Xxvii уральский (XIV кировский) турнир юных математиков
| Вид материала | Документы |
СодержаниеПервая юниорская лига Вторая юниорская лига Лига «старт» |
- Международный турнир по хоккею «Золотая шайба» среди юных хоккеистов 1998-1999гг, 116.13kb.
- Госкомимущества Российской Федерации путем реорганизации государственного предприятия, 147.46kb.
- Открытый Уральский Турнир по программированию в Белорецке 3 Иванов а 10 диплом, 214.62kb.
- Информационное сообщение, 207.09kb.
- Закон україни, 1242.64kb.
- Турнир проводился при организационной поддержке компании Руспортинг, 26.02kb.
- Оценка эффективности методики развития выносливости юных лыжников, на основе применения, 154.07kb.
- I. общие положения, 71.78kb.
- Итоги xxvii-й Всероссийской конференции обучающихся «юность, наука, культура», 77.05kb.
- Цель: 1 познакомить учащихся с краткой биографией ученых математиков, 343.88kb.
ПЕРВАЯ ЮНИОРСКАЯ ЛИГА
1. . В каждой клетке квадрата 101101 стоит одно из натуральных чисел от 1 до 101. При этом в каждой строке, в каждом столбце и в каждой из двух больших диагоналей все числа различны. Докажите, что на 100 клетках, стоящих под диагональю, идущей из левого верхнего угла в правый нижний, не может быть 99 совпадающих чисел. (BMO-1998)
2. В парламент прошли 99 представителей двух партий: «красные» и «синие». На первом заседании парламента каждый депутат сделал следующее заявление: «в парламенте представители моей партии составляют большинство». Известно, что каждый красный говорит правду, если перед ним выступает синий, и обманывает, если перед ним выступает однопартиец. А каждый синий, наоборот, говорит правду после однопартийца, и обманывает после человека из чужой партии. К какой партии принадлежал первый выступавший? (В парламенте присутствуют представители обеих партий и выступают по одному.)
3. В вершинах квадрата стоят три нуля и единица. Можно вычитать из любого числа единицу, одновременно прибавляя шестерку к числу, написанному в одной из соседних вершин. Можно ли сделать все числа равными? (Отбор на Cono Sur 2002)
4. Петя забрал себе все десятизначные числа с суммой цифр 85, а Вова – все десятизначные числа с суммой цифр 86. Докажите, что у Пети чисел больше. (Жюри)
5. В четырехугольнике ABCD АDС = 90, BCD = 78, CAB = CBA, и AB = 2AD. Найдите CAD. (IMTS)
6. Вове дали задание расставить нечетное количество идущих подряд натуральных чисел следующим образом. Одно число ставится в центр окружности, а остальные расставляются по окружности на равных расстояниях друг от друга так, чтобы сумма трех чисел, находящихся на каждом диаметре, была одна и та же. Каким количеством способов можно выбрать число для центра окружности?(О.Ю.Ланин)
7. Положительные числа а, b и c удовлетворяют соотношению a+bc = (a+b)(a+c). Докажите, что эти числа также удовлетворяют соотношению b+ac = (b+a)(b+c). (Фольклор)
8. Рассмотрим таблицу из n строчек и 4 столбцов. Во всех клетках первой строки стоят нули. Каждая строчка, начиная со второй, строится по такому правилу: в одну из клеток вписывается такое же число, какое стоит в клетке над ней, а в каждой из остальных клеток пишется 1, если над ней стоит 0, 2, если над ней стоит 1, и 0, если над ней стоит 2. Можно ли получить 30 различных строчек? (VIII Олимпиада Cono Sur, 1997)
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ БОЙ №2. 20.02.2006
ВТОРАЯ ЮНИОРСКАЯ ЛИГА
1. В каждой клетке квадрата 77 стоит одна из цифр от 1 до 7. При этом в каждой строке, в каждом столбце и в каждой из двух больших диагоналей все числа различны. Докажите, что на 6 клетках, стоящих под диагональю, идущей из левого верхнего угла в правый нижний, не может быть 5 совпадающих чисел. (BMO-1998)
2. В парламент прошли 99 представителей двух партий: «красные» и «синие». На первом заседании парламента каждый депутат сделал следующее заявление: «в парламенте представители моей партии составляют большинство». Известно, что каждый красный говорит правду, если перед ним выступает синий, и обманывает, если перед ним выступает однопартиец. А каждый синий, наоборот, говорит правду после однопартийца, и обманывает после человека из чужой партии. К какой партии принадлежал первый выступавший? (В парламенте присутствуют представители обеих партий и говорят по одному.)
3. В вершинах квадрата стоят три нуля и единица. Можно вычитать из любого числа единицу, одновременно прибавляя шестерку к числу, написанному в одной из соседних вершин. Можно ли сделать все числа равными? (Отбор на Cono Sur 2002)
4. Петя забрал себе все десятизначные числа с суммой цифр 85, а Вова — все десятизначные числа с суммой цифр 86. Докажите, что у Пети чисел больше (Жюри).
5. В четырехугольнике ABCD АDС = 90, BCA = 78, CAB = CBA, и AB = 2AD. Найдите CAD. (IMTS)
6. Вове дали задание расставить нечетное количество идущих подряд натуральных чисел следующим образом. Одно число ставится в центр окружности, а остальные расставляются по окружности на равных расстояниях друг от друга так, чтобы сумма трех чисел, находящихся на каждом диаметре была одна и та же. Каким количеством способов можно выбрать число для центра окружности? (О.Ю.Ланин)
7. Положительные числа а, b и c удовлетворяют соотношению a+bc = (a+b)(a+c). Докажите, что эти числа также удовлетворяют соотношению b+ac = (b+a)(b+c). (Фольклор)
8. Рассмотрим таблицу из n строчек и 7 столбцов. Во всех клетках первой строки стоят нули. Каждая строчка, начиная со второй, строится по такому правилу: в одну из клеток вписывается такое же число, какое стоит в клетке над ней, а в каждой из остальных клеток пишется 1, если над ней стоит 0, и 0, если над ней стоит 1. Можно ли получить 100 различных строчек? (По мотивам VIII Олимпиады Cono Sur, 1997)
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ БОЙ №2. 20.02.2006
ЛИГА «СТАРТ»
1. В каждой клетке квадрата 77 стоит одна из цифр от 1 до 7. При этом в каждой строке, в каждом столбце и в каждой из двух больших диагоналей все числа различны. Докажите, что на 6 клетках, стоящих под диагональю, идущей из левого верхнего угла в правый нижний, не может быть 5 совпадающих чисел. (BMO-1998)
2. Рассмотрим таблицу из n строчек и 7 столбцов. Во всех клетках первой строки стоят нули. Каждая строчка, начиная со второй, строится по такому правилу: в одну из клеток вписывается такое же число, какое стоит в клетке над ней, а в каждой из остальных клеток пишется 1, если над ней стоит 0, и 0, если над ней стоит 1. Можно ли получить 100 различных строчек? (По мотивам VIII Олимпиады Cono Sur, 1997)
3. В парламент прошли 99 представителей двух партий: «красные» и «синие». На первом заседании парламента каждый депутат сделал следующее заявление: «в парламенте представители моей партии составляют большинство». Известно, что каждый красный говорит правду, если перед ним выступает синий, и обманывает, если перед ним выступает однопартиец. А каждый синий, наоборот, говорит правду после однопартийца, и обманывает после человека из чужой партии. К какой партии принадлежал первый выступавший? (В парламенте присутствуют представители обеих партий и говорят по одному.)
4. У Ани бисер: на каждые 2 синие бусинки приходится 3 зеленых, а красного бисера больше, чем зеленого. Аня меняется с Таней: за каждые 10 бусинок (3 синих, 2 зеленых и 5 красных) она получает 7 (6 белых и одну черную). Когда у Ани кончился синий бисер, на каждые две красные бусинки приходилось три белых. Сколько красных бусинок было у Ани первоначально, если синих было 1200? (Омская городская олимпиада, 1998-99)
5.
На рисунке справа помещены три фотографии одного и того же игрального кубика. Нарисуйте развертку этого кубика.6. Вове дали задание расставить нечетное количество идущих подряд натуральных чисел следующим образом. Одно число ставится в центр окружности, а остальные расставляются по окружности на равных расстояниях друг от друга так, чтобы сумма трех чисел, находящихся на каждом диаметре была одна и та же. Каким количеством способов можно выбрать число для центра окружности? (О.Ю.Ланин)
7. Петя забрал себе все десятизначные числа с суммой цифр 85, а Вова – все десятизначные числа с суммой цифр 86. Докажите, что у Пети чисел больше. (Жюри)