Метод решения многомерной задачи оптимального управления динамикой макроэкономической системы тема диссертации по экономике, полный текст автореферата
Автореферат
| Ученая степень | кандидат физико-математических наук |
| Автор | Сабирова, Ольга Рамилевна |
| Место защиты | Ижевск |
| Год | 2008 |
| Шифр ВАК РФ | 08.00.13 |
Диссертация
Автореферат диссертации по теме "Метод решения многомерной задачи оптимального управления динамикой макроэкономической системы"
На правах рукописи
УДК 517 977 52 330 14
САБИРОВА ОЛЬГА РАМИЛЕВНА
МЕТОД РЕШЕНИЯ МНОГОМЕРНОЙ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДИНАМИКОЙ МАКРОЭКОНОМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
08 00 13 - Математические и инструментальные методы экономики
Автореферат
диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Ижевск-2008
003168916
Работа выпонена в Ижевском государственном техническом университете
Научный руководитель
кандидат физико-математических наук, доцент Кетова К.В.
Официальные оппоненты
доктор физико-математических наук, профессор Абдулаев А.Р. (Пермский государственный технический университет, г Пермь)
кандидат физико-математических наук, доцент Камалетдинов А.Ш.
(Институт экономики и предпринимательства, г. Москва)
Ведущая организация
Уральский государственный технический университет - УПИ
Л ^2008 г. в
Защита состоится л_ 2008 г. в /у часов
на заседании диссертационного совета Д 212 065 07 по адресу 426069, г Ижевск, ул Студенческая, 7
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ижевского государственного технического университета
Автореферат разослан л;
Ученый секретарь диссертационного совета, к ф -м н , доцент
К В Кетова
Общая характеристика работы Актуальность проблемы
В Послании Президента Федеральному Собранию Российской Федерации 16 мая 2003 года была сформулирована задача удвоения валового внутреннего продукта (ВВП) за десять лет Именно динамика изменения ВВП на душу населения рассматривается в качестве оценки успеха мероприятий по обеспечению экономического роста Проблема роста ВВП приобретает допонительную актуальность в России по причине больших экономических потерь в период с 1992 по 1998 г, приведших к значительному снижению уровня жизни населения В Программе социально-экономического развития России, утвержденной правительством РФ в январе 2006 года, также говорится о необходимости создания системы стимулирования экономического роста
При выработке определенной политики улучшения макроэкономических показателей возникает необходимость в предварительном анализе экономики, сложившейся в настоящее время, и в прогнозировании ее развития на будущее Для этого применяются методы математического моделирования динамики макроэкономических систем, статистические методы обработки информации, методы оптимизации и др
По мнению экономистов, из четырех основных экономических проблем размещения ресурсов, распределения дохода, экономической устойчивости и экономического роста - последняя остается наиболее неизученной В настоящей работе затрагиваются в большей или меньшей степени все названные проблемы, но именно оптимальный экономический рост является центральным понятием
В работах, касающихся изучения экономической динамики, наиболее распространены одномерные модели В реальных системах на экономический рост влияет множество факторов Разработка и математический анализ многомерных моделей позволит расширить спектр решаемых прикладных задач Краткая историческая справка
Существенный вклад в разработку математических моделей и развитие математических методов в экономике внесли В В Леонтьев, В С Немчинов, В В Новожилов, В К Дмитриев, Е Е Слуцкий, Дж фон Нейман, Д Гейл, Л В Канторович, В Л Макаров, А М Рубинов, И В Романовский и другие ученые
В 1928 году Ф Рамсеем была впервые предложена модель оптимизации сбережений домохозяйств В 1960-е годы Д Касс и Т Купманс, опираясь на работы Р Солоу (1950-е годы), развили модель Рамсея, предвосхитив актуальные в наше время исследования по проблемам оптимального управления макроэкономическими системами Развитие моделей этих ученых в настоящее время представлено работами В Д Матвеенко, В.З Беленького, К В Кетовой и др
Работы Л С Понтрягина и Р Белмана внесли большой вклад в разработку инструментальных методов оптимального управления и математического анализа динамики экономических систем
Объектом исследования является теория оптимального распределения капиталовложений в задачах макроэкономической динамики
Предметом исследования является математический и инструментальный аппарат решения задач оптимального распределения капиталовложений
Целью работы является разработка эффективного метода решения задачи оптимального распределения капиталовложений в фазовом пространстве произвольной размерности и анализ траекторий развития макроэкономической системы
В ходе работы решались следующие научные и практические задачи.
1 Построение оптимизационной математической модели динамики макроэкономической системы в многомерном фазовом пространстве, учитывающей инвестиционные процессы и максимальный рост благосостояния населения
2 Разработка эффективного метода реализации многомерной модели Тестирование разработанного метода для решения задач оптимального управления в фазовых пространствах различной размерности
3 Разработка многофакторной оптимизационной модели макроэкономической системы, учитывающей научно-технический прогресс в производственной и социальной сфере
4 Проведение анализа и параметрических исследований многомерных экономико-математических моделей
Методы исследования. В работе использованы методы теории оптимизации, теории оптимального управления, теории дифференциальных уравнений, математического компьютерного моделирования На защиту выносятся
1 Негомогенная оптимизационная математическая модель динамики макроэкономической системы в многомерном фазовом пространстве, учитывающая инвестирование средств в факторы производства, критерием оптимальности в которой является максимизация благосостояния населения
2 Метод решения задачи оптимального управления в многомерном фазовом пространстве (индексный метод), основанный на применении принципа максимума Понтрягина Результаты тестирования разработанного метода решения задачи в двумерном и четырехмерном фазовых пространствах
3 Многофакторная оптимизационная математическая модель макроэкономической системы, учитывающая научно-технический прогресс в производственной и социальной сфере
4 Анализ результатов численной реализации и параметрических исследований экономико-математических моделей
Достоверность и обоснованность полученных в работе результатов обеспечена корректностью математических постановок задач (основанных на модели Рамсея-Касса-Купманса) Метод разработан на основе известного подхода к решению задач оптимального управления (принципа максимума Понтрягина) При тестировании разработанного метода для моделей различной размерности выявлено влияние различных параметров макроэкономической системы на макроэкономическое развитие и доказана эквивалентность
решений, полученных разработанным методом и принципом максимума Полученные решения исследованы на сходимость, точность и устойчивость Научная новизна работы
1 В разработанной негомогенной оптимизационной модели динамики макроэкономической системы в многомерном фазовом пространстве впервые учитывается эффективность инвестиций и нижняя граница значений управляющих переменных
2 Новый аналитический метод решения задачи оптимального управления макроэкономической системой, в отличие от существующих методов, не требует знания граничных условий для вектора двойственных переменных и позволяет строить оптимальные траектории в фазовых пространствах произвольной размерности -
3 В разработанной многофакторной оптимизационной математической модели впервые осуществляется одновременный учет научно-технического прогресса в производственной и социальной сфере, а также распределения факторов во временно-возрастной плоскости
4 Впервые индексным методом проведены комплексные исследования, в ходе которых установлены оптимальные пропорции распределения капиталовложений, а также выявлены существенные параметры, влияющие на показатели макроэкономического роста
Значение научных результатов для теории
Сформулированная в работе модель динамики макроэкономической системы (региона) позволяет планировать оптимальное распределение капиталовложений при учете многих факторов, влияющих на макроэкономическое развитие
В работе доказана теорема, согласно которой в случае выпуклых производственных функций гамильтониан разработанной модели является выпуклым, что обеспечивает необходимость и достаточность условий оптимальности траектории, построенных на основе принципа максимума
Разработанный метод решения многомерных задач оптимального управления представляет собой теоретическое исследование и может быть непосредственно использован при построении и анализе экономических моделей Метод позволяет свести решение двойственной задачи оптимального управления с неизвестными граничными условиями для сопряженных переменных к решению прямой задачи для фазовых переменных, что в многомерном фазовом пространстве существенно сокращает объем необходимых вычислений для определения оптимальной траектории
Значение научных результатов для практики
На основе построенного агоритма разработан программный комплекс в среде Borland Delphi 7 0, который может быть использован для решения задач оптимального управления экономической системой на региональном уровне, в том числе в случае учета инновационных процессов
Разработанный метод используется на факультете Прикладная математика Ижевского государственного технического университета при проведении лабораторных работ, а также при подготовке курсовых и дипломных ра-
бот студентов, обучающихся по специальности 061800 - Математические методы в экономике Апробация работы
Материалы диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях Воронежской весенней математической школе Понтрягинские чтения - XVII (Воронеж, 3-9 мая 2006 г), Всероссийской научно-практической конференции Инновационная экономика и региональное инновационно-устойчивое развитие (Чебоксары, 25 октября 2006 г), Воронежской зимней математической школе Современные методы теории функций и смежные проблемы (Воронеж, 27 января - 2 февраля 2007 г), Воронежской весенней математической школе Понтрягинские чтения -XVIII (3-9 мая 2007), 3-ей Международной научно-практической конференции Достижения ученых XXI века (Тамбов, 30-31 июля 2007 г), Всероссийской научно-практической mternet-конференции Проблемы функционирования и развития социально-экономических систем (Уфа, 15 октября - 15 ноября 2007). Публикации
По теме диссертации опубликовано 12 печатных работ, из них 2 статьи [1, 2] в изданиях, рекомендованных ВАК для публикации основных результатов диссертаций
Структура и объем работы
Объем диссертации составляет 118 страниц и состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, включающего 130 источников
Содержание диссертации Введение содержит обоснование актуальности темы исследования, цели и задачи диссертационной работы, положения, выносимые на защиту, значение полученных в работе результатов для науки и практики
В первой главе проводится обзор существующих подходов к моделированию экономических процессов и анализу экономического роста Особое внимание уделяется математическим методам решения задач оптимального управления Рассматриваются подходы, применяемые при моделировании экономической динамики
Во второй главе формулируется негомогенная многомерная оптимизационная модель, приводится постановка задачи оптимального управления макроэкономической динамикой (каноническая форма) и ее решение на основе принципа максимума Описывается разработанный аналитический агоритм решения (индексный метод), который позволяет решать задачи оптимального управления динамикой макроэкономических систем при неизвестном значении вектора двойственных переменных в начальный момент времени, те когда непосредственное применение принципа максимума затруднительно Приводится агоритм численной реализации индексного метода
Модель формулируется для замкнутой экономики при следующих предпосыках
П1. Объем выпуска У определяется (п +1) -факторной производственной функцией /(х), где х е X - вектор факторов производства, X = {зс = х(1) = (хо,*!, ,хп)\х е функция /(х) принадлежит классу
функций V , то есть таких функций, которые определены на пространстве и подчинены условиям а) /(0)=О,б) /(х) монотонно возрастает по каждой переменной, в) /(дс) выпукла вверх на X, г) /(х) - однородная функция со степенью однородности 9< 1, те
д) В общем случае зависимость от времени в производственной функции может присутствовать в явном виде, те /(х) = /(х,/)
П2. Среди производственных факторов особое место занимает фактор х0 = Ь = !(/) - объем трудовых ресурсов Различаются трудовые ресурсы, задействованные в создании валового регионального продукта (ВРП), и все население региона Ь
экономической системе Прогнозные значения функций (г), Ь
А/0 ={0,1, ,л}
ПЗ. Произведенный продукт распределяется на (п +1) часть согласно вектору управления 5 = ,5Д)> р = (|Зо>р1> 0, где доля 50 на-
правляется на потребление, ^ {к е М) - норма инвестиций в Ьй фактор производства, вектор р - нижняя граница вектора у, компонента Р0 обеспечивает гарантированный уровень душевого потребления Общая сумма
граничных долей вводятся фиксированные величины
В, = 1 - В + р,, I е М
= ,-5) 0Я<5>4=1| (1)
П4. Уровень эффективности инвестиций в г -й фактор производства характеризуется показателем а,(/)>0, а = (а.], ,аД)
П5. Выбытие факторов производства происходит согласно вектору коэффициентов амортизации у = (у15. ,уД)
П6. Модель развития экономики региона строится в непрерывном времени/с конечным горизонтом планирования Т
В качестве критерия максимизации выбирается удельное (в расчете на одного жителя) благосостояние населения на всем рассматриваемом горизонте планирования без учета гарантированной доли
J(T) = f(j0 -0 )f(x)\e~s'dt max , (2)
где X = X(t) = L(t)f L
Траектория движения системы определяется фазовыми уравнениями
хк = Vi/W-У Л, кеМ, (3) -
с граничными условиями
хк{0)=хы, xk(T) = x'k(T), кеМ (4)
Левое (начальное) условие (4) является заданным Предполагается, что существует квазистационарная фазовая траектория x*(t) такая, что, двигаясь в оптимальном режиме, система выходит на нее за конечное время и далее двигается по ней (параметры х* (/) будут определены далее) Правое (конечное) условие (4) рассматривается как состояние в .момент Т на квазистационарной траектории
Запись модели в виде (2)-(4) на множестве допустимых управлений (1) назовем канонической формой задачи оптимального управления динамикой макроэкономической системы
Для построения оптимальной стратегии применяется принцип максимума
Понтрягина Гамильтониан задачи (2)-(4) имеет вид
Н(х, s, у/, t) = (s 0 - о )f{x)ke ~ъ' + у 4 [a k sk f(x) ~jkxk] (5)
В работе доказывается, что гамильтониан (5) задачи (2)-(4) при допущениях П1-П6 есть выпуклая на ХхС1Д функция, что обеспечивает необходимость и достаточность условий оптимальности траектории, построенной на основе принципа максимума Данный вывод в работе формулируется в виде теоремы
Таким образом, для оптимальности программы развития системы (s(t),x(t)) необходимо и достаточно наличие таких двойственных (сопряженных) функций yk(t) (k е М), при которых выпоняются условия
1 При каждом фиксированном / 6 [о, т]
s = arg max Н(х, s, у/, t) (6)
2 Функции \\>к и хк (ке М) удовлетворяют сопряженной системе дифференциальных уравнений
а) хк = дН/дц1к, 6) ук= -дН/дхк , к&М, t е [о,г] (7)
с граничными условиями (4)
В обозначениях q, - н/,е5' (г е М) гамильтониан (5) принимает вид
условие (6) записывается в виде
<2=(а,а. .а). боМ=*(о, *ел/ (9)
Формула (8), в правой части которой стоит линейная форма > лежит в основе построения оптимального управления Переменные (2, (г е А/0) называются весами значимости факторов производства
Для записи оптимальной стратегии управления вводятся в рассмотрение множества индексов и М2 такие, что А/, = |( е М
Л/[ г\ М2 = 0) С учетом принятых обозначений стратегия оптимального управления (8) имеет вид
s(th\SХ="leMJ' (10)
Согласно (10) оптимальные значения управляющих переменных равны минимальному значению (3, (/ е Л/,) всюду, кроме положений равновесия (I е Л/2), которые характеризуются равенством между собой соответствующих коэффициентов <2, (/ еМ2)
Управление (10) определяет оптимальную фазовую траекторию дс(/) экономической системы Движение по этой траектории в общем случае состоит из (и + 1)-го этапа, на каждом из которых присутствуют конкурирующие
факторы - такие факторы х,, для которых соответствующие коэффициенты линейной формы <2, максимальны, положительны и равны между собой (1 е М2) Остальные факторы х, (г е М1) называются свободными
Номер текущего этапа обозначается р р-1, ,п +1. Период планирования [0, Г] разбивается на (п +1) интервал [0, /,], (/,, /2], , (/р_[5 ,
(/Д,7']. На каждом произвольном этапе р выпоняется равенство весов значимости соответствующих конкурирующих факторов
в, бта* (0 > 0.] (0 й (0 = бтах (0 , V ] е А/,, , 6 М2 (11) Условия принципа максимума (7) записываются в виде
Хк = Г*** 5 ' е м> (12> а)
л^(б + У.к-^б-Ро^ДЫ (12,6)
Исходя из (11), множество М2 имеет вид
Мг = Arg max (13)
Таким образом, любой произвольный этап р описывается уравнениями (12, а, б) при выпонении условий (11) Причем в множество М2 входит р элементов, а в множество А/j входит (w +1 - р) элементов
При р = п +1 система выходит на квазистационарный режим, обеспечивающий выпонение правого граничного условия (4)
Фазовая траектория (/,x'(i), , х* (г)) называется квазистационарной, если выпоняются равенства (11), принимающие вид
Qt(t>40 ШО-oл),ело=ткем (i4)
Оптимальное управление (s*(f), , s* (/)) на (п +1) -м этапе является частным случаем управления (У,(0, ,sД(t))
Из вышесказанного ясно, что в оптимальном режиме политика инвестирования нацелена на выравнивание весов значимости всех производственных факторов При такой политике множество М2 постепенно расширяется, присоединяя к себе все новые и новые факторы Фактор, вошедший в множество Мг в какой-либо момент времени (т е ставший конкурирующим), уже не покидает М2 и остается в нем до конца периода планирования
В работе излагается процедура построения стратегии оптимального управления (10), выводящей траекторию развития системы на квазистационарный режим, - индексный метод Индексный метод позволяет перейти от построения оптимального управления (10) относительно коэффициентов линейной формы sQ, когда необходимо знать значения вектора двойственных переменных, к построению относительно значений фазовых переменных, когда нет необходимости заранее знать значение вектора g(0) Индексный
метод строится при заданном значении нижней границы потребления 0 Тогда задача построения оптимальной траектории системы решается как задача Коши системы уравнений (3) с начальными условиями (4)
Для того, чтобы веса факторов выравнивались с течением времени, необходимо, чтобы веса свободных факторов росли быстрее, чем веса конкурирующих, те Qk < Qj Это есть условие опережающего роста весов значимости свободных факторов В работе показано, что данное условие преобразуется к виду
1к<1;, V(eM2,yeMДie[0,r]), (15)
где Ik .= Qk !Qk =5 + у^ + aklak-(l-0)at/^ (*) -индекс k -го фактора
Отсюда следует, что в каждый момент времени t множество конкурирующих факторов определяется формулой
М2 = Arg min 7,(0. te [О, т] (16)
Таким образом, правило включения факторов в множество конкурирующих факторов определяется формулой (16), что не требует вычисления значений коэффициентов линейной формы Q, (i е М), а, следовательно, и двойственных переменных q, (г е А/)
С использованием множества М2, определенного по формуле (16), строится оптимальное управление на каждом р-м этапе, затем при найденных значениях управляющих переменных решаются фазовые уравнения (3) при начальном условии (4)
Доказательство эквивалентности стратегий управления (10), полученных индексным методом (формула (16)) и непосредственным применением принципа максимума (формула (13)), осуществляется численно по следующей схеме
После построения оптимальной траектории движения макроэкономической системы и соответствующего оптимального управления индексным методом (формула (16)), вычисляются значения коэффициентов Q, (бЛ/) как решение задачи Коши для уравнений (12) в обратном времени с правым краевым условием Q,(T) = x(T)(i е М) при оптимальном управлении (10), (13) Если множества (13) и (16) совпадают на всем периоде планирования, то эквивалентность индексного метода и принципа максимума считается доказанной
В третьей главе приводится постановка и математический анализ решения двухфакторной задачи оптимального управления Дана постановка четы-рехфакторной задачи оптимального управления в частных производных с учетом научно-технического прогресса (H'1'li) в производственной и социальной сфере, а также распределения факторов во временно-возрастной плоскости Описывается процесс сведения фазовых уравнений в частных производных к уравнениям в канонической форме
В двухфакторной модели в качестве факторов производства рассматриваются два однородных фактора Х] (t) и Х2 (') Каждый год ВРП (Y) распределяется на потребление С и инвестиции в каждый из факторов производства - /[ и /2 соответственно Объем выпуска Y определяется производственной функцией Y - F(X} ,Хг)е\У
При переходе от абсолютных величин к удельным хк ~ Хк! L, к = 1,2, для производственной функции у = Y/L = F(X)1 L = f(x), x = (x{,x2)
Вводятся обозначения yk = цк + L/L, k = 1,2, где Льг ~~ постоянные коэффициенты износа факторов
Постановка задачи (2)-(4) в данном случае записывается в виде т
= Г(у0 -0)f{x)Xe-udt - шах, (17)
" cf=0_
Х1 =51а|/(*)-У1*1> = 32агх)~Чгх2> / ^ [0.7~]. (18) дс(0) = х, х(Т) = х*7 (19)
Условие (8) задачи (17)-(19) имеет вид
Л' = а^тах^Да,^ - 7.) + .^2{о.2д2 -X)} (20)
Так как задача имеет две фазовые переменные, то движение по оптимальной траектории состоит из трех этапов В зависимости от начальных условий х0 возможны четыре основных варианта
В случае четырехфакторной задачи рассматривается следующий сценарий Считается, что факторы, характеризующие производственный капитал К и человеческий капитал Z, состоят из двух частей К1 и К2, 2\ и 2г При этом инновационные составляющие К2 и 2г начинают формироваться с момента г0 в условиях НТП в производственной и социальной сфере соответственно
Вводится вектор факторов производства Х = (К1,К2,2Ь22), X >0 Множества индексов М и М
У = ^(Г) = 4^Г' +(1-и)ец'%а']Х/а'[м21Р| + ,(21)
где 0<а + р < 1, причем 0<а<1, 0<р<1, щ, р2 - темпы НТП в производственной и социальной сфере соответственно Целевой функционал задачи имеет вид
J(T) = f(0 -рQ)^le-&'dt -> max (22)
L\t) ля.
Для более точного моделирования факторов экономического развития, в случае наличия статистических данных, можно рассматривать распределение факторов во временно-возрастной плоскости Пусть Qk{f,mk) - функция распределения к- го фактора по возрастам, где хк- возраст А-го фактора
(кеМ) Динамика функций Sk(t,xk) описывается уравнением
+ ( } (23)
Таким образом, фазовые уравнения задачи записываются в частных производных Начальные и граничные условия для факторов имеют вид
При = t0 Э*(/0,т*)=90А(тД t>0, А = 1,4, где - извест-
ные функции, причем 9М (Tt) = 0 для к = 2,4. При т = 0 9yt(r,/0)=ai(/)/l(/), >/0, к = 1,4
Суммарный объем факторов в момент времени t определяется по форму-
ле Xt(t)= j$k(t,Tk)d4, к = 1А о
Рассмотренную задачу можно свести к канонической постановке, если принять r\k = const и использовать распределение факторов по дате их рождения Е,к Переход к канонической постановке осуществляется с помощью замены л = t-tk Тогда задача будет состоять в максимизации целевого функционала (22) при фазовых уравнениях вида
Xk{t)=akskF(X)-i\kXk, к = \А (24)
и граничных условиях
*(0) = (Г01, О, Z01, 0), Х(Т) = Хг (25)
Таким образом, получены две задачи, (17)-(19) и (22), (24), (25), которые являются частными случаями канонической постановки и решаются с помощью разработанного индексного метода
Четвертая глава содержит результаты численной реализации двух- и че-тырехфакторной моделей Проводится экспериментальное тестирование индексного метода в двумерном фазовом пространстве Приводятся результаты параметрических исследований рассмотренных моделей
Рассматриваются результаты реализации двухфакторной модели экономической системы (17)-(19), где в качестве факторов производства принимаются основные производственные фонды (капитал) К и фактор человеческого капитала Z
Значения функций и переменных, составляющих исходную информацию модели, а также коэффициенты производственной функции определялись на основе статистических данных по Удмуртской Республике за период с 1994 по 2007 г Для расчетов в качестве начального момента времени iQ принимается 2007 г
Объем выпуска описывается производоизводственной функцией типа Кобба-Дугласа вида F(K,Z)= 45147 К0'27 Z0'32 В удельных переменных функция принимает вид f (k,z,t) = 45147 k0'27z0-32/[L(0]OM ,где к = К/L, z = ZIL, f(k,z,t)= F(K,Z)/L(t) Принимаются следующие значения параметров р = (р0ДО), где ро =03, а - (1, Ц/)), у = (т^ +L/L,г\2 +ЫЬ), где t|j = 0,12, г)2 = 0,15, 5 = 0 05 Период планирования Т составляет 10 лет
На рисунках приняты следующие обозначения Для фазовых траекторий к - удельный капитал (тыс руб /чел ), z - удельный человеческий капитал (тыс руб /чел ), 1 Ч квазистационарные траектории, 2 - оптимальные траектории Для траекторий двойственных переменных 1 - Ql (соответствует фактору к), 2- Q2 (соответствуетфактору z ), 3 - Q0 (равен X) Начальные условия приведены в табл 1
Таблица 1
__Начальные условия задачи оптимального управления_
Вариант I II III IV
к0, тыс. руб./чел. 600 150 400 270
, тыс. руб./чел. 350 20 60 20
Построенное в каждом случае оптимальное управление обеспечивает выход системы на квазистационарную траекторию (рис. 1-4), которая характеризуется стабильным экономическим ростом (удельная величина ВРП увеличивается в среднем на 1,5 % ежегодно) и ростом благосостояния населения (среднедушевого потребления), которое на конец периода планирования составляет порядка 108 тыс. руб./чел. в год. Расчеты показывают, что на траектории сбалансированного роста (квазистационарной траектории) около одной трети произведенного продукта необходимо направлять в развитие факторов производства, и около двух третей - на потребление.
Рис. 1. Траектории динамики фазовых координат (вариант I)
2 010 2 012
Рис. 2. Траектории динамики фазовых координат (вариант II)
2 008 2 010 2 012 2 014 2 015
Рис. 3. Траектории динамики фазовых координат (вариант Ш)
2 008 2 010
2 014 2 016
2 010 2 012 2 014 2 016
Рис. 4. Траектории динамики фазовых координат (вариант IV)
Рис. 5. Траектории динамики весов значимости (варианты I и П)
Параметрические исследования модели показали, что значение целевого функционала У(Г, (30) достигает наибольшего значения при ро = 0,3. Удельное потребление в конце периода планирования монотонно уменьшается с ростом Р0. Это связано с тем, что потребление есть доля произведенного ВРП, который уменьшается с ростом нижней границы потребления. Также снижается средний темп прироста ВРП на квазистационарной траектории. Расчеты также показали, что чем больше значение границы (30, тем при меньших значениях фазовых координат реализуется траектория сбалансированного роста.
Рассматриваются результаты реализации четырехфакторной модели экономической системы (22), (24), (25) с производственной функцией вида (21).
Коэффициенты параметров производственной функции: А = 4500, а = 0.25 , а[ =-0.4, (3 = 0.3, Рх = -0.4, к = 0.2, ^=-0.07, ц2=-0.05. Функции !(?), Ц/) задаются экзогенно. Принимаются следующие значения параметров: 30 =0.2; а = (I, /ф), 1, 40); у, = Л,- + / (*' = 1, 4), где т)] = 1\2 = 0,12 , Г)з = г]4 = 0,15; 5 = 0.05 . Период планирования Т = 15 лет. Начальные условия: х = (7;0;4;0), в тыс. руб./чел. в год.
Построенное при заданном начальном состоянии системы оптимальное управление (рис. 8) обеспечивает выход системы на квазистационарную траекторию (рис. 7), которая характеризуется ростом удельной величины ВРП и благосостояния населения в среднем на 6,5 % в год. На траектории сбалансированного роста около 90 % произведенного продукта направляется на общее потребление, остальные средства приблизительно в равных пропорциях распределяются на инвестиции во все факторы производства.
Рис. 7. Траектории фазовых координат: 1 - квазистационарные траектории факторов к2 и г2, 2 - квазистационарные траектории факторов и , 3 - оптимальные траектории факторов к2 и г2, 4 Ч оптимальные траектории факторов к] и г1
0,8 0.6 0,4 CJ?
0, , . . . . ... 2 007 2 010 2 013 2 016 2 019 2 С22 t ГОД
Рис. 8. Графики изменения параметров управления:
1 - доля sx,2- доля s2 , 3 - доля -?3,4 - доля s4 , 5 - доля s0
Параметрические исследования зависимости параметров оптимальной траектории от нижней границы потребления и начальных значений фазовых переменных показали результаты, аналогичные результатам, полученным в двумерной модели. Также исследовалось влияние на решение задачи темпов научно-технического прогресса ( щ и ц2 ) Увеличение темпов НТП вызывает пропорциональный рост соответствующего неинновационного фактора на траектории сбалансированного роста. Чем больше значение темпа НТП, тем больше значения целевого функционала и удельного ВРП и, при заданных начальных условиях, быстрее наступает момент выхода на квазистационарную траекторию.
Ч'Ч1 5
4 _L
тН 5 щ
Л3 1,3
Заключение
1 Разработана негомогенная оптимизационная модель динамики макроэкономической системы в многомерном фазовом пространстве, в которой учитывается эффективность инвестиций и нижняя граница значений управляющих переменных
2 Предложен новый метод (индексный метод), основанный на применении принципа максимума Понтрягина и позволяющий решать задачи оптимального управления динамикой макроэкономических систем на основе решения прямой задачи Коши с заданными начальными условиями для фазовых переменных
Разработанный агоритм численной реализации индексного метода применен к задачам оптимального управления в фазовых пространствах различной размерности, проведен анализ поведения управляемой экономической системы в зависимости от ее начального состояния Во всех случаях тестирование предложенного метода показало эквивалентность управлений, построенных на основе индексного метода и непосредственного применения принципа максимума
3 Представлена модель экономической системы с учетом научно-технического прогресса в производственной и социальной сфере Дана постановка задачи в частных производных с учетом распределения факторов производства во временно-возрастной плоскости, данная задача при определенных условиях сводится к задаче в канонической форме, приводится ее решение с помощью разработанного агоритма
4 Параметры и коэффициент разработанной двухфакторной модели рассчитывались на основе статистических данных по Удмуртской Республике Построены траектории оптимального управления и динамики макроэкономических показателей Показано существование траектории сбалансированного развития (квазистационарной траектории), которая характеризуется ростом удельной величины ВРП и благосостояния населения в среднем на 1 5 % ежегодно, на траектории сбалансированного роста необходимо около одной трети произведенного продукта инвестировать в развитие факторов производства и около двух третей направлять на общее потребление
5 В случае учета НТП также построены траектории оптимального управления и динамики макроэкономических показателей, а также показано существование траектории сбалансированного экономического развития, которая характеризуется экономическим ростом ежегодно удельная величина ВРП и благосостояния населения увеличивается в среднем на 6,5 % в год, при этом около 90 % произведенного продукта направляется на общее потребление
6 Проведены параметрические исследования двух- и четырехфакторной задач Исследована зависимость решения от начальных условий и от нижней границы потребления Показано, что время достижения траектории сбалансированного роста зависит от начального состояния системы, а функционал благосостояния системы немонотонно зависит от значения нижней границы потребления и достигает наибольших значений при задании границы на
уровне 30 % Показано, что, при заданных начальных условиях, при увеличении абсолютного значения темпов НТП быстрее наступает момент выхода на траекторию сбалансированного роста, а также возрастают значения целевого функционала и удельного ВРП Темпы роста экономики на оптимальной траектории прямо пропорциональны абсолютной величине темпов НТП
Основные публикации по теме диссертации
1 Русяк ИГ, Кетоеа К В, Сабирова О Р Квазистационарная кривая развития региона в двухфакторной динамической макромодели // Вестник Иж-ГТУ -Ижевск, 2007 -№ 1 -С 111-116
2 Беленький ВЗ, Кетоеа К В, Сабирова ОР Стационарные состояния в конечномерных динамических моделях с ограниченными траекториями И Экономика и математические методы, 2008 -Т 44 -№3 - С 135-147
3 Кетоеа К В, Сабирова ОР Макромодель развития региона с учетом повышения качества трудовых ресурсов (на примере Удмуртской Республики) // Сб Анализ и моделирование экономических процессов / Сб статей под ред ВЗ Беленького -М. ЦЭМИРАН,2006 -Вып 3 - С 83-98
4 Кетоеа К В, Сабирова О Р Уравнение динамики производственных фондов, в зависимости от времени их создания // Достижения ученых XXI века Сборник материалов 3-ей Международной научно-практической конференции 30-31 июля 2007 г - Тамбов Изд-во ТАМБОВПРИНТ, 2007 -С 24-26
5 Русяк ИГ, Кетоеа К В, Сабирова О Р Построение оптимального управления в негомогенной конечномерной экономической модели, обладающей квазимагистралью // Сб Анализ и моделирование экономических процессов / Сб статей под ред В 3 Беленького - М ЦЭМИ РАН, 2007 -Вып 4 - С 83-98
6 Русяк ИГ, Кетоеа К В, Сабирова О Р Постановка задачи оптимального управления в случае многомерной модели макроэкономической динамики и разработка агоритма ее решения // Вестник ТОГУ, 2007 - № 4 (7) - С 89-100
7 Сабирова О Р Агоритм распределения инвестиций в переходном периоде Индексный метод // Современные методы теории краевых задач материалы Воронежской весенней математической школы Понтрягинские чтения - XX - Воронеж ОАО Центрально-Черноземное книжное издательство, 2008
Отпечатано с оригинал-макета заказчика
Подписано в печать 24 04 2008 Формат 60x84 1/16 Тираж 100 экз Заказ № 813
Типография ГОУВПО Удмуртский государственный университет)) 426034, Ижевск, ул Университетская, 1, кори 4
Диссертация: содержание автор диссертационного исследования: кандидат физико-математических наук , Сабирова, Ольга Рамилевна
УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ.
ВВЕДЕНИЕ.
1. ИНСТРУМЕНТЫ АНАЛИЗА ЭКОНОМИЧЕСКОГО РОСТА.
1.1. Модели экономической динамики.
1.2. Производственные функции.
1.3. Учет научно-технического прогресса.
1.4. Методы решения задач оптимального управления.
2. РАЗРАБОТКА МЕТОДА РЕШЕНИЯ МНОГОМЕРНОЙ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ.
2.1. Постановка задачи (каноническая форма).
2.2. Аналитический метод решения задачи.
2.2.1. Метод построения оптимального управления как функции двойственных переменных.
2.2.2. Метод построения оптимального управления как функции фазовых переменных.'.
2.3. Численная реализация метода.
3. МОДЕЛИ МАКРОЭКОНОМИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ.
3.1. Двухфакторная задача оптимального управления.
3.1.1. Постановка задачи.
3.1.2. Анализ решения задачи.
3.2. Задача оптимального управления с учетом научно-технического прогресса.
3.2.1. Постановка задачи с учетом распределения факторов производства по возрастам.
3.2.2. Редукция задачи к канонической форме.
4. АНАЛИЗ ЧИСЛЕННЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ.
4.1. Результаты численной реализации двухфакторной модели.
4.1.1. Численная реализация метода решения задачи.
4.1.2. Тестирование метода.
4.1.3. Параметрические исследования модели.
4.2. Результаты численной реализации четырехфакторной модели.
4.2.1. Численная реализация метода решения задачи.
4.2.2. Параметрические исследования модели.
Диссертация: введение по экономике, на тему "Метод решения многомерной задачи оптимального управления динамикой макроэкономической системы"
Актуальность темы. В России в последние годы наблюдается период экономического роста. В Послании Президента В.В. Путина Федеральному Собранию Российской Федерации 16 мая 2003 года [1] была сформулирована задача удвоения валового внутреннего продукта (ВВП) за десять лет. Именно динамика изменения ВВП на душу населения рассматривается в качестве оценки успеха мероприятий по обеспечению экономического роста. Особенно важен этот показатель в странах, выходящих из догих периодов застоя или кризиса. Этот вопрос приобретает допонительную актуальность в России по причине больших экономических потерь в период 1992-1998 гг., приведших к значительному снижению уровня жизни населения. В Программе социально-экономического развития России, утвержденной правительством РФ в январе 2006 года [2], также говорится о необходимости создания системы стимулирования экономического роста.
При выработке определенной политики улучшения макроэкономических показателей возникает необходимость в предварительном анализе экономики, сложившейся в настоящее время, в прогнозировании и планировании ее на будущее. Для этого применяются методы математического моделирования динамики макроэкономических систем, статистические методы обработки информации, методы оптимизации и др.
По мнению экономистов [3, 4], из четырех основных экономических проблем: размещение ресурсов, распределение дохода, экономическая устойчивость и экономический рост - последняя остается наиболее неизученной. В настоящей работе затрагиваются в большей или меньшей степени все названные проблемы, но именно оптимальный экономический рост является центральным понятием.
В работах, касающихся изучения экономической динамики, наиболее распространены одномерные модели. В реальных системах на экономический рост влияет множество факторов. Разработка и математический анализ много' мерных моделей позволит расширить спектр решаемых прикладных задач.
Краткая историческая справка. В двадцатом веке в экономическом анализе основное внимание уделялось изучению статического развития экономических систем. В области изучения динамики, законов экономического, роста существуют многочисленные работы представителей неоклассической теории (Т. Свана [5], Р. Харрода [6, 7], И. Домара [8], П. Агийона [9-11],), в том числе Нобелевских лауреатов (например, Т. Купманса [12], С. Кузнеца [13], Р. Солоу [14-17]), в которых анализируются некоторые детерминанты экономического роста. Неоклассические модели связывают экономический рост с накоплением капитала и техническими изменениями [18]. В рамках неоклассической теории проблемами учета и моделирования научно-технического прогресса занимались такие ученые как Й. Шумпетер [19, 20], П. Роумер [21-23], М. Осон [24], Д. Норт [25, 26].
Двадцатый век ознаменовася интенсивным развитием математических методов описания и исследования экономических процессов. Большой интерес представляют работы, в которых внимание уделяется построению и использованию.производственных функций.
В. Рамсей предложил в 1928 году модель догосрочного роста, предвосхитившую актуальные в наше время исследования по проблемам оптимального экономического роста [27].
Дж. фон Неймана разработал в. 1932 году многосекторную модель расширяющейся экономики [28], положившую начало магистральной теории. В России в начале XX века большой вклад в развитие этого направления внесли В.К. Дмитриев и Е.Е. Слуцкий [29-32]. В< 1960 Ч 80-е годы экономико-математическое моделирование особенно продвинулось благодаря таким ученым, как B.C. Немчинов [33], В.В. Новожилов [34], JI.B. Канторович [35-36], которые предложили модели многосекторной экономики. Строились многоуровневые системы моделей народно-хозяйственного планирования, оптимизационные модели отраслей и предприятий [37-44].
Существенный вклад в развитие математических методов в экономике внесли JI. Вальрас [45], О. Курно, В. Парето [46], Ф. Эджворт, А.И. Анчишкин [47], С.А. Айвазян [48-49], В.И. Данилов и др. [37].
У истоков моделирования экономической динамики стоят работы В.В. Леонтьева. В дальнейшем эта область получила значительное развитие в работах Д. Гейла [50], В.Л. Макарова [51-52], A.M. Рубинова [52-53], И.В. Романовского [54],
Отдельно следует выделить работы Л.С. Понтрягина [55-57] и Р. Белма-на [58], внесших большой вклад в разработку инструментальных методов оптимального управления и математического анализа динамических экономических систем.
Следует отметить, что оптимизационные динамические модели экономических систем основаны на классических работах Ф. Рамсея [27], Д. Касса [59], Т. Купманса [12], Р. Солоу [14-17]. Развитие этих моделей представлено работами В.Д. Матвеенко [60], В.З. Беленького [61-72] и др. [73-83].
Объектом исследования диссертационной работы является теория оптимального распределения капиталовложений в задачах макроэкономической динамики.
Предметом исследования является математический и инструментальный аппарат решения задач оптимального распределения капиталовложений.
Целью работы является разработка эффективного метода решения задачи оптимального распределения капиталовложений в фазовом пространстве произвольной размерности и анализ траекторий развития макроэкономической системы.
В ходе работы решались следующие научные и практические задачи.
1. Построение оптимизационной математической модели динамики макроэкономической системы в многомерном фазовом пространстве, учитывающей инвестиционные процессы; и максимальный рост благосостояния населения. .
2. Разработка эффективного метода реализации многомерной модели; Тестирование разработанного метода для решения задач оптимального управления в фазовых пространствах различной размерности.
3. Разработка многофакторной оптимизационной модели макроэкономи-: ческой системы, учитывающей научно-технический прогресс в производственной и социальной сфере.
4. Проведение анализа и параметрических исследований многомерных экономико-математических моделей.
Методы исследования. В работе использованы методы теории оптимизации, теории оптимального управления, теории дифференциальных уравнений, математического компьютерного моделирования.
На защиту выносятся:
1. Негомогенная; оптимизационная математическая модель динамики макроэкономической системы в многомерном фазовом пространстве, учитывающая инвестирование средств в факторы производства, критерием; оптимальности в которой является максимизация благосостояния населения.
2. Метод решения задачи оптимального управления в многомерном фазовом? пространстве (индексный метод), основанный на применений принципа максимума Понтрягина. Результаты тестирования разработанного метода решения задачи в двумерном и четырехмерном фазовых пространствах.
3". Многофакторная оптимизационная' математическая;; модель макроэкономической системы, учитывающая научно-технический прогресс в производственной1 и социальной сфере'. .
-4. Анализ результатов численной; реализации и параметрических исследований экономико-математических моделей. Х
Достоверность и обоснованность полученных в работе результатов обеспечена корректностью математических постановок задач (основанных на модели Рамсея-Касса-Купманса). Метод разработан на основе известного подхода к решению задач оптимального управления (принципа максимума Понтря-гина). При тестировании разработанного метода для моделей различной размерности выявлено влияние различных параметров макроэкономической системы на макроэкономическое развитие и доказана эквивалентность решений, полученных разработанным методом и принципом максимума. Полученные решения исследованы на сходимость, точность и устойчивость.
Научная новизна заключается в следующем:
1. В негомогенной оптимизационной модели динамики макроэкономической системы в многомерном фазовом пространстве впервые учитывается эффективность инвестиций и нижняя граница значений управляющих переменных.
2. Новый аналитический метод решения задачи оптимального управления макроэкономической системой, в отличие от существующих методов, не требует знания граничных условий для вектора двойственных переменных и позволяет строить оптимальные траектории в фазовых пространствах произвольной размерности.
3. В многофакторной оптимизационной математической* модели впервые осуществляется одновременный учет научно-технического прогресса в производственной и социальной сфере, а также распределения факторов во временно-возрастной плоскости.
4. Впервые индексным методом проведены комплексные исследования, в ходе которых установлены оптимальные пропорции распределения капиталовложений, а также выявлены существенные параметры, влияющие на показатели макроэкономического роста.
Значение научных результатов для теории
Сформулированная в работе модель динамики макроэкономической системы (региона) позволяет планировать оптимальное распределение капиталои вложений при учете произвольного конечного числа факторов, влияющих на макроэкономическое развитие.
Доказана теорема, согласно которой, в случае выпуклых производственных функций, гамильтониан разработанной модели является выпуклым, что обеспечивает необходимость и достаточность условий оптимальности траекторий, построенных на основе принципа максимума.
Метод решения многомерных задач оптимального управления может быть непосредственно использован при построении и анализе экономических моделей.
Значение научных результатов для практики
Метод позволяет свести решение двойственной задачи оптимального управления с неизвестными граничными условиями для сопряженных переменных к решению прямой задачи для фазовых переменных, что в многомерном фазовом пространстве существенно сокращает объем необходимых вычислений для определения оптимальной траектории.
На основе построенного агоритма разработан программный комплекс, который может быть использован для решения задач оптимального управления экономической системой на региональном уровне, в том числе в случае учета инновационных процессов. В качестве примера проведены расчеты по Удмуртской Республике.
Разработанный- метод используется в учебном процессе специальности 061800 Математические методы в экономике на факультете Прикладная математика Ижевского государственного технического университета.
Апробация работы. Материалы диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях: Воронежской весенней математической школе Понтрягинские чтения - XVII (Воронеж, 3-9 мая 2006 г.); Всероссийской научно-практической конференции Инновационная экономика и региональное инновационно-устойчивое развитие (Чебоксары, 25 октября 2006 г.); Воронежской зимней математической школе Современные методы, теории функций и смежные проблемы (Воронеж, 27 января Ч 2 февраля 2007 г.); Воронежской весенней математической школе Понтрягинские чтения Ч XVIII (3-9 мая 2007 г.); 3-ей Международной научно-практической конференции Достижения ученых XXI века (Тамбов, 30-31 июля 2007 г.); Всероссийской научно-практической internet-конференции Проблемы функционирования и развития социально-экономических систем (Уфа; 15 октября Ч 15 ноября 2007 г.); Воронежской весенней математической школе Понтрягинские чтения Ч XIX (3-9 мая 2008 г.).
Публикации. Результаты работы отражены в 12 научных публикациях [84-95], из них - 7 статей в научных журналах, в том числе 2 статьи [87, 94] в изданиях, рекомендованных ВАК для публикации основных результатов диссертаций.
Структура* и объем работы. Диссертационная работа состоит изг введения, четырех глав, заключения и библиографического списка. Работа изложена на, 118 страницах машинописного текста, содержит 42'рисунка, 5'таблиц и список литературы из 130 наименований.
Введение-содержит обоснование актуальности темы исследования, цели и задачи диссертационной работы, положения, выносимые на защиту, практическую и научную значимость работы. t
Диссертация: заключение по теме "Математические и инструментальные методы экономики", Сабирова, Ольга Рамилевна
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
1. Разработана негомогенная оптимизационная модель динамики макроэкономической системы в многомерном фазовом пространстве, в которой учитывается эффективность инвестиций и нижняя граница значений управляющих переменных.
2. Предложен новый метод (индексный метод), основанный на применении принципа максимума Понтрягина и позволяющий решать задачи оптимального управления динамикой макроэкономических систем на основе решения прямой задачи Коши с заданными начальными условиями для фазовых переменных при неизвестных граничных условиях на сопряженные переменные.
Разработанный агоритм численной реализации индексного метода применен к задачам оптимального управления в фазовых пространствах различной размерности, проведен анализ поведения управляемой экономической системы в зависимости от ее начального состояния. Во всех случаях тестирование предложенного метода показало эквивалентность управлений, построенных на основе индексного метода и непосредственного применения принципа максимума.
3. Представлена модель экономической системы с учетом научно-технического прогресса в производственной и социальной сфере. Дана постановка задачи в частных производных с учетом распределения факторов производства во временно-возрастной плоскости; данная задача при определенных условиях сводится к задаче в канонической форме; приводится ее решение с помощью разработанного агоритма.
4. Параметры и коэффициенты разработанной двухфакторной модели рассчитывались на основе статистических данных по Удмуртской Республике. Построены траектории оптимального управления и динамики макроэкономических показателей. Показано существование траектории сбалансированного; развития (квазистацйонарной траектории); которая > характеризуется ростом удельной величины ВРП и благосостояния населения в среднем на 1.5 % ежегодно;, на . траектории сбалансированного роста необходимо около одной трети произведенного продукта, инвестировать в развитие факторов*, производства* и около двух третей направлять на общее потребление.
5. В случае учета НТП также построены траектории оптимального управления; и динамики макроэкономических показателей, а также показано существование траектории сбалансированного экономического развития; которая характеризуется; экономическим? ростом: ежегодно- удельная величина ВРП и благосостояния населения увеличивается в.среднем на 6;5 % в? год; при этом около 90 % произведенного продукта направляется на общее потребление:. , - .
6. Проведены параметрические: исследования; двух- и чегырехфакторнойХ задач;. Исследована зависимость, решения от начальных условий и от нижней границы потребления. Показано, что времядостижения траектории;. сбалансированного роста-, зависит от начального- состояния системы, а функционал благосостояния системы немонотонно зависит, ог значения: нижней: границы потребления; и достигает наибольших; значений при задании границы на уровне 30 % (на горизонте1 планирования 15 лет). Показано, что; при заданных начальных: условиях, при увеличении абсолютного значения; темпов НТП быстрее наступает момент выхода; на траекторию сбалансированного роста, а также, возрастают значения целевого функционала, и удельного ВРП. Темпы роста: экономики* на оптимальной траектории прямо пропорциональны абсолютной величине темпов HTII:
Диссертация: библиография по экономике, кандидат физико-математических наук , Сабирова, Ольга Рамилевна, Ижевск
1. Послание Президента Федеральному Собранию Российской Федерации 16 мая 2003 года. Электронный документ.Ссыка на домен более не работаетtext/appears/2003/05/44623.shtml). Проверено1003.2008 г.
2. Распоряжение Правительства Российской Федерации от 19 января; 2006 г. N 38-р Электронный документ.http ://www.mzsrrf.m/prav rasp/295 .html). Проверено 10.03.2008'г.
3. Сэндлер Т. Экономические концепции для общественных наук / Пер. с англ. М.: Изд-воВесь мир, 2006. - 376 с.
4. Шараев Ю.В. Теория экономического роста: Учебное пособие для вузов. М.: Изд. дом ГУ ВШЭ, 2006. - 254 с.
5. Swan Т. Economic Growth and Capital Accimulation // Economic Record, 1956. Vol. 32.-№ 2. - P. 334-361.
6. Harrod R. Towards a Dynamic Theory // Economic Journal, 1939. Vol. 49. -P. 14-33.
7. Харрод P. К теории экономической динамики. Новые выводы экономической теории и их применение в экономической политике. М.: Издательство иностранной литературы, 1959.
8. Domar Е. Capital Expansion, Rate of Growth, and Employment // Economet-rica, 1946.-Vol. 14.-P. 167-147.
9. Aghion P., Bolton P. A Ticle-Down Theory of Growth and Development with Dept'Overhand// Review of Economic Studies, 1997. Vol. 64 (2). - № 219.-P. 151-172.
10. Aghion P., Hewitt P. A Model of Growth through Creative Destruction: NBER Working Paper // Econometrica, 1992. Vol. 60. - P. 323-351.
11. Aghion P., Hewitt P. Endogenous Growth Theory. Cambridge: MIT Press, 1998.-Ch. 1.
12. Koopmans T.C. On the Concept of Optimal Economic Growth // Ex Aedibvs Х
13. Academicis in Civitate Vaticana, 1965.
14. Kuznets S. Economic Growth and Income Inequality // American Economic Review, 1955.-Vol. 45.-№ l.-P. 1-28.
15. Solow R. A Contribution to the Theory of Economic Growth I I Quarterly Journal of Economics, 1956. Vol. 70. - P. 65-94.
16. Solow R. Growth Theory. Oxford: Oxford University Press, 2000.
17. Солоу P.M. Экономическая теория ресурсов или ресурсы экономической теории. Лекция в честь Ричарда Т. Эли // Вехи экономической мысли. Ч СПб.: Экономическая школа, 1999. Т. 3.
18. Солоу P.M. Теория роста // Панорама экономической мысли конца XX столетия / Под ред. Д. Гринэуэя, М. Блини, И. Стюарта: В 2-х т. / Пер. с англ. Спб.: Экономическая школа, 2002. - Т. 1. - С. 479-505.
19. Макконнел К.Р., Брю С.Л. Экономикс: принципы, проблемы и политика / Пер. с 13 англ. изд. М.: ИНФРА-М, 1999. - 974 с.
20. Шумпетер Й Теория экономического развития. М., 1982.
21. Шумпетер Й Капитализм, социализм и демократия. М.: Экономика, 1995.
22. Romer P. Endogenous Technical Change I I Journal of Political Economy, 1990. Vol. 98. - № 5. - P. 71-102.
23. Romer P. Increasing Returns and Long-Run Growth // Journal of Political-Economy, 1986. Vol. 94. - № 5.
24. Romer P. Capital Accumulation in the Theory of Long-Run Growth // Modern Business Cycle Theory / J. Barro (ed.). Cambridge, MA: Harvard University Press, 1989.
25. Осон M. Логика колективных действий. M.: 1995.
26. НортД. Институты и экономический рост // Thesis, 1993. Т.1. Ч Вып.2.
27. Норт Д. Институты, институциональные изменения и экономическая эффективность. М., 1998.
28. Ramsey F.P. A Mathematical Theory of Saving // Economic Journal, 1928.1. Vol. 38.-P. 543-559.
29. Нейман Дэ!с., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. Ч М.: Наука, 1970.
30. Дмитриев В.К. Экономические очерки. М.: ГУ ВШЭ, 2001. - 580 с.
31. Слуцкий Е.Е. К теории сбалансированного бюджета потребителя // Экономико-математические методы. М.: Изд-во АН СССР, 1963.
32. Слуцкий Е.Е. К вопросу о вычислении дохода государства от эмиссии // Журнал Киевского ГубЭкоСо. Киев, 1923. - № 2.
33. Четвериков Н.С. Жизнь и научная деятельность Е. Е. Слуцкого // Ученые записки по статистике. М.: Изд-во АН СССР, 1959. - Т. V.
34. Немчинов B.C. Избранные произведения. М., 1967-98. - Т. 1-6.
35. Новоэ/силов В.В. Проблемы измерения затрат и результатов при оптимальном планировании. -М., 1967.
36. Канторович JI.B. Экономический расчет наилучшего использования ресурсов. М.: Изд-во АН СССР, 1959.1 36. Канторович Л.В., Горстко А.Б. Оптимальные решения в экономике. -М., 1972.
37. История экономических учений: Учебное пособие. М.: ИНФРА, 2000.
38. Альсевич В.В. Математическая экономика. Конструктивная теория. -Минск: Дизайн ПРО, 1998. 240 с.
39. Багриновский К.А., Рубцов В.Н. Модели и методы прогнозирования и догосрочного планирования народного хозяйства. М.: Изд-во РУДН, 1992.
40. Багриновский К.А., Сумин Г.А. Математические методы в экономике и планировании народного хозяйства. -М.: Изд-во РУДН, 1993.
41. Гражданников Е.Д. Прогностические модели социально-демографических процессов. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1974. - 112 с.
42. Имитационное моделирование экономических систем: Сб. ст. под ред. К.А. Багриновского. М.: Наука, 1978. - 221 с.
43. Соколовский Л.Е. Модели оптимального функционирования предприятия. -М.: Наука, 1980. 172 с.
44. Информационное моделирование экономической системы / Под ред. Е.Г. Ясина. М.: ЦЭМИ АН СССР, 1979.
45. Валърас Л. Элементы чистой политической экономии или Теория общественного богатства. -М.: Изограф, 2000.
46. Парето В. Чистая экономия. Воронеж, 1912.
47. Анчишкин А.И. Прогнозирование роста социалистической экономики. -М.: Экономика, 1973. 294 с.
48. Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешакин Л.Д. Прикладная статистика. Основы моделирования и первичная обработка данных. Ч М.: Статистика, 1983. 352 с.
49. Айвазян С.А. Прикладная статистика. Основы эконометрики. М.: Юни-ти-Дана, 2001. - Т. 2. - 976 с.
50. Гейл Д. Замкнутая линейная модель производства//Линейные неравенства и смежные вопросы. М., 1959.
51. Макаров В Л. Состояние равновесия сбалансированного роста в модели Неймана с функцией полезности // Оптимальное планирование. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1967. - Вып. 8. - С. 168-169.
52. Макаров В.Л., Рубинов A.M. Математическая теория экономической динамики и равновесия. Ч М.: Наука, 1973.
53. Рубинов A.M. Магистрали в моделях Неймана-Гейла // ДАН СССР, 242, 2, 1978.
54. Понтрягип Л.С. Принцип максимума в оптимальном управлении. Ч М.: Наука, 1989.-61 с.
55. Понтрягип Л. С. Избранные научные труды. Ч М.: Наука, 1998. Т. 2.
56. Р:Белман. Динамическоегпрограммирование. Ч М:: ЙЛ^ I960.
57. Cass D. Optimum Growth iman Aggregative Model* ofCapital Accumulation //Review of Economic: Studies., 1965. Volt 32:Ч P; 233-240;,
58. Матееенко В Д. Эффективный функционал и магистраль, в моделях экономической динамики. // Математические модели экономическою динамики. - Вильнюс:ИЭАНЛитССР,1988.
59. Беленький В.З: Вековое уравнение для неподвижных точек оптимальной стратегии стационарного уравнения- Белмана // Экономика и мат. методы, 1991.-№5. ;
60. Беленький В;3. Оптимальное развитие производства: при стационарно растущем спросе://Экономика и мат: методы, 1979: № 41
61. Беленький В.31, Сластпиков А Д. Модель оптимального-инвестирования проекта новой технологии // Экономика и мат. методы, 1997. № 3.
62. Беленький В.З. Оптимальное управление: принцип максимума и динамическое программирование. М: 1{ЭМИ РАН - РЭШ, 2001.
63. Беленький В.З. О понятии потенциал экономической системы // Экономическая наука современной России, 2006: № 1.
64. Беленький ВЗ. Оптимальное управление: принцип; максимума и динамическое программирование. М. -- Ижевск: НИЦ Регулярная и хаотическая динамика, Институт компьютерных исследований, 2006.
65. Беленький В.З: Теорема о стационарном решении обобщенной модели Рамсея-Касса-Купманса // Сб. "Анализ и- моделирование экономических процессов". М., ЦЭМИ РАН, 2004. - Выи. 1.
66. Беленький В.З. Операция ratio-сопряжения и ее применение в линейно-однородных моделях экономики // Экономика и мат. методы, 2006. № 2.
67. Беленький В.З. Стационарные модели экономической динамики. М.: ЦЭМИ РАН, 1981.
68. Беленький В.З., Kemoea К.В. Принцип оптимальности Белмана и стационарные модели экономической динамики // В сб. Интелектуальные системы в производстве. Ижевск: Изд-во ИжГТУ, 2004. - № 2. - С. . 59-75.
69. Беленький В.З., Кетова КВ. Вековое уравнение для устойчивой неподвижной точки стационарной динамической конечномерной модели ЭД в непрерывном времени // Сб. Анализ и моделирование экономических процессов. Ч М.: ЦЭМИ РАН, 2006. Ч Вып. 3.
70. Беленький В.З., Кетова КВ. Поное аналитическое решение макромодели развития региона при экзогенном демографическом прогнозе // Экономиками мат. методы, 2006. Ч Вып. 4.
71. Капелюшников Р.И. Современные буржуазные концепции формирования рабочей силы: критический анализ. М.: Наука, 1981.
72. Кендрик, Дж. Совокупный капитал США и его формирование. М.: Прогресс, 1978.
73. Алексеев В.М. и др. Оптимальное управление. Ч М.: Наука, 1979. 429 с.t
74. Ботянский В Г. Математические методы оптимального управления. -М.: Наука, 1969.-408 с.
75. Ботянский В.Г. Оптимальное управление дискретными системами. -М.: Наука, 1973.-446 с.
76. Зубов В.И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975. - 495 с.
77. Лагоша Б.А. Оптимальное управление в экономике. М.: Финансы и статистика, 2003. - 191 с.
78. Математическая% теория оптимальных процессов / JI.C. Понтрягин, В.Г. Ботянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко. Ч М.: Наука, 1983. Ч 392 с.
79. Кетова КВ. Оптимальное распределение капиталовложений с учетом демографического прогноза: Диссертация- канд. физ.-мат. наук. Ч Ижевск: ИжГТУ, 2004. 151 с.
80. Русяк И.Г., Кетова> КВ. Анализ решения задачи управления демоэкономическим состоянием региона // В сб. Интелектуальные системы, в производстве. М. (МГУ) - Ижевск (ИжГТУ): Изд-во ИжГТУ, 2003. - №2. - С. 151-160:
81. Кетова КВ. Применение принципа оптимальности Белмана к решению задачи оптимального экономического роста в стационарной постановке // В сб. Интелектуальные системы в производстве. Ижевск: Изд-во ИжГТУ, 2004.-№1.
82. Чуваш, ун-та, 2006. С. 41-44.
83. РусякМ.Г., Кетова КВ., Сабирова О.Р. Квазистационарная кривая развития региона в двухфакторной динамической макромодели // Вестник ИжГТУ. - Ижевск, 2007. - № 1. - G. 111 -116.
84. Kttp://iseixommunityhost.ru/thread/?thread mid=352653601). Проверено 10.03.2008 г.
85. Русяк И.Г., Кетова КВ., Сабирова О.Р. Постановка задачи оптимального управления в случае многомерной модели макроэкономической динамики и разработка агоритма ее решения // Вестник ТОГУ, 2007. Ч № 4 (7).-С. 89-100.
86. Беленький В.З., Кетова КВ., Сабирова О.Р. Стационарные состояния в конечномерных динамических моделях с ограниченными траекториями // Экономика и мат. методы, 2008. Т. 44. - № 3. - С. 135-147.
87. Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. М.: Прогресс, 1975. Ч 605 с.
88. Столерю Л. Равновесие и экономический рост. М.: Статистика, 1974. -472 с.
89. Клейнер Г.Б. Производственные функции: Теория, методы, применение. М'.: Финансы и статистика, 1986. - 239 с.
90. Терехов Л.Л. Производственные функции. М.: Статистика, 1974. - 128 с.
91. Френкель А.А. Многофакторные корреляционные модели производительности труда. М.: Экономика, 1966.,101 .Анчишкин А. И., Яременко Ю.В. Темпы и пропорции экономического развития. -М.: Экономика, 1967.
92. Анчишкин А. И. Прогнозирование роста социалистической экономики. -М.: Экономика, 1973.103 .Крастинь О.П. Агроэкономические функции. Ч Рига, 1971.
93. Крастинъ О.П. Методы анализа регрессий и корреляций при определении агроэкономических функций. Рига, 1972.
94. Баркалов Н.Б. Производственные функции в моделях экономического роста. М.: Изд-во МГУ, 1981. - 126 с.
95. Иваншов Ю.П., Лотов А.В. Математические модели в экономике. Ч М.: Наука, 1979.-303 с.
96. Лукашин Ю., Рохлина Р. Производственные функции в анализе мировой экономики // Мировая экономика и международные отношения, 2004. Ч №1. С. 17-27.
97. Бугаков В.К, Бугаков О.В. Моделирование динамики обобщающих показателей развития региональных экономических систем России // Экономика и математические методы, 2006. Т. 42. - № 1. - С. 32-49.
98. Хеди Э., Дилон Д. Производственные функции в сельском хозяйстве. -М.: Прогресс, 1965.
99. Cobb С. W. Douglas Р.Н. A Theory of Production // Amer. Econ. Rev., 1928. -Vol. 18.111 .Ашманов C.A. Введение в математическую экономику. Ч М.: Наука, 1984. -293 с.
100. Замков О.О. Математические методы в экономике: Учебник/ Под общ. ред. д.э.н., проф. А.В. Сидоровича / О.О. Замков, А.В. Тостопятенко, Ю.Н. Черемных; МГУ им. Ломоносова. 3-е изд., перераб. - М.: Издательство Дело и сервис, 2001.
101. С ахал Д. Технический прогресс: концепции, модели и оценки. М. Финансы и статистика, 1985.
102. Браун М. Теория и измерение технического прогресса. М.: Статистика, 1971.
103. Истерли В. В поисках роста: Приключения и злоключения экономистов в тропиках / Пер. с англ. М.: Институт комплексных стратегических исследований, 2006. Ч 352 с.
104. Замков О. О., Тостопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике. М.: Дело и сервис, 2001. Ч 365 с.
105. Рокафелар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973.
106. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука, -1989.
107. Вержбицкий В.М. Численные методы. Линейная агебра и нелинейные } уравнения. М.: Высшая школа, 2000.
108. Хамминг Р.В. Численные методы. М.: Наука, 1972. Ч 400 с.
109. Петров А.А., Поспелов И.Г., Шананин А А. Опыт математического моделирования экономики. Ч М., Энергоатомиздат, 1996.
110. Российский статистический ежегодник: Стат. сб. Госкомстата России. Чt
111. М.: Финансы и статистика, 2001. Ч 621 с.
112. Российский статистический ежегодник: Стат. сб. Госкомстата России. -М.: Финансы и статистика, 2004. 634 с.
113. Закон о бюджетной системе Удмуртской Республики на 1994-2007 годы. Бюджетная система Российской Федерации. Электронный документ. (Ссыка на домен более не работаетp>
114. Отчет об испонении консолидированного бюджета Удмуртской Республики по бюджетной деятельности на 1999-2005 годы. Бюджетная система Российской Федерации. Электронный документ., (Ссыка на домен более не работаетp>
115. Естественное движение населения в Удмуртской Республике: Стат. бюл. Госкомстата УР. Ижевск, 1996-2006.
116. Отчетность Федеральной налоговой службы "Отчет о начислении и поступлении налогов, сборов и иных обязательных платежей в бюджетную систему РФ", по состоянию на 01.01.2007 г.
117. Русяк И.Г., Кетова КВ. Математическое моделирование демографических показателей // Сб. статей. Ижевск: Изд-во ИжГТУ, 2002. - С. 163169.
Похожие диссертации
- Методология управления медико-социальными системами в чрезвычайных ситуациях
- Повышение качества консатинговых услуг на товарных рынках
- Формирование и развитие теплоэнергетических комплексов малой мощности
- Повышение конкурентоспособности предприятий сферы услуг
- Методы обеспечения качества продукции в мультисубъектных производственно-сбытовых системах