С. Л. от 18 декабря 2009 г. 18 декабря (пятница) в 15. 00 в мгу (Новый учебный корпус) состоится научный доклад
| Вид материала | Доклад |
- Искусство как сложная самоорганизующаяся система, 439.41kb.
- Программа конференции 4 декабря, пятница Время проведения: 11: 00-17:, 198.39kb.
- Крупнейших и крупных городов, 543.56kb.
- Закон от 28 декабря 2009 г. № 381-фз "Об основах государственного регулирования торговой, 354.45kb.
- Эффективность государственных адресных социальных программ, 357.4kb.
- Программа 15 декабря, четверг Заезд участников Конференции 16 декабря, пятница, 116.83kb.
- Историко-биографическое творчество в. Ф. Ходасевича (концепция личности русских писателей, 726.13kb.
- Информационно-политическая и этническая идентичность в пространстве массовой коммуникации, 420.25kb.
- Роль эндогенных и микробных фитаз в процессе получения и сбраживания ржаного сусла, 367.49kb.
- Е. П. Горбанёва «04» декабря 2011 г. Положение, 186.4kb.
Материалы к докладу Катречко С.Л. от 18 декабря 2009 г.
18 декабря (пятница) в 15.00 в МГУ (Новый учебный корпус) состоится научный доклад к.филос.н., доц. Катречко С.Л.
Катречко С.Л.
Трансцендентальный конструктивизм как программа обоснования математики
План доклада
1. Что такое трансцендентализм (Канта): уточнение.
1.1. Слабый и сильный критерий трансцендентального.
2. Кантовская концепция математики.
2.1. Математика и априорные формы пространства и времени.
(почему неевклидовы геометрии не являются опровержением Канта).
2.2. Математика как деятельность по "конструированию понятий".
2.2.1. Интерпретация (понимание) Д.Гильберта (Е.Смирновой) vs. моя интерпретация
2.2.2. "Конструирование понятий" и кантовский схематизм.
2.2.3. Остенсивное и символическое конструирование.
2.2.4. Кантовское конструирование и математические док-ва (на примере интуиционизма).
См. тезисы доклада в приложении (2 текста, дополняющие друг друга) + материалы/фрагменты по Канту.
С.Л. Катречко
Трансцендентальный конструктивизм
как программа обоснования математики1
Abstracts. Современная математика работает со сложными абстрактными объектами и поэтому возникает проблема отличения "хороших" математических объектов от "плохих". Одним из подходов для решения этой проблемы является восходящий к Канту трансцендентальный конструктивизм: приемлемыми математическими объектами являются лишь те, которые могут быть сконструированы при помощи некоторых «действий чистого мышления». Кант определяет математику как «познание посредством конструирования понятий" и выделяет два типа такого конструирования: остенсивное (геометрическое) и символическое (алгебраическое). В современной математике используются оба типа конструирования, которые в современной математической практики тесно переплетены между собой в рамках единой математической конструкции.
1. Под трансцендентальным Кант понимает исследование, «занимающееся не столько предметами, сколько видами [способами] нашего познания предметов, поскольку это [способ познания. — С.К] должно быть возможным a priori [1, 44]. Таким «видом познания» в нашем случае является математическая деятельность, суть которой Кант определяет как «познание посредством конструирования понятий» [1, 423], что предполагает совместную работу рассудка и воображения. При этом Кант ставит перед собой задачу выявить идеализированную модель математической деятельности, осуществляемой Математиком.
Современная математика работает со сложными абстрактными объектами и поэтому возникает проблема различения "хороших" и "плохих" математических объектов. Одним из подходов решения этой проблемы является кантовский трансцендентальный конструктивизм, который заключается в исследовании «действий чистого рассудка» [1, 73], связанной с той или иной сферой деятельности (в нашем случае — с математикой). Соответственно, можно сформулировать трансцендентальный критерий «хороших» математических объектов: приемлемыми математическими объектами являются лишь конструктивные объекты, т.е. такие математические абстракции, которые могут быть сконструированы посредством тех или иных ментальных конструкций.
Тем самым можно сказать, что кантовский трансцендентализм выступает концептуальным (философским) основанием математического интуитивизма и конструктивизма. Вместе с тем, трансцендентальный конструктивизм имеет свою специфику и отличается, например, от эрлангенского конструктивизма [2]. Принципиальным здесь выступает вопрос об онтологическом статусе. В случае эрлангенской программы, математические объекты (процедуры) рассматриваются как аналоги физических объектов (процедур) и, вследствие этого, должны соотноситься с некоторыми физическими действиями. Кантовский же конструктивизм вполне совместим с платоновским пониманием идеальной природы математических абстрактов2, хотя и требует их не только формального, но и конструктивного задания с помощью «действий чистого рассудка» (конструктивизм vs. формализм).
2. Скажем несколько подробнее о кантовской концепции математической деятельности3. Ключевым здесь является следующий кантовский фрагмент:
« Математическое знание есть знание посредством конструирования понятий. Но конструировать понятие — значит показать a priori соответствующее ему созерцание. Следовательно, для конструирования понятия требуется не эмпирическое созерцание, которое, стало быть, как созерцание есть единичный объект, но тем не менее, будучи конструированием понятия (общего представления), должно выразить в представлении общезначимость для всех возможных созерцаний, подходящих под одно и то же понятие. Так, я конструирую треугольник, показывая предмет, соответствующий этому понятию, или при помощи одного лишь воображения в чистом созерцании, или вслед за этим также на бумаге в эмпирическом созерцании, но и в том и в другом случае совершенно a priori, не заимствуя для этого образцов ни из какого опыта. Единичная нарисованная фигура эмпирична, но тем не менее служит для выражения понятия без ущерба для его всеобщности, так как в этом эмпирическом созерцании я всегда имею в виду только действие по конструированию понятия4, для которого многие определения, например величины сторон и углов, совершенно безразличны, и потому я отвлекаюсь от этих разных [определений], не изменяющих понятия треугольника» ([1, 423]; выделено жирным и подчеркиванием нами. — С.К.).
В качестве иллюстрации Кант приводит теорему о равенстве суммы углов треугольника 180° и показывает, что для получения доказательства теоремы необходимо произвести ряд геометрических построений: проведение дополнительной прямой через одну из вершин треугольника и продолжение через ту же вершину двух других его сторон, — которые и являются теми ментальными действиями, при помощи которых осуществляется «конструирование понятия», т.е. доказывается истинность искомой теоремы.
3. Важнейшим для понимания кантовской концепции математики является проводимое им различие между «эмпирическим созерцанием» — например, вот этим нарисованным треугольником — и «общезначимым созерцанием» как «действием по конструированию понятия [треугольника]»5. Математика не может ограничиться единичными созерцаниями, так как это лишило бы ее статуса аподиктичного знания. Однако в ХХ веке с подачи Гильберта кантовский подход был представлен в несколько ином свете. Гильбертовская интерпретация Канта (которая и привела его к созданию формализма как программы обоснования математики) связана с тем, что в ней делается акцент на второе предложение процитированного фрагмента, где говорится о необходимости соотнесения понятийных (абстрактных) конструкций с созерцанием, причем созерцание трактуется Гильбертом как чувственно–наглядное, например как конечная строчка типографских значков (ср. с определением доказательства у Гильберта)6. На наш взгляд, такая позитивистская интерпретация Канта значительно обедняет его подход и лишает его эвристической силы, поскольку при этом остается непонятным, каким образом применить этот (якобы кантовский) критерий соотнесения с наглядным созерцанием для абстрактных ненаглядных математических концептов современной математики. Суть нашей интерпретации состоит в том, что данный фрагмент Канта должен быть соотнесен скорее не с его тезисом о наглядности созерцаний, а с его учением о схематизме: при соотнесении понятия с созерцанием, нас интересует не столько наглядность [образа], сколько способ его построения, т.е. кантовская схема. В этом случае кантовский подход вполне применим и к не-геометрическим абстракциям. Вот что, например, пишет Кант по поводу представления понятия числа: «если же я мыслю только число вообще, безразлично, будет ли это пять или сто, то такое мышление есть скорее представление о методе [т.е. схеме. — К.С.] (каким представляют в одном образе множество, например тысячу), чем сам этот образ, который в последнем случае, когда я мыслю тысячу, вряд ли могу обозреть и сравнить с понятием…» [1, 124]7.
4. Для понимания кантовской концепции математики надо учесть также то, что вместе с описанным выше остенсивным (от лат. ostentus — показывание, выставление напоказ) конструированием, характерным для геометрии, Кант рассматривает еще один тип символического конструирования, используемого при работе с алгебраическими объектами:
«Математика конструирует не только величины (quanta), как это делается в геометрии, но и величину как таковую (quantitas), как это делается в алгебре, совершенно отвлекающейся от свойств предмета, который должно мыслить согласно такому понятию величины. Она избирает себе при этом определенные обозначения для всех конструирований величин вообще (чисел), каковы сложение, вычитание, извлечение корня и т. д.; затем, обозначив общее понятие величин в их различных отношениях, она изображает в созерцании соответственно определенным общим правилам все операции, производящие и изменяющие величину, когда одна величина должна быть разделена другой, она соединяет их знаки по обозначающей форме деления и т. п. и таким образом с помощью символической конструкции, так же как геометрия с помощью остенсивной, или геометрической, конструкции (самих предметов) достигает того, чего дискурсивное познание посредством одних лишь понятий никогда не может достигнуть» ([1, 425]; выделено жирным нами. — С.К.).
При анализе алгебры как более сложном (абстрактном) типе математической деятельности хотелось бы обратить внимание на два обстоятельства. Во-первых, одной из конституирующих черт алгебры является использование «языка х–ов и у–ов», или переход к метаязыку переменных, который позволяет исследовать не только свойства определенных величин как это делается в арифметике, например специфику четных чисел, но и свойства величин вообще (resp. общих величин), значение которых произвольно8. Во-вторых, не менее важным, хотя на это практически не обращается внимание, является то, что язык алгебры обладает выразительными возможностями для выражения не только абстрактных символов, но и операций («действий»), производимых с ними (см. цит. п. 4 выше). По сути дела, математический [алгебраический] язык является языком особого рода — процедурным, а не декларативным языком, фиксирующим способы работы с математическим объектами, т.е. как надо осуществлять то или иное математическое действие.
Более того, если раньше процедурный характер языка был прерогативой лишь алгебры, то в настоящее время это относится ко всем разделам современной — абстрактной — математики: никакой логико–математический язык без специальных знаков для выражения операций над математическими объектами невозможен. Причем очевидно, что символическое конструирование гораздо прозрачнее остенсивного, поскольку при остенсивном конструировании действия явно не «сказываются», а лишь «показываются» (Витгенштейн) путем их реального осуществления в ходе геометрического построения, хотя и могут эксплицироваться — путем описания способов конструирования — в метаязыках.
Сформулируем наш итоговый тезис. В современной абстрактной математике действуют оба типа кантовского конструирования, которые тесно переплетены между собой в рамках единой математической конструкции. В частности, остенсивные — a la геометрические — конструкции широко используются в логико-математических (квази–алгебраических) теориях. В качестве примера можно указать на использование в силлогистике круговых диаграмм Эйлера, с помощью которых наглядно представимы отношения между понятиями, или теорию графов, а также секвенциальные деревья и субординантные выводы натуральных исчислений, которые являются созерцательными конструкциями выводов в логических исчислениях разного типа.
5. В качестве примера, подтверждающим наш тезис о тесном переплетении в современных математических доказательствах остенсивного и символического конструирования, рассмотрим интуиционистское задание континуума (действительного числа)9.
Пусть нам дано некоторое действительное число, которое символически представимо как бесконечная десятичная дробь, например 0, 534…. Следуя Канту, мы должны соотнести этот «символ», или синтаксическое «понятие», с некоторым созерцанием, например с некоторой точкой на отрезке [0, 1]. Точнее, собственно остенсивная конструкция задания подобной алгебраической дроби состоит в последовательном разбиении отрезка пополам (1 шаг). При осуществлении подобных делений искомое число оказывается либо в правой, либо в левой части полуотрезка: в нашем случае после первого деления 0, 534… окажется в правой половине отрезка, т.к. оно начинается с цифры 5, после второго деления — в левой правой четверти правой половины, т.к. вторая цифра нашей дроби 0, 53… меньше 5 и т.д. Тем самым итеративное осуществлении данной процедуры будет все точнее и точнее задавать месторасположение искомого числа. Однако современная математика на этом не останавливается и предлагает заменить «приблизительную» геометрическую конструкцию более строгой алгебраической. Описанную выше процедуру деления отрезка пополам она представляет с помощью точного [алгебраического] алгоритма, т.е. надстраивает над первоначальной остенсивной конструкцией другую — символическую — конструкцию (2 шаг). При этом существенным образом используются интуиционистское понятия потока и свободно становящейся последовательности. Дадим точное описание алгоритма:
Определение. Поток M — это совокупность из закона потока ΔM и дополнительного закона ΩM.
Закон потока делит кортежи натуральных чисел на допустимые и недопустимые, дополнительный закон сопоставляет допустимым кортежам произвольные математические объекты. Закон потока должен удовлетворять следующим условиям:
1. Пустой кортеж <…> является допустимым;
2. Для любого допустимого кортежа
3. Для любого допустимого кортежа
Свободно становящиеся последовательности натуральных чисел {ak}, для которых при любом n кортеж
Теперь определим отрезок [0, 1] как следующий поток рациональных отрезков:
1. Закон потока: Допустимыми по закону потока считаются кортежи, все элементы которых равны 1 или 2;
2. Дополнительный закон: Пустому кортежу ставится в соответствие отрезок [0, 1]. Далее, если кортежу
Элементы этого потока (точнее: последовательности вложенных рациональных отрезков) называются действительными числами.
Приведенный алгоритм максимально точно задает понятие действительного числа, но для того чтобы сделать понятнее и нагляднее предложенный алгебраический алгоритм потока должен быть соотнесен с созерцанием, т.е. с вторичной остенсивной конструкцией. Это делается в завершающем описании алгоритма следующим образом (шаг 3), поскольку поток может быть представлен двоичным деревом, из каждой вершины которого выходит по меньшей мере одна ветвь, и на каждую вершину которого навешен тот или иной математический объект. Допустимые свободно становящиеся последовательности натуральных чисел, т.е. бесконечные десятичные дроби, с помощью которых представляются действительные числа, можно представить в виде бесконечных путей в таком дереве.
Литература:
- Кант И. ссылка скрыта (серия «Философское наследие»). — М.: Мысль, 1994.
- Lorenzen P. Konstruktive Wissenschaftstheorie. — Frankfurt, 1974.
- Катречко С. Л. ссылка скрыта //Модели рассуждений – 1: Логика и аргументация. Калининград: Изд-во РГУ им. И. Канта, 2007. — с. 63 – 90.
- Катречко С.Л. ссылка скрыта //Вестник Московского университета. Серия 7 «Философия», № 2, 2008. — М: Изд–во МГУ им. М.В.Ломоносова, 2008. — с. 88 – 106.
- Гильберт Д. О бесконечном //Его же. Основания геометрии. — М.–Л.: 1948.
Катречко С.Л.
Трансцендентальный конструктивизм Канта
(тезисы-комментарии к презентации (см. файл «Трансцендентальный конструктивизм.ppt»10)
1. Что такое трансцендентальная философия/метод (см. слайд 2)?
2. Более точное задание трансцендентального: различение между априорным и трансцендентальным (см. слайд 3).
3. Различие между «общей» философией науки (= кантовское априорное) и трансцендентальной философией науки (= кантовское трансцендентальное) = см. слайд 4 =. В частности, заявленный мной доклад о теоретико-множественной парадигме математике относится к «общей» философии науки.
4. Важным представляется «сильное» понимание трансцендентального как некоторых «действий» чистого сознания — это и есть [кантовский] трансцендентальный конструктивизм, или моя философии математики (см. слайд 5)
Перейдем теперь к кантовской концепции математики (расшифровка положения на слайде 2). Обратим внимание, что в этом суть кантовской [трансцендентальной] концепции математики, а не в его учении об априорных формах.
5. Суть кантовской концепции математика – «математика как конструирование понятий» (см. слайд 5): « Математическое знание есть знание посредством конструирования понятий. Но конструировать понятие — значит показать a priori соответствующее ему созерцание. Следовательно, для конструирования понятия требуется не эмпирическое созерцание, которое, стало быть, как созерцание есть единичный объект, но тем не менее, будучи конструированием понятия (общего представления), должно выразить в представлении общезначимость для всех возможных созерцаний, подходящих под одно и то же понятие. Так, я конструирую треугольник, показывая предмет, соответствующий этому понятию, или при помощи одного лишь воображения в чистом созерцании, или вслед за этим также на бумаге в эмпирическом созерцании, но и в том и в другом случае совершенно a priori, не заимствуя для этого образцов ни из какого опыта. Единичная нарисованная фигура эмпирична, но тем не менее служит для выражения понятия без ущерба для его всеобщности, так как в этом эмпирическом созерцании я всегда имею в виду только действие по конструированию понятия11, для которого многие определения, например величины сторон и углов, совершенно безразличны, и потому я отвлекаюсь от этих разных [определений], не изменяющих понятия треугольника» ([8, с.423]; выделено жирным и подчеркиванием нами. — С. К.).
5.1. Следует обратить внимание на то, что в приведенном выше кантовском фрагменте есть два смысловых центра, которые Кантом хотя и различаются, но недостаточно четко. Первый из них связан с решающей характеристикой математической деятельности как «(по)знания посредством конструирования понятий» (см. первое предложение цит. фрагмента; именно этот момент и является , на наш взгляд, решающим), что нацеливает исследователя на выявление «[ментальных] действий по конструированию понятий». На наш взгляд именно это и является определяющим для кантовского подхода, который может быть трансцендентальным конструктивизмом. Его специфика, в отличие, например, от эрлангенского конструктивизма [Р. Lorenzen Konstruktive Wissenschaftstheorie. Frankfurt, 1974], состоит в том, что математические абстракты (например, точки) — поскольку по своему онтологическому статусу отличаются от физических объектов объектами — должны подкрепляться не какими-либо реально-техническими процедурами их построения, например, с помощью циркуля и линейки (постулат эрлагенского конструктивизма), а обосновываться мысленными способами их построения, каковыми и является кантовские схемы. Второй — связан с тем, что конструирование понятия Кант мыслит как его соотнесение с созерцанием (см. второе предложение цит. фрагмента). Этот тезис Канта является следствием его общей концепции познания, состоящей в том, что в процессе любого познания задействованы как рассудок, так и чувственность, которую он распространяет и на область математического познания. Если мы делаем упор на этом (так интерпретировали Канта Д.Гильберт и, вслед за ним, Е.Д.Смирнова), то на первый план выходит созерцательный характер любого знания, в том числе и математического. Для геометрии эти два — конструктивный и созерцательный — конституирующих математическую деятельность момента работают в паре, взаимно дополняя друг друга (возможно, при некотором преобладании момента созерцательности). Для алгебры и связанных с ней областей математического знания созерцательный момент, хотя и остается, но занимает явно подчиненное положение по сравнению с конструктивной природой математической деятельности: декларативные математические понятия (абстракции) должны быть заданы конструктивно, т.е. должны быть указаны способы его построения.
6. Если мы делаем упор на моменте «конструирования понятий», то трансцендентальной способностью его реализации является кантовский схематизм (см. слайд 7). Разобрать пример с выявлением схемы треугольника == (см. выдержку из гл. 2 моей монографии) ==
Итак, единичный треугольник образуется в нашей душе путем его рисования. А как же образуется идея треугольника? Какие «действия» нашего сознания порождают эту идею? Ответ на этот вопрос содержится в кантовском учении о схематизме, который мы будем излагать в его модифицированном варианте за счет привлечения более позднего кантовского учения о рефлексивной способности суждения из «Критики способности суждения» [10, c. 52—56; с. 63—66; с. 100—106; с.187—193]. В основе кантовского схематизма лежит процедура рефлексии, которая позволяет изменять направленность нашего сознания: в данном случае рефлексия «переключает» наше внимание с результата рисования — единичной [геометрической] фигуры [треугольника] (resp. с вопроса типа «Что (это нарисовано)?») на [общий] способ его построения (resp. на вопрос «Как (это что получается)?»), т. е. алгоритм рисования, который Кант эксплицирует термином «трансцендентальная схема» [8, с. 123]. В случае построения треугольника «действие по конструированию понятия [треугольника]» (заметим, что здесь мы воспользовались выражением из приведенного выше кантовского фрагмента о специфике математической деятельности) состоит приблизительно12 в том, что мы совершаем двойной излом с замыканием при проведении прямой линии (для четырехугольника — тройной излом). А если мы попробуем обобщить алгоритм рисования данного конкретного треугольника, то окажется, что он приложим к построению любого треугольника вообще, поскольку для него «многие определения, например величины сторон и углов, совершенно безразличны, [т. к. они не изменяют общее] понятие треугольника». Вот что Кант говорит в этой связи: «В действительности в основе наших чистых чувственных понятий [математических предметов. — С. К.] лежат не образы предметов, а схемы. Понятию о треугольнике вообще не соответствовал бы никакой образ треугольника. В самом деле, образ [например, остроугольный или тупоугольный прямоугольник] всегда ограничивался бы только частью объема этого понятия и никогда не достиг бы общности понятия, благодаря которой понятие приложимо ко всем треугольникам — прямоугольным, остроугольным и т.п. Схема треугольника не может существовать нигде, кроме как в мысли, и означает правило синтеза воображения в отношении чистых фигур в пространстве» [8, 125]13.
6. Применима ли концепция Канта не только к геометрии, но и к алгебре (современной математике)? Вполне! Вот что Кант пишет о схематизме, относительно числа: «если же я мыслю только число вообще, безразлично, будет ли это пять или сто, то такое мышление есть скорее представление о методе [= схеме. — К.С.] (каким представляют в одном образе множество, например тысячу), чем сам этот образ, который в последнем случае, когда я мыслю тысячу, вряд ли могу обозреть и сравнить с понятием…» [8, с. 124].
7. В этой связи представляется важным описываемое Кантом символическое конструирование (см. слайд 7)
Обратим внимание на то, что язык алгебры обладает выразительными возможностями для выражения не только абстрактных символов, но и операций («действий»), производимых с ними. По сути дела, математический [алгебраический] язык является языком особого рода — процедурным, а не декларативным языком, т.е. языком, фиксирующим способы работы с математическим объектами, «как» надо осуществлять то или иное математическое преобразование. Причем это не является прерогативой лишь алгебры, а относится и к другим разделам современной математики и логики: никакой логико–математический язык без специальных знаков для выражения операций над математическими символами невозможен. В этом отношении символическое конструирование гораздо прозрачнее остенсивного, поскольку при остенсивном конструировании действия схем явно не «сказываются», а лишь «показываются» путем их реального осуществления в ходе геометрического построения, хотя и могут эксплицироваться — путем описания способа конструирования — в последующих рефлексивных актах. Языки же алгебраического типа в явном виде содержат [технические] знаки [операций] «конструирования величин».
8. Сформулируем наш главный тезис. В современной математике действуют оба кантовских типа конструирования, их определенное сочетание. Например, остенсивные — a la геометрические — конструкции широко используются в современных логико-математических теориях. В качестве примера укажем на использование в силлогистике круговых диаграмм Эйлера, при помощи которых «наглядно» представимы отношения между понятиями, теорию графов, а также секвенциальные деревья и/или субординантные выводы натуральных исчислений, которые являются созерцательными конструкциями выводов в логических исчислениях разного типа.
9. Разберем пример конструирования континуума (слайды 9,10). Что здесь происходит?
Пусть нам дано вещественное число. Символически это некоторый набор цифр (бесконечная десятичная дробь, например 0,534…). Этому «символу» (синтаксическому «понятию») мы ставим в соответствии некоторую точку на отрезке [0, 1] (= остенсивное конструирование). Точнее, собственно остенсивная конструкция задания алгебраического числа состоит в последовательном разбиении отрезка пополам, при итеративном осуществлении которого мы получаем все более и более точное приближение к исходному числу. При осуществлении этого деления искомое число оказывается либо в правой, либо в левой части полуотрезка: например, после первого деления наше число окажется в правом половине отрезка, т.к. оно начинается с цифры 5, далее – в левой правой четверти правой половины, т.к. 0, 53 очень близко к 0, 5 (и т.д.). Последующие деления будут все точнее задавать месторасположение искомого числа. Но современная математика на этом не останавливается и предлагает данную «приблизительную» геометрическую конструкцию заменить более строгой алгебраической. Описанный выше процедуру деления отрезка пополам она задает в виде алгебраического алгоритма (символическое конструирование; см. его описание на слайде 9 – 10). Заметим при этом, что после этого мы делаем и третий шаг, когда «наглядно» представляем алгебраический алгоритм с помощью геометрической конструкции (двоичного дерева графов – вторичное остенсивное конструирование).
Фрагменты из работ И.Канта.
Иммануил Кант ПРОЛЕГОМЕНЫ ко всякой будущей метафизике, могущей появиться как наука §7
Но мы находим, что всякое математическое познание имеет ту особенность, что оно должно показать свое понятие сначала в созерцании, и притом априорном, стало быть, чистом, а не эмпирическом: без этого средства математика не может сделать ни одного шага; поэтому ее суждения всегда интуитивны, тогда как философия должна удовлетворяться дискурсивными суждениями из одних только понятий и может, конечно, пояснить свои аподиктические учения посредством созерцания, но никогда не может выводить их из него. Уже это наблюдение над природой математики указывает нам на первое и высшее условие ее возможности, а именно: в ее основании должно лежать какое-то чистое созерцание, в котором она может показывать все свои понятия in concreto и тем не менее a priori, или, как говорят, конструировать их.
Это самое (пред) начало трансцендентальной дедукции категорий («ссылка скрыта»):
«Под аналитикой понятий я разумею не анализ их, или обычный в философских исследованиях прием разлагать встречающиеся понятия по содержанию и делать их отчетливыми, а еще мало применявшееся до сих пор расчленение самой способности рассудка с целью изучить возможность априорных понятий, отыскивая их исключительно в рассудке как месте их происхождения и анализируя чистое применение [рассудка] вообще. Такова настоящая задача трансцендентальной философии, все же остальное есть логическая трактовка понятий в философии вообще. Итак, мы проследим чистые понятия в человеческом рассудке вплоть до их первых зародышей и зачатков, в которых они предуготовлены, пока наконец не разовьются при наличии опыта и не будут представлены затем во всей своей чистоте тем же рассудком, освобожденные от связанных с ними эмпирических условий».
По сути дела здесь (см. концовку фр.) и описан эпигенезис [понятий] Канта как развитие — «первых зародышей и зачатков чистых понятия рассудка» — из опыта. Т.е. суть эпигенезиса в том, «что категории созданы нами самими», хотя и на основе опыта.
А вот «итог» трансцендентальной дедукции (§ 27 g.ua/books/kanti02/txt07.php">):
«Однако это познание, хотя и ограничено только предметами опыта, тем не менее не все заимствовано из опыта: чистые созерцания и чистые рассудочные понятия суть элементы знания, а priori имеющиеся в нас. Существует только два пути, на которых можно мыслить необходимое соответствие опыта с понятиями о его предметах: или опыт делает эти понятия возможными, или эти понятия делают опыт возможным. Первого не бывает в отношении категорий (а также чистого чувственного созерцания), так как они суть априорные, стало быть, независимые от опыта понятия (говорить об эмпирическом происхождении их означало бы допустить своего рода generatio aequivoca). Следовательно, остается лишь второе [допущение] (как бы система эпигенезиса чистого разума), а именно что категории содержат в себе со стороны рассудка основания возможности всякого опыта вообще. О том, как они делают возможным опыт и какие основоположения о его возможности они дают, применяясь к явлениям, будет сказано подробнее в следующем разделе – в разделе о трансцендентальном применении способности суждения.
Быть может, кто-нибудь предложит средний путь между обоими указанными единственно возможными путями, а именно скажет, что категории не созданные нами самими первые априорные принципы нашего знания и не заимствованы из опыта, а представляют собой субъективные, врожденные нам одновременно с нашим существованием задатки мышления, устроенные нашим творцом так, что применение их точно согласуется с законами природы, которым следует опыт (это своего рода система преформации чистого разума). Однако признание этого среднего пути (не говоря уже о том, что, исходя из этой гипотезы, мы не видим, до какого предела допустимы предопределенные задатки будущих суждений) решительно опровергается тем, что в таком случае категории были бы лишены необходимости, присущей их понятию. В самом деле, понятие причины, например, выражающее необходимость того или иного следствия при данном условии, было бы ложным, если бы оно основывалось только на произвольной, врожденной нам субъективной необходимости связывать те или иные эмпирические представления по такому правилу отношения. В таком случае я не мог бы сказать: действие связано с причиной в объекте (т.е. необходимо), а должен был бы сказать лишь следующее: я так устроен, что могу мыслить это представление не иначе как связанным так-то. Это и есть то, что наиболее желательно скептику, так как в таком случае всякое наше усмотрение, опирающееся на предполагаемую нами объективную значимость наших суждений, есть одна лишь видимость, и не оказалось бы недостатка в людях, которые сами бы не признали этой субъективной необходимости (которая должна быть чувствуемой необходимостью); во всяком случае ни с кем нельзя было бы спорить о том, чтó зависит только от той или другой организации субъекта.
«Я называю трансцендентальным … познание, которое имеет дело не столько с предметами, сколько с нашим способом познания предметов, поскольку он [способ познания] должен быть возможным a priori. Система таких понятий должна называться трансцендентальной философией (уточнение перевода и подчеркивание мое. — К.С.; [КЧР, В 25]).
«Трансцендентальным (т.е. касающимся возможности или применения априорного познания) следует называть не всякое априорное знание… а только знание о том, (1) что [и почему] те или иные представления (созерцания или понятия) вообще не имеют эмпирического происхождения, и о том, (2) каким образом [и как это возможно, что] эти представления тем не менее могут применяться в познании, т.е. a priori относиться к предметам опыта» (вставки в квадратных скобках мои. — К.С; [КЧР, В 80 – 81]).
Вот точная кантовская цитата (жирным выделены те места, которые я использовал для реконструкции): «Здесь я сделаю замечание, влияние которого простирается на все дальнейшие рассуждения и которое необходимо иметь в виду, а именно трансцендентальным (т.е. касающимся возможности или применения априорного познания) следует называть не всякое априорное знание, а только то, благодаря которому мы узнаем, что те или иные представления (созерцания или·понятия) применяются и могут существовать исключительно а priori, а также как это возможно. Поэтому ни пространство, ни какое бы то ни было априорное геометрическое определение его не есть трансцендентальное представление; трансцендентальным может называться только знание о том, что эти представления вообще не имеют эмпирического происхождения, и о том, каким образом они тем не менее могут а priori относиться к предметам опыта. Применение пространства к предметам вообще также было бы трансцендентальным; но так как оно ограничивается исключительно предметами чувств, то оно называется эмпирическим. Таким образом, различие между трансцендентальным и эмпирическим причастно только к критике знаний и не касается отношения их к их предмету» (КЧР, В 80 – 81).]
"Трансцендентальное применение понятия в любом основоположении относится к вещам вообще и к вещам самим по себе, а эмпирическое — только к явлениям, т.е. к предметам возможного опыта" (Кант, КЧР, "Об основании различения всех предметов вообще на phaenomena и noumena"; B 298).
Как пишет Кант в своих «Пролегоменах», «многократно указанное мной слово трансцендентальное означает то, что опыту (a priori) хотя и предшествует, но предназначено лишь для того, чтобы сделать возможным опытное познание».
« Трансцендентальный принцип — это принцип, посредством которого представляется априорное общее условие, единственно допускающее, чтобы вещи могли стать объектами нашего познания. Напротив, метафизическим принцип называется, если он представляет априорное условие, допускающее, чтобы объекты, понятие о которых должно быть дано эмпирически, могли быть далее определены априорно. Так, принцип познания тел в качестве субстанции и изменяющихся субстанций трансцендентален, если этим утверждается, что изменение должно быть вызвано какой-либо причиной; он метафизичен, если утверждается, что это изменение должно быть вызвано внешней причиной: в первом случае, для того чтобы априорно познать положение, тело должно мыслиться только посредством онтологических предикатов (чистых понятий рассудка), например, как субстанция; во втором в основу должно быть положено эмпирическое понятие тела (как вещи, движущейся в пространстве), что позволяет совершенно априорно усмотреть, что телу присущ этот предикат движения посредством внешней причины)» [29, 52].
1 См. также ссылка скрыта (sophy.ru/library/katr/katr_trans_konstruct.rar) на конференции по философии математики (Москва, МГУ, 2009); см. ниже.
2 Вот как Платон определяет специфику математики в «Государстве»: «Те, кто занимается геометрией, счетом и тому подобным, предполагают в любом своем исследовании, будто им известно, что такое чет и нечет, фигуры, три вида углов и прочее… [И] когда они пользуются чертежами и делают отсюда выводы, их мысль обращена не на чертеж, а на те фигуры, подобием которых он служит [чертеж же является «образным выражением того, что можно видеть не иначе как мысленным взором» (там же)]. Выводы свои они делают только для четырехугольника самого по себе и его диагонали, а не для той диагонали, которую они начертили…» [510d—e; вставки и выделение сделаны нами. — С.К.].
3 Подробнее об этом мы говорим в наших работах [3, 4].
4 Ср. с приведенными ранее словами Канта о трансцендентальном как «…действиях чистого рассудка».
5 См. в цитате выделенные нами жирным те места, которые говорят об этом.
6 Речь, прежде всего, идет о докладе Д. Гильберта «О бесконечном» [5].
7 Продолжая, Кант дает определение схемы: «…Это представление об общем способе, каким воображение доставляет понятию образ, я называю схемой данного понятия» [там же].
8 Принципиальное различие арифметики и алгебры можно задать следующим образом. Решение [конкретного] примера 2 + 3 = ? есть задача арифметическая, а решение уравнения 3 + х = 5 является уже задачей алгебраической. Возникновение собственно алгебры можно связать с «Арифметикой» Диофанта (III в. до н.э.), в котором впервые стала использоваться алгебраическая символика (язык х-ов и у-ов).
9 Доказательство было приведено аспирантом мехмата С. Шашковым (2008) в его выступлении на семинаре, посвященном переводу статьи Л.Э.Я. Брауэра «Сознание, философия и математика» [см. ссылка скрыта].
11 Ср. с «действиями чистого рассудка» при введении Кантом «сильного» модуса трансцендентального.
12 По сути дела, никакая схема как действие не может быть абсолютно точно выражена дискурсивным образом (ведь схема — это нечто среднее между чувственным созерцанием и рассудочным понятием). В терминах Витгенштейна можно сказать, что схема, скорее, не «сказывается», а «делается» (показывается). Например, мы не можем научить ребенка кататься на велосипеде по учебнику механики, а должны использовать для освоения этого навыка прагматическую максиму типа «делай как я!» или «повторяй за мной!». Как замечает Кант, «схематизм является скрытым…..», но «скрытым» не потому, что схема недоступна нашему разума, а потому, что она не поддается точной вербальной экспликации в силу своей процедурной (деятельной) природы.
13 Чуть ниже Кант определяет схему как «чувственное понятие предмета, находящееся в соответствии с категорией [рассудка]» [8, с. 128]. Для нас же более важно, что схема представляет собой некоторое «мысленное действие» по построению данной фигуры. Т.е. мы рассматриваем случай, когда у нас еще нет рассудочного понятия, «в соответствии» и на основе которого создается схема, а существует лишь «нарисованный» на экране сознания образ предмета, из которого надо извлечь его понятийное содержание (на основе чего, мы, например, даем этому образу какое-то имя).