1.2. Закон Био–Савара–Лапласа. Принцип суперпозиции в магнетизме
Био и Савар провели в 1820 г. исследование магнитных полей токов различной формы. Они установили, что магнитная индукция во всех случаях пропорциональна силе тока, создающего магнитное поле. Лаплас проанализировал экспериментальные данные, полученные Био и Саваром, и нашел, что магнитное поле тока I любой конфигурации может быть вычислено как векторная сумма (суперпозиция) полей, создаваемых отдельными элементарными участками тока.
Длина каждого участка тока настолько мала, что его можно считать прямым отрезком, расстояние от которого до точки наблюдения много больше . Удобно ввести понятие элемента тока где направление вектора совпадает с направлением тока I, а его модуль равен (рис. 6).
Для индукции магнитного поля , создаваемого элементом тока в точке, находящейся на расстоянии r от него (рис. 6), Лаплас вывел формулу, справедливую для вакуума:
. (1.1)
Формула закона Био–Савара–Лапласа (1.1) написана в системе СИ, в которой постоянная называется магнитной постоянной.
Уже отмечалось, что в магнетизме, как и в электричестве, имеет место принцип суперпозиции полей, т. е. индукция магнитного поля, создаваемого системой токов, в данной точке пространства равна векторной сумме индукций магнитных полей, создаваемых в этой точке каждым из токов в отдельности:
(1.2)
На рис. 7 приведен пример построения вектора магнитной индукции в поле двух параллельных и противоположных по направлению токов и :
1.3. Применение закона Био–Савара–Лапласа. Магнитное поле прямого тока
Рассмотрим отрезок прямого тока. Элемент тока создает магнитное поле, индукция которого в точке А (рис. 8) по закону Био–Савара–Лапласа находится по формуле:
, (1.3)
где – угол между направлением тока и вектором , характеризующим положение точки А относительно
На рис. 9 представлен фрагмент рис. 8. Опустив перпендикуляр из точки С на сторону ОА, получим два прямоугольных треугольника. Из треугольника ODC следует, что СD =, а из треугольника CDA следует, что CD=.
Учитывая, что и бесконечно малые величины, получим
. (1.4)
После подстановки (1.4) в (1.3) получим:
.
Из рис. 8 следует, что , где b – расстояние от прямого тока до рассматриваемой точки А. Следовательно,
.
По принципу суперпозиции . В точке А все от различных элементов отрезка прямого тока имеют одинаковое направление. Величина магнитной индукции в точке А равна алгебраической сумме от всех элементов прямого тока:
I .
Таким образом, для индукции магнитного поля отрезка прямого тока конечной длины (рис. 10) получаем формулу
. (1.5)
В случае бесконечно длинного прямого проводника с током , . Следовательно, Отсюда следует, что индукция магнитного поля бесконечно длинного прямого проводника с током находится по формуле
лина 
каждого участка тока настолько мала, что его можно считать прямым отрезком, расстояние от которого до точки наблюдения много больше 
где направление вектора 
совпадает с направлением тока I, а его модуль равен 
, создаваемого элементом тока 
. (1.1)
называется магнитной постоянной.
(1.2)
а рис. 7 приведен пример построения вектора магнитной индукции 
в поле двух параллельных и противоположных по направлению токов 
и 
: 
создает магнитное поле, индукция которого в точке А (рис. 8) по закону Био–Савара–Лапласа находится по формуле:
, (1.3)
– угол между направлением тока и вектором 
, характеризующим положение точки А относительно 
, а из треугольника CDA следует, что CD=
.
и 
бесконечно малые величины, получим
. (1.4)
.
, где b – расстояние от прямого тока до рассматриваемой точки А. Следовательно,
.
. В точке А все 
от всех элементов прямого тока:
аким образом, для индукции магнитного поля отрезка прямого тока конечной длины (рис. 10) получаем формулу
. (1.5)
, 
. Следовательно, 
Отсюда следует, что индукция магнитного поля бесконечно длинного прямого проводника с током находится по формуле
. (1.6)