Радченко С. Г. Устойчивые методы оценивания статистических моделей: Монография К.: Пп «Санспарель», 2005. 504 с

Вид материала

Монография

Содержание Анри Пуанкаре

Подобный материал:

• А. Ю. Власов доцент, к Х. н. Математическая обработка результатов эксперимента, 36.78kb.
• Критерии и методы оценок использования информационных систем и технологий dorokhov, 125.26kb.
• Областная программа статистических работ на 2005 год наименование и состав, 592.77kb.
• Удк 504. 03; 504. 05; 504., 293.65kb.
• Решения ученого совета, 326.29kb.
• Задачи изучения дисциплины познакомить студентов с основами применения статистических, 29.96kb.
• Н. В. Радченко Розвиток навички читання, 748.18kb.
• Красильников Андрей Борисович, Председатель Правления Межрегионального общественного, 72.04kb.
• Собрание 1-534 23 июня четверг 20 Лекц. 2ч. Философия Бармина ов хорошо-504 >10., 54.53kb.
• Программа учебной дисциплины современные средства оценивания результатов обучения., 288.12kb.

Устойчивые методы оценивания статистических моделей Опубликована научная монография: Радченко С.Г. Устойчивые методы оценивания статистических моделей: Монография – К.: ПП «Санспарель», 2005. – 504 с. Реферат   ...совершенно ничтожная причина, ускользающая от нас по своей малости, вызывает значительное действие, которого мы не можем предусмотреть, и тогда мы говорим, что это явление представляет собой результат случая. Анри Пуанкаре Научное исследование реальной действительности предполагает создание и использование математических моделей, которые формализовано описывают связь комплекса начальных условий с группой критериев качества изучаемого объекта, системы или процесса. Математическое моделирование информационно обеспечивает оптимальные (или рациональные) характеристики наукоемких изделий, высоких технологий, интеллектуальных средств измерений, новых материалов и совершенствование существующих решений. Математические модели позволяют установить причинные, структурные и количественные связи между начальными условиями и потребительскими свойствами создаваемых изделий, технологических процессов. Будучи информационным ресурсом, они сводят к минимуму необходимые физические ресурсы – вещественные, энергетические, пространственные, временные – и создают системные ресурсы – функциональные, целевые, оптимизационные, эмергентные. Системные ресурсы позволяют принципиально изменить систему и приблизить ее к идеальной. Математические модели особенно необходимы в тех случаях, когда возможности конструирования, производства и эксплуатации, основанные на традиционных физических принципах, исчерпаны или приводят к нецелесообразно большим затратам. Обработка результатов разнообразных многофакторных экспериментальных исследований, моделирование технологических процессов в машиностроении [620], [707], математические методы обработки результатов измерений [621] требуют разработки устойчивых методов решения обратных и некорректных прикладных задач. Практика решения указанных классов задач показала, что они весьма типичны. Создаваемые системы, объекты, процессы характеризуются как сложные. При их изучении необходим системный подход, включающий многокритериальность, многофакторность, адекватный метод описания, эффективность проведения исследований. Принятие формализованных решений в прикладных исследованиях сложных систем определяется их основными свойствами. Разрабатываемые алгоритмическое, эвристическое и программное обеспечение должно учитывать реальные свойства исследуемой системы или процесса. Эти вопросы рассмотрены в главе 1. Получение математических моделей базируется на принятых предпосылках множественного регрессионного анализа, которые должны выполняться по отношению к моделируемой реальной действительности. Принятые предпосылки многофакторного регрессионного анализа предопределяют обоснованность полученных результатов и свойств моделей, обеспечивают решение абстрактной или реальной задачи и, в конечном счете, создают научную обоснованность и прикладную полезность решения. В большинстве случаев моделирование сложных систем проводится с использованием экспериментально-статистических методов. К моделям предъявляются требования многофакторности, многокритериальности, устойчивости структур моделей и их коэффициентов, семантичности (информационной) и другие (глава 2). Новизна изучаемой действительности, ее сложность, множество критериев качества и другие особенности описываемой реальности формируют требования к технологии получения математических моделей. В области формализованного описания сложных технических, технологических, измерительных и материаловедческих систем создание методов построения математических моделей по результатам проведенных многофакторных экспериментов и статистическим данным оценивается специалистами как одно из важнейших направлений развития математической науки. Происходит формирование инженерной гносеологии, экспериментальной информатики, создание интеллектуального математического обеспечения в целях системного и точного формализованного описания прикладных систем и процессов. Требования к критериям качества получаемых многофакторных математических моделей возрастают. Для успешного получения статистических моделей необходимо решить следующие проблемы. 1. Формирование наилучших исходных условий получения многофакторных статистических моделей в виде последовательного планирования многофакторных экспериментов с использованием регулярных планов экспериментов. Традиционный выбор плана эксперимента осуществляют после постулирования структуры математической модели. Такой подход не гарантирует адекватность полученной модели. Необходимо использовать последовательную схему проведения эксперимента и последовательный поиск искомой структуры многофакторной модели. Последовательное построение многофакторных регулярных планов экспериментов (кроме планов, 2k – p, 2k, планов 2-го порядка) не разработано. Разработаны алгоритмы RASTA1, RASTA2 эвристического построения квазиортогональных и квази-D-оптимальных планов экспериментов. Представляет существенный интерес использование и последовательное планирование многофакторного эксперимента на основе ЛПτ равномерно распределенных последовательностей. Применение их для получения математических моделей другими авторами не известно. Решение проблемы формирования наилучших исходных условий получения моделей и последовательного планирования эксперимента приведено в главе 3. 2. Формализованный выбор устойчивых структур многофакторных статистических моделей, не известных исследователю. Многофакторные регулярные планы экспериментов позволяют сформировать структуру модели практически произвольной сложности. Их следует использовать, если известна (приближенно) информация о характере влияния факторов на моделируемые критерии качества системы или процесса. В большинстве реальных ситуаций структура многофакторной модели исследователю не известна. Она может быть получена из структурной схемы полного факторного эксперимента с использованием алгоритма RASTA3. Решение проблемы изложено в главе 4. 3. Устойчивое оценивание коэффициентов статистических моделей в условиях исходной мультиколлинеарности факторов (главы 5...9). Мультиколлинеарность, иначе взаимная сопряженность, факторов весьма типична во множественном регрессионном анализе. При мультиколлинеарности факторов главные эффекты и взаимодействия факторов также коллинеарны между собой. В таких условиях коэффициенты определяются со значительными погрешностями и становятся смещенными. Найденная структура модели является неустойчивой; выделение истинных эффектов становится трудным. Решение таких задач неустойчиво, а сами задачи получили название некорректно поставленных. С ростом коррелированности эффектов найденная модель не имеет прикладного смысла, т. к. не соответствует действительности. В главе 5 впервые излагается топологический метод устойчивого оценивания статистических моделей в условиях исходной мультиколлинеарности факторов. Он заключается в отображении хорошо обусловленной формы факторного пространства – прообраза факторного пространства – в заданную условиями решаемой задачи плохо обусловленную форму факторное пространство – образ факторного пространства. В главе 6 приведены алгоритмы RASTA4, RASTA5.1 и технология устойчивого оценивания статистических моделей с линейными ограничениями факторного пространства. Они используются при числе точек ограничения Nогр ≤ 2k. В главе 7 приведен алгоритм RASTA4K, используемый при криволинейном ограничении факторного пространства кривыми линиями и криволинейными поверхностями. С его применением возможно устойчивое оценивание статистических моделей в произвольных выпуклых областях факторного пространства. Разработан алгоритм RASTA14, позволяющий установить связь между прообразом и образом по собственным системам координат. Если произвольная форма факторного пространства не позволяет применить топологическое отображение прообраза в образ для устойчивого оценивания статистических моделей, то необходимо использовать алгоритм RASTA10 для квазиортогонального планирования эксперимента в произвольной выпуклой области факторного пространства (глава 8). Создается собственная система координат факторного пространства, топологически эквивалентная ортогональной системе координат прообраза факторного пространства. В главе 9 изложены другие подходы устойчивого оценивания статистических моделей: использование фиктивных факторов (алгоритм RASTA13), аргументов сложных функций и оптимальных координат факторного пространства. Комплексные примеры системного решения прикладных задач устойчивого оценивания многофакторных статистических моделей изложены в главе 10. Разработанные методы и алгоритмы могут использоваться в различных предметных областях. Примеры приведены из области моделирования средств измерений, технических и технологических систем и процессов. Смысловая связь отдельных глав показана на рис. В. 1. В приложениях приведены каталоги многофакторных регулярных планов экспериментов, ЛПτ равномерно распределенных последовательностей, краткий словарь используемых математических терминов. Рис. В. 1 Структурная схема устойчивого оценивания статистических моделей Монография предназначена для научных работников, специалистов, использующих прикладную статистическую методологию для решения реальных производственных задач, создания наукоемких изделий, высоких технологий, интеллектуальных средств измерений. Ознакомиться с ней будет полезно студентам, магистрам, аспирантам. Содержание Введение Глава 1. Проблемы принятия формализованных решений в прикладных исследованиях сложных систем 1.1. Основные свойства сложных систем. 1.2. Выбор метода описания, адекватного основным определяющим свойствам описываемой системы, процесса или объекта. 1.3. Адекватность описания реальной действительности по категориям частное и общее. 1.4. Отображение в математических моделях системно-структурных свойств предметной области. 1.5. Программное обеспечение получения формализованных решений. Выводы. Глава 2. Прикладной линейный регрессионный анализ 2.1. Общая методика регрессионного анализа. 2.2. Система предпосылок регрессионного анализа и ее выполнение при проведении прикладных исследований. 2.3. Ортогональное представление главных эффектов и взаимодействий в многофакторных математических моделях. 2.4. Интерпретация полученного формализованного описания предметной области. 2.5. Требования к структуре получаемых математических моделей. 2.6. Методы получения структуры формализованного описания реальной действительности. 2.7. Устойчивость (корректность) структуры математической модели и значений оценок коэффициентов. 2.8. Система критериев качества многофакторного уравнения регрессии. 2.9. Проверки многофакторных статистических моделей по основным критериям качества. Выводы. Глава 3. Формирование наилучших исходных условий получения многофакторных статистических моделей 3.1. Принципы получения линейных относительно параметров полиномиальных математических моделей (в вещественном евклидовом пространстве). 3.2. Устойчивость математического моделирования реальной действительности. 3.3. Проблема плохо обусловленных систем и, как следствие ее, некорректно поставленных задач. 3.4. Статистические свойства схем полного и дробного факторного эксперимента. 3.5. Условия получения «наилучших» статистических моделей для случая дробного факторного эксперимента. 3.6. Формирование плана эксперимента на основе условия пропорциональности частот уровней факторов. 3.7. Синтез последовательных многофакторных квази-D-оптимальных планов экспериментов. 3.8. Планирование эксперимента на основе ЛПτ равномерно распределенных последовательностей. Выводы. Глава 4. Формализованный выбор устойчивых структур многофакторных статистических моделей 4.1. Алгоритмическое получение структуры формализованного описания. 4.2. Критерии выбора структурных элементов статистических моделей и формирование структуры математической модели. 4.3. Последовательный поиск структуры математической модели. Выводы. Глава 5. Топологический метод устойчивого оценивания статистических моделей в условиях исходной мультиколлинеарности факторов 5.1. Рассмотрение факторного пространства как метрического и топологического пространств. 5.2. Топологическое отображение прообраза в образ и условия отображения. 5.3. Возможные способы топологического отображения прообраза планирования эксперимента в образ математического моделирования. Выводы. Глава 6. Устойчивое оценивание статистических моделей с линейными ограничениями факторного пространства 6.1. Алгоритмы RASTA4 и RASTA5.1 отображения области прообраза в область образа при линейных ограничениях факторного пространства. 6.2. Вычислительный эксперимент по устойчивому оцениванию коэффициентов регрессионных моделей для нестандартных областей факторного пространства с линейными ограничениями. 6.3. Использование алгоритма RASTA4 для вырожденных областей факторного пространства с линейными ограничениями. Выводы. Глава 7. Устойчивое оценивание статистических моделей с криволинейными ограничениями факторного пространства 7.1. Алгоритм RASTA4K отображения области прообраза в область образа при криволинейных ограничениях факторного пространства. 7.2. Вычислительный эксперимент по устойчивому оцениванию коэффициентов регрессионных моделей для нестандартных областей двухфакторного пространства с криволинейными ограничениями. 7.3. Вычислительный эксперимент по устойчивому оцениванию коэффициентов регрессионных моделей для нестандартных областей трёхфакторного пространства с криволинейными ограничениями. 7.4. Использование алгоритма RASTA4K при линейных и криволинейных ограничениях образа. 7.5. Общие свойства преобразований факторного пространства. Выводы. Глава 8. Устойчивое оценивание статистических моделей в произвольных выпуклых областях факторного пространства 8.1. Алгоритм RASTA10 квазиортогонального планирования эксперимента в произвольной выпуклой области факторного пространства. 8.2. Реализация квазиортогонального планирования эксперимента в произвольной выпуклой двумерной области факторного пространства. 8.3. Информационные свойства многофакторных уравнений регрессии, полученных из исходных некорректных условий. Выводы. Глава 9. Использование фиктивных факторов, аргументов сложных функций и оптимальных координат факторного пространства для устойчивого оценивания статистических моделей 9.1. Алгоритм RASTA13 устойчивого оценивания коэффициентов статистических моделей с использованием фиктивных факторов. 9.2. Использование аргументов сложных функций для устойчивого оценивания статистических моделей. 9.3. Выбор оптимальных координат факторного пространства для квазиортогонального оценивания статистических моделей. Выводы. Глава 10. Прикладное решение задач устойчивого оценивания многофакторных статистических моделей 10.1. Информационная коррекция переменных систематических погрешностей средств измерений и измерительных информационных систем. 10.2. Многофакторное математическое моделирование и компромиссная оптимизация технологического процесса электроэрозионной прошивки отверстий. 10.3. Многофакторное математическое моделирование модульной сборки многоэлементных конструкций. 10.4. Математическое моделирование избирательного переноса в измерительных механизмах. Выводы. Заключение Приложение А. Каталог многофакторных регулярных планов экспериментов. Приложение Б. Каталог ЛПτ равномерно распределенных последовательностей. Краткий словарь математических терминов. Список литературы. Именной указатель. Предметный указатель.