Пояснительная записка к курсовому проекту на тему «Ранг матрицы» по дисциплине

Вид материала

Содержание

ВЫПОЛНИЛ: студент ГИП-104
Пиявский С.А.
Основные направления использования ИКТ в учебном процессе
Работы Скиннера, Краудера
Построение адаптивной ОП
Текст изучаемого раздела.
Найдите ранг матрицы
Решение. Так как в этой матрице только в одной строке есть отличные от нуля члены, то RgA=1. Пример №2
2.1 Матрицы. Ранг матрицы
Пример. Найти ранг матрицы Решение
Операции над матрицами
Теорема. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению определителей этих матриц, т.е. det(AB) = detA·detB
Определение 10. Обратной
1. Определитель – это
2. Матрица – это
3. Определитель |2| равен
5. Минор матрицы равен
7. Ранг матрицы – это максимальный порядок отличных от нуля
8. Ранг матрицы равен
9. Ранг матрицы равен
...
Полное содержание

Подобный материал:

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОУВПО «Самарский государственный архитектурно-строительный университет»

Факультет информационных систем и технологий

Кафедра прикладной математики и вычислительной техники

Пояснительная записка

к КУРСОВОМУ ПРОЕКТУ на тему

«Ранг матрицы»

по дисциплине

СИСТЕМЫ ПОДДЕРЖКИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ В ОБРАЗОВАНИИ

СТУДЕНТА ГИП-104 Поляков В.

	Подпись, дата	Расшифровка подписи
ВЫПОЛНИЛ: студент ГИП-104		Поляков В.
студент		/ /
Модуль сдан в библиотеку кафедры ПМ и ВТ
Модуль размещен на портале ФИСТ
ПРОВЕРИЛ:		Пиявский С.А.
ОЦЕНКА		/ /

Самара 2007 г.

Оглавление




Введение			3




	1	Текст изучаемого раздела	6
	2	Конспект лекции для автора курсового проекта как для преподавателя	11
	3	Презентация для лекции	18
	4	Сценарий имитационного или мультимедиа-компонента учебного назначения	22
	5	Тест для контроля усвоения учебного материала	23
6. Библиографический список			28
Заключение			29

Введение

Ретроспективный анализ процесса внедрения и использования средств вычислительной техники и компьютерных технологий в учебном процессе позволил выделить три этапа информатизации образования (условно названные электронизацией, компьютеризацией и информатизацией образовательного процесса)

Преимущества использования ИКТ в образовании перед традиционным обучение:

Е.И. Машбиц к набору существенных преимуществ использования компьютера в обучении перед традиционными занятиями относит следующее:

1. информационные технологии значительно расширяют возможности предъявления учебной информации. Применение цвета, графики, звука, всех современных средств видеотехники позволяет воссоздавать реальную обстановку деятельности.

2. компьютер позволяет существенно повысить мотивацию студентов к обучению. Мотивация повышается за счет применения адекватного поощрения правильных решений задач.

3. ИКТ вовлекают учащихся в учебный процесс, способствуя наиболее широкому раскрытию их способностей, активизации умственной деятельности.

4. использование ИКТ в учебном процессе увеличивает возможности постановки учебных задач и управления процессом их решения. Компьютеры позволяют строить и анализировать модели различных предметов, ситуаций, явлений.

5. ИКТ позволяют качественно изменять контроль деятельности учащихся, обеспечивая при этом гибкость управления учебным процессом.

6. Компьютер способствует формированию у учащихся рефлексии. Обучающая программа дает возможность обучающимся наглядно представить результат своих действий, определить этап в решении задачи, на котором сделана ошибка, и исправить ее.

Основные направления использования ИКТ в учебном процессе

Попытаемся систематизировать, где и как целесообразно использовать информационные технологии в обучении, учитывая, что современные компьютеры позволяют интегрировать в рамках одной программы тексты, графику, звук, анимацию, видеоклипы, высококачественные фотоизображения, достаточно большие объемы полноэкранного видео, качество которого не уступает телевизионному:

1) при изложении нового материала — визуализация знаний (демонстрационно - энциклопедические программы; программа презентаций Power Point);

2) проведение виртуальных лабораторных работ с использованием обучающих программ типа "Физикон", "Живая геометрия";

3) закрепление изложенного материала (тренинг — разнообразные обучающие программы, лабораторные работы);

4) система контроля и проверки (тестирование с оцениванием, контролирующие программы);

5) самостоятельная работа учащихся (обучающие программы типа "Репетитор", энциклопедии, развивающие программы);

6) при возможности отказа от классно-урочной системы: проведение интегрированных уроков по методу проектов, результатом которых будет создание Web-страниц, проведение телеконференций, использование современных Интернет-технологий;

7) тренировка конкретных способностей учащегося (внимание, память, мышление и т.д.).

Под программированным обучением понимается управляемое усвоение учебного материала с помощью обучающего устройства (ЭВМ, программированный учебник, кинотренажер и др.). Программированный учебный материал представляет собой серию сравнительно небольших порций учебной информации (кадров, файлов, шагов), подаваемых в определенной логической последовательности.

Работы Скиннера, Краудера и других педагогов-исследователей дали толчок развитию трех различных видов обучающих программ (ОП): линейных, разветвленные и адаптивных, с помощью которых и строится процесс программированного обучения в современной школе.

Линейная ОП — это обучающая программа, в которой весь учебный материал разбивается на последовательность смысловых единиц ("порций"), логически охватывающих весь предмет. Эти "порции" должны быть достаточно малы, чтобы учащийся делал как можно меньше ошибок. В конце каждой "порции" выполняются контрольные задания, однако порядок изучения "порций" не зависит от результатов выполнения этих заданий.

Разветвленная ОП отличается от линейной тем, что обучаемому в случае неправильного ответа при выполнении контрольных заданий может предоставляться дополнительная информация, которая позволит ему выполнить контрольное задание.

Построение адаптивной ОП основано на гипотезе, что некоторое количество ошибок необходимо для успешного обучения, т.е. если учащийся все делает без ошибок, то эффект обучения будет меньше. Количество допущенных ошибок используется следующим образом;

а) если процент ошибок падает ниже определенного уровня, то степень трудности обучения автоматически повышается;

6) при возрастании процента ошибок выше определенного уровня степень трудности автоматически понижается.

Одной из важнейших задач информатизации образования является формирование информационной культуры специалиста, уровень сформированности которой определяется, во-первых, знаниями об информации, информационных процессах, моделях и технологиях; во-вторых, умениями и навыками применения средств и методов обработки и анализа информации в различных видах деятельности; в-третьих, умением использовать современные информационные технологии в профессиональной (образовательной) деятельности; в-четвертых, мировоззренческим видением окружающего мира как открытой информационной системы.

В информационном обществе, когда информация становится высшей ценностью, а информационная культура человека - определяющим фактором их профессиональной деятельности, изменяются и требования к системе образования, происходит существенное повышение статуса образования.

Текст изучаемого раздела.

1.1 Определение.

Рангом матрицы

называется наибольший из порядков миноров матрицы

, отличных от нуля. Напоминаем, что минором порядка матрицы A называется определитель порядка

, образованный элементами, стоящими на пересечении каких-то

строк и

столбцов этой матрицы. Всякий детерминант минора матрицы A, отличный от нуля, размер которого равен рангу этой матрицы, называется базисным минором. Ранг нулевой матрицы считается равным нулю. Ранг невырожденной квадратной матрицы порядка

равен

, так как ее определитель является минором порядка

и у невырожденной матрицы отличен от нуля.

Пример.

Из элементов матрицы

можно составить три минора второго порядка:

.

Пусть

Минором первого порядка является любой элемент матрицы. Так 2, - 5, -4 -- миноры первого порядка.

Миноры второго порядка:

Например, возьмем строки 1, 2, столбцы 1, 2, получим минор

;

Миноры третьего порядка:

Например, возьмем столбцы 1, 3, 4, получим минор

;

Алгоритм нахождения ранга матрицы.

Единое, стандартное, обозначение ранга матрицы отсутствует. Мы будем обозначать его

Пусть, требуется вычислить ранг матрицы A размеров m x n. Если матрица A нулевая, то по определению Rg A = 0. В противном случае с помощью перестановки строк и столбцов матрицы добиваемся того, чтобы в левом верхнем углу матрицы стоял ненулевой элемент. Итак, считаем, что a11=0. Первую строку оставляем без изменений. Ко второй строке прибавляем первую, умноженную на число

. В результате вторая строка принимает вид

Затем к третьей строке прибавляем первую строку, умноженную на число

. В результате третья строка принимает вид

Процесс продолжаем до тех пор, пока не получим нуль на первом месте в последней строке. Преобразованная матрица имеет вид

Если все строки, начиная со второй, в полученной матрице нулевые, то ее ранг равен 1, так как есть минор первого порядка, отличный от нуля

. В противном случае перестановкой строк и столбцов матрицы с номерами, большими единицы, добиваемся, чтобы второй элемент второй строки был отличен от нуля. Итак, считаем, что

. Первую и вторую строки оставляем без изменений. К третьей строке прибавляем вторую, умноженную на число

. В результате получим, что второй элемент третьей строки равен нулю. Затем к четвертой строке прибавляем вторую, умноженную на число

, и т.д. В результате получаем матрицу

Если все строки, начиная с третьей, нулевые, то

, так как минор

. В противном случае перестановкой строк и столбцов с номерами, большими двух, добиваемся, чтобы третий элемент третьей строки был отличен от нуля. Далее, добавлением третьей строки, умноженной на соответствующие числа, к строкам с большими номерами получаем нули в третьем столбце, начиная с четвертого элемента, и т.д.

На каком-то этапе мы придем к матрице, у которой все строки, начиная с

-ой , равны нулю (или отсутствуют при

), а минор в первых

строках и первых

столбцах является определителем треугольной матрицы с ненулевыми элементами на диагонали. Ранг такой матрицы равен

. Следовательно,

.

В предложенном алгоритме нахождения ранга матрицы все вычисления должны производиться без округлений. Сколь угодно малое изменение хотя бы в одном из элементов промежуточных матриц может привести к тому, что полученный ответ будет отличаться от ранга исходной матрицы на несколько единиц. Если в исходной матрице элементы были целыми числами, то и вычисления удобно производить без использования дробей. Поэтому на каждом этапе целесообразно умножать строки на такие числа, чтобы при вычислениях дроби не возникали.

Найдите ранг матрицы

.

Решение. Первую строку оставляем без изменений. Чтобы избежать появления дробей, умножим вторую, третью и четвертую строки на 2:

Первую строку умножим на

и прибавим ко второй. Получим строку

. Первую строку умножим на

и прибавим к третьей. Получим строку

. Первую строку умножим на

и прибавим к четвертой. Получим строку

. В итоге имеем матрицу

Вторую строку оставляем без изменений. К третьей строке прибавляем вторую, умноженную на 2. Получим строку

. К четвертой строке прибавляем вторую. Получим нулевую строку. Преобразованная матрица имеет вид

Поменяем местами третий и четвертый столбцы:

Базисный минор матрицы

стоит в первых трех столбцах и первых трех строках,

. Следовательно,

.

В приведенном примере вычисления были бы проще, если сначала четвертый столбец сделать первым и четвертую строку сделать первой. Но для того, чтобы догадаться об этом, нужно анализировать вопросы делимости чисел, что достаточно сложно описать в алгоритме, пригодном для всех случаев.

Примеры:

Пример №1. Найти ранг матрицы

Решение. Так как в этой матрице только в одной строке есть отличные от нуля члены, то RgA=1.

Пример №2. Найти ранг матрицы

Решение. Для проверки найдем детерминант этой матрицы: detA=7. И так как он отличен от нуля, 7

0, значит, ранг матрицы равен 3, т.е. в матрице нет пропорциональных строк или столбцов. В противном случае detA был бы равен нулю.

Пример №3. Найти ранг матрицы

Решение. Очевидно, что detA=0, т.к. матрица содержит нулевую строку. Вычеркнем первую строку и второй столбец и найдем определитель полученного минора

следовательно, делаем вывод, что RgA = 2.

Транспонирование матрицы.

При транспонировании матрицы ее ранг не меняется, то есть . Строки матрицы становятся ее столбцами. Максимальное число новых столбцов транспонированной матрицы, (бывших строк исходной) образующих линейно независимую систему, равно рангу матрицы.

Доказательство. Транспонированный минор исходной матрицы

будет являться минором транспонированной матрицы

, и наоборот, любой минор

является транспонированным минором исходной матрицы

. При транспонировании определитель (минор) не меняется. Поэтому если все миноры порядка

в исходной матрице равны нулю, то все миноры того же порядка в

тоже равны нулю. Если же минор порядка

в исходной матрице отличен от нуля, то есть минор того же порядка, отличный от нуля. Следовательно,

.

2. Конспект лекции для автора курсового проекта как для преподавателя

2.1 Матрицы. Ранг матрицы

Определение 1. Если матрица A не нулевая, т.е. существует хотя бы один a_ij элемент матрицы A, отличный от нуля, тогда всегда можно указать натуральное число r такое, что

у матрицы A имеется минор r-го порядка, для которого Δ_r0;
всякий минор матрицы A порядка r+1 и выше равен нулю, тогда число r, обладающее указанными свойствами называется рангом матрицы A и обозначается r = RgA.

Из определения 1 вытекает, что

ранг любой прямоугольной матрицы не должен быть больше, чем минимальный размер матрицы. Если матрица квадратная, то ранг не может быть больше, чем размер матрицы. Математически это можно выразить так rmin(m,n).
если все элементы матрицы A равны нулю, т. е. a_ij=0, то ранг этой матрицы тоже будет равен нулю r = RgA = 0.

Понятие ранга матрицы играет очень важную роль при построении графиков, при нахождении решения системы линейных уравнений, при переходе от одного базиса к другому, а также широко используется в прикладных исследованиях, особенно при обработке результатов эксперимента, выделения аномалий и количественного определения качества предоставленной для изучения информации. Об этих и многих других задачах мы будем говорить несколько позже.

Определение 2. Всякий детерминант минора матрицы A, отличный от нуля, размер которого равен рангу этой матрицы, называется базисным минором. Т.е. иными словами ранг матрицы A это наивысший отличный от нуля минор.

Пример. Найти ранг матрицы

Решение. Так как в этой матрице только в одной строке есть отличные от нуля члены, то RgA=1.

Пример. Найти ранг матрицы

Решение. Для проверки найдем детерминант этой матрицы: detA=7. И так как он отличен от нуля, 7

0, значит, ранг матрицы равен 3, т.е. в матрице нет пропорциональных строк или столбцов. В противном случае detA был бы равен нулю.

Пример. Найти ранг матрицы

следовательно, делаем вывод, что RgA = 2.

Операции над матрицами:

Определение 3. Суммой двух матриц A=(a_ij) и B=(b_ij) называется матрица C, у которой (c_ij)=(a_ij+b_ij), и записывают C = A + B.

Пример. Найти A + B, если

Решение.

Можно убедится самостоятельно в справедливости равенств

A + B = B + A;
(A + B) + C = A + (B + C).

Определение 4. Произведением матрицы A=(a_ij) на число k называется такая матрица C=(c_ij), у которой (c_ij) = (ka_ij).

Для операции произведение матрицы на число справедливы следующие соотношения:

kA=Ak;
k(A+B)=Ak+Bk;
(k+λ)A=Ak+Aλ;
k(λA)=λkA=λ(kA).

Определение 5. Матрица B, у которой все элементы равны элементам матрицы A по абсолютной величине, но имеют противоположные знаки по сравнению со знаками соответствующих элементов матрицы A, называется противоположной матрице A и записывается A=(-1)(a_ij).

Умножение любой матрицы на нулевую дает в результате нулевую матрицу, как и в обычной алгебре, т.е.

·A=

.

Если A - квадратная матрица, то тогда также очевидно равенство

det(λA)=λⁿdetA ,

где n - размер матрицы A.

Определение 6. Если A=(a_ij)_m×p, а B=(b_ij)_p×n, то произведением матрицы A на матрицу B назовем матрицу C, каждый элемент которой вычисляют по формуле:

C = A·B = (a_ij)_m×p·(b_ij)_p×n=(a_s1b_1k+a_s2b_2k+...+a_skb_sk)_m×n=(c_ij)_m×n

Из определения 12 видно, что каждый элемент матрицы C = AB, расположенный в s-ой строке и k-ом столбце равен сумме произведений элементов s-ой строки матрицы A на элементы k-го столбца матрицы B.

При перемножении матриц можно воспользоваться следующей таблицей. Покажем этот на примере.

Пусть требуется перемножить матрицы

, т.е. найти AB . Составим таблицу: слева запишем элементы матрицы А (которую умножают), а снизу – элементы матицы В (на которую умножают):

1	2	3
4	5	6
3	2	1
			2	1
			4	3
			6	5

Результат будем записывать в выделенных ячейках, по формуле – сумма произведений соответствующих элементов:

1	2	3	1·2+2·4+3·6	1·1+2·3+3·5
4	5	6	4·2+5·4+6·6	4·1+5·3+6·5
3	2	1	3·2+2·4+1·6	3·1+2·3+1·5
			2	1
			4	3
			6	5

Произведя вычисления, получаем:

1	2	3	28	22
4	5	6	64	49
3	2	1	20	14
			2	1
			4	3
			6	5

Это и будет искомая матрица (в выделенных ячейках). Это способ очень наглядный и удобный, позволяет избежать ошибок при перемножении матриц.

Известны следующие очевидные свойства произведений матриц

Переместительный закон не выполняется, т.е. AB BА. Поэтому различают умножение на матрицу слева или справа;
(A+B)C=AC+BC
(AB)C=A(BC)=ABC

Определение 7. Если AB = BA, то такие матрицы A и B называют перестановочными или коммутативными.

Очевидно, что коммутативной с единичной будет любая матрица подходящего размера AE = EA = A.

Теорема. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению определителей этих матриц, т.е. det(AB) = detA·detB.

Определение 8. Если в некоторой матрице A поменять местами столбцы и строки, то полученная матрица будет называться транспонированной и обозначается A_т.

Определение 9. Если выполняется равенство A = A_т, то такая матрица называется симметрической.

Определение 10. Обратной по отношению к матрице A называется такая матрица, для которой выполняется равенство AA^-1 = A^-1A = E.

Определение 11. Матрица, которая имеет обратную называется обратимой или не особенной.

Теорема. Для того, чтобы матрица A имела обратную матрицу A^-1 необходимо и достаточно, чтобы она была бы невырожденной, т.е. detA

0.

Доказательство. Необходимость. Пусть существует матрица A^-1, тогда

detAA^-1 = detAdetA^-1 = detE = 1

0 ,

т.е. ни один из сомножителей не должен быть равен нулю, следовательно, detA

0.

Достаточность. Пусть detA

0. Надо доказать, что существует обратная матрица A^-1. Покажем это на примере квадратной матрицы третьего порядка. Пусть дана матрица

Найдем миноры второго порядка этой матрицы. Очевидно, что таких миноров будет 9: A_is = (-1)^1+s M_is. Составим присоединенную матрицу из полученных миноров, которая обычно обозначается как

затем найдем произведение

Т.е. AA^*=(detA)E, следовательно

, откуда по определению обратной матрицы получаем

(2.2)

Теорема доказана. Заметим, что формула (2) известна как популярную расчетная формула для получения обратной матрицы.

Эта важная теорема дает нам простой алгоритм вычисления обратной матрицы, который можно сформулировать так.

Вычислить detA;
Вычислить все алгебраические дополнения матрицы A;
Найти обратную матрицу по формуле 2.

Пример. Найти обратную матрицу для

и выполнить проверку.

Решение. Вычисляем

следовательно, обратная матрица существует. Найдем присоединенную матрицу A^*. Для этого вычислим все миноры второго порядка матрицы A и алгебраические дополнения:

Составим

и найдем по формуле (2) обратную матрицу:

Проверка

¹⁾ Этот пункт является обязательным в данном алгоритме. При равенстве нулю детерминанта делается вывод о том, что обратной матрицы не существует и решение не продолжается. Если детерминант отличен от нуля, то обратная матрица существует и может быть найдена по указанной схеме.

Презентация для лекции

Сценарий имитационного или мультимедиа-компонента учебного назначения

Программа предназначена для того, чтобы обучить студентов вычислять ранг матрицы, путём выполнения различных операций со столбцами и строками матрицы. В программе будет использован «диагональный метод нахождения ранга» - т.е. метод приведения строк или столбцов к нулевому значению.

Поведение программы:

Генерируется матрица.
Студенту предлагаются варианты, производимых со строками и столбцами действий: т.е. метод нахождения

умножение на число
сложение
вычитание
деление

После определённого количества действий студент должен вписать ответ в специальное поле. В случае, если ответ не верен, студенту предлагается пройти тест заново.

Тест для контроля усвоения учебного материала

1. Определитель – это

а) матрица;

б) число;

в) вектор;

г) прямоугольная таблица чисел;

д) неопределяемое понятие.

Ответ: Б

2. Матрица – это

а) прямоугольная таблица чисел;

б) неопределяемое понятие;

в) отличный от нуля минор;

г) диагональная таблица чисел;

д) определитель.

Ответ: А

3. Определитель |2| равен

a);1;

в) 2;

г) бесконечности;

д) 10.

Ответ: В

4. Определитель равен

а) 0;

б) 8;

в) –8;

г) 16;

д) бесконечности.

Ответ: В

5. Минор матрицы равен

а) 2;

б) 4;

в) 36;

г) 0;

д) 24.

Ответ: В

6. Ранг матрицы равен

а) 99;

б) 3;

в) 2;

г) 0;

д) ∞;

е) не существует.

Ответ: В

7. Ранг матрицы – это максимальный порядок отличных от нуля

а) векторов;

б) матриц;

в) миноров;

г) определителей;

д) точек этой матрицы.

Ответ: В,Г

8. Ранг матрицы равен

а) 0;

б) 2;

в) 3;

г) не существует;

д) 6.

Ответ: Б

9. Ранг матрицы равен

а) 2;

б) 4;

в) 6;

г) 7;

д) 8;

е)

;

ж) не существует.

Ответ: Б

10. Система линейных уравнений совместна, если

а) ее ранг равен 2;

б) ранг ее расширенной матрицы равен 0;

в) ранг ее основной матрицы равен рангу ее расширенной матрицы;

г) ранг ее основной матрицы больше ранга ее расширенной матрицы;

д) ранг ее основной матрицы меньше ранга ее расширенной матрицы.

Ответ: Б

11. Система линейных уравнений имеет единственное решение тогда и только тогда, когда

а) число ее базисных неизвестных равно 1;

б) число ее базисных неизвестных равно 0;

в) число ее свободных неизвестных равно 0;

г) число ее базисных неизвестных равно числу ее свободных неизвестных;

д) ее ранг равен числу неизвестных;

е) ее ранг равен 1;

ж) ее ранг не существует;

з) число уравнений равно числу неизвестных.

Ответ: В,Д

12. Система линейных уравнений имеет бесконечно много решений тогда и только тогда, когда

а) она не имеет базисных неизвестных;

б) ее ранг равен 0;

в) она имеет свободные неизвестные;

г) ее ранг равен ;

д) ее ранг не равен числу неизвестных;

е) ее ранг равен числу уравнений;

ж) число уравнений не равно числу неизвестных;

з) она имеет неквадратную матрицу.

Ответ: В,Д

13. Однородная система линейных уравнений имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда

а) ее ранг равен числу неизвестных;

б) ее ранг не равен числу неизвестных;

в) число свободных неизвестных больше 0;

г) число уравнений меньше числа неизвестных;

д) она имеет неквадратную матрицу.

Ответ: Б,В

14. Укажите матрицу несовместной системы линейных уравнений

Ответ: А

15. Для того чтобы при решении систем линейных уравнений методом Гаусса для системы уравнений с матрицей получить 0 на месте элемента , нужно элементы первой строки матрицы умножить на:

а) 3;

б) 5;

в) –3;

г) 0;

д) –7;

е)

и сложить с элементами второй строки.

Ответ: В

16. Найти обратную матрицу

Ответ:

17. Вычислить ранг матрицы

Ответ: 2

18. Вычислить ранг матрицы

Ответ: 4

19. Вычислить ранг матрицы

Ответ: 3

20. Вычислить ранг матрицы

Ответ: 4

21. Вычислить ранг матрицы

Ответ: 3

Библиографический список

Пиявский С.А. Системы поддержки принятия решений в образовании: Учебное пособие / С.А. Пиявский, СГАСУ. – Самара, 2005 – 216 с
Информационные системы и технологии в образовании: Методические указания к курсовому проектированию «Разработка электронного обучающего модуля» / составитель С.А. Пиявский; Самарск. гос. арх.-строит. ун-т. - Самара, 2007. - 19 с.
www.matclub.ru/ - «Высшая математика. Лекции, курсовые, примеры решения задач» от 25.10.07

Заключение

Обучение с использованием компьютерных технологий постепенно из экзотики превращается в один из стандартных компонентов учебного процесса. Технологии информатизации обучения не только широко используются в довузовской подготовке и заочном обучении, но постепенно занимают существенное место и в очном обучении.

Современные компьютерные дидактические программы (электронные учебники, компьютерные задачники, учебные пособия, гипертекстовые информационно-справочные системы - архивы, каталоги, справочники, энциклопедии, тестирующие и моделирующие программы-тренажеры и т.д.) разрабатываются на основе мультимедиа-технологий, которые возникли на стыке многих отраслей знания.

Компьютерные обучающие системы (электронные учебники) обладают мощными возможностями ветвления и предполагают активное участие обучаемого в работе с учебным материалом.

Использование цветной компьютерной анимации, высококачественной графики, видеоряда, схемных, формульных, справочных презентаций позволяет представить изучаемый курс в виде последовательной или разветвляющейся цепочки динамических картинок с возможностью перехода (с возвратом) в информационные блоки, реализующие те или иные конструкции или процессы.

Мультимедиа-системы позволяют сделать подачу дидактического материала максимально удобной и наглядной, что стимулирует интерес к обучению и позволяет устранить пробелы в знаниях. Кроме того, подобные системы могут и должны снабжаться эффективными средствами оценки и контроля процесса усвоения знаний и приобретения навыков.

Мультимедиа создает мультисенсорное обучающее окружение. Психологи и преподаватели говорят, что каждый из нас обучается по-разному - некоторые лучше обучаются на слух, другие являются зрительными или тактильными обучающимися. В соответствии с основами теории мультисенсорного обучения необходимо в максимальной степени использовать тот стиль обучения, который является предпочтительным для конкретного учащегося. Привлечение всех органов чувств ведет к исключительному росту степени усвоения материала по сравнению с традиционными методами.

Индивидуальная диалоговая коммуникация с помощью видео-, графических, текстовых и музыкально-речевых вставок настолько интенсивна, что максимально облегчает процесс обучения; гиперсреда позволяет расширить возможности информационного воздействия на пользователя и вовлекает обучаемого непосредственно в процесс обучения. К числу существенных позитивных факторов, которые говорят в пользу такого способа получения знаний, относятся лучшее и более глубокое понимание изучаемого материала, мотивация обучаемого на контакт с новой областью знаний, значительное сокращение времени обучения, лучшее запоминание материала

Blog

Пояснительная записка к курсовому проекту на тему «Ранг матрицы» по дисциплине

Содержание

2.1 Матрицы. Ранг матрицы

Операции над матрицами: