Банковское дело / Доходы и расходы / Лизинг / Финансовая статистика / Финансовый анализ / Финансовый менеджмент / Финансы / Финансы и кредит / Финансы предприятий / Шпаргалки Главная Финансы Финансы предприятий
В. В. Ковалев, Вит. В. Ковалев. Корпоративные финансы и учет: понятия, алгоритмы, показа- тели: учеб. пособие.Ч.1 - М. : Проспект, КНОРУС,2010. - 768 с., 2010

СХЕМЫ И ВАРИАНТЫ НАЧИСЛЕНИЯ ПРОЦЕНТОВ

определение ставок и условий начисления процентов путем комбинирования типовых схем. К основным схемам начисления относятся следующие.
Однократное начисление по истечении года в течение n лет. Это базовый, наиболее распространенный вариант. Начисленные проценты присоединяются к исходной сумме. Следовательно, размер инвестированного капитала к концу n-го года будет равен величине Fn , найденной по формуле (С20), где в качестве базисного периода принят год.
Ясно, что в случае ежегодного начисления процентов для лица, предоставляющего кредит:
более выгодной является схема простых процентов, если срок ссуды менее одного года, (проценты начисляются однократно в конце периода);
более выгодной является схема сложных процентов, если срок ссуды превышает один год (проценты начисляются ежегодно);
обе схемы дают одинаковые результаты при продолжительности периода один год и однократном начислении процентов.
Пример
Рассчитать наращенную сумму с исходной суммы в 1 тыс. руб. при размещении ее в банке на условиях начисления простых и сложных процентов, если а) годовая ставка 20%; б) периоды наращения: 90 дней, 180 дней,
1 год, 5 лет, 10 лет. Полагать, что в году 360 дней.
Решение
Результаты расчетов с помощью формул (С17) и (С19) имеют следующий вид.
тыс. руб. Схема начисления 90 дней (П = 1/4) 180 дней (П = 1/2) 1 год (П = 1) 5 лет (П = 5) 10 лет (п = 10) Простые проценты Сложные проценты 1,05 1,0466 1,10 1,0954 1,20 1,20 2,0 2,4883 3,0 6,1917
Таким образом, если денежные средства размещены в банке на срок в 90 дней (менее одного года), то наращенная сумма составит: при использо-вании схемы простых процентов - 1,05 тыс. руб.; при использовании схемы сложных процентов - 1,0466 тыс. руб. Следовательно, более выгодна первая схема (разница составляет 3,4 руб.). Если срок размещения денежных средств превышает один год, ситуация меняется диаметрально - более выгодна схема сложных процентов, причем наращение в этом случае идет очень быстрыми темпами. Так, при ставке в 20% годовых удвоение исходной суммы происходит следующим темпом: при использовании схемы простых процентов за пять лет, а при использовании схемы сложных процентов - менее чем за четыре года.
Внутригодовые процентные начисления. Базовым временным периодом в финансовых операциях является год, вместе с тем воз-можны более частые начисления процентов. Так, при т-кратном начислении процентов в рамках одного года величина Гп, ожидаемая к получению через п лет, может быть найдена по формуле
Гп = Р Х (1+ г/т)тп. (С23)
Использование в расчетах сложного процента в случае многократного его начисления более логично, поскольку в этом случае капитал, генерирующий доходы, постоянно возрастает. При применении простого процента доходы по мере их начисления целесообразно снимать для потребления или использования в других инвестицион-ных проектах или текущей деятельности. Формула сложных процентов является одной из базовых формул в финансовых вычислениях. Пример
Вложены деньги в банк в сумме 5 тыс. руб. на два года с полугодовым начислением процентов под 20% годовых. В этом случае начисление про-центов производится четыре раза по ставке 10% (20% : 2), а схема возрастания капитала будет иметь вид

Период
Сумма, с которой идет начисление
5,0
5,5
6,05
6,655
Ставка (в долях ед.)
пД0
1,10
1,10
1,10
Сумма к концу периода
5,5
6,05
6,655
7,3205
Если пользоваться формулой (С20), то т = 2, п = 2, следовательно: Рп = 5 Х (1 + 20% : 100% : 2)4 = 7,3205 тыс. руб.
Пример
В условиях предыдущего примера проанализировать, изменится ли величина капитала к концу двухлетнего периода, если бы проценты начисля-лись ежеквартально.
В этом случае начисление будет производиться восемь раз по ставке 5% (20% : 4), а сумма к концу двухлетнего периода составит
Рп = 5 Х (1 + 0,05)8 = 7,387 тыс. руб.
Таким образом, можно сделать несколько простых практиче-ских выводов:
при начислении процентов: 12% годовых не эквивалентно 1% в месяц (эта ошибка очень распространена среди начинающих бизнесменов);
чем чаще идет начисление по схеме сложных процентов, тем больше итоговая накопленная сумма.
Начисление процентов за дробное число лет. Достаточно обыденными являются финансовые контракты, заключаемые на период, отличающийся от целого числа лет. В этом случае проценты могут начисляться одним из двух методов:
по схеме сложных процентов
Рп = Р Х (1 + г)"+/ (С24)
по смешанной схеме (используется схема сложных процентов для целого числа лет и схема простых процентов - для дробной части года)
Рп = Р Х (1+ г)" Х (1+ / Х г), (С25)
где " - целое число лет; / - дробная часть года.
Поскольку/< 1, то (1 + /Х г) > (1 + гУ, следовательно, наращенная сумма будет больше при использовании смешанной схемы. Можно показать, что при малых г наибольшая величина разности между (С24) и (С25) достигается при/л 0,5. Пример
Банк предоставил ссуду в размере 10 тыс. руб. на 30 месяцев под 30% го-довых на условиях ежегодного начисления процентов. Какую сумму предстоит вернуть банку по истечении срока?
Решение
По формуле (С21): Р = 10 х (1 + 0,3)2+05 = 19,269 тыс. руб. По формуле (С22): р"п = 10 х (1 + 0,3)2 х (1 + 0,3 х 0,5) = 19,435 тыс. руб. Таким образом, в условиях задачи смешанная схема начисления процентов более выгодна для банка.
Возможны финансовые контракты, в которых начисление процентов осуществляется по внутригодовым подпериодам, а продолжительность общего периода действия контракта не равна целому числу подпериодов. В этом случае также возможно использование двух схем:
а) схема сложных процентов
гт - Р Г +/
Еп - р ж (1+Ч) ;
б) смешанная схема
Еп=р . (1+т Г ж (1 + / ж т),
где м - целое число подпериодов в п годах; / - дробная часть подпериода; т - количество начислений в году; г - годовая ставка.
Обращаем внимание читателя на то, что в приведенных ал-горитмах показатели м и / имеют разный смысл. Так, в формуле (С25) м означает целое число лет в п годах, а/ - дробную часть года и поэтому п = м + / Однако в формуле (С26) м означает целое число подпериодов в п годах, а/ - дробную часть подпериода и поэтому п = (м + /)/т. Иными словами, при пользовании этими формулами нужно отдавать себе отчет в том, о каком базисном периоде идет речь. Пример
Банк предоставил ссуду в размере 120 тыс. руб. на 27 месяцев (т. е. 9 кварталов, или 2,25 года) под 16% годовых на условиях единовременного возврата основной суммы долга и начисленных процентов. Проанализи-ровать, какую сумму предстоит вернуть банку при различных вариантах и схемах начисления процентов: а) годовое; б) полугодовое; в) квартальное. Решение
1. Годовое начисление процентов
В этом случае продолжительность ссуды не является кратной продолжительности базисного периода, т. е. года. Поэтому возможно применение любой из схем, характеризуемых формулами (С24) и (С25) и значениями соответствующих параметров:
п = 2,25; м = 2; / = 0,25; г = 0,16.
При реализации схемы сложных процентов:
Рп = Р ж (1+ г)м+/ = 120 ж (1 + 0,16)225 = 167,58 тыс. руб.
При реализации смешанной схемы:
(С26) (С27)
Рп = Р.(1+г)м ж (1 + /ж г) = 120 (1 + 0,16)2 ж (1 + + 0,25 ж 0,16) = 167,93 тыс. руб.
Полугодовое начисление процентов
В этом случае мы имеем дело с ситуацией, когда начисление процентов осуществляется по внутригодовым подпериодам, а продолжительность общего периода действия контракта не равна целому числу подпериодов. Следовательно, нужно воспользоваться формулами (С26) и (С27), когда параметры формул имеют следующие значения: m = 2; w = 4; f = m ж n - w = 2 x x 2,25 - 4 = 0,5; r = 0,16.
При реализации схемы сложных процентов:
Fn = P ж (1 + mm)w +f = 120 ж (1 + 0,08)4'5 = 169,66 тыс. руб.
При реализации смешанной схемы:
f=р Х(i+ШШ )W Х(i+/' mm)=120 Х(i+'8)4 Х(i+2 Х Ol6=169,79 ТЫС- РУБ-
Квартальное начисление процентов
В этом случае m = 2; w = 9; f = 0, т. е. продолжительность ссуды равна целому числу подпериодов. Поэтому формулы (С26) и (С27) дают один и тот же результат:
Fn = 120 ж (1 + 0,04)9 = 170,8 тыс. руб.
Здесь фактически пользуемся обычной формулой наращения сложными процентами (С23), в которой n = 9, а r = 0,16 / 4 = 0,04.
Непрерывное начисление процентов. Все рассмотренные выше начисляемые проценты называются дискретными, поскольку их начис-ление осуществляется за фиксированный промежуток времени (год, квартал, месяц, день, даже час). Уменьшая этот промежуток (период начисления) и увеличивая частоту начисления процентов, в пределе можно перейти к так называемым непрерывным процентам.
В зависимости от частоты начисления процентов наращение суммы осуществляется различными темпами, причем с возрастанием частоты накопленная сумма увеличивается. Максимально возможное наращение осуществляется при бесконечном дробле-нии годового интервала. Из формулы (С23) следует:
r П'Ш
Fn = hm P(1+ Ш) = P' er-, (С28)
ш т
так как согласно второму замечательному пределу, где трансцендентное число e л 2,718281 называется числом Эйлера и является одной из важнейших постоянных математического анализа. (Подробно о финансовых вычислениях см.: [Ковалев, Уланов].)
<< Предыдушая Следующая >>
= К содержанию =
Похожие документы: "СХЕМЫ И ВАРИАНТЫ НАЧИСЛЕНИЯ ПРОЦЕНТОВ"
  1. Список аббревиатур
    варианты начисления процентов Счетоведение Счетоводство Счет аналитический Счет (бухгалтерский) Счет контрарный Счет синтетический Счет-фактура Таблицы финансовые Теория агентских отношений Теория арбитражного ценообразования Теория лходьбы наугад (см. ст. Подходы к оценке рискового актива) Теория финансов классическая Теория финансов неоклассическая Технический анализ Технократический подход
  2. ГОСУДАРСТВЕННОЕ РЕГУЛИРОВАНИЕ ФИНАНСОВОГО РЫНКА И ДЕНЕЖНОГО ОБРАЩЕНИЯ
    схемы страхования от каждого вида рисков требуется анализ процессов, которые могут стать при чиной возникновения рисков, их усиления, например инфляцион ных, политических, возможных изменений в законодательной базе, выявление тенденций, их факторов. Государственное В третьем сегменте финансового рынка - ва- регулирование лютном рынке наиболее полно и непосредствен- валютного рынка но в сравнении
  3. Глава 8.1. Процесс образования прибыли
    схемы, первоначальная величина активов предприятия составляла 1000 у.е. Реализовав товар дороже его себестоимости, предприятие увеличило стоимость своих активов до 1200 у.е. Эта операция нарушила равновесие баланса, т.к. у предприятия не возникло соответствующего обязательства на величину разницы между себестоимостью и продажной ценой. Для восстановления равновесия в состав собственного капитала
  4. Словарь
    схемы организации производства, характеристики технологического процесса и пр. Сюда также могут относиться знания и опыт в области маркетинга, в сфере оформления, упаковки продукции, потребовавшие значительных капиталовложений, навыки в проведении лабораторных и других исследований. Одним из основных признаков ноу- хау следует считать конфиденциальность, секретность этого вида информации. Обычно
  5. 8.8. ПРОЦЕНТНЫЕ ПЛАТЕЖИ ПО КРЕДИТАМ
    схемы простых процентов, когда кредит получен на нескожко периодов (я лет), погашается равными ежегодными долями. По окончании первого года остаток дожа равен РУ-РМ/п = РУ{\- 1/л), а процентные платежи за первый год равны РУх, I По окончании второго года остаток долга равен РУ-РУ/п-РУ/п =РУ( 1 - 2/п), а процентные платежи за второй год равны РУ: (1 - 1 /п). По окончании третьего года
  6. ДИСКОНТИРОВАННАЯ СТОИМОСТЬ ЕДИНИЧНОГО ПЛАТЕЖА
    схемы сложных процентов тем больше, чем чаще идет начисление. Если инвестору доступно более частое начисление процентов, он дает и более осторожную оценку (т. е. дисконтированную стоимость) ожидаемого в будущем платежа (степень осторожности в данном случае проявляется в относительном занижении дисконтированной
  7. БУДУЩАЯ СТОИМОСТЬ
    схемы начисления вознаграждения. Очевидно, что критическую роль играет процентная ставка: если r = 0, то независимо от двух других параметров инвестируемая и возвращаемая суммы окажутся равными. Понятие будущей стоимости особенно широко используется при оценке целесообразности некоторой инвестиции. Дело в том, что любая инвестиция представляет собой вложение денежных средств (прямо или косвенно)
  8. СТАВКА ЭФФЕКТИВНАЯ
    схемы {P, F, r, m > 1} и {P, F, r, m = 1} должны быть равносильными. Как известно, при m-кратном начислении процентов величина F может быть найдена по формуле F = P х (1+ r/m)m. Из определения эффективной годовой процентной ставки следует: F = P х (1+ r). Отсюда: r, = (1+ r/m)m - 1. (С11) Из формулы (С11) следует, что эффективная ставка зависит от количества внутригодовых начислений, причем с
  9. 5.3.2. Платежные схемы обслуживания финансовых карт и их элементы
    схемы, повышение ее привлекательности яв-ляется важнейшим фактором эффективности карточной прог-раммы. Платежных схем существует огромное множество. Видимо, новые схемы будут возникать до тех пор, пока в карточном бизнесе будет продолжаться конкуренция между эмитентами, так как в любой платежной системе каждый эмитент имеет право предлагать своим клиентам любую свежую схему, лишь бы она оказалась
  10. Обзор ключевых категорий и положений
    схемы начисления процентов. Схема простых процентов предполагает неизменность базы, с которой происходит начисление. Схема сложных процентов предполагает их капита- л изацию, т. е. база, с которой происходит начисление, постоянно воз-растает на величину начисленных ранее процентов. Очевидно, что более частое начисление сложных процентов обеспечивает более быстрый рост наращиваемой суммы. Схема