Аудит / Институциональная экономика / Информационные технологии в экономике / История экономики / Логистика / Макроэкономика / Международная экономика / Микроэкономика / Мировая экономика / Операционный анализ / Оптимизация / Страхование / Управленческий учет / Экономика / Экономика и управление народным хозяйством (по отраслям) / Экономическая теория / Экономический анализ Главная
Экономика
Микроэкономика
| В. П. Бусыгин, Е. В. Желободько, С. Г. Коковин, А. А. Цыплаков. Микроэкономический анализ несовершенных рынков, 1999 | |
5. Представление суммарного спроса посредством модели репрезентативного потребителя |
|
|
Очень часто при изучении моделей частного равновесия бывает удобно использовать предположение о том, что суммарный спрос порождается решением задачи одного потребителя. В том случае, когда такой потребитель существует, его называют репрезентативным потребителем. Покажем, что в экономике репрезентативный потребитель всегда существует. Пусть жДр) - вектор спроса г-го потребителя на первые I благ при ценах р. Тогда суммарный спрос всех потребителей равен x(p) = Y,xt(p). iel В этих обозначениях репрезентативный потребитель будет порождать своими предпочтениями суммарный спрос Х(р). Покажем что репрезентативный потребитель в этих условиях существует, причем его предпочтения на множестве потребительских наборов (ж, z), х > 0, могут быть представлены квазилинейной функцией полезности вида: и(ж, z) = v(x) + z. Рассмотрим следующую задачу (задачу максимизации суммы полезностей от потребления 1-го блага при фиксированном количестве х этого блага): }]'ж.[х.) > шах iel Еж^ж. (Ф) iel ж,>0 Тогда в качестве v(x) мы можем взять значение этой задачи при ж = ж. Покажем, что X(р) является решением задачи репре- зентативного потребителя с функцией полезности, и(х, z) = v(x) + г, при любом векторе цен р > 0. Предположим противное. Как мы видели, задачу представительного потребителя в случае квазилинейных предпочтений можно записать в эквивалентной форме: v(x) - рх Ч> max^Q. Пусть существует х > 0, такой что v(x) - рх > v(X(p)) - рХ(р). При этом, так как Х(р) = Еж;(р)> и xi(p) допустимы в задаче iel (Ф) при х = Х(р), то должно быть выполнено v(x) -рх > T,vt(xt(p)) - pT,xt(p)- iel iel Заметим, что v(x) = гДе хт) - решение задачи iel (Ф) при х = х. Таким образом имеем T,Vi(Xi) - pY,Xi > Ei'i(Xi) р Х> T,Vi(Xi(p))- pY,Xi(p). iel iel ie I iel iel Но это означает, что по крайней мере для одного из потребителей выполнено Vt(xt) - рхг > vt(xt(p))- рхг(р), что противоречит оптимальности набора хХр)- Докажем, что v(X(p)) = Y,v,(xt(p)), iel другими словами, индикатор благосостояния в экономике с одним представительным потребителем упорядочивает интересующие нас состояния экономики так же, как и индикатор благосостояния первоначальной экономики. Предположим противное. Случай v(X(p)) < невоз- iel можен, т.к. хХр) допустимы в задаче (Ф) при х = Х(р). Поэтому предположим, что существует р такое, что 1>(Х(Р))>Т.1>ХХХР)). iel Пусть (жь ..., хт) - решение задачи (Ф) при х = Х(р). По определению v(X(p)) =J2vi(Xi)- Значит, iel iel iel С другой стороны, Х(Р) =T,XI(p). iel ге I Умножим на р: pT,xt< pT,xt(p). iel ге I Складывая два неравенства, получаем Ег',(ж,) - РЕо, > T,vt(xt(p)) - рТ,хг(р). ге I ге I ге I ге J Получили требуемое противоречие. Задачи Докажите вторую часть Теоремы 9. а) Постройте контрпример с вогнутыми функциями г>Д ) и выпуклыми функциями с-(-), который бы показывал, что условие zt >0 Vi существенно в первой части Теоремы 9. б) Постройте контрпример, который бы показывал, что условие выпуклости функции издержек существенно в первой части Теоремы 9. Докажите Теорему 10. Покажите, что в случае квазилинейной экономики Па- рето-граница представляет собой гиперплоскость вида ЕЫг = СОНМ iel Докажите Теоремы 12, 13 и 14. Докажите, что при хк(рк) >0 выполнено dcs,(p)_ 9CSM ~ ЭА - дрк ж Пусть (ж, у) - допустимое состояние квазилинейной экономики, и р > 0 - некоторый вектор цен, причем ж; является решением задачи потребителя при ценах р, и pT,Xi = pT,yj ie I je J Докажите, что Т,щ(хг, Zt) =W(x,y) + Y,at ге I iel В экономике два блага (/+1 = 2) и два потребителя, имеющие функции полезности щ = + zx и и2 = 2yfx~2 + z2. Найдите функцию полезности репрезентативного потребителя. Пусть предпочтения потребителей представляются квази-линейными сепарабельными функциями полезности. Тогда без потери общности можно считать, что в экономике два блага (I + 1 = 2). Пусть хХр) - спрос на первое благо г-го потребителя при ценах р, D(p) = Ч iel суммарный спрос потребителей на первое благо, и р(х) = D\x) - обратная функция спроса. Предположим, что функция р(х) является непрерывной и убывающей при х > 0. Докажите, что если X v(x)=\p(q)clq, о то v(x) + z является функцией полезности репрезентативного потребителя. В ситуации предыдущей задачи функция спроса на благо имеет вид D(P)= 4^. Найдите функцию полезности репрезентативного потребителя. |
|
| << Предыдушая | Следующая >> |
| = К содержанию = | |
Похожие документы: "5. Представление суммарного спроса посредством модели репрезентативного потребителя" |
|
|