Для самых первых вычислений древние цивилизации применяли мелкие камушки; похожими маленькими глиняными предметами пользовались и эламиты. Чтобы счеты не потерялись, эламиты хранили их в специальных шарах с ямками
| Вид материала | Документы |
- Лист вопросов по Истории Древнего Мира для учеников 6-х классов, 16.56kb.
- Литература Древние цивилизации. / Под ред. Г. М. Бонгард-Левина. М., 1989, 263.7kb.
- Выполнил студент 1 группы, 286.61kb.
- История языков программирования, 353.75kb.
- Баданин М. А. – Древние цивилизации и пророки, 2878.51kb.
- Всероссийская олимпиада школьников по химии Муниципальный этап, 24.84kb.
- Рассказы по истории, 377.11kb.
- Программы культурного обмена и их роль в формировании личности современного менеджера, 37.29kb.
- Реферат по теме: Горячие источники, 1399.32kb.
- Мама! Самый главный и самый дорогой человек на земле. Инет человека ближе и роднее, 15.84kb.
Для самых первых вычислений древние цивилизации применяли мелкие камушки; похожими маленькими глиняными предметами пользовались и эламиты. Чтобы счеты не потерялись, эламиты хранили их в специальных шарах с ямками. Числовое значение обозначалось зазубринами на поверхности шара; на шар так же иногда ставили круглую печать, как гарантию достоверности. Строго говоря зазубрины являются первыми графическими символами, обозначающие цифры. Эти символы вскоре начали выцарапывать на маленьких глиняных табличках, пока цифры не стали обозначаться более удобными знаками.
Вскоре инструментом счета у древнего пещерного человека в верхнем палеолите, были пальцы рук. Сама природа предоставила человеку сей универсальный счетный инструмент. У многих народов пальцы (или их суставы) при любых торговых операциях выполняли роль первого счетного устройства. Для большинства бытовых потребностей людей их помощи вполне хватало.
К счету по пальцам рук восходят многие системы счисления, например пятеричная (одна рука), десятеричная (две руки), двадцатеричная (пальцы рук и ног), сорокаричная (суммарное число пальцев рук и ног у покупателя и продавца). У многих народов пальцы рук долгое время оставались инструментом счета и на наиболее высоких ступенях развития.
У нас в быту до сих пор используется счет мелких предметов «пятками»: пуговиц, шурупов, крупных семян, огурцов, яиц, чеснока и т.д. В царской России чеканились золотые монеты номиналом в 5, 10 и 15 рублей (империал).
Однако в разных странах и в разные времена считали по-разному.
Несмотря на то - что у многих народов кисть руки является синонимом и фактической основой числительного «пять», у различных народов при пальцевом счете от одного до пяти указательный и большой пальцы могут иметь разные значения.
Например, у итальянцев при счете на пальцах рук большой палец обозначает цифру 1, а указательный – метит цифру 2, когда же считают американцы и англичане, указательный палец означает цифру 1, а средний -2, в этом случае большой палец представляет цифру 5. А русские начинают счет на пальцах, первым загибая мизинец, и заканчивают большим пальцем, обозначающим цифру 5, при этом указательный палец сопоставлялся с цифрой 4. Но когда показывают количество, выставляют указательный палец, затем средний и безымянный.
Когда же совершался магический счет у древних египтян, они держали открытые ладони перед лицом, ведя счет от большого пальца правой руки до большого пальца левой руки.
Североевропейский пальцевой счет позволял показывать пальцами одной руки, складываемыми в различные комбинации, все числа от 1 до 100. Причем большим и указательным пальцами изображались десятки, остальными тремя - единицы . Например, число 30 получалось, когда большой и указательный пальцы левой руки были соединены в кольцо. Для того чтобы изобразить число 60, большой палец нужно согнуть и как бы склонить его перед указательным, нависающим над ним. Чтобы показать число 100, нужно было прижать выпрямленный большой палец снизу к указательному и отвести остальные три пальца в сторону.
По свидетельству древнеримского историка Плиния – старшего, на главной римской площади – Форуме была воздвигнута гигантская фигура двуликого бога Януса. Пальцами правой руки он изображал принятое в то время обозначение в Риме числа 300 (соединение большого пальца и указательного в кольцо), пальцами левой руки – 55 (загнут большой и средний). Вместе это составляло число дней в году в римском календаре.
То обстоятельство, что в Англии первые десять чисел в средние века называли общим именем – «пальцы», подтверждает распространенность счета на пальцах и у англичан. Видимо, неслучайно и то, в древнерусской нумерации единицы назывались «перстами», десятки-«суставы», а все остальные числа – «сочислениями»
Счет парами вплоть до середины XVIII века всегда занимал важное место в жизни россиян, поскольку имел качественное происхождение – пара рук, ног, глаз и пр. Недаром говорили: «два сапога – пара», «двугривенный» и т.д.
Обычно счет парами велся во всех торговых сделках, при продаже мелким оптом яиц, яблок или галантерейных изделий. Индивидуальная мера потребления порционного чая в трактире назывались «парой чая», а торговая мера необходимого и достаточного количества молока для городской семьи, проживавшей в XIX столетии Москве, составляла «пару(крынок)молока».Естественной мерой расстояния , связанной с землемерием и ножными промерами русских землепроходцев, являлся сдвоенный или «парный шаг» (равный одной маховой сажени). В торговых операциях с шелковой тканью, привозимой из Турции, всегда использовался так называемый русский локоть (именуемый также парным или «большим локтем»). Дело в том, что в те времена материя приготавливалась в виде узких полос, которые удобно было отмеривать, наматывая на руку, - начиная со сгиба большого пальца, - оборачивая ее вокруг локтя и снова натягивая ее до большого пальца. Длина полного оборота материи вокруг «локтя» давала особую единицу меры – «двойной локоть», который вошел у нас в употребление с XV века и получил название «русский локоть» или «аршин».
Счет тройками появился на Руси в результате ее контактов с Византией, Золотой Ордой и Древним Китаем (происходя от личных местоимений «я», «ты», «он»). Этот счет у нас не прижился, за исключением, пожалуй, традиции запрягать лошадей в тройку да православного обычая креститься тремя перстами. Правда, напоминанием об этой эпохе еще могут служить пятиалтынные монеты достоинством в 15 копеек (выпускавшиеся и в Советском Союзе), шестиденежный алтын (трехкопеечные монеты, равные шести деньгам московским или трем медным копейкам новгородским) и червонцы в виде трехрублевых монет, выпускаемых в России с 1701 года.
Счет четверками произошел от древнего – двоичного счета. Остатки этой системы счисления прослеживаются в музыкальной нотации (например, октава делится на два тетрахорда), в названии русской меры жидкостей – «четверть», в делении года на четыре сезона и т.п.
Четверичная система счета основана на «перстах» руки, не считая большого пальца. Большой – вовсе не «перст», он «палесъ»! В этой системе счисления означал конец счета, то есть являлся эквивалентом нуля. Кстати, и в английском языке те же четыре пальца называются словом “fingers” а большой палец – “ thumb” , что соответствует русскому «Дыбъ» или «дыба» ( дословно: «стоящий позади» палец).
Система счисления первобытных людей, рисовавших палочки на стенах пещеры или делавших зарубки на костях животных и ветках деревьев, не забыта и в наши дни. Об этом свидетельствуют сержантские полоски в армии или количество нашивных полосок на рукаве курсантского мундира, соответствующих курсу обучения в военном вузе.
Пальцевой счет шестерками на Руси практически не использовался. Однако с шестеричной системой счисления Древняя Русь познакомилась в XI – XIII веках в северном Причерноморье через так называемый византийский счет, в котором число «шесть» почему – то являлось Клюевым. Нам же о тех временах на память остались несколько слов: «шестерик» или «шестак» (полдюжины или шесть штук), «щестидланный локоть» (54 см) да девичья коса длиною шесть кулаков («шестидланная» или «шестиручная» коса), одним словом «шестиручка» в 12 вершков (то есть «верхов перста»).
Счет восьмерками также основан на пальцевом счете и, по сути, является сочетанием двоичной четверичной систем. Элементы восьмеричной системы существовали на Руси еще в начале XX столетия. Это и восьмиконечный крест, который использовали староверы,и восьмиголосное церковное пение, и название русской питейной меры – «осьмушки», получаемой в результате последовательного троекратного деления пополам. В русской народной метрологии – это вообще деление какой – либо учетной нераздельной меры (например, куска пахотной земли, сажени или ведра вина) на части, соответствующие ½, ¼, и 1/8 долям.
Восьмеричная система счисления лежит в основе всех натуральных музыкальных ладов (октава) и была единственной до появления в XIII веке хроматической гаммы. Переход от восьмеричной к десятеричной системе на Руси оставил след и в слове «девяносто»- попытке комбинации восьми- и десятеричной систем.
Пальцевой счет девятками является, пожалуй, самым распространенным русским народным способом умножения на пальцах с помощью так называемых девятериц – своеобразной таблицы умножения, обозначающей девятилетние сроки человеческой жизни. Наши предки в древности какое-то время считали девятками (впрочем, похоже, что они все-таки считали восьмерками, а с девяти начинался уже новый отрезок счета). С тех пор прошло не менее семи – девяти столетий, но мы до сих пор трепещем перед грозным «девятым валом» или устраиваем поминки по усопшему на девятый день после кончины.
Кстати, «девяносто» до 1398 года порой писалось как «девятьдесять». Вспомним также популярный сказочный адрес, по которому традиционно отправлялись на подвиги герои тридевятое царство, тридесятое государство.
Счет десятками возник около 3 – 2,5 тысячи лет до нашей эры в Древнем Египте. Претерпев небольшие изменения, древне-египетская десятеричная система сначала обосновалась на востоке (в Индии примерно к 6 веку нашей эры, более известная как индийский счет), а затем через весьма активную торговлю в XI – XIII веках достигла пределов Древней Руси. От Орды Русь переняла десятичную систему счисления для весовых измерений и денежного счета, опередив в этом даже Европу, которая познакомилась с десятеричной системой счисления через арабов только в XIII веке, а усвоила ее и того позже.
Однако окончательно эта система счисления прижилась в России вместе с реформами Петра I, пришедшими к нам из Европы.
Древнерусский способ умножения на пальцах является одним из наиболее употребительных методов, которым успешно пользовались на протяжении многих столетий российские купцы. Они научились умножать на пальцах однозначные числа от 6 до 9. При этом достаточно было владеть начальными навыками пальцевого счета «единицами», «парами», «тройками», «четверками», «пятерками» и «десятками». Пальцы рук здесь служили вспомогательным вычислительным устройством.
Для этого на одной руке вытягивали столько пальцев, на сколько первый множитель превосходит число 5, а на второй делали тоже самое для второго множителя. Остальные пальцы загибали. Потом бралось число (суммарное) вытянутых пальцев и умножалось на 10, далее перемножались числа, показывавшие, сколько загнуто пальцев на руках, а результаты складывались.
Счет дюжинами ведет свое начало от счета по фалангам пальцев рук. При этом большой палец играл роль счетчика, при помощи которого пересчитывались фаланги других пальцев. Двенадцать получается, если, на пример, начать с нижней фаланги указательного пальца и закончить верхней фалангой мизинца. Причем у разных европейских народов в торговле укоренился счет дюжиной дюжин («гроссом»), пятеркой дюжин, то есть «шестидесятками», и даже дюжиной гросса, то есть «массой».
Двенадцатеричная система счисления была когда–то широко распространена у многих народов. Узаконить счет дюжинами и гроссами пытался еще шведский король Карл XII (тот самый, которого русские войск разгромили под Полтавой в 1709 году).
До недавнего времени у нас, в России, некоторые предметы (например, носовые платки, перья, карандаши, школьные тетрадки) принято было считать дюжинами. До сих пор вилки, ножи, ложки продают дюжинами, а посудные сервизы (чайные и столовые) по традициивсе еще составляют из 12 комплектов. В наборы мебели до недавнего времени непременно входило 12 стульев или кресел. Год мы делим на 12 месяцев, а сутки – на 24 часа, которые в повседневной жизни предпочитаем все же считать по 12 дневных и ночных.
Счет шестидесятками также был связан со счетом на пальцах. Впервые он появился еще у шумеров в III тысячелетии до н.э. в Месопотамии (междуречье) и затем был перенят вавилонянами, отчего и вошел в историю как вавилонская система счисления. Такой способ счета присутствовал и в древнерусских мерах длины (об этом, например, свидетельствует деление новгородского мерного «локтя» на 60 зарубок).
В Древней Руси (особенно в Новгородской республике XII – XV веков) был широко распространен счет, основанный на счислении числа фаланг на руке «счетовода». Счет начинался с верхней фаланги «перстка» (мизинца) левой руки, а заканчивался нижней фалангой («низ перста») указательного пальца. Большой, или «палесъ великий», левой руки при этом последовательно осуществлял « подсчет» суставов на растопыренной пятерне. Досчитав до двенадцати, «счетовод» обращался к своей правой руке и загибал на ней один палец. Так продолжалось до тех пор, пока все пальцы правой руки не оказывались сжатыми в кулак (поскольку число фаланг не четырёх пальцах было равно 12, получалось 12 пятерок, то есть 60). Кулак в данном случае символизировал пятерку дюжин, то есть «шестьдесят».
Отголоски древней шестидесятеричной системы счисления до сих пор остаются у нас в виде деления окружности на 360 градусов (1 градус равен 60 минутам, минута – 60 секундам). Следуя примеру вавилонян в счислении времени, мы до сих пор и час делим на 60 минут, а минуты на 60 секунд.
Но самое удивительное то, что следы пальцевого счета шестидесятками сохранились почти до наших дней. Еще несколько десятилетий тому назад на рынках Украины, Польши, Прибалтики и Германии можно было встретить продавцов яиц, яблок, груш, грибов и т.д., раскладывавших свой товар на копы – кучи, по 60 штук в каждой.
Счет сороками (или «сороковицами») имел преимущественное распространение в Древней Руси. Число 40 (четыре десятка) долгое время называли «четыредцать» или «четыредесят». Но восемьсот лет тому назад для обозначения этого множества на святой и православной Руси впервые появилось название «сорок». До сих пор ученые спорят, откуда взялось это слово. Они полагают, что его истоки находятся в греческом названии числа 40 – «тессаконта», другие утверждают, что оно появилось, когда Русь платила дань «сороковинами» (ежегодная ордынская подать, равная сороковой части наличного имущества). Третья группа исследователей убеждена, что это слово произошло от так называемых меховых денег и названия «сорочка». Поэтому наши предки, например, на Русском Севере считали «сороками», а их собратья – сибирские звероловы вели счет «сорочками», то есть мешками для пушнины, в которых хранились звериные шкуры (преимущественно по 40 штук беличьих шкурок или по 40 собольих хвостов, шедших в XVI веке на пошив одной боярской шубы, именовавшейся «сорочкой»).
Число 40 обладало у нас особым значением, например, сорокадневные периоды, упоминаемые в Священном Писании, в пуде содержалось 40 фунтов, в мерной бочке – 40 ведер, в указанном ведре – 40 косушек и т.д.
О том, что число 40 на Руси когда-то играло особую роль при пальцевом счете, говорят и некоторые связанные с ним поверья. Так, сорок первый медведь считался роковым для российского охотника, убить паука – означало избавиться от сорока грехов и т.д. Все то количество, которое превышало некое множество (например, «сорок»), превосходящее всякое воображение («сорок сороков») умещавшееся в голове российского землепашца из-за своей ничем не ограниченной величины, называлось одним словом – «тьма».
Строго говоря, в Древней Руси тьмой называли, кроме того, еще и число 10 000 и «великое» число 1 000 000. Не вызывает сомнения, что предки наши были знакомы и с большими числами, для которых использовались специальные названия число «тьма тем» (то есть миллион миллионов) называлось «легион», число «легион легионов» называли «леодр», «леодр леодров» называли «вороном», а число 1049 – «колодой». И лишь «более сего несть человеческому уму разумевати», то есть лишь для больших чисел у россиян в XVII веке не существовало названий.
Это вычисление ведет свое начало отсчета по суставам пальцев сибирских звероловов, которые таким манером вели учет общего количества звериных шкур («сороков»), подлежащих бартеру (мене) на другие товары. Большим пальцем правой руки, используемым в качестве счетчика, сибирский охотник пересчитывал каждую пару суставов на четырех оставшихся пальцах и, насчитав таким образом восемь единиц, загибал один палец левой руки. Очевидно, что операция счета кончалась, когда были загнуты все пять пальцев левой руки, что давало пять восьмерок, одну «сорочку» или число «сорок». В соответствии с русскими народными представлениями об «устройстве» тела человеческого первые две фаланги указательного пальца назывались «верхом перста» (или «вершком»), среднего – «кутыркой», а мизинец получил название «персток». Сама же нижняя фаланга пальца именовалась «низом перста», «корневой», «корнем перста» или «коренным суставом», реже – «доловым суставом».
К слову сказать, в таможенной грамоте 1586 года «сороками», например, были считаны шкурки соболей и куниц, преподнесенные австрийскому цесарю Рудольфу от царя Федора Ивановича в счет платы за ведение войны с турками.
По-видимому, число 40 долгое время ассоциировалось с понятием «конец счета» и порой служило названием неопределенно большого множества. Неслучайно в русском языке слово «сороконожка» всегда имело смысл «многоножки». Московские церкви считались также «сороками». Еще в XVII веке говорили что в Москве «сорок сороков церквей», хотя на самом деле их было всего порядка ста.
Тело человека как живая счетная машина настолько тесно оказалось связанным со счетом, что на древнегреческом языке само понятие «считать» выражалось словом «пятерить». Да и в русском языке слово «пятерить» прежде означало способность к «увеличению», «приумножению» или счету пятерками, другими словами – умению осуществлять счет по пальцам рук.
Пальцевой счет, унаследованный от далеких предков, сохранился вплоть до настоящего времени и активно используется, например, судьей на боксерском ринге при отсчете секунд во время нокаута или на товарно-сырьевой бирже где-нибудь в Чикаго или Токио. Да и в быту он не забыт. И сегодня мы сгибаем (а американцы, наоборот, разгибают) пальцы, в споре показывая оппоненту ради большей убедительности количество аргументов в пользу своей позиции.
Первые нумерации. Так как людям все чаще приходилось сталкиваться с большими числами, запомнить которые трудно или даже невозможно. Нужно было придумать, как их записывать
Мы знаем, что первым способом «записи» чисел были зарубки на палке. Хорошо если число небольшое – десятки или, в крайнем случае, сотни. А если тысячи? Пока сосчитаешь зарубки, чтобы «прочитать» число, пройдет больше часа. Очень неудобная «запись»! И вот примерно пять тысяч лет назад почти одновременно в разных странах – Вавилонии, Египте, Китае – родился новый способ записи чисел. Только нужно сначала разобраться, как считаем сейчас мы.
Мы пользуемся всего десятью цифрами, но с помощью этих десяти значков – цифр – можем записать любое число. Так вот около пяти тысяч лет назад люди додумались до того, что числа можно записывать не просто зарубками – единицами, а по разрядам: отдельно единицы, отдельно десятки, отдельно сотни. Это было очень важным открытием. Считать и записывать числа теперь стало гораздо легче.
Одна из древнейших нумераций египетская. До нас дошли надписи, сохранившиеся внутри пирамид, на плитах и обелисках. Они состоят из картинок – иероглифов, которые изображают птиц, зверей, людей, части человеческого тела (глаза, ноги) и различные неодушевленные предметы. Такой способ письма вообще характерен для ранних ступеней культуры. Сначала были разгаданы письма древних египтян, затем вавилонская клинопись. В 30-х годах нашего века были прочитаны долго не поддававшиеся расшифровке хеттские надписи. Сохранились два математических папируса позволяющих судить о том, как считали древние египтяне. Один из них хранится в Британском музее в Лондоне, а другой - в Музее изобразительных искусств им. А. С. Пушкина в Москве. Для записи чисел древние египтяне употребляли иероглифы, означающие (последовательно): единицу, десять, сто, тысячу, десять тысяч, сто тысяч (лягушка), миллион ( человек с поднятыми руками), десять миллионов.
Полагают, что иероглиф для сотни изображает мерительную веревку, для тысячи – цветок, для десяти тысяч поднятый к верху палец, а для десяти миллионов – всю Вселенную. Все остальные числа из основных с помощью только одной операции – сложения. При этом запись производилась не слева направо, как у нас, а справа на лево. Число 15, например, записывалось так: А число 444 писали так.
Мы видим, что древнеегипетская нумерация походит на римскую, только при записи чисел не употребляется вычитание. Знакомясь с римской нумерацией, мы убедились, что умножать числа, записанные, в непозиционной системе, очень неудобно. Как считали древние египтяне? Оказывается умножение и деление они производили путем последовательного удвоения чисел. Пусть, например, надо умножить 19 на 37. Египтяне последовательно удваивали число 37, причем в правом столбце записывали результаты удвоения, а в левом - соответствующие степени двойки:
| 1 | 37 | 8 | 296 |
| 2 | 74 | 16 | 592 |
| 4 | 148 | | |
Удвоение продолжалось до тех пор, пока не оказывалось, что из чисел левого столбца можно составить множитель (в нашем примере: 19=1+2+16). Египтяне отмечали соответствующие строки вертикальными черточками и складывали те числа, которые стоят в этих же строках справа. В данном случае надо сложить 37+74+592=703. Так получали произведение.
Если теперь число 703 нужно было разделить на 19, то египтяне начинали последовательно удваивать множитель и продолжали это до тех пор, пока числа правого столбца оставались меньше 703. Затем из чисел левого столбца они пытались составить делимое, и тогда сумма чисел в левом столбце давала частное:
| 1 | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 |
| 19 | 38 | 76 | 152 | 304 | 608 |
В данном случае 703=608+76+19, т. е. частное будет 1+4+32=37. Если бы делимое не делилось без остатка на делитель, то его не удалось бы составить из чисел правого столбца. У нас бы получилось и частное и остаток. Египетский способ умножения не труден, но требует очень большого количества операций, даже при умножения двухзначных чисел. Если бы пришлось перемножать таким способом трехзначные или четырехзначные числа, мы не могли бы обойтись без помощи счетной машины. Заметим также, что для умножения и деления египтяне пользовались фактически представлением числа по двоичной системе.
В древнем Вавилоне считали шестидесятками. Математик сказал бы. Что система счета была там не десятичная, как у нас, а шестидесятеричная. Число шестьдесят играло у них такую же роль, как у нас десять. Например, число 137 вавилонский представлял себе так: 2 шестидесятки+ 17 единиц=137.
Конечно, записывал он это число не так, как мы. Вавилоняне пользовались всего двумя цифрами. Вертикальная чёрточка обозначала одну единицу, а угол из двух лежачих черточек – десять. Эти черточки у них получались в виде клиньев, потому что вавилоняне писали острой палочкой на сырых глиняных дощечках, которые потом сушили и обжигали.
Вавилонская запись чисел была не очень удобной. Скучное занятие – рисовать много клинышков или уголков подряд, чтобы записать число двумя знаками. А если число было большое, то нередко происходила путаница, потому что специального значка для обозначения разряда 60 не было. И, например, число 3600 изображалось, как и единица, вертикальным клином.
Очень интересная система счета была у народа майя. Они считали двадцатками – у них была двадцатеричная система счета. Числа от 1 до 20 обозначались точками и чёрточками. Если под числом был нарисован особый значок в виде глаза, это значило, сто число надо увеличить в 20 раз. Получались уже не единицы, а двадцатки, второй разряд. Если глаз был нарисован дважды, то число надо было дважды умножить на двадцать. Это был третий разряд – четырёхсотки. Выходит, что изображение глаза играло у майя ту же роль, что у нас цифра нуль. Только они рисовали глаз не рядом с числом, а под ним.
Китайцы, как и египтяне, пользовались десятичной системой счета. Вот здесь вы видите китайские иероглифы – цифры.
Вы видите, что кроме цифр от 1 до 9 там есть еще значки для 10, 100 и 1000. Если справа от цифры стоит значок «10», - значит, цифру надо умножить на 10. Получаются десятки, второй разряд.
В те далекие времена людей на земле было еще мало, гораздо меньше, чем сейчас.
В степях где, росло много травы, жили редкие племена кочевников – скотоводов. Каждый раз, когда стада съедали и вытаптывали траву в ближайшей округе, им приходилось перебираться, перекочевывать на новое место.
Домов кочевники не строили, жили в палатках из шкур, или юртах, которые возили за собой.
В долинах рек – на самых плодородных местах – люди обрабатывали землю.
Народы – земледельцы уже не кочевали с места на место, а жили большими селениями, из которых потом выросли первые города. Собрать хороший арожай, конечно, не просто. Надо уметь обработать землю, выбрать и вовремя посеять семена, выпалывать сорняки, поливать. Земледельцам приходилось отводить воду из рек на поля, прорывать каналы, да так, чтобы вода текла туда, куда нужно. В тех местах, где поля были выше реки, надо было поднимать воду наверх.
Приходилось ломать голову над тем, как облегчить эту тяжелую работу.
Народам – земледельцам, для того чтобы прожить и прокормиться, нужно было знать гораздо больше, чем кочевникам – скотоводам. Жизнь заставляла их учиться быстрее. Поэтому у земледельческих народов математика из набора отдельных простейших правил постепенно стала превращаться в науку.