Geum.ru

В. В. Ивашкин Институт прикладной математики имени М. В. Келдыша ран 125047, Москва, Миусская пл., 4 тел. (495)2507826, e-mail: Ivashkin@Keldysh ru Введение. Вдоклад

Вид материалаДоклад

Содержание


L1, рис.9 [18, 19]. Перелеты от Луны к Земле
Подобный материал:

ЛУННЫЕ ТРАЕКТОРИИ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА


В.В. Ивашкин


Институт прикладной математики имени М.В. Келдыша РАН

125047, Москва, Миусская пл., 4

тел. (495)2507826, E-mail: Ivashkin@Keldysh.ru


Введение. В докладе дан обзор работ по лунным траекториям (ЛТ) космического аппарата (КА) – от пионерских работ 1950-х гг. (Егоров В.А., Охоцимский Д.Е., Лидов М.Л и др. [1-8]), до современных исследований новых слабоэнергетических траекторий («обходного» типа, с захватом Луной для полета Земля-Луна и пассивным освобождением от притяжения Луны для перелета Луна-Земля [8-19]). Рассмотрены также лунные траектории, соответст-вующие перелетам между Землей и геостационар-ной орбитой ГСО с помощью гравитационного ма-невра у Луны и часто приводящие к энергетически экономному решению задачи [20-23]. Исследуется проблема слабоэнергетического перелета КА от Земли к Луне с малой тягой [24, 25]. Рассмотрены методические вопросы определения лунных траек-торий [19]. Показано, что переход от упрощенных моделей движения к более сложным и реальным, учитывающим влияние гравитационных возмуще-ний, позволяет получить новые траектории, предс-тавляющие несомненный интерес для космонавтики и небесной механики.

Классификация лунных траекторий. Лунными траекториями КА называют такие траектории поле-та КА, для которых минимальное расстояние min до центра Луны меньше радиуса ее сферы действия (66 тыс. км).

В зависимости от небесных тел отлета и прилета ЛТ можно разделить на несколько групп: - Траектории полета от Земли к Луне; - Траектории полета от Луны к Земле; - Траектории экспедиций Земля-Луна-Земля; - Траектории полета от Земли к Луне, пролета у Луны и обратного полета к Земле; - Траектории полета от Земли к Луне, пролета у Луны и дальнейшего полета к другому небесному телу.

В зависимости от величины ускорения, используемого для управления и маневров при фор-мировании ЛТ КА, сейчас встречаются два типа траекторий: - Траектории полета КА с двигателями большой тяги; - Траектории полета КА с малой тягой (сейчас такая тяга, создается, в основном, электрореактивными двигательными установками).

В зависимости от схемы перелета между Землей и Луной лунные траектории КА можно разделить на три группы: - Прямые перелеты с большой тягой. Главная, пассивная часть траектории прямого перелета между Землей и Луной состоит из основной геоцентрической дуги в сфере действия Земли и небольшой дуги в сфере действия Луны (СДЛ) [1-8, 26, 27]; - Непрямые, обходные перелеты с большой тягой [8-19]. Эти перелеты геометрически близки биэллиптическим перелетам Штернфельда [28, 29], но динамически отличаются от них; - Многовитковые перелеты с малой тягой [24, 25].

В зависимости от схемы выведения ракеты с большой тягой на траекторию полета от Земли к Луне различают перелеты с непрерывной схемой выведения и перелеты с пассивным участком на промежуточной орбите ИСЗ [5].

В зависимости от числа активных участков для разгона с круговой или околокруговой орбиты ИСЗ (или ИСЛ) на сильно вытянутую эллиптическую (или гиперболическую) орбиту или для обратного торможения различают: ЛТ с одним активным участком или ЛТ с несколькими участками [30, 31].

В зависимости от баллистической цели полета от Земли к Луне их можно разделить на несколько групп: - Траектории высокоскоростного достижения поверхности Луны (Луна-2, СССР, 12-14 сент. 1959 г.); - Траектории мягкой посадки на поверхность Луны (Луна-9, СССР, 31 янв.–3 фев. 1966 г.); - Траектории перехода на орбиту ИСЛ (Луна-10, СССР, 31 марта-3 апр. 1966 г.); - Облет Луны и полет к Земле или другой цели (Луна-1, 2-4 янв. 1959 г., Луна-3, 4-7 окт. 1959 г.; Зонд-5-8, 1968-1970 гг.) [8].

Проблема лунных траекторий и ее междис-циплинарные связи. Хотя вопросы определения траектории полета от Земли к Луне изучали еще пи-онеры космонавтики (например, в [28]), первое фун-даментальное научное исследование этой проблемы выполнено В.А. Егоровым [1]. Затем, с развитием практической космонавтики и космических исследований Луны, с 1959 г., эти вопросы стали интенсивно изучаться - и в практическом отношении, для обеспечения лунных проектов, и в теоретическом, в частности, примыкая к работам в небесной механике и в теории оптимального управления. Так что сейчас проблема определения и исследования лунных траекторий стала крупной и важной многогранной и междисциплинарной научно-технической дисциплиной. С одной стороны, теоретически, она является предметом механики (или часто говорят – динамики) космического полета [3, 32, 33]. С другой стороны, при анализе конкретного лунного проекта эта проблема является предметом космической баллистики, является элементом баллистического проектирования космического аппарата, космической операции. При этом проектирование лунной траектории должно обеспечить выполнение целей проекта, соответствуя ограничениям и возможностям наземных систем и систем космического аппарата, в частности систем управления и навигации. Задачи проекта должны решаться, как правило, с минимизацией энергетических расходов, ибо проблема максимизации полезной массы обычно - главная задача проекта. Поэтому проблема Лунных траекторий тесно связана с теорией оптимального управления, оптимизации полета. Анализ лунных проектов и их траекторий показывает следующие реализованные пути оптимизации лунных траекторий:

- переход от непрерывного выведения с Земли на траекторию полета к Луне к разрывной схеме выведения с участком пассивного движения по промежуточной орбите. Это уменьшает гравитационные потери на участке разгона к Луне [5];

- увеличение времени полета к Луне. Это уменьшает константу энергии орбиты полета к Луне и, как следствие, - характеристическую скорость и расход топлива на разгон к Луне, а также константу энергии орбиты подлета к Луне и расход топлива на торможение у Луны;

- переход от схемы с одним активным участком разгона с промежуточной орбиты на орбиту полета к Луне к схеме с двумя или несколькими активными участками разгона, с введением промежуточных орбит пассивного движения по ним. Это, хотя и увеличивает время полета, но приводит к уменьшению гравитационных потерь при разгоне и приближает энергетику разгона к импульсной; это позволяет также уменьшить тягу и массу двигателя и увеличить массу полезного груза [30, 31]. Одновременно это позволяет точнее определить движение КА и точнее реализовать орбиту полета к Луне, уменьшить расходы на коррекцию траектории;

- переход от «прямой» схемы полета между Землей и Луной к «обходной» схеме в рамках задачи четырех тел - с пассивным захватом Луной при полете к Луне и освобождением от Лунного притяжения при полете к Земле, что, хотя и повышает время полета и требования к точности управления, уменьшает расход топлива на лунные операции. Это соответствует ситуации в классической задаче оптимизации перелета между круговыми компланарными орбитами, где есть два решения: двухимпульсное решение Гомана-Цандера [26, 27] и биэллиптическое решение Штернфельда [28, 29] - иногда вторая схема перелета более экономична, чем первая;

- использование при перелете от Земли к Геостационарной орбите ГСО (при достаточно большой широте космодрома) и при перелете с ГСО к Земле обходного перелета с Лунным гравитационным маневром; это приводит к уменьшению энергетики полета по сравнению с «прямым» полетом [20-23];

- переход при разгоне от Земли и при торможении у Луны от химических двигателей к электрореактивным двигателям с малой тягой и большей скоростью истечения и большей удельной тягой. Это, хотя и увеличивает время полета, существенно уменьшает расход топлива на разгон [24, 25].

Методы анализа. В зависимости от задачи и требуемой точности определения траектории применяют различные методы - как для «точного» численного, так и для приближенного качественного определения и анализа траекторий. Для численного анализа используется модель ограниченной задачи трех тел (Земля, Луна, КА), а также модель четырех тел (Земля, Луна, Солнце, КА) с учетом сжатия Земли и тяги двигателя:


dr/dt=V, dV/dt= (E/r3)r+aE+aM+aS+P/m, (1a)

dm/dt= P/c; (1b)

aEx= aE0 [1+5z2/r2] x/r; (2a)

aEy= aE0 [1+5z2/r2] y/r; (2b)

aEz= aE0 [3+5z2/r2] z/r; (2c)

aE0=3EJ2Re2/(2r4); (2d)

aM=M{rM/rM3+(rMr)/rMr3}; (3)

aS=S {rS/rS3+(rSr)/rSr3}. (4)


В этой системе дифференциальных уравнений (14) движения КА: используется невращающаяся геоэкваториальная геоцентрическая система прямоугольных координат OXYZ; r (x, y, z), V (Vx, Vy, Vz), m – радиус-вектор, вектор скорости и масса КА, r=|r|; rM, rS – геоцентрические радиус-векторы Луны и Солнца (их координаты определяются обычно по JPL-эфемеридам, например, DE-403, DE-405, или по аналитическим разложениям [34, 35]), rM =|rM|, rS= |rS|; E (=398600.4481 км3/с2), M (=4902.79914 км3/с2), S (=132712439935 км3/с2) - гравитационные параметры Земли, Луны и Солнца; P – тяга двигателя (при пассивном движении P=0), P=|P|, с – скорость истечения из сопла двигателя; aE (aEx, aEy, aEz), aM , aS – возмущающие ускорения, вызванные сжатием Земли, притяжением Луны и Солнца; Re (= 6378.136 км), J2 (=0.0010826348)– экваториальный радиус и коэффициент 2-ой зональной гармоники геопотенциала Земли. Иногда учитывают еще давление солнечного света. В некоторых случаях принимают во внимание также притяжение больших планет, в первую очередь Юпитера и Венеры. Модель задачи четырех тел часто существенна, ибо решения с захватом для перелетов между Землей и Луной можно осуществить только в рамках данной модели. Интегрирование уравнений движения КА осуществляется в инерциальной или вращающейся системе координат. Используются разные методы интегрирования [36, 37]. Для качественного анализа используются метод сфер действия Земли и Луны [1-4], который сейчас обычно применяется в виде модели «точечной» сферы действия Луны [1-4, 20, 21, 38, 23], а также методы теории эволюции орбит под влиянием гравитационных возмущений (например, [39]).

Рассмотрим кратко перелеты между Землей и Луной, а также между Землей и ГСО.

Перелеты от Земли к Луне. Для прямого перелета от Земли к Луне первая дуга близка к дуге геоцентрической кеплеровской орбиты - эллипса, гиперболы или параболы. Здесь движение КА, в основном, определяется притяжением Земли. Вторая дуга - в сфере действия Луны – для прямого перелета всегда близка к дуге селеноцентрической кеплеровской гиперболы. Движение КА здесь, в основном, определяется притяжением Луны. Такими прямыми является большинство реализованных лунных траекторий, начиная с первых Лунников и до настоящего времени.

На рис. 1 приведена схема полета Луны-1 [5]. Это был первый в мире полет к Луне, станция была названа «Мечтой». Геоцентрическая орбита была гиперболической, впервые была достигнута и превышена вторая космическая скорость. При запуске была использована непрерывная схема выведения. Время полета до Луны составило ~ 34 часа. 4 января 1959 г. станция пролетела на расстоянии ~5965 км от поверхности Луны. Затем Луна-1 стала первой в мире искусственной планетой.




Рис. 1. Геоцентрическая орбита КА Луна-1 (1: траектория КА; 2: орбита Луны; 3: Луна в момент старта; 4: Луна при сближении с КА..


КА Луна-2 впервые достигла поверхности Луны, двигаясь по близкой траектории. Не было коррекции орбиты, точному попаданию в Луну способствовала малость ошибок выведения и слабая чувствительность гиперболической орбиты КА к ошибкам начала пассивного полета, обусловленными исполнительными ошибками ракеты выведения. Не было и торможения скорости при сближении с Луной.

КА Луна-3 впервые облетела Луну, сфотографировала ее обратную сторону и передала на Землю снимки. На рис. 2 приведена схема ее полета [5]. Орбита полета к Луне – эллиптическая, время полета до Луны ~ 2,5 сут; максимальное расстояние от Земли в апогее орбиты составило 480 тыс. км [6]. Коррекции орбиты также не было, реализация полета достигнута малостью ошибок выведения.




Рис. 2. Схема полета КА Луна-3 (1: Земля; 2: орбита КА; 3: Луна; 4: орбита Луны; 5: Фотографирование; 6: передача фотоснимков).


На рис. 3 дана траектория полета КА Луна-9 [5], со-вершившего впервые мягкую посадку на Луну. Траектория КА Луна-9 – эллиптическая, с временем полета до Луны ~ 3, 5 cут. Она использует промежуточную орбиту при выведении, измерения и коррекцию на среднем участке, торможение селеноцентрической гиперболической скорости перед посадкой. Оптимальная траектория определена из условия максимума конечной массы после разгона, коррекции и торможения [40, 41, 3]. Надежное торможение с малыми остаточными скоростями обеспечивалось автономной системой «Лунная вертикаль» ориентации двигателя по направлению на центр Луны на некотором замечательном расстоянии от Луны (~8500 км), где это направление параллельно фактической скорости у поверхности Луны [40-42].




Рис. 3. Траектория полета КА Луна-9 (1: старт; 2: промежуточная орбита; 3: измерения; 4: коррекция орбиты; 5: участок торможения; 6: ориентация КА по лунной вертикали, 8500 км; 7: включение радиовысотомера; 8: включение тормозного двигателя; 9: выключение двигателя; 10: мягкая посадка).


Луна-10 стала первым искусственным спутником Луны. Ее траектория близка к траектории КА Луна-9, на основе которого был создан КА Луна-10.




Рис. 4. Траектория полета КА «Зонд-6».


КА Зонд-5 (15-21 сент. 1968) впервые в мире облетел Луну и вернулся на Землю со 2-ой космической скоростью. На рис. 4 приведена траектория полета аналогичного КА Зонд-6, совершившего управляемый спуск в атмосфере. Здесь 1 - выведение на промежуточную орбиту; 2 – промежуточная орбита; 3 – старт к Луне; 4 – 1-я коррекция; 5 – движение без коррекции; 6 – облет Луны; 7 – 2-я коррекция; 8 – 3-я коррекция; 9 – отделение спускаемого аппарата; 10 – спуск в атмосфере; 11 – коридор входа. Для пилотируемого варианта КА Зонд была разработана система автономной навигации «Альфа» с использованием оптических измерений с помощью секстанта и отечественной Бортовой Цифровой Вычислительной Машины БЦВМ Салют-1 [43].

В 1968-1972 гг был реализован проект США пилотируемой Лунной экспедиции «Аполлон» (Аполлон-8-17). В 1969-1976 гг. была осуществлена Советская программа автоматических исследований Луны (Луна-15-24), - с ИСЛ, с забором и доставкой на Землю лунного грунта и Луноходами, с временем полета до Луны ~4.5 сут. В рамках этих проектов был совершен ряд перелетов Земля-Луна. В последнее время осуществлено несколько новых лунных проектов (Япония, Китай, Индия, США). Все эти полеты имеют прямую схему перелета Земля-Луна.

Обычные траектории «прямого» перелета между Землей и Луной имеют гиперболическое движение относительно Луны. Для захвата надо увеличить константу площадей L геоорбиты [1-4]. В последнее время найдены траектории полета к Луне с захватом Луной. Сначала захват был найден для полета к Луне с малой тягой [9], «раскрутка» увеличивает константу L. Полет такого типа был реализован в Европейском проекте SMART-1 (2003 г. [24, 25]). На рис. 5, 6 дана типичная пассивная орбита захвата такого типа [18, 19]. На ее основе построен перелет к Луне с орбиты близкого спутника Земли [25].




Рис. 5. Геоцентрическое движение с захватом Луной в точке С.




Рис. 6. Селеноцентрическое движение с захватом Луной в точке С ( rf =3 000 км, rf =51 000 км).


Затем были найдены «обходные» перелеты Земля-Луна в рамках задачи четырех тел (Земля, Луна, Солнце, точка). Здесь также имеем движение точки в сфере действия Луны по эллиптическим орбитам, реализуя с помощью гравитационных возмущений временный захват Луной (см., например, [10-19]). На рис. 7, 8 дан пример такого перелета с «внешним» захватом у залунной точки либрации L2 [14]. Здесь имеет место сначала отлет от Земли E (из точки D) на ~ 1,5106 км. В этом районе под влиянием притяжения Солнца S увеличивается константа площадей и перигейное расстояние орбиты до r  480 тыс. км, и КА сближается с Луной M.




Рис. 7. Обходной» перелет Земля-Луна (геоцентрическое движение).




Рис. 8. Конечная часть «обходного» перелета Земля-Луна (селеноцентрическое движение)


Затем происходит эволюция орбиты точки под влиянием, в основном Луны и Земли. Сначала, на небольшой дуге P1P2C, происходит быстрое гашение селеноцентрической энергии до нуля. В точке С, в районе коллинеарной залунной точки либрации L2 системы Земля-Луна, – захват Луной M. Далее на дуге CF возмущения от Земли вызывают дальнейшую эволюцию орбиты, в том числе уменьшение энергии. В конечной точке F-периселений орбиты спутника Луны, для нее rf =1838 км, rf =75072 км, if=900 [14].

Эта схема полета по сравнению с «прямым» перелетом дает заметное уменьшение (на ~ 200 м/с по скорости) энергетики. Она была впервые осуществлена японским проектом Hiten (1990-1993 гг. [11]).

Найдены также перелеты Земля-Луна с захватом в районе долунной точки либрации L1, рис.9 [18, 19].

Перелеты от Луны к Земле. Реализовано несколько перелетов из окрестности Луны в близкую окрестность Земли – по прямой схеме. Это, во-первых, перелеты КА «Зонд-5-8» (рис. 4).





Рис. 9. Полет Земля-Луна с «внутренним» захватом.


Далее, это перелеты в рамках проекта США Аполлон (1968-1972), а также проекта СССР автоматической экспедиции по забору и возврату Лунного грунта (Луна-16, 20, 24, 1970-1976), они имели близкие траектории, лишь полеты советских КА с Луны на Землю удалось осуществить без коррекции траектории.

Построены также «обходные» перелеты Луна-Земля, они осуществляют пассивное освобождение от Лунного притяжения [12, 16] вблизи как точки L2, так и точки L1. Рис. 10 дает пример такой траектории с освобождением (Es) у точки либрации L2 [16].




Рис. 10. «Обходной» перелет Луна – Земля.


Перелеты между Землей и ГСО. Спутники на ГСО, важные для современной космонавтики, ставят перед прикладной небесной механикой ряд задач, в частности, задачу выведения КА с Земли на ГСО и задачу удаления КА с ГСО. Относительно выведения КА на ГСО с помощью большой тяги численно-аналитическое исследование [20, 21] показало, что при широте точки старта свыше ~ 28 (это выполняется для Российских космодромов Байконур и Плесецк) энергетически выгоднее использовать не прямую «квазигомановскую» схему полета, а «обходную», с близким облетом Луны. При этом выполняется Лунный гравитационный маневр с пассивным изменением наклонения и перигейного расстояния орбиты КА и лишь затем осуществляется полет к ГСО, см. Рис. 11.




Рис. 11. Перелет с Земли на ГСО с облетом Луны.


Данная схема полета была реализована для выведения спутника ASIASAT 3/HGS-1 [8, 22], и это было названо «наиболее впечатляющим» космическим событием 1998 г. [22].

Для задачи активного спуска КА с ГСО также энергетически выгоднее использовать не «прямую» траекторию с уменьшением скорости КА (на ~ 1,5-3 км/с), а «обходную» траекторию с увеличением скорости КА (на ~1,1 км/с), подлетом к Луне и выполнением гравитационного маневра [17-19, 23] c пассивным уменьшением перигейного расстояния орбиты КА до радиуса Земли или до еще меньшего значения. Затем КА летит к Земле E. На Рис. 12 приведена траектория перелета КА с ГСО к Земле при облете Луны у ее восходящего узла и при нормальном входе в атмосферу Земли. Движение по орбите фазирования T1 делается для обеспечения времени отлета к Луне спутника с заданной долготой на ГСО. Анализ ошибок выведения и их влияния на конечные параметры траектории показывают, что полет можно осуществить без коррекции.




Рис. 12. «Обходная» траектория возврата КА с ГСО к Земле.


Данное исследование выполнено при поддержке Российского Фонда Фундаментальных исследова-ний (Гранты 06-01-00531, 09-01-00710) и Гранта научной школы НШ-1123.2008.1.


ЛИТЕРАТУРА

  1. Егоров В.А. О некоторых задачах динамики полета к Луне // УФН. 1957. Т. 43. N 1. С. 73-117.
  2. Егоров В.А. Пространственная задача достижения Лу-ны. М.: Наука, 1965. 224 c.
  3. Нариманов Г.С., Тихонравов М.К. (ред.) Основы тео-рии полета космических аппаратов. М.: «Машиностро-ение», 1972. 608 с.
  4. Егоров В.А., Гусев Л.И. Динамика перелетов между Землей и Луной. М.: Наука. 1980. 544 с.
  5. Космонавтика. Энциклопедия. Гл. ред. В.П. Глушко. 1985. М.: Советская энциклопедия. 528 с.
  6. Келдыш М.В., З.П. Власова, М.Л. Лидов, Д.Е. Охоци-мский, А.К. Платонов (1959). Исследование траекто-рий облета Луны и анализ условий фотографирования и передачи информации. // В книге: М.В. Келдыш. Из-бранные труды. Ракетная техника и космонавтика. Отв. ред. В.С. Авдуевский, Т.М.Энеев. М.: Наука, 1988 г. С. 261-309.
  7. Лидов М.Л., Охоцимский Д.Е., Тесленко Н.М. Иссле-дование одного класса траекторий ограниченной зада-чи трех тел. Космич. Исслед. 1964, т. 2, вып. 6. С. 843-852.
  8. Ivashkin V.V., Lunar Space Projects, American Astronau-tical Society Publications, Science and Technology Series, Vol. 108, 2004. AAS 03-763, pp. 481-499.
  9. Belbruno E. Lunar Capture Orbits, a Method of Constructing Earth-Moon Trajectories and the Lunar GAS Mission // AIAA Paper 87-1054, 19th Intern. Electric Propulsion Conference. 1987. 9 p.
  10. Belbruno E.A., Miller J.K. Sun-Perturbed Earth-to-Moon Transfers with Ballistic Capture; Journal of Guidance, Control and Dynamics. 1993. Vol. 16. № 4. Pp. 770 - 775.
  11. Uesugi, Kuninori. Space Odyssey of an Angel – Summary of the Hiten’s Three Years Mission // AAS/GSFC Intern. Symposium on Space Flight Dynamics. 1993. AAS Paper 93-292. 20 p.
  12. Yamakawa H., et all. On the Earth-Moon Transfer Trajectory with Gravitational Capture // AAS/AIAA Astrodynamics Specialist Conference, Victoria, USA. 1993. Paper AAS 93-633, 20 p.
  13. Bello Mora M., et al. A Systematic Analysis on Weak Stability Boundary Transfers to the Moon // 51st International Astronautical Congress, Rio de Janeiro, Brazil, 2000. Paper IAF-00-A.6.03. 12 p.
  14. Ивашкин В.В. О траекториях полета точки к Луне с временным захватом ее Луной // ДАН. 2002. Том 387. № 2. С. 196-199.
  15. V.V. Ivashkin. On Trajectories for the Earth-to-Moon Flight with Capture by the Moon // AAS Publications, Science and Technology Series. 2004. Vol. 108. Paper AAS 03-723. Pp. 157-166.
  16. Ивашкин В.В. О траекториях полета точки от Луны к Земле с гравитационным освобождением от лунного притяжения // ДАН. 2004. Том 398. № 3. С. 340-342.
  17. Ивашкин В.В. Лунные слабоэнергетические «обход-ные» траектории космического аппарата. // Фундамен-тальные и прикладные проблемы современной меха-ники. Материалы V Всероссийской Научной конфере-нции, Томск, 3-5 октября 2006 г. Изд-во Томского Гос. ун-та, 2006 г. C. 440-441.
  18. Ивашкин В.В. Cлабоустойчивые малоэнергетические лунные траектории космического аппарата. // Труды IX Междунар. Четаевской конфер. «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением», посвящ. 105-летию Н.Г. Четаева, Иркутск, 12-16 июня 2007 г., ИДСТУ СО РАН, Иркутск, т. 5. С. 20-32.
  19. Ивашкин В.В. Лунные траектории КА // VI Всерос. научная конф. «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики», посвящ. 40-летию НИИ ПММ ТГУ. Томск, 30 сент.-2 окт. 2008 г. ИПМ им. Келдыша РАН, Эл.. библ.: ссылка скрыта, 36 с.
  20. Ивашкин В.В., Тупицын Н.Н. Об использовании гравитационного поля Луны для выведения космического аппарата на стационарную орбиту спутника Земли // Космич. исслед. 1971. Т. IX. Вып. 2. С. 163-172.
  21. Ивашкин В.В. Оптимизация космических маневров при ограничениях на расстояния до планет. М.: Наука, 1975, 392 с.
  22. Riebe T., Schweitzer M. Space operations and support // Aerospace America, Dec. 1998. P. 83.
  23. Ивашкин В.В. О траекториях возвращения космичес-кого аппарата с геостационарной орбиты к Земле с использованием гравитационного маневра у Луны // ДАН. 2006. Том 409. № 6. С. 770-773.
  24. Foing B.H., Racca G.D., et al. SMART-1 after lunar cap-ture: First results and perspectives. // Journal of Earth Sys-tem Science, Vol. 114, N. 6, December 2005. Pp. 687-697.
  25. В.В. Ивашкин, В.Г. Петухов. Траектории перелета с малой тягой между орбитами спутников Земли и Луны при использовании орбиты захвата Луной. // Преприн-ты ИПМ им. М.В. Келдыша РАН. № 81. 32 с. URL: ссылка скрыта
  26. Цандер Ф.А. (1964) Перелеты на другие планеты: (Тео-рия межпланетных путешествий).— В кн.: Пионеры ракетной техники: Кибальчич. Циолковский. Цандер. Кондратюк. Избранные труды, М.: Наука, 1964, с. 277—359.
  27. Hohmann W. (1925) Die Erreichbarkeit der Himmels-korper. München, 1925.
  28. Штернфельд А.А. Введение в космонавтику. а) 1937, М.- Л.: ОНТИ, 318 с. б) Изд. 2-е, М: Наука, 1975, 240 с.
  29. Штернфельд А.А. Искусственные спутники. 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Гостехиздат, 1958. 296 c.
  30. Роббинс Х.М. Аналитическое исследование импульс-ной аппроксимации // Ракетная техника и космонав-тика. 1966, т. 4, N 8, с. 134-143.
  31. Захаров Ю.А. Проектирование межорбитальных кос-мических аппаратов. Выбор траекторий и проектных параметров. М.: Машиностроение. 1984. 176 с.
  32. Охоцимский Д.Е., Сихарулидзе Ю.Г. Основы механики космического полета. М.: Наука. 1990. 448 с.
  33. Chobotov V.A., Editor. Orbital Mechanics. Third Edition. 2002. 460 p.
  34. Абалакин В.К., Аксенов Е.П., Гребенников Е.А., Демин В.Г., Рябов Ю.А. Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. Изд. 2-е. Под ред. Г.Н. Дубошина. М.: «Наука», 1976. 864 с.
  35. Меёс Ж. Астрономические формулы для калькуляторов. М.: Мир, 1988, 168 с.
  36. Бордовицына Т.В. Современные численные методы в задачах небесной механики. М.: «Наука». 1984. 136 с.
  37. Степаньянц В.А., Львов Д.В. Эффективный алгоритм решения системы дифференциальных уравнений дви-жения. // Матем. моделир. 2000, т. 12, вып. 6, с. 9-14.
  38. Ильин В.А., Кузмак Г.Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов. М.: Наука, 1976, 744 с.
  39. Лидов М.Л. Эволюция орбит искусственных спутников планет под действием гравитационных возмущений внешних тел // Искусственные спутники Земли. 1961. Вып. 8. С. 5–45.
  40. Ивашкин В.В. Кандидатская диссертация. – М., Институт прикладной математики АН СССР, 1967.
  41. Первые панорамы лунной поверхности. Т. 1. М.: Наука, 1967. 98 с.
  42. Дашков А.А., Ивашкин В.В. Об одном замечательном свойстве пучка гиперболических траекторий. Космические исследования, 1965, т. 3, вып. 5, с. 684 –686.
  43. Энеев Т.М., Ивашкин В.В., Шаров В.А., Багдасарян Ю.В. Система автоном. космич. навигации «Альфа» проекта облета Луны Л-1//XXXII Академич. чтения по космонавтике, М., янв.-фев. 2008г. ИПМ им. Келдыша РАН, 2008: ссылка скрыта .