Geum.ru
Темы диссертаций по экономике » Математические и инструментальные методы экономики

Полиморфные модели российской макроэкономической динамики тема диссертации по экономике, полный текст автореферата



Автореферат



Ученая степень кандидат экономических наук
Автор Кулова, Зарема Казбековна
Место защиты Кисловодск
Год 2010
Шифр ВАК РФ 08.00.13

Автореферат диссертации по теме "Полиморфные модели российской макроэкономической динамики"

На правах рукописи

КУЛОВА Зарема Казбековна

ПОЛИФОРМНЫЕ МОДЕЛИ РОССИЙСКОЙ МАКРОЭКОНОМИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ

08.00.13 - Математические и инструментальные методы экономики

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата экономических наук

2 1 ОПТ 2970

Кисловодск - 2010

004611228

Работа выпонена в ГОУ ВПО Карачаево-Черкесская государственная технологическая академия

Научный руководитель -

доктор экономических наук, профессор Яковенко Виктор Сергеевич

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Винтизенко Игорь Георгиевич;

доктор экономических наук, профессор Попова Елена Витальевна

Ведущая организация -

ГОУ ВПО Северо-Осетинский государственный университет имени К.Л. Хетагурова

Защита состоится 23 октября 2010 года в 16 часов на заседании объединением диссертационного совета ДМ 521.002.01 по экономическим наукам при НО ВПО Кисловодский институт экономики и права (357700, г. Кисловодск, у Р. Люксембург, д. 42)

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке НОУ ВПО Кисловодский институт экономики и права

Автореферат разослан 22 сентября 2010 года Учёный секретарь

диссертационного совета

Бостанова А.!

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Взаимосвязь трендовых и периодических движений экономических показателей, а также их отличительные особенности всегда воновала исследователей. Особенно ярко их различия проявляются в макроэкономике, где происходит круговорот таких глобальных экономических категорий, как ВВП, инфляция, безработица, норма процента, валютные курсы, цены на нефть и природный газ.

Принято считать, что макро- и мегаэкономическое поведение в догосрочном периоде трендово, а экономические флуктуации характерны для краткосрочной динамики. Это утверждение основывается на том, что тренд интегрирует случайные выбросы и в итоге вырождается в некоторую гладкую непрерывную кривую с минимумом экстремумов, проходящую через характерные точки показателя, демонстрируя некую устойчивую тенденцию. Большинство экономистов полагает, что классическая макроэкономическая теория описывает экономику в догосрочном периоде, но никак не на краткосрочных отрезках времени. Предполагается, что классические дихотомические (реальные и номинальные) составляющие в высшей степени переплетены между собой.

Взаимодействия, а часто и колебания большинства макроэкономических показателей оказываются синхронизованными, здесь ведущую роль играет обобщающий показатель экономической деятельности - реальный объём ВВП. Когда во время рецессии реальный объём ВВП снижается, то же происходит и с личными доходами, прибылью ходингов, корпораций, предприятий, потребительскими расходами, инвестициями, объёмами промышленного производства, объёмами розничных продаж, ибо спад отражается во всей экономике и проявляется почти во всех макроэкономических показателях. Хотя большинство макроэкономических переменных изменяется синхронно, забегая вперёд, скажем - синфазно, временные лаги, их формы, амплитуды и периоды колебаний могут оказываться весьма различными.

Относительно просто описать состояния, в которых пребывают макроэкономические системы на различных стадиях экономического цикла и развития. Решение более трудной задачи - объяснение причин, вызывающих эти состояния - всё ещё достаточно дискуссионно.

Эволюционирующая макроэкономическая система оказывается подверженной трансформирующим воздействиям внутренних (эндогенных) и внешних (экзогенных) сил. Антагонистическое поведение экономических субъектов системы, направленное на улучшение своего индивидуального положения, характеризует внутренние силы, обуславливающие неустойчивость экономических конъюнктур. К внешним силам, раскачивающим устойчивость мировой экономической системы, относятся антагонистические по отношению к другим участникам мирового экономического социума решения отдельными странами или группами стран своих внутренних политических, социальных и экономических проблем. Обе эти составные

части характеризуют имманентную или внутренне присущую экономической системе неустойчивость. Благодаря сложному взаимодействию между внешней неустойчивостью системы и противоречивыми действиями субъектов внутри неё, экономическая система изначально пребывает в движении.

Исчерпание методов моделирования, анализа, визуализации и прогнозирования, адекватных классическим тенденциям, вторжение в науку и экономику новых математических методов, необходимость обработки социальных и экономических временных рядов новыми высокоинтелектуальными экономико-математическими технологиями ставит совершенно необходимо задачу генерации новых полиформных (в русском языке - кусочных) подходов, моделей, выбора и обоснования новой исследовательской платформы с поиском современных конструктов - теории, математического аппарата и инструментария. В частности, отсюда вытекают высокие требования к качеству представляющих макроэкономику моделей. Предлагаемые полиформные модели дожны оказаться востребованными переходными экономиками типа российской, в которых при работе на рынке на временных интервалах происходит спонтанный, перманентный и существенный передел экзогенных условий, норм, законов, соглашений, ставок, тарифов, преференций. Хотя стоит посмотреть шире и согласиться с A.B. Рыженковым: Если развитие понимать, в сущности, как переход, то в этом смысле все страны мира, а не только бывшие страны реального социализма являются странами с переходной экономикой Добавим к этому, что в условиях мирового финансового кризиса в экономику всех стран, включая и экономически передовые, начинаются экзогенные вливания, что влечёт за собой существенные макроэкономические возмущения и изменения, так что с ещё большей долей уверенности все экономики можно называть переходными.

Степень изученности проблемы. Уже в течение более двух столетий экономическая мысль находится в процессе поиска подходов к раскрытию сущности и принципов действия элементарных рыночных механизмов. Диссертационный обзор работ по исследованию рыночной макроэкономики и её конъюнктурам был бы огромен. История изучения макроэкономической динамики начинается с работ М. Але, Р. Алена, И. Бентама, Р. Винна, J1.B. Канторовича, В.А. Кардаша, Дж.М. Кейн-са, Н.Д. Кондратьева, В.В. Леонтьева, K.P. Макконнела, О.Ю. Мамедова, К. Маркса,А. Маршала, Н.Г. Мэнкью, А. Пигу, Д. Рикардо, П.Э. Самуэльсона, Э.Ф. Си-гэла, А. Смита, Дж. Стиглица, Ж. Сэя, Г. Тинтнера, Дж. Форрестера, М. Фридмана, Р.Ф. Харрода, Й. Шумпетера, Р.Н. Элиотта. Большой вклад в развитие новых подходов, аппарата и инструментов для таких исследований внесли зарубежные (Дж. Аберг, JI. фон Берталанфи, Дж. Бокс, Э. Маленво, Э. Нильсон, И. Пригожин, Д. Пу-арье, Д.Г. Сигел, Дж. Сорос, Г. Тинтнер, Дж. Уош, И.Дж. Шёнберг) и отечественные учёные (С.А. Айвазян, И.В. Бестужев-Лада, Г.В. Горелова, В.В. Давние, В.А.

' Рыженков A.B. Модели циклического роста. - Новосибирск: Издательство Института экономики и организации промышленного производства СО РАН, 2003. - 240 с.

Долятовский, C.B. Жак, Ю.Н. Иванов, А.Н. Ильченко, В.И. Калиниченко, И.А. На-талуха, Т.В. Огородникова, A.A. Первозванский, В.А. Перепелица, Е.В. Попова, Ф.Б. Риполь-Сарагоси, A.B. Рыженков, В.И. Тинякова, Н.Х. Токаев, Г.Н. Хубаев, А.Н. Ширяев, Ю.А. Шиханович и др.).

Тем не менее, при большом числе серьёзных работ, широте исследований, обилии полученных результатов в задачах изучения макроэкономической динамики и взаимосвязи её параметров всё ещё можно найти разделы этой проблемы, которые могут улучшить решение, ускорят поиск механизмов экономической эволюции, сделают все решения математически точными, проще и нагляднее визуализируют результаты для их использования на практике. В помощь вербальным экономическим конструкциям необходимо привлечь строгие математические критерии, аналитические, численные и графические решения, реализуемые в непривычных для макроэкономических исследований современных системах компьютерной математики.

Предмет и объект исследования. Предметом диссертационного исследования выступают полиформные (кусочные) модели многофакторных макроэкономических конъюнктур со сложными динамическими связями, проявляющимися в циклическом характере составляющих тонкой части структуры экономического поведения в условиях экзогенной и эндогенной экономической нестабильности на российском рынке, турбулентности и непредсказуемости текущих процессов. Объектом исследования является динамика российской макроэкономики при многообразии видов и взаимных зависимостей её переменных.

Цель и задачи исследования. Цель диссертационного исследования заключается в построении полиформных моделей российской макроэкономической динамики, автоматически меняющих свою структуру вместе с изменениями макроэкономических процессов на разных временных интервалах, в переводе представления макроэкономического процесса в фазовое пространство, что позволит более глубоко исследовать его динамику, выявить ранее замаскированные связи отдельных составляющих конъюнктуры в единой экономической системе страны. Достижение поставленной цели потребовало решения следующих задач:

Х построение первой полиформной модели макроэкономической динамики дискретного типа, наилучшим образом (без ошибок преобразования, округления и т.п.) использующей дискретную природу (решётчатые функции) отчётной экономической информации;

Х построение второй полиформной универсальной, кусочно-непрерывной модели макроэкономической конъюнктуры, так, чтобы временной класс модели на каждом отрезке отчётного периода автоматически подстраивася к классу макроэкономического поведения;

Х перевод методами фазового анализа первой и второй моделей отображения динамики макроэкономических взаимодействий на российском рынке в фазовое пространство, поиск новыми подходами на фазовых портретах в структуре ис-

следуемых переменных системной экономической цикличности, цикломатики или циклизма конъюнктуры, выделение событийных составляющих динамики;

Х выявление фазовыми методами в российской макроэкономике тонкого структурного состава, а, определив циклические части динамики, предсказание возможных точек поворота в динамике ожидаемых кризисов;

Х выделение на двухмерных параметрических картинах взаимных зависимостей скрытых ранее взаимосвязей макроэкономических переменных с целью уточнения механизмов экономической эволюции;

Х поиск новых зависимостей макроэкономических переменных при помощи реляционных триад, когда две из них известны, в полиформной модели первого типа сделать это операциями инверсии и композиции графиков, на полиформной модели второго типа - через непрерывность и сшивку сплайн-отображений;

Х построение прямо на фазовых картинах эконометрических законов, связывающих основные макроэкономические переменные, визуализация их с. экстраполяцией на ближайший год;

Х сравнение макроэкономических показателей России, представляемых разными источниками (ЦРУ США, ЕШЮЗТАТ'а, МБРР, Европейского банка реконструкции и развития, Международного валютного фонда, официальные РОССТАТа) с целью уточнения всех построений;

Х поиск необычных макроэкономических зависимостей российской динамики, принципиально не вписывающихся в аналогичные конструкции мировой макроэкономической науки и практики.

Теоретическая и эмпирическая база исследования. Диссертационное исследование основано: на методологии научного познания; на фундаментальных разработках зарубежных и отечественных учёных, экономистов и математиков, посвя-щённых эволюции научного знания; на трудах известных экономистов, в которых отражены как традиционные, так и неоклассические и неоинституциональные представления о методологии познания, природе и механизмах макроэкономического поведения; на пионерные работы исследователей в области фазовой методологии и инструментализма. Обращено особое внимание на работы по экономической динамике, математическим и инструментальным методам моделирования, анализа, поиска циклов, визуализации в тонкой структуре макроэкономических процессов.

Информационно-документальной базой исследования являются статистические материалы макроэкономических показателей России (США и Германии - для сравнения) из ежегодных сборников РОССТАТа, ЕБРР, МБРР, МВФ, ЕВРОСТАТа и пр.

Представленная диссертационная работа выпонена в рамках пункта 1.8 Математическое моделирование экономической конъюнктуры, деловой активности; определение трендов, циклов и тенденций развития паспорта специальности 08.00.13 - Математические и инструментальные методы экономики.

Методы исследования. В исследовании применены: системный анализ, экономический анализ, теория рынков, дискретная математика, теория приближений, экономическая цикломатика, качественная теория нелинейных дифференциальных уравнений, синергетика, численные методы, эконометрика. В качестве математического конструкта исследовательской платформы широко использован аппарат сплайн-аппроксимации с унифицированным рабочим инструментом - сплайн-функциями. В математический конструкт исследовательской парадигмы также вошли фазовый анализ с погружением макроэкономической динамики в фазовое пространство, во временной структуре процессов и их рядов фазовыми методами обнаружены и выделены циклы. Инструментальный конструкт (система поддержки принятия решений) реализован на основе системы компьютерной математики МАРЬЕ 9.5 с агоритмами мониторинга, построения полиформной дискретной (первой) модели и непрерывной (второй) аналитической сплайн-модели, фазового анализа, сплайн-визуализации и сплайн-прогнозирования макроэкономической динамики.

Научная новизна работы заключается в развитии методологии математического моделирования нестационарных макроэкономических процессов с варьирующейся во времени структурой в переходной экономике России вследствие изменения экзогенных условий:

1. Разработана полиформная дискретная экономико-математическая модель, использующая дискретную природу отчётной экономической информации, отличающаяся переменным временным классом своих фрагментов в целях сохранения идемпотентности отражения моделью экономической реальности и особенностей структуры макроэкономических показателей России, что позволяет совершенствовать прогностические свойства макроэкономических полиформных моделей.

2. Построена полиформная непрерывная во времени унифицированная модель макроэкономической динамики на базе сплайн-аппроксимации, отличающаяся автоматической стыковкой и автоматической подстройкой разнородных фрагментов, которые отвечают за перманентное стохастическое изменение экзогенных условий в российской макроэкономике на интервалах отчётного периода; это позволяет увеличить длину горизонта прогноза макроэкономических показателей.

3. Выявлены, на базе предложенных моделей и новыми способами анализа (с переводом всех макроэкономических переменных в фазовое пространство, при представлении их на параметрических картинах и фазовых портретах, привлекающих к анализу первую производную динамики), особенности российской макроэкономической конъюнктуры - циклы инфляции, особенности российской кривой Филипса и пр., определены точки поворота в динамике ожидаемых кризисов.

4. Установлено, что предложенные макроэкономические модели и подходы позволяют находить новые макроэкономические взаимосвязи при помощи реляционных триад, когда две из них известны (в дискретной полиформной модели - через операции инверсии и композиции, в непрерывной - через сплайн-образы). Так были

найдены закономерности цены на нефть - инфляция, три разновидности коэффициента потерь (sacrifice ratio) и пр., что позволило приблизиться к обобщениям и уточнениям российской макроэкономической динамики.

5. Проведено, фазовым методом и непрерывным полиформным моделирова-

нием, сравнение макроэкономических показателей России, представленных отечественными (РОССТАТ) и зарубежными (МВФ, ЕБРР, МБРР, ЕВРОСТАТ) источниками, что позволило наглядно на фазовых портретах продемонстрировать существенные отличия в исходных данных и в методологии их сбора.

Практическая значимость исследования. Практическая значимость исследования определяется тем, что за счёт построения двух разных моделей нового полиформного (кусочного) типа удаётся перевести динамику временных частей макроэкономического поведения в дискретное или непрерывное фазовое пространство с построением фазовых портретов и параметрических картин взаимозависимостей, в этом пространстве многие скрытые ранее связи становятся очевидными и визуализируются системами компьютерной математики. Это позволяет сделать макроэкономическую эволюцию обозримой и понятной, реляционно найти новые взаимосвязи и наметить пути генерации эконометрических законов. По вычленяющимся из динамики циклам и квазициклам макроэкономической конъюнктуры удаётся определять точки поворота в намечающихся кризисах в экономике страны.

Апробация результатов исследования. Основные положения и результаты диссертационного исследования докладывались автором:

Х на VII-ой Всероссийской ФАМ конференции по финансово-актуарной математике и смежным вопросам ФАМ'2008 (г. Красноярск, Институт вычислительного моделирования СО РАН, 29 февраля - 2 марта 2008 г.);

Х на IX-ой Международной научно-практической конференции Экономико-организационные проблемы проектирования и применения информационных сис тем (г. Кисловодск, Филиал РГЭУ РИБХ, 19-23 декабря 2007 г.);

Х на Ш-ей Всероссийской научно-практической конференции Финансы ка особая форма экономических отношений. Управление финансами (г. Пенза, При вожский Дом знаний, декабрь 2007 г.);

Х на XXI-ой Международной научной конференции Математические мето ды в технике и технологиях - ММТТ-21 (гг. Москва и Саратов, Саратовский госу дарств. технический университет, 27-30 мая 2008 г.);

Х на научных чтениях Математическая экономика и экономическая инфор матика, посвященных 75-летию со дня рождения выдающегося экономиста математика, доктора экономических наук, профессора В.А. Кардаша (г. Кисл водск, Кисловодский филиал РГЭУ "РИНХ", 10-12 августа 2010 г.).

Результаты диссертационного исследования используются в учебном пр цессе экономических специальностей Ставропольского института экономики управления имени О.В. Казначеева (филиал) ГОУ ВПО Пятигорский государе-

венный технологический университет и в ГОУ ВПО Карачаево-Черкесская государственная технологическая академия.

Публикации. Основные результаты диссертационного исследования изложены в 6 опубликованных научных работах автора, в том числе одна - в издании из перечня ВАК РФ, одна - в международно-реферируемом журнале, общий объём публикаций 2.1 п.л. (в том числе автора 1.8 п.л.).

Объём и структура работы. Диссертация содержит введение, три раздела, заключение, список использованной литературы. Текст диссертации изложен на 167 страницах, включает 64 рисунка и 1 таблицу. Список использованной литературы содержит 202 источника.

ОСНОВНОЕ НАУЧНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ, РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

Во введении обосновывается выбор темы диссертационного исследования, его актуальность, содержится постановка задачи, сформулирована цель и задачи исследования, его научная новизна и практическая значимость, дана характеристика степени изученности проблемы, её философской и понятийной платформ, математического и эмпирического конструктов, спектра применяемых инструментов.

Особенности современной макроэкономической динамики заставляют искать новые, часто необычные пути и подходы к её представлению, в частности, полиформные. Макроэкономические процессы и системы, как правило, оказываются дискретными эволюционными, слабо формализованными и слабо структурированными процессами и системами, для которых характерны множественность критериев (многокритериальность), высокая степень стохастичности или неопределённости, интервальность, нечёткость значений исходных данных, сложность, цикличность, хаотичность как природы моделируемых процессов, так и хаотичность структуры их связей. Когда система проходит через некоторые критические значения внешних или внутренних параметров, в ней могут возникнуть внезапные изменения структуры, часто называемые выбросами - outliers или событийными составляющими динамики - unusual events. Их надо уметь предвидеть, рассчитывать последствия.

В первом разделе Модель дискретного представления экономических конъюнктур (первая полиформная) даётся обзор современным методам аналитического, численного и графического представления макроэкономических конъюнктур. Указывается, что дискретное представление экономических процессов выигрывает в единстве представления экономического показателя решётчатыми функциями как до, так и после математической обработки и построения полиформной модели. К недостаткам метода отнесём отсутствие в дискретных моделях интерполяционных возможностей, отсутствие понятия производных и соответствующих тенденций, трудна удовлетворительная экстраполяция, сложен и непривычен дискретный математический аппарат для практиков-экономистов (рис. 1).

Известно, что Теоретические модели являются системами математических

отношений, представленных в общем виде и описывающих взаимосвязи в экономике в соответствие с той или иной теоретической концепцией. Они предназначены для анализа самых общих закономерностей капиталистического воспроизводства, кроме того, их разработка - необходимый отправной момент при создании конкретно-экономических моделей. В отличие от теоретических моделей, конкретно-экономические модели предназначены для исследования той или иной экономической системы в данных исторических условиях её функционирования. Взаимосвязи моделей этого вида определяются не только качественно, т.е. структурой и номенклатурой рассматриваемых факторов, но и количественно, через статистическую квантификацию параметров соотношений2.

Предложим новую полиформную дискретную (первую) математическую модель, которая оказывается той самой конкретно-экономической моделью, и дискретные методы представления и обработки исходной макроэкономической информации. Тогда реальные макроэкономические показатели образуют конечное множество N измерений )', (\ = 1..М), каждое в конце некоторого -го отрезка времени X, (месяца, квартала, года). Это множество {У(Х^} или {(ХД У,)} принято называть решётчатой функцией. К достоинствам этого подхода относится количественная фиксация значений переменных и их положения во времени.

Воспользуемся не всегда привычными математическими определениями множества, кортежа, графика, проекции, инверсии и композиции графиков, их функциональности и инъективности при построении эконометрических законов в фазовом пространстве. Работа с такими конструкциями входит в известные этапы компьютерных построений и преобразований графических моделей.

Вообще говоря, существует три способа моделирования решётчатых показателей. Первый способ использует решётчатые показатели прямо, обработка базируется на методах дискретной математики. К этим математическим методам относятся разностные операторы, факториальные многочлены, исчисление сумм, уравнения в конечных разностях, элементы комбинаторики с представлением переменных множествами, кортежами, графиками. Поэтому первой полиформной предлагаемой моделью макроэкономики становится дискретная экономико-математическая модель, в которой части модели лопираются на исходную решётчатость переменных. Такое представление модели подкупает совпадением дискретных классов исходных и вторичных переменных, отсутствием всякого рода округлений, приближений, преобразований, усреднений, переходов к другим формам представления с неизбежными при этом потерями в точности, в спектральном составе, в надёжности результатов, неистребимо ухудшающим тонкую структуру входного экономического сигнала и релевантность отражения экономических реалий.

Одно из открытых достоинств модели такого типа состоит в возможности

2 Левицкий Е.М., Меньшиков С.М, Чижов Ю.А. Моделирование американской экономики. - Новосибирск: Наука, 1977. - 234 с.

Первая и вторая полиформные модели

построить и исследовать новые взаимосвязи Р, Ч Рк реляционно через преобразование триады известных переменных РД Рр Рк и пары диад также их известных связей Р) Р; и Pj Ч> Рк (в первой модели это осуществляется через операции инверсии и композиции). Это позволяет приблизиться к глобальным экономическим обобщениям с уточнением российских макроэкономических зависимостей.

Второй раздел Математический аппарат универсальной сплайн-аппроксимационной модели (второй полиформной) вводит нас в достаточно новые для экономического моделирования кусочно-аппроксимационные построения. Основу этого раздела составляют несколько полиформньгх тезисов. Это первый тезис о том, что модель не дожна зависеть от временного класса процесса на всём протяжении отчётного периода, а дожна репрезентативно ему меняться на отдельных отрезках общего временного интервала. Это второй тезис о том, что

модель дожна точно проходить через все точки заданной решётчатой функции. Третий тезис - модель дожна обладать свойствами быстрой сходимости. Четвёртый - она дожна оптимально сшивать свои фрагменты или куски как значениями функции слева и справа от каждого лузла решётки, так и значениями своих производных.

Х_Ы-1 хл

Рисунок 1 - Первая (пунктир, RED) и вторая (сплошная, NAVY) полиформные модели. В первой переходы от узла к узлу осуществляются через конечные разности, во второй в узле Xt показан разрыв гладкой функции, в узле Х2 функция сшита, но остася разрыв производных, в узле Хц-i оптимально сшиты как и функция, и все производные кубическим сплайном

Этот подход противостоит классическому моноформиому, в котором предполагается переход от дискретных отсчётов и решётчатых функций к единственной непрерывной, гладкой, аналитической модели при помощи известного аппарата аппроксимации. Основная задача теории аппроксимации формулируется следующим образом: на некотором точечном множестве р в пространстве произвольного числа переменных заданы две функции/(Р) и Р(Р; Л;, Л2, ... Ац) от точки Р ер, из которых вторая ещё зависит от некоторого числа параметров А/, А2,.., Аг, эти параметры требуется определить так, чтобы уклонение в р функции Р(Р; А/, Л2, .. , АК) от функции /(Р) было наименьшим. При этом дожно быть указано, что понимают

под уклонением F от/или, как ещё принято говорить, под расстоянием между F и/ 3. Определим, что f(P) - решётчатая функция на Лоточках, F(P; Alt А* , Ах) некоторый монополином (часто степенной) N-ой степени с a posteriori определяемыми параметрами AIt А2,.., An- Для формулировки требований к классическому типу модели приходится остановиться на понятии и представлении временного класса сравниваемого поведения процесса и адекватной ему модели. Особенность протекания экономического процесса во времени характеризуется этим показателем.

Особенности второй полиформной модели и предложения по исследованию кусочного способа аппроксимации: способ уходит от фиксации моноформ-ности временного класса процесса и уникальности модели, взамен этого он строит многозвенник, т.е. такую полиформную унифицированную, непрерывную, гладкую математическую модель, куски которой будут представлять (аппроксимировать) разные временные классы поведения процесса на любом участке между каждой парой подмножества лузлов исходной решётки. Такая модель, сшиваясь автоматически и оптимально, представляет собой один аппроксимирующий ансамбль. Сплайн-аппроксимационный аппарат моделирования, анализа, визуализации и прогнозирования конъюнктур в современной экономике стал важной составной частью исследования. Сплайн-аппарат, хорошо зарекомендовавший себя в научно-технических приложениях, оказася новым подходом при построении непрерывно- аналитических полиформных моделей в переходных экономиках, к которым принадлежит российская, с широкой стохастической вариабельностью экзогенных условий.

Сплайн (в частности, кубический) обладает особым свойством, которое при поиске классов подходящих полиномов для построения модели, при поиске и выделении циклов, при анализе и прогнозировании называется внутренней оптимальностью, свойством минимальности кривизны или минимальности нормы. Важность и популярность кубических сплайнов в первую очередь заключается в следующей их замечательной особенности - в свойстве наилучшего приближения, формулируемой теоремой Холидея. Пусть дана сетка А: Е = Xi <Х2 <... <XN.i <XN = F и действительные числа {Yj} , (j = 1..N). Среди всех функций f(X), имеющих на [Е, F] непрерывную вторую производную, и таких, что f(Xj) = Yj (j = 1..N), сплайн SPLA(Y;X) с точками соединения в Хр для которого SPL2D = SPL"(Y;E) = SPL"(Y,F) = 0, характеризуется мерой приближения 2 Сплайн SPL^fYiX) - единственная допустимая функция, минимизирующая интеграл:

3 Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации. Издание 2-е, переработанное и допоненное. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1965. - 408 с.

Это происходит, поскольку мера приближения а функции f(X) функцией SPL2D = SPL"(Y;X) на отрезке [Е, F] минимальна.

Именно это свойство кубического сплайна называется первым интегральным соотношением, свойством наилучшего приближения, минимальности кривизны или минимальности нормы. Свойство соответствует минимуму потенциальной энергии, затраченной на отклонение баки в механических сплайнах и, к сожалению, справедливо только для кубических сплайн-функций SPL3(Y;X) лf(X). Выражение, что сшивка строится наилучшим образом, будет означать наличие у сплайн-аппроксимации именно этого замечательного внутреннего свойства.

Структура сплайн-функции позволяет автоматически объединить решение агоритмом сшивки, работающим так, чтобы решение и все его производные автоматически соединялись лоптимальным образом. Сшивка фрагментов сплайна осуществляется как значениями самой функции Sa(Y;Xj - 0) - S(Y;Xj + 0) = Y или SPL(Y;Xj - 0) = SPL(Y;Xj + 0) = Y слева и справа от каждого лузла решётчатой функции, так и всеми значениями её производных S'(Y;Xj ~ 0) = S'a(Y;Xj + 0), S"Or;Xj -0)= S'\fl';Xj + 0) .. или SPL1D(Y;Xj - 0) = SPLID(Y;Xj + 0), SPL2D(Y;Xj -0) = SPL2D(Y;Xj + 0) .. на всём множестве узловых точек {(X, Y,)}, (j = L.N). После этого SA(Y;X), S'a(Y;X), S"~(Y;X) .. или SPL(Y;X), SPL1D (Y;X), SPL2D(Y;X) .. становятся гладкими непрерывными аппроксимирующими ансамблями на протяжении всей сетки (Е =X, X,.., XN., XN = Fj, всего интервала [E, F] или во всех лузлах сетки {X..XN}. Такая структура кусочного сплайна в виде единого аппроксимирующего ансамбля позволяет получать многие решения аналитически.

Свойство минимальности нормы сплайна лучше переносит статистическую историю из отчётного периода в горизонт прогноза, а оптимальная сшивка кривой и её производных в точке перехода от отчётного периода к горизонту прогноза улучшает начальный этап экстраполяционных построений.

В третьем разделе Российская макроэкономика в фазовом пространстве привлечённые к построению первой и второй полиформных моделей конструкты - математический аппарат и инструментальные средства - идемпотентно строят портреты реальной российской макроэкономики. В связи с тем, что экономические показатели, представляемые официально Министерством экономического развития РФ и РОССТАТом, не всегда корректны, то исходные материалы для исследования динамики комплектовались также из межстрановых сравнений, из разных источников, в основном, зарубежных. К ним отнесём данные о российской макроэкономике, Международным валютным фондом, Европейским банком реконструкции и развития, ЕВРОСТАТом и др.

Как известно, масштабные экономические уровни представляются: наноэко-номикой (экономика домашнего хозяйства), микроэкономикой (экономические процессы взаимодействия и принятия решений на уровне отдельных предприятий, фирм, фермеров), мезоэкономикой (региональной экономикой), макроэкономикой

(исследует национальную экономику в целом, объясняет общие изменения, влияющих на многие рынки, фирмы, хозяйства и т.д.) и мегаэкономикой (мировая или межстрановая глобализующаяся экономика). Тем не менее, часто упрощенно считается, что экономическая наука включает в себя два основных масштаба: микроэкономику и макроэкономику. Все масштабные уровни тесно связаны, нередко оперируют одними и теми же законами и понятиями, например, спроса и предложения, но изучение макроэкономики в целом ставит перед исследователем допонительно совершенно новые проблемы. Макроэкономика исследует экономику в целом, объясняя общие изменения, влияющие одновременно на многие рынки, ходинги, предприятия, фирмы и так - до домашних хозяйств. Её обобщённые показатели используются экономистами и политиками для оценки текущего состояния экономики, они дожны отражать происходящие в ней изменения и объяснять их с макроэкономи-. ч :\'к'.:>: nmi'tnifi. Однако функционирование экономики определяется деятельностью на рынке отдельных хозяйствующих субъектов и их взаимодействием, поэтому микро- и макроэкономика оказываются тесно связанными.

Определим макроэкономические показатели, исследование которых одина-коно интересно как для мировой, так и российской национальной экономики. Это статистические показатели совокупного дохода в экономике - валовой внутренний продукт или ВВП, наиболее общий и простой показатель экономического благополучия общества, один из важнейших показателей системы национальных счетов, характеризующий конечный результат производственной деятельности всех экономических единиц - резидентов страны. Он отражает стоимость конечных товаров и услуг, произведенных этими единицами в течение отчётного периода в ценах конечного покупателя. Это реальный доход на душу населения, зависящий, естественно, как от производимого дохода, так и от численности живущего населения. Это средний рост цен (инфляция), выражающийся в российской статистике через индекс потребительских цен. Это процент незанятой рабочей силы (уровень безработицы). К макроэкономическим показателям отнесём также общий объём продаж через торговую сеть (объём розничной торговли), дисбаланс в торговле с другими странами (дефицит внешнеторгового баланса). Все эти показатели и называются макроэкономическими, да и отражают состояние всей экономики. К макроэкономическим показателям также иногда относят мировые цены на нефть, цены на природный газ, валютные курсы, которые, например, глобально и определяющим образом влияют на развитие национальной российской экономики.

Первый конкретный показатель макроэкономики, который исследуется в работе - ВВП. Валовой внутренний продукт (GDP) -рыночная стоимость всех конечных товаров и услуг, произведённых внутри страны за определённый период времени. Его следует отличать от валового национального продукта (ВНП), в который включаются только результаты деятельности граждан государства вне зависимости от места их работы. Реальный объём ВВП - обобщающий показатель экономиче-

ской деятельности - наиболее часто используется для отслеживания в том числе краткосрочных экономических флуктуаций. ВВП рассчитывается тремя методами: производственным, методом использования доходов и методом формирования ВВП по источникам доходов.

Рост ВВП означает, что либо в экономике наблюдается увеличение производства, либо товары и услуги стали продаваться дороже. Чтобы разграничить влияние двух причин, хотелось бы знать, насколько в действительности возросло производство вне зависимости от роста цен. Для этого используются показатели номинальный ВВП (общая стоимость произведённых товаров и услуг в текущих ценах) и реальный ВВП. Последний отражает стоимость созданных товаров и услуг, исчисляемых в постоянных ценах определённого периода времени, называемого базисным. Он то и позволяет произвести сравнительный анализ экономического роста за конкретный период.

Важным для любой национальной экономики является дефлятор ВВП, т.е. отношение уровня текущих цен к уровню цен базисного периода в процентах DEFL(GDP) = (nominal GDP/real GDP)*!00.

Фазовые nopmpfermj динамики ВВП 1995-2007 гг.

Si'L3_0Dt'P..F. SPU_0DPR_G, SPL3_ODPR_U

Рисунок 2 - Фазовые портреты динамики роста ВВП (GDPR - GDP в относительных единицах, Relative) России, США и Германии в 1995-2007 гг. (Россия - RED, США - MAROON, Германия - NA VY). Проценты. В разных странах в сравнении обнаруживаются как повторения общемировых тенденций поведения ВВП и его первой производной, так и их национальные экономические особенности. Пунктирная линия - нуль первой производной. Развитие ВВП поступательно, хотя видны кризисы, когда первая производная заметно уменьшалась: в России в мае 2005 г., в США и Германии - в конце 2001 г. и в 2006-2007 гг.

Будем визуализировать динамические макроэкономические закономерности на фазовых портретах. Истинным фазовым портретом называется построенная на плоскости гладкая непрерывная кривая, представляющая собой зависимость первой производной Х'(1) от некоторой экономической переменной Х((), время I играет роль параметра. Замкнутая кривая фазового портрета указывает на периодические колебания во времени переменной Х(1), расширяющаяся спираль свидетельствует о росте амплитуды колебаний со временем, сворачивающаяся спираль соответствует затуханию колебаний и т.д. Фазовый портрет может быть и пространственным (трёхмерным), в этом случае координатными осями являются: сама функция, её первая производная, независимая переменная, в качестве которой оказывается удобным брать текущее время. Построение фазовых портретов особенно эффективно при анализе неустановившихся рыночных процессов переходных макроэкономик (России, например).

Ф?портрет численности населения Рссссч CF - денние PccCfnama. CPEbRD - данные ЕБРР

1.7а '----Ч.. t 2о а г <к i | V41990 2001 V \

I !0С7 2006' V /Чмо гои\ 1997 ft J >9в/ If f if А / Т1996 / \ f 1999 \ / \ /l99S

130 Ш 134 136 138 НО 142 144 146 14& 150

SPL3_CГ. SPL3_CPE8RD

Рисунок 3 - Фазовые портреты численности населения России, построенные по данным разных источников (CP - данные РОССТАТа - RED-, CPEBRD - данные Европейского банка реконструкции и развития - EBRD, NAVY) в 1970-2008 гг. На смену прямолинейному росту населения в 1970-1990 гг. приходится резкий провал в1993-1995 гг. (РОССТАТ), который после циклического всплеска 1999-2002 гг. медленно подтягивается к нулевому значению первой производной (тенденции) в 2007-2008 гг. Демонстрация большой и статической (в отдельных точках), и динамической (по характеру конъюнктуры) погрешности разных справочников по такому казалось бы нейтральному показателю, как число жителей России

На рис. 2 приведём сравнительные фазовые портреты ВВП США, Германии и России в 1995-2007 гг. Временная трендовость этого показателя прерывается на фазовом портрете сбросами первой производной, которые гораздо точнее показывают кризисные явления во всех трёх анализируемых экономиках, проявляя ту самую тонкую структуру экономической эволюции. Общая тенденция трёх ВВП ускоренная, так как все кривые находятся над нулевой линией первой производной, значит, и рост самого ВВП ускоряется.

На рис. 3 в качестве примера разнобоя в статистических показателях даже такого простого и известного показателя, как численность жителей России, показаны два заметно различающихся фазовых портрета динамики её народонаселения. Необычность этой демографической картинки состоит в рельефном выявлении того, что кажущиеся нам плавные кривые роста или падения численности жителей на самом деле оказываются циклическими, перемежающимися неожиданной циклической же конструкцией 1999-2002 гг. Чтобы получить долю ВВП, приходящуюся на душу населения (рис. 4) мы графически разделили кривую российского ВВП (рис. 2) на сложную многозначную кривую численности населения (рис. 3).

Фазовый портрет ВВП (GDP) России на душу населения (GDPS) (а доларах США)

4000 2DOO 1W' _л . \ Нппт / \1992 горт 1 -"TTinii \ / \ -у1494 - 2004 \ 1 1993 V1

s' g -гооо *1 199?\ "Я1т Г 1 1 \ Г*- j

-40СО -60Q0 -B0QD \ 19до/ \l99l Ч /

0 2000 4000 6000 8000 100QQ SPL3J30PS Рисунок 4 - Фазовый портрет ВВП России, приходящегося на душу населения в 1989-2007 гг. в доларах США (GDPS). Данные ММБР, RED. Пара вложенных циклов длиной 1В и 6 лет, показывающих как всю сложность последствий российских денежных реформ, так назревания результатов большого дефота 1998-1999 гг.

Столь же неожиданно цикличность среднегодовой численности занятых в российской экономике показывает нам фазовый портрет рис. 5. Главный цикл 32-летней продожительности (1975-2007) достаточно долог, зато красив более корот-

кий квазицикл 1995-2005 гг.

Число безработных определяется в макроэкономике как побочный продукт других макроэкономических процессов. На рис. 6 можно увидеть сравнение числа безработных (в процентах от численности экономически активного населения) в США, Германии и России.

Фдэоеый портрет среднегодовой численности занятых б экономике 1СРЕ). тыс.чел

Рисунок 5 - Фазовый портрет среднегодовой численности занятых в российской экономике тыс. чел. в 1970-2007 гг. (MAGENTA). Законченная циклическая конструкция 32-летней длины с заметным 10-летним квазициклом 1995-2005 гг., демонстрирующая наличие точек возврата и кризисов. В марте 1996 г. - событийный скачок первой производной, показывающий резкое увеличение числа занятых при общей отрицательной тенденции

Уровень безработицы (и её естественный уровень) - важный изучаемый макроэкономический показатель. Количество безработных в стране - очевидный показатель её экономического благополучия. Под естественным уровнем безработицы понимается её уровень при нормальном устойчивом состоянии экономики, он отражает показатель количества безработных, сохраняющийся в течение достаточно длительного периода времени. Изменения в объёмах производства товаров и услуг жёстко коррелируют с уровнем занятости в экономике. Когда реальный ВВП понижается, показатели безработицы повышаются. Если фирмам приходится сокращать объёмы производства товаров и услуг, то им приходится увольнять своих работников, что и предопределяет возрастание уровня безработицы, поэтому в каждом из периодов рецессии уровень безработицы существенно повышается. Уровень безработицы не приближается к нулевой отметке, он колеблется вокруг естественного уровня, обычно равного 5-6%. Сумма показателей роста цен и уровня безработицы

называется линдексом бедствия, этот показатель призван служить показателем здоровья экономики. Циклическая безработица представляет собой отклонения от естественного уровня, эти отклонения связаны с краткосрочными колебаниями экономической активности.

Как только что было сказано и как естественно было бы предполагать, рост производства приводит к уменьшению числа безработных и наоборот. В российской экономике (рис. 7) это становится справедливым с 2001 г., до тех пор можно было наблюдать отрезок кривой с 1995 по 1999 гг., когда малый рост ВВП сопровождася значительным ростом безработицы. В период с 1999 по 2001 гг. столь же неспешный рост ВВП привёл к резкому падению числа безработных, 2001-2007 гг. демонстрируют нормальную с точки зрения западных экономистов зависимость между ростом ВВП и сокращением числа безработных, рост промышленного производства и производства услуг требует новых рабочих рук.

На рис. 8 показана на фазовой параметрической картине взаимная зависимость в России заработной платы работающих в экономике (RMW - Russian Month Wages) и уровня цен (RPR - Russian Prices - в %) в 1995-2007 гг. Кривая демонстрирует более быстрый рост заработной платы работающих в экономическом блоке по сравнению с ценами, что легко объяснить большим числом в России бюджетников, пенсионеров, безработных, инвалидов и т.п., у которых заработная плата, пенсии, пособия и пр. растут медленнее, чем цены.

Фазоаые портреты удельного беса оьтеео числа Безработных 1335-2CD7

SPL3JICHKJI. SPL3JKBRJ3. SPL3_NCBR_U

Рисунок 6 - Три фазовых портрета динамики удельного веса общего числа безработных в численности экономически активного населения (NCBR), в %. Россия (RED), США (MAROON), Германия (NA VY) в 1995-2007 гг. Ярко выраженные циклические конструкции длиной в 3.5 года, 7 и 11 лет

Следующий важный макроэкономический показатель - измерение роста цен или индекс потребительских цен (Ж), который иногда называют способом измерения стоимости жизни. Темпы инфляции представляют собой процентное изменение уровня цен за определённый период времени. Темп инфляции измеряется как процентное изменение индекса потребительских цен за предшествующий период. Кроме общего индекса потребительских цен как стоимости потребительской корзины среднего гражданина страны, органы статистики рассчитывают и другие индексы цен - для разных регионов, по конкретным видам товаров и услуг, индекса для производителей и пр.

Удобно посмотреть влияние разных факторов на этот важный макроэкономические показатель (США и России в частности), в диссертации приведён сравнительный анализ инфляции (индекса потребительских цен) для России и США в разные периоды их существования. Необычна цикличность или спиралевидность этого показателя в России, за исключением периода 1992-1995 гг., когда российская гиперинфляция не подчинялась никаким разумным закономерностям.

Параметрическая картина взаимной зависимости ВВП (GDP) от числа Безработных (NCBJ. Россия. 1995-200? ее.

Рисунок 7 - Взаимная параметрическая зависимость (ORANGE) числа безработных (NCB, тыс. чел.) и реального ВВП (GDP, мрд. руб.) в макроэкономике России (1995-2007 гг.). Устойчивый прямолинейный тренд роста ВВП с 2001 по 2007 гг. сопровождается естественным почти линейным падением числа безработных

Индекс потребительских цен также взаимно зависит от уровня безработицы -по так называемой кривой Филипса. История кривой Филипса восходит к 1958 году, когда в одной из статей экономист А.У. Филипс доказал существование в экономике Великобритании в 1861-1957 гг. обратной зависимости между уровнем безработицы и темпом инфляции. В 1960 г. американские экономисты П. Самуэль-

сон и Р. Солоу нашли аналогичную зависимость между инфляцией и безработицей в экономике США. Кривая Филипса показывает комбинацию инфляции и безработицы, которые возникают в краткосрочном периоде, когда сдвиги кривой совокупного спроса перемещают экономику вдоль краткосрочной кривой совокупного предложения. На рис. 9 можно видеть почто идеальную классическую кривую Филипса для российской экономики (данные Европейского банка реконструкции и развития). По данным отечественной статистики она оказывается перевёрнутой.

Фаэоаяя параметрическая картина взаимной зависимости эвработноО платы (RMW) и йен (RPR). Россия. 1955-200? аа

Рисунок 8 - Фазовая параметрическая картина взаимозависимости среднемесячной номинальной начисленной заработной платы работающих в экономике, руб./мес. (RMW - Russian Month Wages) и уровня цен (RPR Ч Russian Prices - в %) в России в 1995-2007 гг. (MAGENTA). В 2000-2007 гг. заметный относительно роста цен рост заработной платы (по модели квадратичной параболы). В 2005-2007 гг. вычисляемая эластичность составила 300 руб./мес. на 1% роста цен

Коэффициент потерь (sacrifice ratio) - показатель снижения среднегодового объёма выпуска (реального объёма ВВП) в процентном выражении при уменьшении темпов инфляции на 1%. Типичное значение коэффициента потерь в американской экономике равно 5, то есть каждый процент снижения инфляции обходится в 5% среднегодового объёма выпуска. На примере коэффициента потерь можно продемонстрировать ещё одну новацию исследования - реляционное выделение, получение и исследование новых непрерывных взаимозависимостей Р, Рк в триаде макроэкономических переменных РД PJt Рк реляционно через пару известных зависимостей Р, Ч> Pj и Pj Ч* Рк. В исследовании реляционными триадами были переменные Р, - ВВП России, Pj - мировая цена на нефть, Рк - инфляция или индекс потребительских цен. В диссертации подробно обсуждаются зависимости ВВП от мировых

цен на нефть, зависимость мировых цен на нефть и российской инфляции, в результате удаётся получить интересную зависимость ВВП от инфляции (или индекса потребительских цен) в России.

Достоинства реляционных преобразований (дискретных или непрерывных) состоят в отсутствии всякого рода пересчёта входных данных и связанных с ними погрешностей. Дискретная полиформная модель может работать с реляциями в том случае, когда множество вторых дискретных компонент кортежей математического понятия график Р] (область значений) и множество его первых компонент (область определения) являются подмножествами одного множества, так что дискретные отсчёты переменных Р,, Р, принадлежат множеству отсчётов сетки переменных Рр Р/,. Только тогда реляционные соотношения удаётся реализовать операциями инверсии и композиции графиков, найти их свойства инъективности и функциональности. Особенность непрерывных реляционных сплайн-преобразований второй полиформной модели - в гладкости функций и отсутствии промежуточных усреднений, сдвигов, сложений и связанных с этим ошибок.

Параметрическая картина взаимной зависимости индекса пожребщьелъслих цен [ IREERD) от уровня Безработицы tULEEBD). Россия. 1992~200? гг.

SPLajJtEBRD

Рисунок 9 - Зависимость между индексом потребительских цен (JREBRD) и уровнем безработицы (ULEBRD) по данным Европейского банка реконструкции и развития {EBRD) в российской экономике в 1992-2007 гг. (MAROON). В период 19921999 гг. она представляет собой классический образ кривой Филипса

Итак, в работе получены следующие основные результаты, имеющие как теоретическую, так и практическую значимость:

Х построена первая полиформная модель макроэкономической динамики.

Она показала, что использовать дискретную природу экономической входной ин-

формации наилучшим образом, т.е. без ошибок округления, преобразований и т.п., удобно. Исходные решётчатые функции позволяют выпонять над ними дискретные преобразования, включая инверсию, композицию, вычисляя конечные разности и пр., что облегчило работу с временными рядами макроэкономики;

Х построенная вторая полиформная универсальная, кусочно-непрерывная, гладкая модель макроэкономической конъюнктуры показала, что в условиях частой смены временного класса макроэкономического процесса из-за спонтанного изменения экзогенных условий, она - единственная, которая позволяет автоматически подстраиваться к разным классам макроэкономического процесса на каждом отрезке отчётного периода, при этом решения на отрезках сшиваются оптимально между собой, образуя единый аппроксимирующий ансамбль;

Х методы фазового анализа перевели показатели первой и второй полиморфных моделей отображения динамики макроэкономических процессов на российском рынке в многомерное фазовое пространство, что позволило новыми подходами аналитически и визуально на фазовых портретах обнаружить в структуре исследуемых переменных циклы и событийные составляющие динамики;

Х фазовыми методами в российской макроконъюнктуре выявлен тонкий структурный состав, главной составной частью методов оказалась возможность определения и прогнозирования кризисов по возможным точкам поворота на эволюционирующих траекториях;

Х на многочисленных параметрических картинах взаимных зависимостей выявлен целый ряд скрытых ранее взаимосвязей макроэкономических переменных, что стало важным результатом для поиска и уточнения механизмов экономической эволюции;

Х с помощью триады реляционных преобразований удаётся находить новую зависимость макроэкономических переменных через два известных преобразования; в полиформной модели первого типа это было сделано через операции инверсии и композиции графиков, на полиформной модели второго типа это осуществлено через возможности непрерывных сплайн-отображений;

Х прямо на фазовых картинах построены эконометрические законы, связавшие основные макроэкономические переменные, их удалось визуализировать с экстраполяцией на ближайший год;

Х методом межстрановых сравнений проведено сопоставление макроэкономических показателей России, для чего были привлечены разные источники (официальные РОССТАТа, Международного банка реконструкции и развития, ЕБРР, Международного валютного фонда, ЕВРОСТАТа), что позволило уточнить все построения и прогнозы, указать на явные ошибки методологии и статистики Росстата;

Х найдены необычные макроэкономические взаимозависимости российской динамики, принципиально не вписывающиеся в аналогичные конструкции мировой конъюнктуры.

Публикации по теме диссертации

Публикации в ведущих рецензируемых журналах и изданиях, определённых ВАК

1. Кулова З.К., Узденова Ф.М. Валовой внутренний продукт и инфляция в России. Фазовый анализ // Экономический вестник Ростовского государственного университета. - 2007. - Том 5. - Номер 4. - Часть 3. - С. 222-224, - 0.3 п.л. (в том числе автора 0.2 п.л.);

Статья в международно-реферируемом журнале

2. Кулова З.К., Узденова Ф.М. Инфляция в России на фазовых портретах // Современные наукоёмкие технологии. - 2008. - № 1. - С. 34-38, 0.5 п.л. (в том числе автора 0.4 п.л.);

Публикации в других изданиях

3. Кулова З.К., Узденова Ф.М. Экономические приложения сплайн-аппроксимационного аппарата // Сборник научных трудов УП-ой Всероссийской конференции по финансово-актуарной математике и смежным вопросам: ФАМ'2008. - Красноярск: Издательство Института вычислительного моделирования СО РАН, 2008. - С. 46-47, 0.2 п.л. (в том числе автора 0.1 п.л.);

4. Кулова З.К. Особенности финансовой конъюнктуры на фазовых портретах // Сборник трудов И1-ей Всероссийской научно-практической конференции Финансы как особая форма экономических отношений. Управление финансами. - Пенза: Привожский Дом знаний, 2007. - С. 64-67,0.4 п.л.;

5. Кулова З.К. Циклы макроэкономического поведения И Научные труды 1Х-Й Международной научно-практической конференции Экономико-организационные проблемы проектирования и применения информационных систем. - Кисловодск: Издательство Кисловодского филиал РГЭУ РИНХ, 2007. - С. 14-17, 0.4 п.л.;

6. Кулова З.К. Кривая Филипса в российской макроэкономической динамике // Сборник трудов ХХ1-ой Международной научной конференции Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-21. - Саратов: Издательство Саратовского государственного технического университета, 2008. - С. 17-19, 0.3 п.л.

Подписано в печать 18 сентября 2010 г. Формат 60x84/16. Бумага типографская №1. Гарнитура Тайме. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 110 экз. Заказ №119 Издательский центр Кисловодского института экономики и права 357700, Кисловодск, ул. Розы Люксембург, 42

Похожие диссертации