Создание метода наименьших квадратов восходит к трудам Карла Фридриха Гаусса в конце XVI11 и начале XIX века в области исследований по астрономии. Математический метод был открыт в связи с необходимостью обработки неравноценных наблюдаемых данных.
В дальнейшем применил способ наименьших квадратов и развил теорию ошибок Пьер Симон Лаплас. Также существенный вклад в развитие метода внес Адриен Мари Лежандр.
Этот метод приобрел самую широкую известность благодаря фундаментальным трудам многих статистиков и
9
математиков и его применению в экономико- статистических расчетах.
Рассмотрим метод наименьших квадратов на простом примере зависимости между двумя переменными х и у, причем у зависит от х. Если установлено, что связь ме-
жду ними криволинейная и описывается параболой, т.е. полиномом второй степени, с параметрами o^aj^ :
у = а0 +а1х + а2х2,
то задача сводится к отысканию неизвестных трех параметров.
При числе наблюдений (количестве уровней в ря-дах) п, значения величин х и у представлены двумя рядами данных:
У1,У2>->Уп
xj,x2,...,xn
Если бы все значения, полученные по данным наблюдения, лежали строго на линии, описываемой уравнением параболы, то для каждой точки было бы справедливо следующее равенство:
у(-а0-аЛ-а2х2 =0. Однако в действительности
у(-а0-аЛ-а2х2 = Д(,
которое существует вследствие ошибок измерения и слу-чайных неучтенных факторов. Необходимо найти такие коэффициенты регрессии, чтобы ошибка была минимальной. Можно минимизировать сумму абсолютных (по модулю) отклонений или сумму кубических отклонений или наибольшую абсолютную ошибку. Однако оптимальным подходом является минимизация квадрата отклонений
S=^A2 => min .
t=i
Минимизация квадратов отклонений обладает тем свойством, что число нормальных уравнений равно числу неизвестных параметров. Минимизация суммы
п п
Z = Z (yt ~a0~aiXt- а2=> min
t=1 t= 1
дает три уравнения для каждого из трех параметров. Для нахождения значений неизвестных параметров необходимо
приравнять нулю частные производные указанной суммы по этим параметрам:
SS
ж = -2^(у - а0 -ахх -а2х2) = О
дас SS
(4.10)
= -2У](у-а0 -а1х-а2х1)х = 0 .
да.
dS дап
= -2^ (у-а{) -а1х-а2х2)х2 = О
Проведение простейших преобразований приводит к системе нормальных уравнений:
a^x + a^+aJV^x . (4.11)
а,
,I>2 +лiZx3 +а21Х = 2>2
Решение системы линейных относительно неизвестных параметров уравнений любым из способов дает значения ц^а,. Обычно полиномы выше третьей степени практически не используются, то система нормальных уравнений такого полинома будет состоять соответственно из четырех уравнений.
МНК даже при сравнительно небольшом числе наблюдений приводит к получению достаточных оценок. Оценки могут быть точечными и интервальными. Точечные оценки обладают свойствами несмещенности, эффективности, состоятельности, описанными в предыдущем параграфе.
Однако любая оценка истинного значения параметра по выборочным данным может быть произведена только с определенной степенью достоверности. Степень этой достоверности определяется путем построения доверительных интервалов.
Метод наименьших квадратов может быть использован и в случаях, когда имеются данные косвенных наблюдений, являющиеся функциями многих неизвестных. МНК является основой регрессионного анализа, используемого при выполнении предпосылок, рассмотренных выше. Также условием его применения является линейность уравнений регрессии относительно параметров. Исходя из классификации видов регрессии МНК применим для линейных и нелинейных регрессий первого класса.
|
- 18.3.1 .Доходный подход к оценке бизнеса
метода: метод прямой капитализации; метод дисконтированного денежного потока. Сущность метода прямой капитализации. Данный метод оценки предприятий используется, когда чистый доход от функционирования оцениваемого предприятия прогнозируется стабильным в будущем периоде. Предполагается, что, капитализируя этот стабильный чистый доход по общей ставке капитализации, мы получим рыночную стоимость
- Глава 1.4. Методы экономического анализа 1.4.1. Общая характеристика методов экономического анализа
методом в широком смысле слова понимают способ подхода к изучению реальной действительности, способ исследования явлений природы и общества. Под методом экономического анализа понимается диалектический способ подхода к изучению хозяйственных процессов в их становлении и развитии. Характерными особенностями метода экономического анализа являются: определение системы показателей, всесторонне
- Словарь
методология в изучении коммерческой деятельности: Учебник/А.И. Харламов, О.Э. Башина, В.Т. Бабурин и др.; Под. ред. А.А. Спирина, О.Э. Башиной. - М.: Финансы и статистика, 1996. Погостинская Н.Н., Погостинский Ю.А. Системный анализ финансовой отчетности. -С.-П.: Изд. Михайлова В.А., 1999 . Практикум по финансовому менеджменту: учебно-деловые ситуации, задачи и решения/ Под ред. Е.С.Стояновой. 2-е
- 4.1. Анализ классификации затрат.
методов максимальной и минимальной точки и наименьших квадратов[14, стр.17 - 20]. Возвратные (или возмещаемые) и безвозвратные (затраты, которые возникли в результате какого-то решения в прошлом и не могут быть изменены никаким решением в будущем). Бухгалтерские (явные) и экономические (неявные, или затраты упущенных возможностей) затраты. Средние затраты на единицу продукции (работ, услуг) -
- 1.4 ОБЪЕКТЫ И МЕТОДЫ УПРАВЛЕНЧЕСКОГО УЧЕТА
метода бухгалтерского финансового учета (счета и двойная запись, инвентаризация и документация, балансовое обобщение и отчетность); индексный метод (применяемый в статистике); приемы экономического анализа (в частности, пофакторный анализ); математические методы (корреляции, линейного программирования, наименьших квадратов и др.). Управленческий учет сегодня немыслим без использования ЭВМ. Все
- ВВЕДЕНИЕ В УПРАВЛЕНЧЕСКИЙ УЧЕТ
методы - статистики, операционного анализа, цепных подстановок, факторного анализа, линейного программирования и др. Предмет - учетная, аналитическая и иная информация для целей управления. Объект - носители затрат в виде продуктов, работ или услуг, места возникновения затрат (подразделения, сегменты, центры ответственности). Управленческий учет - процесс, происходящий внутри фирмы с
- ТЕСТ N 2 (выходной контроль знаний)
методов калькулирования себестоимости операционная прибыль (прибыль от продаж) реагирует на изменения в производстве? директ-костинг; с полным распределением затрат; реагируют оба метода. Какую пользу имеет руководитель от сегментирования отчета о прибылях и убытках? повышение ответственности, оценка результатов деятельности подразделения и руководителя; "высвечивает" реальный вклад каждого
- 4.3. Рейтинговая оценка предприятия
метод сравнительной оценки деятельности нескольких предприятий. Он представляет собой официальное заключение о кредитоспособности компании или иной организации, выдаваемое специализированным агентством по кредитному рейтингу (аудиторской фирмой). В его основе лежит обобщенная характеристика по определенным критериям, позволяющая группировать предприятия в определенной последовательности по
- 2.3. Метод наименьших квадратов
методы (графический, метод средних), однако наибольшее распро-странение получил метод наименьших квадратов (МНК). Пусть обсуждается некоторая зависимость y = fx), которая отражает какой-то процесс, имеющий плавное течение, и поэтому все параметры системы изменяются постепенно, без скачков. В этих случаях экспериментальные точки, нанесенные на графике, должны бы укладываться на некоторую плавную
- 4.3. Исходные предпосылки регрессионного анализа и свойства оценок
метода наименьших квадратов требует выполнения определенных допущений или предпосылок относительно основных компонентов модели. Условием применения метода наименьших квадратов является соответствие распределения единиц совокупности по зависимому и независимому признаку нормальному закону. Пусть ставится задача описания в виде некоторой функции взаимосвязи двух переменных х и у. Предположим, что
|
Социология