Л. И. Сантылова миф, математика и филология лекции
| Вид материала | Лекции |
- Программа элективного курса по литературе для обучающихся в 11 классе «Литература античного, 174.51kb.
- Календарно-тематическое планирование в 9 классе по курсу «русско-мордовский фольклор», 48.55kb.
- Учебное пособие для студентов специальностей 050205-Филология: русская филология, 050210-Филология:, 1158.83kb.
- Учебная программа для высших учебных заведений по специальностям: 1-21 05 01 Белорусская, 291kb.
- Ролан Барт. Миф сегодня, 924.93kb.
- План Понятие мифа и мифологии. Черты и типология мифов. Миф и его роль в культуре Миф, 92.21kb.
- 1. Почему миф называют мифом. Чем миф отличается от сказки, 172.73kb.
- Программа для вступительных экзаменов в магистратуру по специальности 6М020500 Филология, 312.86kb.
- Конкурс и проходной балл встурительной кампании 2011 года, 133.06kb.
- Гений русского Просвещения: библиографический список литературы, 171.21kb.
F(x) = Pr{ X x}; F(-)=0, F(+ ) =1
(эта функция монотонно растёт).
Производная этой функции f(x) = F (x) 0 называется плотностью распределения случайной величины Х. На этот случай легко переносятся понятия математического ожидания и дисперсии. Они представляются интегралами, в которых участвует плотность распределения.
Естественно, что разные случайные величины имеют разные функции распределения, среди которых отметим две наиболее употребительных.
- Экспоненциальное распределение:
F(x) = 1- e - x , f(x)= e - x .
Такому распределению обычно удовлетворяет время обслуживания клиента мастером или прибором. Параметр равен среднему числу требований (клиентов), обслуженных в единицу времени. Естественно, что x 0.
- Нормальное распределение, возникающее, в частности, когда имеется сумма многих независимых случайных величин с одинаковыми плотностями распределения:
f(x) = exp[ - (x – a)2 / 22 ] / 2 .
Здесь a – математическое ожидание, а 2 - дисперсия случайной величины Х.
При такой плотности распределения интеграл от неё, функция распределения не выражается через элементарные функции («интеграл не берётся»), но имеются удобные таблицы, которыми можно пользоваться, если предварительно преобразовать интеграл к стандартному виду – за счёт масштабов получить нулевое математическое ожидание и единичную дисперсию.
Рассматриваются и используются и другие функции распределения – их применение обосновывается различными дополнительными свойствами рассматриваемых вероятностных процессов.
Обобщение функций распределения (в том числе и упомянутых выше) на конечный отрезок возможного изменения случайной величины требует её дополнительной нормировки – умножения на множитель, зависящий от величины этого отрезка. Усечение
Математических трудностей не вызывает и перенос функций распределения на многомерные случайные величины – возникают соответственно функции многих переменных и многомерные интегралы.
В более сложных случаях строятся эмпирические функции распределения по имеющимся опытным данным на основе уже упоминавшегося метода наименьших квадратов или специфического для вероятностных процессов метода максимума правдоподобия. Однако при этом необходимо помнить о дополнительных условиях: положительности некоторых параметров, неотрицательности плотности распределения, равенстве единице интеграла от функции распределения по всей области её определения.
С помощью функций распределения можно решать все возникающие задачи оценки характеристик («статистик») для процессов, где участвуют случайные параметры.
Примеры вероятностных расчётов
- Математическая статистика и прикладные задачи.
«Он (Андрей Белый – С.Ж.) вел курс практического изучения русского классического ямба и методом статистического подсчета разбирал вместе со слушателями его ритмические фигуры и разновидности».
Б. Пастернак
Связь и различие между теорией вероятности и математической статистикой
- Идентификация законов распределения по экспериментальным данным
Приложения и связь с другими теориями – Искусственная статистика и её применения
«Математическая статистика, наука о математических методах систематизации и использования статистических данных для научных и практических выводов» (РЭС).
Таким образом речь идёт об использовании разработанных и упомянутых выше методов для применения в различных предметных областях – в данном случае в лингвистике, литературоведении и т.д.
Кроме тех задач, о которых шла речь выше (оценка параметров, идентификация функций распределения, расчёт характеристик вероятностных связей, оценка вероятности превышения некоторого уровня) значительная часть математической статистики посвящена проверке гипотез – оценке адекватности сделанных предположений о виде функции распределения, о значении тех или иных параметров.
Широко практикующиеся в лингвистике и литературоведении оценки частот отдельных слов, выражений, стихотворных размеров и стилей с помощью этих методов получают твёрдую количественную основу, легко автоматизируются, перекладываются «на плечи» компьютеров. В частности, легко повторить и дополнить результаты монографии [6].
Те же методы позволяют исследовать вопросы авторства по анализу почерка и текста. Примеры
Косвенно связаны с математической статистикой ( как приложениями теории вероятностей) разработанные новые подходы – уже упомянутая теория игр и теория массового обслуживания – «теория очередей». Последняя позволяет, в частности, обосновать тираж произведений искусства (печатных и изобразительных), оценить спрос и последствия решений менеджеров (зачастую – ошибочные, приводящие к значительным убыткам).
Теория игр в гуманитарных науках обычно не имеет в явном виде «противника», но почти всегда связана с «игрой против Природы», поведение которой, по выражению А. Эйнштейна, «не злокозненно, но неизвестно и замысловато».
Важной задачей математической статистики является и оценка объёма словарей. Более или менее субъективный отбор «необходимого» запаса слов привел, например, к тому, что в 7 учебниках французского языка общими оказалось лишь… 10% слов!
То есть учебники посвящены по существу разным языкам!
Одной из важнейших задач прикладной статистики являются проблемы кластеризации – выделения групп объектов (областей представляющих их точек), объединённых некоторыми общими свойствами, разбиения множества объектов на типовые группы, классификация их. Эти проблемы актуальны и в археологии, ив литературоведении.
В связи с всё растущим применением вероятностных и статистических методов возникает вопрос о роли случайности.
С одной стороны – это объективная реальность, практически все параметры окружающих нас процессов являются более или менее случайными, изменяющимися независимо от нас в большем или меньшем диапазоне. Поэтому учёт таких изменений необходим.
С другой стороны, такой учёт всегда усложняет возникающие задачи, делает их более трудными для решения, и неизвестно, нужно ли «платить» таким усложнением или можно ограничиться детерминированными задачами со средними значениями параметров? Ответ на этот вопрос требует как раз решения стохастических задач и сравнения результатов.
Но есть ещё и третья сторона вопроса об учёте случайности. Оказывается, что при решении достаточно сложных детерминированных задач нередко возникают серьёзные трудности – появление «оврагов» при задачах оптимизации, «зацикливание» процессов решения задач и т.п. И выход необходимо искать … в применении случайности, в организации случайного поиска, случайного «наброса» точек, то есть случайность оказывается, хоть и медлительной, но «палочкой-выручалочкой». Тот же эффект даёт применение так называемого «метода Монте-Карло» - статистической имитации почти любых сложных процессов (от ремонта локомотивов до изучения спроса и вкусов для литературных произведений). Примеры
- Проблемы и перспективы современной прикладной математики.
Современный мир неожиданно обнаружил, что математика уверенно расположилась в самых разных его частях и уголках.
В. Успенский, «Математика в современном мире»
- Компьютеры и изменение подходов и возможностей – Лингвистические переменные
и функции принадлежности –«Непостижимая эффективность математики»
Они, в первую очередь, связаны с прогрессом вычислительной техники. Чрезвычайно быстрый прогресс её, рост быстродействия, объёма памяти, удобства обращения, возможностей ввода и обработки текстов и изображений создали возможности для качественного скачка методов и подходов. Активно ведутся работы по словарному, голосовому вводу и дальнейшей интеллектуализации компьютеров. В перспективе предполагается создание «клеточного» компьютера, вводимого внутрь организма и регулирующего его функции.
Современная математика ставит и решает задачи, немыслимые для предыдущего «докомпьютерного» периода – анализ текста и его характеристик, модели рекламы, демографического и экономического развития, модели музыкальных произведений.
Это и «исторические» модели – анализ Пелопоннесских войн, модель «Войны между Грецией и Римом» (между двумя странами с разным уровнем развития и разным менталитетом, агрессивностью), модели «ядерной зимы» - перспектив существования (точнее, несуществования, гибели) цивилизации на Земле после даже локальных ядерных войн. Нужно отметить и роль «ростовчан» в этих разработках, и безусловное значение последней модели в изменении отношения к перспективам холодной войны.
Развитие новых методов и моделей требует создания новых языков, специализированных для решения определённых классов задач. Идея создания «универсального» языка опровергнута человечеством ещё на уровне попытки строительства Вавилонской башни. Формализованные языки не должны допускать неоднозначности истолкования текста – к чему может привести игнорирование этого требования, наглядно показывает притча о заячьей лапке и трёх желаниях, ею выполняемых.
Реальные языки обладают высокой избыточностью, которая, по мнению палеолингвистов является одним из существенных элементов, отличающих человека от животных (наряду с чувством юмора, по мнению французского писателя Веркора). Это ярко иллюстрирует наличие, например, у языка эвенков 60 слов для обозначения снега, 50 слов для указания, как пройти. Избыточность, позволяющая заменять одни понятия другими, иллюстрирует и отсутствие в языке бушменов (по сведениям английского коммуниста Корнфорта) отсутствие слова «болит» - если болит голова, то они говорят «у меня есть голова».
Взаимодействие лингвистики и математики не ограничивается сопоставлением реальных и формальных языков, заимствовании при их создании законов и особенностей (в том числе и языков типа Эсперанто).
Наблюдение над реальными языками привело к введению в арсенал математики так называемых лингвистических переменных, не имеющих определённого количественного значения, а отвечающих словам большой, средний, малый или высокий, средний, низкий и т. д. с определённой степенью принадлежности, близкой к понятию вероятности, но не совпадающей с ней.
Целое направление современной математики основано на понятии «лингвистической переменной», упомянутом выше. Больше того, краеугольное понятие программирования для ЭВМ – понятие ИДЕНТИФИКАТОРА – имеет очевидное грамматическое происхождение, и отвечает понятию ИМЯ объекта, предмета, а все формальные АЛГОРИТМЫ возникли из простых «правил поведения», детально разработанных для нужд грамматики и этики. Даже терминология прикладной математики в значительной степени заимствована из гуманитарных наук (ЗАГОЛОВОК процедуры, ЛЕКСИКО-ГРАФИЧЕСКОЕ упорядочение объектов и т.п.).
С помощью этого аппарата оказалось возможным не только описывать рассуждения, более близкие к реальным рассуждениям, чем математическая логика, но и решать оптимизационные задачи.
В заключение заметим, что для современной математики по существу нет задач, которые она не могла бы более или менее адекватно изучать.
Вигнер
10. Математические модели и гуманитарные науки.
«Любая гипотеза хороша лишь тогда, когда получит подтверждение с помощью математики.»
Леонардо да Винчи
«Точные» и «неточные» науки, их связь с менталитетом – Проблемы перевода
- Математические и компьютерные модели в гуманитарных науках
- Искусственный интеллект, философские и теологические проблемы
Вопросы соотношения между формально-логическим и художественно-образным путем познания является крайне важным и с методологической точки зрения, и с точки зрения оценки возможностей применения математики в гуманитарных науках.
Эти пути познания настолько различны по форме (и даже, по данным физиологии, ими ведают разные полушария мозга), что традиционно существует взаимное неприятие «гуманитариями» формальных методов, а «естественниками» – поэтических и образных «красивостей». Однако в последнее время это взаимное неприятие сглаживается, появляется все больше попыток «алгеброй гармонию проверить» и выявить гуманитарный компонент так называемого «точного» знания. Важные шаги на пути такого двустороннего сближения сделаны создателями структурной лингвистики и различных количественных подходов к анализу художественных текстов, формализации процессов создания музыки и обучения музыкантов, а также философами, четко показавшими, что в самых «точных» науках . с одной стороны, не все так уж точно ( несмотря на известное высказывание А.Пуанкаре «Можно сказать, что нами достигнута абсолютная строгость»), а с другой стороны, - важнейшую роль в процессе любого творчества играет ментальность, система мировоззренческих взглядов, определяемая, прежде всего, гуманитарной культурой.
Приведем несколько цитат на тему связей науки (математики) и искусства:
« … вся наука пронизана математикой как тело кровеносными сосудами, и соблазны математики вместе с кровью поражают прежде всего самое больное место науки – философию.»
Фр. Горенштейн (Октябрь,1996, № 1)
«Математика подобна искусству – не потому, что она представляет собой «искусство вычислять» или «искусство доказывать», а потому, что математика, как и искусство, - это особый способ познания»
В.Успенский, Математика в современном мире.
Наука и искусство «связаны между собой как легкие и сердце, так что если один орган извращен, то другой не может правильно действовать».
Л.Толстой.
«В любой области человеческого знания заключается бездна поэзии»
К.Паустовский.
«Наука делает из человека специалиста, искусство делает из специалиста человека».
«Число и мысль», в.3, 1980)
Следует отметить, что определенные основания для осторожного отношения к попыткам вторжения математики в гуманитарные науки имеются, - недаром довольно быстро рассеялась эйфория 60-х годов, когда на волне бурного прогресса вычислительной техники казалось, что все проблемы перевода с одного языка на другой могут быть легко решены введением в память ЭВМ словарей и грамматических правил. В действительности оказалось, что имеющиеся в любом живом (а не формальном) языке идиомы не только затрудняют перевод, но порой просто исключают возможность более или менее правильного перевода ( не говоря уж об образности и художественности).
Так, известная английская поговорка “Make hay while the sun shines” (дословно – «Делайте (или сушите) сено, пока светит солнце») должна быть переведена как «Куй железо пока горячо».
Аналогично – дословный (машинный ?) перевод фразы … «Слепой дурак» на самом деле надо заменить поговоркой «С глаз долой – из сердца вон!».
Кроме того, наличие во многих языках непостоянных ударений ( не обозначаемых в тексте ) также затрудняют формально-компьютерный перевод. Например, слова ВОРОЧАТЬСЯ и ВОРОЧАТЬСЯ , КОНСЕРВАТОРСКИЙ и КОНСЕРВАТОРСКИЙ имеют разный смысл в зависимости от места ударения, а вопрос: Ну, как корма? - имеет разный смысл, в зависимости от того, речь идет о корабле, о животных, или используется в переносном смысле.
Также затрудняет формальный перевод «мелочишка суффиксов и флексий в пустующей кассе склонений и спряжений» (В.Маяковский), играющая огромную роль в русском языке и совершенно по-разному окрашивающая слова с одним и тем же корнем (иногда – формально одним и тем же):
ДВОР –ец, - кий, РАБОТ-ник, ПЛАТ-ный,
ДВОР – ник, РАБОТ-яга., ПЛАТ-яной,
ДВОР- няга, -няжка, ПЛАТ-иновый,
ДВОР-янин.
И.Эренбург отмечал особенности перевода с русского языка на французский, приводя два примера. Элементарные фразы « Он махнул рукой» и «Она усмехнулась» при переводе на французский язык требует обязательного уточнения: как и почему он махнул рукой, как именно она усмехнулась.
Немудрено, что и спустя 40 лет формально-машинный перевод применяется лишь для узко специализированных текстов, да и то, как черновой вариант, подлежащий правке.
Та же судьба постигла и попытки формального анализа ритмов и размеров стихотворных произведений: даже для самых «гладких» стихов би - валентное кодирование слогов (ударный – безударный) является недостаточным, необходимо трех- или четырех - валентное кодирование.
Характерным для такой «компьютерной эйфории» являлось высказывание одного из виднейших теоретиков программирования Д.Кнута: «Всё решим, но руки не доходят!» – на самом деле каждая новая (для формализации) область знания ставит новые задачи и требует новых подходов, хотя, в конечном счете, все они, действительно, в той или иной степени могут и должны быть формализованы и «решены».
Тем не менее, даже столь примитивные количественные подходы к объектам гуманитарной сферы – оправданы, и при разумном скептицизме, позволяют получить полезную информацию (например, частотные словари отдельных авторов и отраслей науки, обратные словари – по окончаниям, литературоведческие и криминалистические методы анализа авторства текста).
Опасными являются издавна встречающиеся спекуляции на математических результатах, стремление экстраполировать конкретные математические результаты в область философии и теологии. Так, в 18-м веке Мопертюи, восхищенный красотой вариационного принципа в механике, считал это доказательством (!) существования Бога, а Гвидо Гранди, анализируя ряд 1-1+1-1 +…и получая для него два разных значения суммы (0 и ½) , писал: «равенство 0=1/2 доказывает, что мир мог быть создан из ничего»!
В 18-м веке это было более или менее объяснимо, хотя в 19-м веке было показано, что полученное противоречие является следствием недопустимых действий с расходящимися рядами. Но удивительно, что и в наше время, на примере того же ряда (!) делаются похожие мистические выводы (например, в одной диссертации на соискание степени доктора философских наук). Недалеко ушел ее автор от английского поэта 17-го века Александра Попа, восклицавшего
Почто, о боги, в этом мире
Должно быть дважды два – четыре?
Со времен «архейской эры» ламповых компьютеров до современной эпохи виртуальной реальности и сети INTERNET, оплетающей весь мир, предоставляющей возможности эффективного и почти мгновенного общения со всем миром, учёные и преподаватели учились работать с этой «мыслящей техникой», учили работать с ней студентов, инженеров и ученых, открывали новые области ее приложения и новые пути исследования. Они пытались привить новый менталитет, изменить предубеждение о невозможности ее применения в самых «человеческих» областях знания, развивались вместе с чрезвычайно бурным развитием компьютеров. При этом, конечно, возникали вопросы не только о возможностях новой техники, но и о том, кто кого учит: мы – компьютер (перефразируя известную песню «Такая у нас работа – учить их задачи решать») или компьютер – нас? Возникала (и продолжает развиваться) новая «компьютерно-информационная» парадигма.
Сейчас странно вспомнить то время, когда программы писались (и публиковались) «в кодах» конкретных вычислительных машин (все эти тома давно отправились в макулатуру), когда шли серьезные дискуссии о том, что может и чего не может вычислительная машина, нужно ли приспосабливать ее для анализа, редактирования и генерирования текстов ( или оставить «богу – богово, человеку – мышление, а машине – вычисления» ), когда на лекциях о возможностях вычислительных машин и их прогрессе нередко задавались вопросы : «А кому это надо?» (особенно в аудиториях партийной элиты и преподавателей «общественных» дисциплин).
Теперь никого не удивляют компьютерные эффекты в кинофильмах и на телеэкране, компьютерный перевод и правка текстов, восхищение компьютерами и компьютерными чудесами, (порой раздражающее своей примитивностью – но это издержки роста). Но возникает и противоположная опасность, своеобразная «компьютерная эйфория»: убеждение, что теперь компьютер сам может справиться со ВСЕМИ проблемами, и даже без особых усилий со стороны людей – вот только надо, чтобы «технари» еще раз в 10 увеличили бы быстродействие, добавили бы еще несколько ГБ (гигабайтов) памяти, да сделали бы несколько цветных экранов!
Показательна в этом отношении история взглядов на возможности автоматического, компьютерного перевода текстов (статей, докладов, романов и повестей) с одного языка на другой. Вначале считалось, что проблема в принципе решена самим появлением компьютеров: нужно лишь ввести в память компьютера словари обеих языков (с их эквивалентами в другом языке) и грамматические правила! Затем были осознаны столь значительные трудности (синонимы, идиомы , роль ударений и тональности, роль контекста и пр.), что были приостановлены разработки в этом направлении. И лишь много позже к ним вернулись, но сейчас роль автоматического перевода сводится к выработке подстрочника, подлежащего квалифицированной правке, да и то ориентированного на узкие специализированные отрасли знания со своим специфическим словарем и стилем изложения. И на этом уровне ведущие научные журналы переводятся и издаются в США за 2-3 недели!
Для любого уровня развития вычислительной техники всегда найдутся такие математические задачи, с которыми эта техника справиться не может. Применение компьютеров требует существенного изменения образа мышления, менталитета, сочетания абстрактно-философского осмысления задач и процессов с конкретным формальным описанием задач, которое может быть понято компьютером и им обработано. При этом многие клише устаревают, многие догмы и мифы уходят в прошлое.
Развитие вычислительной техники дает несравненно более наглядные примеры основных положений диалектики (переход количества в качество, отрицание отрицания, спираль познания и т.п.), чем традиционно кочевавшие по учебникам философии со времен Гегеля и Энгельса – один из примеров уже приведен выше.
Рост быстродействия и объема памяти компьютеров последовательно приводил к переходу от кодирования программ к описанию задач на уровне все более обобщенных процессов и моделей. Возникла идеология последовательно обобщаемых моделей Э. Тыугу, объектно-ориентированных языков, широкого использования визуализации, графического описания результатов решения задач (на несколько порядков более информативного). Всё шире интерактивное взаимодействие с компьютером, создание «дружественных» интерфейсов, а в ближайшем будущем – словесных, семантических, голосовых способов управления компьютером – и на уровне постановки задач, и на уровне управления ходом их решения.
Давняя идея интерактивного взаимодействия с компьютером и одновременного решения ряда задач не могла реализоваться при малой скорости их работы (общение с задержкой ответа на минуты напоминало беседу с сильно заторможенным собеседником), но легко реализуется при современных скоростях выполнения операций, персональных компьютерах, их сетях и параллельных процессорах.
Многие приемы организации вычислений, вынужденные для ранних одноадресных машин, были отвергнуты с появлением многоадресных компьютеров, но снова оказались эффективными при современных скоростях их работы.
Возникшее на ранних этапах многообразие языков программирования и вспомогательных средств, приводившее к несовместимости программ для различных компьютеров, вызвало дискуссии о целесообразности создания единого языка, но так же не получило существенного развития, как и идеи языка эсперанто и его аналогов, - как человечество склонно сохранять своеобразие различных языков со своими выразительными средствами и традициями (плохо переводимыми на другие языки), так и языки программирования и их обобщения – оболочки, программные среды, обладают своей «территорией», областью наилучшего применения, и их унификация может привести к существенным потерям. Поэтому, как известно, художественные произведения невозможно перевести на другой язык без утраты каких-то образов или художественных средств.
Wer den Dichter will verstehen, ( Кто хочет понять поэта,
Muss in Dichters Lande gehen! ( Должен идти в его страну!)
(H. Heine).
Появление компьютеров привело к пересмотру многих понятий и подходов во всех смежных науках – технике, экономике и пр.
Известно, что появление компьютеров серии ЕС (попыток копирования IBM) потребовало существенных изменений в технологии химической и лесообрабатывающей промышленности: компьютеры не работали на плохой типографской краске и недостаточно гладких перфокартах!
Традиционная система подхода к ремонту любых изделий для компьютеров выявила серьезнейшие недостатки ее: из-за отсутствия копеечных деталей (и копеечной стоимости ремонта) простаивала техника, стоимость эксплуатации которой оценивалась в сотни и тысячи рублей! Стало ясно, что платить нужно не за ремонт (при этом, как говорилось в одной из интермедий Аркадия Райкина «У меня всегда будет твой кусок масла на мой кусок хлеба»), а за его отсутствие, за профилактику. И эта идея начала (к сожалению, очень медленно) проникать и в другие отрасли, даже в оплату сотрудников детских садов: нужно платить им тем больше, чем меньше болеют дети.
Естественно, сильнее всего сказалось такое «обратное влияние» компьютеров в тех сферах знания, которые теснее с ними связаны, прежде всего, в прикладной математике.
Почти сразу возникла поляризация взгляда на то, что считать решением задачи. Поскольку в те годы Институт математики РАН и ВЦ РАН размещались в одном здании, но на разных этажах, в шутку говорили, что есть разное понимание – «в смысле 2-го или 3-го этажа». Задача считалась решенной «в смысле 3-го этажа», если для нее доказано существование (а еще лучше – единственность) решения – пусть и не предлагалось путей хотя бы приближенного его отыскания. Задача считалась решенной «в смысле 2-го этажа», если была составлена программа, по которой компьютер выдавал какие-то колонки цифр – пусть и отсутствовали доказательства близости этих цифр к действительному решению. Ясно, что эти шутливые определения – гипертрофия двух различных подходов, доведение их до абсурда.
Можно привести примеры, когда исследовались свойства математических объектов, доказывались и публиковались теоремы о них, а потом оказывалось, … что таких объектов не существует. И наоборот, известны примеры работы программ, выдаваемые которыми результаты очень сильно отличались от того, что должно быть получено, когда не выявлялись важнейшие особенности рассматриваемого процесса. Необходимо согласование теоретических исследований и вычислительных процедур поиска решения с контролируемой точностью – для поиска черной кошки в темной комнате нужно знать, что она там есть, а потом продумать метод поиска.
Наряду со строгими оценками скорости сходимости алгоритмов и трудоемкости задач, с выделением классов NP– полных задач (трудоемкость решения которых экспоненциально растет с ростом их размерности), возникли оценки их практической реализации. При этом выяснилась существенная разница этих типов оценок.
Теоретически «безнадежная» задача о ранце с бинарными переменными (к которой сводится простейшая задача о выборе портфеля инвестиций, а также задача оценки и отбора перспективных проектов и многие другие) эффективно решается на практике для задач реальных размеров. То же относится и к известной задаче коммивояжера.
Хотя теоретически симплекс-метод решения задач линейного программирования может сводиться к полному перебору вершин (и показано существование широких подклассов таких задач, когда это реализуется), практическая оценка числа итераций в нем имеет порядок 2m , где m - число ограничений. К тому же эта эмпирическая оценка совпадает с вероятностной оценкой числа итераций. (Ф.и К.?)
Наряду с необходимыми теоретическими исследованиями положения оптимума (максимума или минимума целевой функции) в задачах, сводимых к одному или нескольким критериям, зависящим от одного переменного (но достаточно сложного вида, затрудняющего этот теоретический анализ), получили широкое распространение интерактивные программы «панорамного» типа – анализ табулирования критериев в изменяемой области с изменяемым шагом. При наличии реальной нижней границы для шага изменения аргумента такие программы не теряют положение оптимума, но несравненно проще и нагляднее анализа уравнений для стационарных точек. Упрощенно говоря, компьютер для таких задач выступает «противником» дифференциального исчисления!
Такая поляризация взглядов заставила вновь (после известных дискуссий об основах математики в 30-е годы) обратиться к проблемам строгости в математике, и вообще в «точных» науках, и их соотношению с гуманитарными, «неточными» науками. И в этом вопросе важнейшую (и не до конца оцененную) роль сыграли статьи и докторская диссертация Ю. Шрейдера, который показал теснейшую связь и размытость границ между ними. Им было показано (а скорее, подчеркнуто), что абсолютной строгости не существует, что «точные» науки далеко не так точны, как кажется. А гуманитарные науки, во-первых, все более математизируются, все больше используют точные методы (и для формального анализа текстов и тестов, и для психологических оценок, и даже для исследований в области эстетики), а во-вторых, существенно влияют на «точные» науки, прежде всего, путем формирования мировоззрения исследователей.
Легко также видеть, что вся идеология иерархического введения основных понятий в языках программирования и в самих программах тесно связана с основными понятиями грамматики, разложения всех понятий по укрупненным «ящикам» категорий и типов (глаголы, существительные, прилагательные и т.д., времена и падежи аналогичны типам переменных, файлам и идентификаторам в программировании).
Работы в области искусственного интеллекта, то есть попытки передать компьютеру хотя бы часть задач, относящихся к компетенции человеческого мозга, выявили не только отсутствие адекватного аппарата для их формализации, но и пробелы в традиционно формализуемых областях – логике, методам классификации. Д.А. Поспеловым и его сотрудниками было показано, что «на бытовом уровне» не работают ни традиционные приемы классификации (они должны зависеть не только от формальных правил, но и от менталитета и образа жизни тех, кто осуществляет классификацию), ни формальные правила «аристотелевской» логики (кванторы всеобщности, понятия «всегда» и «никогда» в реальных условиях означают «как правило» и «чаще всего»).
Соответственно в формализованных моделях и методах получили «права гражданства» эвристические приемы, продиктованные соображениями «здравого смысла», и зачастую ускоряющие процесс решения задач, процесс принятия решений (но отнюдь не гарантирующие этого). Более того, во многих задачах возросла роль «человеческого фактора». Появилась даже аббревиатура ЛПР – лицо, принимающее решение, вмешивающееся в ход решения и выбор той или иной модели, широкое (почти обязательное) распространение получили «дружественные интерфейсы» и диалоговые, интерактивные процедуры решения задач.
Наличие различных подходов к формализации и методам решения задач привели к необходимости введения для их оценки нетрадиционных критериев – красоты и наглядности модели и алгоритма.
«Красивые самолеты лучше летают!» - Туполев, и «Теория должна быть красивой» - П.-А.-М.Дирак, Лекции по квантовой теории поля. М.,»Мир»,1971, в оригинале «Physical Law should have mathematical beauty”.
Теперь, в частности, алгоритмы предпочитают описывать не громоздкими детальными блок-схемами и формальными операторными цепочками, а наглядными и ясными структурными схемами.
Близка к этому подходу и «идеология» Мефистофеля:
| Da seht, dass Ihr tiefsinnig fasst. | | Придайте глубины печать |
| Was in des Menschen Hirn nicht passt; | | Тому, чего нельзя понять. |
| Fuer was dreingeht und nicht dreingeht | | Удачные обозначенья |
| Ein praechtig Wort zu Diensten steht. | | Вас выведут из затрудненья. |
| (Goethe, Faust) | | (Перевод Б.Пастернака) |
Знамением уходящего века можно считать появление термина «информационные технологии», фактически объединившего не только все процессы обработки и преобразования информации (то есть всю статистику, все формы отчетности с их детализацией, получением различных срезов данных и их агрегированием), но и все процессы математического моделирования. Если обычные, «материальные» технологии сводятся к различным процессам преобразования материальных объектов ( материалов, веществ, заготовок и т.п.) в иную, конечную, измененную форму, то новые, информационные технологии имеют дело с описаниями этих объектов, их математическими или информационными моделями. Поскольку возможности компьютеров стремительно расширяются, все более широкий класс реальных процессов допускает более или менее адекватное математическое описание (в форме расчетных, имитационных или – корректнее всего, но и сложнее всего) моделей оптимизационного типа, информационные технологии постепенно захватывают все большую часть деятельности человечества, заменяя и экспериментальные методы «проб и ошибок», и сугубо эвристические или основанные на традициях и производственном опыте предыдущих поколений рекомендации наиболее рациональных решений. Конечно, все математические модели не вполне описывают исследуемые процессы, в них всегда присутствуют те или иные упрощения (иногда обоснованные оценкой роли менее значимых факторов, иногда продиктованные той формой задачи, в которой ее легче решать, «принципом фонаря», под которым светлее и легче искать решение). Все же они дают более обоснованные рекомендации – тем более, если указаны условия, при которых применение этих моделей достаточно корректно. Основная трудность при построении и анализе оптимизационных моделей заключается не в проблеме решения возникших математических задач, а в том, что нам никогда не известно, какими критериями руководствуется природа в различных процессах.
Эту трудность подчеркивал академик Н.Н. Моисеев, цитируя Нильса Бора: «Нельзя на одном языке описать никакое сложное явление.» (ЛГ, 1996, № 36 ) и указывая различный выбор природой своих целей в разных ситуациях.
Уместно напомнить определение, которое в свое время дал Т.Л. Саати «Исследованию операций» как «Искусству давать плохие ответы на те практические вопросы, на которые даются еще худшие ответы другими способами» («Математические методы исследования операций», М., Воениздат, 1963).
В свете отмеченной выше связи между гуманитарными и «точными» науками немаловажно мнение Е.С. Вентцель, что у прикладной математики (или «информационных технологий») много общего с гуманитарными науками – например, в использовании аналогий между различными моделями и в ассоциативном мышлении.
Изменение менталитета, отношения человечества к формальным математическим моделям и их компьютерным реализациям позволяет поднять на новый, более общий и высокий уровень весь процесс построения и анализа моделей и рассматривать их « с высшей точки зрения». Одновременно возникают проблемы коренной перестройки процесса образования, преподавания тех или иных конкретных дисциплин. Чему нужно учить школьников и студентов – по традиции ли формальным правилам (как это делают в большинстве американских учебных заведений) или концепциям, общим подходам к постановке и анализу проблем ( что делается в лучших отечественных ВУЗах)?
Изменение отношения человека к компьютеру достаточно хорошо описывается строчками студенческого фольклора механико-математического факультета Ростовского госуниверситета 60-х годов (при определенной устарелости упоминаемого языка программирования):
Наш век привнес свои черты
В решенье важной темы:
Машине мы несем цветы,
Слагаем ей поэмы!
И за нее вино мы пьем,
Что пенится в стакане,