Вестник ргу им. Иммануила, вып. 10, 2007г., с. 8-14

Вид материала

Документы

Содержание Математическая модель твердого тела Численный метод Граничные точки Контактные границы Примеры расчетов. Список литературы

Подобный материал:

• В. Н. Сагатовский Яхочу пояснить тезис, заявленный в заглавии, на примере статьи, 91.35kb.
• Библиотечный вестник Карелии, 1098.96kb.
• Г. А. Мартинович. Кпроблеме аспектов языковых явлений (в свете учения Л. В. Щербы), 88.52kb.
• Библиотечный вестник Карелии. Вып. 22 (29). Библиотеки Карелии в 2006 году / Нац б-ка, 6202.38kb.
• Мартинович Г. А. Ф. де Соссюр и отечественная психолингвистика // Вестник спбГУ, Сер, 124.23kb.
• Жижко Е. В. Трудовая этика в контексте российской экономической реформы: Вестник Красноярского, 137kb.
• Вестник Международной академии энергоинформационных наук (маэн). Вып. №6. июнь 2009, 391.46kb.
• Положение об оплате труда работников моу средняя школа №10 с углубленным изучением, 476.11kb.
• Вестник балтийской педагогической академии вып. 43 2002, 3598.45kb.
• Вестник балтийской педагогической академии вып. 80 2008 г. Сознание, творчество, искусство:, 2606.75kb.

Вестник РГУ им. Иммануила, вып. 10, 2007г., с. 8-14.


МАТЕМАТИЧЕСКОЕ И КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДЕФОРМАЦИОННЫХ И ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ В МНОГОСЛОЙНЫХ КОНСТРУКЦИЯХ


Матюшев Н.Г., Петров И.Б.


Рассматриваются волновые и деформационные процессы в хадачах соударения ударника с деформируемыми многослойными преградами различной конструкции. Численное решение подобных задач связано с проблемами конечных деформаций и адекватного описания волновых процессов, что особенно трудно в случае многослойных преград. Для решения первой проблемы предлагается использовать лагранжевы нерегулярные перестраиваемые треугольные расчетные сетки. Для описания волновых процессов используется сеточно-характеристический метод, позволяющий корректно строить вычислительные алгоритмы на границах области интегрирования и многочисленных контактных границах, а так же гибридные и гибридизированные сеточно-характеристические схемы, позволяющие заметно улучшить качество численных решений с большими градиентами (разрывных решений). Использование этих методов позволяет адекватно и эффективно получать описание волновых процессов в многослойных преградах.

1. ВВЕДЕНИЕ
   

Численное исследование задач механики деформируемого твердого тела в случае тел сложной геометрии и неоднородного строения, который представляет практический интерес, предполагает не только исследование деформационных процессов, инициированных интенсивными импульсными нагрузками, но и моделирование волновых процессов приводящих в конечном итоге к частичному или полному разрушению тела. Немаловажным аспектом моделирования является описание контактных границ, так как процессы многократного отражения и преломления волн на границах формируют волновую картину во всей области интегрирования. Цель моделирования – оптимизация структуры и состава сооружений, предотвращающая возникновение разрушений.

В работе рассматривается задача о соударении деформируемого ударника с многослойными преградами различной конфигурации. Для моделирования поведения материала преграды использовались реологические модели линейно-упругой среды (закон Гука ), упругопластической (модель Прандтля-Рейса с условиями пластичности Мизеса и Мизеса – Шлейхера [2,3]) сред. Для численного решения рассматриваемых задач использовались сеточно-характеристический метод [1,7], разработанный для исследования данного класса задач в , гибридная  и гибридизированная  сеточно-характеристические разностные схемы, хорошо зарекомендовавшие себя при решении задач с ярко выраженным волновым характером. Они учитывают распространение разрывов вдоль характеристических поверхностей, позволяют корректно строить численные алгоритмы на границах области интегрирования и поверхностях раздела сред, что реализовано в представленной работе.

В данной работе представлены результаты расчетов для преград с большим количеством слоев и их различным относительным положением, без учета возможного разрушения.

2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ТВЕРДОГО ТЕЛА
   

Для математического моделирования волновых процессов в деформируемом твердом теле использовалась система динамических уравнений  –  в виде






Здесь плотность среды, – компоненты скорости смещения, – компоненты тензоров напряжения и деформаций, – ковариантная производная по -ой координате, – добавочная правая часть.

Вид компонент тензора 4-го порядка определяется реологией среды. Для линейно-упругого тела



Это соотношение является обобщением закона Гука, и – параметры Ляме, – символ Кронекера.

Плотность определяется из уравнения состояния



где – давление, – коэффициент всестороннего сжатия.

Уравнения  допускают запись в матричной форме:




Здесь – вектор искомых функций, – вектор правых частей той же размерности, – матрицы 66, явный вид которых приведен в , – независимые пространственные переменные, – время.

3. ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД
   

1. Внутренние точки
   

Используемая сеточно-характеристическая разностная схема  во внутренних узлах регулярной сетки имеет вид



Здесь – составляющие приращения искомого вектора, соответствующие правой части и двум пространственным направлениям. Верхний индекс соответствует шагу по времени.

Величины в формуле  аппроксимируют пространственные слагаемые в уравнении :



Если умножить это выражение слева на левый собственный вектор матрицы , соответствующий значению , получим



В случае явной схемы Куранта-Изаксона-Риса [1,7], имеющей порядок , величины определяются из соотношений



где – значение в соседнем расчетном узле по данному направлению в зависимости от знака (предыдущем при и следующем при ). Система уравнений  для различных и используется для определения
.

В настоящей работе для расчета внутренних узлов наряду с монотонной схемой первого порядка , не дающей нефизических осцилляций на разрывных решениях, использованы схема второго порядка, а также гибридная и гибридизированная схемы, сочетающие достоинства двух предыдущих схем [5,6]. Гибридизированная схема является линейной комбинацией схем первого и второго порядка, коэффициенты которой постоянны и определяются экспериментально, в то время как в гибридной схеме переключение между первым и вторым порядком происходит локально в зависимости от свойств решения.

2. Граничные точки
   

Граничный узел сетки может не иметь соседей по одному или двум направлениям, поэтому для некоторых соотношения  выписать нельзя, и вместо них привлекаются граничные условия. В данной работе они формулируются в виде линейных уравнений для компонент :




Матрицы для системы  имеют две пары ненулевых собственных значений, отличающихся знаком, отвечающие двум акустическим волнам (продольной и поперечной) в прямом и обратном направлении. Поэтому на каждой границе необходимо поставить по два условия.

Так, расчет узла на верхней границе может быть произведен в два этапа. Сначала вычисляется с привлечением формул  для всех , а затем решение находится из системы линейных уравнений, содержащей два граничных условия  и четыре уравнения , домноженные слева на собственные векторы , соответствующие .

Приведенные соображения не применимы для угловых узлов, так как в них оба значения не определены. Поэтому они требуют формулировки специальных алгоритмов. Одним из способов расчета угловых узлов служит переход в систему координат, повернутую относительно исходной. При этом по одному направлению соседними станут два ближайших граничных узла, а по другому – внутренний диагональный. Так как границы реальных тел не имеют особенностей в виде абсолютно острых углов, такое приближение не вызывает физических противоречий.

3. Контактные границы
   

Условия на контактной границе формулируются в виде соотношений между величинами в двух соприкасающихся точках поверхностей, принадлежащих разным взаимодействующим телам. Например, в случаях полного слипания и свободного скольжения они имеют вид





Здесь штрихованные величины относятся к одному телу, а не штрихованные – к другому. Индексы и обозначают соответственно нормальное и касательное направление.

Используемые контактные условия допускают запись в виде четырех соотношений, аналогичных :



которые, как и в случае с граничными узлами, совместно с «внутренними» соотношениями  для каждого контактного узла дают соотношений для определения всех неизвестных.

Расчет пары контактных узлов требует решения системы линейных уравнений вдвое большей размерности, однако, ввиду линейности соотношений , , задача может быть сведена к нескольким расчетам граничных узлов. Задав граничные условия в виде и , можно восстановить линейную зависимость от для каждого контактного узла в отдельности, а затем найти такое значение , при котором .

При реальных расчетах часты случаи, когда взаимно однозначного соответствия между граничными узлами двух тел на контактной границе нет, например, когда их сетки имеют разный шаг по пространству, либо когда происходит взаимное движение тел. В этом случае на границе тел вводятся фиктивные узлы. Значения внутренних величин в них определяются интерполяцией по истинным узлам. После расчета всех пар контактных узлов значения в фиктивных узлах снова интерполируются, давая решение в истинных узлах.

Отдельно должен решаться вопрос об определении момента касания или отрыва. Для этого вводятся критерии начала взаимодействия и отрыва основанные на сравнении скорости сближения/отрыва, расстояния между узлами и нормального напряжения с заданными пороговыми значениями. Скорости разлета при необходимости вычислялись путем предварительного расчета контактных узлов как узлов свободной границы. Использование пороговых значений обеспечивает устойчивое слипание/отрыв и отсутствие осцилляций.

3. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТОВ.
   

В работе представлены примеры расчетов соударения деформируемого сферического ударника с многослойными преградами. На рис. 1, 2 представлены результаты расчетов для ударов по пятислойным преградам с промежутками и без промежутков между слоями. На рис. 3 представлены результаты расчетов для удара стального шарика по двадцатислойной преграде из тонких листов алюминия с плотно прилегающими слоями. В результате этих и других расчетов, была выявлена характерные особенности распространения возмущений в периодических многослойных преградах – параболические или клиновидный фронт волны деформаций и наличие отраженных волн от границ слоев. Расчетная система корректно моделирует слипание, разъединение и соударение слоев. На рис. 4 показано расслоение многослойной преграды после удара. В результате моделирования ударов по преграде из большого количества слоев получена волновая картина, соответствующая распространению вторичных волн, возникающих при соударениях слоев преграды и направленных против направления удара (рис. 5).


а)

б)


Рисунок 1. Поля скоростей на разных этапах удара деформируемого ударника по многослойной преграде с промежутками между слоями. Начальная фаза соударения: характерный клиновидный фронт распространения волны деформаций. Справа: отраженная волна, повторные соударения слоев.



а)

б)


Рисунок 2. Волновая картина на разных этапах удара деформируемого ударника по многослойной преграде с плотно прилегающими слоями. Слева: начальная фаза соударения. Справа: отраженная волна, повторные соударения слоев.



Рисунок 3. Нормальное напряжение при ударе стального шарика по преграде из 20 тонких листов алюминия.




Рисунок 4. Разделение слоев после отскока шарика.



а)

б)

в)

г)


Рисунок 5. Нормальное напряжение при ударе стального шарика по преграде из 20 тонких листов алюминия, разделенных воздушной прослойкой. Показаны значения в последовательные моменты времени.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Магомедов К.М., Холодов А.С. Сеточно-характеристические численные методы. – М.: Наука, 1988.
   
2. Новацкий В.К. Теория упругости. – М.: Мир, 1975.
   
3. Новацкий В.К. Волновые задачи теории пластичности. – М.: Мир, 1978.
   
4. Петров И.Б., Холодов А.С. Численное исследование некоторых динамических задач механики деформируемого твердого тела сеточно-характеристическим методом // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1984. – Т. 24. – № 5. – C. 722–739.
   
5. Петров И.Б., Холодов А.С. О регуляризации разрывных численных решений уравнений гиперболического типа // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1984. – Т. 24. – № 8. – С. 1172– 1188.
   
6. Петров И.Б., Тормасов А.Г., Холодов А.С. Об использовании гибридизированных сеточно-характеристических схем для численного решения трехмерных задач динамики деформируемого твердого тела // Журнал вычислительной математики и математической физики. – Т. 30. – № 8. – С. 1237–1244.
   
7. Магомедов К. М., Холодов А. С. О построении разностных схем для уравнений гиперболического типа на основе характеристический соотношений. // Журнал вычислительной математики и математической физики, 1969, № 9(2), с. 373 – 386.