Оптимизация портфеля финансовых опционов

Пузановский, Адриан Адрианович

Темы диссертаций по экономике » Математические и инструментальные методы экономики

Оптимизация портфеля финансовых опционов тема диссертации по экономике, полный текст автореферата

Автореферат

Ученая степень	кандидат экономических наук
Автор	Пузановский, Адриан Адрианович
Место защиты	Москва
Год	2009
Шифр ВАК РФ	08.00.13

Диссертация

Автореферат диссертации по теме "Оптимизация портфеля финансовых опционов"

На правах рукописи

Пузановский Адриан Адрианович

ОПТИМИЗАЦИЯ ПОРТФЕЛЯ ФИНАНСОВЫХ опционов

Специальность 08.00.13 - Математические и инструментальные методы экономики

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата экономических наук

Москва - 2009

003461668

Работа выпонена в Учреждении Российской академии наук Центральном экономико-математическом институте РАН

Научный руководитель:

доктор экономических наук, Козырев А.Н.

Официальные оппоненты:

доктор экономических наук, Варшавский Л.Е.

кандидат экономических наук, Доматов А.С.

Ведущая организация:

Учреждение Российской академии наук Институт проблем рынка РАН

Защита состоится л МССрТС*.

часов на заседании

диссертационного совета Д 002.013.01 в Учреждении Российской академии наук Центральном экономико-математическом институте РАН по адресу: 117418, г. Москва, Нахимовский проспект, д. 47, ауд.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ЦЭМИ РАН.

Автореферат разослан л30 Н&рА 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат экономических наук

А.И. Ставчиков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

В настоящей диссертационной работе предложен и доведен до практического применения новый подход к оптимизации портфеля обыкновенных (не экзотических) опционов и фьючерсов. В основе предлагаемого подхода лежит критерий риск-доходность - при естественных ограничениях, вытекающих из условий рынка. Показаны преимущества данного подхода перед другими, известными из работ отечественных и зарубежных авторов, в том числе перед известными подходами с использованием функций полезности.

Рынок производных финансовых инструментов1 сильно развит на западных рынках и пока слабо развит на отечественном рынке. Неразвитость срочного рынка России можно объяснить сравнительно небольшим периодом жизни страны в условиях рынка и чередой системных кризисов, которые оказали негативное влияние, в том числе и на развивающийся срочный рынок. Тем не менее, интерес в России к данным инструментам растет, о чем говорит динамика объемов отечественного срочного рынка.

Актуальность темы исследования обуславливается ростом потребности в инструментах с повышенной доходностью и возможностью управления финансовыми рисками, именно производные финансовые инструменты позволяют обеспечить эти потребности. В условиях роста интереса к деривативам на отечественном рынке остро встает вопрос об эффективном использовании данных финансовых инструментов. С одной стороны, деривативы расширяют возможности инвестора как с точки зрения увеличения потенциальной доходности, так и с точки зрения управления финансовым риском. С другой стороны, деривативы усложняют сам процесс инвестирования, привнося тем самым допонительные риски (операционные, ликвидности, модельные и др.). Примеры недооценки рисков, связанных с процессом инвестирования на срочном рынке, широко представлены в истории развития западных компаний. К сожалению, такая недооценка может привести к финансовой катастрофе как, например, в случае с компанией Metallgesellschaft.

Говоря об исторических примерах недооценки рисков, нельзя не упомянуть о крупнейшем экономическом кризисе нашей современности. Так называемый кризис ликвидности, начавшийся летом 2007 года и продожающийся уже более года, является ярчайшим примером недооценки рисков за всю историю существования рыночных отношений. Убытки крупнейших финансовых институтов мира измеряются сотнями милиардов доларов2. Для выправления ситуации в мировом финансовом секторе

1 Для сокращения термина производные финансовые инструменты" используется устоявшийся в отечественной литературе термин деривативы" от англ. лderivatives". Дословный перевод с английского слова лderivatives" означает производные".

2 Сильнее всех пострадал швейцарский банк UBS, списавший активов на $38 мрд. \ i

центральные банки принимают беспрецедентные меры. Федеральная резервная система США, Европейский центральный банк и банк Англии неоднократно производили финансовые вливания путем проведения специализированных аукционов, на которых продавались краткосрочные кредиты, а также путем обмена с обратным выкупом облигаций низкого качества на государственные договые обязательства. Усугубление обстановки в финансовом секторе США вынудило министерство финансов создать экстренный план по выправлению ситуации, заключающийся в выкупе обесценившихся ипотечных инструментов у банков на сумму 700 милиардов доларов. Активные действия центральных банков и особенно планируемое использование бюджетных средств США на выкуп плохих инструментов указывают на системный характер происходящего кризиса. В качестве основных рисков, реализация которых и привела к текущему глобальному финансовому кризису, необходимо выделить кредитный риск на ипотечном рынке США, а также риск производных финансовых инструментов, в основе которых лежали ипотечные кредиты.

Данные исторические примеры показывают, что наравне с практически ничем не ограниченным ростом инвестиционных возможностей при использовании деривативов, также стремительно растут и различные виды рисков. Именно поэтому при работе с деривативами необходимо использовать подход, дающий ответы на основные инвестиционные вопросы:

1. Какова возможная доходность от инвестиции в случае реализации некоторого прогноза?

2. Какова величина среднестатистического риска по инвестиции (статистическая оценка риска)?

3. Какова величина максимального риска по инвестиции (оценка риска на основе стрессовых сценариев)?

Предлагаемый в данной диссертационной работе подход отвечает на данные

вопросы, а значит, является актуальным.

Особое место среди производных финансовых инструментов занимают опционы. Отличие опционов от других инструментов (например, фьючерсов) заключается в нелинейной зависимости их цены от цены базового актива. Возможность сочетать различные опционы (кол и пут) с различными параметрами (периодом до истечения, ценой испонения, базовым активом) приводит к большому количеству всевозможных инвестиционных комбинаций. Чем больше количество инвестиционных комбинаций, тем острее стоит проблема выбора оптимальной комбинации.

Перечисленные факторы (потребность со стороны инвесторов, сложность инструментов, большое количество комбинаций) обуславливают актуальность выработки подхода к процессу инвестирования на срочном рынке.

Цель и задачи работы. Целью данной диссертационной работы является разработка подхода к выбору оптимальной опционной комбинации инвестирования на основе критерия риск-доходность и прогноза движения базового актива, а также разработка необходимого для реализации такого подхода программного инструментария,

Для достижения указанной цели в работе поставлены и решены следующие задачи:

1. Постановка задачи оптимизации портфеля опционов в общем виде.

2. Постановка и решение численного примера задачи оптимизации портфеля опционов.

3. Оценка максимально возможного убытка по полученному оптимальному портфелю.

4. Формулировка подхода инвестирования на рынке опционов и базисов, на основе критерия риск-доходность.

5. Разработка и программная реализация инструментария для оценки опционов и оценки показателя риска УаК.

Объект и предмет исследования. Объект исследования - инвестирование с помощью опционов и базовых активов. Предмет - построение оптимальных опционных комбинаций.

Научная новизна. Предложенный в работе подход представляет собой сочетание методов оптимизации инвестиционного портфеля и оценки рыночных рисков применительно к опционам и фьючерсам. Новизна результатов диссертационного исследования отражается в следующем:

1. Разработанный инвестиционный подход позволяет инвестору получать опционные комбинации, обладающие соотношением риска и доходности не хуже, чем у стандартных опционных комбинаций. В отличие от стандартных опционных комбинаций данный подход позволяет учитывать точный количественный прогноз цен базовых активов.

2. В отличие от подхода, предложенного Голембиовским и Доматовым, по сути ориентированным на хеджирование активов, данный подход позволяет получать опционные комбинации с заданным уровнем доходности, что может использоваться как спекулянтами, так и хеджерами.

3. Использование разработанного подхода значительно экономит время поиска оптимальной опционной комбинации. При этом могут использоваться все имеющиеся на рынке инструменты (опционы и базисы), чего сложно добиться, используя стандартные опционные комбинации.

4. Разработан подход приведения в соответствие цен опционов с ценами базисных активов для случая низкой ликвидности на рынке опционов.

Теоретическая значимость. В теоретическом плане данная работа является развитием теории оптимального управления портфелем в части оптимизации портфеля опционов и базовых активов.

Практическая значимость. В работе выработан подход к оптимальному инвестированию на рынке опционов. Данный подход представлен в виде последовательности действий и основан на оценках риска и доходности, выраженных аналитически, что позволяет легко агоритмизировать данный подход. Программная реализация представленного подхода позволит инвестору быстро принимать оптимальное с точки зрения критерия риск-доходность инвестиционное решение.

В расчетах использовались данные со срочной секции РТС (FORTS), что делает результаты работы адекватным отражением процесса инвестирования на отечественном срочном рынке.

Теоретико-методологической основой исследования являются труды отечественных и зарубежных авторов, посвященные проблемам управления рыночным риском, проблемам оценки риска портфелей производных финансовых инструментов, проблемам ценообразования обыкновенных, экзотических, а также реальных опционов. Авторами таких работ являются: Балабушкин А.Н., Барбаумов В.Е., Буренин А.Н., Бухвалов A.B. (реальные опционы) Голембиовский Д.Ю., Доматов A.C., Дрогобыцкий И.Н, Козырев А.Н. (реальные опционы), Лобанов A.A., Мельников A.B., Рогов М.А., Смирнов С.Н., Фельдман А.Б., Ширяев А.Н. В западной литературе данная проблематика представлена в работах таких авторов как J.C. Hull, A. White, Р. Jorion, K.B. Connolly, R. Korn, S. Trautmann, S.L. Heston, С. Kahl, P. Jackel, A.A. Dragulescu, W. Schachermayer, Ahn Don Hyun, Alexander Siddharth.

Методологическую основу исследования составили элементы теории рисков, теории портфельного анализа, а также методы современного риск-менеджмента. При решении конкретных практических задач использовались методы теории вероятностей, математической статистики и статистического моделирования. В качестве инструментария для решения практических задач использовались математический программный пакет Mathematica 5.2, электронные таблицы MS Excel и язык программирования MS Visual Basic for Applications.

Апробация результатов исследования. Основные результаты исследования были опубликованы в научно-теоретических журналах, доложены и обсуждены на научно-практических семинарах в ЦЭМИ и ИСА РАН. Разработанные в результате проведенного исследования отдельные предложения использовались на предприятиях (ООО Лабрейт, ООО Управляющая компания Портфельные инвестиции) в качестве методологических рекомендаций по оценке опционов и рыночных рисков. Разработанный программный инструментарий использовася для оценки рисков по портфелю опционов в рамках системы риск-менеджмента предприятия (ООО Управляющая компания Портфельные инвестиции). Внедрение результатов диссертации подтверждено соответствующим актом.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав,

заключения, списка литературы и двух приложений. Объем диссертации составляет 115 страницы. Работа включает 8 таблиц, 20 графиков и схем,

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе содержится общая информация о срочных площадках мира и России. Приводится информация о контрактах, торгуемых на этих площадках, а также о динамике объемов торгов на этих площадках. Также в данной главе рассматриваются возможные типы инвесторов с точки зрения отношения к риску и периоду инвестирования. Кроме этого в первой главе рассмотрены основные подходы инвестирования с помощью опционов.

1.1 Срочные рынки мира и России

Крупнейшими срочными биржами мира являются: EUREX - европейская срочная биржа, Chicago Board Options Exchange (СВОЕ) - чикагская биржа опционов, Chicago Board of Trade (СВОТ) - чикагская торговая площадка, New-York Mercantile Exchange (NYMEX) -Нью-Йорская товарная биржа. На данный момент биржа EUREX является крупнейшей срочной биржей мира. Рост общего объема торгов был непрерывным и за семь последних лет составил более 300%. Спектр торгуемых на EUREX контрактов представлен следующими группами:

1. Контракты на процентную ставку (Interest Rate Derivatives)

2. Контракты на акции (Equity Derivatives)

3. Контракты на индексы акций (Equity Index Derivatives)

4. Деривативы на волатильность индекса (Volatility Index Derivatives)

5. Деривативы на фонды, торгующиеся на бирже (Exchange Traded Funds Derivatives)

6. Кредитные деривативы (Credit Derivatives)

На СВОЕ представлены фьючерсные контракты и опционы на акции, процентные ставки, индексы. На NYMEX торгуются опционы и фьючерсы на нефть, газ, мазут, уран и другие виды топлива, драгоценные и цветные металы, такие как золото, серебро, платина, паладий, медь. Также на NYMEX торгуются срочные контракты на какао, кофе, хлопок и сахар. Лондонская биржа металов (LME) представлена срочными контрактами на алюминий, медь, никель, цинк, олово и свинец.

Данные показывают, что на мировом финансовом рынке происходит стабильное развитие сегмента производных финансовых инструментов. При этом изменяются не только объемы торгов, но структура предоставляемых продуктов. Кроме того, на западном финансовом рынке активно происходят процессы концентрации капитала. Так в конце 2006 года состоялось слияние европейской биржи Eurunext и Нью-Йорской фондовой биржи

NYSE с общим дневным оборотом около $100 мрд.

Российский срочный рынок возглавляют две биржи: срочная секция Московской Межбанковской Валютной Биржи (ММВБ), срочная секция Российской Торговой Системы (РТС) - FORTS. На ММВБ торгуются фьючерсные контракты на долар США. Объем торгов в срочной секции ММВБ за первый месяц 2005 года составил 5,9 мрд. рублей, объем открытых позиций - порядка 7,9 мрд. рублей, что на 105% больше, чем в декабре 2004 года.

Основной объем сделок по срочным контрактам на акции проводится на FORTS. На FORTS торгуются фьючерсные контракты на обыкновенные акции РАО ЕЭС России, ОАО Газпром, НК Лукойл, ОАО Ростелеком, ОАО Сургутнефтегаз, ОАО ГМК Норильский Никель, также присутствуют фьючерсы на рублевые облигации Газпрома 5-го выпуска. Кроме фьючерсных контрактов, на FORTS также торгуются опционы на фьючерсы акций Лукойла, Ростелекома, Норильского Никеля, Газпрома и РАО ЕЭС. Кроме перечисленных традиционных контрактов, на FORTS присутствует ставший уже популярным среди инвесторов фьючерсный контракт на индекс РТС. На российском срочном рынке также присутствуют фьючерсные контракты на пшеницу и рожь, данные контракты торгуются на Сибирской Бирже.

1.2 Классификация инвесторов на финансовом рынке

В работе дается классификация инвесторов. Выделяются несколько основных групп: спекулянты, хеджеры, арбитражеры. В свою очередь спекулянтов можно подразделить на активных и стратегических. Выводы данной диссертационной работы в большей степени ориентированы на спекулянтов.

1.3 Инвестирование с помощью опционов

В работе рассматриваются два основных подхода к инвестированию с помощью опционов:

1. Торговля комбинациями

2. Торговля волатильностъю

Торговля комбинациями предполагает построение различных опционных конструкций, отвечающих заданным целям (определенному соотношению риска и доходности), с использование опционов с различными параметрами. Наиболее распространенными конструкциями являются различные модификации спрэдов и стрэддлов.

Различие в применяемых комбинациях заключается в разном уровне риска и доходности для каждой комбинации. Поэтому инвестору необходимо сделать выбор между возможными комбинациями, исходя из некоторого критерия, либо сконструировать такую комбинацию, которая будет отвечать заданным параметрам. Одним из возможных

критериев может быть риск-доходность.

В данной диссертационной работе предлагается конструировать необходимые опционные комбинации исходя из критерия риск-доходность. В процессе моделирования оптимальных опционных комбинаций, в качестве прогноза поведения цен базовых активов рассматривается рост3 цен. Поэтому из всего множества стандартных опционных комбинаций необходимо выделить комбинации, используемые на растущем рынке. К таким комбинациям относятся следующие опционные комбинации: спрэд быка кол (bull call spread), спрэд быка пут (bull put spread), бэкспрэд кол (call backspread), покупка стрэддла (long straddle), покупка стрэнгла (long strangle), покупка стрипа (long strip), покупка стрэпа (long strap).

В работе рассмотрена стратегия торговли волатильностью. Под торговлей волатильностью подразумевается построение такой опционной конструкции (портфеля), которая не будет зависеть от изменения цены базового актива. Такую конструкцию часто называют дельта-нейтральной, поскольку ее линейная чувствительность к изменению цены базового актива (дельта) равна нулю.

Необходимо отметить, что кроме описанных подходов инвестирования на опционом рынке, существуют и другие подходы. В том числе к ним относятся динамические подходы, использующие в качестве критерия оптимизации максимизацию ожидаемой полезности.

Вторая глава содержит описание математических моделей и методов, используемых в работе для решения поставленных задач.

2.1 Оценка опционов и греков

Греками опционов часто называют частные производные функции стоимости опциона f{S,a,z,r). К ним относят следующие показатели:

3S dS да дт дг

S - цена базового актива, а - волатильность базового актива,

r = T-t - время до истечения, Т - дата испонения опциона, t - текущая дата, г - безрисковая ставка.

Данные показатели позволяют оценить чувствительность того или иного опциона к соответствующим факторам риска. Необходимо отметить, что г не является случайной величиной, поскольку Т заранее известно. Следовательно, г не является рисковым

3 Рост цен в данном случае не является ограничением, а выбран исключительно для целей сравнения со стандартными комбинациями, используемыми на растущем рынке. Аналогичное сравнение можно провести и со стандартными комбинациями для падающего рынка.

фактором. Показатель 0 можно рассматривать как некоторый детерминированный расход (например, как амортизацию). В параграфе 3.2 рассмотрены греки для портфеля опционов. Данные показатели позволяют сделать вывод о качественном состоянии портфеля, т.е. о том, каким рискам (дельта, гамма или вега) подвержен портфель.

В данной работе для оценки опционов используется модель Кокса-Росса-Рубинштейна (биномиальная модель), необходимость в данной модели объясняется тем, что практическое применение результатов диссертации проводится на отечественном срочном рынке, на котором торгуются в основном опционы американского типа.

2.2 Методы учета эффекта лулыбки волатильности

Неоднозначным моментом при использовании модели Блэка-Шоуза является определение волатильности. Неоднозначность заключается в том, что в отличие от всех остальных параметров модели Блэка-Шоуза, таких как: цена испонения, период до погашения, безрисковая ставка, цена базового актива - волатильность является расчетной величиной, т.е. в явном виде она не присутствует (не торгуется) на рынке. Оценка исторической волатильности доходности базового актива может не совпадать с подразумеваемой4 волатильностью. Кроме того, на практике оказывается, что сама подразумеваемая волатильность для опционов, отличающихся только величинами страйков различна. Данный эффект в иностранной литературе называют лvolatility smile, что в переводе означает: лулыбка волатильности.

В данной работе для цели учета эффекта улыбки волатильности используется линейная интерполяция между историческими реализациями подразумеваемой волатильности,

2.3 Оценка показателя VaR для портфеля опционов

Мера риска Value at Risk на сегодняшний день является стандартом измерения рыночного риска, для ее расчета разработано множество моделей и методов их реализации. В данной работе в качестве меры риска используется показатель VaR. Существует два основных подхода к оценке показателя VaR: поное и локальное оценивание.

Подход поного оценивания предполагает использование эмпирического распределения убытков или моделирование распределения и поиск квантиля (т.е. показателя VaR) по имеющемуся распределению, к ним относятся метод исторического моделирования и методы Монте-Карло.

Подход локального оценивания предполагает использование определенной аналитической зависимости показателя VaR от параметров распределения, при этом

4 Подразумеваемая волатильность (implied volatility) - стандартное отклонение доходности базиса, соответствующее определенной рыночной цене опциона по некоторой модели (например, модели Блэка-Шоуза).

предполагается, что функция распределения доходов/убытков имеет нормальный вид.

Кроме описанных методов, также существуют методы, сочетающие в себе оба подхода.

Поскольку в данной работе проводится расчет показателя VaR для портфеля опционов, кроме того, минимизация показатель VaR является одним из возможных критериев оптимизации, то он дожен иметь аналитический вид и дожен достаточно хорошо учитывать нелинейность опционов. Учитывая данные обстоятельства, в качестве метода расчета показателя VaR выбран метод дельта-гамма с разложением Корниша-Фишера (Delta-Gamma Cornish-Fisher). Для проверки полученных показателей VaR будет использоваться полный5 метод Монте-Карло.

Третья глава содержит постановку задачи оптимизации опционной комбинации в общем виде, агоритм оптимального инвестирования, использующий решение сформулированной задачи, а также численный пример, в котором производится сравнение предложенного подхода со стандартными комбинациями.

3.1 Агоритм оптимального инвестирования с использованием опционных комбинаций

В данной работе задача распределения капитала рассматривается на рынке опционов. Предполагается, что инвестор ищет оптимальную, с точки зрения выбранного критерия, опционную комбинацию. В качестве критерия оптимальности выбран критерий риск-доходность. Предложенный автором агоритм инвестирования на опционном рынке формулируется следующим образом: Начальный момент времени:

1. Определение множества инструментов I = {lc,Ip} состоит из следующих шагов

выбор набора базовых активов В = {б,, Ь2,..., Ьп}

выбор набора дат испонения Т = {Тх,Тг,,.,,Тк}

выбор набора страйков

определение подмножеств 1с,1р

rtm+l nm+2 lutin I

"г,,*;; 1

5Для повышения скорости вычисления возможно использование метода дельта-гамма с непоным методом Монте-Карло (Delta-Gamma partial Monte-Carlo)

к - количество различных дат испонения опционов;

т - количество различных страйков (цен испонения) для каждого опциона, т.е. предполагается, что для всех опционов торгуется одинаковое количество страйков равное т\

1С - множество опционов кол; 1р - множество опционов пут;

с4 г, " 0ПЦИ0Н кол на базовый актив 6,, датой 7] и страйком А'^ , соответствующим

р\ Т Д, - опцион пут на базовый актив 6,, датой Т. и страйком Х\ т , соответствующим А, и Т,

Построенное множество 1 = {1с,1р} является множеством базовых (элементарных) инструментов, т.е. опционов, из которых в последствии строятся более сложные опционные конструкции (комбинации). Количество возможных опционов будет равно 2ктп. Необходимо отметить, что портфель может состоять не только из длинных позиций по инструментам множества / = , 1р}, но и из коротких позиций по тем же инструментам, что

будет отражаться отрицательным значением доли инструмента в портфеле.

2. Формулировка оптимизационной задачи исходя из выбранного критерия оптимизации (например, минимизация риска для заданной доходности)

3. Нахождение оптимального портфеля для выбранного критерия

Для каждого нового момента времени дальнейшие шаги могут быть различны.

Если инвестор получил, удовлетворяющую его доходность, то он может закрыть торговые позиции, пересмотреть свои прогнозы по рынку и снова повторить шаги 1-3.

Если по истечении момента времени доходность не получена, то инвестор может подождать до следующего момента времени в надежде на улучшение ситуации. Для принятия решения о закрытии или об удержании позиции необходимо руководствоваться греками, полученного оптимального портфеля.

Перечислим исходные данные, необходимые для формулировки и решения оптимизационной задачи. Для построения целевой функции необходимы следующие массивы данных:

1. В виде трехмерного массива размера пхтхк

ДсоД - дельты опционов кол;

Арш = ДиД -1 - дельты опционов пут;

ГгаД - гаммы опционов кол;

Гр1(, - гаммы опционов пут.

2. В матричном виде

2 - ковариационная матрица порядка п;

5 - вектор начальных цен (в начальный момент времени) базового актива опционов, размерность п х 1.

Для построения системы ограничений необходимы следующие массивы данных:

3. В виде трехмерного массива размера пхтхк

УеасМ - веги опционов кол

Vegam - веги опционов пут

Элемент трехмерного массива обозначается следующим образом: Д"" - элемент массива дельт опционов кол с ! - базовым активом, _/' - ценой испонения, I - датой испонения,

где / = 1,2.....п, У = 1,2.....т, I = 1,2

При формулировке задачи оптимизации предполагается, что все греки опционов известны и заданы в описанном выше виде. На практике процесс оценки греков является отдельной задачей, причем от результатов ее решения зависит адекватность решения, получаемого в оптимизационной задаче. В следующем параграфе рассматривается вопрос формализации процесса оценки греков опционов.

3.2 Формализация процесса оценки греков опционов

Для оценки греков требуются следующие массивы данных: В векторной форме

В = {>,, Ь2.....6Д} - набор эмитентов базового актива (название базиса);

Х Т = {Г, ,Т2 ,...,Г} - набор дат испонения. В матричной форме

Р = {Рсац, Рр,,, РШг | - множество цен опционов кол, пут и базиса;

элемент матрицы подразумеваемых волатильностей опционов кол;

элемент матрицы подразумеваемых

волатильностей опционов пут;

где cUJ е Ры, - элемент множества цен покупок опционов кол, соответствующий / базовому активу со страйком X, и датой испонения Т,, р, j, е Рры - элемент множества цен покупок опционов пут, е РШз, Описанные выше элементы трехмерных массивов греков опционов можно записать в виде функций:

" Дли('.У.') = 'Ъ'Р^") ~ дельты опционов кол;

ДрД, = ДДД -1 - дельты опционов пут;

" ('. У.О = г(с/j; >('. P,bas") - гаммы опционов кол;

' (i,;',/) = r(c, jj,(/, jj)>XJ,T,,Pl'""") - гаммы опционов пут;

Vega^, (i,j,l) = Vega(c( j j, crraД (i, j,i),XpTД Ptш*) - веги опционов кол; " Ve&aw ('. У. О = VeSa{c,jj, Яри, (', j. Xj. T,, ) - веги опционов пут.

В следующем параграфе рассматривается постановка задачи оптимизации, решение которой позволяет найти оптимальное распределение капитала между инструментами.

3.3 Постановка задачи оптимизации опционной комбинации в общем виде Сформулируем данную задачу в общем виде:

Пусть существует портфель позиций опционов (в долях): W = , W^,, fVlasts}, где - трехмерные массивы долей опционов кол и пут в общем портфеле IV; Wiasis

- вектор долей базового актива опционов в общем портфеле W. Размерность массивов W^JV^ равна пхтхк, а длина вектора WtQm равна п. Элементы данных массивов обозначаются следующим образом: w'f, - элемент массива WcaД, - элемент массива Vpul, w*a'" - элемент массива IVb!Lm.

Начальные средства для инвестирования равны С, известно множество цен опционов Р (вводилось ранее) и множество размеров гарантийного обеспечения М = \МсМ, М^, МЬат} для коротких позиций по опционам и базису: МсаЦ - массив гарантийного обеспечения опционов кол; отЩ" - элемент массива Мы,;

М^ - массив гарантийного обеспечения опционов пут; mffj - элемент массива Мри:;

МЬш1с - массив гарантийного обеспечения по базисным активам (фьючерсам);

тШ1 _ элемент массива МЬаШ.

Для получения денежного выражения элементов множества №, необходимо каждый его элемент умножить на С:

Ж"" - массив позиций опционов кол в денежном выражении;

= С Х - элемент массива ;

- массив позиций опционов пут в денежном выражении; <,, - С' ~ элемент массива ;

- массив позиций базисных активов в денежном выражении; и^;11 = С Х и-'"" - элемент массива Ж*Щ*.

Поскольку в дальнейших расчетах потребуется использование греков опционов, которые рассчитываются для каждого опциона, необходимо получить количественное выражение позиций:

= , IVяр1",} - множество позиций опционов кол, пут и базисов в количественном выражении (штук контрактов);

- массив позиций опционов кол в количественном выражении;

~ элемент массива ЖЩ";

- массив позиций опционов пут в количественном выражении; ^ъш ~ элемент массива Ж/";

- массив позиций базисных активов в количественном выражении;

- элемент массива V'""";

Ковариационную матрицу логарифмических доходностей базовых активов опционов обозначим через 2, порядок данной матрицы равен п. Для расчета показателя УаЯ, использовася метод дельта-гамма с разложением Корниша-Фишера. Данное разложение для четырех моментов будет выглядеть следующим образом:

где га - квантиль нормального стандартного распределения уровня а. Показатель УаЯ с доверительным уровнем (1 - а) может быть получен по формуле:

УаК = ?а4ЩГ) + Е(А/). Для портфеля с известными Дл, Гп и факторами риска, распределенным нормально с параметрами (О,I), можно найти:

(Д/) = - математическое ожидание изменения стоимости портфеля,

С(д/)= Д7Я1ДЛ - дисперсия изменения стоимости портфеля, где

а?, л ч > к1

или более подробно

^ Х ++ )

.......'И "

-11(0^ +С./А +<5)

V У-1 '-1

srttkiu-

j-i t- i

где Дл и Гл дельта и гамма портфеля опционов соответственно.

Для формулировки одной из систем ограничений необходим вектор Vegan. Структура данного вектора выглядит следующим образом:

Vegan =

8сг, до,

где f - функция стоимости портфеля опционов, <т, - волатильность (стандартное отклонение доходности 1-го базиса) опциона с г базовым активом. Тогда для портфеля опционов вектор Уезап будет следующим:

j-1 /.i

j-\ i- i

.......к""

4 Вега, полученная на основе модели Блэка-Шоуза, является приближением, поскольку модель Блэка-Шоуза предполагает постоянство стандартного отклонения доходности базиса. J. Hull и A. White показали, что такое приближение возможно использовать (лThe Pricing of Options on Assets with Stochastic Volatilities", Journal of Finance, 42, 1987).

Задача оптимизации опционной комбинации выглядит следующим образом:

VaR(w)-> min,

R(W) = r

Х Vegan = 0 ,(3.3.1)

.1-1 J* 1 /-1

VaRfV) - показатель риска VaR для портфеля W, w'jj - веса позиций опционов кол в портфеле, wffj - веса позиций опционов пут в портфеле, wf"ft - веса позиций базисных активов в портфеле,

R{W) = X Z [wuJruJ + w.irijj + ) - функция доходности портфеля W,

(.1 j.\ M

r - необходимая доходность (задается инвестором),

г"", rfj, r""" - доходноеЩ опционов кол, пут и базисных активов (известные величины, зависят от прогноза поведения цен базисных активов), Vegan - вега портфеля.

При этом используются предположения для формулы Блэка-Шоуза:

1. Цена акции следует процессу геометрического броуновского движения с постоянным математическим ожиданием ^ и стандартным отклонением а.

2. Разрешены короткие продажи

3. Отсутствую транзакционные издержки. Разрешены непоные лоты.

4. Отсутствуют дивиденды в течение жизни дериватива.

5. Отсутствуют арбитражные возможности.

6. Акции торгуются постоянно (непрерывно),

7. Безрисковая ставка доходности постоянна и равна для всех срочностей.

В следующем разделе рассматривается численный пример оптимального инвестирования.

3.4 Сравнительный анализ оптимальных опционных комбинаций со стандартными

В качестве инструментов инвестирования используются опционы, торгующиеся на отечественном срочном рынке, а именно в срочной секции фондовой биржи РТС. Выбрано

два наиболее ликвидных опциона на фьючерсы компаний Газпром и РАО ЕЭС. Каждый из опционов имеет две активно торгующихся цены испонения. В качестве даты испонения для всех опционов выбирается одна и та же дата. Выбранные характеристики опционов достаточно адекватно отражают действительную ситуацию на отечественном срочном рынке при формировании исходного множества инструментов.

В данной работе в качестве стрессовых сценариев поведения рисковых факторов использовались диапазоны движения доходностей базовых активов и подразумеваемых волатильностей. Для доходностей был выбран отрезок [-0,2; 0,2], для волагильностей - [0,2; 0,7]. Выбор данных отрезков обусловлен историческим поведением цен базовых активов и подразумеваемых волатильностей опционов на эти активы в периоды кризисов на отечественном рынке. Для оценки максимального убытка (в рамках определенного выше стрессового поведения риск факторов) минимизировалась доходность портфеля с учетом описанных выше диапазонов. Формально данную задачу можно записать следующим образом: Л(ж)->гшп

Г-0,2 И г, И 0,2 1 = 1,2

[0,2 < а, < 0,7 где

Я(}) - функция доходности портфеля №, г, - доходность 1-го базового актива,

а, - подразумеваемая волатильность опционов на -ый базовый актив

Построив набор оптимальных портфелей, проведя процедуру бэктестинга выбранных моделей и убедившись в их адекватности, далее сравним некоторые оптимальные портфели со стандартными опционными комбинациями и построим эффективные границы. Сравнение оптимальных портфелей производилось с опционными комбинациями и единичными опционами, которые используются при ожидании роста цен базовых активов.

В качестве критерия сравнения использовались дневная доходность, показатель УаЛ в относительном выражении, максимальный риск в относительном выражении. Для состоятельности сравнения оптимальных портфелей со стандартными комбинациями необходимо сохранить начальные условия, т.е. начальную стоимость портфеля равную 1 мн. руб., а также предположение о росте базовых активов на 1% за день (подразумеваемую волатильность, цены базовых активов, цены опционов и т.д.). Результаты сравнения опционных комбинаций на 13.02.06 представлены ниже (таблица 3.4.1).

Таблица 3.4.1

Наименование комбинации Однодневн ый 95% УаЯ Дневная доходность Максималь ный риск Стресс сценарии

Р\ Рг о-:

Длинные колы -31,64% 5,26% -99,61% -20% -20% 20% 20%

Короткие путы -65,23% 8,95% -430,85% -20% -20% 70% 70%

Стрэддл -11,12% 1,42% -66,86% -1% -16% 20% 20%

Стрэнгл -11,29% 0,75% -75,78% 1% -14% 20% 20%

Бычий срэд кол -4,61% 0,79% -18,55% -20% -20% 20% 20%

Бычий спрэд пут -6,89% 1,54% -42,09% -20% -20% 20% 20%

Бэкспрэд кол -7,97% 1,45% -30,81% 1% -16% 20% 20%

Оптимальный портфель 3 -23,74% 5,00% -133,31% -20% 20% 20% 20%

Из таблицы видно, что бычий спрэд пут доминирует стрэддл и стрэнгл. Эффективная кривая будет выглядеть следующим образом (рис. 3.4.1).

Эффективная кривая (на 13.02.06)

Стандартные комбинации Х Неэффективные комбинации

Рис. 3.4.1

Построенная на основании таблицы 3.4.1 эффективная кривая включает в себя

недоминируемые стандартные комбинации и одну оптимальную комбинацию. Рассмотрим, как изменится эффективная кривая, если она будет поностью состоять из оптимальных комбинаций. Для построения новой эффективной кривой необходимо для каждого значения доходности доминирующих комбинаций из таблицы 3.4.1 построить оптимальную комбинацию. Результат данного построения приведен в таблице 3.4.2.

Таблица 3.4.2

Наименование комбинации Однодневн ый 95% УаЯ Дневная доходность Максимальн ый риск Стресс сценарии

Р\ Рг о".

Оптимальный портфель 1 -0,11% 0,79% -4,00% -20% -3% 70% 20%

Оптимальный портфель 2 -4,84% 1,54% -19,47% -20% -20% 70% 20%

Оптимальный портфель 3 -23,74% 5,00% -133,31% -20% 20% 20% 70%

Оптимальный портфель 4 -29,37% 5,26% -157,67% -20% -20% 20% 70%

Оптимальный портфель 5 -41,18% 8,95% -269,58% -20% -20% 70% 20%

Сравним обе эффективные кривые (рис. 3.4.2).

Сравнение эффективности стандартных комбинаций с оптимальными (на 13.02.06)

о% -,-,---1-1 --

0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% Риск

Стандартные комбинаций - - Оптимахъныв комбинации

Рис. 3.4.2

Как видно из рисунка 3.4.2, оптимальные комбинации доминируют стандартные комбинации, т.е. полученное по оптимальным портфелям значение риска меньше, чем у

стандартных комбинаций при том же уровне доходности. Уровень максимального риска по оптимальным опционным комбинациям также оказывается ниже, чем у стандартных комбинаций, что лишний раз подтверждает необходимость построения оптимальных комбинаций. При сравнении максимального риска у разных комбинаций необходимо учитывать, что максимальные убытки рассчитываются в рамках стресс сценария поведения рисковых факторов (в данном случае доходности базового актива и подразумеваемой волатильности). На практике целесообразнее использовать стресс сценарии, поскольку они отражают реальное восприятие участниками рынка негативной информации. Необходимо учитывать потенциальные максимально возможные убытки от комбинации, но учет текущей конъюнктуры рынка, а также ее исторических реализаций (характера поведения рисковых факторов) дожен превалировать, в противном случае количество допустимых к использованию опционных комбинаций резко сократится.

Аналогично тому, как строились эффективные кривые для 13.02.06, далее построены эффективные кривые для 23.01.06 и 07.03.06 (Рис. 3.4.3 и Рис 3.4.4, соответственно). Эти три даты выбраны примерно таким образом, чтобы соответствовать началу, середине и концу жизни опционов (считая от даты инвестирования), используемых при инвестировании. Рисунки 3.4.3 и 3.4.4 показывают, что и для других дат, когда греки используемых опционов значительно отличаются от первоначальных (на 13.02.06), общая картина сохраняется - оптимальные комбинации доминируют стандартные комбинации. Что в очередной раз подтверждает состоятельность предложенного подхода к построению оптимальных комбинаций в рамках изложенных условий и ограничений. В заключении изложены основные результаты диссертационного исследования.

Эффективная кривая (на 23.01.06)

0,00% 10,00% 20,00% 30,00% 40,00% 50,00% 60,00% 70,00% 80,00% 90,00% Риск

-Стандартные комбинации - .#> . Оптимальные комбинации

Рис. 3.4.3

Сравнаниа эффективности стандартных комбинаций с оптимальными (на 07.03.08)

20% 18% ' -16%.-14% - -5 12% Х1 10% -| в*--Й 6%-4%-2% -0% -0%

[ Стандартные комбинации - + Оптимальные комбинации j

Рис. 3.4.4

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

Обозначенные в диссертационной работе задачи решены в объеме необходимом для достижения поставленной цели. А именно:

1. Сформулирована задача оптимизации портфеля опционов в общем виде.

2. Решен численный пример задачи оптимизации портфеля опционов, на основе биржевых данных.

3. Произведена оценка максимально возможных убытков по полученным оптимальным портфелям.

4. Сформулирован подход инвестирования на рынке опционов и базисов, на основе критерия риск-доходность.

5. Разработан метод приведения в соответствие биржевых данных о ценах опционов с данными о ценах фьючерсов для неликвидного рынка.

6. Выбран инструментарий для решения оптимизационных задач.

7. Создан программный инструментарий, позволяющий проводить оценку опционов (Биномиальная модель для оценки американских опционов).

8. Создан программный инструментарий, позволяющий рассчитывать показатель УаЯ методом Монте-Карло для портфеля опционов и фьючерсов. Предложенный подход к построению оптимальных опционныл комбинаций

позволяет решить задачу распределения капитала с точки зрения критерия риск-доходность. Применяя данный подход, инвестор может в достаточно короткий срок получить математически обоснованный результат по распределению капитала между опционными

контрактами и их базовыми активами. Получаемые оптимальные опционные комбинации обладают лучшими соотношениями риск-доходность, чем стандартные опционные комбинации, поскольку оптимизация портфеля производится под конкретный вектор прогнозных доходностей базовых активов. С другой стороны, задавая не один вектор прогнозных доходностей, а набор таких векторов и получив соответственный набор оптимальных портфелей, и впоследствии комбинируя полученные портфели можно более гибко подстроиться под возможное поведение цен базовых активов. К недостаткам данного подхода можно отнести большой объем вычислений при большом количестве инструментов, а также необходимость оценки большого количества параметров (ковариаций, греков) что естественно увеличивает время вычислений. Частично данный недостаток можно ликвидировать с помощью методов упрощения опционных портфелей, заменяя несколько схожих опционов одним опционом.

Таким образом, предложенный подход является одновременно простым и гибким механизмом, способствующим оптимальному использованию капитала на рынке опционов.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Публикации в изданиях, одобренных Высшей аттестационной комиссией

1. Пузановский A.A., Построение оптимальных опционных комбинаций, журнал Финансы и кредит, номер 35, сентябрь 2008 - 0,5 п.л.

2. Арлохов C.B., Пузановский A.A., Оценка величины спрэда маркет-мейкера на рынке опционов, научно-информационный журнал Экономические науки, номер 20, стр. 57-66, июль 2006 - 0,4 п.л.

Другие публикации по теме диссертационного исследования

3. Артюхов C.B., Жалыбина И.Я., Пузановский A.A., Метод оптимизации прибыли маркетмейкера на рынке производных финансовых инструментов, журнал Управление финансовыми рисками, номер 2,2008 - 0,5 п.л.

Пузановский Адриан Адрианович

ОПТИМИЗАЦИЯ ПОРТФЕЛЯ ФИНАНСОВЫХ опционов

Специальность 08.00.13 - Математические и инструментальные методы экономики

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата экономических наук

Заказ №

Объем 1.0 п.л.

ЦЭМИ РАН

Тираж 80 экз.

Диссертация: содержание автор диссертационного исследования: кандидат экономических наук , Пузановский, Адриан Адрианович

Введение.

Глава I. Инвестирование на срочном рынке.

1.1 Срочные рынки мира и России.

1.2 Классификация инвесторов на финансовом рынке.

1.3 Инвестирование с помощью опционов.

Глава II. Модели и методы.

2.1 Оценка опционов и "греков".

2.2 Методы учета эффекта "улыбки волатильности".

2.3 Оценка показателя VaR для портфеля опционов.

Метод Дельта-Гамма с разложением Корниша-Фишера.

Метод Дельта-Гамма с непоным методом Монте-Карло.

Глава III. Оптимальное инвестирование на рынке опционов.

3.1 Агоритм оптимального инвестирования с использованием опционных комбинаций.

3.2 Формализация процесса оценки "греков" опционов.

3.3 Постановка задачи оптимизации опционной комбинации в общем виде.

3.4 Пример оптимального инвестирования.

Диссертация: введение по экономике, на тему "Оптимизация портфеля финансовых опционов"

В настоящей диссертационной работе предложен и доведен до практического применения новый подход к оптимизации портфеля обыкновенных (не экзотических) опционов и фьючерсов. В основе предлагаемого подхода лежит критерий риск-доходность - при естественных ограничениях, вытекающих из условий рынка. Показаны преимущества данного подхода перед другими, известными из работ отечественных и зарубежных авторов, в том числе перед известными подходами с использованием функций полезности.

Рынок производных финансовых инструментов1 сильно развит на западных рынках и пока слабо развит на отечественном рынке. Неразвитость срочного рынка России можно объяснить сравнительно небольшим периодом жизни страны в условиях рынка и чередой системных кризисов, которые оказали негативное влияние, в том числе и на развивающийся срочный рынок. Тем не менее, интерес в России к данным инструментам растет, о чем говорит динамика объемов отечественного срочного рынка.

Актуальность темы исследования обуславливается ростом потребности в инструментах с повышенной доходностью и 4 возможностью управления финансовыми рисками, именно производные финансовые инструменты позволяют обеспечить эти потребности. В условиях роста интереса к деривативам на отечественном рынке остро встает вопрос об эффективном использовании данных финансовых инструментов. С одной стороны, деривативы расширяют возможности инвестора как с точки зрения увеличения потенциальной доходности, так и с точки зрения управления финансовым риском. С другой стороны, деривативы усложняют сам процесс инвестирования, привнося тем самым допонительные риски (операционные, ликвидности, модельные

1 Для сокращения термина "производные финансовые инструменты" используется устоявшийся в отечественной литературе термин "деривативы" от англ. "derivatives". Дословный перевод с английского слова "derivatives" означает "производные". и др.). Примеры, недооценки рисков, связанных с процессом инвестирования на срочном рынке, широко представлены в истории развития западных компаний. К сожалению, такая недооценка может привести к финансовой катастрофе как, например, в случае с компанией Metallgesellschaft [29] (см. приложение).

Говоря об исторических примерах недооценки рисков нельзя не упомянуть о крупнейшем экономическом кризисе нашей современности. Так называемый, кризис ликвидности, начавшийся летом 2007 года и продожающийся уже более года, является ярчайшим примером недооценки рисков за всю историю существования рыночных отношений. Убытки крупнейших финансовых институтов мира измеряются сотнями милиардов доларов2. Для выправления ситуации в мировом финансовом секторе центральные банки принимают беспрецедентные меры. Федеральная резервная система США, Европейский центральный банк и банк Англии неоднократно производили финансовые вливания путем проведения специализированных аукционов, на которых продавались краткосрочные кредиты, а также путем обмена с обратным выкупом облигаций низкого качества на государственные договые обязательства [75-77]. Усугубление обстановки в финансовом секторе США вынудило министерство финансов создать экстренный план по выправлению ситуации, заключающийся в выкупе обесценившихся ипотечных инструментов у банков на сумму 700 милиардов доларов. Активные действия центральных банков и особенно планируемое использование бюджетных средств США на выкуп плохих инструментов указывают на системный характер происходящего кризиса. В качестве основных рисков, реализация которых и привела к текущему глобальному финансовому кризису, необходимо выделить кредитный риск на

2 Сильнее всех пострадал швейцарский банк UBS, списавший активов на S38 мрд. [73], [74]. ипотечном рынке, а также риск производных финансовых инструментов, в основе которых лежали ипотечные кредиты.

Данные исторические примеры показывают, что наравне с практически ничем не Х ограниченным ростом инвестиционных возможностей при использовании деривативов, также стремительно растут и различные виды рисков3. Именно поэтому при работе с деривативами необходимо использовать подход, дающий ответы на основные инвестиционные вопросы:

1. Какова возможная доходность от инвестиции в случае реализации некоторого прогноза?

2. Какова величина среднестатистического риска по инвестиции (статистическая оценка риска)?

3. Какова величина максимального риска по инвестиции (оценка риска на основе стрессовых сценариев)?

Предлагаемый в данной диссертационной работе подход отвечает на данные вопросы,, а значит, является актуальным.

Особое место среди производных финансовых инструментов занимают опционы. Отличие опционов от других инструментов (например, фьючерсов) заключается в нелинейной зависимости их цены от цены базового актива. Возможность сочетать различные опционы (кол и пут) с различными параметрами (периодом до истечения, ценой испонения, базовым активом) приводит к большому количеству всевозможных инвестиционных комбинаций. Чем больше количество инвестиционных комбинаций, тем острее стоит проблема выбора оптимальной комбинации.

Перечисленные факторы (потребность со стороны инвесторов, сложность инструментов, большое количество комбинаций)

3 Развернутая классификация финансовых рисков, а также практика учета финансовых рисков более подробно описаны в [2], [7]. обуславливают актуальность выработки подхода к процессу инвестирования на срочном рынке.

Цель и задачи работы. Целью данной диссертационной работы является разработка подхода к выбору оптимальной опционной комбинации инвестирования, исходя из критерия риск-доходность и прогноза движения базового актива, а также необходимого инструментария.

Для достижения указанной цели, в работе поставлены и решены следующие задачи:

1. Постановка задачи оптимизации портфеля опционов в общем виде.

2. Постановка и решение численного примера задачи оптимизации портфеля опционов.

3. Оценка максимально возможного убытка по полученному оптимальному портфелю.

4. Формулировка подхода инвестирования на рынке опционов и базисов, на основе критерия риск-доходность.

5. Разработка и программная реализация инструментария для оценки опционов и оценки показателя риска VaR.

Объект и предмет исследования. Объект исследования -инвестирование с помощью опционов и базовых активов. Предмет -построение оптимальных опционных комбинаций.