Джордж Малати

Математическое образование в странах третьего мира -- надежда для мирового развития всего математического образования в XXI веке

В течение последних четырех десятилетий математики пытались изменить математическое образование, и наша работа на международных встречах отражает удовлетворение происходящими переменами. Внутри каждой секции обсуждение идет по-своему: различные специалисты осуждают нововведения за то, что они, по их мнению, ведут к снижению уровня математического образования. В основном это относится к западным странам. В восточных странах история математического образования пока не такова. Нельзя сказать, что в этих странах программа за последние четыре десятилетия сильно изменилась. Эти страны сохранили высокий уровень как самой науки математики, так и ее преподавания. Но в будущем это может измениться. Есть признаки того, что Запад отрицательно повлияет на математическое образование в восточных странах. В этой ситуации не последнюю роль в защите математической культуры может сыграть математическое образование в странах третьего мира.

1. Разнообразие математического образования

1.1. Как появилось это разнообразие: краткая и неполная история

До 1957/1958 годов школьная математика была повсюду совершенно одинакова. В начальной школе преимущественно это была арифметика, в средней школе -- алгебра и евклидова планиметрия, а в старших классах -- тригонометрия, евклидова стереометрия, аналитическая геометрия и алгебра. В пятидесятых годах в программы для старшей школы начал проникать математический анализ.

Невиданные перемены в математическом образовании начались с запуска советского спутника 4 октября 1957 года. С 1958 года в США началась эра "новой математики". В этом году в Йельском Университете начала работу Группа по изучению математики в школе (School Mathematics Study Group, SMSG), под руководством профессора Эдварда Бегля (Edward Begle). Группа занималась, в частности, написанием новых учебников, соотвествующих по новой программе. Содержание этих учебников близко к изданным на ротапринте в 1952 году материалам работавшего в университете Иллинойса Комитета по школьной математике, возглавляемым Максом Беберманом. Эта математическая программа так и называлась "Новая программа по математике" ([17], с. 657), но слово "новая" приобрело свое волшебное звучание только после запуска спутника. Для специалистов "новая" здесь означало "приближенная к современной математике", а широкая публика считала, что новая программа выведет устаревшее математическое образование из кризиса. Потрясение, произведенное запуском спутника, привело не только к тому, что в США оценили программу SMCG; и США, и другие страны устремились к радикальным реформам, проводимым под волшебной вывеской "новая математика".

Радикальные перемены начались с того, что из школьной программы исчезла евклидова геометрия. Эта реформа была главным результатом состоявшегося в 1959 году Роямонтского семинара, организованного OECD (в то время эта организация называлась OEEC). Этот семинар сильно повлиял на историю матемаческого образования по двум причинам. Во-первых, на этом семинаре "новая математика", которая до этого момента была только американским движением, стала общезападной. Во-вторых, именно на этом семинаре Жан Дьёдонне провозгласил лозунг "Евклид должен уйти" [1, с. 35], роямонтский семинар и его записки [11], изданные в 1961 году, положили начало радикальным изменениям в западных странах. С тех пор все мировое собщество разделилось на восточную и западную школы, главными представителями которых являются Россия и США соответственно [7].

1.2. Более подробно о некоторых деталях.

Рассказанное выше хорошо известно большинству работников в области преподавания математики. Говоря более подробно, мы можем сказать, что запуск спутника, и особенно американская реакция на его появление в космосе вызвал разделение в мире преподавателей математики. Однако нельзя сказать, что тенденции к изменениям можно было наблюдать только в Америке. Вклад европейских стран здесь значителен. Так, например, до роямонтского семинара ни одна комиссия или комитет не решались совсем исключить геометрию из программы средней школы. В этом семинаре приняли участие представители 17 стран, из 18 входящих в Организацию по экономическому объединению европейских стран. Это были: Австрия, Бельгия, Великобритания, Греция, Дания, Ирландия, Исландия, Италия, Люксембург, Нидерланды, Норвегия, Португалия, Турция, Франция, ФРГ, Швейцария и Швеция. США и Канада тоже присутствовали на равных правах с другими странами, а Югославия -- на правах наблюдателя. Штаб-квартира OEEC находилась во Франции, где проходил и сам семинар. Семинар делился на три основные секции, каждая из которых имела своего председателя. Две из трех частей возглавляли французы -- профессор Жан Дьедонне и генеральный инспектор французского министерства образования Пьер Терон. Хотя председателем третьей секции был профессор Ховард Фер из США, а президентом семинара тоже был представитель США (доктор Маршалл Стоун, президент Международного конгресса по математическому образованию), основные предложения о реформах поступали от европейские стран.

Еще до роямонтского семинара 1959 года более чем в половине средних школ ФРГ евклидова геометрия была заменена так называемой геометрией движений -- упрощенной версией "геометрии преобразований" Феликса Клейна. Призыв об отмене евклидовой геометрии был сделан немецким докладчиком доктором Отто Бошем, который был автором учебника по геометрии движений [11, с. 76].

Редактором записок роямонтском семинара стал профессор Фер. Из опубликованных материалов ясно видно, что многие участники семинара выступили против отмены евклидовой геометрии, особенно в процессе обсуждения статьи Дьедонне [11, с. 46-47]. Тем не менее Фер пишет: "Все участники единодушно высказались за то, что желательно провести эксперимент с программой, предложенной профессором Дьедонне" [11, с. 48].

До роямонтского семинара большинство из двадцати стран-участниц имели традиционную программу по математике, включающую евклидову геометрию. Канада, ближайший сосед США, была хорошим примером стабильности традиционной программы. Это видно из ответов, которые были даны представителями Канады на анкету участника: "Нет никакой тенденции к изменениям. Старая программа была издана в 1900 году. В стране нет стремления к ее пересмотру" [11, с. 181]. Только что упомянутая анкета была послана заранее всем странам-участницам и Испании, восемнадцатой стране, входившей в Организацию по экономическому объединению европейских стран. Данные, полученные из ответов на предложенные в анкете вопросы, должны были стать основой семинара, но эти данные были получены позже, чем проведен сам семинар [11, с. 7]. Это яркий пример стремительности и энтузиазма, с которыми принимались реформы в математическом образовании.

С 1959 года кардинально изменился стиль работы по развитию математического образования. Роямонтский семинар внес в развитие школьной математики слово "революция" -- на с. 106 записок мы видим призыв к "революционной программе" [11]. На семинаре каждую страну-участницу попросили прислать выдающегося математика, выдающегося учителей средней школы и методиста или чиновника министерства образования [11, с. 7]. Не удивительно, что при таком составе участников семинар за две недели серьезно повлиял на программу по математике в 20 странах, и не только в них. Участники семинара в своих странах воспринимались как революционеры в математическом образовании, некоторые из них появлялись на телевидении и радио в программах о движении "новая математика" [9] как раз в то время, когда стремительно развивалось телевидение как новое средство массовой информации. Составители новых математических программ обменивались визитами, чтобы поддержать эту революционную работу. Когда они начали посещать страны третьего мира, они добились еще больших успехов.

В конце шестидесятых годов движение "новая математика" начало захватывать страны третьего мира, в том числе арабские страны, в частности Египет, где проходит настоящая конференция.

В Советском Союзе математики и учителя все это время пристально наблюдали за изменениями происходящими на Западе. В 1963 году в СССР вышел экспериментальный учебник по геометрии для 9 классов В. Г. Болтянского и И. М. Яглома, основанный на геометрических преобразованиях. В 1966 году власти объявили о необходимости провести реформу образования в средней школе. В соответствии с этим начала свою работу комиссия по преобразованию школьных программ во главе с А. И. Маркушевичем, в который вошли 500 сотрудников Академии наук и Академии педагогических наук [8, с. 216--218]. Эта комиссия занялась переработкой программ по всем предметам. Группа под руководством А. Н. Колмогорова объявила реформу школьной программу по математике для 4--10 классов (в то время в СССР было десятилетнее обучение). Комитет постановил, что реформы образования, проводимые на западе, неприемлемы [4, с. 301--305]; например, в школьном учебнике не было темы "множества". Геометрию было решено изучать на основе геометрических преобразований (в упрощенном виде по сравнению с учебником Болтянского и Яглома). Сохранялись отдельные уроки (и тем самым отдельные учебники) геометрии.

2. Революция, обернувшаяся переворотом

С самого начала "новая математика" критиковалась как внутри, так и вне США. Но критики специалистов было недостаточно, чтобы остановить действия лидеров движения. Только когда к ним присоединились еще и родители школьников, их критика стала более эффективной. С начала шестидесятых годов одним из наиболее ярых критиков движения в США был Моррис Клайн. Главным образом он был недоволен самой структурой программы, предлагаемой "новыми" математиками. К 1973 году у широкой публики сформировалось убеждение, что благодаря "новой математике" дети разучились считать. В это время Моррис Клайн издает книгу под названием "Почему Джонни не умеет складывать числа?". Книга состояла из 173 страниц, из которых только первые три были посвящены непосредственно теме, отраженной в заглавии. Основная идея автора отражена в подзаголовке: "Провал новой математики" [3]. В Европе "новую математику" критиковали примерно так же, как в США, и реакция общественности на нее была примерно такой же. Единственная разница была в том, что в США эта критика началась раньше и была более явной. В конце семидесятых годов большинство ученых считали движение "новая математика" полностью провалившимся и поддерживали новое движение под лозунгом "Назад к первоосновам". Окончательный разгром "новой математики" произошел на четвертом международном конгрессе в 1980 году в Беркли, США. Те, кто присутствовали на этом конгрессе, не забудут его. Протекал он непросто. Те, кто все еще занимались реформами в русле "новой математики", были глубоко уязвлены. Лидерам реформы предъявлялись различные обвинения. Некоторые из этих лидеров не приехали на конгресс, например, Ганс-Георг Штейнер, который возглавлял реформу в Германии и был членом международного программного Комитета. Представители США в неофициальных беседах с говорили, что ввиду приближающихся президентских выборов нельзя пренебрегать общественным мнением: изгнание "новой математики" из школ в Америке стало делом политическим! До 1980 года этот вопрос был увязан с политикой и в других западных странах, особенно в Великобритании. В 1976 году ее премьер-министр Джеймс Каллаген дал добро новой программе под лозунгом "Назад к первоосновам" [9, с. 32].

Худшим в движении "новая математика" был сам стиль реформы, в частности, использование лозунгов. Эра "новой математики" продолжалась 10--20 лет. Вместо того, чтобы стать революцией в математике, она оказалась лишь первым из целого ряда неуспешных переворотов.

3. Школьная математика в восьмидесятые годы

Лозунг "Назад к первоосновам" был выбран достаточно удачно: он отвечал желаниям широкой публики. Однако возвращения к основам было недостаточно для того, чтобы преподаватели математики сохранили престиж, заработанный ими во времена "новой математики". Специалистам по математическому образованию было грустно видеть, как тускнеет их слава. Возвращение к первоосновам означало смену ролей: простые люди управляли учителями математики, а не наоборот. В 1984 году на пятом конгрессе ICME в Аделаиде был введен новый термин "этноматематика". Но ни громкое слово "этноматематика", ни программа новой революции, скрывавшаяся за этим словом, не вернули былой славы математикам. В 1988 году на шестом конгрессе ICME в Будапеште были, наряду с этноматематикой, подняты проблемы решения задач и компьютеризации.

В согласии с лозунгом "Назад к первоосновам" следует заметить, что постновка во главу угла арифметических навыков, даже в начальной школе, не соответствует основным принципам методики преподавания математики. Так называемая "этноматематика", и даже "математика в повседневной жизни", не решала этой педагогической проблемы. Если добавить еще решение задач, то это будет шаг к достижению главной цели преподавания математики: "математика -- средство интелектуального развития". Со времен "новой математики" в математическую программу стали включать информатику [18, с. 11]. Использование компьютерных технологий в современном образовании также одобрялось [18, с. 31]. В восьмидесятые годы, когда микрокомпьютерная индустрия быстро развивалась, как преподавание и информатики, так и компьютерные технологии в обучении обрели под собой более твердую основу. С другой стороны, работа с компьютерами могла вернуть славу времен "новой математики". В 1988 году на шестом конгрессе ICME с пленарным докладом "Компьютеризация школ и математическое образование" [2] выступил академик Андрей Ершов из СССР, призвавший к радикальным изменениям в школьной программе.

4. Математическое образование в западных странах

4.1. Основные проблемы в математическом образовании

Тенденции в математическом образовании, обозначившиеся в восьмидесятые годы, продолжают оказывать влияние и по сей день. На международных конференциях обычно выражается удовлетворение идущими переменами, но на местах положение иное.

На слабость современных учащихся жалуются все. Самый громкий голос обвинения принадлежит университетским профессорам. Они недовольны прежде всего образованием в средней школе. В школах интерес к изучении математики невысок -- в отличие от того, что было во времена "новой математики" или ранее. Часто студенты не хотят выбирать математику в качестве элективного экзамена в выпускных классах, а иногда даже вообще не берут самого курса и не изучают ее вообще. На выпускных школьных экзаменах оценки "отлично" и "хорошо" потеряли свой исходный смысл. Обычно их ставят только для того, чтобы улучшить общее впечатление от экзамена. Порой их ставят учащимся, набравшим 10% от максимального числа баллов. Для математических факультетов набрать студентов высокого уровня стало проблемой. Иногда даже абитуриентов на математические специальности оказывается так мало, что невозможно организовать для них нормальное обучение. Не все студенты, поступающие на математические факультеты, их заканчивают: значительный процент поступивших переходят на другие факультеты или вообще уходят из университета. С подобными трудностями сталкиваются в университетах и смежные специальности (например, физика). Все это распространяется и на педагогические институты. Это и есть главные причины низкого уровня учителей математики и физики. Качество преподавания естественных наук и математики в начальной школе также вызывает нарекания.

Бертран Рассел писал: "Когда мне было 11 лет, я начал изучать Евклида со своим братом. Это было одним из важнейших событий моей жизни, столь же яркое, как первая любовь" [15, с. 30]. Одной из проблем является то, что в наше время трудно вызвать у школьников такой интереса к математике.

Проблемы в математического образовании, на которые мы жалуемся, лежат на поверхности, но это лишь симптомы более глубоких проблем.

4.2. Размышления об изменениях в школьной математике

Существует множество недостатков в школьном образовании. Главным является то, что, начиная с "новой математики", в нем произошло очень много изменений.

Со времен "новой математики" исчезли разные учебники для разных ветвей математики. Еще до эры "новой математики" были попытки ввести в школе единый курс математики. В начале века к этому стремились американские учителя. В школах штата Иллинойс возникло преследующее эту цель "чикагское движение". Это движение подвергалось критике, так как оно не предполагало целостного изучения отдельных разделов математики, в частности геометрии, в их целостности [16]. В самом деле, чтобы учиться и учить математике, необходима алгебра, а чтобы учить алгебру, нужна геометрия, но мы можем привлечь эти знания из других разделов математики, только если сами эти разделы изучаются целостно. Такие движения, как "чикагское движение", были модными в то время, но недолговечными.

Одной из главных идей "новой математики" было объединение математической программы на основе абстрактных концепций и структур. На практике же каждый учебник все равно подразделялся на различные разделы. Попытки объединить различные темы были очень слабыми и искусственными. Обычным делом было видеть в одном учебнике до двадцати разных тем, в том числе и геометрических. Стремление отразить побольше тем в одном учебнике приводило к тому, что учебники представляли собой множество разрозненных осколков из различных тем, должным образом не развитых и не образующих какой-то раздел математики.

Движение "Назад к первоосновам" не вернуло в школьную программу евклидову геометрию. Все еще продолжалось использование одного-единственного учебника для всех ветвей математики, в том числе и геометрии. Для каждой страны свойственны свои попытки и подходы для включения в образование решения задач, использования калькуляторов, и компьютеров, изучения информатики. Сегодня авторы учебников -- в основном учителя средних, а иногда и начальных школ (если речь идет об учебниках для начальной школы). Итак, уже в течение 30--40 лет алгебра, анализ, планиметрия, тригонометрия, стереометрия и арифметика изучаются иначе, чем до "новой математики". "Решение задач" стало лозунгом для математических программ и настолько привлекло методистов, даже не имеющих настоящего математического образования, что порой они брались подбирать такие задачи. "Решение задач" в том виде, в котором оно представлено в современных учебниках, не связано с определенной математической темой. Более того, часто эти задачи не рассчитаны на возраст учеников, для которых был написан данный учебник. Иногда они представляют собою загадки, решение которых требует хитростей и фокусов. Но существует множество противоречий, связанных с "решением задач". Продемонстрируем одно из них -- пример из школьного учебника восьмидесятых годов. Требуется найти площадь прямоугольного треугольника, у которого длина гипотенузы равна 8 см, а опущенной на нее высоты -- 5 см. В течение многих лет правильным решением считалось умножить 5 на 8 и поделить на 2, чтобы найти так "площадь" 20 см². Этот пример показывает, как деградировало математическое образование. Ни лозунг "решение задач", ни "математика в повседневной жизни" не могут извинить просьбы к 13-летним ученикам (7 класс) найти площадь несуществующего треугольника. Какое же извинение мы можем найти для учителей математики? Как они могли не заметить такой ошибки? Несмотря на то, что в современных учебниках много интересных задач, ошибки такого рода и в них не являются редкими.

4.3. Противоречия в математическом образовании

Интересно, что среди западных методистов распространяются странные концепции. Согласно одной из них школьная математика -- это нечто отличное от "просто математики" [14, с.10]. Но те же методисты предлагают школьникам задачи, решение которых требует математических познаний. Часто такую задачу не может решить ни один ученик, как, например, в задании найти точку внутри треугольника, которая его делит на три треугольника равной площади [12]. Аналогичное противоречие наблюдается и в следующем примере. Некий аспирант писал диссертацию по методике преподавания математики. Его исследование основано на анкетах, предагаемых ученикам средних школ для исследования их мнений. В 1998 году на семинаре его участникам было предложено нарисовать октаэдр. Когда молодой ученый понял, что у него не получается, он написал, что не умеет рисовать пространственные тела. Противоречие здесь заключается в том, что в диссертации он говорит о "решении задач" -- так что бы ему не нарисовать октаэдр?! Разве это не связано со школьной математикой? В математике всегда решают задачи. В так называемом "решении задач" достаточно дать ответ однословно, или в форме числа, или рассказать решение устно. А в настоящих математических задачах решение задачи должно сопровождаться некоторым математическим текстом.

Даже в исследовании математического образования нам встречаются такие странные концепции. После проведения сравнительного тестирования в рамках проекта "Кассель" самые лучшие результаты получили венгерские школьники, а финские -- самые худшие. В отчете об исследовании отмечается, что финские школьники обгоняли венгерских в тех заданиях, где математическое содержание было невелико. "Финские школьники более, чем школьники других стран, рассматривают математику как открытую систему." [13, с. 7]. Это было утверждение специалистов по преподаванию математики, сделанное на основе сравнительного анализа результатов тестирования. Следующий пример указывает на главную проблему образования в западных странах. При сравнительном анализе российских и финских школьников было отмечено, что российские школьники учатся доказывать утверждения, тогда как финские студенты учатся использовать доказанные утверждения [5, с. 118]. В последнее время часто принято (не только в Финляндии) преподавать математику как набор готовых правил. Возможности, которые дает использование компьютеров в математике, вынудило Национальный совет по образованию (США) начать реформы по построению так называемой "стандартной программы". Основной предпосылкой начала этой реформы было предположение, что математика стала более вычислительной, чем теоретической. Этот факт как бы игнорирует то, что компьютеры -- порождение теоретической математики. Кроме того, нельзя забывать, что математика -- это особая культура, и не существует укороченного пути к культуре. Математика -- результат работы ученых на протяжении более чем 2500 лет. Мы должны помнить, что математика покоится на плечах ученых, живших в докомпьютерную эру. Разве нуждался Ньютон в компьютерах, чтобы делать свои открытия? Нельзя забывать, что современный ребенок должен так же, как и прежде, развивать свое формальное и логическое мышление. Поэтому математическое мышление -- необходимо для развития ребенка.

5. Математическое образование в восточных странах

Россия -- олицетворение математического образования восточного типа. Традиции математики и математического образования в России начали формироваться с 1730 года под руководством Леонарда Эйлера. С тех пор математика, в соответствии с принципами эволюции, развивалась очень быстро [7, с. 423--425, 430--432]. Ни западное движение "новая математика", ни призывы российского академика Андрея Ершова к компьютеризации науки и обучения не были приняты. Политическе изменения в Европе в конце 80-х годов и распад Советского Союза в начале 90-х оказали оказали свое влияние на страны Восточной Европы, в том числе и на преподавание математики в этих странах. В таких странах, как бывшие балтийские республики, все изменения были направлены в сторону западной школы образования. Им было важно почувствовать свою независимость от Советского Союза и принадлежность к Западной Европе. Кроме того их впечатлили яркие и красивые западные учебники, и они невольно отождествляли уровень жизни в западных странах с западным стилем образования. Влияние западного подхода к образованию на восточные страны, включая Россию, постоянно растет. В России все еще остались разные учебники для разных ветвей математики, но в них появились примеры типа "решение задач". Это может нарушить единство преподавания каждой из ветвей математики. В настоящее время есть несколько факторов, негативно влияющих на образование в России [7, с. 433-435], в частности, все большее участие России в международных конференциях по математическому образованию. Обычно конференции проводятся на английском языке. Это создает у российских математиков чувство, что они как бы отделены от окружающего мира, что развитие математического образования в их стране происходит как-то иначе. Парадокс здесь заключается в том, что чем больше российские ученые знакомятся с прекрасно выстроенными докладами о тенденциях в западном образовании, тем более негативно это сказывается на образовании в России.

6. Развитие математического образования в странах третьего мира

До начала эры "новой математики" школьное образование в странах третьего мира было таким же, как и в других странах. В качестве примера можно взять Египет, где проходит настоящая конференция. В Египте математика в начальной школе была в основном представлена арифметикой. На первых годах обучения в средней школе изучались арифметика, алгебра, планиметрия, а позже алгебра, планиметрия, стереометрия, тригонометрия и аналитическая геометрия. В течение шести первых лет, когда дети учились в начальной школе, они использовали учебники по арифметике. В средней школе каждая ветвь математики имела свой собственный учебник и свои собственные часы в расписании. Однако начиная с 50-х годов с 7-го класса (начало средней школы) все математические науки объединились и изучались по одному учебнику, который назывался "Общая математика". Кроме того, с 50-х годов курс элементарного математического анализа начал преподаваться только в последнем, 12 классе средней школы. Наконец, с 1950 года в предпоследнем, 11 классе средней школы ввели курс истории математики.

С конца 60-х годов Египет, как и другие арабские страны, был вовлечен в поддерживаемый ЮНЕСКО проект "Новая математика". В соответствии с новой программой были написаны учебники для последних трех лет средней школы (10-12 классы), в разработке которых приняло участие 22 человека. Восемь из них были не из арабских стран. Это были: Х. Фер (Columbia University), Дж. Фей (University of Maryland), М. Хостад (National Board of Education, Stockholm), К. Хоуп (Worcester Training College), М. Йелинек (UNRWA/UNESCO, Beorut), Д. Курепа (Белградцкий университет), Ф. Ватсон (University of Keel) и П. Уайт (University of Southern California). Эти учебники первоначально были написаны по-английски, а затем переведены на арабский. Учебник для 10 класса был написан в 1970 году. До того, как был готов перевод, в сентябре 1970 года три государственные школы из 310 и три небольшие частные школы начали изучать первые главы из учебника, пока еще не имея его (эти главы были им присланы по частям позднее). Участники проекта " новая математика" работали не только с энтузиазмом, но и с гордостью, что они представители этого движения. Но и эти чувтва не затмили их недовольства структурой новых учебников. Одной из главных причин недовольства была бедность геометрического образования. Трех тем по геометрии, включенных в новые учебники -- аффинная геометрия, перемещения и геометрия на координатной плоскости -- было недостаточно, чтобы заменить еженедельные уроки по евклидовой и аналитической геометрии, предпологаемые прежней программой.

Египетские ученики, которые начали пользоваться новыми учебниками в старших классах средней школы, закончили школы в 1973 году. В 1974 году, в рамках проекта АЛЕСКО (арабская ЮНЕСКО), был написан в духе " новой математики" учебник для 7 класса -- первого в средней школе. Все восемь авторов этой книги были арабами. Среди них были математики, методисты и министерские чиновники. Этот учебник был смесью традиционной программы и " новой математики". Больше половины книги было посвящено евклидовой геометрии. Новым в геометрической части было использование теоретико обозначения и обозначений Гильберта для сегмента, луча, прямой и меры угла. К концу 70-х годов эра " новой математики" была для Египта в прошлом. " Новая математика" медленно распространялась в Египте с начала до конца 70-х годов. Например, в 1970 году она охватывала только три государственные средние школы, в 1973 -- уже 12, а в 1976 -- 13 школ [6]. Таким образом, из-за того, что эра " новой математики" в Египте была столь недолгой, большинство учителей математики все еще могли преподавать ее по традиционной программе. Среди них было множество сильных учителей геометрии. В наши дни образование в Египте почти такое же, какое оно было до начала эры " новой математики".

Некоторые остатки "новой математики" можно наблюдать в египетских учебниках и по сей день. Среди них есть и разумные вещи, например, упомянутые выше обозначения. Учебники для начальной школы стали намного богаче, чем когда-либо раньше, потому что главную их часть составляет элементарная евклидова геометрия. Большинство учеников первых классов средней школы смогут доказать несуществование треугольника, упомянутого в разделе 4.2, несколькими способами, и они легко найдут точку внутри треугольника, о которой шла речь в разделе 4.3. Это достигнуто благодаря тому, что математика изучается как структура. Происходит не только изучение теорем: у школьников нарабатывается богатый опыт решения различных задач, а в результате развивается дедуктивное мышление, причем именно тогда, когда это нужно: на этапе формальных операций, в терминологии Пиаже. При этом заметим, что решение задач из пунктов 4.2 и 4.3 составило бы проблему не только для учеников, но и для преподавателей в западных школах.

7. Надежда на третий мир

В настоящее время очень сложно восстанивить изучение математики как структуры в западных странах. Одна из причин в том, что время уходит. Математика как структура не преподается на Западе уже 30-40 лет. Новое поколение учителей, получивших образование во времена "новой математики", плохо знают евклидову геометрию. Те, кто еще помнит ее, находятся в предпенсионном периоде или на пенсии. И даже те из них, кто еще работает, тоже потеряли во многом свою квалификацию в эпоху "новой математики". Череда педагогических революций привнесла множество странностей в математическое образование, как, например лозунги "школьная математика -- не математика" и "школьная математика -- решение задач, взятых из практики". С течением времени эти концепции стали доминирующими. После запуска спутника американское общество поддержало введение в школе формальной абстрактной математики, так как видело в этом единственный способ догнать СССР в научно-технической и космической гонке. Сегодня американское общественное мнение не готово, к тому, чтобы детей учили чему-то большему, чем механическим навыкам -- потому-то скромная реформа стандартной программы, предложенная NCTM, так непросто идет в США. Аргументы насчет обеспечения безопасности США, похожие на те, которые приводились во времена появления в космосе спутника, больше не действуют [10]. Математическое образование в наши дни находится в опасности из-за влияния, которое западные страны оказывают оказывают на восточные. Вот почему математическое образование в странах третьего мира сейчас является надеждой для развития мирового математического образования в XXI веке.

В странах третьего мира образование для каждого человека имеет совсем другое значение, чем в западных странах. Образование там является наиболее надежным, если не единственным, способом обеспечить материально свое будущее. Дети из бедных семей могут даже, получив образование, повысить свое общественное положение. В таких условиях образование в третьем мире не просто высоко ценится -- за образование борются. В этой ситуации математика получает особый статус: ее ценят как престижный предмет не только власти и педагоги, но и родители учащихся, и широкая публика. Такое отношение проявляется и в большом колличестве часов, отводимых под математику в средних школах, и в том, что учащиеся борются за право изучать математику в старших классах. Продолжить изучение математики в университете непросто, так что математические факультеты университетов и педагогических институтов отбирают студентов с высоким уровнем математической подготовки. Все это объясняет высокие результаты стран третьего мира на международных математических олимпиадах. Мы живем во времена кризиса в математическом образовании, особенно на Западе, но страны третьего мира представляют всеобщую надежду. Математическое образование в третьем мире может сыграть особую роль в сохранении математической культуры.

Литература

[1] Dieudonne J. New thinking in school. In: New Thinking in School Mathematics. Paris, OEEC, 1961, pp. 31-46

[2] Ershov, A. Computerization of schools and mathematical education. In: Proceedings of the Sixth International Congress on Mathematical Education. Budapest, J Bolyai Mathematical Society. 1988, pp. 49-65

[3] Kline, M. Why Jonny Can't Add: the failure of the New Math. New York, St. Martin's Press, 1973.

[4] Колмогоров, А. Н. Современная математика и математика в современной школе. В кн.: Проблемы социалистической педагогики, М.: Педагогика, 1973, с 301--305.

[5] Kontturi, A., and Salmela, R. Two Carelias in comparison: 8-th grade student's abilies in solve mathematical problems. In: Teaching Mathematics and Physics in Secondary and Higher Education, Proceedings of the Third Inter-Karelian Conference, Petrozavodsk, Russia. Joensuu, Joensuu University Press, 1998, pp. 115-123.

[6] Malaty, G. The reform movement in mathematical curricula in Egypt and the UNESCO mathematics project for the Arab States. Europ. J. Sci. Educ., 1980, 4, 449--455.

[7] Malaty, G. Eastern and Western mathematical education: unity, diversity and problems. Int. J. Math. Educ. Sci. Technol. 1998, 3, 421--436.

[8] Маркушевич А. И. Совершенствование образования в условиях научно-технической революции. В кн.: Проблемы социалистической педагогики, М.: Педагогика, 1973, с. 206--241.

[9] Moon, B. The "New Maths'' Curriculum Controversy: An International Story. London, The Falmer Press, 1986.

[10] National Research Council. Everybody Counts: A report to the Nation on the Future of Mathematics Education. Washington, DC. National Academy Press, 1989.

[11] New Thinking in School Mathematics, Paris, OEEC, 1961.

[12] Pehkonen, E. 1991, Probleemanratkaisun rooli matematiikan oppimisessa. Esitelm Matemaatikkop (Joensuu: Joensuun yliopisto).

[13] Pehkonen, E., and Soro, R. Peruskoulun oppilaiden matematiinen taso: kansainv valossa. Dimensio, 1998, 6, 4--9.

[14] Pehkonen, E., and Zimmermann, B. Probleemakent matematiikan opetuksessa ja niiden yhteys opetuksen ja oppilaiden motivaation kehitt osa 1: Troreettinen tausta ja tutkimusasetellma, Tutkimuksia 1990, 86 (Helsinki: Helsingin yliopisto, opettajankoulutuslaitos).

[15] Russell, B. The Authobiography of Bertran Russell. London, Unwin Paperbacks, 1978.

[16] Sigurdson, S. The development of the idea of unified mathematics in the secondary school curriculum 1890--1930. Ph. D. dissertation. Madison, University of Wisconsin, 1962.

[17] UICSM Project Staff, 1956, The university of Illinoiss mathematics program. In: Readings in the History of Mathematics Education. Washington DC, NCTM, 1970, pp. 655--663.

[18] Varga, T. General introduction. In: Teaching School Mathematics, Paris, Unesco, 1971, pp. 11-33.

Blog

Джордж Малати

Содержание