обратной. Таким образом, любой поворот вокруг прямой - прямая симметрия. Любое отражение есть обратная симметрия. Таким образом, тетраэдр допускает всего 24 симметрии. Куб и октаэдр имеет 24 прямых симметрии. Икосаэдр и додекаэдр имеют 60 прямых симметрии.

§ 2.Понятие полуправильных многогранников.

Определение'. Полуправильным многогранниками: называется выпуклый многогранник, гранями которого являются правильные многоугольники, возможно и с разным числом сторон, и в каждой вершине сходится одинаковое число граней.

К полу правильным многогранникам относятся правильные п-угольные призмы, все ребра которых равны, т. е. боковыми гранями которых являются квадраты. Например, правильная шестиугольная призма, изображенная на рисунке 6, имеет своими гранями два правильных шестиугольника - основания призмы и шесть квадратов, образующих боковую поверхность призмы.

К полуправильным многогранникам относятся также так называемые п-угольные антипризмы, все ребра которых равны. На рисунке 7 изображена шестиугольная антипризма, полученная из шестиугольной призмы поворотом одного из оснований относительно другого на угол 30°. Каждая вершина верхнего и нижнего оснований соединена с двумя ближайшими вершинами другого основания. Если высоту призмы чтобы все боковые грани являлись правильными треугольниками, то полученная антипризма будет полуправильным многогранником.

Кроме этих двух бесконечных серий полуправильных многогранников имеется еще только 14 полуправильных многогранников, 13 из которых впервые открыл и описал древнегреческий математик, физик и механик Архимед (287—212 до н. э.). Поэтому эти полуправильные многогранники называются также телами Архимеда.

Самые простые из них получаются ; из правильных многогранников операцией «усечения», состоящей в отсечении плоскостями углов многогранника.

Если срезать углы тетраэдра плоскостями, каждая из которых отсекает третью часть его ребер, выходящих из одной вершины, то , получим усеченный тетраэдр, имеющий восемь граней (рис. 8). Из них четыре— правильные шестиугольники и четыре правильные треугольники. В каждой вершине этого многогранника сходится три грани.

Если указанным образом срезать углы октаэдра и икосаэдра, то получим усеченный октаэдр (рис. 9) и усеченный икосаэдр (рис. 10). Обратите внимание, что поверхность футбольного мяча изготавливают в форме поверхности усеченного икосаэдра.

Из куба и додекаэдра также можно получить усеченный куб (рис. 11) и усеченный додекаэдр (рис. 12).

Заметим, что если к этим усеченным многогранникам опять применить операцию «усечения», то полуправильные многогранники уже не получатся.

Для того чтобы получить еще один полуправильный многогранник, прове-

дем в кубе секущие плоскости через середины ребер, выходящих из одной вершины. В результате получим полуправильный многогранник, который называется кубооктаэдр (рис. 13), Его гранями являются шесть квадратов, как у куба, и восемь правильных треугольников, как у октаэдра. Отсюда и его название — кубооктаэдр.

Аналогично если в додекаэдре секущие плоскости провести через середины ребер, выходящих из одной вершины, то получим многогранник, который называется цкосододекаэдр (рис. 14). У него двенадцать граней — правильные пятиугольники и двадцать граней — правильные треугольники, т. е. все грани додекаэдра и икосаэдра.

К последним двум многогранникам снова применим операцию «усечения». Получим соответственно усеченный кубоокгаэдр (рис. 15) и усеченный икосододекаэдр (рис. 16).

Мы рассмотрели 9 из 13 описанных Архимедом иолуправильных многогранников. Четыре оставшихся — многогранники более сложного типа. Перечислим их.

Ромбокубооктаэдр (рис. 117). У него 26 граней, из них 18 квадратов и 8 правильных треугольников.

Ромбоикосододекаэдр (рис. 18). У него 62 грани, из них 30 квадратов, 20 правильных треугольников и 12 правильных пятиугольников.

«Плосконосый» (иногда называют «курносый») куб (рис. 19). У него 38 граней, из них 6 квадратов, 32 правильных треугольника.

«Плосконосый» («курносый») додекаэдр (рис. 20). У него 92 грани, из них 12 правильных пятиугольников и 80 правильных треугольников.

Интересно отметить, что на протяжении более двух тысяч лет, со времен Архимеда, считалось, что других полуправильных многогранников не существует. И только совсем недавно, в середине нашего столетия, был открыт еще один и последний полуправильный многогранник. Он получается из ромбокубооктаэдра поворотом верхней чаши на угол 45° (рис. 21).

§3.Понятие правильных звёздчатых многогранников.

Кроме правильных и полуправильных многогранников, красивую форму имеют так называемые звездчатые многогранники. Мы рассмотрим правильные звездчатые многогранники. Их всего четыре. Первые два были открыты И. Кеплером, а два других в 1840 г. построил французский инженер, механик и математик Л.Пуансо (1777—1859). Именно поэтому правильные звездчатые многогранники получили название тел Кеплера - Пуансо. Они получаются из правильных многогранников продолжением их граней или ребер .Из тетраэдра, куба и октаэдра звездчатых многогранников не получается.

Рассмотрим додекаэдр. Продолжение его ребер приводит к замене каждой грани звездчатым правильным пятиугольником (рис. 21, а), и в результате получаем многогранник, который называется малым звездчатым додекаэдром (рис. 21, б).

При продолжении граней додекаэдра возникает две возможности. Во-первых, при этом можно рассматривать правильные выпуклые пятиугольники (рис. 23, а), тогда получается многогранник, который называется большой додекаэдр (рис. 23, б). Во-вторых, в качестве граней можно рассматривать звездчатые пятиугольники (рис. 24, а), тогда получается многогранник, который называется большой звездчатый додекаэдр (рис. 24, б).Рассмотрим теперь икосаэдр. При продолжении его граней получается многогранник, который называется большой икосаэдр (рис. 25).

Аналогично тому, как из правильных многогранников получают правильные звездчатые многогранники, так из полуправильных многогранников получают полуправильные звездчатые многогранники. В настоящее время известен 51 вид таких многогранников, по неизвестно, исчерпываются ли ими все такие многогранники.

Звездчатые многогранники очень декоративны, что позволяет широко применять их в ювелирной промышленности. С помощью звездчатых многогранников в скучную архитектуру наших городов в царство прямоугольных форм и углов — могут ворваться невиданные космические формы. На рисунке 26 вы видите оригинальную конструкцию, выполненную доктором искусствоведческих наук В. Н. Гамаюновым. Именно это неожиданное сочетание длинных прямоугольных балок с каркасом сложного звездчатого многогранника было положено в основу проекта административного здания в одном из итальянских городов. А необычный многогранник «Звезда» В. Н. Гамаюнова (рис. 27) вдохновил архитектора В. А. Сомова на создание проекта Национальной библиотеки в Дамаске (рис. 28).Многие формы звездчатых многогранников подсказывает сама природа. Снежинки — это звездчатые многогранники . С древности люди пытались описать всевозможные типы снежинок, составлялись специальные атласы. Сейчас известно несколько тысяч различных типов снежинок.

Глава2. Задачи на построение правильных, полуправильных и правильных звёздчатых многогранников

Задача 1. Построить правильный тетраэдр.

Решение. Пусть дан куб АВСDА₁В₁С₁D₁. Рассмотрим какую-либо его вершину, например, А. В ней сходятся три грани куба, имеющие форму квадратов. В каждом из этих квадратов берем вершину, противоположную A₁- вершины куба В₁, С₁, D. Точки А, В₁ С ₁D. являются вершинами правильного тетраэдра (рис. 2, а). Действительно, каждый из отрезков АВ₁ ,B₁.C₁ С₁.D,АD В₁D и АС₁, очевидно, служит диагональю одной из граней куба, а потому все эти отрезки равны. Отсюда следует, что в треугольной пирамиде с вершиной А и основанием В₁ С₁ D все [рани - правильные треугольники, следовательно, эта пирамида - правильный тетраэдр. Этот тетраэдр вписан в данный куб.

Полезно заметить, что другие четыре вершины куба являются вершинами второго правильного тетраэдра A₁BCD₁ равного первому и также вписанного в данный куб (рис. 2. б). Следовательно, можно построить ровно два (различных, но равных друг другу) правильных тетраэдра, вписанных в данный куб.

Задача 2. Построить правильный октаэдр, вписанный в данный куб.

Решение. Используем вышеприведенное свойство двойственности куба и правильного октаэдра, а именно, докажем, что многогранник с вершинами в центрах граней куба — правильный октаэдр (рис. 3).

Этот многогранник имеет 6 вершин (у куба 6 граней). 12 ребер и 8 граней - треугольников. Таким образом, можно утверждать, что построенное тело — октаэдр.

Для доказательства того, что он правильный, надо установить равенство всех ребер октаэдра (чем будут доказаны правильность и равенство всех граней октаэдра) и сходимость в каждой вершине одинакового числа ребер. Проектируя ребра построенного многогранника на плоскость, проходящую через центры боковых граней куба, находим, что проекции их равны, следовательно, равны и ребра многогранника. В каждой вершине сходятся 4 ребра, так как каждый из центров граней куба можно соединить с четырьмя соседними.

Итак, мы доказали, что полученное тело - правильный октаэдр. Очевидно, задача имеет единственное решение.

Докажем вторую часть свойства двойственности для куба и октаэдра, решив приведенную ниже задачу.

Задача 3. Опишите около данного куба правильный октаэдр.

Решение. Проведем анализ задачи. Рассмотрим правильный октаэдр и вписанный в него куб (вершины куба являются центрами граней октаэдра). Докажем, что ребро куба равно 1/3 диагонали октаэдра.

Пусть А₁ и В₁.- проекции вершин куба А и В на ребра MN и NK октаэдра соответственно (рис. 4). Тогда А₁В₁ =0.5МК (как средняя линия треугольника МNK)SАВ SА₁В₁ с коэффициентом подобия К=2/3 (А и В - центры граней CMN и SNK соответственно, т. е. делят апофемы граней в отношении 2:1,считая от вершины S). Поэтому АВ = ⅔A₁B₁=2/3 * 1/2МК = ⅓МК

Отсюда легко виден способ построения правильного октаэдра, описанного около куба.

Построение. Через центры противоположных граней куба проведем прямые, которые пересекаются в точке О - центре куба - и являются взаимно перпендикулярными (рис. 5). На каждой из этих прямых по обе стороны от точки О отложим отрезки длины За/2, где а - длина ребра куба. Концы этих отрезков X, X’, У, У’ ,Z и Z’ (рис. 5) являются вершинами правильного октаэдра.

Для доказательства этого факта достаточно рассмотреть квадраты ХУХ'У’, ХZ.Х'Z',УZУ’Z' (это плоские четырехугольники, у которых диагонали перпендикулярны, равны и делятся точкой пересечения пополам по построению). Они равны, а значит, равны их стороны ХУ= УХ' = Х'У’= ХУ’=ZХ = ZУ = ZХ '= ZY’ = Z'X=Z' У =Z' X '=Z’Y’. Следовательно. грани многогранника ХУХ УZZ-равные правильные треугольники (их восемь. ХУХ' У’ZZ’- восьмигранник), и в каждой вершине сходится по 4 ребра. Задача имеет единственное решение.

Задача 4.Построить правильный икосаэдр с помощью куба

Будем строить икосаэдр как многогранник, вписанный в куб. Поместим на средних линиях граней куба по одному отрезку одинаковой длины н с концами на равных расстояниях от ребер. Расположим отрезки и выберем их длину так. чтобы, соединяя концы отрезка одной грани с концом отрезка на другой грани, получить равносторонний треугольник. На рис. 29 на передней грани куба помещен отрезок АВ, на боковой грани - СD. Определим, при каком значении n будем иметь АВ=ВС =АС, если ребро куба имеет длину а. Примем одну из вершин куба за начало координат О. а оси Оx,Оy,Oz направим по ребрам куба. Теперь нетрудно определить координаты точек А и С:А[а/2,0,а-n/2],С[а ,а-n/2,а/2]

Вычислим расстояние АС: АС²=а²/4 + (а-n)²/4 + n²/4.

Потребовав, чтобы длина отрезка АС была равна n, получим уравнение: а²/4 + (а-n)²/4 + n²/4=n², или n²+аn-а²=0

Мы получили так называемое уравнение золотого сечения. Построив но отрезку длины, а отрезок длины n= -а/2 + а²/4 + а² и поместив такие отрезки на шести гранях куба, получим 12 вершин правильного икосаэдра. В этом легко убедиться, заметив, что все грани построенного многогранника - равные правильные треугольники, и в каждой вершине сходятся пять ребер.

Задача имеет два решения, так как ребро АВ икосаэдра можно располагать на грани куба вертикально или горизонтально.

Задача 5. Построить правильный додекаэдр.

Решение. Эту фигуру можно описать около данного куба. Заметим, что число ребер куба (12) равно числу граней додекаэдра. Поэтому поставим своей задачей провести через ребра куба двенадцать плоскостей так, чтобы они своим пересечением определили двенадцать правильных пятиугольников. При этом восемь вершин додекаэдра будут вершинами куба, а остальные двенадцать вершин додекаэдра расположатся попарно над каждой из шести граней куба. Таким образом, на каждой грани куба должна быть построена "четырехскатная крыша", две грани которой - треугольники и две - трапеции. (рис.30). Такие треугольник и трапецию получим, если построим правильный пятиугольник АВСDЕ, у которого диагональ равна ребру куба. Стороны этого пятиугольника будут равны ребрам додекаэдра, а построенные с помощью диагонали треугольник АЕВ и трапеция ЕDСВ (см. рис.31) окажутся фрагментами "четырехскатной крыши".

Пусть ребро куба равно а. Чтобы определить ребро додекаэдра т, проведем диагональ BЕ пятиугольника, которая пересечет АС а точке М. Треугольники АВС и АВМ подобны, так как угол А - общий, углы АВМ,AEB и АСВ равны. Вместе с тем, АС\\DЕ и ВЕ\\СD, т. е. СDЕМ-- параллелограмм и СМ=ЕD=т. Из подобия получаем:

а: т =т:(а — т), т. е. т²+ат- а²=0, или m=- а/2 + а²/4 + а².

Таким образом, ребро додекаэдра найдено.

Чтобы построить искомую "крышу" на грани куба SРRQ (рис. 30). проведем на ней среднюю линию, соединяя середины ребер SР и RQ и помещая на ней отрезок К'L' =т на равных расстояниях от SР и RQ. Из точек К' и L', проведем перпендикуляры k и l к плоскости грани. От середины X ребра RQ отложим на прямой l точку L так. чтобы выполнялось равенство XL=ВN, где ВN - - высота треугольника АВС на рис. 31. Тогда получим, что треугольник RLQ рис- 30 равен треугольнику AВС на рис. 31, и таким же образом получим SКР=АВС. Аналогичное построение произведем на грани куба S'Р'R'Q’. Остальное построение получается довольно просто, если принять во внимание, что диагональ правильного пятиугольника параллельна противоположной стороне, например RQ \\ FG (рис. 30).

Учитывая, что правильный пятиугольник имеет, пять равных диагоналей, заключаем, что существует, пять различных (с точностью до расположения в пространстве) равных правильных додекаэдров, описанных около данного куба.

Задача 6.Построение усеченного тетраэдра, октаэдра, икосаэдра ,куба, додекаэдра с помощью куба.

Построим правильный тетраэдр, октаэдр, икосаэдр ,куб, додекаэдр с помощью куба(смотреть задачи 1,2,4,5).А затем срежем углы тетраэдра, октаэдра, икосаэдра, куба, додекаэдра плоскостями, каждая из которых отсекает третью часть его рёбер, выходящих из одной вершины(рис. 8,9,10,11,12).

Задача 7.Построение кубооктаэдра и икосододекаедра с помощью куба.

Построим правильный куб и додекаэдр с помощью куба.(смотреть задачу 5) Проведем в кубе и додекаэдре секущие плоскости через середины ребер, выходящих из одной вершины(рис.13 и 14).

Задача 8.Построение усеченного кубооктаэдра и усеченного икосододекаедра с помощью куба.

Построение кубооктаэдра и икосододекаедра с помощью куба(смотреть задачу 7). А затем срежем углы куба и додекаэдра плоскостями, каждая из которых отсекает третью часть его рёбер, выходящих из одной вершины(рис 15 и 16).

Задача 9.Построение малого звёздчатого додекаэдра с помощью куба.

Построим правильный додекаэдр с помощью куба(смотреть задачу 5).Затем продолжим его рёбра, которые приводят к замене каждой грани звёздчатым правильным пятиугольником(рис. 22).

Задача 10.Построение большого додекаэдра и большого звёздчатого додекаэдра с помощью куба.

Построим правильный додекаэдр с помощью куба(смотреть задачу 5). При продолжении граней додекаэдра возникает две возможности. Во-первых, при этом можно рассматривать правильные выпуклые пятиугольники (рис. 23, а), тогда получается многогранник, который называется большой додекаэдр (рис. 23, б). Во-вторых, в качестве граней можно рассматривать звездчатые пятиугольники (рис. 24, а), тогда получается многогранник, который называется большой звездчатый додекаэдр (рис. 24).

Задача 11.Построение большого икосаэдра с помощью куба.

Построим правильный икосаэдра с помощью куба(смотреть задачу 4).А затем продолжим его грани( рис. 25)

Заключение

На основе изучения теоретического материала, анализе учебных пособий по геометрии и решения некоторых практических задач на построение многогранников с помощью куба, мы увидели достоинства этого метода.

Считаем целесообразным применением построения многогранников с помощью куба ,так как он вполне доступен.

Мы считаем, что этот приём дает возможность математически эстетично и достаточно точно решать сложные задачи на построение именно в курсе стереометрии.

Список использованной литературы

Атанасян Л.С.. Бутузов В.Ф. Геометрия 10-11; М. ; «Просвещение». 2000.
Интернет сайт www.уаndeх.ru

3 .Крайнева Л.Б. Построение правильных многогранников с использованием куба //Математика в школе.-1994.-2.-54-57

4. Смирнова И.М. Учебное пособие для10-11 классов гуманитарного профиля; «Просвещение»1997.

5. СмирноваИ.М. Уроки стереометрии в гуманитарных классах. Изучение многогранников//Математика в школе.-1934.- 4 .-41-47