Geum.ru
Темы диссертаций по экономике » Математические и инструментальные методы экономики

Методы моделирования функциональной зависимости финансово-экономических показателей в условиях неопределённости тема диссертации по экономике, полный текст автореферата



Автореферат



Ученая степень кандидат экономических наук
Автор Чудовская, Людмила Анатольевна
Место защиты Санкт-Петербург
Год 2009
Шифр ВАК РФ 08.00.13
Диссертация

Автореферат диссертации по теме "Методы моделирования функциональной зависимости финансово-экономических показателей в условиях неопределённости"

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

0 6 АВГ 2009

Чудовская Людмила Анатольевна

03475071 Методы моделирования функциональной зависимости финансово-экономических показателей в условиях неопределённости

Специальность 08.00.13 - Математические и инструментальные методы экономики

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата экономических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 2009

003475071

Работа выпонена на кафедре экономической кибернетики экономического факультета

Санкт-Петербургского государственного университета

Научный руководитель: доктор экономических наук, профессор

Конюховский Павел Владимирович

Официальные оппоненты: доктор экономических наук, профессор

Власов Марк Павлович кандидат экономических наук, доцент Кудрявцев Андрей Алексеевич

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный университет

экономики и финансов

Защита состоится л 3U ULliJ* _2009 г. в /7 часов на заседании

Совета Д 212.232.34 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 191123, Санкт-Петербург, ул. Чайковского, д.62, ауд. 415.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. A.M. Горького Санкт-Петербургского государственного университета.

Автореферат разослан л (UA0/Ut2O№ г.

Ученый секретарь кандидат экономических наук

Диссертационного совета доцент В.И. Капусткин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы исследования. Тему диссертационной работы, связанную с применением экономико-математических методов для моделирования функциональной зависимости финансово-экономических показателей, необходимо рассматривать в контексте и единстве трёх взаимосвязанных направлений: анализа, наблюдения (мониторинга) и предсказания рассматриваемых показателей.

Задача мониторинга и прогнозирования динамики финансово-экономических показателей неизменно актуальна для эффективного управления в сфере экономической деятельности и в эпоху экономической стабильности, и во времена кризиса. При нахождении рынка в равновесии можно рассчитывать на более догосрочные прогнозы. В случае нестабильной ситуации на рынках приходится опираться на краткосрочные прогнозы. Выявление тенденций динамики финансово-экономических показателей и определение функциональной зависимости между ними является важной составляющей экономической деятельности любого уровня. Для предсказания развития экономических процессов становится важным не только использование и развитие существующих экономико-математических методов и инструментальных средств, но и поиск новых.

Вопросам выбора эффективного инструментария анализа и прогнозирования финансово-экономических показателей посвящено множество монографических и журнальных публикаций (см., например, журналы Финансы, Рынок ценных бумаг, Инвестиции, Деньги и кредит, лThe Banker, лStrategy&Business), как отечественных ученых (СЛ. Айвазян, В.Н. Вапник, И.И. Елисеева, Г.Б. Клейнер, П.В. Конюховский, Н.В. Хованов и др..), так и зарубежных (J.P. Aubin, Ch. Dougherty, M.G. Kendall, J.E.Stiglitz, A. Stuart, L.Tacacs, etc.), что также свидетельствует и о научной актуальности выбранной темы диссертационного исследования.

Практическая актуальность диссертационной работы подтверждается тем, что в эконометрике часто возникают ситуации, когда из-за недостатка статистической информации приходится применять экспертные оценки, когда невозможно объяснить применимость тех или иных эконометричсских методов, но исследователь вынужден применять существующие слабо обоснованные методы и модели. В данной работе разработаны экономико-математические модели и инструментальные методики на основе метода рандомизированных траекторий (функций), которые могут использоваться в подобных ситуациях. Они апробированы на нескольких конкретных финансово-экономических задачах. Таким образом, впоне очевидна практическая актуальность темы диссертации, посвященной разработке экономико-математических методов оценивания динамики и функциональной зависимости финансово-экономических показателей в условиях

неопределенности.

Цель диссертационного исследования состоит в разработке комплекса экономико-математических методов и инструментальных методик оценки функциональной зависимости финансово-экономические показателей в условиях неопределенности. Разработанные инструментальные методики основаны на общей модели байесовской рандомизации теоретико-множественной неопределенности. Они используются для решения трех конкретных финансово-экономических задач: I) оценки зависимости между объемом привлекаемых депозитов и величиной процентной ставки; 2) оценки зависимости между ценой бескупонной облигации и временем её эмиссии; 3) оценки зависимости между полезностью (для конкретного субъекта экономической деятельности) экономического блага и объемом этого блага.

Для достижения поставленной цели были сформулированы и решены следующие основные задачи:

1) выявить, исходя из анализа конкретных примеров, схему определения функциональной зависимости объёма привлечённых банковских депозитов от ставки процента по этим депозитам;

2) определить по статистическим данным функциональную зависимость цены обыкновенной бескупонной облигации от времени, прошедшего с момента эмиссии этой облигации;

3) выявить основные особенности задания функциональной формы зависимости полезности экономических благ (в частности, полезности денег) от объема этих благ;

4) разработать, на основе метода рандомизации функций, модель неопределенности выбора из конечного класса дискретных траекторий, заданных на целочисленной конечной решетке; построить, исходя из этой модели, методику оценки статистических характеристик стохастического процесса с равновероятными монотонными реализациями;

5) разработать методику учета ограничений на функции и их приращения в рамках модели неопределенности выбора дискретной монототюй траектории, описывающей функциональную зависимость финансово-экономических показателей;

6) на основе теории стохастических процессов, индуцированных квазиравномерно распределенными рандомизированными параметрами, построить методику оценки стохастических процессов со степенными и логарифмическими реализациями;

7) применить различные варианты стохастических процессов с равновероятными дискретными реализациями для исследования функциональной зависимости объема привлеченных банковских депозитов от ставки процента по этим депозитам;

8) исследовать влияние допонительной интервальной информации о дискретных траекториях на точность оценки и прогноза цены обыкновенной бескупонной облигации в

зависимости от времени с момента эмиссии этой облигации;

9) оценить, с использованием методики рандомизированных логарифмических функций, точность и достоверность определения монотонных функций полезности денег в условиях неопределенности.

Объект и предмет исследования. В качестве объекта изучения выступают эмпирические зависимости финансово-экономических показателей (объёма привлечённых депозитов от величины процентной ставки; цены простой бескупонной облигации от времени эмиссии; уровня потребительской полезности от объема покупаемого товара). Предметом диссертационного исследования являются общие для трех указанных объектов модели, методы и инструментальные методики задания функциональной зависимости показателей, разработанные на основе концепции рандомизации выбора из множества допустимых функций.

Теоретической и методологической основой диссертационного исследования являются методы системного анализа сложных финансово-экономических процессов, аппарат теории вероятности, теории случайных процессов, эконометрики, математической статистики, экспертных оценок, квалиметрии.

Информационную основу апробации представленных в работе расчётных методик составили числовые и графические данные различных сайтов Интернета, а также материалы баз данных информационных агентств Интерфакс, СЬопск, СКРИН, Российской торговой системы (РТС).

Научная новизна исследования. Научная новизна диссертационной работы заключается в разработке нового комплекса экономико-математических моделей и методик оценки функциональной зависимости финансово-экономических показателей в условиях дефицита статистической информации. К числу основных результатов, полученных лично автором и определяющих научную новизну диссертационного исследования, относятся следующие:

1) на основе метода рандомизации функций разработана модель неопределенности выбора из конечного класса дискретных траекторий, заданных на целочисленной конечной решетке; построена, исходя из этой модели, методика оценки статистических характеристик стохастического процесса с равновероятными монотонными реализациями;

2) разработана методика учета ограничений на функции и их приращения в рамках модели неопределенности выбора дискретной монотонной траектории, описывающей функциональную зависимость финансово-экономических показателей;

3) на основе теории стохастических процессов, индуцированных квазиравномерно распределенными рандомизированными параметрами, разработана методика оценки стохастических процессов со степенными и логарифмическими реализациями;

4) продемонстрирована практическая эффективность разработанного комплекса экономико-математических моделей и методик оценки функциональной зависимости финансово-экономических показателей в условиях неопределённости на примерах: (1) исследования функциональной зависимости объема привлеченных банковских депозитов от ставки процента по этим депозитам; (2) анализа влияния допонительной интервальной информации о дискретных траекториях на точность оценки и прогноза цены обыкновенной бескупонной облигации; (3) оценки, с использованием методики рандомизированных логарифмических функций, точности и достоверности определения монотонных функций в классических моделях полезности денег.

Апробация результатов диссертации. Основные результаты и выводы диссертационной работы докладывались и обсуждались на заседаниях кафедры экономической кибернетики экономического факультета СПбГУ (2008-2009), на заседаниях кафедры высшей математики СПбГТА (2008-2009). Автором сделан пленарный доклад по теме Рандомизированная оценка функциональной зависимости финансово-экономических показателей на научной конференции СПбГТА (27.01.09)..

Теоретическая н практическая значимость диссертационно работы. Разработанные модификации метода рандомизированных траекторий и соответствующие инструментальные методики оценки функциональной зависимости финансово-экономических показателей могут быть интересны как с точки зрения теории, так и практики, они также могут использоваться (и частично используются в настоящее время) при чтении широкого спектра спецкурсов по теории принятия экономических решений в условиях неопределенности, по эконометрике и по математической статистике для магистров, специалистов и аспирантов экономических специальностей.

Публикации. По теме диссертации опубликованы 9 научных работ общим объёмом

5,5_п.л., Основные результаты и выводы диссертационной работы представлены в работах

[1-9], опубликованных в научных изданиях и журналах, в том числе три статьи в изданиях и журналах, включённых ВАК в Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых дожны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание учёной степени кандидата наук.

Структура и объём диссертации. Цели и задачи диссертационного исследования обусловили структуру диссертационной работы, которая состоит из Введения, трех глав, Заключения, списка литературы. Общий объём основного текста содержит 145 стр., 13 таблиц, и 29 рисунков; Список использованных источников включает 72 наименование.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении обосновывается актуальность темы диссертационного исследования, проанализирована степень её научной разработанности, сформулированы объект и предмет, цель и задачи исследования, указана теоретико-методологическая база работы, дана характеристика научной новизны и практической значимости работы, приведены сведения об апробации результатов исследования.

В первой главе - Задачи оценки функциональной зависимости финансово-экономических показателей исследуется ряд реальных задач, связанных с оценкой функциональной зависимости финансово-экономических показателей: объёма привлечённых банковских депозитов и величины процентной ставки по этим депозитам (з1.1), цены простой бескупонной облигации и времени, прошедшего от момента ее эмиссии (з1.2), полезности и объема экономического блага (з1.3). Цель этого исследования состоит в выявлении общей экономико-математической модели, позволяющей описать все указанные реальные задачи как задачи оценки (прогнозирования) функциональной зависимости в условиях неопределенности, когда траектория оцениваемой функции известна исследователю с точностью до множества допустимых функций G = {g (х; в); х б X, в s й}.

В з1.1 при оценке зависимости объема привлеченных депозитов от ставки процента, исследуются разные точки зрения на наличие этой зависимости. Рассмотрен пример, демонстрирующий наличие указанной зависимости для ряда московских банков, отобранных экспертами агентства Интерфакс. В первом приближении выявленная зависимость описываегся логарифмической функцией вида у(х) = А -1п(х) + 5, которая принадлежит классу Y(Q) = {у(х',в)\у(х;0) = А ln(x) + S, 0е логарифмических функций,

задаваемых параметром в, принимающим значения из отрезка 0 = [0_,0+].

Помимо конкретных случаев выявления эмпирической функциональной зависимости между двумя исследуемыми финансовыми показателями коммерческого банка, существует ряд экономико-математических моделей, объясняющих появление монотонной зависимости объема депозитов от величины процентной ставки. Аналитическую зависимость объёма депозитов от ставки процента можно задавать с помощью параметрического класса экспоненциальных функций вида D(r) = с{\-(\ + вг)е~вг), 0>О,с>О,г>О. Параметр с этих функций может быть интерпретирован как масштабирующий коэффициент, привязывающий построенную зависимость к сложившейся системе измерения привлекаемых средств, а параметр в определяет скорость подъёма кривой D(r) для различных значений в.

Рассмотренные в настоящем параграфе конкретные примеры и экономико-математические модели, свидетельствуют о возможности выявления функциональной

зависимости между объемом привлекаемых коммерческим банком депозитов и величиной процентной ставки, предлагаемой банком на эти депозиты. В общем случае выявление этой зависимости происходит в условиях теоретико-множественной неопределенности, когда имеется целый класс О = .хе X = (х_,х^),0е 0 = [#_,#,.)} параметризованных

функций у = g(x;0), заданных с точностью до параметра в, возможные значения которого лежат в некотором интервале 0 = , в^ ].

В з1.2 рассматривается случай оценки функциональной зависимости между ценой простой бескупонной облигации и временем, прошедшим от момента её эмиссии. Рассматриваются дисконтные облигации, как наиболее простые и позволяющие определить их доходность по графику функциональной зависимости между ценой облигации и временем, прошедшим от ее эмиссии до погашения. В случае, когда доходность до погашения рассматриваемой облигации не претерпевает резких скачков, можно ожидать, что текущая рыночная цена облигации будет повышаться на всем промежутке времени [*_>*+] и наблюдаемые отклонения от монотонного возрастания имеют небольшую величину. Приведён пример такой почти монотонной (возрастающей) зависимости цены облигации от времени, изображен график, построенный по эмпирическим данным, приведенным на сайте Информационного агентства Финмаркет (группа Интерфакс).

Рассмотренные конкретные примеры, свидетельствуют о возможности выявления монотонкой зависимости между временем от момента эмиссии дисконтной облигации и ценой облигации. Эта монотонная зависимость носит, как правило, статистический характер, что не позволяет точно указать какую-то одну единственную монотонную функцию, описывающую изучаемую зависимость. Поэтому исследователь оказывается, как и в примерах, приведенных в предыдущем параграфе, в ситуации теоретико-множественной неопределенности, когда имеется целый класс й = :хе X е 0 = [#_,#,)}

параметризованных функций %{х,6), заданных с точностью до параметра в, возможные значения которого лежат в некотором интервале 0 = [в_, ].

В з1.3 выявляются основные особенности задания функциональной формы зависимости полезности экономических благ (в частности, полезности денег) от объёма этих благ, содержится описание реально используемых в экономических исследованиях функций полезности экономических благ (в частности, функций полезности денег). Рассмотрены пять различных подходов к определению вида функциональной зависимости полезности экономического блага от его объема. Выявлены основные виды функций полезности: классическая функция полезности Бернули и = ие(х;в) = Л-1о%е х, классическая функция полезности Крамера и =ик(х,в)-Х-х", нормированная функция полезности Бернули

у = йв(х;#) = 1о9(1 + х), нормированная функция полезности Крамера у = {х\в) - х", обобщенная нормированная функция полезности у = g(x;в) = g0(х/в).

Показано, что выявление вида функциональной зависимости полезности блага от его объема происходит в условиях теоретико-множественной неопределенности, когда имеется целый класс б = №(х;в) :хе X = (х_,х+),0е 0 = [#_,#)} параметризованных функций g(x^,в), заданных с точностью до параметра в, возможные значения которого лежат в некотором интервале 0 = Таким образом, в результате анализа, проведенного в

первой главе была выявлена общая схема модели неопределенности: оцениваемая функция У Ч Я(х) известна исследователю лишь с точностью до некоторого конечного или бесконечного множества допустимых дискретных или непрерывных параметризованных функций g{x\в), параметр в которых принимает значения из соответствующего множества 0. Для решения такого рода задач предлагается подход, который будет подробно рассмотрен во второй главе.

Во второй главе - Математические модели неопределенности задания функциональной зависимости показателей рассматривается общая для всех трех указанных объектов первой главы модель задания неопределенности, состоящая в рандомизации множества возможных траекторий, описывающих функциональную зависимость соответствующих финансово-экономических показателей.

В настоящей главе рассматриваются различные варианты рандомизации неопределенности выбора функции {х\в) из множества в = ^(х;в) :хе Х,ве &}, порождающей стохастический процесс (х) = %(х',в), соответствующий теоретико-вероятностной модели неопределенности задания функциональной зависимости. Рассмотрена модель задания стохастического процесса (х) = g(x;в) с равновероятными дискретными траекториями, представляющими собой функциональные пути на целочисленной решетке; исследуются статистические параметры и асимптотика поведения этого стохастического процесса (з2.1). Разработана методика учета влияния на статистические параметры стохастического процесса (*) = (х;0) допонительной информации о дискретных функциях g(x,9) дискретного аргумента х = 0,1,...,т и их приращениях (з2.2). На основе понятия стохастического процесса, индуцированного случайным квазиравномерно распределенным параметром в, строится система моделей неопределенности задания непрерывных функциональных зависимостей (з2.3). На основе всех введенных в настоящей главе теоретико-вероятностных моделей неопределенности задания функциональной зависимости разрабатываются конкретные методики практического

оценивания, мониторинга и прогнозирования статистических свойств соответствующих стохастических процессов.

В з2.1. рассматривается модель задания стохастического процесса у(0 = j(i;m,n) = j(i;m,rr,ff) с реализациями y(/;) = j(i,m,n\) из класса: J(m,n) = {j(/';т,п;в) :(i, j)е [0,т]х[0,и], j(i-\,в)< j(i;0),e = l,...,N(m,n)}. Число всех монотонных траекторий; Ar(m,n) = [(n + m-I)!]/[n!(m-l)!] процесса, порожденного равномерно распределенным случайным параметром в:

Р({в =0}) = l/N(m,n) ,e = \,...,N(m,n). Вероятность прохождения траектории через заданный узел рассматриваемой решётки [0,m]x[0,n] определяется с помощью формул комбинаторного анализа: /j(J>0 = P(iJ0) ~ J}) =[N{i,j)-N(m- i,n- j)]lN(m,n). Знание этого позволяет найти математическое ожидание и дисперсию; 7(0 = Е7(0 = л[фп], al(i)-D7(0 = n2[i(m- i)]/[m2(m +1)] + п[i(m- 0]/[m(m +1)]. Разработанная в параграфе модель неопределенности выбора дискретной траектории стохастического процесса }ii;m,n) лежит в основе метода оценки (прогнозирования) функциональной зависимости дискретных монотонных финансово-экономических показателей /е {0,1,...,m} и je {0,1,...,л}. В качестве искомой усредненной оценки выбирается функциональная зависимость, совпадающая с линейным трендом (математическим ожиданием) -,{i) = Ej(i;m,ri) = i-(n/m), а в качестве нижней и верхней границ области J(m,n;a) вероятных траекторий выбираются графики функций fi_(r,a) = n(i) - а o(i) и +(i\a) = (i) + а a(i) соответственно, где a(i) есть стандартное отклонение случайного процесса а параметр л>0 определяет вероятность

у = у(а) попадания случайной траектории процесса }Ь;т,п) в указанную область вероятных траекторий. Очевидны модификации этого метода оценки и прогнозирования траекторий для случая, когда вместо дискретной функции j = j(i;m,n) дискретного аргумента / используются изученные в этом параграфе предельные нормированные процессы, получающиеся из нормированного стохастического процесса j(i\m,ri)ln при т,п ЧUm -ге (0,1), у7л -у<Е (0,1).

К ограничениям разработанного метода оценки и прогнозирования функциональной зависимости между дискретными финансово-экономическими показателями следует отнести, прежде всего, обязательную линейность усредненной оценки fij(i) = Еj(i;m,n) = i-(n/m) и слишком большую (при а> 1) вертикальную ширину

области вероятных траекторий J(m,n;a). Для преодоления указанных ограничений в следующем параграфе разрабатывается модель учета допонительных условий, налагаемых на допустимые графики Д/;т,п) функциональной зависимости дискретных финансово-экономических показателей.

В з2.2 разрабатывается, на основе метода рандомизации функций, модель неопределенности выбора из конечного класса дискретных траекторий, с введёнными ограничениями на эти траектории и/или на их приращения. Строится, исходя из этой модели, методика оценки статистических характеристик стохастического процесса с равновероятными монотонными реализациями с учётом введённых ограничений на траектории, описывающие функциональную зависимость финансово-экономических показателей.. Введение интервальных ограничений на траектории, описанные в первом параграфе этой главы, приводит к выделению классов равновероятных, ограниченных с одной или с двух сторон траекторий. Допонительная информации исследователя фиксируется вектором ограничений на соответствующие приращения возможных реализаций процесса с = (с(1),...,с(/я))в точках г = 0Л,...,т. Определяется взаимнооднозначное соответствие между траекториями, с ограничениями на приращения, класса J(m,n,c), заданными на решётке [0,т]х[0,л], и траекториями, заданными на решётке меньшей размерности [0,т]х[0,п-с(1,т)], класса J(m,n-c(\,m)). Взаимно-однозначное соответствие этих классов траекторий позволяет определить количество траекторий в классе J(m, п, с), равное количеству траекторий в классе J(m, п-с( 1, т)) :

,, Y. Ст + и-с(1,т)-Г\ {п + т-с(\,т)-\у. Д

N(m,n-c(i,m)) = \ --. Строится стохастическии

l^w-1 ) (n-c(l,m))!(m-l)!

процесс }$) = У0;т,п,с) = j(i;m,n,c;3j с равновероятными реализациями из класса

J(m,n-c{\,m)), Р{{з/'Ьв}) = \1И{т,п-с{\,т)), = l,...,7V(m,n-c(l,m)).

} u U-C0.0 JU-7-C(;+i,m) Ал-с0.и)

i(n-c(l,m))

Математическое ожидание: цМ) = (i(i; m, и, с) = с(1, i)+---'ЧЧ, дисперсия:

= OyLn м,п,с) Ч (п Ч с(1, mf[i(m- i)]/[m2 (m +1)] + (п - c(l, m)[i (m - i)]/[m(m +1)].

Введены линейные ограничения на траектории процесса, что существенно снижает количество возможных реализаций, значительно уменьшая тем самым трудоёмкость вычислений. Для стохастических процессов /(i;m,я;-Ъ), j(i,m,n;a,-b) с

равновероятными линейно-ограниченными траекториями, заданных равномерным

распределением на множестве монотонных неубывающих линейно-ограниченных траекторий J{m,n;a),J(m,n^,-b),J(m,^r,a,-b) выведены в явном виде формулы определения числа таких траекторий, найдены конечномерные и условные распределения, определены другие стохастические характеристики, доказана марковость. Найденный тренд

п;а,-Ь)стохастического процесса ](г,т,п;а,-Ь) может использоваться как искомая оценка (прогноз) значений исследуемого финансово-экономического показателя на моменты времени / = 1 ,...,т. Наглядное представление о точности полученных оценок ц(г,т,п,а,-Ь), 1 = 1 дает область вокруг тренда, ограниченную графиками функций

//(0 = 1(у,т,п;а-Ь)о(г,т,п;а,-Ь), где о(г,т,п;а,-Ь) есть стандартное отклонение случайного процесса }{у,т,п\а,-Ъ)

Разработана модель учета допонительных условий, налагаемых на допустимые графики /(;; т, и) функциональной зависимости дискретных финансово-экономических показателей, которая преодолевает ограничения рассмотренного в предыдущем параграфе метода оценки и прогнозирования функциональной зависимости между дискретными финансово-экономическими показателями. Учёт допонительных условий преодолевает, прежде всего, такие ограничения как обязательную линейность усредненной оценки ц.^!) = Е и слишком большую вертикальную ширину области вероятных

траекторий.

В з2.3 строится система моделей неопределенности задания непрерывных функциональных зависимостей из классов, содержащих бесконечное множество непрерывных функций. Рассматривается методика оценки стохастических процессов со степенными реализациями, па основе теории стохастических процессов, индуцированных в квазиравномерно распределенным рандомизированным параметром. Приводятся формулы для вычисления числовых характеристик.

Обратимся к понятию функции полезности (точнее, функции полезности денег), о котором говорилось в третьем параграфе первой главы. В современной экономической теории функция полезности у - % {*) описывает зависимость полезности (потребительной ценности) уе Л^ = {х :хе Л',х > 0} от объема хеЯ\ некоторого экономического блага. Обычно функцию полезности считают непрерывной нормированной (у б [0,1]) неубывающей параметризованной функцией ё(х) = з(х\9), #6 Поскольку потребительная ценность (полезность) определенного объема экономического блага зависит от разных экономических и внеэкономических факторов, постольку функция g(x) = g(x^,ff) обычно задается с точностью до множества всех допустимых в данной ситуации функций

полезности. В условиях теоретико-множественной неопределенности, когда имеется целый класс С = ^(х,9):хе X = (х_,х,),0е& = [6_>вл)} параметризованных функций g(x',0), заданных с точностью до параметра в, возможные значения которого лежат в некотором интервале в = [в_,в^]. Рассмотрим ряд стохастических процессов, индуцированных рандомизированным параметром, позволяющих построить систему моделей неопределенности задания функций полезности. В отличие от варианта метода рандомизированных траекторий, рассмотренного в з2.1 и з2.2 основанного на модели рандомизации выбора функции из конечного множества всех возможных дискретных функций, описывающих функциональную зависимость между исследуемыми финансово-экономическими показателями, здесь предметом рассмотрения являются стохастические процессы, имеющие бесконечное множество параметризированных траекторий.

Для того, чтобы облегчить эксперту построение стохастического процесса, реализациями которого могут служить функции, связывающие соответствующие финансово-экономические показатели, мы далее будем считать, что множество в траекторий процесса состоит из ограниченных дифференцируемых параметризованных функций з{х\в), определенных на открытом интервале Л' = (х_,х+), -~ <<<, и задаваемых параметром в, принимающим значения из конечного полуоткрытого интервала 0 =

<0, <+~: О = {(х;0):хеХ = (х_,л:Д0е0 = [|9 ,0,)}. Таким образом, множество й всех возможных траекторий стохастического процесса у =з(х) представляет собой совокупность однопараметрических функций одного аргумента вида g (х; в).

Определим теперь рандомизированный параметр в, порождающий стохастический процесс '(х) по формуле g(x) = g(х\в), хеХ, построив функцию распределения

о, в < в_

5(\(в_,в ))

Я (IV (в

1, в^в.

<9<в^, параметра в, порождающего стохастический

процесс g^.x) = g(x^,в) с траекториями, равномерно распределенными по области их прохождения IV = (в_Параметр в , распределение которого на интервале 0 = [#_,>,) не обязательно совпадает с равномерным, обеспечивает равномерное распределение траекторий по области IV = будем называть квазиравномерно распределенным

параметром.

Рассмотрим случай, когда квазиравномерно распределенный рандомизированный параметр, порождающий стохастический процесс с равномерно распределенными по области

прохождения траекториями, имеет неравномерное распределение на интервале всех своих возможных значений. Пусть класс С допустимых параметризованных функций, описывающих функциональную зависимость финансово-экономических показателей х и у, состоит из степенных функций у = g{x^,6) = хв, бе. 0 = 0(0_,0+) = [#_,#+), >0. Будем считать эти функции заданными на множестве X - , х+) = (0,1). Очевидно, что функция g(х;в) убывает по параметру в во всех точках интервала X = (0,1).

Функция распределения Р- (в) квазиравномерно распределенного рандомизированного параметра в, где ве [в_,в1) имеет на интервале [в__, в^) вид

. Знание плотности распределения позволяет

вычислить математическое ожидание в =Ез и дисперсию л2 = .V2 (#) = О # квазиравномерно распределенного рандомизированного параметра в, порождающего стохастический процесс з(х) = g(x;&) = х" с траекториями g(x) = g{x;в) - хв, \в_ ,вг), в_ > 0, непрерывно убывающими по параметру в во всех точках области определения

Теперь в качестве оценки функциональной зависимости у = g (х) между финансово-экономическими показателями хну можно предложить, например, функцию У = ё(х) = g(x^,в) = xе . Функции у = g.{x) = g(x,в +з)=хв*' и

У- ё'(х) Ч g(x\в-) = х"~', где .г = .ч(в) = _ стандартное отклонение случайной

величины в , указывают ожидаемые отклонения (вниз и вверх соответственно) от средней оценки >' = (*)Х Вероятность попадания траектории стохастического процесса

(х) = g(x^,в) = xe' в область, ограниченную графиками функций У = g^(x) = g(x;в +*) = хв" и y = g'(x) = g(x;0= х"~', можно сосчитать по формуле (6), подставив в нее значения в1 = в - (в), в2 = в + ,ч(в). Эта вероятность может интерпретироваться как мера надежности оценки у =?]г(х) = з(х;0) =;к" функциональной зависимости у = g (г) между финансово-экономическими показателями х и у.

Цель третьей главы Применение метода рандомизированных траекторий для оценки зависимости финансово-экономических показателей заключается в использовании разработанных во второй главе двух вариантов метода рандомизированных показателей для оценки различных вариантов . функциональной зависимости финансово-экономических

показателей, выявленных в первой главе.

Для достижения этой цели подробно рассматривается пример моделирования неопределенности при помощи стохастических процессов, индуцированных квазиравномерно распределенными случайными параметрами, для оценю! степенной функциональной зависимости доли вкладчиков, открывших депозитные счета в банке, от предлагаемой банком годовой доходности по вкладам. (з3.1). Рассматривается также применение модели стохастических процессов со степенными реализациями для оценки точности и достоверности определения функциональной зависимости нормированной цены облигации от нормированного времени после выпуска рассматриваемой облигации (з3.2). Для той же задачи оценки зависимости цены облигации от времени используется модель стохастического задания стохастического процесса ё(х) = з(х\0) с равновероятными дискретными траекториями. При этом учитывается влияние допонительной информации о дискретных функциях g{х\в) дискретного аргумента и их приращений на статистические

параметры стохастического процесса g(x) = g(x;0) (з3.2). В этом же параграфе рассматривается схема оценки параметров стохастического процесса с траекториями разной вероятности и Байесовская схема оценивания допустимых траекторий процесса с учётом эмпирических, априорных и апостериорных оценок вероятностей (з3.2). В последнем параграфе этой главы рассматривается методика оценки зависимости полезности экономического блага (в частности, денег) от его объема, основанная на стохастическом процессе с логарифмическими реализациями, задаваемом квазиравномерно распределенным случайным параметром (з3.3).

В з3.1 применяется метод рандомизированных траекторий, как модель стохастического процесса, порожденного квазиравномерно распределенным параметром, для оценки функциональной зависимости и = и (г) доли и потенциальных вкладчиков, реально открывших депозиты в единственном банке, расположенном в небольшом населенном пункте, от предлагаемой банком годовой доходности г по вкладам. Пусть исследователь считает, что функциональная зависимость между рассматриваемыми показателями гни

( г-г Г

задается функцией вида и (г; в) = |-Ч I , где ге(г,г^), г_ > 0, а ве[9_,в+), в >0.

Допонительно он полагает, что функция и = и(г;в) выпукла вверх (т.е. в_ < 1). Пусть экспертная информация, доступная исследователю, состоит, например, в указании границ г_ = 5, /-+= 25 интервала (г_,) задания показателя годовой доходности г, измеряемого в процентах, и в указании на то, что при г = г0 =15 доля привлеченных вкладчиков лежит в

диапазоне от и, (гД;0) = и. (15;&) = 0.6 до и' (го;0) = и' (15; 8) = 0.9. Запишем степенную функцию в виде и = и(г;8) = з(х;8) = х", где .г = (г-г_)/0+ -г_). Приведенная выше информация о функции и = и(г\9) эквивалентна следующей информации о функции %(х\в) = хв\ хе (0,1), ,(0.5) = 0.5е- =0.6, ''(0.5) = 0.5" =0.9. Отсюда получаем оценки 8+ =1п0.6/1п 0.5 = 0.737, в_ = 1п 0.9/1п 0.5 = 0.152 границ параметрического интервала [9_,9^). Используя формулы, полученные в з2.3, находим математическое ожидание 8 = Её^ 0.405 и стандартное отклонение .г = .у (в) = 0.167 квазиравномерно

распределенного рандомизированного параметра в, порождающего стохастический процесс и (г) = и (г; в) с траекториями и -и(г\в), равномерно распределенными в области их прохождения. В качестве оценки функциональной зависимости между рассматриваемыми финансово-экономическими показателями г и и можно использовать функцию и =ы(г) = и(г;в). Графики функций и = и_(г) = и(г\8^) и и = и^(г)-и(г\в^), ограничивающие область прохождения траекторий процесса и(г) = и(г,в), функций и = и,(г) = и(г;9 + з) и и = и (г) = и(г\в - л), указывающие ожидаемые отклонения (вниз и вверх соответственно) от средней оценки и = й(г). Используя формулы

Л(0(6> #,)) = ЧЧЧЧЧ - --Ч--Ч, полученные в з2.3, получаем

8 ' 1 3(1(в_,0+)) (1 + 0,)(1 + вг)(в.-0_)

вероятность -$(#),#+$(?))) = 0.587 попадания траекторий стохастического

процесса и(г) = и(г\в) в пространственный интервал IV (в - $(в),в +5(0)), ограниченный графиками функций и. (г) = и (г; в + 5) и и* (г) = и (г, 9 -). Эта вероятность может интерпретироваться как мера надежности оценки и=й(г) функциональной зависимости доли и потенциальных вкладчиков, реально открывших депозиты в рассматриваемом банке, от предлагаемой банком годовой доходности г по вкладам. Приведенный пример демонстрирует общую схему применения варианта метода рандомизированных показателей, основанного на моделировании неопределенности задагшя функциональной зависимости при помощи стохастического процесса, индуцированного случайным квазиравномерно распределенным параметром.

Для конкретизации описанной общей схемы применения метода рандомизированных показателей рассмотрим пример аппроксимации эмпирической зависимости объема депозитов физических лиц и средневзвешенной процентной ставки ряда коммерческих московских банков. Выбор коммерческих банков осуществлён экспертами. Значения объемов (мн. руб.) депозитов физических лиц и величин процентных ставок по этим

депозитам получены в результате обработки числовых и графических данных. В первом приближении, эмпирическая зависимость объема депозитов от ставки процента, описывается логарифмической функцией вида ^(дг) = А 1п (х) + В, которая принадлежит классу логарифмических функций К(0) = {у(х\в) :у(х;0) = А1п(х) + 0, ве ,

задаваемых параметром в, принимающим значения из отрезка 0 = [0_,в+], где в_ =-610, =-170.По данным были рассчитаны логарифмический тренд у(х) ~ 1971п(х)-440, а также верхняя ((д:) = 1971п(дг) Ч 170) и нижняя (у_(х) = 1971п(дг) Ч 610) границы области прохождения графиков зависимости объема (мн. руб.) депозитов физических лиц от величины депозитной ставки (%)

В з3.2 рассматривается пример применения, описанной в третьем параграфе второй главы модели неопределенности задания непрерывных функциональных зависимостей из классов, содержащих бесконечное множество непрерывных функций. Рассматривается применение методики оценки стохастических процессов со степенными реализациями, на основе теории стохастических процессов, индуцированных квазиравномерно распределенным рандомизированным параметром в. Используются формулы для вычисления числовых характеристик этих процессов.

Пример почти монотонной (возрастающей) зависимости цены облигации от времени был приведен в з1.2, рассмотрена погашенная 17.03.08 облигация Банка России (ОБР), размещённой с 17.09.07 по 14.03.08: ОБР04003-7, код С11ВК07, эмитент ЦБРФ - Банк России. Эта облигация была выпущена в момент времени х_ =0, когда ее цена у_ = у(х_) была равна 975,6 руб, и набрала на последний момент х, =181 котировки цену У-, =уОО = 1000. Пусть, как и в предыдущем параграфе, исследователь считает, что функциональная зависимость между рассматриваемыми показателями х и у задается соотношением г = = между новыми переменными - между нормированным временем / = (*-Ч /е [0.1] и нормированной ценой облигации

2 = (у~У-)/(у.-У-), 2 6 [ОД], хе[х_,х,], х_>0, уе[у_,у.], у_> 0, а ве[0.,в,), в_ > 0. Выбраны так значения в_ = 0,5, = 1,75, чтобы график эмпирической функции, изображенной в новых (нормированных) координатах, целиком лежал между графиками функций г = = 1*~, 2 = %(1\61г) = 1в-. Класс С допустимых параметризированных

функций, заданных с точностью до параметра в (возможные значения которого лежат в некотором интервале 0 = [#_,<?+]), описывающих функциональную зависимость г и /, состоит из степенных функций г =(/;#) = <в, 9 е 0 = 0 (9_, ) = [0,, 0+), в, > 0, заданных

на множестве /И(0,1). Функции г = g(l',в) = Iе убывают по параметру в во всех точках интервала ? е (0,1). Рассмотрим порождённый квазиравномерно распределенным рандомизированным параметром в стохастический процесс = с

траекториями г = г(<) = (';#) = '", ве[в_,01), 9_> 0, непрерывно убывающими по параметру в во всех точках области определения (0,1).

Находим математическое ожидание 1, стандартное отклонение

5 = я (в) = \]о ё'"--- 0,352 квазиравномерно распределенного рандомизированного параметра

в, порождающего стохастический процесс = с траекториями

равномерно распределенными в области их прохождения. В качестве оценки функциональной зависимости между переменными можно использовать функцию 2 = ё(0 - Х Графики функций г - = и 2 = = ограничивают

область прохождения траекторий процесса г(1) = , графики функций

2 = = + и 2 ~ '"(О = (<;# --О указывают ожидаемые отклонения (вниз и вверх соответственно) от средней оценки = (')Х Вероятность Р(IV(в - я (0), в + я (<?))) = 0,599 попадания траекторий стохастического процесса 40 = в пространственный интервал, ограниченный графиками функций

2.(Г) = г(?;в + л) и = г(/;б -л), может интерпретироваться как мера надежности оценки г = 1(1) функциональной зависимости нормированной цены г облигации от нормированного времени I после выпуска рассматриваемой облигации.

В з3.2 рассмотрен также подход к использованию стохастического процесса &(*)= с равновероятными дискретными траекториями для оценки функциональной

зависимости цены облигации от времени, прошедшего с момента ее эмиссии. Этот подход основан на учете влияния допонительной информации о дискретных функциях ц(х\в) дискретного аргумента х = 0,1 ,...,т, и их приращений на статистические параметры стохастического процесса (х) = ё(х\в) (см. з2.2).

Приведенные примеры применения двух вариантов методики рандомизировнных траекторий, использующих стохастический процесс, индуцированный квазиравномерно распределенным параметром, и стохастический процесс с дискретными реализациями, демонстрируют гибкость и адекватность этого метода решения поставленной финансово-экономической задачи оценки функциональной зависимости цены облигации от времени.

В з3.3 рассматривается пример применения методики оценки зависимости > = ^(х)

= 0<x<(e-l), где

уровня полезности у экономического блага от его объема х, основанной на определении параметров стохастического процессе p'(x) = g(x;$j с логарифмическими реализациями, задаваемом квазиравномерно распределенным случайным параметром.

Построена модель стохастического процесса с логарифмическими реализациями, описывающего неопределенность задания функции полезности денег. Класс G допустимых параметризированных функций, описывающих функциональную зависимость финансово-экономических показателей х и у, состоит из обобщенных логарифмических функций

О, *<0,

полезности Бернули вида у = g(x\) =

1, х>в(е-\\

x5R[={x:xbR',x>0}, у е [0,1], 0е в = 0(0_,0+) = [0.,0Д), 0_>О. Очевидно, что функция g(x;9) убывает по параметру в во всех точках интервала X - (0,+

Построим стохастический процесс траекториями которого служат

обобщенные нормированные логарифмические функции полезности Бернули у- ln(l + */), порожденный квазиравномерно распределенным случайным параметром в . Квазиравномерно распределенный параметр порождающий стохастический процесс у = In (l + jc/ ) с траекториями у = In (l +х/в), оказывается имеющим просто равномерное распределение на интервале всех возможных значений параметра. Этот результат существенно упрощает нахождение математического ожидания в = Ев = (6_+0t)/2 и стандартного отклонения s = D6 ~ (6?, -0_)/2л/з рандомизированного параметра в. Теперь в качестве оценки функциональной зависимости у = g (х) между финансово-экономическими показателями х и у можно предложить, функцию У = g(x) = g (х,6) = \п^ + х/в). Функции у - g.(x) = 1п(\ + х/(в +i')) и

у = g'(x) = !n(l + х/(д -s)) ограничивают область ожидаемых отклонении траекторий у = ln(l+ стохастического процесса у =\п{\ + х/в) от средней оценки y = g(x). На основе описанной выше модели неопределенности задания нормированной логарифмической функции полезности Бернули можно построить простую методику оценки траекторий стохастического процесса у = ln(l + х/в),

Рассмотрен пример опроса экспертов по бурению разведочных скважин для добычи нефти/газа. Перед ними ставися вопрос - насколько полезна будет затраченная сумма денег х для получения необходимой информации об исследуемом месторождении

нефти/газа. Было обнаружено, что полезность денег почти точно пропорциональна логарифму их количества в диапазоне от 0 до 800000 доларов. Можно считать, что усредненные эмпирические данные хорошо приближаются логарифмической функцией полезности у = 1п(1 + х/0о), принимающей значение 0 при х = 0 и значение 1 при х = 800000. Из последнего соотношения 1 = 1п (1 + 800000/ 0О), получаем значение 9а = 800000/(е-1) = 465581,4 параметра вД, обеспечивающего хорошую интерпретацию эмпирических данных. Выбираем 0_, 0^ так, чтобы среднее 9 = (9_ + 6^)/2 было близко к 0О. Пусть исследователь выбрал крайние значения в_ = 232790,6827Д = 698372,0482 параметра в. Иными словами, исследователь считает, что все допустимые траектории у- 1п(1 + */0) процесса лежат между графиками функций у = 1п(1 + х/#+),

у = 1п(1 + х/0_), изображенными на рис. Находим все параметры, математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение равномерно распределённого рандомизированного параметра Используя формулы для равномерного распределения, находим математическое ожидание в =^л=465581,3655 и л =5(6') = 134401,76

стандартное отклонение квазиравномерно распределенного рандомизированного параметра в, порождающего стохастический процесс = g(x\з/] с траекториямиу (0 = равномерно распределенными в области их прохождения.

Рисунок. Графики функций y = g(x,9t) = ln(l+x/9t), y = g(x;вJ = \n(\ + x/0_), У = (х) = В<,х\в),у = ё{х;з + 5),у = в(х;в-!), 0=465581,3655, 9, = 232790,6827,<?+ = 698372,0482 ,.? = 134401,76 Рассмотренный выше пример использования разработанной инструментальной методики

оценки функции полезности денег имеет важное прикладное значение, так как современный маркетинг основывается, не в последнюю очередь, на оценках функций полезности денег, как потребителей, так и продавцов.

Таким образом, цели третьей главы диссертационного исследования достигнуты: продемонстрировано, что разработанный во второй главе комплекс модификаций метода рандомизированных траекторий является гибким и эффективным инструментальным средством оценивания различных вариантов функциональной зависимости финансово-экономических показателей, выявленных в первой главе (зависимости объема привлеченных банковских депозитов от ставки процента по этим депозитам; зависимости цены обыкновенной бескупонной облигации от времени с момента её эмиссии; зависимости полезности какого-либо экономического блага (например, денег) от объема этого блага). В Заключении приводятся следующие основные результаты диссертационной работы, выносимые на защиту.

1. Обоснована адекватность модели байесовской рандомизации выбора функций для описания неопределенности задания функциональной зависимости конкретных финансово-экономических показателей: объема банковских депозитов от ставки процента (з1.1); цены бескупонной облигации от времени ее эмиссии (з 1.2) и полезности экономического блага от его объема (з1.3).

2. На основе общей модели байесовской рандомизации неопределенности выбора из конечного класса дискретных траекторий разработана конкретная инструментальная методика оценки функциональной зависимости дискретных показателей (з2.1).

3. Получены явные формулы для определения числа допустимых линейно ограниченных дискретных траекторий, заменяющие громоздкие переборные агоритмы, обычно используемые для определения функциональной зависимости между дискретными финансово-экономическими показателями (з2.2).

4. На основе общей теории стохастических процессов, индуцированных квазиравномерно распределенными рандомизированными параметрами, разработана конкретная инструментальная методика оценки степенной (з2.3) и логарифмической (з3.3) функциональной зависимости финансово-экономических показателей.

5. Доказана эффективность разработанного комплекса моделей и инструментальных методик оценки функциональной зависимости в условиях неопределенности путем практического применения этого комплекса для оценки зависимости объема банковских депозитов от ставки процента (з3.1), цены бескупонной облигации от времени эмиссии (з3.2) и полезности денег от их количества (з3.3).

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ.

1. Аратская В.Э., Егоров М.Б., Чудовская Л.А. Стохастическая линеаризация частично упорядоченных множеств в задачах оценки многопараметрических систем // Вопросы механики и процессов управления. Выпуск 9. Математические модели сложных систем. Надежность и обработка информации. Л.: Издательство ГУ, 1986. С. 161-169.

2. Довгаль В.В., Хованов Н.В., Чудовская Л.А. Универсальное представление структуры области допустимых значений индикаторной функции нечеткого множества // Вестник Ленинградского государственного университета. Серия 1. Математика, механика, астрономия. Л.: Депонировано ВИНИТИ 27.01.88, № 761-В88. 1988. - 14 с.

3. Чудовская Л.А. Стохастические процессы с монотонными линейно-ограниченными дискретными реализациями // Вестник Ленинградского государственного университета. Серия 1. Математика, механика, астрономия. Л.: Депонировано ВИНИТИ 17.11.87, № 1330-В88,1988.-24 с.

4. Чудовская Л.А. Сравнительный анализ качества ДСП при помощи рандомизированных сводных показателей // Интенсификация производственных процессов в отраслях лесного комплекса с использованием комплексной механизации и средств вычислительной техники. Л.: Издательство ДНТП, 1988. С. 59-64.

5. Чудовская Л.А. Рандомизированная оценка рядов значений финансово- экономических показателей // Современные аспекты экономики. 2008. №9. С.104-110.

6. Колесов Д.М., Михайлов М.В., Хованов Н.В., Чудовская Л.А. Оценка показателей финансово-экономических объектов методом рандомизированных функций // Применение математики в экономике. Сборник статей. Выпуск 17. СПб.: СПбГУ, 2009. С. 71 - 104.

7. Михайлов М.В., Хованов Н.В., Чудовская Л.А. Метод рандомизированных траекторий в задачах прогнозирования динамики экономических показателей // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 5. Экономика. 2009. Выпуск 1. С. 120-131.

8. Корников В.В., Хованов Н.В., Чудовская Л.А. Модель неопределенности задания функции полезности // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2009. Том 16. Выпуск 2. С. 350-351.

9. Конюховский П. В., Хованов Н.В., Чудовская Л.А. Оценка по экспертной информации функциональной зависимости финансово-экономических показателей. Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 5. Экономика. 2009. Выпуск 2. С. 121-133.

Подписано в печать 09.07.09. Формат 60x90 1/16. Бумага офсетная. Печать ризографическая. Усл. печ. л. 1,4. Тираж 100 экз. Заказ № 166.

Отпечатано с готового оригинал-макета, предоставленного автором, в типографии ООО Фирма Стикс 196128, Санкт-Петербург, ул. Кузнецовская, 19

Диссертация: содержание автор диссертационного исследования: кандидат экономических наук , Чудовская, Людмила Анатольевна

Введение.

ГЛАВА 1. ЗАДАЧИ ОЦЕНКИ ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ ЗАВИСИМОСТИ

ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ.

з1.1. Оценка зависимости объема привлеченных депозитов от ставки процента.

з 1.2. Оценка зависимости цены бескупонной облигации от времени эмиссии.

з1.3. Определение формы функций полезности экономических благ.

ГЛАВА 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

ЗАДАНИЯ ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ ЗАВИСИМОСТИ ПОКАЗАТЕЛЕЙ.

з2.1. Модель неопределенности задания дискретной функциональной зависимости.

з2.2. Дискретная модель учёта экспертной информации с введёнными ограничениями на приращения.

з2.3. Модели неопределенности задания непрерывных функций.

ГЛАВА 3. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА РАНДОМИЗИРОВАННЫХ ТРАЕКТОРИЙ ДЛЯ ОЦЕНКИ ЗАВИСИМОСТИ ФИНАНСОВО

ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ.

з3.1. Оценка зависимости объема депозитов от ставки процента.

з3.2. Оценка зависимости цены облигации от времени эмиссии.

з3.3. Оценка зависимости полезности экономического блага от его объема.

Диссертация: введение по экономике, на тему "Методы моделирования функциональной зависимости финансово-экономических показателей в условиях неопределённости"

Тему диссертационной работы, связанную с применением экономико-математических методов для моделирования функциональной зависимости финансово-экономических показателей, необходимо рассматривать в контексте и единстве трёх взаимосвязанных направлений: анализа, наблюдения (мониторинга) и предсказания рассматриваемых показателей.

Задача мониторинга и прогнозирования динамики финансово-экономических показателей неизменно актуальна для эффективного управления в сфере экономической деятельности и в эпоху экономической стабильности, и во времена кризиса. При нахождении рынка в равновесии можно рассчитывать на более догосрочные прогнозы. В случае нестабильной ситуации на рынках приходится опираться на краткосрочные прогнозы. Выявление тенденций динамики финансово-экономических показателей и определение функциональной зависимости между ними является важной составляющей экономической деятельности любого уровня. Для предсказания развития экономических процессов становится важным не только использование и развитие существующих экономико-математических методов и инструментальных средств, но и поиск новых.

Вопросам выбора эффективного инструментария анализа и прогнозирования финансово-экономических показателей посвящено множество монографических и журнальных публикаций (см., например, журналы Финансы, Рынок ценных бумаг, Инвестиции, Деньги и кредит, лThe Banker, лStrategy&Business), как отечественных ученых (С.А. Айвазян, В.Н. Вапник, И.И. Елисеева, Г.Б. Клейнер, П.В. Конюховский, Н.В. Хованов и др.), так и зарубежных (J.P. Aubin, Ch. Dougherty, M.G. Kendall, J.E.Stiglitz, A. Stuart, L.Tacacs etc.), что также свидетельствует и о научной актуальности выбранной темы диссертационного исследования.

Практическая актуальность диссертационной работы подтверждается тем, что в эконометрике часто возникают ситуации, когда из-за недостатка статистической информации приходится применять экспертные оценки, когда невозможно объяснить применимость тех или иных эконометрических методов, но исследователь вынужден применять такие слабо обоснованные методы и модели. В данной работе разработаны экономико-математические модели и инструментальные методики на основе метода рандомизированных траекторий (функций), которые могут использоваться в подобных ситуациях. Они апробированы на нескольких конкретных финансово-экономических задачах. Таким образом, впоне очевидна практическая актуальность темы диссертации, посвященной разработке экономико-математических методов оценивания динамики и функциональной зависимости финансово-экономических показателей в условиях неопределенности.

Цель диссертационного исследования состоит в разработке комплекса экономико-математических методов и инструментальных методик оценки функциональной зависимости финансово-экономические показателей в условиях неопределенности. Разработанные инструментальные методики основаны на общей модели байесовской рандомизации теоретико-множественной неопределенности. Они используются для решения трех конкретных финансово-экономических задач: 1) оценка зависимости между объемом привлекаемых депозитов и величиной процентной ставки; 2) оценка зависимости между ценой бескупонной облигации и временем её эмиссии; 3) оценка зависимости между полезностью (для конкретного субъекта экономической деятельности) экономического блага и объемом этого блага.

Для достижения поставленной цели были сформулированы и решены следующие основные задачи:

1) выявить, исходя из анализа конкретных примеров, схему определения функциональной зависимости объёма привлечённых банковских депозитов от ставки процента по этим депозитам;

2) определить по статистическим данным функциональную зависимость цены обыкновенной бескупонной облигации от времени, прошедшего с момента эмиссии этой облигации;

3) выявить основные особенности задания функциональной формы зависимости полезности экономических благ (в частности, полезности денег) от объема этих благ;

4) разработать, на основе метода рандомизации функций, модель неопределенности выбора из конечного класса дискретных траекторий, заданных на целочисленной конечной решетке; построить, исходя из этой модели, методику оценки статистических характеристик стохастического процесса с равновероятными монотонными реализациями;

5) разработать методику учета ограничений на функции и их приращения в рамках модели неопределенности выбора дискретной монотонной траектории, описывающей функциональную зависимость финансово-экономических показателей;

6) на основе теории стохастических процессов, индуцированных квазиравномерно распределенными рандомизированными параметрами, построить методику оценки стохастических процессов со степенными и логарифмическими реализациями;

7) применить различные варианты стохастических процессов с равновероятными дискретными реализациями для исследования функциональной зависимости объема привлеченных банковских депозитов от ставки процента по этим депозитам;

8) исследовать влияние допонительной интервальной информации о дискретных траекториях на точность оценки и прогноза цены обыкновенной бескупонной облигации в зависимости от времени с момента эмиссии этой облигации;

9) оценить, с использованием методики рандомизированных логарифмических функций, точность и достоверность определения монотонных функций полезности денег в условиях неопределенности.

Сформулированные выше задачи предопределили объект и предмет проведённого исследования. В качестве объекта изучения выступают эмпирические данные о зависимости финансово-экономических показателей, а именно: статистические данные о зависимости объёма привлечённых депозитов от величины процентной ставки; наблюдаемые временные ряды цен простых бескупонных облигаций; данные о реально используемых в маркетинге функций полезности покупателя. Предметом диссертационного исследования является выявление общих для трех указанных объектов моделей, методов и инструментальных методик задания функциональной зависимости показателей на основе общей концепции рандомизации выбора из множества допустимых функций.

Теоретической и методологической основой диссертационного исследования являются методы системного анализа сложных финансово-экономических процессов, аппарат теории вероятности, теории случайных процессов, эконометрики, математической статистики, экспертных оценок, квалиметрии.

Информационную основу апробации представленных в работе расчётных методик составили числовые и графические данные различных сайтов Интернета, а также материалы баз данных информационных агентств Интерфакс, СЬопс^, СКРИН, Российской торговой системы (РТС).

Научная новизна диссертационной работы заключается в разработке нового комплекса экономико-математических моделей и методик оценки функциональной зависимости финансово-экономических показателей в условиях неопределённости. К числу основных результатов, полученных лично автором и определяющих научную новизну диссертационного исследования, относятся следующие:

1) на основе метода рандомизации функций разработана модель неопределенности выбора из конечного класса дискретных траекторий, заданных на целочисленной конечной решетке; построена, исходя из этой модели, методика оценки статистических характеристик стохастического процесса с равновероятными монотонными реализациями;

2) разработана методика учета ограничений на функции и их приращения в рамках модели неопределенности выбора дискретной монотонной траектории, описывающей функциональную зависимость финансово-экономических показателей;

3) на основе теории стохастических процессов, индуцированных квазиравномерно распределенными рандомизированными параметрами, разработана методика оценки стохастических процессов со степенными и логарифмическими реализациями;

4) продемонстрирована практическая эффективность разработанного комплекса экономико-математических моделей и методик оценки функциональной зависимости финансово-экономических показателей в условиях неопределённости на примерах: (1) исследования функциональной зависимости объема привлеченных банковских депозитов от ставки процента по этим депозитам; (2) анализа влияния допонительной интервальной информации о дискретных траекториях на точность оценки и прогноза цены обыкновенной бескупонной облигации; (3) оценки, с использованием методики рандомизированных логарифмических функций, точности и достоверности определения монотонных функций в классических моделях полезности денег. Основные результаты и выводы диссертационной работы докладывались и обсуждались на заседаниях кафедры экономической кибернетики экономического факультета СПбГУ (2008-2009), на заседаниях кафедры высшей математики СПбГТА (2008-2009). Автором сделан пленарный доклад по теме Рандомизированная оценка функциональной зависимости финансово-экономических показателей на научной конференции СПбГТА (27.01.09).

Разработанные модификации метода рандомизированных траекторий и соответствующие инструментальные методики оценки функциональной зависимости финансово-экономических показателей могут быть интересны как с точки зрения теории, так и практики, они также могут использоваться (и частично используются в настоящее время) при чтении широкого спектра спецкурсов по теории принятия экономических решений в условиях неопределенности, по эконометрике и по математической статистике для магистров, специалистов и аспирантов экономических специальностей.

Основные результаты и выводы диссертационной работы представлены в работах [2, 9, 11, 13, 17. 22. 43. 44. 45], опубликованных в научных изданиях и журналах, в том числе в изданиях и журналах, включённых ВАК в Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых дожны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание учёной степени кандидата наук.

Цели и задачи диссертационного исследования обусловили структуру диссертационной работы, которая состоит из Введения, трех глав, Заключения и списка литературы.

Диссертация: заключение по теме "Математические и инструментальные методы экономики", Чудовская, Людмила Анатольевна

Основные результаты диссертационной работы, выносимые на защиту: 1. Обоснована адекватность модели байесовской рандомизации выбора функций для описания неопределенности задания функциональной зависимости конкретных финансово-экономических показателей: объема банковских депозитов от ставки процента (з1.1); цены бескупонной облигации от времени ее эмиссии (з1.2) и полезности экономического блага от его объема (з1.3).

2. На основе общей модели байесовской рандомизации неопределенности выбора из конечного класса дискретных траекторий разработана конкретная инструментальная методика оценки функциональной зависимости дискретных показателей (з2.1).

3. Получены явные формулы для определения числа допустимых линейно ограниченных дискретных траекторий, заменяющие громоздкие переборные агоритмы, обычно используемые для определения функциональной зависимости между дискретными финансово-экономическими показателями (з2.2).

4. На основе общей теории стохастических процессов, индуцированных квазиравномерно распределенными рандомизированными параметрами, разработана конкретная инструментальная методика оценки степенной (з2.3) и логарифмической (з3.3) функциональной зависимости финансово-экономических показателей.

5. Доказана эффективность разработанного комплекса моделей и инструментальных методик оценки функциональной зависимости в условиях неопределенности путем практического применения этого комплекса для оценки зависимости объема банковских депозитов от ставки процента (з3.1), цены бескупонной облигации от времени эмиссии (з3.2) и полезности денег от их количества (з3.3).

Заключение

Диссертация: библиография по экономике, кандидат экономических наук , Чудовская, Людмила Анатольевна, Санкт-Петербург

1. Азгальдов Г.Г. Квалиметрии 30 лет: Итоги и перспективы // Стандарты и качество. 1999. № 1. С. 30-36.

2. Банковское дело. Управление и технологии. М.: ЮНИТИ, 2001.

3. Веккер JI.M. Психика и реальность: единая теория психических процессов. М.: Смысл, 1998.

4. Гальперин В.М., Игнатьев С.М., Моргунов В.И. Микроэкономика. СПб.: Экономическая школа, 2004.

5. Гличев A.B. Качество продукции и потребительная стоимость // Стандарты и качество. 1990. № 10. С. 30-32

6. Готтсданкер Р. Основы психологического эксперимента. М.: МГУ, 1982.

7. Дейнека О.С. Экономическая психология. СПб.: СПбГУ, 1999.

8. Зельнер А. Байесовские методы в эконометрии. М.: Статистика, 1980.

9. Колесов Д.М., Михайлов М.В., Хованов Н.В., Чудовская Л.А. Оценка показателей финансово-экономических объектов методомрандомизированных функций // Применение математики в экономике. Сборник статей. Выпуск 17. СПб.: СПбГУ, 2009. С. 71 104.

10. Конюховский П.В Микроэкономическое моделирование банковской деятельности. СПб.: Издательство С.-Петербургского университета, 2001.

11. Конюховский П. В., Хованов Н.В., Чудовская Л.А. Оценка по экспертной информации функциональной зависимости финансово-экономических показателей. Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 5. Экономика. 2009. Выпуск 2. С. 121-133.

12. Конюховский П.В. Моделирование стохастической динамики финансовых ресурсов. СПб.: Издательство С.-Петербургского университета, 2002.

13. Корников В.В., Серегин И.А., Хованов Н.В. Случайные композиции и монотонные пути на конечной целочисленной решетке // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2005. Том 12. Вып. 3. С.596-609.

14. Корников В.В., Хованов Н.В. Квазиравномерные распределения рандомизированных параметров // Вестник Ленинградского университета. Серия 1. Математика, механика, астрономия. 1982. Выпуск 3.№ 19. С. 90-92.

15. Корников В.В., Хованов Н.В., Чудовская Л.А. Модель неопределенности задания функции полезности // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2009. Том 16. Выпуск 2. С. 350-351.

16. Львов Д.С. Экономика качества продукции. М.: Экономика, 1972.

17. Маркетинг. Большой токовый словарь. / Под общ. ред. А.П. Панкрухина / М.: Омега-Л, 2008.

18. Матовников М. Золотник мал, потому и дорог. Специальное обозрение. Российские банки. // Эксперт. 2000. № 22. 12 июня 2000. Электронная версия Ссыка на домен более не работаетpubl/e0600.htm

19. Международный стандарт ISO-8402. 2-е изд. Женева: ISO, 1994.

20. Михайлов М.В., Хованов Н.В., Чудовская JI.A. Метод рандомизированных траекторий в задачах прогнозирования динамики экономических показателей // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 5. Экономика. 2009. Выпуск 1. С. 120-131

21. Невё Ж. Математические основы теории вероятностей. М.: Мир, 1969. С. 46-47.

22. Панкрухин А.П. Валютный маркетинг // Маркетинг Pro. 2008. № 12. С. 7-15.

23. Панкрухин А.П. Маркетинг: Учебник. 6-е изд. М.: Омега-J1, 2009.

24. Пфанцагль И. Теория измерений. М., 1976.

25. Рейнгольд Э., Нивергельд Ю., Део Н. Комбинаторные агоритмы. Теории и практика. М., Наука, 1980.

26. Системы качества. Сборник нормативно-методических документов. М.: Изд-во стандартов, 1989.

27. Состояние банковского сектора России в 2008 году // Вестник Банка России. 2009. № 20 (1111). 25 марта 2009. Электронная версия Ссыка на домен более не работаетPublications/MagazinesA/estnikCBR/2009A^BR2009 04241616/VBR200904241616 р 008.htm

28. Такач JI. Комбинаторные методы в теории случайных процессов. М., 1976.

29. Фресс П. Экспериментальная психология. СПб.: Питер, 2003.

30. Хованов Н.В. Анализ и синтез показателей при информационном дефиците. СПб.: СПбГУ, 1996.

31. Хованов Н.В. Математические модели риска и неопределенности. СПб.: СПбГУ, 1998.

32. Хованов Н.В. Математические основы теории шкал измерения качества. Л.:ГУ, 1982.

33. Хованов Н.В. Общая теория измерения ценности благ // Тезисы докл. Всерос. конф. Экономическая наука и Санкт-Петербургский университет. СПб.: СПбГУ, 1999. С. 179-180.

34. Хованов Н.В. Реляционные модели измерения ценности экономических благ // Вестн. С.-Петерб. ун-та. 2002. Сер. 5. Вып. 4. № 29. С. 149-160.

35. Хованов Н.В. Стохастические модели теории квалиметрических шкал. Л.: ГУ, 1986.

36. Хованов Н.В. Стохастические процессы и поля с равновероятными дискретными монотонными реализациями // Управление, надёжность и навигация. Выпуск 5, Саранск; Издательство Мордовского ГУ, 1979. С. 136-139.

37. Хованов Н.В. Три типа математических моделей неопределенности // Измерительная техника. 2005. N 9. С. 39-44.

38. Хованов Н.В., Бабурин Б.Г., Васенев Ю.Б., Михайлов М.В. Оценка потребительской ценности экономических благ по иерархической системе показателей качества // Применение математики в экономике. Сборник статей. Выпуск 16. СПб.: СПбГУ, 2006. С. 34-67.

39. Хол М. Комбинаторика, М., 1970.

40. Чудовская Л.А. Рандомизированная оценка рядов значений финансово-экономических показателей // Современные аспекты экономики. 2008. №9. С. 104-110.

41. Шпрингель В.К. Неработающий процент. Экономика и финансы // Эксперт. 2004. № 18. 17.05.04. Электронная версия Ссыка на домен более не работаетprintissues/expert/2004/l 8/18ех-тпепУ

42. Шумпетер Й.А. История экономического анализа. Том 3. СПб.: Экономическая школа, 2001.

43. Экман И. Измерение субъективных реакций // Труды международного симпозиума Эмоциональный стресс. Физиологические и психологические реакции. Л.: Медицина, 1970. С. 37-54.

44. Barmish В., Lagoa С. The uniform distribution: a rigorous justification for its use in robustness analysis // Mathematical Control, Signals, Systems. 1997. Volume 10. P. 203-222.

45. Bayes Th. An essay towards solving a problem in the doctrine of chances // -Biometrika. 1958. Volume 5. Part 3-4. P. 296-315 (Reproduced from Philosophical Transactions of London Royal Society. 1763. Volume 53).

46. Bergman В., Klefsjo B. Quality: From customer needs to customer satisfaction. London: McGraw-hill book company, 1994.

47. BizlyM.T.L., Grossman H.D. Paths having a given number of lattice points in a given region // ScriptaMath. 1954. Vol.20. P. 203-204.

48. Bonar J. Philosophy and political economy. N.Y.: Macmillan, 1909.

49. Church C. Lattice paths and Fibbonachi and Lucas numbers // Fibonachi quart. 1974. Vol. 12. P. 336-338.

50. Cobb C., Douglas P. A theory of production // American Economic Review. 1928. Supplement. Vol. 18. P.139-165.

51. Dubins L., Freedman D. Random distribution functions // Bulletin of American Mathematical Society. 1963. Volume 69. P. 548-551.

52. Evans R. The principle of minimal information // IEEE Transactions on Reliability. 1969. Volume 18. P. 87-89.

53. Gopala K. Crucial sets of observables and functional equations associated with some widely used grows laws // Proceedings of Indian Academy of Science. 1975. Volume 82. P. 1-16.

54. Grayson C. Decisions under uncertainty: Drilling decisions by oil and gas operators. Technical Report. Boston: Harvard Business School, 1960.

55. Grossman H.D. Another extention of the ballot-box problem // Scripta Math. 1950. Vol. 16. P. 120 124.

56. Grossman H.D. Paths and lattice triangle // Scripta Math. 1950. Vol. 16. P. 207-212.

57. Grossman H.D. The ballot-box problem // Scripta Math. 1946. Vol. 12. P. 223-225.

58. Hill B. The rank-frequency form of Zipf s law // Journal of the American Statistical Association. 1974. Volume 69. P. 1017-1026.64. Ссыка на домен более не работаетz/els/anktoolqtotal.asp?id-28599&pl=10015&ch type=linep&peiЧ3

59. Kan Yu., Kibzun A. Sensitivity analysis of worst-case distribution forprobability optimization problems // Probabilistic Constrained Optimizations. S. Uryasev (ed.). New York: Kluwer, 2000. P. 31-46.

60. Klein M. A. Theory of banking firm // Journal of Money, Credit and Banking. 1971. № 11.

61. Knight F. Risk, Uncertainty, and Profit. Boston (MA, USA): Houghton Mifflin Co., 1921.

62. Kozielecki J. Psychological decision theory. Boston: Reidel, 1981.

63. Oliver F. Methods of estimating the logistic grows function // Applied Statistics. 1964. Volume 13. P. 57-66.

64. Seal J., Theil H. Working's model for food. Economic Letters. 1986. Volume 22. P. 103-104.

65. Smith A. An inquiry into the nature and causes of the wealth of nations. Oxford: Oxford Univ. Press, 1976.

66. Villegas C. On the representation of ignorance // Journal of American Statistical Association. 1977. Volume 72. № 359. P. 651-654.

Похожие диссертации