Geum.ru

Рабочая учебная программа по дисциплине «Математическая логика»

Вид материалаРабочая учебная программа

Содержание


Пояснительная записка
2. Учебно-тематическое планирование
2.2 Учебно-тематический план заочной формы обучения
3. Содержание дисциплины
Алгебра высказываний. Нормальные формы
Исчисление высказываний
Теории 1-го порядка
Модели теории 1-го порядка
Теорема Геделя о неполноте
4. Самостоятельная работа и организация
4.3. Вопросы для экзамена
5. Требования к уровню освоения содержания дисциплины
6. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
Подобный материал:

Рабочая учебная программа по дисциплине
«Математическая логика»


ГОУ ВПО «Уральский государственный педагогический университет»

Екатеринбург, 2007. – 9 с.


Составитель:

Ильиных А.П., зав. кафедрой алгебры и теории чисел.

Рабочая учебная программа обсуждена на заседании кафедры алгебры и теории чисел УрГПУ

Протокол от 07.04.2006 № 8


И.о. зав. кафедрой С.С. Коробков


  1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА


Современная математика может быть представлена как наука об абстрактных объектах таких, как вещественные числа, функции, поверхности, алгебраические системы и т.д. Математическая логика рассматривает новое направление в этой науке, сосредоточивая внимание на языке, используемом в математике, на способах определения абстрактных объектов и на законах логики, которыми мы руководствуемся, когда рассуждаем об этих объектах. Логики предприняли это изучение с надеждой понять природу математического опыта и в конечном счете внести вклад в математику как важными результатами, возникающими в самой логике (теорема Гёделя о неполноте является наиболее известным примером), так и их приложениями к другим разделам математики.

Курс математической логики для студентов математических специальностей педагогических вузов имеет своей целью изложить основы этой науки, познакомить студентов с формализованным аксиоматическим методом построения математических теорий, охватывающим также и логические средства; его основными составными частями: языком, аксиомами, правилами вывода; проблемами непротиворечивости, полноты, разрешимости теорий.

Изучение математической логики, безусловно, будет способствовать более ясному представлению об общей структуре математических теорий, о математике в целом, а значит, и о школьной математике. Курс математической логики имеет разнообразные межпредметные связи с алгеброй и теорией чисел, геометрией, математическим анализом. Настоящая программа предусматривает также существенную связь его с курсом информатики. Это касается изучения языка первого порядка и формализованного построения математических теорий. Исчисление высказываний может быть изложено на основе книги Д.Шенфилда “Математическая логика”.

На практических занятиях студенты решают задачи по разделам «Логика высказываний», «Исчисление высказываний», «Логика предикатов», «Теории 1-го порядка», «Модели теорий». Они должны овладеть техникой логических преобразований, особенно обращению с кванторами, научиться доказывать выводимость формулы счисления высказываний с использованием правил вывода. По курсу математической логики предусматривается проведение двух контрольных работ.


2. УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ


    1. . Учебно-тематический план очной формы обучения




№

п/п
Наименование раздела, темы
Всего трудоемкость
Аудиторные занятия
Самостоятельная работа

Всего
Лекции
Практические

1.
Аксиоматический метод в математике
8
4
2
2
4

2.
Алгебра высказываний. Нормальные формы
32
16
8
8
16

3.
Исчисление высказываний
24
12
6
6
12

4.
Предикаты и кванторы
16
8
4
4
8

5.
Теории 1-го порядка
16
8
4
4
8

6.
Модель теории 1-го порядка
10
4
2
2
6

7.
Теорема полноты К.Геделя
10
4
2
2
6

8.
Теорема Геделя о неполноте
10
4
2
2
6




Итого:
126
60
30
30
66



2.2 Учебно-тематический план заочной формы обучения


№

п/п
Наименование раздела, темы
Всего трудоемкость
Аудиторные занятия
Самостоятельная работа

Всего
Лекции
Практические

1.
Аксиоматический метод в математике
11
1
1



10

2.
Алгебра высказываний. Нормальные формы
22
2
1
1
20

3.
Исчисление высказываний
16
2
1
1
14

4.
Предикаты и кванторы
16
2
1
1
14

5.
Теории 1-го порядка
16
2
1
1
14

6.
Модель теории 1-го порядка
16
2
1
1
14

7.
Теорема полноты К.Геделя
16
2
1
1
14

8.
Теорема Геделя о неполноте
13
1
1



12




Итого:
126
14
8
6
112



3. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ



  1. Аксиоматический метод в математике

Аксиоматический метод в математике. Математическая логика и формализация математических теорий. Применение математической логики в других областях знаний.
  1. Алгебра высказываний. Нормальные формы

Алгебра высказываний. Операции над высказываниями и их свойства. Истинностные значения формул. Тавтологии - законы логики высказываний. Равносильность и преобразования формул. Нормальные формы. Представление истинностных функций формулами. Применение алгебры высказываний к переключательным схемам.
  1. Исчисление высказываний

Принципы построения исчислений высказываний (гильбертовского и генценовского типа). Классическое и конструктивное (Интуиционистское) исчисления. Аксиомы, правила вывода. Доказуемость формул. Выводимость из гипотез. Производные правила. Теорема дедукции. Характеристики исчислений высказываний – непротиворечивость, полнота, разрешимость и связанные сними теоремы. Независимость аксиом, правила вывода. Законы исключенного третьего и снятия двойного отрицания – законы классической логики. Эффективные и неэффективные доказательства.
  1. Предикаты и кванторы

Понятие предиката. Формулы логики предикатов. Истинностные значения формул. Равносильность. Общезначимость и выполнимость формул. Проблема разрешения для общезначимости и выполнимости. Применение языка логики предикатов для записи математических предложений, определений, построение отрицаний предложений.
  1. Теории 1-го порядка

Языки 1-го порядка: переменные, логические и нелогические символы, термы и формулы. Однозначность построения термов и формул, часть формулы. Cвободные и связанные вхождения переменных. Операция подстановки терма в формулу и ее допустимость. Логические и нелогические аксиомы, правила вывода. Теоремы и доказательства в теории 1-го порядка
  1. Модели теории 1-го порядка

Структуры для языка 1-го порядка. Истинность формулы в структуре для языка 1-го порядка. Теорема истинности. Модель теории.
  1. Теорема полноты К. Геделя

Истинность формулы в теории. Две формы теоремы полноты К.Геделя. Изоморфизм моделей. Категоричность теории.
  1. Теорема Геделя о неполноте

Формализация математических теорий.

Примеры формализации математических теорий: теория групп, теория N, теория множеств. Проблема непротиворечивости в математике. Программа Гильберта. Метод формализации. Конструктивное направление в математике.


4. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА И ОРГАНИЗАЦИЯ
КОНТРОЛЬНО-ОЦЕНОЧНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ



    1. . Темы, вынесенные на самостоятельное изучение

Формулы логики предикатов Истинностные значения формул. Равносильность. Общезначимость и выполнимость формул. Проблема разрешения для общезначимости и выполнимости. Применение языка логики предикатов для записи математических предложений, определений, построение отрицаний предложений.

    1. Примерные темы курсовых работ
  1. Аксиоматический метод в математике.
  2. Решение логических задач.
  3. Математическая логика и формализация математических теорий.
  4. Некоторые применения математической логики.
  5. Теория формальных систем.
  6. Теории 1-го порядка. Формализация математических теорий.
  7. Теорема Геделя о неполноте.


4.3. Вопросы для экзамена
  1. Аксиоматический метод в математике и формализация математических теорий.
  2. Алгебра высказываний.
  3. Конъюнктивная и дизъюнктивная нормальные формы.
  4. Построение исчисления высказываний в виде формальной системы.
  5. Свойства выводимых формул.
  6. Совпадение классов выводимых и тождественно истинных формул.
  7. Функции и предикаты.
  8. Формализация математических теорий на языке первого порядка.
  9. Аксиомы и правила вывода теории первого порядка.
  10. Модель теории первого порядка.
  11. Теорема о полноте.
  12. Алгоритмы и машина Тьюринга.
  13. Теорема Геделя о неполноте.


5. ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ОСВОЕНИЯ СОДЕРЖАНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ


Студент, изучивший дисциплину, должен знать:
– о применениях математической логики в вопросах обоснования математики;

– формализованный аксиоматический метод построения математических теорий, его основные составные части;

– проблемы непротиворечивости, полноты, разрешимости теорий; алгебру высказываний и нормальные формы;

– применение алгебры высказываний;

– изложение исчисления высказываний в виде формальной теории; предикаты и кванторы;
– проблему разрешения для общезначимости и выполнимости;

– теории 1-го порядка, язык теории, теоремы и доказательства, модель теории, изоморфизм моделей, категоричность теории; теорему К. Геделя о полноте;

– алгоритмы, рекурсивные функции и их связь с аксиоматическим методом; теорему Геделя о неполноте.

Студент, изучивший дисциплину, должен уметь:

– записывать математические утверждения с использованием логической символики;

– преобразовывать формулы, в частности, формулы с кванторами и предикатами;

– вычислять нормальные формы;

– применять алгебру высказываний;

– доказывать выводимость формулы исчисления высказываний; записывать математические утверждения на языке 1-го порядка;

– строить модели теории;

– проверять непротиворечивость, независимость системы аксиом.

6. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ


6.1.Рекомендуемая литература


Основная

  1. Ершов, Ю.Л. Математическая логика [Текст]: учеб. пособие для вузов / Ю.Л. Ершов, Е.А. Палютин. – 4-е изд. стер. – СПб.: Лань, 2005. – 336 с.
  2. Игошин, В.И. Задачник-практикум по математической логике [Текст]: учеб. пособие для студентов-заочников физ.-мат. фак. пед. ин-тов / В.И. Игошин. – Подольск: Академия, 2005. – 156 с.
  3. Ильиных, А.П. Математическая логика [Текст]: учеб. пособие / Урал. гос. пед. ун-т. – Екатеринбург: УрГПУ, 2002. – 76 с.
  4. Лавров, И.А. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов [Текст] / И.А. Лавров, Л.Л. Максимова. – М.: Наука, 1995. – 240 с.
  5. Мендельсон, Э. Введение в математическую логику [Текст] / Э. Мендельсон. – М.: Наука, 1976. – 287 с.
  6. Новиков, П.С. Элементы математической логики [Текст] / П.С. Новиков. – М.: Наука, 1973. – 399 с.
  7. Шенфилд, Д.Р. Математическая логика [Текст] / Д.Р. Шенфилд. – М.: Наука, 1975. – 527 с.


Дополнительная

  1. Гжегорчик, А. Популярная логика [Текст] / А. Гжегорчик. – М.: Наука, 1979. –
  2. Гладкий, А.В. Математическая логика [Текст] / А.В. Гладкий. – М.: Рос. гос. гум. ун-т, 1998. – 479 с.
  3. Градштейн, И.С. Прямая и обратная теоремы. Элементы алгебры логики [Текст] / И.С. Градштейн. – М.: Наука, 1972. – 128 с.
  4. Клини, С.К. Математическая логика [Текст] / С.К. Клини. – М.: Мир, 1973. ­ 480 с.
  5. Колмогоров, А.Н. Математическая логика: Доп. гл. [Текст]: учеб. пособие для вузов по спец. «Математика» / А.Н. Колмогоров, А.Г. Драгалин. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1984. – 119 с.
  6. Лихтарников, Л.М. Математическая логика [Текст]: курс лекций, задачник-практикум и решения / Л.М. Лихтарников, Т.Г. Сукачева. – СПб.: Лань, 1998. – 288 с.
  7. Мадер, В.В. Школьнику об алгебре логики [Текст]: книга для внеклассного чтения учащихся 10-11 кл. сред. школы / В.В. Мадер. – М.: Просвещение, 1993. –
  8. Математическая логика: для спец. «Математика» [Текст]: МГЗПИ; сост. отв. ред. Ф.Л. Варпаховский. – М.,1991. –
  9. Математическая логика [Текст]: учеб. пособие для мат. спец. пед. ин-тов; под общ.ред. А.А.Столяра. – Минск.: Вышэйшая школа, 1991. – 269 с.
  10. Основы математической логики [Текст]: метод. разраб. / В.Б. Репницкий; Свердл. гос. пед. ин-т. – Свердловск: СГПИ, 1987. – 122 с.


6.2. Информационное обеспечение дисциплины


Локальная сеть математического факультета УрГПУ, сайт кафедры алгебры и теории чисел, «Информационная обучающая среда».


7. СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРЕ ПРОГРАММЫ


Ильиных Анатолий Петрович, доктор физико-математических наук, доцент, заведующий кафедрой алгебры и теории чисел