Аудит / Институциональная экономика / Информационные технологии в экономике / История экономики / Логистика / Макроэкономика / Международная экономика / Микроэкономика / Мировая экономика / Операционный анализ / Оптимизация / Страхование / Управленческий учет / Экономика / Экономика и управление народным хозяйством (по отраслям) / Экономическая теория / Экономический анализ Главная
Экономика
Экономический анализ
| Блюмин С.Л., Суханов В.Ф., Чеботарёв С.В.. Экономический факторный анализ: Монография, 2004 | |
2.2.3. СОСТАВЛЕНИЕ РАБОЧИХ ФОРМУЛ НОВОГО МЕТОДА ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ МОДЕЛЕЙ ЭКОНОМИЧЕСКОГО ФАКТОРНОГО АНАЛИЗА |
|
|
В общем случае теорема о среднем неконструктивна, но существуют примеры численного решения задачи для большинства известных функций [14, 89]. Рассмотрим применение метода Лагранжа к основным типам моделей результирующего показателя. В качестве примера мультипликативных моделей рассмотрим не-сколько стандартных факторных систем, которые наиболее часть встречаются в практике экономического факторного анализа финансовых и технологических показателей. 1). Двухфакторная мультипликативная модель - функция вида / = * жу. Пусть факторы х и у получили соответственно приращения Ах и Ау, тогда отклонение функции имеет вид А/ = (х + Ах)( у + Ау) - ху = уАх + хАу + АхАу. (2.15) Но в то же время, по теореме о промежуточном значении, А/ = /X (х + аАх, у + аАу )Ах + /у (х + аАх, у + аАу )Ау, А/ = (у + аАу)Ах + (х + аАх)Ау = Ах + Ау ; (2.16) приравнивая (2.15) и (2.16), находим, что а = 0,5 и тогда А/ = (у + 2Ау)Ах + (х + 2 Ах)Ау = уср Ах + хср Ау = Ах + Ау . (2.17) Таким образом, задача поиска величин факторного влияния получила точное и однозначное решение. В данном случае достигнутый результат не является уникальным, так как аналогичные формулы для вычисления факторного влияния могут быть получены и с использованием некоторых других алгоритмов из набора классических методов экономического факторного анализа. 2). Трёхфакторная мультипликативная модель - функция вида / = х ж у ж 2 . После группировки слагаемых приращение функции можно представить в виде А/ = Ахуг + (х + Ах)Ауг + (х + Ах)(у + Ау)Аг . По формуле Лагранжа: А/ = (у + аАу)(г + аАг) Ах + (х + аАх)( г + аАг) Ау + (х + аАх)( у + аАу)Аг, где а можно найти из уравнения 31 о а2 + 21а- (1 о +11) = 0, 1 о = 1, 1 = ~ + ~ + ~. Ах Ау Аг Решая уравнение, получаем: г \ V а 3 1 33 1 + + г 1 11 2 1 у Для завершения процедуры анализа необходимо найти численное значение параметра а (0;1) для конкретных данных и подставить его в выражение для разложения приращения результирующего показателя, чтобы получить искомую структуру факторной системы А/ = Ах + Ау + А2 . Как показывает сравнительный анализ, в случае исследования трёх- факторной мультипликативной и других, более сложных по структуре моделей, метод Лагранжа позволяет получить результаты, которые отличаются от тех, что могут быть получены с применением базовых подходов экономического факторного анализа. 3). Четырёхфакторная мультипликативная модель - функция вида / = х Х у Х г Х р . В этом случае приращение функции запишем в виде А/ = Ахугр + (х + Ах)Аугр + (х + Ах)(у + Ау)Агр + (х + Ах)(у + Ау)(г + Аг)Ар. Используя теорему о среднем значении, получаем: А/ = (у + аАу)(г + аАг)(р + аАр)Ах + (х + аАх)( г + аАг)( р + аАр)Ау + + (х + аАх)( у + аАу)(р + аАр) Аг + (х + аАх)( у + аАу)( г + аАг )Ар = = Ах + Ау + Аг + Ар. Уравнение для вычисления параметра а : 41 о а 3 + 3^а 2 + 212 а- (1 о +1 +12) = 0, хугр 1 о = 1, 1 = - + - + - + Ч, Ах Ау Аг Ар х у х г х р у г у р г р 12 = Х!Ч + + Ч + Ч + Ч Ч + Ч . Ах Ау Ах Аг Ах Ар Ау Аг Ау Ар Аг Ар Решая уравнение, находим: 1 2 Х12 - 3-12 а = ЧХР 4 -1Ь 12 Р 4 1 Р = |- 27 Х 13 +108 Х 11 Х 12 + 216 Х (11 +12 +1) + +12 Х (- 81 -14 - 27-11 -1| - 81 ^ 2)+ + (- 81 ^3 + 96 Х132 + 324 Х(12 2 +11 ^ ))+ 1 (324 ^ + 1?>)+ 972 Х11 2)+ (648 Х (11 +12) + 324)]2 + Таким образом, в общем случае, для мультипликативной модели вида? п У = / (хЬ x2,ХХХ, хп ) = П X 1=1 получаем следующий алгоритм расчётов для применения метода Лагранжа: Приращение результирующего показателя записывается как разница фактического и базового значений: пп ДУ = П (X +Ах1)-П X , 1=1 1=1 п I-1 п Ау = ХП(х7 +Дх7)ж Ах/ Х Пхк , (218) 1=1 у=1 к=/+1 0 п П (ху +Аху ) = П хк = 1 Х у=1 к=п+1 Применяя теорему о промежуточном значении, получаем формулу для точного разложения приращения функции: п 1 -1 п АУ = X Ах> , Ах> = П(ху + аАху) ж Ах/ ж П(Хк + аАхк)Х (2.19) 1=1 у=1 к=/+1 III Приравнивая (2^18) и (2Л9), находим а из получившегося уравнения: п - 2 п - 2 X (п - т) ж 1 т ж ап-1-т - XIт = 0, (220) т=0 т=0 сп т ау , т = 1, ХХХ, п-2, ау = 1=1 у=1 Ахк В качестве примера используем данный алгоритм для пятифакторной мультипликативной модели / = х ж у ж г ж р ж ц Х Получим следующие результаты: Приращение результирующего показателя А/ = Ахугрц + (х + Ах)Аугрц + (х + Ах)( у + Ау) Агрц + + (х + Ах)( у + Ау)( г + Аг )Арц + (х + Ах)( у + Ау)( г + Аг)(р + Ар)ц Х По теореме Лагранжа: А/ = (у + аАу)( г + аАг)( р + аАр)(ц + аАц)Ах + 10 = 1, 1 т = X Пау , т = 1, ХХХ, п-2, ау = -А^-, к = п + (х + аАх)( г + аАг)( р + аАр)(ц + аАц)Ау + + (х + аАх)( у + аАу)( р + аАр)(ц + аАц)Аг + + (х + aAx)( y + aAy)(z + aAz )(q + aAq)Ap + + (х + aAx)(y + aAy)( z + aAz)(p + aAp)Aq = Ax + Ay + Az + Ap + Aq. III. Значение параметра a находится из уравнения 51 о a 4 + 41ja 3 + 312 a 2 + 213a- (1 0 + li +12 +13) = 0, 10 = 1, 1i = Qx + Qy + ^z + Qp + Qq , 12 = ax'Qy + a x ' a z + Qx ' a p + Qx ' a q + a y ' a z + I Qy I Qy I Q z ^p I z ^Q^q + ^p ^Q^q, 13 Qx Qy Qz I Qx Qy I Qx ^Qy ^Q^q + ^Q^c z ^p I ^Q^c z ^Q^q I I о/ x QQ ^q I QQ y QQ z QQ ^p I QQ y QQ z QQ ^q I QQ y QQ ^p QQ ^q I QQ z QQ ^p QQ ^q, x y z p q Q v - , Q11 - , Q T - , Q fi - , Q е - . x Ax y Ay Az p Ap q Aq Использование метода конечных приращений в общем виде не позволяет определить значения факторов в промежуточных точках единствен-ным образом, то есть могут достигаться несколько различных значений параметра ae (0;1) и соответствующих им промежуточных значений самих факторов xj I aAxj, что приводит к различным видам представления приращения результирующего показателя. Данное обстоятельство не ухудшает качественных характеристик нового метода. Напротив, как следует из расчётов на основе конкретных данных, множественность в определении величин факторного влияния, предоставляя всю доступную информацию, даёт возможность последовательно применить системный подход для решения задачи синтеза - задачи принятия решения. При этом, в ряде случаев существует возможность оценить количество допустимых комбинаций разложения вариации обобщающего показателя. Для оценки количества корней многочлена (2.20) можно использовать теорему Декарта, являющуюся, в свою очередь, следствием теоремы Бю- дана-Фурье [62, С. 255-259]. Теорема Декарта. Число положительных корней многочлена f (x), засчитываемых столько раз, какова кратность каждого корня, равно числу перемен знаков в системе коэффициентов этого многочлена (равные нулю коэффициенты не учитываются) или меньше этого числа на чётное число. Для определения числа отрицательных корней многочлена достаточно, очевидно, применить теорему Декарта к многочлену f (-x). При этом, если ни один из коэффициентов многочлена не равен нулю, то переменам знаков в системе коэффициентов многочлена / (-х) соответствуют сохранения знаков в системе коэффициентов многочлена /(х) Х Таким образом, если многочлен / (х) не имеет равных нулю коэффициентов, то число его отрицательных корней (считаемых с их кратностями) равно числу сохранений знаков в системе коэффициентов или меньше его на чётное число Х Применим теорему Декарта к рассматриваемому многочлену (2^20) в случае, когда величины всех факторов и их приращений положительны Х Система коэффициентов данного многочлена: {пжА, 0;(п -1) ^ь^;2 п - 2;- (10 +М + ХХХ + 1 п - 2Ж то есть число перемен знаков в его системе коэффициентов равно 1, так как все коэффициенты, кроме последнего, являются положительными для рассматриваемого частного случая: т сп т 10 = 1 > 0, 1 т = X ПЧ > 0, т = 1,--, п - 2, к = п Х I=1 у=1Ахк Следовательно, данный многочлен имеет лишь один положительный корень Х С другой стороны, теорема о среднем утверждает обязательность существования промежуточных значений х^ + аАх^ е (х^; х^ + Ах^), то есть должно существовать по крайней мере одно значение параметра а е (0;1) Х Так как (2^20) имеет единственный положительный корень, то он и находится в интервале (0;1) Х Таким образом, в случае, если все факторы и их приращения положительные, то метод Лагранжа позволяет найти для мультипликативной модели единственное выражение для точного представления приращения ре-зультирующего показателя как функции от приращений факторов, а, сле-довательно, метод предлагает однозначное решение основной задачи эко-номического факторного анализа^ Если значения факторов и их приращений не являются положительными, то допускаются различные варианты разложения приращения результирующего показателя Х Результаты факторного анализа и их интерпретация на примере конкретных данных будут рассмотрены более подробно в следующем разделе Х Среди кратных моделей можно выделить несколько основных типов Х Проведём исследование по каждому из них на примере простейших функ- ций^ / = х. у Приращение результирующего показателя записывается в виде х х х у + аУ у а с использованием теоремы о среднем: А/ Ах (х + аАх) Х Ау (у + аАу) А. (х + аАх) А у + аАу (у + аАу )2 (у + аАу )2 (у + аАу )2 ' Приравнивая два выражения для представления приращения функции, находим искомое значение параметра: а = V у(у + АУ ) - у Ау ' 2). Функция вида А/ = ; ; = А. + А у + Аг / х У + г Приращение результирующего показателя записывается в виде х х х у + Ау + г + А г у + г а по теореме о среднем А/ = А. + Ау + Аг; Ах (х + аАх) Х Ау (х + аАх) Х Аг А/ = (У + аАУ + г + аАг) (у + аАу + г + аАг)2 (у + аАу + г + аА)' где а = У (у + г) Х (у + Ау + г + А г) - (у + г) (Ау + А г) ' 3). Функция вида / = ^. 2 Приращение результирующего показателя записывается в виде х + А х + у + Ау х + у г + А г г по теореме Лагранжа: А/ = А х А у - (х + аА х) + (у + аА у) ^ А г А/ = ^ = Ах + Ау, 1). Функция вида (г + аАг) (г + аАг) (г + аАг )2 ' д/г (г + Аг ) - г 4). Функция /= г + р а= Аг х + у В этом случае Приращение результирующего показателя записывается в виде х + Ах + у + Ау х + у А/ г + А г + р + Ар г + р в соответствии с методом Лагранжа: 1 Ау (г + аАг + р + аАр) (х + аАх) + (у + аАу) где А/ 1 жА х + (г + аАг + р + аАр) ^ Дг - (х + аАх) +(у + аАу) ^ Ар 2 (г + аАг + р + аАр) (г + аАг + р + аАр) д/( г + р) ж (г + А г + р + Ар) - ( г + р) а = (Аг + Ар) Таким образом, применение теоремы Лагранжа для кратных моделей факторных систем вида Ах + Ау + Аг + Ар ; п I у= х =1 да х I у=п+1 также позволяет найти точное разложение приращения результирующего показателя: п А х Ау = 1 Ах =1 А х( < п Г да I (х у+аАх у) = п +1 да да да п Ах ж I (х + аАх) Ы1 1 х V =п+1 =п+1 Аху(п+1< <т) а= 2 I х ж I(х +Ах) - I =п+1 да т =п+1 (х у + аАх у ) = п +1 Если находить параметр а не требуется, то выражения для расчёта элементов структуры факторной системы могут быть получены путём интегрирования простейших выражений на отрезке 0 < а < 1 в соответствии с формулой (2.12). В этом случае, для двухфакторной мультипликативной модели / = х Х у достигается тот же результат, что и при использовании дифференциальной теоремы Лагранжа: 1 а л 0 1 У + - АУ 2 АУ = УсрАх + хср АУ = Ах + Ау Х 1 1 А/ = | ((у + аАу) Ах )<^а +1 ((х + аАх) Ау )4а = 0 0 ( 12 а +АуАхЧ 02 1 ^ ( 12 а + АуАх - 02 1 ^ уАха V 0 у + хАуа V 0 0 Ах + х +ЧАх V 2 Для мультипликативной модели общего вида в этом случае можно получить следующий результат: п п п (1 л I=1 г=1 АУ = Е \ , Ах, =ПДх/ - к к=1 СП-1 ш хк 1г0 = 1, ХШ = X Пак1, ш = 1,..., п -1, а^ =а^, к = -1,г +1,...,п Х к=1 1=1 АхЬ Используем полученные формулы на примере пятифакторной муль-типликативной модели: / = х Х У Х 2 Х р Х д, А/ = Ах + Ау + Аг + Ар + Ад, ( х 1 х 1 х 1 х 1 х ^ Ах = Ах Х Ау Х Аг ХАр ХАд Х д ж Хл +ЧХо +ЧХ~ +ЧХ +ЧХл , V 4 2 3 3 2 4 1 5 0 0 Хх0 = 1, Х1 = а у + а2 + а р + аа, Х 2 у + у + у + ^^г ^р I ^^г ^а^д I ^р ^а^д, Х3 = ау-аг Хар + ау-аг Хад + ау Х ар Х ад + аг Х ар Х ад, у 1 у 1 у 1 у 1 у Хул + - Х Ху +- Х ху +- Х Х1 +- Х Ху V 423324150 у Х =ау Х а2 Х ар Х ад Ау = Ах Х Ау Х Аг Х Ар Х Ад ХУ0 = 1, Х1 = ах + аг + ар + - д а ^ = ах жа; + ах жар + а^ач + а, ^р + а, + ар-а?, Аг = Ах ж Ау ж Аг ж Ар ж Ад Ау = ах ж аг ж ар + ах ж аг ж ад + ах ' ар ' ад + аг ' ар ' ад , =ах ' аг ' ар ' ад 1 г 1 г 1 г 1 г 1л + 1о + + 1 + 1л V 42332415 0 = 1, 1 = ах + а у + ар + ад, 12 х у + ^а^х + ^а^х ^д + у ^р + у ^а^д + ^р ^д, 13 = ах-ау-ар + ахж Ар = Ах ж Ау ж Аг ж Ар ж Ад ау ж ад + ах ж ар ж ад + ау ж ар ж ад, 14 ах ' ау ' ар ' ад \р4 + ~ 1р + ~ 1р + ~ 11 + ~ 1рл V 4 2 3 3 2 4 1 5 0 0 1р = 1, 1р = ах + а у + аг + ад, 1р = ах^ау + ах-аг + ах а + ауа2 + ауад + а2^д, Ад = Ах Ау Аг Ар Ад ^р = ах ж ау ж аг + ах ж ау ж ад + ах ' аг ' ад + ау ' аг ' ад , 14 =ах ' ау ' аг ' ад ; ^ 1 1 1 1 л 1д4 + !ж + !ж + !ж 11 + !ж 1д0 V 423324150 1д = 1, = ах + ау + аг + ар, 1д2 = ах жау + ах.аг + а^ар + ауаг + ау жар + аг^р, 13 - ах * ау * а г + х * у ж р + х ж а г * р + у ж а г * р, 14 Чх * у * а г * р у гр ау \ , Ау Ч, ар = Ч, ад Ар ' ^ Ад' Приращение обобщающего показателя в случае кратных моделей также можно представить с использованием альтернативных формул, получаемых после интегрирования в соответствии с (2^12): т п Ау = X АХ, , АХ, (1 < П) А х1 1п т X А ху у=П + 1 г=1 X ( х у + А х у ) у=п+1 т X А ху у=п+1 п Ау -X Ах, "1 Аху (п+1< у < т) = т Аху ' XДxу у=п+1 Полученные для основных типов факторных систем формулы для расчёта величин факторного влияния по методу Лагранжа представлены в табл. 2.4. Сводные результаты по выводу формул для представления разложения приращения результирующего показателя с использованием интегральной формы теоремы Лагранжа представлены в табл. 2.5. Для упрощения и повышения эффективности применения метода Ла- гранжа в случае нестандартных моделей факторных систем можно реко-мендовать использовать в расчётах специализированные математические пакеты [20]. Вспомогательные программные продукты значительно упрощают дифференцирование и интегрирование при разложении приращения результирующего показателя по составляющим величинам факторного влияния, позволяют точно находить решения уравнений при вычислении параметра а и могут быть использованы при решении других вычислительных задач, возникающих в процессе анализа. |
|
| << Предыдушая | Следующая >> |
| = К содержанию = | |
Похожие документы: "2.2.3. СОСТАВЛЕНИЕ РАБОЧИХ ФОРМУЛ НОВОГО МЕТОДА ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ МОДЕЛЕЙ ЭКОНОМИЧЕСКОГО ФАКТОРНОГО АНАЛИЗА" |
|
|