Аудит / Институциональная экономика / Информационные технологии в экономике / История экономики / Логистика / Макроэкономика / Международная экономика / Микроэкономика / Мировая экономика / Операционный анализ / Оптимизация / Страхование / Управленческий учет / Экономика / Экономика и управление народным хозяйством (по отраслям) / Экономическая теория / Экономический анализ Главная
Экономика
Микроэкономика
| В. П. Бусыгин, Е. В. Желободько, А. А. Цыплаков. Лекции по микроэкономической теории, 1998 | |
1.2. Задача производителя и ее свойства |
|
|
Гипотеза, лежащая в основе модели поведения производителя заключается в том, что производитель выбирает технологически допустимый вектор чистых выпусков, максимизирующий прибыль. В терминах чистых выпусков прибыль есть скалярное произведение вектора чистых выпусков zе Z на вектор цен: pz. (Цены мы везде в дальнейшем будем считать строго положительными: р>0.) Таким образом, если производитель сталкивается с некоторым вектором цен p, то его выбор оказывается решением следующей задачи математического программирования: Задача 3. pz ^ тахге2. Существенное отличие задачи производителя (Задача 3) от задачи потребителя (Задачи 1) в том, что множество ее допустимых решений Z, как правило, не ограни-чено. Более того, для технологий с возрастающей отдачей, существование техноло- гически допустимых пар с положительной прибылью приводит к существованию допустимых решений, дающих сколь угодно большую прибыль. аналог бюджетного множества Z 1 zi * zi Рисунок 4. Иллюстрация решения задачи производителя Пример (отсутствия решения): Пусть технологическое множество имеет вид Z ={(zi, z2) | z^0, z2 + azi< 0}, цены благ равны p\, Если выбрать z2 = -a z1, то прибыль будет равна - (ap2 - р) z1. Поэтому если ap2 > p\, то прибыль неограничена сверху, и решение отсутствует. Если ap2 < р, то решение единственно - z1=0 и z2=0. Если ap2 = _р1, то решением этой задачи является любая технологически допустимая пара (z1, z2), такая что z2 + a z1= 0. Таким образом, существование решений можно гарантировать лишь при дополнительных предположениях относительно структуры множества Z. Ниже мы докажем существование решения при следующем (сильном) предположении: существует компактное множество Z', такое что Z с Z и Z с Z' - К+. (*) Рисунок 5. Иллюстрация предположения, гарантирующего существование решения задачи максимизации прибыли Заметим (что легко увидеть из предлагаемых иллюстраций рис. 5), что множет- во Z', обладающее указанным свойством, если существует, то определяется множеством Z не единственным образом.? Пусть выполнено соотношение (*). Тогда решение Задачи 3 существует при любом положительном векторе цен благ. Доказательство': Докажем, что задача максимизации прибыли на Z сводится к задаче максимизации прибыли на Z'. Пусть zeZ и z?Z'. Тогда по условию (*) найдется вектор z'eZ' такой, что z- z ^ Ф 0. Тем самым мы нашли допустимое решение, для которого прибыль больше, чем для z. Из этого следует, что нам достаточно рассматривать только zeZ'. Поскольку Z' - компактное множество, а прибыль pz непрерывна по z, то по теореме Вейерштрасса решение Задачи 3 на множестве Z' всегда существует. ж ^ Определение 2. / \ Пусть решение Задачи 3 существует и единственно для всех значений парамет- ^ ^ ров - положительных цен р. Тогда определена следующая функция, которая ста- / ^ вит в соответствие каждому вектору цен решение задачи при этих параметрах - / \ вектор zip). Будем называть ее функцией предложения. Если решение зада- / \ чи при некоторых значениях параметров неединственно, то говорят об ОТОбрЭ- ^ J жении предложения. ; \ Определение 3. ; ^ ФунКЦИЯ прибыли есть максимум целевой функции в Задаче 3: / J - Ч - Ч - Ч Я(р) =pz(p): - ч - ч - ч - ч - ч - ч - ч - ч - ч - ч - ч - ч - ч - ч - ч - ч - ч - ч - ч - ч - ч - ч - ч - ч - ч - ч - ч - ч; Функция прибыли п(р) = pz(p) аналогична непрямой функции полезности потребителя, а функция предложения z(p) - функции спроса. Докажем некоторые свойства этих функций. Утверждение 7. (Свойства функции п(р)) Функция п(р) однородна 1-й степени: п(Ар) = Ал(р). Функция п(р) выпукла. Функция п(р) непрерывна на множестве положительных цен. Доказательство: Доказательство однородности оставляем в качестве упражнения. Докажем выпуклость п(.). Пусть от некоторых двух цен p, p взята выпуклая комбинация - цена Ра = ар + (1-а)р (0<а<1). Выпуклость функции п(.) означает, что п(ра) < ап(р) + (1-а) п(р'). Учитывая условия максимизации прибыли, имеем для za = z^O): pZа< П(р),р^а< П(р'). Складывая эти неравенства с множителями а и (1-а) соответственно, получим требуемое неравенство. Выпуклость функции п(.) можно также доказать, используя тот факт, что поточечный максимум семейства выпуклых функций - выпуклая функция, заметив, что п(.) является поточечным максимумом выпуклых (линейных) функций (p,z), zeZ. 3) Непрерывность функции п(.) на множестве положительных цен следует, например, из того факта, что выпуклая функция непрерывна во внутренности ее области определения (для положительных цен в данном случае). ж Аналогом тождества Роя является следующая лемма Хотелинга. Утверждение 8. Пусть функция прибыли п(.) непрерывно дифференцируема в точке р>0. Тогда дп(р) др = ^ Доказательство: * Пусть р >0 - некоторый вектор цен. Для доказательства леммы определим две функции от от цены &-го блага р. Первая из них представляет собой прибыль как * функцию рк при условии, что остальные цены зафиксированы на уровне р -к , т.е. пк(рк) = п(р*-к, рк) = п(р*1, ..., рк-1, Рк, рк+ь ..., ?*/). * * Обозначив z = z(p ), определим вторую функцию как [(рк) = рк z* к + Е р*j z*j. j*k Она является линейной функцией рк. По определению п(р ) = р z , а это означает, что пк(р к) = g(? к). При других це- * * к нах, вообще говоря, z = z(p ) может не давать максимум прибыли, т. е п (рк) ^ [(рк). Таким образом, прямая [(рк) является касательной графика функции пк(рк) в точке * р к (точка А на Рис. 6). В точке касания А п(р *-к ,рк) j А к (р *)+ Е j*к р к рк Рисунок 6. Иллюстрация доказательства Леммы Хотеллинга Эпк(р*к) = Э[(р*к) дрк дрк , что и означает справедливость Леммы. Утверждение 9. (Свойства функции z^) ) Функция z(^) однородна нулевой степени. Если множество Z строго выпукло, то z(р) - однозначная непрерывная функция. Если функция прибыли п(.) дважды непрерывно дифференцируема, то матрица Якоби М = {dz/dpk} функции z^) симметрична и положительно полуопределе-на. Доказательство: Доказательство оставляем в качестве упражнения. ж Если технологическое множество может быть представлено посредством произ-водственной функции, то задача производителя при положительной цене выпус-каемой продукции сводится к следующей: pyf (x) - wx ^ max X х е X, где py Чцена выпускаемой продукции, х - количество затрачиваемых факторов производства, w - вектор цен факторов. Пусть x(py, w) - функция спроса на факторы производства при векторе цен (py, w), y(py, w) - функция предложения продукции при векторе цен (py, w). Заметим, что еслиpy > 0, то y(py, w) = f (x(py, w)). В данном контексте функция прибыли записывается в следующем виде: n(py, w) = py f (x(py, w)) - wx(py, w). Поясним связи переменных этой задачи с ранее рассмотренными. Как не трудно понять р = (py, w) и z^) = (- x(py, w), y(py, w)). Как результаты доказанные в этом параграфе, так и те которые будут доказаны впоследствии могут быть доказаны и в случае когда первичный объект рассмотрения не технологическое множество, а производственная функция. |
|
| << Предыдушая | Следующая >> |
| = К содержанию = | |
Похожие документы: "1.2. Задача производителя и ее свойства" |
|
|