Аудит / Институциональная экономика / Информационные технологии в экономике / История экономики / Логистика / Макроэкономика / Международная экономика / Микроэкономика / Мировая экономика / Операционный анализ / Оптимизация / Страхование / Управленческий учет / Экономика / Экономика и управление народным хозяйством (по отраслям) / Экономическая теория / Экономический анализ Главная
Экономика
Информационные технологии в экономике
| Бараз В.Р.. Корреляционно-регрессионный анализ связи показателей коммерческой деятельности с использованием программы Excel, 2005 | |
2.3. Метод наименьших квадратов |
|
|
Для определения коэффициентов уравнения регрессии b применяют разные методы (графический, метод средних), однако наибольшее распро-странение получил метод наименьших квадратов (МНК). Пусть обсуждается некоторая зависимость y = fx), которая отражает какой-то процесс, имеющий плавное течение, и поэтому все параметры системы изменяются постепенно, без скачков. В этих случаях экспериментальные точки, нанесенные на графике, должны бы укладываться на некоторую плавную кривую (в частном случае, прямую). Однако на практике определенный разброс экспериментальных точек всегда наблюдается, что связано с изменчивостью (ошибками) регистрируемых измерений. Понятно, что такого разброса удалось бы избежать, если бы результаты измерений оказались совершенно свободными от ошибок, и тогда точки, отвечающие этим результатам, строго ложились бы на соответствующую плавную кривую, или прямую линию. Поэтому все процессы, которые имеют заведомо плавное течение, принято изображать также плавными кривыми, проводя их не через точки, а так, чтобы кривая проходила по возможности ближе ко всем точкам на гра-фике. Однако такое указание оставляет при построении кривых определенный произвол. Его частично можно устранить основным положением МНК: сумма квадратов отклонений si экспериментальных точек от кривой по вертикальному направлению, т.е. сумма квадратов величин si, должна быть наименьшей (Zsi = минимум). Или иначе - сумма квадратов отклонений известных (экспериментальных) значений исследуемой функции и соответствующих значений аппроксимирующей функции (теоретическими показателями) должна быть наименьшей. Довольно часто при описании аппроксимирующей функции ограничиваются простым видом полиноминальной зависимости, полагая ее линейной, т.е. в виде уравнения прямой y = b0 + b1x. Здесь свободный член b0 характеризует сдвиг и равен тому значению у, которое получается при х = 0, а коэффициент b\ определяет наклон линии. Отыскание коэффициентов b0 и b\ осуществляется по МНК. Пусть имеется n экспериментальных точек (n пар наблюдений): (xi, У1); (x2, y2);... ( xn, yn). Введем следующие обозначения: yi - это измеренные (экспериментальные) значения изучаемого параметра, а yi - его теоретические (рассчитанные по уравнению) показатели. Предположим, что экспериментальные точки на графике укладываются так, что по ним вполне возможно провести прямую линию (рис.11). Значения функции yi в этом случае можно записать в виде линейного уравнения: yi = b0 + b1 xt . Расстояние по ординате (вертикали) от точки yi до прямой составит: b0 + b1 x; - y; = si, где b0 + b1 xi = yt - рассчитанное (теоретическое) значение функции; yi - ее измеренное (опытное) значение и si - разница (расстояние) между yi и yt. Экспериментальные (измеренные) Отклонение yi >m yt значения / yt Рис. 11. Схематическое пояснение содержания метода наименьших квадратов В соответствии с МНК полагаем, что искомая прямая будет наилуч- 2 2 шей, если сумма квадратов всех расстояний (bo + b xt -y) = S окажется наименьшей. Минимум этой суммы ищется по правилам дифференциального исчисления. В результате для определения b0 и b, используются следующие уравнения: n n n n Z Xi2 Z У -Z X Z ХгУг bo = i =1 i=1 i=1 i=1 n n i=1 2 fl I fl Z x>- Z x V i=1 J n n n nZ xy -Z x Z y n n i=1 1 r n Л2 Z x2 - Z x V i=1 Особенности МНК: Этот метод не дает ответа на вопрос о том, какого вида функция лучше всего аппроксимирует конкретные экспериментальные точки. Вид интересующей нас функции должен быть задан на основе каких- то физических или экономических соображений (либо специальным образом отыскан). МНК позволяет лишь выбрать, какая из прямых (парабол, экспонент) является лучшей прямой (параболой, экспонентой) для прогнозирования. Вычисления по МНК являются достаточно громоздкими, поэтому основная нагрузка - на компьютерные программы. МНК является достаточно точным приемом и позволяет получить вполне надежные результаты. Одновременно он является интерполяционным методом, поскольку обеспечивает с определенной вероятностью предсказание любых значений yi в интервале изученных значений xi. Напомним, что экстраполяционный метод (в отличие от интерполяционного) дает возможность предсказывать результаты за пределами изученной области. После того как уравнение регрессии найдено, необходимо определить его статистическую пригодность, т. е. выяснить, насколько оно верно (надежно) предсказывает в интервале х1; х2; ... xn экспериментальные результаты для у. Подобную оценку принято называть проверкой на значимость или адекватность. |
|
| << Предыдушая | Следующая >> |
| = К содержанию = | |
Похожие документы: "2.3. Метод наименьших квадратов" |
|
|