Xxvii уральский (XIV кировский) турнир юных математиков
| Вид материала | Документы |
СодержаниеВысшая юниорская лига Первая юниорская лига AB взята такая точка D Вторая юниорская лига AB взята такая точка D Математический бой №1. 19.02.2006 |
- Международный турнир по хоккею «Золотая шайба» среди юных хоккеистов 1998-1999гг, 116.13kb.
- Госкомимущества Российской Федерации путем реорганизации государственного предприятия, 147.46kb.
- Открытый Уральский Турнир по программированию в Белорецке 3 Иванов а 10 диплом, 214.62kb.
- Информационное сообщение, 207.09kb.
- Закон україни, 1242.64kb.
- Турнир проводился при организационной поддержке компании Руспортинг, 26.02kb.
- Оценка эффективности методики развития выносливости юных лыжников, на основе применения, 154.07kb.
- I. общие положения, 71.78kb.
- Итоги xxvii-й Всероссийской конференции обучающихся «юность, наука, культура», 77.05kb.
- Цель: 1 познакомить учащихся с краткой биографией ученых математиков, 343.88kb.
ВЫСШАЯ ЮНИОРСКАЯ ЛИГА
1. В последовательности натуральных чисел каждый член — точный квадрат, и каждый член, начиная со второго, больше предыдущего на простое число или на квадрат простого числа. Докажите, что последовательность конечна, и определите, какое наибольшее количество членов в ней может быть. (India Postal Coaching 2005)
2. Имеются четыре таймера. У одного промежуток между сигналами — 1 час, у другого — 2 часа, у третьего — 3 часа, у четвертого — 5 часов. Таймеры включили в случайно выбранные моменты (у каждого свой). Кот Васька уснул сразу после первого сигнала одночасового таймера и спал сутки, просыпаясь (и сразу засыпая снова) после каждого сигнала. Докажите, что ему не меньше шести раз удалось беспробудно проспать целый час. (И.С. Рубанов)
3. Из шести внешне неотличимых монет две фальшивые (фальшивые монеты весят одинаково, но неизвестно, легче или тяжелее настоящих). В нашем распоряжении имеются чашечные весы без гирь. Составьте план из четырех взвешиваний, позволяющий найти обе фальшивых монеты и определить, легче они или тяжелее, чем настоящие. Изменять план в зависимости от результатов предыдущих взвешиваний не разрешается. (К.А. Кноп)
4. На карточках записаны числа от 1 до 100. Карточки выложены одна за другой в произвольном порядке. Разрешается поменять местами две карточки, если число, написанное на одной из них, делится на число, написанное на другой. Докажите, что за 150 операций числа на карточках можно расположить в порядке возрастания. (А.С. Штерн, К.А. Кноп, С.Г. Волченков)
5. Можно ли разрезать правильный 12-угольник на 6 одинаковых фигур, каждая из которых имеет ось симметрии, чтобы ни одна из осей симметрии этих фигур не проходила через центр 12-угольника? (С.Г.Волченков)
6. Из каждого натурального числа, не превосходящего 9999, вычли сумму квадратов его цифр. Какая наибольшая разность может получиться? (VIII Олимпиада Cono Sur, 1997)
7. Назовем натуральное число убывающим, если каждая его цифра, кроме первой, меньше или равна предыдущей. Например, числа 4221 и 751 – убывающие, а 476 и 455 – нет. Существует ли натуральное n такое, что число 16n – убывающее? (XI Cono Sur 2000)
8. В классе учатся 30 детей. В течение недели учительница поставила им в журнал несколько оценок по математике. В воскресенье оказалось, что у любых десяти детей вместе присутствуют все пять видов оценок (от 1 до 5). Какое наименьшее количество оценок могло быть выставлено в течение этой недели? (Жюри)
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ БОЙ №1. 19.02.2006
ПЕРВАЯ ЮНИОРСКАЯ ЛИГА
1. Докажите, что 340+1220+826 — составное число. (К.А. Кноп)
2. Имеются четыре таймера. У одного промежуток между сигналами — 1 час, у другого — 2 часа, у третьего — 3 часа, у четвертого — 5 часов. Таймеры включили в случайно выбранные моменты (у каждого свой). Кот Васька уснул сразу после первого сигнала одночасового таймера и спал сутки, просыпаясь (и сразу засыпая снова) после каждого сигнала. Докажите, что ему не меньше четырех раз удалось беспробудно проспать целый час. (И.С.Рубанов)
3. Из шести внешне неотличимых монет две фальшивые (фальшивые монеты весят одинаково, но неизвестно, легче или тяжелее настоящих). В нашем распоряжении имеются чашечные весы без гирь. Составьте план из четырех взвешиваний, позволяющий найти обе фальшивых монеты и определить, легче они или тяжелее, чем настоящие. Изменять план в зависимости от результатов предыдущих взвешиваний не разрешается. (К.А. Кноп)
4. На карточках записаны числа от 1 до 2006. Карточки выложены одна за другой в произвольном порядке. Разрешается поменять местами две карточки, если число, написанное на одной из них, делится на число, написанное на другой. Докажите, что за несколько таких операций числа на карточках можно расположить в порядке возрастания. (А.С. Штерн)
5. На стороне AB взята такая точка D, что BD = DC и AD = AC. Какое наименьшее значение может принимать самый большой угол треугольника ABC? (К.А. Кноп)
6. 6 команд играют между собой чемпионат. В каждом туре встречаются какие-то 3 пары команд, не игравшие между собой ранее. В какой-то момент выяснилось, что очередной тур провести невозможно. Определите наименьший номер тура, в котором это могло произойти. (О.Ю.Ланин)
7. В деревне П живёт фермер Петров со своим котом Петькой, а в деревне В — фермер Васильев с котом Васькой. Однажды Петров с Петькой поехали в пункт В, а Васильев с Васькой одновременно — в пункт П. Когда они встретились, оказалось, что Петька съел в два раза больше пакетиков «Вискас», чем Васька. За всю дорогу между пунктами В и П пакетиков они съели поровну. К новому году фермеры подарили своих котов друг другу. Одиннадцатого января они снова выехали из своих деревень с котами. На этот раз за всю дорогу Васька съел 5 пакетиков «Вискас». Сколько пакетиков за всю дорогу съел Петька? (Омская городская олимпиада, 2005-06)
8. В классе учатся 30 детей. В течение недели учительница поставила им в журнал несколько оценок по математике. В воскресенье оказалось, что у любых десяти детей вместе присутствуют все пять видов оценок (от 1 до 5). Какое наименьшее количество оценок могло быть выставлено в течение этой недели? (Жюри)
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ БОЙ №1. 19.02.2006
ВТОРАЯ ЮНИОРСКАЯ ЛИГА
1. Докажите, что 340+620+238 – составное число. (К.А. Кноп)
2. Имеются три таймера. У одного промежуток между сигналами — 1 час, у второго — 2 часа, а у третьего — 2,5 часа. Таймеры включили в случайно выбранные моменты (у каждого — свой). Кот Васька уснул сразу после первого сигнала одночасового таймера и спал сутки, просыпаясь (и сразу засыпая снова) после каждого сигнала. Докажите, что ему хотя бы однажды удалось беспробудно проспать целый час. (И.С.Рубанов)
3. Из шести внешне неотличимых монет две фальшивые (фальшивые монеты весят одинаково, но неизвестно, легче или тяжелее настоящих). В нашем распоряжении имеются чашечные весы без гирь. Как найти обе фальшивых монеты за четыре взвешивания? (К.А. Кноп)
4. На карточках записаны числа от 1 до 2006. Карточки выложены одна за другой в произвольном порядке. Разрешается поменять местами две карточки, если число, написанное на одной из них, делится на число, написанное на другой. Докажите, что за несколько таких операций числа на карточках можно расположить в порядке возрастания. (А.С. Штерн)
5. На стороне AB взята такая точка D, что BD=DC и AD=AC. Какое наименьшее значение может принимать самый большой угол треугольника ABC? (К.А. Кноп)
6. 6 команд играют между собой чемпионат. В каждом туре встречаются какие-то 3 пары команд, не игравшие между собой ранее. В какой-то момент выяснилось, что очередной тур провести невозможно. Докажите, что это могло произойти не ранее 4-го тура. (О.Ю.Ланин)
7. В деревне П живёт фермер Петров со своим котом Петькой, а в деревне В — фермер Васильев с котом Васькой. Однажды Петров с Петькой поехали в пункт В, а Васильев с Васькой одновременно — в пункт П. Когда они встретились, оказалось, что Петька съел в два раза больше пакетиков «Вискас», чем Васька. За всю дорогу между пунктами В и П пакетиков они съели поровну. К новому году фермеры подарили своих котов друг другу. Одиннадцатого января они снова выехали из своих деревень с котами. На этот раз за всю дорогу Васька съел 5 пакетиков «Вискас». Сколько пакетиков за всю дорогу съел Петька? (Омская городская олимпиада, 2005-06)
8. В классе учатся 30 детей. В течение недели учительница поставила им в журнал несколько оценок по математике. В воскресенье оказалось, что у любых десяти детей вместе присутствуют все пять видов оценок (от 1 до 5). Какое наименьшее количество оценок могло быть выставлено в течение этой недели? (Жюри)
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ БОЙ №1. 19.02.2006