Разработка теоретико-игровой модели для оптимизации решения задачи страхования авиационных рисков тема диссертации по экономике, полный текст автореферата
Автореферат
| Ученая степень | кандидат экономических наук |
| Автор | Штохова, Ирина Николаевна |
| Место защиты | Москва |
| Год | 2010 |
| Шифр ВАК РФ | 08.00.13 |
Диссертация
Автореферат диссертации по теме "Разработка теоретико-игровой модели для оптимизации решения задачи страхования авиационных рисков"
004613195
На правах рукописи
Штохова Ирина Николаевна
РАЗРАБОТКА ТЕОРЕТИКО-ИГРОВОЙ МОДЕЛИ ДЛЯ ОПТИМИЗАЦИИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ СТРАХОВАНИЯ АВИАЦИОННЫХ РИСКОВ
08.00.13 - Математические и инструментальные методы экономики
Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата экономических, наук
1 8 НОЯ 2010
Москва 2010
004613195
Работа выпонена на кафедре Математическое моделирование экономических процессов ФГОБУ ВПО Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации
Научный руководитель: кандидат физико-математических наук, профессор
Лабскер Лев Григорьевич
Официальные оппоненты: доктор экономических наук, профессор
Капитоненко Валерий Владимирович
доктор экономических наук Вилисов Валерий Яковлевич
Ведущая организация: ГОУ ВПО Всероссийский заочный финансово-
экономический институт
Защита состоится л1 декабря 2010 г. в 10-00 часов на заседании совета по защите докторских и кандидатских диссертаций Д 505.001.03 при ФГОБУ ВПО Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации по адресу: 125993, г.Москва, Ленинградский проспект, д.55, аудитория 213.
С диссертацией можно ознакомиться в диссертационном зале Библиотечно-информационного комплекса ФГОБУ ВПО Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации по адресу: 125993, г. Москва, Ленинградский проспект, д. 49, комн. 203.
Автореферат разослан л28 октября 2010 г. и размещен на официальном сайт ФГОБУ ВПО Финансовый университет при Правительстве Российско" Федерации: www.fa.ru
Ученый секретарь совета Д 505.001.03, ,,_______________ /
кандидат экономических наук, доцент / О.Ю.Городецкая
I. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы исследования. Воздушное сообщение соединяет людей, страны и культуры, обеспечивает доступ к глобальным рынкам, развивает торговые отношения и туризм, а также преодолевает границы между развитыми и развивающимися странами. Между тем, воздушные перевозки сопряжены с высокими рисками, носящими катастрофический характер, поскольку авиационное направление в транспортной отрасли нанрямую связано с разработкой, созданием и эксплуатацией объектов повышенной опасности. Несмотря на то, что безопасность авиационных перевозок является приоритетным направлением в отрасли, статистика авиационных происшествий свидетельствует о том, что авиационный транспорт все еще не является абсолютно безопасным. Это связано с тем, что авиационная безопасность не зависит исключительно от авиакомпании или региона эксплуатации, а связана с глобальной авиационной инфраструктурой, включающей в себя деятельность аэропортов, воздушное пространство, систему управления воздушным движением и т.д. В случае же серьезного авиационного происшествия авиакомпания несет огромные убытки: одни только прямые убытки авиакомпании складываются не только из стоимости поврежденной / утраченной авиационной техники, но и из огромных расходов на урегулирование претензий по ответственности перед пассажирами и третьими лицами, жизни/здоровью или имуществу которых нанесен вред / причинен ущерб. В этой связи в системе управления рисками авиакомпании особое значение имеет страхование рисков авиакаско воздушного судна и ответственности авиаперевозчика. А между тем, предоставляя авиакомпании страховую защиту, страховая компания сама становится подвержена особым рискам - рискам страховщика, огромным по своему потенциальному размеру обязательствам, вытекающим из договоров страхования авиационных рисков. Учитывая ряд особенностей страхования авиационных рисков, среди которых необходимость наличия у страховой компании огромных средств и подверженность рискам катастрофических убытков, для страховой компании становится актуальной проблема поиска и выбора оптимальных методов страховой защиты страховщика - программ по передаче и/или разделению первичного риска, принимаемого на страхование.
Недостаточная разработанность проблемы выбора оптимального метода страховой защиты страховщика авиационных рисков, отсутствие апробированных рекомендаций по практической реализации подходов к выбору оптимального метода определили актуальность исследования и обусловили выбор темы диссертации.
Степень научной проработанности проблемы. Общие вопросы, связанные с методами страховой защиты страховщика, их особенностями и практикой применения рассматриваются в работах К. Пфайффера, Д. Бланда, Д. Рейма и Дж. Лэнгфорда, экспертов компании Swiss Re - П. Бауэра, К. Багмэна, Р. Энца, Дж. Фридлоса, М. Куна, а также в работах российских специалистов - JI.A. Орланкж-Малицкой, К.Е. Турбиной, Ю.А. Сплетухова, Е.Ф. Дюжикова, А.Г. Ивасенко, Я.И. Никоновой, Г.В. Черновой, А.П. Архипова, В.Б. Гомеля, Д.С. Туленты, Н.Б. Грищенко и др.
Исследование широкого круга вопросов в рамках одного из направлений теории принятия решений - теории игр проводится в работах Дж. фон Неймана и О. Моргенштерна, Г. Оуэна, Э. Мулена, Е.С. Вентцель, JI.A. Петросяна, H.A. Зенкевича, H.H. Воробьева, И.Д. Протасова, A.B. Крушевского, а критериальных подходов в оптимизации - в работах Т. Байеса, П.-С. Лапласа, А. Вальда, Л. Гурвица, Ю.Б. Гермейера.
Ряд работ ведущих зарубежных исследователей охватывает проблемы деления риска страховщика и особенности техники расчетов в области актуарной математики -Н. Бауэре, X. Гербер, Д. Джонс, С. Несбитг, Дж. Хикман, а также математического моделирования в страховании - исследования Ж. Лемера, Т. Мака, Г. Бенктандера, Дж. Джанга, К. Филипсона, К. Борха, О. Хесселагера, X. Вербеека, Э. Песонена, С. Важда, Л. Центено, О. Симо, М. Аидреадакиса, Г. Вотерса.
Проведенный анализ существующих моделей в области управления риском страховщика привел к выводу о сложности, а зачастую и невозможности применения данных моделей для анализа и решения задачи о выборе оптимального метода страховой защиты страховщика авиационных рисков, поскольку большинство моделей основано на применении методов математической статистики, в основном - закона больших чисел, в то время как использование данного закона неэффективно для оценки авиационных рисков.
Таким образом, существует необходимость разработки математической модели, которая позволяла бы комплексно решать задачу выбора оптимального метода страховой защиты страховщика авиационных рисков путем сопоставления всех имеющихся в распоряжении страховой компании альтернатив, предоставляла бы возможность задавать целевую функцию на основании выбираемых страховой компанией параметров оптимизации, учитывать разные сценарии развития ситуации в исследуемом поле параметров, проводить анализ с учетом разной степени принятия риска руководством страховой компании. Необходимость создания такой модели определила цель и задачи диссертационного исследования.
Целью диссертационного исследования является решение задачи оптимизации управления риском страховщика с помощью разработанной для этого теоретико-игровой модели.
Для достижения указанной цели в работе поставлены и решены следующие задачи:
1) исследовать особенности страхования авиационных рисков, провести сравнительный анализ существующих моделей в области управления страховым риском страховщика;
2) построить комбинированную функцию сравнения стратегий страховщика и на ее основе разработать критерий принятия решений по выбору оптимального метода страховой защиты страховщика;
3) определить критерий пришггия решений относительно выигрышей и относительно рисков, количественно характеризующих упущенную игроком возможность максимального выигрыша;
4) разработать математическую (теоретико-игровую) модель для анализа задачи страхования авиационных рисков;
5) провести моделирование данных по деятельности страховой компании, занимающейся страхованием авиационных рисков, и проанализировать задачу страхования авиационных рисков с помощью построенной модели.
Объектом исследования является управление риском страховщика авиационных рисков.
Предметом исследования является теоретико-игровое моделирование принятия решений в страховании.
Теоретической и методологической основой исследования послужили теоретические и методологические положения, содержащиеся в трудах российских и зарубежных авторов в области страхования и перестрахования, применения математического моделирования в страховании, а также теоретико-игрового моделирования.
При решении конкретных задач использовася аппарат теории статистических игр, теоретико-игрового моделирования, теории вероятностей и математической статистики, линейных многомерных пространств, методы экспертных оценок, элементы кластерного и сценарного анализа, а также программно-инструментальные средства MS Excel.
Область исследования соответствует п. 1.1 Разработка и развитие математического аппарата анализа экономических систем: математической экономики,
эконометрики, прикладной статистики, теории игр, оптимизации, теории принятия решений, дискретной математики и других методов, используемых в экономико-математическом моделированиил и п. 1.4: Разработка и исследование моделей и математических методов анализа микроэкономических процессов и систем: отраслей народного хозяйства, фирм и предприятий, домашних хозяйств, рынков, механизмов формирования спроса и потребления, способов количественной оценки предпринимательских рисков и обоснования инвестиционных решений паспорта ВАК РФ по специальности 08.00.13 - Математические и инструментальные методы экономики.
Информационную основу исследования составили фундаментальные и прикладные работы отечественных и зарубежных авторов по авиационному страхованию, по вопросам математики рискового страхования и теоретико-игрового моделирования, нормативно-правовые акты Российской Федерации, методические разработки в области перестрахования, страхования специальных рисков и их анализа, источники Интернет, статистические данные по работе страховых компаний, отчеты аналитических агентств.
Научная новизна диссертационного исследования заключается в обосновании предпосылок и разработке теоретико-игровой модели выбора оптимальных методов страховой защиты страховщика авиационных рисков.
Новыми являются следующие положения диссертационной работы:
1) построена комбинированная функция сравнения стратегий (тем самым сформирована сравнительная структура потенциальной теоретико-игровой модели), и на ее основе разработан комбинированный критерий для принятия решений об оптимальности стратегий в условиях риска, названный критерием Гермейера-Гурвица;
2) разработанный критерий Гермейера-Гурвица определен для решения игр с природой как относительно выигрышей, так и относительно рисков, а также сформировано смешанное расширение разработанного критерия Гермейера-Гурвица;
3) применительно к разработанному критерию получены следующие результаты:
- доказана теорема существования в любой игре с природой стратегии, оптимальной во множестве смешанных стратегий по критерию Гермейера-Гурвица относительно выигрышей;
- доказана теорема существования в любой игре с природой стратегии, оптимальной во множестве смешанных стратегий по критерию Гермейера-Гурвица относительно рисков;
- предложены математико-формализованные методы выбора показателя оптимизма критерия Гермейера-Гурвица;
- предложены геометрические и аналитические методы (соответствующие агоритмы и формулы) отыскания оптимальных стратегий в играх с природой 2хл.
- определен синтетический критерий Гермейера-Гурвица.
4) на основе разработанного критерия Гермейера-Гурвица построена теоретико-игровая модель выбора оптимальных методов страховой защиты страховщика авиационных рисков;
5) разработала методика сценарного моделирования данных по авиационному портфелю, учитывающая разные подходы страховой компании к подбору и анализу данных по количеству и размеру убытков страхования авиационных рисков.
Теоретическая и практическая значимость исследования.
Теоретическая значимость исследования заключается в развитии теоретико-игрового аппарата экономических исследований и его применении для повышения обоснованности управленческих решений.
Практическая значимость результатов состоит в том, что разработанные в диссертации теоретико-игровая модель оптимизации управления риском страховщика и методика сценарного моделирования данных по авиационному портфелю ориентированы на широкое использование при решении задач оптимизации, анализа методов страховой защиты страховщика при подготовке соответствующих рекомендаций для принятия управленческих решений в страховой компании.
Построенная модель является универсальной и может применяться не только для решения задачи страхования авиационных рисков, но и целого ряда задач оптимизации в страховании специальных рисков.
Предложенная методика сценарного моделирования данных по авиационному портфелю может быть использована не только в рамках решения задачи о выборе оптимального метода страховой защиты страховщика, но и задач средне- и догосрочного прогнозирования убыточности авиационного портфеля, подготовке рекомендаций при бюджетном планировании.
Практическое значение имеют:
- теоретико-игровая модель оптимизации выбора методов страховой защиты страховщика авиационных рисков;
- методика сценарного моделирования данных по авиационному портфелю, учитывающая разные подходы страховой компании к подбору и анализу данных по количеству и размеру убытков страхования авиационных рисков.
Отдельные фрагменты диссертационного исследования могут быть использованы при изучении студентами бакалавриата и магистратуры дисциплин Теория игр, Математика рискового страхования, Экономико-математическое моделирование, Теория принятия решений, Исследование операций. Некоторые выводы проведенного исследования могут оказаться небесполезными для преподавателей, ведущих соответствующие курсы и аспирантов соответствующих специальностей.
Результаты диссертационного исследования могут быть использованы также при повышении квалификации специалистов в области математического моделирования в страховании и теории принятия управленческих решений.
Апробация и внедрение результатов исследования.
Основные положения и результаты диссертационного исследования были изложены и обсуждены на следующих научных конференциях:
1). Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых Ломоносов-2005, секция Экономика, Москва, 12-15 апреля 2005 г. (Почетная грамота за лучший доклад на секции Экономика);
2). Х1ЛУ Международная научная студенческая конференция Студент и научно-технический прогресс, Новосибирск, 11-13 апреля 2006 г. (Диплом второй степени за работу, представленную на Международную студенческую конференцию Студент и научно-технический прогресс);
3). Н-ая международная научная конференция Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования, Воронеж, 11-16 декабря 2007 г.;
4). Международная научная конференция Молодежь и экономика, Ярославль, 15 апреля 2009 г.;
5). 8-я Международная ФАМ конференция по финансово-актуарной математике и смежным вопросам, Красноярск, 24-26 апреля 2009 г.;
6). Всероссийская конференция молодых учёных и студентов Моделирование социально-экономических процессов: современные тенденции и подходы, Хабаровск, 25-27 мая 2009 г.;
7). VII Международная научно-практическая конференция Управление в социальных и экономических системах, Пенза, 01-30 ноября 2009 г.;
8). VIII Всероссийская научно-практическая конференция с международным участием Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2009), Анжеро-Судженск, 13-14 ноября 2009 г.;
9). Всероссийская научно-практическая конференция Математика, информатика, естествознание в экономике и обществе, Москва, МФЮА, 16-17 ноября 2009 г.;
10). Международная научно-практическая конференция Актуальные проблемы экономики, менеджмента, маркетинга, Бегород, 17-19 ноября 2009 г.;
11). Дальневосточная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по теоретической и прикладной математике, Владивосток, 19-21 ноября 2009 г.;
12). I Международная научно-практическая конференция Наука и современность-2010, Новосибирск, март2010 г.
Материалы диссертации были представлены на научных семинарах Актуальные проблемы экономико-математического моделирования (руководитель- профессор В.А. Бывшев) и Теория игр (руководитель - профессор Л.Г. Лабскер).
Исследование выпонено в рамках научно-исследовательских работ ФГОБУ ВПО Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации, проводимых в соответствии с Комплексной темой: Инновационное развитие России: социально-экономическая стратегия и финансовая политика по межкафедральной подтеме Экономико-математический подход к измерению инновационного роста.
Результаты исследования нашли практическое применение в деятельности страховой компании ОС АО Ингосстрах. Используемые в аналитической работе компании авторские методика моделирования данных по авиационному портфелю и теоретико-игровая модель анализа перестраховочной защиты способствуют оптимизации финансового результата по направлению страхования авиационных рисков, подготовке проектов бюджета на очередной финансовый год, а также выработке рекомендаций по совершенствованию андеррайтинговой политики.
Отдельные фрагменты диссертации включены в учебные программы по дисциплине Теория игр, читаемые на факультете Математические методы и анализ рисков ФГОБУ ВПО Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации.
Внедрение указанных результатов исследования подтверждается соответствующими справками о внедрении.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 печатных работ общим объемом 3,41 пл., в том числе авторский текст - 2,85 п.л. Две статьи общим объемом 1,74 п.л. (авторский объем -1,18 п.л.) опубликованы в журналах, определенных ВАК.
Структура и объем работы. Структура диссертации обусловлена целью, задачами и логикой исследования. Работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованной литературы, включающего 130 наименований, и 2-х приложений. Диссертация включает 66 формул, 27 таблиц, 3 графика, 7 рисунков и 1 схему. Общий объем работы составляет 177 страниц.
II. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ
Первый блок исследуемых вопросов связан с анализом особенностей авиационного страхования и существующих моделей и подходов к выбору оптимального метода страховой защиты страховщика.
На первом этапе исследования была определена особая роль страхования в системе управления рисками авиакомпании:
- на основе проведенного исследования обосновано важное значение воздушных перевозок в экономическом и социальном аспектах функционирования современного общества;
- в результате проведенного анализа авиационных рисков в части безопасности полетов обозначены основные факторы риска при осуществлении воздушных перевозок и показано, что транспортная отрасль в части воздушных перевозок все еще не является абсолютно безопасной и сопряжена с высокими рисками, носящими катастрофический характер;
- на основе проведенной оценки размера прямого ущерба авиакомпании в отношении имущества (воздушное судно) и ответственности (перед пассажирами и третьими лицами) в случае серьезного авиационного происшествия и ее сравнения с годовой прибылью от операционной деятельности авиакомпании сделано заключение о сопоставимости размера убытка с прибылью лишь двадцати крупнейших авиакомпаний мира.
На основе результатов проведенного анализа показано, что страхование имеет огромное значение в системе управления производственными рисками авиакомпании, а, предоставляя авиакомпании страховую защиту, страховщик сам становится подвержен особым рискам - рискам страховщика, огромным по своему
потенциальному размеру обязательствам, вытекающим из договоров страхования авиационных рисков.
В работе отмечено, что ни в российском законодательстве, ни в международном нет официального определения понятия лавиационное страхование. Согласно определению Р. Марго1, в широком понимании, авиационное страхование охватывает страхование рисков, связанных с 1) изготовлением/производством, владением, управлением и техническим обслуживанием воздушных судов; 2) управлением авиационным оборудованием и помещениями на земле.
На следующем этапе исследования были выявлены и комплексно проанализированы особенности авиационных рисков и специфика их страхования, на основании чего сделан вывод о необходимости разработки и реализации методов страховой защиты страховщика авиационных рисков. Прежде всего, это связано с тем, что портфель авиационных рисков прямого страховщика считается несбалансированным портфелем, поскольку характеризуется большим объемом риска с небольшим количеством застрахованных объектов, причем, происходит кумуляция страховых сумм / лимитов по каско покрытию и покрытию ответственности, в связи с чем такие риски не может нести один страховщик.
Проведенный анализ основных методов страховой защиты страховщика, среди которых 1) методы, основанные на принципах сострахования, 2) методы, основанные на передаче рисков в перестрахование, 3) альтернативные методы передачи риска, с точки зрения их преимуществ, недостатков, специфики применения позволил выявить проблему отсутствия унифицированного подхода к выбору оптимального метода страховой защиты страховщика: решение данной задачи проводится каждым страховщиком индивидуально в зависимости от подходов к принятию решения.
На основании результатов проведенного анализа существующих моделей в области управления риском страховщика сделан вывод о сложности, а зачастую и невозможности применения данных моделей для анализа и решения задачи о выборе оптимального метода страховой защиты страховщика авиационных рисков, поскольку
1) существующие разработки можно охарактеризовать как модели, направленные на решение локальных задач о выборе определенных [оптимальных] параметров при наличии допущений/предположений относительно функции распределения годового убытка и целевой функции, т.е. модели, позволяющие определить привлекательность для страховщика конкретного договора перестрахования. Между тем, на практике,
1 Margo Rod D. Aviation Insurance. The law and practice of aviation insorance, including hovercraft and spacecraft insuracce / Rod D, Margo. - London: Butterworths, 2000. - 862 p. (p. 10).
большинство лоптимизируемых такими моделями параметров являются либо заданными для страховой компании, либо определяются менеджментом или акционерами компании.
2) стандартный подход большинства актуариев к оценке риска заключается в группировке страхователей / клиентов по определенным категориям. Критерием отнесения страхователя к определенной группе считается его подверженность рискам определенного типа. Чем больше группа, тем ближе будет средний убыток к его статистической оценке. Актуариями для оценки таких рисков используется подход, основанный на Законе больших чисел. Но подход эффективен, и оценки получаются состоятельные для рисков автокаско, рисков огневого страхования, где страховой рынок представлен большим количеством достаточно однородных объектов страхования. Использование Закона больших чисел неэффективно для оценки авиационных рисков, характеризуемых небольшим числом воздушных судов в мире.
В рамках данного этапа исследования были выявлены основные критерии, которым дожен отвечать инструментарий страховой компании по выбору оптимального метода страховой защиты страховщика:
1) комплексно решать задачу выбора оптимального метода страховой защиты страховщика путем сопоставления всех имеющихся в распоряжении страховой компании альтернатив;
2) задавать целевую функцию на основании выбираемых страховой компанией параметров оптимизации;
3) учитывать разные сценарии развития ситуации в исследуемом поле параметров;
4) проводить анализ с учетом разной степени склонности к риску руководства страховой компании;
5) оптимизировать вычислительные операции, сделав расчеты максимально доступными для проведения с помощью стандартного пакета прикладных программ.
В диссертационном исследовании в качестве такого инструментария предложен подход, основанный на теоретико-игровом моделировании задачи страхования авиационных рисков (модель - Игра с Природой). Выбор метода страховой защиты страховщика предложено осуществлять с применением критериев оптимальности, в частности, с помощью специально разработанного критерия Гермейера-Гурвица. Подход является инновационным для исследуемой предметной области, поскольку до недавнего времени разработка и внедрение аппарата теоретико-игрового моделирования в экономических областях, в частности, в страховании, являлись
достаточно редким явлением. Некоторые факты и рациональная мотивация свидетельствуют о том, что такой подход отвечает обозначенным требованиям к инструментарию принятия решений в страховой компании.
Второй блок исследуемых вопросов связан с разработкой математического аппарата - критерия оптимальности Гермейера-Гурвица принятия решений в модели Игра с Природой.
В качестве математической модели рассмотрена игра с Природой, в которой заняты два участника. Один из них - сознательный участник (Игрок А), обладающий /и (2) чистыми альтернативными стратегиями А,,А2,...,А^, из которых он может осознанно выбрать наиболее выгодную для себя, оптимальную в смысле определенного критерия оптимальности. В качестве другого участника игры приняты условия, в которых Игроку приходится принимать решение о выборе стратегии и которые существенно влияют на результаты выбора Игрока: Природа, которая неосознанным, неопределенным, случайным образом может пребывать в одном из "(2) своих состояний Я,,Л2,не преследуя никакой цели и абсолютно безразлично к возможным результатам игры.
Предполагается, что Игрок в состоянии количественно оценить свой выигрыш а, , / = 1,я;," при каждой выбранной им стратегии '=Сш и каждом состоянии
природы Пп у=1Я
Массив всех т -п выигрышей удобно представить в виде матрицы Л выигрышей Игрока Л размера тхп:
п> Пг п.
А ап аа
А "и <*2
...
Л, а~1 Я,
Вектор ...,<7Д) вероятностей .....qn соответственно состояний Природы
ЯДЯг,...,ЯД, удовлетворяющих условиям,
9/>0, ] = >,=1, (2)
известен, таким образом, решение принимается в условиях риска.
Путем поэлементного умножения выигрышей при каждом состоянии Природы в стобцах матрицы А на вероятности соответствующих состояний Природы из матрицы А может быть получена матрица выигрышей Гермейера С (д)1.
Для завершения описания игры с природой в общем виде остается определить критерий оптимальности стратегий: критерий Гермейера-Гурвица.
С точки зрения содержательной части, критерий Гермейера-Гурвица можно охарактеризовать как критерий Гурвица, применяемый к матрице Гермейера С(д). Разработанный критерий Гермейера-Гурвица является комбинированным критерием. Критерий позволяет лицу, принимающему решение (ПР), более взвешенно подходить к анализу данных, дает ПР возможность более поно использовать в аналитическом процессе доступную информацию: как экстремальные значения функций выигрышей, так и вероятностные характеристики состояний Природы. Разработанный критерий позволяет оптимизировать процесс принятия решения за счет упрощения процедуры обработки данных: для ПР снимается необходимость отдельно анализировать вероятностные параметры, отдельно - сами исходные данные. Более того, за счет сглаживания с помощью показателя оптимизма экстремальных значений (минимальных и максимальных) выигрышей критерий является применимым для ПР с разной степенью принятия риска, т.к. в структуре критерия уже заложена возможность его настраивания в соответствии с предпочтениями ПР.
1) Критерий Гермейера-Гурвица оптимальности чистых стратегий относительно выигрышей
Показатель оптимизма Игрока А в критерии Гермейера-Гурвица будем обозначать через Ле[од]. Показатель пессимизма будет равен (1-Л)е[од]. Для краткости критерий Гермейера-Гурвица с показателем оптимизма X будем называть {(ЗПшУ {ц, Я)-критерием.
Показателем эффективности стратегии Д по (СИигУ (7, Я)-критерию назовем число: {аНигУ^,Х)=(\-Х)пт^,-аЛ + Хтж{дгаЛ, / = 1,т.
Ценой игры во множестве ={д,по {ОНигУ^,Д)-критерию назовем максимальный из (йИчгУ (д,X)-показателей эффективности стратегий:
{вНигУ^ (у,Х)= гпах (СНигУ (д,Х).
1 Бука а л р- первая буква английского payoff [выигрыш], a лqvt - вектор вероятностей.
2 Буква л С в обозначении - первая буква английского clear [чистый] дает ссыку на чистые стратегии Игрока А.
Оптимальной по (вНигУ(д,Л)-критерию относительно выигрышей назовем стратегию А,, (а1игУ(д,(-показатель эффективности которой совпадаете (с,Н-игу,(д,Х)-ценой игры: (сНигХ (у,л) = (С-Ниг)^(д, Л).
При принятии решения по критерию Гермейера-Гурвица на Игрока (являющегося ПР) ложится большая ответственность, поскольку именно он выбирает показатель своего оптимизма Я е [0;1] и, следовательно, - показатель своего пессимизма (1-Я)е[о,1], который существенным образом влияет на понятие оптимальности стратегии. Принимая во внимание важность определения показателя оптимизма, в работе предложены некоторые математико-формализованные методы выбора показателя оптимизма критерия (в зависимости от выигрышей Игрока А и вероятностей состояний Природы).
2) Критерий Гермейера-Гурвица оптимальности смешанных' стратегий относительно выигрышей
В силу того, что рассмотрение всех смешанных стратегий в некоторых случаях приводит к лучшему решению поставленной задачи2, критерий Гермейера-Гурвица относительно выигрышей был определен на множестве смешанных стратегий.
Имеется игра с природой размера (т2)х(п>2) с матрицей выигрышей (1) и вероятностями состояний природы д^,дг,...,да, удовлетворяющими условиям (2). Через обозначено множество всех смешанных стратегий р=(р,,р2,...,рД) Игрока Л.
Выигрыш Я(Р;Я;) у=Гй Игрока Л при смешанной стратегии Р = (р,,р1,...,рт) и
при состоянии природы Я, определяется следующей формулой: ЩР-,П/) = 'р1а:/,
} = \,п, где ач, 1 = 1,т, } = \,п -элементы матрицы выигрышей (1).
Показателем эффективности смешанной стратегии Р = (рх,рг, -,рт) по критерию Гермейера-Гурвица относительно выигрышей назовем следующую величину:
ОвНшУ (Р,д, Я) = (1 - Я) Х Я(Р; Я,)] + Я Х Х ЩР; П))], Р е 5Д.
Ценой игры в смешанных стратегиях по критерию Гермейера-Гурвица относительно выигрышей назовем наибольший из показателей эффективности
1 Смешанная стратегия игрока - действие игрока А, состоящее в случайном выборе им одной из своих чистых стратегий с определенной вероятностью.
2 ЛабскерЛ.Г. Теория критериев оптимальности и экономические решения: монография / Л.Г. Лабсхер. - М.: КНОРУС, 2008. - 744 с. (с.27).
смешанных стратегий по тому же критерию. Обозначая цену игры в смешанных стратегиях через (ОНиг)'^ (д,Х), будем иметь:
(вНиг)^ (д, X) = и(аНигУ(Р,Ч,Л).
Оптимальной во множестве 5 , смешанных стратегий по критерию Гермейера-Гурвица относительно выигрышей назовем стратегию Р
(вНиг)р(Р
В связи с тем, что множество 5, смешанных стратегий бесконечно, в диссертации доказана теорема существования в любой игре с природой стратегии, оптимальной во множестве смешанных стратегий по критерию Гермейера-Гурвица относительно выигрышей.
Принимая во внимание тот факт, что процедура поиска оптимальной смешанной стратегии с учетом размерности матрицы выигрышей Гермейера является достаточно сложной, а для практических целей зачастую возникает необходимость в поиске оптимальной смешанной стратегии, составленной из двух чистых стратегий, в работе были предложены геометрический и аналитический методы отыскания оптимальных стратегий по критерию Гермейера-Гурвица относительно выигрышей в играх 2х п.
Рассмотрим игру с природой размера 2хп: Игрок А обладает двумя чистыми стратегиями, а Природа П характеризуется л(2) состояниями. В работе предложен следующий агоритм отыскания оптимальных стратегий:
1) Берем горизонтальный отрезок [0,1], через концы которого проводим два перпендикуляра, на левом из которых от точки его пересечения с отрезком [0,1] откладываем все элементы 1-й строки матрицы Гермейера, на правом Ч 2-й строки.
2) Каждую пару точек, изображающих элементы матрицы Гермейера и стоящих в j-м стобце, соединяем отрезком. В итоге получаем п отрезков, представляющих собой графики линейных функций qH{P,П)-q{cxv-a^j)p+qa^, ре[о,1], У = 1,и.
3) Выделяем верхнюю Мр(Р) = тах[а Х (а,, - а..) Х р+Л и нижнюю
С(Р) = пш[д/-(а2у-а1у)/7+д>а1/] огибающие семейства построенных отрезков
qJH(P>ПJ) = qj(a,j-a,J)p + qjau у = и аргумента />е[0;1].
4) Находим абсциссы точек излома верхней и нижней огибающих. Они разбивают отрезок [0,1], показывающий значение вероятности выбора одной из чистых стратегий в составе смешанной стратегии, иа несколько отрезков, координаты которых
не зависят от параметра Я. Пусть одна из точек излома, например, нижней огибающей образована пересечением двух отрезков, заданных следующими уравнениями: 1-й отрезок: ре[од], 7 = 1,", 2-й отрезок:
Л^^Да^, ре[0Д], 7 = 1,л. Тогда абсцисса точки пересечения
находится по следующее формуле: р =-Ч- 5 диссертации
доказано, что знаменатель в данной формуле не равен нулю ни при каких значениях параметров, составляющих знаменатель данной формулы.
5) Корректируем отрезки верхней и нижней огибающих на коэффициенты X и (1-Я) соответственно: умножаем угловой коэффициента дДа^-л,,) при р и свободный член да^ на коэффициент (1-Я) (если отрезок входит в состав нижней огибающей) или на коэффициент Л (если отрезок входит в состав верхней огибающей). Согласно разбиению оси [0,1] из п.4 формируем итоговую ломаную из отрезков, уравнения которых получаются путем сложения соответствующих скорректированных с учетом Л и (1-Я) отрезков верхней и нижней огибающих.
6) Находим наивысшую точку итоговой ломаной, полученной з п.5. Абсцисса р" е [о,1] этой точки является вероятностью выбора Игроком А чистой стратегии А1 в (СНиг)р(д,Я)-оптимальной смешанной стратегии Р
2) Критерий Гермейера-Гурвица оптимальности чистых стратегий относительно рисков
Элементы матрицы рисков /Х, Игрока А при выборе им чистой стратегии 4 и при состоянии природы П/ получаются как разность между показателем благоприятности р =тжа1,] = \п состояния природы Я и выигрышем а :
На основании матрицы выигрышей (1) в соответствии с приведенным определением риска сформируем матрицу рисков Затем путем
поэлементного умножения значений матрицы рисков на соответствующие значения вероятностей состояний природы получим матрицу рисков Гермейера.
Показатель неэффективности чистой стратегии А, по критерию Гермейера-Гурвица относительно рисков определим следующим образом:
{GHur)' (q\ Я) = (1 - Я) тах(<7, С) + Я min (?. 'О, i = l,m.
\=ys ly
Ценой игры по критерию Гермейера-Гурвица относительно рисков в чистых стратегиях назовем минимальный из показателей неэффективности стратегий игрока: (GHur)' (д;Л) = шш{(ОЯг);(д;Я)}.
Чистую стратегию At назовем оптимальной по критерию Гермейера-Гурвица относительно рисков во множестве чистых стратегий S'u если ее показатель неэффективности по критерию Гермейера-Гурвица относительно рисков совпадает с ценой игры по тому же критерию:
(GHur)ri(q;X) = rm{GHur)'l{q\X)
4) Критерий Гермейера-Гурвица оптимальности смешанных стратегий относительно рисков
Пусть задана матрица рисков R, а риск при выборе Игроком А смешанной стратегии Р = (рр1,-.,рт) и при состоянии природы П1 определяется как разность: r(P,ilj) = [max H(U, /7;)] - H(F;Лу), между максимальным выигрышем шах#(С/,/7 ) среди
выигрышей при всех смешанных стратегиях U = (ыД...,иД) eSA и при состоянии природы П, и выигрышем Я(Р;Яу) при смешанной стратегии Р = (р),р1,-,рД) и при том же состоянии природы.
Показатель неэффективности смешанной стратегии P = (px,Pi,Ч,Pm) по критерию Гермейера-Гурвица относительно рисков определим следующим образом: (GHur)r(P\q,X)=(1 - Я) |ик[?/(Л Я,.)]+Л Я,)], PeSA.
Ценой игры в смешанных стратегиях по критерию Гермейера-Гурвица относительно рисков назовем наименьший из показателей неэффективности смешанных стратегий по тому же критерию:
(GHurYSi (?,Я) = min {(GHur)'{P-,q\X): PeSA).
Оптимальной во множестве S,, смешанных стратегий по критерию Гермейера-
Гурвица относительно рисков назовем стратегию P
показателем неэффективности по тому же критерию:
(GHur)'{P
Принимая во внимание, что множество смешанных стратегий .У, бесконечно, в работе доказано, что функция (СНиг)' (Р;д,Я) достигает на множестве 5, своей нижней грани, т.е. в любой игре с Природой существует стратегия, оптимальная во множестве смешанных стратегий по критерию Гермейера-Гурвица относительно рисков.
В работе также предложены геометрический и аналитический методы отыскания оптимальных стратегий по критерию Гермейера-Гурвица относительно рисков в играх с природой 2хп.
5) Синтетический критерий Гермейера-Гурвица
Синтетический критерий Гермейера-Гурвица представляет собой выпуклую комбинацию функций эффективности критерия Гермейера-Гурвица относительно выигрышей и относительно рисков.
Рассматривается произвольное непустое замкнутое подмножество 5 множества всех смешанных стратегий Игрока Л. На данном множестве функция синтетической эффективности стратегий игрока относительно комбинации функций выигрышей и рисков определяется как разность следующего плана:
(ОНш-у'^Р; А; г) = т[(СНиг)" (Р- Л)] - (1 - т)[(СНиг)г (Р; д; Я)], где величина г е [0;1] и характеризует степень предпочтения, которое Игрок А отдает показателям, основывающимся на анализе выигрышей, по отношению к показателям, рассчитываемым на основе матрицы рисков, которым ставится в соответствие уже значение величины (1-г).
Значение функции синтетической эффективности для конкретной стратегии Ре5 назовем (<ЗНигУ'(д-,Л-,т)-показателем эффективности данной стратегии и определим следующей формулой:
{С11игУ'(сг, Л; г) = г[(1 - Л) Х пип [а - Н(Р, 77,)] +Л- тах[а ЩР; Я )]] -
\Sjin ' 1 !*/û
Функция {<ЭНигУ'(д\Л\г) является линейной комбинацией непрерывных на множестве 5 функций (ОНиг)'(Р\д\Л) и (ОНиг)'{Р\д\Х), а, следовательно, сама является непрерывной. Таким образом, в соответствии с теоремой Вейерштрасса, функция {рИигУ(д; Я; г) на любом непустом замкнутом подмножестве 5 множества 5,, достигает своего наибольшего значения (названо ценой игры синтетического критерия Гермейера-Гурвица): (вНш-у/^дт) = тах{(ОЯыг)Г (Р;з;Л;г):Ре5}.
Оптимальной во множестве 5 будем считать стратегию Р
(СЯю)Г (Г; Я; г) = гшх{ ((Р; <?; Я; г): Р е 5}.
Третий блок исследуемых вопросов связан с построением теоретико-игровой модели оптимизации выбора методов страховой защиты страховщика авиационных рисков, моделированием исходных данных на основе предложенной методики сценарного моделирования данных по авиационному портфелю, а также проведением анализа построенной модели.
Постановка задачи. На основании имеющейся информации по портфелю авиационных рисков страховой компании необходимо принять решение о выборе оптимального метода страховой защиты страховщика.
Решение задачи.
I. Моделирование исходных данных
Данный этап является наиболее важным и сложным, поскольку требует тщательного анализа данных по портфелю авиационных рисков страховой компании (как ретроспективных, так и прогнозируемых). В этой связи в диссертационной работе предложена следующая методика моделирования данных по авиационному портфелю.
Шаг 1 - Моделирование структуры портфеля (объекты страхования и страховые суммы). В зависимости от андеррайтинговой политики компании, а также на основе анализа тенденций в объеме и структуре авиационного портфеля выбирается правило и/или закон распределения, в соответствии с которым будут моделироваться страховые суммы по портфелю. В диссертационной работе при моделировании данных было сделано предположение о консервативности андеррайтинговой политики компании, в связи с чем было выбрано нормальное распределение для генерации страховых сумм портфеля авиационных рисков каско.
Шаг 2 Ч Моделирование убытков каждого типа по портфелю: разные сценарии развития ситуации. Анализ ретроспективных данных по авиационному портфелю дожен проводиться с учетом динамики портфеля в течение рассматриваемого периода, а при отнесении убытка к той или иной группе дожна проводиться корректировка размера убытка с учетом инфляции. На основе полученных данных по количеству и размеру убытков каждого типа в течение каждого из рассматриваемых периодов рекомендуется провести анализ вероятных причин получения наиболее и наименее
благоприятных результатов. Анализ рисков, занимающих существенную долю в общем объеме выплат по рассматриваемому портфелю, дожен оказать помощь в корректировке андеррайтинговой политики компании, особенно, если по итогам проведенного факторного анализа будет выявлен ряд значимых факторов, характеризующих наиболее неблагоприятные риски в портфеле компании.
В рамках диссертационной работы был проведен анализ данных по авиационным убыткам одной из наиболее крупных российских страховых компаний с многолетним опытом страхования авиационных рисков. В качестве исходных данных были взяты показатели по количеству и размеру убытков следующих типов:
1) убытки, связанные с любыми повреждениями воздушного судна, которые не превысили размера франшизы, установленной договором страхования.
2) убытки, связанные с повреждением планера (корпуса воздушного судна);
3) убытки, связанные с повреждениями планера и двигателя воздушного судна;
4) убытки, связанные с повреждениями двигателя воздушного судна;
5) убытки, связанные с катастрофой воздушного судна.
В качестве наиболее и наименее благоприятных сценариев по критерию количества убытков были взяты соответствующие ретроспективных данные. Для определения наиболее вероятного сценария развития событий при анализе соответствующих данных был использован метод скользящей средней относительного количества убытков каждой группы за последние 5 лет.
Шаг 3 - Моделирование ставок премии. На основе Методики1 расчета тарифных ставок по рисковым видам страхования рассчитана средняя тарифная ставка для риска. В рамках рассмотренной в работе задачи было сделано допущение, что Страховая компания несколько консервативна при выборе рисков, принимаемых на страхование, т.е. в портфеле компании отсутствуют риски, при тарификации которых применяется большое количество повышающих коэффициентов, что свидетельствует о повышенном риске. В этой связи в пакете анализа MS Excel для моделирования ставки премии для каждого объекта страхования было использовано нормальное распределение со средним значением, равным рассчитанной по Методике брутто ставке для риска.
После того, как были смоделированы несколько сценариев прохождения портфеля за рассматриваемый период по показателю брутто выплат по операциям прямого страхования и входящего перестрахования авиационных рисков, стала очевидной необходимость подбора и анализа методов страховой защиты страховщика.
1 Методика расчета тарифных ставок по рисковым вцдам страхования (утв. распоряжением Росстрахнадзора от 08.07.1993 N02-03-36).
Шаг 4 - Моделирование данных по перестраховочной защите. Расчеты проводятся в соответствии со стандартной техникой для каждого из рассматриваемых видов перестрахования. Для установления приоритетов в эксцедентных схемах в рамках диссертационного исследования проводися предварительный кластерный анализ данных по убыткам и страховым суммам портфеля рисков.
II. Математическая формализация задачи страхования авиационных рисков
Игроком в рассматриваемой игре является Страховая компания, перед которой стоит задача выбора оптимального метода страховой защиты страховщика. В работе рассмотрены следующие альтернативные чистые стратегии Игрока: Л, - квотное перестрахование с собственным удержанием в размере 20%; А1 - квотное перестрахование с собственным удержанием в размере 10%; А, - перестрахование на базе эксцедента сумм; А, - перестрахование на базе эксцедента убытка; А} -комбинированная схема перестрахования [квотное перестрахование с собственным удержанием в размере 40% и перестрахование на базе эксцедента убытка].
Природой в рассматриваемой игре являются условия, характеризующие совокупный размер годового убытка по смоделированному портфелю авиационных рисков. Природа может случайным образом пребывать в одном из п- 7 взаимоисключающих состояний, соответствующих семи смоделированным сценариям относительно размера годового убытка.
Игрок (Страховая компания) путем экспертной оценки делает предположение относительно вероятности реализации каждого из 7-ми сценариев. В качестве выигрышей Игрока =0; } = принят кассовый результат Страховой компании по каждой программе перестрахования и для каждого сценария, т.е. при выборе ею метода страховой защиты страховщика А, и при состоянии Природы П1.
Ш. Решение игры заключается в нахождении оптимальных стратегий в смысле выбранного критерия оптимальности.
В диссертационном исследовании были проведены расчеты и соответствующий анализ оптимальных методов страховой защиты страховщика с помощью классических критериев принятия решений и критерия Гермейера-Гурвица относительно выигрышей, а также проведен сравнительный анализ полученных результатов: большинством классических критериев оптимальными были признаны только методы страховой защиты страховщика, основанные на пропорциональных видах перестрахования. В работе показано, что применение классических критериев в рассматриваемой задаче ограничено, т.к. результаты оказываются во многом
предопределены исходными данными и степенью принятия риска, задаваемой самим критерием, а не лицом, принимающим решение.
Анализ результатов поиска оптимального метода страховой защиты страховщика по критерию Гермейера-Гурвица относительно выигрышей в чистых стратегиях показал, что в зависимости от значения параметра Я, характеризующего степень принятия риска ПР, оптимальным может быть признан каждый из рассматриваемых методов страховой защиты страховщика.
Результаты, полученные средствами математического моделирования с использованием комбинированного критерия Гермейера-Гурвица впоне соответствуют сложившемуся на практике подходу к выбору метода страховой защиты страховщика. Близкое к нулю значение показателя оптимизма характеризует страховую компанию с достаточно осторожным подходом к выбору перестраховочной защиты. Менеджмент компании может сомневаться в отношении точности или адекватности прогнозов развития компании на будущий период или опыт компании еще недостаточен для проведения качественного анализа портфеля, или же компания проводит эксперименты по изменению структуры и состава авиационного портфеля -во всех этих случаях достаточно сложно точно спрогнозировать убытки по индивидуальным рискам, в связи с чем для компании наиболее предпочтительным будет пропорциональное деление риска, когда вне зависимости от количества убытков и размера конкретного убытка страховая компания получает возмещение долей убытка с перестраховщиков. При этом как раз наибольшей степени пессимизма компании соответствует квотный договор перестрахования с наименьшим собственным удержанием среди рассматриваемых вариантов. Небольшому повышению степени оптимизма соответствует увеличение собственного удержания при выборе квотного договора перестрахования. Дальнейшее увеличение показателя оптимизма страховой компании ведет к выбору комбинированной схемы перестрахования. Такая схема является весьма универсальной, поскольку с одной стороны создает лэффект подушки безопасности [квотная часть перестраховочной защиты], а с другой стороны - уже позволяет проводить эксперименты по анализу индивидуального и совокупного годового брутто убытка путем варьирования размера приоритета в эксцедентном договоре. Грамотно составленная комбинированная схема перестрахования позволяет оптимизировать расходы на перестраховочную защиту. Наиболее сложными с точки зрения предварительных расчетов и прогнозов являются эксцедентные схемы перестрахования. В принципе, такие методы страховой защиты страховщика рассчитаны на страховые компании с некоторым опытом работы в области страхования
авиационных рисков, поскольку эффективность прохождения эксцедентных договоров перестрахования требует тщательного анализа ретроспективных данных по авиационному портфелю компании. Важным моментом при таком анализе является определение размера приоритета, поскольку большой размер приоритета хоть и будет давать компании некоторые выигрыши в плане цены перестраховочной защиты, однако при неправильном анализе и прогнозе размера индивидуального и совокупного убытка по портфелю может привести к тому, что перестраховочной защитой будут покрыты лишь катастрофические убытки, вероятность наступления которых достаточно мала, а основное бремя большого количества достаточно крупных убытков ляжет на бюджет страховой компании. Если же приоритет установлен на низком уровне, то страховая компания стакивается с проблемой существенного увеличения стоимости перестраховочной защиты, что может оказаться неоправданными расходами, если по итогам года окажется, что, в принципе, относительно небольших по размеру убытков было не так много.
В силу специфики матрицы выигрышей минимальными элементами матрицы рисков Гермейера оказались нулевые значения, в связи с чем показатель неэффективности по критерию Гермейера-Гурвица превратися в показатель неэффективности по критерию Гермейера относительно рисков. Параметр А в данном случае уже не выпоняет предписанную ему функцию сглаживания наибольших и наименьших значений. Таким образом, полученный результат в части оптимальной стратегии А, (перестрахование на базе эксцедента сумм) впоне согласуется с реализованным подходом к определению оптимальной стратегии, поскольку анализ, проводимый на основе матрицы рисков как раз и нацелен на поиск оптимальных вариантов среди опций, в основе которых изначально заложено недополучение, отклонение от максимального выигрыша.
Смешанную стратегию для рассмотренной задачи страхования авиационных рисков можно интерпретировать как определение средне-/ догосрочной стратегии компании: как правило, договор перестрахования заключается на период в несколько лет с возможностью ежегодного пересмотра условий при возобновлении и - при необходимости - прекращения. Ведение перестраховочного портфеля является достаточно трудоемким процессом, и согласно обычаям делового оборота плохим тоном считается частая смена перестраховочной защиты при отсутствии серьезных оснований. Поиск решения в смешанных стратегиях зависит от конкретных параметров, задаваемых лицом, принимающим решение, поэтому в рамках
диссертационного исследования (в качестве илюстрации подхода к анализу решения в смешанных стратегиях) поиск оптимального метода страховой защиты страховщика был выпонен при фиксированных значениях показателя пессимизма-оптимизма и для наиболее распространенных на практике видов перестрахования - квотного и перестрахования на базе эксцедента убытка. Произведенные расчеты и анализ решения в смешанных стратегиях относительно выигрышей и относительно рисков позволили показать, как построенная теоретико-игровая модель может использоваться при проведении средне-/ догосрочного планирования и анализа методов страховой защиты страховщика.
III. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ДИССЕРТАЦИИ И РЕЗУЛЬТАТЫ
ИССЛЕДОВАНИЯ ОТРАЖЕНЫ В СЛЕДУЮЩИХ ПУБЛИКАЦИЯХ:
Статьи в журналах, определенных ВАК:
1). Штохова И.Н. Анализ задачи страхования космических рисков с применением комбинированного критерия Гермейера-Гурвица [текст] / Л.Г. Лабскер, И.Н. Штохова И Вестник Финансовой академии. М.: Финансы и Статистика, 2005. - № 3 (35). - С. 43-37. (1,12/0,56 п.л.)
2). Штохова И.Н. Выбор оптимального метода страхования авиационных рисков каско с помощью критерия Гермейера-Гурвица относительно выигрышей [текст] / И.Н. Штохова // Управление риском. М.: Анкил, 2009. - № 1 (49). - С. 44-49. (0,62 п.л.)
Статьи в других научных изданиях:
3). Штохова И.Н. Геометрический и аналитический методы решения игр с природой 2хп по критерию Гермейера-Гурвица относительно выигрышей (параграф 4.21 монографии Теория критериев оптимальности и экономические решения) [текст] / И.Н. Штохова // Лабскер Л.Г. Теория критериев оптимальности и экономические решения: монография / Л.Г. Лабскер. - М.: КНОРУС, 2008. - с. 638-642. (0,22 п.л.)
4). Штохова И.Н. Отыскание стратегий, оптимальных по критерию Гермейера-Гурвица, в играх с природой 2хл и их применение к решению задачи страхования космических рисков [текст]/ И.Н. Штохова // Материалы XLIV Международной научной студенческой конференции Студент и научно-технический прогресс: Математика / Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т, 2006. - С. 281-282.(0,11 п.л.)
5). Штохова И.Н. Теоретико-игровое моделирование принятия решений в задаче страхования рисков космических проектов [текст] / И.Н. Штохова И Современные
проблемы прикладной математики и математического моделирования: Материалы II Международной научной конференции. Воронеж: ГОУ ВПО Воронежская государственная технологическая академия, 2007. - С. 216-217. (0,08 п.л.)
6). Штохова И.Н. Теоретико-игровое моделирование принятия решений в задаче страхования авиационных рисков [текст] / И.Н. Штохова // Материалы VI Международной научной конференции молодых ученых, аспирантов и студентов Молодежь и экономика, том IV, 15 апреля 2009 г. - Ярославль: ВФЭА, 2009. -С. 215-216. (0,08 п.л.)
7). Штохова И.Н. Теоретико-игровое моделирование задачи страхования авиационных рисков с применением комбинированного критерия Гермейера-Гурвица [текст] / И.Н. Штохова // Моделирование социально-экономических процессов: современные тенденции и подходы: сборник научных статей по материалам Всероссийской конференции молодых ученых и студентов. Часть 2 / под науч. ред. канд. филос. наук, проф. В. А. Лихобабина, д-ра экон. наук, проф. М. И. Разумовской. -Хабаровск: РИЦХГАЭП, 2009, С. 232-236. (0,38 п.л.)
8). Штохова И.Н. Теоретико-игровое моделирование принятия решений в задаче страхования авиационных рисков [текст] / И.Н. Штохова // Менеджмент: управление в социальных и экономических системах: сборник статей Международной научно-практической конференции. /МНИЦ ПГСХА. - Пенза: РИО ПГСХА, 2009, С. 184-187. (0,16 пл.)
9). Штохова И.Н. Теоретико-игровое моделирование задачи страхования авиационных рисков с применением комбинированного критерия Гермейера-Гурвица [текст] / И.Н. Штохова // Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2009): Материалы VIII Всероссийской научно-практической конференции с международным участием (13-14 ноября 2009 г.). - Томск: Изд-во Том. Ун-та, 2009. - Ч. 1. - С. 327-332. (0,34 п.л.)
10). Штохова И.Н. Принятие решений в задаче страхования авиационных рисков с применением синтетического критерия Гермейера-Гурвица [текст] / И.Н. Штохова // Наука и современность - 2010. Сборник материалов I Международной научно-практической конференции. В 3-х частях. Часть 3 / Под общ. ред. С.С. Чернова. -Новосибирск: Издательство СИБПРИНТ, 2010. - С. 168-173. (0,3 п.л.)
Подписано в печать:
20.10.2010
Заказ № 4372 Тираж - 13 0 экз. Печать трафаретная. Объем: 1,5усл.п.л. Типография л11-й ФОРМАТ ИНН 7726330900 115230, Москва, Варшавское ш., 36 (499) 788-78-56 www.autoreferat.ru
Диссертация: содержание автор диссертационного исследования: кандидат экономических наук , Штохова, Ирина Николаевна
ВВЕДЕНИЕ.
ГЛАВА 1. ЗАДАЧА СТРАХОВАНИЯ АВИАЦИОННЫХ РИСКОВ: ПРОБЛЕМА ВЫБОРА ОПТИМАЛЬНОГО МЕТОДА СТРАХОВОЙ ЗАЩИТЫ СТРАХОВЩИКА.
1.1 Роль воздушных перевозок в мировой экономике.
1.2 Риски катастроф: анализ состояния мировых воздушных перевозок.
1.3 Оценка размера потенциального убытка авиакомпании в случае авиационного происшествия
1.3.1 Оценка убытка по каско воздушного судна.
1.3.2 Оценка убытка по ответственности авиаперевозчика.
1.4 Особенности страхования авиационных рисков.
1.5 Аналитический обзор подходов к выбору оптимального метода страховой зашиты страховщика.
Диссертация: введение по экономике, на тему "Разработка теоретико-игровой модели для оптимизации решения задачи страхования авиационных рисков"
Актуальность темы исследования. Воздушное сообщение соединяет людей, страны и культуры, обеспечивает доступ к глобальным рынкам, развивает торговые отношения и туризм, а также преодолевает границы между развитыми и развивающимися странами. Между тем, воздушные перевозки сопряжены с высокими рисками, носящими катасгрофический характер, поскольку данное направление в транспортной отрасли напрямую связано с разработкой, созданием и эксплуатацией объектов повышенной опасности. Несмотря 'На то, что без опасность авиационных перевозок является приоритетным направлением в отрасли, статистика авиационных происшествий свидетельствует о том, что авиационный транспорт все еще не является абсолютно безопасным. Это связано с тем, что авиационная безопасность не зависит исключительно от авиакомпании или региона эксплуатации, а связана с глобальной авиационной инфраструктурой, включающей в себя деятельность аэропортов, воздушное пространство, систему управления воздушным движением и т.д. В случае же серьезного авиационного происшествия авиакомпания несет огромные убытки: одни только прямые убытки авиакомпании складываются не только из стоимости поврежденной / утраченной авиационной техники, но и из огромных расходов на урегулирование претензий по ответственности перед пассажирами и третьими лицами, жизни/здоровью или имуществу которых нанесен вред / причинен ущерб. В этой связи в системе управления рисками авиакомпании особое значение имеет страхование рисков авиакаско воздушного судна и ответственности авиаперевозчика. А между тем, предоставляя авиакомпании страховую защиту, страховая компания сама становится подвержена особым рискам - рискам страховщика, огромным по своему потенциальному размеру обязательствам, вытекающим из договоров страхования авиационных рисков. Учитывая ряд особенностей страхования авиационных рисков, среди которых необходимость наличия у страховой компании огромных средств и подверженность рискам катастрофических убытков, для страховой компании становится актуальной проблема поиска и выбора оптимальных методов страховой защиты страховщика- программ по передаче и/или разделению первичного риска, принимаемого на страхование.
Недостаточная разработанность проблемы выбора оптимального метода страховой защиты страховщика авиационных рисков, отсутствие апробированных рекомендаций по практической реализации подходов к выбору оптимального метода определили актуальность исследования и обусловили выбор темы диссертации.
Степень научной проработанности проблемы. Общие вопросы, связанные с методами страховой защиты страховщика, их особенностями и практикой применения рассматриваются в работах К. Пфайффера, Д. Бланда, Д. Рейма и Дж. Лэнгфорда, экспертов компании Swiss Re - П. Бауэра, К. Багмэна, Р. Энца, Дж. Фридлоса, М. Куна, а также в работах российских специалистов - JI.A. Орланюк-Малицкой, К.Е. Турбиной, Ю.А. Сплетухова, Е.Ф. Дюжикова, А.Г. Ивасенко, Я.И. Никоновой, Г.В. Черновой, А.П. Архипова, В.Б. Гомеля, Д.С. Туленты, Н.Б. Грищенко и др.
Исследование широкого круга вопросов в рамках одного из направлений теории принятия решений - теории игр проводится в работах Дж. фон Неймана и О. Моргенштерна, Г. Оуэна, Э; Мулена, Е.С. Вентцель, JI.A. Петросяна, H.A. Зенкевича, H.H. Воробьева, И.Д. Протасова, A.B. Крушевского, а критериальных подходов в оптимизации - в работах Т. Байеса, П.-С. Лапласа, А. Вальда, Л. Гурвица, Ю.Б. Гермейера.
Ряд работ ведущих зарубежных исследователей охватывает проблемы деления риска страховщика и особенности техники расчетов в области актуарной математики - Н. Бауэре, X. Гербер, Д. Джонс, С. Несбитт, Дж. Хикман, а также математического моделирования в страховании -исследования Ж. Лемера, Т. Мака, Г. Бенктандера, Дж. Джанга, К. Филипсона, К. Борха, О. Хесселагера, X. Вербеека, Э. Песонена, С. Важда, Л. Центено, О. Симо, М. Андреадакиса, Г. Вотерса.
Результат проведенного анализа существующих моделей в области управления риском страховщика привел к выводу о сложности, а зачастую и невозможности применения данных моделей для анализа и решения задачи о выборе оптимального метода страховой защиты страховщика авиационных рисков, поскольку большинство моделей основано на применении методов математической статистики, в основном Ч закона больших чисел, в то время как использование данного закона неэффективно для оценки авиационных рисков.
Таким образом, существует необходимость разработки математической модели, которая позволяла бы комплексно решать задачу выбора оптимального метода страховой защиты страховщика авиационных рисков путем сопоставления всех имеющихся в распоряжении страховой компании альтернатив, предоставляла бы возможность задавать целевую функцию на основании выбираемых страховой компанией параметров оптимизации, учитывать разные сценарии развития ситуации в исследуемом поле параметров, проводить анализ с учетом разной степени принятия риска руководством страховой компании. Необходимость создания такой модели определила цель и задачи диссертационного исследования.
Целью диссертационного исследования является решение задачи оптимизации* управления риском страховщика с помощью разработанной для этого теоретико-игровой модели:
Для достижения указанной* цели- в работе поставлены и решены следующие задачи:
1) исследовать особенности страхования авиационных рисков, провести сравнительный анализ существующих моделей в области управления страховым риском страховщика;
2) построить комбинированную функцию сравнения стратегий страховщика и на ее основе разработать критерий принятия решений по выбору оптимального метода страховой защиты страховщика;
3) определить критерий принятия решений относительно выигрышей и относительно рисков, количественно характеризующих упущенную игроком возможность максимального выигрыша;
4) разработать математическую (теоретико-игровую) модель для анализа задачи страхования авиационных рисков;
5) провести моделирование данных по деятельности страховой компании, занимающейся страхованием авиационных рисков, и проанализировать задачу страхования авиационных рисков с помощью построенной модели.
Объектом исследования является управление риском страховщика авиационных рисков.
Предметом исследования является теоретико-игровое моделирование принятия решений в страховании.
Теоретической и методологической основой исследования послужили теоретические и методологические положения, содержащиеся в трудах российских и зарубежных авторов в области страхования и перестрахования, применения математического моделирования в страховании, а также теоретико-игрового моделирования.
При решении конкретных задач использовася аппарат теории статистических игр, теоретико-игрового моделирования, теории вероятностей и математической статистики, линейных многомерных пространств, методы экспертных оценок, элементы кластерного и сценарного анализа, а также программно-инструментальные средства MS Excel.
Область исследования соответствует п. 1.1 Разработка и развитие математического аппарата анализа экономических систем: математической экономики, эконометрики, прикладной статистики, теории игр, оптимизации, теории принятия решений, дискретной математики и других методов, используемых в экономико-математическом моделировании и п. 1.4: Разработка и исследование моделей и математических методов анализа микроэкономических процессов и систем: отраслей народного хозяйства, фирм и предприятий, домашних хозяйств, рынков, механизмов формирования спроса и потребления, способов количественной оценки предпринимательских рисков и обоснования инвестиционных решений паспорта ВАК РФ по специальности 08.00.13 - Математические и инструментальные методы экономики.
Информационную основу исследования составили фундаментальные и прикладные работы отечественных и зарубежных авторов по авиационному страхованию, по вопросам математики рискового страхования и теоретикоигрового моделирования, нормативно-правовые акты Российской Федерации, методические разработки в области перестрахования, страхования специальных рисков и их анализа, источники Интернет, статистические данные по работе страховых компаний, отчеты аналитических агентств.
Научная новизна диссертационного исследования заключается в обосновании предпосылок и разработке теоретико-игровой модели выбора оптимальных методов страховой защиты страховщика авиационных рисков.
Новыми являются следующие положения диссертационной работы:
1) построена комбинированная функция сравнения стратегий (тем самым сформирована сравнительная структура потенциальной теоретико-игровой модели), и на ее основе разработан комбинированный критерий для принятия решений об оптимальности стратегий в условиях риска, названный критерием Гермейера-Гурвица;
2) разработанный критерий Гермейера-Гурвица определен для решения игр с природой как относительно выигрышей, так и> относительно рисков, а также сформировано смешанное расширение разработанного критерия Гермейера-Гурвица;
3) применительно к разработанному критерию получены следующие результаты:
- доказана теорема существования в любой игре с природой стратегии, оптимальной во множестве смешанных стратегий по критерию Гермейера-Гурвица относительно выигрышей;
- доказана теорема существования в любой игре с природой стратегии, оптимальной во множестве смешанных стратегий по критерию Гермейера-Гурвица относительно рисков;
- предложены математико-формализованные методы выбора показателя оптимизма критерия Гермейера-Гурвица;
- предложены геометрические и аналитические методы (соответствующие агоритмы и формулы) отыскания оптимальных стратегий в играх с природой 2хп
- определен синтетический критерий Гермейера-Гурвица.
4) на основе разработанного критерия Гермейера-Гурвица построена теоретико-игровая модель выбора оптимальных методов страховой защиты страховщика авиационных рисков;
5) разработана методика сценарного моделирования данных по авиационному портфелю, учитывающая разные подходы страховой компании к подбору и анализу данных по количеству и размеру убытков страхования авиационных рисков.
Теоретическая и практическая значимость исследования.
Теоретическая значимость исследования заключается в развитии теоретико-игрового аппарата экономических исследований и его применении для повышения обоснованности управленческих решений.
Практическая значимость результатов состоит в том, что разработанные в диссертации теоретико-игровая модель оптимизации управления риском страховщика и методика сценарного моделирования данных по авиационному портфелю ориентированы на широкое использование при решении задач оптимизации, анализа методов страховой защиты страховщика при подготовке соответствующих рекомендаций для принятия управленческих решений в страховой компании.
Построенная модель является универсальной и может применяться не только для решения задачи страхования авиационных рисков, но и целого ряда задач оптимизации в страховании специальных рисков.
Предложенная методика сценарного моделирования данных по авиационному портфелю может быть использована не только в рамках решения задачи о выборе оптимального метода страховой защиты страховщика, но и задач средне- и догосрочного прогнозирования убыточности авиационного портфеля, подготовке рекомендаций при бюджетном планировании.
Практическое значение имеют:
- теоретико-игровая модель оптимизации выбора методов страховой защиты страховщика авиационных рисков;
- 1методика сценарного моделирования данных по авиационному портфелю, учитывающая разные подходы страховой компании к подбору и анализу данных по количеству и размеру убытков страхования авиационных рисков.
Отдельные фрагменты диссертационного исследования могут быть использованы при изучении студентами бакалавриата и магистратуры дисциплин Теория игр, Математика рискового страхования, Экономико-математическое моделирование, Теория принятия решений, Исследование операций. Некоторые выводы проведенного исследования могут оказаться небесполезными для преподавателей, ведущих соответствующие курсы и аспирантов соответствующих специальностей.
Результаты диссертационного исследования могут быть использованы также при повышении квалификации специалистов в области математического моделирования в страховании и теории принятия управленческих решений.
Апробация и внедрение результатов исследования.
Основные положения и результаты диссертационного исследования были изложены и обсуждены на следующих научных конференциях:
1). Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых Ломоносов-2005, секция Экономика, Москва, 12-15 апреля 2005 г. (Почетная грамота за лучший доклад на секции Экономика);
2). ХЫУ Международная научная студенческая конференция Студент и научно-технический прогресс, Новосибирск, 11-13 апреля 2006 г. (Диплом второй степени за работу, представленную на Международную студенческую конференцию Студент и научно-технический прогресс);
3). П-ая международная научная конференция Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования, Воронеж, 11-16 декабря 2007 г.;
4). Международная научная конференция Молодежь и экономика, Ярославль, 15 апреля 2009 г.;
5). 8-я Международная ФАМ конференция по финансово-актуарной математике и смежным вопросам, Красноярск, 24-26 апреля 2009 г.;
6). Всероссийская конференция- молодых учёных и студентов Моделирование социально-экономических процессов: современные тенденции и подходы, Хабаровск, 25-27 мая 2009 г.;
7). VII Международная научно-практическая конференция Управление в социальных и экономических системах, Пенза, 01-30 ноября 2009 г.;
8). VIII Всероссийская научно-практическая конференция с международным участием- Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2009), Анжеро-Судженск, 13-14 ноября 2009 г.;
9). Всероссийская научно-практическая конференция Математика, информатика, естествознание в экономике и обществе, Москва, МФЮА, 16-17 ноября 2009 г.;
10). Международная научно-практическая' конференция Актуальные проблемы экономики, менеджмента, маркетинга, Бегород, 17-19 ноября 2009 г.;
11). Дальневосточная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по теоретической и прикладной математике, Владивосток , 19-21 ноября 2009 г.;
12). I Международная научно-практическая- конференция Наука и, современность - 2010, Новосибирск, март 2010 г.
Материалы диссертации были представлены на научных семинарах Актуальные проблемы* экономико-математического моделирования (руководитель - профессор В.А. Бывшев) и Теория игр (руководитель -профессор Л.Г. Лабскер).
Исследование выпонено в рамках научно-исследовательских работ ФГОБУ ВПО Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации, проводимых в соответствии, с Комплексной темой: Инновационное развитие России: социально-экономическая стратегия- и финансовая политика по межкафедральной подтеме Экономико-математический подход к измерению инновационного роста.
Результаты исследования нашли практическое, применение . в деятельности страховой компании ОСАО Ингосстрах. Используемые в аналитической работе компании авторские методика моделирования данных по авиационному портфелю и теоретико-игровая модель анализа перестраховочной защиты способствуют оптимизации финансового результата по направлению страхования авиационных рисков, подготовке проектов бюджета на очередной финансовый год, а также выработке рекомендаций по совершенствованию андеррайтинговой политики.
Отдельные фрагменты диссертации включены в учебные программы по дисциплине Теория игр, читаемые на факультете Математические методы и анализ рисков ФГОБУ ВПО Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации.
Внедрение указанных результатов исследования подтверждается соответствующими справками о внедрении.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 печатных работ общим объемом 3,41 п.л., в том числе авторский текст - 2,85 п.л. Две статьи общим объемом 1,74 (авторский объем - 1,18 п.л.) опубликованы в журналах, определенных ВАК.
Структура и объем работы. Структура диссертации обусловлена целью, задачами и логикой исследования. Работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованной литературы, включающего 130 наименований, и 2-х приложений. Диссертация включает 66 формул, 27 таблиц, 3 графика, 7 рисунков и 1 схему. Общий объем работы составляет 177 страниц.
Диссертация: заключение по теме "Математические и инструментальные методы экономики", Штохова, Ирина Николаевна
Основные выводы
1). Разработана методика сценарного моделирования исходных данных, учитывающая разные подходы страховой компании к подбору и анализу данных по количеству и размеру убытков страхования авиационных рисков.
2). Построена теоретико-игровая модель для анализа методов страховой защиты страховщика авиационных рисков.
3). Проведены расчеты и соответствующий анализ полученных оптимальных методов страховой защиты страховщика на основании классических критериев принятия решений и критерия Гермейера-Гурвица относительно выигрышей, а также проведен сравнительный анализ полученных результатов.
3.1) Показано, что применение классических критериев в рассматриваемой4 задаче ограничено, т.к. результаты оказываются1 во многом предопределены исходными-данными и. степенью принятия риска, задаваемой самим критерием, а не лицом; принимающим решение.
3.2) Анализ результатов поиска оптимального метода страховой защиты страховщика по критерию Гермейера-Гурвица относительно выигрышей в чистых- стратегиях показал, что в зависимости от значения параметра Л, характеризующего степень принятия риска, оптимальным может быть признан каждый из рассматриваемых методов страховой защиты страховщика.
4). В результате проведенного поиска оптимального метода страховой защиты страховщика по критерию Гермейера-Гурвица относительно рисков в чистых стратегиях установлено, что специфика исходных данных привела к снятию эффекта сглаживания комбинированного критерия Гермейера-Гурвица относительно рисков.
5). Произведенные расчеты и анализ решения в смешанных стратегиях относительно выигрышей и относительно рисков позволили показать, как построенная теоретико-игровая I модель может использоваться при проведении средне-/догосрочного планирования и анализа методов страховой защиты страховщика.
Заключение
Авиационное страхование является одним из наиболее сложных направлений в страховании, поскольку требует от страховщика не только значительных ресурсов, необходимых для покрытия потенциальных катастрофических убытков, но и тщательного анализа принимаемого на страхование риска. Одним из направлений такого анализа риска является выбор оптимального метода страховой защиты страховщика.
Существует ряд подходов к выбору оптимальных методов страховой защиты страховщика. Большинство из них основывается на анализе данных с помощью методов математической статистики с привязкой к закону больших чисел. Между тем, анализ авиационных рисков с применением общих подходов, использующихся в анализе рисков массовых видов страхования, весьма затруднителен.
При принятии на страхование авиационных рисков перед страховой компанией стоит задача выбора метода страховой защиты, оптимального в смысле определенного критерия оптимальности в конкретных условиях с известными! случайными состояниями, вероятности наступления которых иногда известны, а иногда нет. В рамках проведенного исследования задача оптимизации управления риском страховщика рассматривалась и анализировалась с применением аппарата теоретико-игрового моделирования.
На первом этапе исследования была определена особая роль страхования в системе управления рисками авиакомпании: на основе проведенного исследования обоснована важная роль воздушных перевозок в экономическом и социальном аспектах функционирования современного общества; на основе результатов проведенного статистического анализа безопасности полетов проведен анализ авиационных рисков, а также обозначены основные факторы риска при осуществлении воздушных перевозок; проведена оценка размера потенциального ущерба авиакомпании в отношении имущества (воздушное судно) и ответственности (перед пассажирами и третьими лицами) на случай наступления неблагоприятных событий.
Далее были выявлены и проанализированы особенности авиационных рисков и специфика их страхования, на основании чего сделан вывод о необходимости разработки и реализации методов страховой защиты страховщика авиационных рисков.
Проведенный анализ основных методов страховой защиты страховщика и с учетом их преимуществ и недостатков позволил выявить проблему отсутствия унифицированного подхода к выбору оптимального метода страховой защиты страховщика: решение задачи проводится каждым страховщиком индивидуально в зависимости от его подходов к принятию решения. На основании анализа существующих моделей в области управления^ риском страховщика сделан вывод о сложности, а зачастую и невозможности применения данных моделей для анализа и решения задачи о выборе оптимального метода страховой защиты страховщика авиационных рисков.
В рамках первого этапа исследования были выявлены основные критерии, которым дожен отвечать, инструментарий страховой компании по выбору оптимального метода страховой защиты страховщика.
На втором этапе исследования был разработан новый критерий оптимальности для принятия решений в ситуации риска: критерий Гермейера-Гурвица, представляющий собой комбинацию двух классических критериев принятия решений - критерия Гермейера и критерия Гурвица. В силу того, что разработанный критерий оптимальности имеет самостоятельное значение и важность как новый элемент теоретико-игрового аппарата, была проведена его комплексная проработка по следующим направлениям:
1) разработанный критерий Гермейера-Гурвица определен для решения игр с Природой как относительно выигрышей, так и относительно рисков;
2) определено смешанное расширение разработанного критерия Гермейера-Гурвица;
3) относительно разработанного критерия исследованы следующие вопросы:
- соотношение между ценой игры и показателями эффективности (неэффективности) чистых и смешанных стратегий;
- доказана теорема существования в любой игре с природой стратегии, оптимальной во множестве смешанных стратегий по критерию Гермейера-Гурвица относительно выигрышей;
- доказана теорема существования в любой игре с природой стратегии, оптимальной во множестве смешанных стратегий по критерию Гермейера-Гурвица относительно рисков;
- предложены математико-формализованные методы выбора показателя оптимизма критерия Гермейера-Гурвица;
- предложены геометрические и аналитические методы (соответствующие агоритмы и формулы) отыскания оптимальных стратегий в играх с природой 2-х.п.
4) определен синтетический критерий Гермейера-Гурвица, представляющий собой синтез критерия Гермейера-Гурвица относительно выигрышей и относительно рисков.
На третьем этапе исследования был проведен анализ задачи страхования авиационных рисков, заключающейся в выборе оптимального метода страховой защиты страховщика.
В силу того, что важное значение при проведении экономико-математического моделирования имеет подбор и обработка исходных данных для дальнейшего анализа, в рамках исследования была разработана методика сценарного моделирования исходных данных, учитывающий разные подходы страховой компании к подбору и анализу данных по количеству и размеру убытков страхования авиационных рисков.
Далее была построена теоретико-игровая модель для анализа методов страховой защиты страховщика авиационных рисков.
Игроком в рассматриваемой игре является Страховая компания, перед которой стоит задача выбора оптимального метода страховой защиты страховщика. В работе рассмотрены следующие альтернативные чистые стратегии Игрока: А1 Ч квотное перестрахование с собственным удержанием в размере 20%; А^ Ч квотное перестрахование с собственным удержанием в размере 10%; А3 Ч перестрахование на базе эксцедента сумм; Л4 -перестрахование на базе эксцедента убытка; А5 Ч комбинированная схема перестрахования [квотное перестрахование с собственным удержанием в размере 40% и перестрахование на базе эксцедента убытка].
Природой в рассматриваемой игре являются условия, характеризующие совокупный размер годового убытка по смоделированному портфелю авиационных рисков. Природа может случайным образом пребывать в одном из я = 7 взаимоисключающих состояний, соответствующих семи смоделированным сценариям, характеризующим размер годового убытка по авиационному портфелю.
Игрок (Страховая компания) путем экспертной оценки делает предположение относительно вероятности реализации каждого из 7-ми сценариев.
В качестве выигрышей Игрока ач, / = 1,5 ; у = 1,7 принят кассовый результат Страховой компании по каждой программе перестрахования и для каждого сценария, т.е. при выборе ею метода страховой защиты страховщика А, и при состоянии Природы П].
Выбор метода страховой защиты страховщика предложено осуществлять с применением критериев оптимальности, в частности, с помощью разработанного критерия Гермейера-Гурвица.
Проведенные расчеты и соответствующий анализ полученных оптимальных методов страховой защиты страховщика на основании классических критериев принятия решений и критерия Гермейера-Гурвица относительно выигрышей, позволил установить, что применение классических критериев в рассматриваемой задаче страхования авиационных рисков ограничено, т.к. результаты оказываются во многом предопределены исходными данными и степенью принятия риска, задаваемой самим критерием, а не лицом, принимающим решение.
Анализ результатов поиска оптимального метода страховой защиты страховщика по критерию Гермейера-Гурвица относительно выигрышей в чистых стратегиях показал, что в зависимости от значения параметра Я, характеризующего степень принятия риска, оптимальным может быть признан каждый из рассматриваемых методов страховой защиты страховщика.
Проведенный поиск оптимального метода страховой защиты страховщика по критерию Гермейера-Гурвица относительно рисков в чистых стратегиях установлено, что специфика исходных данных привела к снятию эффекта сглаживания комбинированного критерия Гермейера-Гурвица относительно рисков.
Поиск решения в смешанных стратегиях зависит от конкретных параметров, задаваемых лицом, принимающим решение, поэтому в рамках работы к качестве илюстрации подхода к анализу решения в смешанных стратегиях поиск оптимального метода страховой защиты страховщика был выпонен при фиксированных значениях показателя пессимизма-оптимизма и для наиболее распространенных на практике видов перестрахования Ч квотного и перестрахования на базе эксцедента убытка.
Таким образом, в результате проведенного исследования была разработана теоретико-игровая модель оптимизации управления риском страховщика, проведен ее анализ и получено решение задачи страхования авиационных рисков для смоделированного портфеля авиационных рисков.
Диссертация: библиография по экономике, кандидат экономических наук , Штохова, Ирина Николаевна, Москва
1. Абрамов В.Ю. Страховой риск: понятие и оценка. Правовые аспекты / В.Ю. Абрамов. М.: Анкил, 2006. - 128 с.
2. Бережная Е.В., Бережной В.И. Математические методы моделирования экономических систем: Учеб. пособие / Бережная Е.В., Бережной В.И. -М.: Финансы и статистика, 2006. Ч 432 с.
3. Бродская Е. Рынок лизинга переживает спад Электронный ресурс. / Елена Бродская // Банковское обозрение, 2009. Ч № 10. Режим доступа: Ссыка на домен более не работает2009/16/operacionniylizing.htm. Дата обращения: 02.05.2010.
4. Буцык И.М. Управление риском как главная предпосыка безопасности полетов / Буцык И.М. // Труды общества независимых расследователей авиационных происшествий. Выпуск № 20. Ч М.: Оперативная полиграфия, 2008. с. 259-267.
5. Вентцель Е.С. Введение в исследование операций / Вентцель Е.С. М: Советское радио, 1964 Ч 381 с.
6. Воздушный кодекс Российской Федерации от 19.03.1997 № 60-ФЗ (принят ГД ФС РФ 19.02.1997) (ред. от 18.07.2009).
7. Гейтс Ш. Нормы международного права, применяемые к урегулированию претензий пассажиров / Шон Гейтс // Новости авиационного страхового рынка. Сборник докладов конференции РААКС (10-12 октября 2007 г.). -2007.-№27.-С. 31-42.
8. Гермейер Ю.Б. Игры с непротивоположными интересами / Гермейер Ю.Б. М.: Главная редакция физико-математической литературы издательства Наука, 1976.-328 с.
9. Гражданский кодекс Российской Федерации (часть вторая) от 26.01.1996 №14-ФЗ (принят ГД ФС РФ от 22.12.1995) (ред. от 17.07.2009). Глава 48 Страхование.
10. Ю.Грищенко Н.Б. Основы страховой деятельности: Учебное пособие / Н.Б. Грищенко. Барнаул: Изд-во Ат. ун-та, 2001. - 274 с.
11. Дж. фон Нейман, О. Моргенштерн. Теория игр и экономическое поведение. Перев. с англ. под ред. и с доб. H.H. Воробьева / Дж. фон Нейман, О. Моргенштерн. Главная редакция физико-математической литературы, изд-ва Наука, 1970. Ч 708 с.
12. Дубров A.M., Лагоша Б.А., Хрусталев Е.Ю. Моделирование рисковых ситуаций в экономике и бизнесе / Дубров A.M., Лагоша Б.А., Хрусталев Е.Ю. Ч М.: Финансы и статистика, 2000. 176 с.
13. Зверева П. В ожидании светлого будущего. Производители представили прогнозы развития авиационного рынка / Зверева П. // Авиатранспортное обозрение.-2009.-№ 101.-С. 32-36.
14. Кирин А.Ю. Построение системы управления рисками в авиакомпании Электронный ресурс. / Кирин А.Ю. // Эксперт РА. Режим доступа: Ссыка на домен более не работаетcase/casell/. Дата обращения: 02.05.2010.
15. Крушевский A.B. Теория игр / Крушевский A.B. Киев: Издательское объединение Вища школа, 1977. -216 с.
16. Лабскер Л.Г. Обобщенный критерий пессимизма-оптимизма Гурвица. В колективной монографии Финансовая математика / Лабскер Л.Г. -М.: МГУ им. М.В.Ломоносова, 2001. С.401-414.
17. Лабскер Л.Г. Теория критериев оптимальности и экономические решения / Лабскер Л.Г. М: КНОРУС, 2008. - 744 с.
18. Лабскер Л.Г., Бабешко Л.О. Игровые методы в управлении экономикой и бизнесом / Лабскер Л.Г., Бабешко Л.О. М.: Дело, 2001. - 464 с.
19. Лабскер Л.Г., Штохова И.Н. Анализ задачи страхования космических рисков с применением комбинированного критерия Гермейра-Гурвица / Л.Г. Лабскер, И.Н. Штохова // Вестник Финансовой ' академии. М.: Финансы и Статистика, 2005. № 3 (35). - С. 43-57.
20. Лабскер Л.Г., Яновская Е.В. Общая методика конструирования критериев оптимальности решений в условиях риска и неопределенности /
21. Лабскер Л.Г., Яновская E.B. // Управление риском, 2002. № 4. - С. 1324.
22. Мак Томас. Математика рискового страхования / Пер. с нем. М.: ЗАО Олимп-Бизнес, 2005. -432 е.: ил.
23. Марченко Р. Пернатая проблема Электронный ресурс. / Марченко Р. // Авиатранспортное обозрение, 2009. № 102. // Режим доступа: www.ato.ru/content/пернатая-проблема. Дата обращения: 02.05.2010.
24. Международная организация гражданской авиации. Годовой доклад совета Ч 2007 Электронный ресурс. // Режим доступа: Ссыка на домен более не работаетicaonet/dcs/9898/9898ru.pdf. Дата обращения: 02.05.2010.
25. Методики расчета тарифных ставок по рисковым видам страхования" (утв. распоряжением Росстрахнадзора от 08.07.1993 N 02-03-36).
26. Морозова Л. Упал, подняся: в авиастраховании не хватает профессионалов Электронный ресурс. / Морозова Л. // Российская газета
27. Бизнес, 2010. №738. Режим доступа: www.rg.ru/2010/02/09/strahov.html. Дата обращения: 02.05.2010.
28. Мулен Э. Теория игр с примерами из математической экономики: Пер. с франц. / Мулен Э. М.: Мир, 1985. - 200 е., ил.
29. Петросян Л.А. и др. Теория игр: Учеб. пособие для ун-тов / Л.А. Петросян, H.A. Зенкевич, Е.А. Семина. М.: Высш. шк., Книжный дом Университет, 1998. - 304 е.: ил.
30. Петросян Л.А., Рихсиев Б.Б. Преследование на плоскости / Петросян Л.А., Рихсиев Б.Б. М: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1991. - 96 с. - (Попул. Лекции по мат.; Вып. 61).
31. Приказ Федеральной службы России по надзору за страховой деятельностью от 19 мая 1994 года N 02-02/08 Об утверждении новой редакции Условий лицензирования страховой деятельности на территории Российской Федерации (с изменениями на 14 мая 1997 года).
32. Протасов И.Д. Теория игр и исследование операций: Учебное пособие / Протасов И.Д. М.: Гелиос АРВ, 2006. - 368 с.32'.Пфайффер К. Введение в перестрахование / Пфайффер К. М.: Анкил, 2000.- 160 с.
33. Таможенный кодекс Российской Федерации от 28 мая 2003 г. № 61-ФЗ
34. Теория и практика страхования. Учебное пособие / Под. общей редакцией Турбиной К.Е. М.: Анкил; 2003. - 704 с.
35. Трунов И.Л. Современные требования к страхованию'авиаперевозчиков / Трунов И.Л. // Представительная власть XXI век: законодательство, комментарии, проблемы.-2008.-№2-3.-С. 27-31.
36. Трунов И.Л., Айвар Л.К., Востросаблин A.A. Часть 1 Ч Экономический эквивалент жизни человека / Трунов И.Л., Айвар Л.К., Востросаблин A.A. // Общественно-научный журнал Вестник РАЕН. 2004. - № 4.
37. Трунов И.Л., Айвар Л.К., Харисов Г.Х. Часть 2 Эквивалент стоимости человеческой жизни / Трунов И.Л., Айвар Л.К., Харисов Г.Х. // Представительная власть - XXI век: законодательство, комментарии, проблемы. - 2006. - № 3 (69).
38. Федеральный закон Об организации страхового дела в Российской Федерации от 27 ноября 1992 г. № 4015-1 (с изменениями от 31 декабря 1997 г., 20 ноября 1999 г., 21 марта, 25 апреля 2002 г.).
39. Шипачев B.C. Высшая математика: Учеб. для немат. спец. вузов / Под ред. Акад. А.Н. Тихонова. -М.: Высш. шк., 1990.-479 с.
40. Штохова И.Н. Выбор оптимального метода страхования авиационных рисков каско с помощью критерия Гермейера-Гурвица относительно выигрышей / И.Н. Штохова // Управление риском. М.: Анкил, 2009. -№ 1 (49). С. 44-49.
41. Штохова И.Н. Теоретико-игровое моделирование задачи страхования авиационных рисков с применением комбинированного критерия
42. Гермейера-Гурвица / И.Н. Штохова // VIII международная ФАМ'2009 конференция: тезисы докладов, 24 26 апреля 2009 г. /под ред. к.ф.-м.н. Д.В. Семеновой; Красноярск: СФУ, КГТЭИ, ИВМ СО РАН, СИБУП, Издательство Гротеск, 2009. - С. 125.
43. Экономика страхования и перестрахования. Кол. авторов (под общ. ред. Турбиной К.Е.) М.: Анкил, 1996. - 224 с.
44. Air Transport Action Group. The economic growth and social benefits of air transport 2008 Электронный ресурс. / Режим доступа: Ссыка на домен более не работаетfiles/ATAG%20brochure-125413A pdf. Дата обращения: 02.05.2010.
45. Airbus S.A.S. Официальный сайт компании Электронный ресурс. / Режим доступа:Ссыка на домен более не работаетfileadmin/mediagallery/files/reportsresultsreviews/ SummaryHistorialOrdersDeliveriesl 974-2009.xls. Дата обращения: 02.05.2010.
46. Airbus S.A.S. Официальный сайт компании Электронный ресурс. / Режим дocтyпa:Ссыка на домен более не работаетstore/mmrepository/pdf/attOOO 11726/media objectiileListPrices2008.pdf. Дата обращения: 02.05.2010.
47. Baton В., Lemaire J. The Bargaining Set of a Reinsurance Market / Baton В., LemaireJ. // ASTIN Bulletin A Journal of the International Actuarial Association on Mathematics in Insurance, 1981. - Volume 12, № 2. - pp. 101114.
48. Baton В., Lemaire J. The core of a reinsurance market / Baton В., Lemaire J. // ASTIN Bulletin A Journal of the International Actuarial Association on Mathematics in Insurance, 1981. - Volume 12, № 1. -pp. 57-71.
49. Baur P., Breutel-O'Donoghue A. Understanding reinsurance: How reinsurers create value and manage risk / Baur P., Breutel-O'Donoghue A. // Swiss Reinsurance Company, Zurich, 2004. 22 p.
50. Beard R.E. Some Notes on the Statistical Theory of Extreme Values / Beard R.E. // The ASTIN Bulletin Publication of the ASTIN Section of the Permanent Committee for International Actuarial Congresses, 1963. - Vol. Ill, Part l.-pp. 6-12.
51. Benktander G. On the Rating of a Special Stop Loss Cover // The ASTIN Bulletin International Journal for Actuarial Studies in Non-life Insurance and Risk Theory, 1977. - Vol. IX, Parts 1 and 2. - pp. 33-41.
52. Benktander G., Ohlin J. A Combination of Surplus and Excess Reinsurance of a Fire Portfolio // The ASTIN Bulletin Publication of the ASTIN Section of the Permanent Committee for International Actuarial Congresses, 1967. - Vol.1., Part II. pp. 177-190.
53. Borch K. Application of game theory to some problems in automobile insurance / Karl Borch // The ASTIN Bulletin Publication of the ASTIN Section of the Permanent Committee for International Actuarial Congresses, 1962. - Vol. II, Part II. - p. 208-221.
54. Borch K. The Optimal Reinsurance Treaty // The ASTIN Bulletin Publication of the ASTIN Section of the International Actuarial Association, 1969. - Vol.1. V, Part 2.-p. 293-297.
55. Bugmann Ch. Proportional and non-proportional reinsurance / Bugmann Ch. // Swiss Reinsurance Company, Zurich, 1997. 36 p.
56. Centeno L On Combining Quota-Share and Excess of Loss / Centeno L. // ASTIN Bulletin A Journal of the International Actuarial Association, 1985. -Volume 15, No. l.-p. 49-63.
57. Centeno L., Simoes O. Combining quota-share and excess of loss treaties on the reinsurance of n independent risks / Centeno L., Simoes O. // ASTIN Bulletin A Journal of the International Actuarial Association, 1991. -Volume 21, No. l.-p. 41-55.
58. Comstock W.P. Aviation Casualty Insurance / Comstock W.P. // Casualty Actuarial Society, 1933. № 40. - p. 246-267.
59. Convention for the Unification of Certain Rules for International Carriage by Air, Montreal, 28 May 1999 Электронный ресурс. / Режим доступа: Ссыка на домен более не работаетlm/air.carriage.unification.convention.montreal.1999/. Дата обращения: 02.05.2010.
60. Convention for the Unification of Certain Rules Relating to International Carriage by Air, Warsaw, 12 October 1929 Электронный ресурс. // Режим доступа: Ссыка на домен более не работаетost/ogc/Warsawl929.pdf. Дата обращения: 02.05.2010.
61. Convention on Damage Caused by Foreign Aircraft to Third Parties on the Surface, Rome, 7 October 1952 Электронный ресурс. // Режим доступа Ссыка на домен более не работаетost/ogc/Romel952.pdf. Дата обращения: 02.05.2010.
62. Era R. The insurance cycle as entrepreneurial challenge. Technical Publishing / Enz R. // Swiss Reinsurance Company, Zurich, 2002. 24 p.
63. Enz R., Holzheu Th. The economics of liability losses insuring a moving target / Enz R., Holzheu Th. // Swiss Re sigma, 2004. - № 6. - 44 p.
64. Findlay S.J., Harrison N.D. Why aircraft fail / Findlay S.J., Harrison N.D. // Materials Today, 2002. Volume 5, Number 1Г. - pp. 18-25.
65. Fisnar S. Reserving for severe bodily injury. Methods and practice in liability insurance / Fisnar S. // Swiss Reinsurance Company, Zurich, 1999. 57 p.
66. Friedlos J. Setting retentions. Theoretical considerations / Friedlos J., Schmitler H., Straub E. // Swiss Reinsurance Company, Zurich, 1997. 21 p.
67. Hesselager O. Some Results on Optimal Reinsurance in Terms of the Adjustment Coefficient / Hesselager O. // Scandinavian Actuarial Journal, 1990.-№ l.-p. 80-95.
68. How many times have the most popular airliners crashed? Электронный ресурс. // Режим доступа: Ссыка на домен более не работаетnews/datablog/2009/jun/30/yemen-plane-crashes. Дата обращения: 02.05.2010.
69. Hurwicz L. The Theory of Eeomonic Behavior / Hurwicz L. // American
70. Economic Review, 1945. № 35. - pp. 909-925. 85.IATA Annual report 2007 Электронный ресурс. // Режим доступа: Ссыка на домен более не работаетabout/Documents/ar2007.pdf. Дата обращения: 02.05.2010.
71. International Cooperative and Mutual Insurance Federation: ICMIF Reinsurance Manual Электронный ресурс. // Режим доступа: www.tarikbrahimi.com/reinsurance/reinsurancemanual.doc. Дата обращения: 02.05.2010.
72. JLT Aeropace Plane talking January 2010 (section Closures) Электронный ресурс. // Режим доступа:Ссыка на домен более не работаетcontent/UK/riskandinsurance/Newsletter/Planetalki ngJanuary2010VlLayoutl.pdf. Дата обращения: 02.05.2010.
73. JLT Aerospace Plane Talking January 2009 Электронный ресурс. // Режим доступа:Ссыка на домен более не работаетconteniyUK/riskandinsurance/Newsletter/PlaneTalk ingJanuaryfinal.pdf. Дата обращения: 02.05.2010.
74. Kalis, Peter J. Policyholder's guide to the law of insurance coverage / Peter J. Kalis, Thomas M. Reiter, James R. Segerdahl. United States of America: Aspen Publishers, Inc. A Wolters Kluwer Company, 2004. - 1538 p.
75. Kuhn M., Galey G. Facultative non-proportional reinsurance and obligatory treaties Caution: faulty design / Kuhn M., Galey G. // Swiss Reinsurance Company, Zurich - 2000. - 12 p.
76. Lemaire J. A game theoretic look at life insurance underwriting / Lemaire J. // The ASTIN Bulletin International Journal for Actuarial Studies in Non-life Insurance and Risk Theory, 1980. - Vol. 11, Part 1. - p. 1-16.
77. Lemaire J. An application of game theory: cost allocation / Lemaire J. // ASTIN Bulletin A Journal of the International Actuarial Association, 1984. -Volume 14,No. 1.-pp. 61-81.
78. Lemaire J. Cooperative game theory and its insurance applications / Lemaire J. // ASTIN Bulletin A Journal of the International Actuarial Association, 1991. -Volume 21, No. 1-pp. 17-40.
79. Liebwein P. Rckversicherung. Unternehmensplanspiel Versicherungen. Электронный ресурс. // Режим доступа: Ссыка на домен более не работаетdownload/iri s- insurance-game-rueckversicherung- d .p df. Дата обращения: 02.05.2010.
80. Maniken G. The Economic Effects of 9/11: A Retrospective Assessment Электронный ресурс. // Режим доступа:Ссыка на домен более не работаетau/awc/awcgate/crs/rl31617.pdf. Дата обращения: 02.05.2010
81. Margo Rod D. Aviation Insurance. The law and practice of aviation insurance, including hovercraft and spacecraft insurance / Rod D. Margo. -London: Butterworths, 2000. 862 p.
82. Nancy L. Rose. Fear of flying? Economic Analyses of Airline Safety. / Nancy L. Rose // Journal of Economic Perspectives, 1992. Volume 6, Number 2. - pp. 75-94.
83. Njegomir VI., Maksimovic R. Risk Transfer Solutions for the Insurance Industry / Njegomir VI., Maksimovic R. // Economic Annals, 2009. Volume LIV,No. 180.-pp. 57-90.
84. Pesonen E. On optimal Properties of the Stop Loss Reinsurance / Pesonen E. // The ASTIN Bulletin Publication of the ASTIN Section of the Permanent Committee for International Actuarial Congresses, 1967. - Vol. IV, Part II.-pp. 175-176.
85. Risk Management in Finnair Электронный ресурс. // Режим доступа: Ссыка на домен более не работаетinvestors/investors9.html. Дата обращения 02.05.2010.
86. Salam Romel Estimating the Cost of Commercial Airlines Catastrophes A Stochastic Simulation Approach Электронный ресурс. // Режим доступа: Ссыка на домен более не работаетpubs/forum/03wforum/03wf379.pdf. Дата обращения 02.05.2010.
87. Schwilling W. Einfrung in die (deutsche) Shaden-/Unfall-Rckversicherung / Schwilling W. Deutsche Rck, Dsseldorf, 2007. - p. 30.
88. Stolin Marina Ann. Analysing the Accident Frequency of the Commercial Airlines Total Loss Catastrophes Электронный ресурс. // Режим доступа: Ссыка на домен более не работаетmatstat/reports/serieb/2005/rep5/report.pdf. Дата обращения 02.05.2010.
89. Surface damage initiative to update the Rome Convention // Beaumont Bulletin, June 2006 Электронный ресурс. // Режим доступа: Ссыка на домен более не работаетattachments/published/1125/Beaumont%20Bulletin%20-%20June%202006.pdf. Дата обращения: 02.05.2010.
90. Sweeney Stephen В. Aircraft Insurance Электронный ресурс. / Sweeney Stephen В. // Casualty Actuarial Society, 1928. The proceedings № 31. - pp. 61-76. Режим ;j,ocTyria:www.casact.org/pubs/proceed/proceed28/28061 .pdf. Дата обращения: 02.05.2010.
91. Swiss Re: An Introduction to Reinsurance. Technical Publishing // Swiss Reinsurance Company, Zurich, 2002. 35 p.
92. Swiss Re: The true value of aviation insurance. Technical Publishing Aviation / Chrystal P., Fok M., Martino F., Peter A., Shirai Sh. // Swiss Reinsurance Company, Zurich, 2004. 29 p.
93. Teugels Jef. L. Large Claims in Insurance Mathematics / Teugels Jef. L. // ASTIN Bulletin A Journal of the International Actuarial Association, 1991. -Volume 13,No. 2.-pp. 81-88.
94. The Aviation Safety Network Электронный ресурс. // Режим доступа: Ссыка на домен более не работаетstatistics/phase/. Дата обращения: 02.05.2010.
95. The Boeing Company. Официальный сайт компании Электронный ресурс. / Режим доступа: Ссыка на домен более не работаетcommercial/orders/index.cfin. Дата обращения: 06.10.2009
96. The Boeing Company. Официальный сайт компании Электронный ресурс. / Режим доступа: Ссыка на домен более не работаетcommercial/prices/. Дата обращения: 02.05.2010
97. Tiago de Oliveira J. Statistical Methodology for Large Claims / Tiago de Oliveira J. // The ASTIN Bulletin International Journal for Actuarial Studies in Non-life Insurance and Risk Theory, 1977. - Vol. IX, Parts 1 and 2.-pp. 1-9.
98. VajdaS. Minimum Variance Reinsurance/ Vajda S.// The ASTIN Bulletin Ч Publication of the ASTIN Section of the Permanent Committee for International Actuarial Congresses, 1962. Vol. II, Part II. - pp. 257-260.
99. Verbeek H.G. On optimal reinsurance // The ASTIN Bulletin -Publication of the ASTIN Section of the Permanent Committee for International Actuarial Congresses, 1966. Vol. IV, Part I. - pp. 29-38.
100. Wells Alexander Т., Chadbourne Bruce. D. Introduction to Aviation Insurance and Risk Management // Wells, А. Т., Chadbourne, B. D. -Melbourne: Krieger Publishing Company, 2007. 548 p.
101. Willis Airline Insurance Insight February 2009 Электронный ресурс. // Режим доступа:Ссыка на домен более не работаетDocш"nents/PublicationsЯndustries/Aerospace/AirlineI nsuranceInsightFebruary2009.pdf. Дата обращения: 02.05.2010.
102. Willis Airline Insurance Insight January 2009 Электронный ресурс. // Режим доступа:Ссыка на домен более не работаетDocuments/Publications/Industries/Aerospace/AIRLIN EINSURANCEINSIGHTJanuary2009.pdf. Дата обращения: 02.05.2010.
103. Willis Airline Insurance Insight June 2009 Электронный ресурс. // Режим доступа:Ссыка на домен более не работаетDocuments/Publications/Industries/Aerospace/AirlineI nsuranceInsightJune2009.pdf. Дата обращения: 02.05.2010.
Похожие диссертации
- Система управления инновационной деятельностью на промышленном предприятии
- Методология и инструментарий бюджетно-инвестиционного управления конкурентным экономическим потенциалом предприятия по производству ракетно-космической техники
- Совершенствование системы обеспечения экономической безопасности предприятия на основе управления рисками
- Оценка отраслевой составляющей в рамках комплексного анализа кредитоспособности потенциального заемщика
- Системное моделирование фондового рынка