Учебное пособие предназначено для студентов, изучающих высшую математику, и может быть использовано как при очной, так и при дистанционной форме обучения. Предисловие
| Вид материала | Учебное пособие |
СодержаниеПрактические занятия |
- Учебное пособие томск 2009, 1504.09kb.
- Учебное пособие, 2003 г. Учебное пособие разработано ведущим специалистом учебно-методического, 454.51kb.
- Учебное пособие, 2003 г. Учебное пособие разработано ведущим специалистом учебно-методического, 783.58kb.
- Учебное пособие, 2003 г. Учебное пособие разработано ведущим специалистом учебно-методического, 794.09kb.
- Рагимовым Робертом Рагимовичем Рецензент доцент, кандидат технических наук Стрелец, 461.77kb.
- Учебное пособие предназначено для студентов утис дистанционной формы обучения. Оно, 1727.53kb.
- Учебное пособие предназначено для студентов университетов и педагогических вузов, изучающих, 42.93kb.
- Учебное пособие предназначено для студентов очной и заочной форм обучения специальности, 5898.52kb.
- Учебное пособие предназначено для студентов заочного отделения, а также может быть, 1091.28kb.
- Учебное пособие Издательство Института Психотерапии Москва, 5222.75kb.
Под ред. Петрушко И. М.Курс высшей математики. Кратные интегралы. Векторный анализ. Лекции и практикум:
Учебное пособие. 2-е изд.
Допущено Министерством образования РФ в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям: «Технические науки», «Техника и технологии»
ISBN 978-5-8114-0727-9
Год выпуска 2007
Тираж 3000 экз.
Формат 12,8 20 см
Переплет: твердый
Страниц 320
Предлагаемое учебное пособие является конспектом лекций и практических занятий по разделам математического анализа (кратные интегралы, векторный анализ), которые изучаются в технических вузах в третьем семестре.
В книге отражен опыт многолетнего преподавания высшей математики в МЭИ. Пособие содержит конспект 15 лекций, разработки 9 практических занятий с подробным решением типовых примеров, задачи для самостоятельного решения, контрольные вопросы по всем темам, варианты контрольных работ.
Учебное пособие предназначено для студентов, изучающих высшую математику, и может быть использовано как при очной, так и при дистанционной форме обучения.
Предисловие
Подобно тому, как задача о площади криволинейной трапеции приводит к понятию определенного интеграла, аналогичная задача об объеме тела приводит к понятию двойного и тройного интегралов. При определении данных интегралов (и, вообще, любых интегралов) применяется общий метод интегрального исчисления, который состоит в следующем: разбиение области интегрирования функции на элементарные области, выбор произвольных точек в элементарных областях, составление интегральных сумм и переход к пределу при неограниченном размельчении разбиения. Поскольку построение интегралов предполагает умение измерять длину, площадь, объем, то приведем здесь общие понятия площади и объема.
Назовем многоугольной фигурой на плоскости объединение конечного числа многоугольников, не имеющих общих внутренних точек; многогранной фигурой в пространстве — аналогичное объединение многогранников. Заметим, что понятие площадей и объемов данных фигур известно из школьного курса геометрии. Для данной произвольной ограниченной области D на плоскости ( — в пространстве) назовем нижней мерой *(D) области D (*() области ) точную верхнюю грань площадей всех многоугольных фигур, содержащихся в D (точную верхнюю грань объемов всех многогранных фигур, содержащихся в ), а верхней мерой *(D) (*()) — точную нижнюю грань площадей всех многоугольных фигур, содержащих D.
Если *(D) = *(D) = , то область D называется квадрируемой (имеющей площадь), а число называется площадью области D.
Аналогично, если *() = *() = , то область называется кубируемой, а число — объемом области .
Приведем здесь без доказательства теорему и следствие и; нее.
Теорема. Для того, чтобы область D на плоскости была квадрируема, необходимо и достаточно, чтобы граница области на плоскости имела меру нуль (то есть границу можно покрыть объединением прямоугольников со сколь угодно малой суммой их площадей).
Примером квадрируемой области является криволинейная трапеция, ограниченная графиком неотрицательной и непрерывной функции на отрезке [а; b] прямыми х = а, х = b и осью Ох.
Здесь площадь прямоугольной сетки, покрывающей график, можно сделать сколь угодно малой.
Следствие. Если ограниченная область D на плоскости имеет кусочно-гладкую границу, то она квадрируема.
Аналогичная теорема и следствие справедливы и для области в пространстве, если ее граница непрерывная или кусочно-гладкая поверхность.
Оглавление
курс лекций
Предисловие
Лекция 1. Криволинейные интегралы
§ 1.1. Задача об объеме цилиндрического тела. Определение двойного интеграла .............
§ 1.2. Свойства двойного интеграла
§1.3. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах с помощью двух последовательных интегрирований
Лекция 2. Замена переменных в двойном интеграле
§ 2.1. Криволинейные координаты
§ 2.2. Элемент площади в криволинейных координатах. Якобиан и его геометрический смысл
§ 2.3. Замена переменных в двойном интеграле
§ 2.4. Двойной интеграл в полярных координатах
Лекция 3. Тройные интегралы
§ 3.1. Задача о массе пространственного тела
§ 3.2. Определение и свойства тройного интеграла
§ 3.3. Вычисление тройного интеграла тремя последовательными интегрированиями
Лекция 4. Замена переменных в тройном интеграле. Якобиан
§ 4.1. Тройной интеграл в цилиндрических координатах
§ 4.2. Тройной интеграл в сферических координатах
Лекция 5. Приложения кратных интегралов к задачам механики
§ 5.1. Вычисление массы и координат центра тяжести
§ 5.2. Моменты инерции
§ 5.3. Напряженность поля тяготения
Лекция 6. Поверхности и кривые в пространстве. Способы их задания
§ 6.1. Площадь поверхности и ее вычисление
Лекция 7. Поверхностные интегралы
§ 7.1. Поверхностный интеграл первого типа (по площади поверхности)
§ 7.2. Поверхностный интеграл второго типа (по координатам)
Лекция 8. Криволинейные интегралы
§ 8.1. Криволинейные интегралы первого рода (по длине дуги)
§ 8.2. Криволинейные интегралы второго рода (по координате)
§ 8.3. Формула Грина
Лекция 9. Скалярное поле. Поверхности и линии уровня
§ 9.1. Производная скалярного поля по направлению
§ 9.2. Градиент скалярного поля
Лекция 10. Векторное поле. Векторные линии
§ 10.1. Поток векторного поля через поверхность
§ 10.2. Вычисление потока
Лекция 11. Теорема Остроградского–Гаусса
§ 11.1. Дивергенция векторного поля
Лекция 12. Линейный интеграл в векторном поле
§ 12.1. Ротор (вихрь) векторного поля. Формула Стокса
Лекция 13. Потенциальное поле
§ 13 1 Соленоидальное поле
Лекция 14. Формализация дифференциальных операций в векторном анализе
§ 14.1. Оператор Гамильтона
§ 14.2. Дифференциальные операции второго порядка
Лекция 15. Ортогональные криволинейные координаты. Параметры ламэ
§ 15.1. Операции векторного анализа в криволинейных ортогональных координатах
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ
Занятие 1. Повторные интегралы
§ 1.1. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
§ 1.2. Изменение порядка интегрирования
Занятие 2. Двойной интеграл в полярных координатах
§ 2.1. Двойной интеграл в обобщенных полярных координатах
§ 2.2. Некоторые приложения двойных интегралов
Занятие 3. Тройной интеграл в декартовых координатах
§ 3.1. Тройной интеграл в цилиндрических координатах
Занятие 4. Тройной интеграл в сферических координатах
§ 4.1. Некоторые приложения тройных интегралов
Занятие 5. Поверхностный интеграл I-го рода
§ 5.1. Площадь и масса поверхности
Занятие 6. Скалярное поле
§ 6.1. Градиент. Производная по направлению
§ 6.2. Нормаль к поверхности
§ 6.3. Векторное поле. Векторные линии
Занятие 7. Поток векторного поля
§ 7.1. Формула Остроградского–Гаусса
Занятие 8. Криволинейный интеграл в векторном поле. Циркуляция
§ 8.1. Работа силового поля
§ 8.2. Формула Стокса
Занятие 9. Специальные виды полей
§ 9.1. Вычисление криволинейных интегралов в потенциальном поле